21世纪最佳退休时间：参考

2022-4-28 17:42:03

导言和执行摘要随着决策者、学者和广大公众越来越关注老龄化社会的成本，我们认为有必要回顾过去，研究在社会保险、固定收益（DB）养老金和年金公司之前一段时期用于为退休提供资金的资本市场工具。事实上，在17世纪后半叶和之后的近两个世纪里，发达国家最流行的退休投资之一不是股票、债券或共同基金——尽管它们是可用的。事实上，在生命周期的最后几年，许多个人使用的创造收入的首选方法是由政府赞助的所谓tontine计划。tontine——最近刚刚庆祝了它的360岁生日——一部分是年金，一部分是彩票，一部分是对冲基金。随着tontinepool的其他成员去世，他们的钱被分配给了幸存者，他们一生的收入也随之增加。基本的、原始的tontine计划与它的公众形象截然不同，它是百岁老人的首选，最长寿的幸存者赢得了池中所有的钱。事实上，托宁年金——有时也被称为托宁年金——更微妙、更优雅。想象一个由1000名即将退休的人组成的团体，他们团结起来，每人1000美元，购买一张支付3%息票的百万美元美国国债。该债券每年产生30000美元的利息，由池中的1000名参与者分摊，每1000名成员可获得30000美元=30美元的保证股息。托管人持有大额债券——不承担风险，也不需要资本——并收取少量费用来管理年度股息。因此，这种结构是所有债券基金的基础。没什么新鲜事。

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2022-4-28 17:42:06

但是，在一个tontine计划中，成员们同意，如果他们死了，他们保证的30美元股息将被分配给那些碰巧还活着的人。例如，如果十年后只有800名原始投资者活着，那么3万美元的Couponi将被分成800名，每个人的股息为37.50美元。其中30美元是保证股息，7.50美元是其他人的钱，那么，如果20年后只有100人幸存，那么幸存者的年现金流是300美元，这是30美元的保证股息加上280美元。当唯一的来源：威尔（1989）、波特巴（2005）和麦基弗（2009）最优退休TONTINES 330仍然存在时，他们每个人都会收到1000美元的股息，请注意，仅在那一年就有100%的收益率。超出30美元保证股息的额外付款是抵押贷款。事实上，根据这一计划，付款预计将以死亡率的速度增加，这是一种超级通货膨胀对冲。当然，托丁年金不同于传统的终身年金。尽管这两种风险都会带来终身收益和共同寿命风险，但机制和投资者的成本是相当不同的。年金承诺了可预测的终身保证支付，但这是一种成本——以及监管机构强加的资本要求——不可避免地进入年金市场。事实上，精算师对长期年金受益人的可能寿命做出了非常保守的假设，然后在接下来的五年里担心他们是否做对了。相比之下，托汀托管人将变量X（收到的债券券）除以变量Y（活着的参与者）并发出支票。

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kedemingshi

2022-4-28 17:42:09

它管理起来更干净，省钱，而且——以其传统形式——会导致加班支付流的增加（当然，假设你还活着）。在本文中，我们提出的论点是，当个人进入退休年龄时，适当设计的tontines应该出现在可供个人使用的产品目录上。1.1. 历史与未来。洛伦佐·托蒂是一位多才多艺的意大利银行家，他在1650年发起并推动了与他同名的计划。他将其描述为一种由老年恐惧和经济贪婪共同驱动的贫困和保险的混合体。它们最初是在荷兰生产的，后来在法国非常成功。几十年后，1693年，英格兰奥兰治国王威廉主持了第一届政府发行的tontine。他们的目标是筹集100万英镑，帮助他为对法战争提供资金。对于最低100英镑的支付，参与者可以选择（a）投资tontine计划，在1700年之前支付10英镑的保证股息，然后在1700年之后支付7英镑，或者（b）终身支付14英镑的终身年金，但没有生存者福利。这种选择——在两种可能的退休融资方式之间——非常吸引人，也是本文的智力动力。一千多名英国人（但很少有女性）决定投资tontine。所涉及的问题并非微不足道。如今，100英镑的入场费至少值10万美元。所以，这不是冲动购买彩票。相反，一些投资者选择tontine是因为他们想要这种偏斜——如果他们幸存下来，可能会有非常大的回报——而其他人则想要更可预测的年金收入选项。KingIn最年长的幸存者位于tontine和年金之间的是参与年金，它使用长期平滑方案在一个池中分担一些长寿风险。

