我们在下面的定义中明确了这一要求。定义5如果|T |（1）>g，则拒绝接受的测试的尺寸K中的g边界|T |（2），·T |（K）如果每个2≤ K≤ 克里姆特克→∞g（t，··，tk）-1，tk）=g（t，·tk-1） 我们使用多元样条推广来实现基于三维重心坐标的变g方法。这导致与5%的最大差异为0.2%。但是，施加维度一致性是复杂的，问题来自维度诅咒：积分的维度随着K的增加而增加，而定义g所需的节点数阻碍了优化。因此，出于实际目的，我们提出了一个简单的解决方案，该方案以归纳的方式利用维度相关性，并用维度K中获得的解决方案对维度K中的LR测试进行加权- 1.首先要注意的是，当|T |（1）>g（|T |（2））时，不管|T |（3），只要简单地拒绝，就可以满足三维的相干条件。然而，这会导致无效测试，因为当K=3时，最大NRP为7.2%。另一方面，LR测试是保守的，尤其是在原点附近。因此，一个切实可行的解决方案是在自由派和保守派之间使用加权平均值。我们使用的权重取决于最大的绝对t统计量。特别是对于K=3g（t，t）=（1- w（t））gLR（t）+w（t）g（t），带权函数w（t）的线性样条≤ w（t）≤ 1.限制→∞w（t）=1。如果| T |（1）>g（|T |（2），|T |（3）），则测试拒绝。

将NRP与显著水平的偏差最小化，并施加尺寸限制，得到带节点的样条曲线：{（0，0）}，{（1.35，0.959），（2.025，0.842），（2.7，1）(∞, 1） }，导致NRP与5%的差异最大为0.13%，且从未超过5%。解决方案如图10.7实证说明所示。对于数值说明，我们考虑Bollen和Stine（1990）使用的南方非工会纺织工人工会情绪的递归模型。模型：嗯=0 ββ0 0 β0 0 0嗯+τ0 α0 αxx+紫外线, （11） 图10：未排序的t统计量（t，t，t）的3D g边界。CR从原点移除，包括（4,4,4）。边缘显示2D解，因为一个t统计量非常大。如果两个t-统计量非常大，那么它将减少到1.96，这是解决方案。是McDonald and Clelland（1984）的简化版，Bollen（1989，第82-93页）对此进行了详细讨论。它通过尊重和/或劳动积极主义分析任期和年龄对团结情绪的直接和间接影响。在某一纺织厂工作的年限以年为单位，年龄以年为单位。对工会的情感、对管理者的尊重/顺从以及对劳工活动的支持的变量分别基于7、4和9个调查问题。假设扰动（u，vand v）在方程和个体之间不相关。

当它们是正态分布时，由于递归结构，系统的最大似然估计减少为分别应用于每个方程的最小二乘法。年龄差异行动主义工会情绪α32α22β13β12β23图11：工会情绪调解图我们从最初的173项观察中选择了100项，重点讨论了年龄对工会情绪间接影响的三种替代理论：两种相互竞争的平行效应，即年龄影响是通过增加的差异来调解的，在这种情况下，i=αβ全αβτ估计–0.050.057–0.283 0.987–0.2150.720t-统计量–1.902 2.709–3.582 7.120–1.838 1.777表3：工会情绪模型的OLS估计和t-统计量（N=100）估计Sobel t-统计量g-testi=αβ0.0108 1.322 1.838*> 1.770=g（|- 1.902 |）i=αβ0.0561 2.532*2.709*> 1.960=g（7.120）i=aββ0.0140 1.635 1.902≯ 1.960=g（3.582,7.120）表4：估计值、Sobel t统计量和g检验。*表明5%的间接影响显著。另一种调解途径是，行动主义调解i=αβ是间接影响。第三个渠道是一系列影响，即年龄影响差异，进而影响行动主义，进而影响工会情绪，因此i=αββ衡量间接影响。图11展示了三种调解渠道。表3显示了OLS对结构方程系数及其t统计量的估计。表4显示了间接影响的点估计值及其基于delta方法的t统计数据。对于g测试，我们需要绝对顺序统计，计算g，并进行比较。对于Hi：αβ=0，我们观察到|t（^β）|=1.838>1.770=g（1.902）=g（|t（^α）|），因此拒绝。对于Hi:αβ=0，我们有|t（^α）|=2.709>1.960=g（7.120）=g（|t）^β|) 也拒绝。测试最后一个零假设Hi：αββ=0需要图10中给出的三维解。