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2022-4-28 17:42:12

不幸的是，确定平滑机制的实际公式一点也不平滑，也没有什么经济学基础。尽管如此，Piggott、Valdez和Detzel（2005）提出的自我年金计划（GSA）在学术界越来越受欢迎。资料来源：Jennings and Trout（1982）资料来源：Lewin（2003）4 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYWilliam 1693岁的tontine活到了100岁，在最后一年赚了1000英镑——毫无疑问，她的家人会照顾她。稍后将详细介绍这一有趣的插曲。有些人可能会把这整个过程视为纯粹的历史和知识好奇心。毕竟，tontines在美国（实际上）是非法的，而且肯定有一种令人讨厌的污点。然而，我们相信，从这段金融历史中，我们可以学到一些关于21世纪退休收入产品设计的深刻而微妙的教训。事实上，对于许多优秀的退休人员和社会来说，在共同承担长寿风险和保证支付的终身年金之间做出选择是一种委婉的说法。再一次，我们的主要实践点是：（i）tontines和终身年金在过去是共存的，所以将来可能会共存；（ii）确实没有理由构建tontine支付函数，以使最后一个幸存者获得其初始投资的数百倍；和（iii）一个适当构造的托丁可以产生终身效用，与终身年金的效用相当。1.2. 论文大纲。本文的其余部分组织如下。

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2022-4-28 17:42:15

下一节（2）详细描述了1693年的第一个英国tontine，这是研究tontine和终身年金之间现实生活选择的最早机会之一。第（3）节是本文的理论核心，推导了最优年金结构的性质，并将其与终身年金进行了比较。第（4）节使用并应用了第（3）节的结果，并阐述了21世纪tontines的建造方式。第（5）节我们简要地调查了本文早期章节中未直接引用的现有文献。最后，第（6）节总结了本文，第（7）节是一个附录，包含了所有非必要的证明和推导。1692年11月4日，在威廉国王和皇后陛下统治的第四年，英国议会通过了所谓的《百万法案》，这是一次相当绝望的尝试，目的是筹集一百万英镑用于对法战争。《百万法案》规定，任何英国本土或外国人——有人可能会认为法国公民除外——都可以在1693年5月1日之前以100英镑的价格从财政部购买tontine股票，从而进入英国ZF的第一个tontine计划。投资者只需支付100英镑，就可以选择任何年龄段的任何提名人——包括投资者本人——而托丁的生命将取决于他们。只要被提名人还活着，股息就会分配给投资者。现在，从最低100英镑投资的角度来看，17世纪后半叶英国建筑工人的平均年工资约为16英镑和几先令。人力资源：芬莱森（1829）最佳退休时间为5年。

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2022-4-28 17:42:19

因此，tontine pool的入门投资远远超过了平均工业工资，仅年度股息就可以作为普通劳动者的体面养老金。因此，有理由认为1693年的tontine是富人的投资，甚至可能是第一个独家对冲基金之一。与1653年奥伦佐·德托蒂设想的原始托丁方案相比，这是一个更简单的结构，该方案涉及多个班级和不同的部门。在1693年的英国tontine中，每股100英镑将使投资者有权获得10英镑的年度股息，为期七年（直到1700年6月），之后股息将减至每股7英镑。10%和7%的托丁股息率超过了17世纪末英国的现行（无风险）利率，后者的上限通常为6%。请注意利息支付的下降结构，这是我们即将讨论的最佳托丁支付函数的预览。有趣的是，在这个逐字逐句地复制了百万个动作的王国的法令中，没有任何地方真正提到“tontine”一词，也没有提到Lorenzo de Tonti。相反，该法案是无害的：因此，在每一位被提名人去世后，在该被提名人的生命周期内应付的股息份额应在其他出资人中平均分配。尽管君主的计划是用这笔钱来资助一场昂贵的战争，但萨默卡特还对啤酒、麦芽酒和其他烈性酒征收了一项新的消费税，为期99年。价格包括每桶啤酒9便士，每加仑兰迪6便士，每大桶苹果酒3便士。目的是利用这一税收来掩盖托丁计划的红利。