我们有| t（^α）|=1.902<1.96=g（3.582,7.120）=g（|t^β|, |T^β|) 不要拒绝。临界值为1.96的Sobel检验得出的结论是，iis具有重要意义，但没有找到IMedition通道的充分证据。相比之下，新的g检验得出的结论是，IIS也很重要。在这种情况下，两个t值都小于1.96，因此LR测试不会拒绝这两个值。这两个t值具有可比性，g检验发现存在显著的中介效应。对于g检验的实施，只需要相关的t统计量。对绝对值进行排序，并将最小值与g函数在最大绝对t值下的值进行比较。这可以在表1中查找（可能使用线性插值），也可以使用附录E中提供的R代码。bootstrap是测试中介的常用替代方法。由于分布的不对称性，iboth试验得出了相同的结论。所涉及的三个t值的大小不可比较，且β和β的t统计量非常大，因此拒绝完整的H：αββ=0基本上取决于α是否为零。相应的绝对t值1.90太小，无法保证得出这样的结论。8结论本文提出了一种新的近似更强大的中介检验，该检验基于两个普通的t统计量，易于使用。在许多不同领域，调解问题在经验上极其重要。从理论上讲，我们解决了一个有趣的统计问题，这个问题产生的结果可以追溯到克雷格（Craig，1936），至今仍在继续，其原因是Wald统计量表现不佳，构造了类似的测试，以及假设存在奇异性。

一个主要的理论贡献是推导了一个在所考虑的一般类中唯一的精确相似性检验（具有拓扑简单连接且具有弱单调c`adl`ag边界的CR）。然而，这个精确的测试具有不吸引人的统计特性，这导致我们考虑一类几乎相似的测试，并在其中选择一个有吸引力的测试。通过放松严格的相似性条件，我们能够构建一个近似相似的测试，该测试具有更高的能力，避免了精确相似测试的令人不快的特性，甚至会取悦帕尔曼和吴（1999）的统计知识渊博的皇帝。新的测试也可以在较弱的条件和其他估计方法下进行渐近调整。新测试是使用我们提出的一种新的通用方法构建的，用于构建大致相似的测试。这种可变g方法考虑了一个灵活的临界区域边界，并在零假设边界上的多个点上最小化了与拒绝概率α级的差异。在概念上和实践上，这是非常简单和直接的实现。与其他方法一样，它不需要选择混合分布，也不需要构造最不利的分布。在数值上，它在收敛性方面也很有吸引力，并且避免了模拟的需要。明确给出了适用于调解案件和高维扩展的适当分布理论。我们所有的计算都是使用最大不变量的分布进行数值积分的。新方法适用于许多其他具有干扰参数的测试问题。但其中涉及的是通过间接影响的替代置信区间进行的。参见例如MacKinnon等人（2004年）和传教士与海斯（2008年）。引导程序无效。

我们进行的模拟显示，当n=100时，基于一般首选BCa置信区间的中介引导测试的大小可以为8%，而当n较小时，其大小可以更大。值得注意的是，这种简单的方法效果非常好，可以带来实质性的改进。即使是调解假设的最简单线性插值实现，在调解效果很小的情况下，也会将功率增加近5%。我们已经计算了中介测试问题的功率包络上限，这个上限非常紧。利用这个结果，我们能够构建一个在类似测试中最优的测试。它将其功率表面和功率包络线之间的总差异降至最低。这会导致所考虑的所有替代参数点的点差异小于0.0062。这意味着，即使考虑了更一般的可能测试结构，测试实际上也是最佳的。非相似测试的功率包络线表明，由于相似性要求而导致的功率损耗最小，因为最大功率损耗小于2%（当最大功率约为40%时）。最佳g检验满足尺寸条件。临界区严格大于LR和Wald临界区，因此严格且一致地更强大。因此，经典测试是不可接受的，它们的自举变体是无效的。对于标准化系数的较大值，功率差异变得可以忽略不计，但当调解效应较小或标准误差相对较大时，功率可能比这些经典的5%水平测试高出5%。这对实证工作有重要的影响。

它使研究人员能够在之前由于标准测试的极端保守性而无法显示调解的情况下更早地证明调解效果。附录A理论。1初等关系式y=（y，···，yn），m=（m，··，mn），x=（x，··，xn）是偏离其平均值的可观测向量，使得¨y=0，¨m=0，¨x=0和扰动向量su=（u，··，un），v=（v，·，vn）。然后，该模型为：yi=τxi+θmi+ui，（12）mi=θxi+vi，（13）以及等式（12）的限制版本，其中θ=0等于：yi=τ*xi+wi。（14） 索赔^τ*= ^τ+^θ^θ来自一个标准练习，用于关联受限和非受限OLS估计量：bτ*= （二十）-1xy=（xx）-1xx^τ+m^θ+u= ^τ+（xx）-1xm^θ+（xx）-1x^u和^θ=（xx）-1xm是方程（13）中的OLS估计量，x^u=0，因为^u是方程（12）中的theOLS残差，与x正交*- τ=θθ之后替换（12）中的（13）：yi=τxi+θmi+ui=（τ+θθ）xi+（θvi+ui）=τ*xi+wi。由此得出H：θ=0<=> H：τ*= τ.A.2可能性给定x的（y，m）节理密度为f（y，m | x）=f（y | m，x）f（m，x），根据模型：yi | mi，xi~ N（τxi+θmi，σ），mi |xi~ N（θxi，σ）。因此，对数似然：`=`（τ，θ，σ，θ，σ）=logf（y | m，x；τ，θ，σ）+logf（m | x；θ，σ），对于n个独立观测值，等式（5）可以写成：`∝ -2σyy+τσyx+θσym-τθσ-θσxm-θσ+σ嗯+-τ2σ-θ2σxx-nlog（σ）=ηr- κ（η，xx），带：η=-2σ,τσ,θσ, -τθσ-θσ, -θσ+σ,r=（yy，yx，ym，xm，mm）和κη和xx的某些函数是固定的。由于dim（η）=dim（r），该模型是遵循库普曼-费舍尔-达莫伊斯定理（见Van Garderen（1997））的五维全指数模型，而r是一个完全有效的统计量。

分数s（τ，θ，σ，θ，σ）=s=（s，s）类似于两个独立回归模型的分数，因为（τ，θ，σ）仅出现在第一个方程中，（θ，σ）仅出现在第二个方程中。所以：s=（y）-τx-θm）xσ（y）-τx-θm）mσ（y）-τx-θm）（y）-τx-θm）2σ-n2σ（m）-θx）xσ（m）-θx（m）-θx）2σ-n2σ最大似然估计（MLE）分别等于这两个方程的最大似然估计：^τ^θ=（x:m）（x:m）-1（x:m）y；bσ=nyMXy；^θ=（xx）-1xm；bσ=nmMxm，其中MA=I-A（AA）-1和X=[X:m]是一个n×2矩阵。极大似然估计是最小有效和完全的，因为它是r的双射变换，r是最小有效和完全的统计量。A.3经典测试瓦尔德测试。在H下：θ=r（θ，θ）=0。然后R（θ，θ）=r（θ，θ）（θ，θ）=（θ，θ）且在（无限制）MLE下的估值等于R^θ,^θ=^θ,^θ. 因此，沃尔德检验变成：W=θθ^θ^θσ^θ0 σ^θ^θ^θ-1^θ^θ=^θ^θ^θσ^θ+^θσ^θ·σ^θσ^θ-1.σ^θσ^θ-1=t t+t索贝尔测试等于√W通常表示为第二行第一项的平方根：θθθθrθθσθθ+θσθθ。LR测试。

对数似然的最大值可以按照第一个和第二个方程的通常方式，用剩余平方和表示，分别为：`^τ ,^θ, ^σ,^θ, ^σ∝ -2^σnXi=1易- ^τxi-^θmi-nlog（σ）+-2^σnXi=1惯性矩-^θxi-nlog（σ）=-N-nlog（RSS/n）-N-nlog（RSS/n）。当θ=0，]RSSwhenθ=0时，用[RSSwhen]表示平方的受限剩余和；当θ=0时，用：`θ=0表示受限最大对数似然^τ ,^θ, ^σ, 0, ~σ∝ -N-nlog（RSS/n）-N-nlog]RSS/n,`θ=0~τ , 0, ~σ,^θ, ^σ∝ -N-nlog]RSS/n-N-nlog（RSS/n）。对五个参数的完整模型进行LR测试，与单一限制θ=0的模型进行对比：LRθ=0=2-nlog（RSS/n）+nlog]RSS/n= n日志1+nT因为]RSS=^θm（mMxm）-1m^θ+RSSandT=^θm（mMxm）-1m^θ/^σ=]RSS- RSS/ （RSS/n）。类似地，θ=0的LR测试等于：LRθ=0=n log1+nT.H:θ=0和/或θ=0的似然比检验在备选方案（两种情况下相同）和空值下使用最大对数似然度，这意味着在LRθ=0和LRθ=0上最小化，因此：LR=min{LRθ=0，LRθ=0}，这相当于拒绝：min的大值T、 T或者min{T |，|T |}。附录B不变性当测试无中介假设H：θ=0时，参数τ、σ、σ相异参数及其值对空值是否为真没有影响。Hillier等人（2021年）表明，对于一组适当的变换，T是最大不变的，这使得测试问题保持不变，并为限制对两个T统计量的关注提供了适当的定位。这些精确的不变性结果为限制对任何样本大小的两个t-统计量的关注提供了有力的证明，无论是确定的还是渐近的，因为将问题限制在标度变化且不依赖于τ的过程是很自然的。测试问题具有进一步的不变性。

这个问题是不变的，即改变符号（反射）或排列它们。这将导致样本和参数空间仅为RK的一部分。证据（定理1）n | T |（1）|T |（K）ois显然对绝对值和后续排序导致的符号和排列的变化保持不变。这是一个极大值变量，因为任意两个T和| T都是n | T |（1）|T |（K）o=n |T |（1）|如果T是T的一个置换，且有许多符号变化，则| T |（K）局部成立。因此将存在一个变换g=g·g∈ G×Gs。t、 ~t=g·t。同一个参数适用于|u|（1）|u|（K）osice参数空间上的变换组与样本空间上的变换组相同。n | T |（1）|T |（K）仅在n |u|（1）|u|（K）ois是极大不变量的一个性质。引理1给出了一个显式表达式，进一步证明了分布在G×G证明下是不变的。（引理1）正态变量TKw的绝对值，其平均值为uk，方差为1，遵循一个自由度的非中心Chi分布。K分布χ|t |（k），|u|（k）他们是独立的。结果是直接应用沃恩和维纳尔斯（1972年，公式6）。附录C定理2的证明该证明利用了问题的对称性和正态分布的完备性。因此，我们考虑的是R中T的样本空间，而不是最大不变量的样本空间。证据是有建设性的。它展示了当1/α为整数时，如何构造具有b1/αc步的单调弱增函数g（·）。如果1/α不是整数，那么它不能满足最后一步等于渐近值limt的条件→∞g（t），这是正常的临界值，通过→ ∞. 有两个简单的解决方案。

首先，如果g（t）=0，那么CRg=Rand测试总是拒绝，导致所有参数值的NRP为100%。另一个解决方案是g（t）=t，这样ARg=Rand测试将永远不会拒绝，且所有u的NRP为0%。证据问题的对称性意味着边界函数g(-t） =g（t）=g（|t |）和g（t）≤ t、 所以我们只定义了t的g（t）≥ 0和g（0）=0。假设边界函数g（t）是弱单调递增的，但可以是阶跃函数。如果g（t）是astep函数，那么它没有普通逆，但我们可以将其广义逆定义为：g-1（t）=inf{x | g（x）>t}（参见分位数函数，例如Van der Vaart（2000年，第304页））。g的定义-选择具有严格不等式的1（t），使得相似性的必要条件成立。1.对于任何有限常数cvwe havelimu→∞P[|T |>cv |u]=1，拒收仅取决于Tu→ ∞. 因此P[|T |>c∞] = 2P[T>c∞] =2(1 -Φ（c）∞)) = α、 例如：c∞= Φ-1.1.-α.g的单调性意味着g（t）≤ 极限→∞g（t）=Φ-1.1.-α我们遵循惯例-1（t）=+∞ 如果没有≥ Φ-1.1.-α.2.作为u函数的零拒绝概率等于：NRPα（u）=2Z+∞-∞φ（t）- u）“Zg-1（t）g（t）φ（t）dt#dt=2Z+∞-∞φ（t）- u)ΦG-1（t）- Φ（g（t））dt。3.相似性要求NRPα（u）=αu ∈ R.因此α=2Z+∞-∞φ（t）- u)ΦG-1（t）- Φ（g（t））dt=>0=Z+∞-∞φ（t）- u）hΦG-1（t）- Φ（g（t））-αidt=Z+∞-∞φ（t）- u）F（t）dt，其中F（t）=ΦG-1（t）- Φ（g（t））-α. (15)4. 均值为u的正态分布的完整性意味着条件F（t）=0。（16） 我们将证明这导致了一个步进函数，并且证明迭代地确定了步进点和步长，如图3.5所示。从t=0开始，定义为g（0）=0，但对于广义逆g-1（0）有两种可能性：（a）g-1（0）=0=g（0）。

对于t=0，条件（16）意味着：F（0）=Φ（g-1(0)) -Φ（g（0））-α= Φ (0) - Φ (0) -α= -只有当α=0时，α=0才成立。在这种情况下，f（t）=Φ（g-1（t））- Φ（g（t））=0只能在g-1（t）=g（t）=t，测试从不拒绝。（b） g-1（0）=c>0。在这种情况下。G-1（t）=inf{x | g（x）>t}和g-1（0）=inf{x | g（x）>0}意味着g（t）=0，0≤ t<cand g（c）>0。二、g（t）=0 0≤ t<cand F（0）表示g-1（t）=c 0≤ t<c.iii.g-1（t）=c 0≤ t<c和g-1（t）=inf{x | g（x）>t}依次求出（c）≥ c、 但是g（t）≤ 索伊夫。g（c）=c.v.c=Φ-1.+α因为F（0）=Φ（c）-Φ (0)-α=0意味着Φ（g-1（t））=+α，结果是Φ6的逆的唯一性。这个论点现在可以重复。（a） 在Φ（g）中-1（c））- Φ（g（c））-α=0意味着Φ（g-1（c））=+α+α和g-1（c）=Φ-1.+2α= c、 如第五章。b、 i）g（t）=cC≤ t<c=> ii）g-1（t）=c C≤ t<c=> iii）g（c）=cand g-1（c2）=Φ-1.+3α= c、 （b）在这个参数重复J次之后，我们得到一个阶跃函数：g（|t |）=cj:cj-1.≤ t<cj，j=1。。，Jc=0，cj=Φ-1.+ jα7.只有当1/α是整数时，才存在完全相似的检验。（a） 如果R是α=1/R的整数，则cR=Φ-1.+Rα= Φ-1(1) = +∞和cR-1= Φ-1.+（R）-1) α= Φ-1.1.-α= 极限→∞g（t）。结果步函数g（t）的构造使得F（t）=0表示所有t∈ R.NRPequals 2R+∞-∞φ（t）- u）[Φ（g）-1（t））-Φ（g（t））]dt=所有u的α。因此，如果1/α是一个整数，则存在一个完全相似的检验。（b） 如果1/α不是整数，则定义R=b1/αc（整函数或浮函数）R∈ Nand 0<r<1表示余数，使α=1/（r+r）。因此Rα<1。经过步骤5中的论证，给出Φ-1.+Rα= Φ-1.+（R+R）-r） α=Φ-1.1.-rα> Φ-1.1.-α. 同样地，R-1：Φ-1.+（R）-1) α=Φ-1.1.-α-rα< Φ-1.1.-α. 因此，阶跃函数g（·）没有极限→∞g（t）=Φ-1.1.-α这是NRP等于α为u的要求→ ∞.

进一步注意，R迭代之后的下一步是1 +(1-r） α> 1所以我们不能申请-1获取下一个边界点。因此，如果1/α不是整数，则不存在类似的g检验。附录D算法最优g检验的构造分为两步。第一步是通用变量g方法的基本实现。这会产生一个近似的测试，其偏差小于0。从5%提高到01%。我们用这个 作为确定功率包络上限的起始值。第二步是利用这个上界推导出一个最佳g-测试，该测试使功率面和功率包络之间的距离最小化，以ΓMα为单位进行测试，. 变量g方法的实现。基本g函数算法1。将g（·）非参数定义为由J+2节定义的线性样条曲线t（j），g（j）J+1j=0，即通过点t（J）网格上的J+2值g（J）。第一个和最后一个结分别固定在（0,0）和（2.5,z0.025），因此需要选择J结。选择其中一个节点t=z0。025使LR边界可以构造为初始化函数。对于不在网格上的点t，g（t）通过线性插值获得，g（t）=z0。025≈ t>2.5.2时为1.96。标准函数Q（g）是5%的累积NRP偏差，由点SNu（ι）oΥι=1（Υ>J）和u（1）=0:Q（g）=ΥXι=1的网格上的二次损失函数测量NRPgu(ι)- 0.05,s、 t.NRPgu(ι)≤ 0.05，NRPG（u）=P[T∈ CRg |u=0，u=u≥ 0]3. 通过改变g（·）最小化Q（g）：（a）用结{（0,0），（1.96,1.96），（2.5,1.96）}初始化g（·），这是对应于LR边界的J=1函数。

优化Q（g）时，第一个和最后一个结是固定的，中间的结是变化的。（b） 对于给定的g（·），通过数值积分计算零下的Υ非中心参数点{（0，u（ι））}Υι=1的网格的NRP，其中Υ≥ J并计算Q（g）。（c） 通过改变J结来改变g（·），并最小化标准函数Q（g），服从：i.0≤ g（j+1）- g（j）<δ：单调性和有限增量ii。g（t）≤ t：逻辑限制，因为最大不变量是绝对阶统计量和|t |（1）≤ |T |（2）iii.g（J+1）=z0。025：维度一致性要求简化为一维解（见第6节）（d）增加节点数J并迭代直至收敛。评论1。我们设定g（t）=z0。025对于t>2.5，因为对于足够大的| t |，基本上知道θ6=0，拒绝仅取决于θ=0是否被拒绝。基于正态分布的| T |对应的5%临界值通常为z0。025≈ 1.96 as | T|→ ∞.2.对于J small，通过改变节数，将偏差从5%减少到5%有很大的好处t（j），g（j）Jj=1，并通过增加J，见图5.3。用于检查相似性的u（ι）点的数量Υ被选择为Υ=76>J：60个点在0和6之间等距分布，16个点在6和20之间等距分布。这就附加了152个附加条件。步骤3（c）对每个J选项施加了进一步的3J限制，当J=32.4时，施加了大约100个限制。我们实际上使用了一个附加条件0.05- ≤ NRPgu(ι)≤ 0.05并迭代以查找最小值 这就产生了一个可行的解决方案。最优g函数为了找到最优g，我们将g的功率面和点网格上的功率包络之间的差异之和最小化，这取决于大小和-相似的条件。

我们施加单调性gt（i+1）≥ Gt（i）而且，由于绝对顺序统计量的定义|T |（1）≤ |T |（2），我们在逻辑上将g限制为0≤ g（t）≤ t、 最优g函数算法1。将g（·）非参数定义为上述线性样条曲线。2.定义标准函数Q*（g） 作为点M=n的三角形网格上的累积功率差u(γ,κ), u(γ,κ)o1≤γ<κ≤Υ：Q*（g） =ΥXκ=1Xγ≤κπu(γ,κ), u(γ,κ)- PhCRg|u(γ,κ), u(γ,κ)i3。最小化Q*（g） 通过改变g（·）：（a）用等于LR边界或之前确定的基本CG函数的g（·）初始化。（b） 对于给定的g（·）计算Q*（g） 通过数值积分。（c） 通过改变J结来改变g（·），并最小化标准函数Q*（g） ，受制于：i.0.05-  ≤ PhCRg|0, u(ι)我≤ 0.05, ι=1，··，Υ：近似相似性和尺寸限制II。0=g（0）≤ Gt（j）≤ Gt（j+1）≤ t（j+1）：单调性，iii.g（j+1）- g（j）<t（j+1）- t（j）：有限增长和衍生，iv.g（t）≤ t：逻辑限制，因为参数是绝对顺序统计量，v.g（J+1）=z0。025：维度一致性。（d） 增加节数J并迭代直到收敛。基本实现算法通过最小化来求解最优g-边界.一旦 确定后，当前算法类似于解决使用对于不平等的限制和权力最大化。它最大限度地减少了与电源包络线的总差异。功率包络我们计算了两个功率包络：一个用于Γα中近似相似的测试，第二种是非相似测试。计算功率包络线的算法与Chiburis（2009）有关，并在Julia中实现，参见Bezanson等人（2017），使用了Gurobi，这是一个可以处理多方面限制的优化包；参见古罗比优化（2021）。

在0.05下，我们在Υ参数点网格上根据大小和近似相似性限制最大化功率-  ≤ NRPu(ι)≤ 0.05表示ι=1。。。，Υ. 上界的大小是正确的，至少对于所考虑的点是正确的。下限构成了近相似性限制。通过在备选方案下的AGID点（u，u）上重复该最大化，可获得功率包络。对于非相似幂包络，我们可以放弃下限限制0.05- ≤NRPu(ι). 功率只能增加（或保持不变），而两个不同功率包络之间的差异就是功率损失，这有助于坚持相似性。这被证明是低于2%的点，应该强调的是，这夸大了损失，因为没有一个测试达到功率包络线。表示有序绝对非中心性参数Ξ的参数空间=(u, u) ∈ R+×R+| 0≤ u≤ u.我们将使用这个八分之一的有界（三角形）子集定义为=(u, u) ∈ R+×R+| 0≤ u≤ u≤ umax并将其划分为null和alternativeparameter集合Ξ=(u, u) ∈ R+×R+| 0=u≤ u≤ umaxΞ=(u, u) ∈ R+×R+| 0<u≤ u≤ umax分别地类似地定义最大不变/绝对顺序统计量asT的样本空间=（t，t）∈ R+×R+| t≤ T. 非常大的阻力值是有限的，出于计算目的，我们可以将自己限制在样本空间的一个有界三角形子集：T=（t，t）∈ R+×R+| t≤ T≤ tmax.功率包络算法1。将Ξ离散为H:M=n下的Υ点0, u(ι)oΥι=1.2。通过在H:M=n下选择Υ（1+Υ）点的三角形阵列来离散Ξu(γ,κ), u(γ,κ)o1≤γ≤κ≤Υ3. 用1分割成正方形≤ 我≤ J≤ N以至于[1]≤我≤J≤Nsij=T和sij∩ skl= （i，j）6=（k，l）。在Hforι=1的情况下，计算pιij=Ph|T |（1），|T |（2）∈ sij|0, u(ι)∈ Ξi5。

每1个≤ γ, κ ≤ m选择u（γ，κ）=u(γ,κ), u(γ,κ)∈ 蒙德是另一个选择。对于该u：（a）计算pγκij=Ph|T |（1），|T |（2）∈ sij |u（γ，κ）=u(γ,κ), u(γ,κ)如果每个sij∈ T（b）确定最大化powermax{φγκij，1的临界区域≤我≤J≤N} X1≤我≤J≤Npγκijφγκij通过选择指标φγκij=1CR（sij），如果sijis是临界区域的一部分，则等于1；如果sijis是可接受区域的一部分，则等于0，受NRP的近似相似性和大小限制：0.05- ≤X1≤我≤J≤Npιijφuij≤ 0.05表示ι=1。。。，Υ评论。优化器：Gurobi:tmax=11，每个正方形的长度为0.01。|T |的Hencecardinality=285150。对于功率计算，我们使用μm的Ma规则网格∈ {0.2, 0.4, ··· , 4}, u∈ {0.2, 0.4, ··· , u}. 对于尺寸和近似相似性限制，我们使用u∈ {0.0,0.1,7.5}和近似相似性 = 10-5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5、1.35、1.36、1.15、0.15、0.14、0.15、1.15、1.15、1.35、1.36、1.37、1.44、1.37、1.44、1.45、1.45、2.45、2.05、2.45、2.05、2.05、2.05、2.05、2.06、2.06、2.06、2.06、2.07、2.07、2.07、2.07、2、2.08、2.08、2.08、2.08、2.08、2.08、2.09、2.09、2.09、2.09、2、2.09、2.09、2.09、2、2.9、2.9、2.9、2.9、2.1、2.1、2.2 ifelse（tabs>=2.1,1.95996，约（x，y，xout=tabs）$y）}参考Alan，S.，S.Ertac，和I.Mumcu（2018年）。课堂上的性别刻板印象及其对成绩的影响。《经济学与统计学评论》100（5），876–890。Alwin，D.F.和R.M.Hauser（1975年）。路径分析中效应的分解。《美国社会学评论》40，37-47。Andrews，D.W.K.，M.J.Moreira和J.H.Stock（2006年）。工具变量回归的最优双边不变量相似检验。计量经济学74（3），715-752。Andrews，D.W.K.，M.J.Moreira和J.H.Stock（2008）。在弱仪器的iv回归中进行有效的双侧非相似变量检验。《计量经济学杂志》146（2），241-254。安德鲁斯，D.W.K.和W.Ploberger（1994）。

当一个讨厌的参数只出现在备选方案下时的最佳测试。《计量经济学》62（6），1383-1414。Baron，R.M.和D.A.Kenny（1986年）。社会心理学研究中的调节变量区分：概念、策略和统计考虑。《个性和社会心理学杂志》51（6），1173。伯杰，R.L.（1989）。关于线性不等式和正态平均数的假设的一致更强大的测试。《美国统计协会杂志》84（405），192-199。J.贝赞森、A.埃德尔曼、S.卡尔平斯基和V.B.沙阿（2017年）。朱莉娅：一种新的数值计算方法。暹罗评论59（1），65-98。Bollen，K.和R.Stine（1990年）。直接和间接影响：变异性的经典和自举估计。社会学方法论20115-140。博伦，K.A.（1989）。带潜变量的结构方程。约翰·威利父子公司。Chiburis，R.C.（2009）。矩不等式的近似最有力的检验。在关于治疗效果和力矩不平等的论文中，第3章。普林斯顿大学经济学系博士论文。Coletti，A.L.，K.L.镇静剂和K.L.Towry（2005年）。控制系统对协作环境中信任与合作的影响。会计审查80（2），477–500。克雷格，C.C.（1936）。关于xy的频率函数。《数理统计年鉴》7（1），1-15。Drton，M.（2009）。似然比检验和奇异性。《统计年鉴》37（2），979-1012。Drton，M.和H.Xiao（2016）。瓦尔德检验单一假设。伯努利22（1），38-59。杜福尔、J.-M、E.雷诺和V.津德·沃尔什（2017年）。当限制条件是局部单数时，Wald进行测试。技术报告，arxiv。org/abs/1312.0569v1。Elliott，G.，U.K.M–uller和M.W.Watson（2015）。在零假设下，当存在干扰参数时，进行近似最优测试。《计量经济学》83（2），771-811。Frewen，P.A.，V.D。

施密特曼、L.F.布林格曼和D.博斯布姆（2013年）。焦虑、创伤后应激和抑郁之间的因果关系：扩展到适度、调解和网络分析。欧洲精神创伤学杂志4（1），20656。格洛内克，G.F.V.（1993年）。关于两个规则假设的析取的wald统计量的行为。英国皇家统计学会期刊：B辑（方法学）55（3），749-755。Guggenberger，P.，F.Kleibergen和S.Mavroeidis（2019年）。线性工具变量回归中更强大的子向量anderson-rubin检验。数量经济学10（2），487–526。古罗比优化，L.（2021年）。古罗比优化器参考手册。Heckman，J.和R.Pinto（2015a）。haavelmo之后的原因分析。计量经济学理论31（1），115–151。Heckman，J.和R.Pinto（2015b）。计量经济学中介分析：通过未测量和错误测量的投入，从实验估计的生产技术中确定处理效果的来源。计量经济学评论34（1-2），6-31。Hillier，G.H.，K.J.Van Garderen和N.P.A.Van Giersbergen（2021年）。改进了调解测试。美眉。Huber，M.（2020年）。调解分析。劳动、人力资源和人口经济学手册，1-38。Imai，K.，L.Keele和T.Yamamoto（2010）。因果调解效应的识别、推理和敏感性分析。统计科学25（1），51-71。Imai，K.，D.Tingley和T.Yamamoto（2013年）。识别因果机制的实验设计。英国皇家统计学会期刊：A辑（社会统计）176（1），5-51。Imbens，G.W.（2020年）。因果关系的潜在结果和有向无环图方法：与经济学实证实践的相关性。《经济文献杂志》58（4），1129-79。莱曼、E.L.和J.P.罗马诺（2005年）。检验统计假设（第3版）。SpringerScience&商业媒体。麦肯齐，S。

B.R.J.Lutz和G.E.Belch（1986年）。对ADA的态度是广告效果的中介：对相互竞争的解释的检验。市场研究杂志23（2），130-143。MacKinnon，D.P.，C.M.Lockwood，J.M.Ho Off-man，S.G.West和V.Sheets（2002年）。比较测试调解和其他干预变量影响的方法。心理学方法7（1），83。MacKinnon，D.P.，C.M.Lockwood和J.Williams（2004年）。间接影响的置信限值：产品分布和重采样方法。多变量行为研究39（1），99–128。McDonald，J.A.和D.A.Clelland（1984年）。纺织工人和工会情绪。社会力量63（2），502-521。Moreira，M.J.和R.Mourao（2016年）。一种临界值函数方法，应用于持久性时间序列。arXiv预印本arXiv:1606.03496。Perlman，M.D.和L.Wu（1999）。皇帝的新考验。统计科学14（4），355-369。布道尔，K.J.和A.F.海斯（2008）。评估和比较多重中介模型中间接影响的渐进和重采样策略。行为研究方法40（3），879-891。索贝尔，M.E.（1982）。结构方程模型中间接影响的渐近置信区间。社会学方法论13290–312。范德法特，A.W.（2000）。渐近统计，第3卷。剑桥大学出版社。Van Garderen，K.J.（1997）。计量经济学中的曲线指数模型。计量经济学理论13（6），771-790。范加德伦，K.J.和N.P.A.范吉尔斯伯格（2021年）。引导中介测试。美眉。Van Giersbergen，N.P.A.（2014）。关于间接影响的推断：似然法。阿姆斯特丹大学技术报告，UvA计量经济学讨论文件2014/10。沃恩，R.J.和W.N.维纳布尔斯（1972年）。顺序统计密度的永久表达式。

英国皇家统计学会期刊：B辑（方法学）34（2），308-310。