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2022-4-28 17:42:22

这是证券化的一个非常早期的例子，即用未来的税收来借款。为了进一步吸引投资者参与tontine计划，该法案还包括一项独特的甜味剂或奖金条款。它还指出，如果到1693年5月，整个100万英镑的目标没有得到认购——从而减少了最终幸存者的彩票支付规模——在六个月的认购期（从1692年11月开始）内注册tontine的投资者将有权选择将其100英镑的tontine股份转换为每年支付14英镑的终身年金。在这种替代方案下，14%的股息支付是按照传统的终身年金进行的，没有团体生存福利或托尼特特征。想一想单一保费终身年金。这个转换选项非常有趣，值得进一步分析。目前尚不清楚为何在《百万富翁法案》中增加了这一额外选项。也许tontine的管理者——以及潜在投资者表达的不情愿——担心的是，否则很少有人会认购。事实上，吸引投机者加入aSource的部分原因是：Lewin（2003）来源：荷马和塞拉（2005）英国历史在线，这是一项授予国王陛下啤酒、麦芽酒和其他烈性酒一定税率和消费税的法案，William and Mary 1692。www.british-history。ac.uk6 M.A.米列夫斯基和T.S.SALISBURYtontine是最后一位幸存者累积的巨大潜在支出。一个是需要更多的参与者才能获得更大的头奖，但除非头奖足够大，否则参与者不太可能加入。因此，如果投资者对订户数量感到失望，可能会增加转换选项，从而为他们提供一个可能的退出策略。

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2022-4-28 17:42:26

自然地，投资者不能只是从tontine池中套现，一旦资金投入使用，就带着原始资金离开。遗憾的是，到1963年5月初筹集的资金远远低于百万英镑的目标。根据保存在大英图书馆档案中的财政部保存的记录，在1692年11月至1693年5月期间，总共只有37.7万英镑被认购，约有3750人被提名为tontine。这就触发了将tontine换成14%终身年金的选择，因为显然，100万英镑的目标没有实现。有趣的是，似乎总共有1013名被提名人（代表1081股tontine股票）仍保持原来的10%/7%tontine，而其他三分之一的人选择将他们的tontine股票转换为14%的终身年金，取决于同一名被提名人。下表1和表2汇总了留在tontine的被提名人数量以及他们购买的股份数量。表1和表2事实上，政府在1693年6月通过了另一项法案，使14%的人寿年金可供任何绝望地试图达到其资金目标的人使用。他们仍然拿不到一百万英镑。请记住，当时的利率是6%，对于托丁或年金，提名人的年龄绝对没有限制。乍一看，令人费解的是，为什么有人会留在tontine泳池，而不是选择终身年金。按现值计算，7年内10英镑的现金流和7年后7英镑的现金流的价值远低于14英镑的终身现金流。正如我们将在后面描述的那样，10%/7%组合在6%的官方利率下的实际现值在（典型的被提名人）10岁时约为133英镑，而终身年金的价值约为185英镑。

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2022-4-28 17:42:29

记住，最初的投资是100英镑。毫不奇怪，英国政府在这14%的年金上真的出现了亏损。而且，他们向任何人提供这些术语，无论他们有多年轻。为什么有人留在tontine泳池？不仅仅是21世纪的财务逻辑决定了14%的终身年金是一个好（更好）的交易。事实上，正是天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）在1693年1月出版的《皇家学会哲学学报》（the Physical Transactions of the Royal Society）中发表了自己的观点，就在《百万法案》通过几个月后。他写道：来源：霍华德（Howard）（1694）注意到，一名被提名人可以拥有100英镑的多股股票，这取决于他们的寿命。资料来源：Finlaison（1829）OPTIMAL RETIREMENT TONTINES 7这显示了将资金投入目前授予王室陛下的基金的巨大优势，每年以7年购买率支付14%的利息，而[甚至]年轻人以年利率[6%]生活，价值超过13年购买。“购买年数”是一个早期的精算术语，指的是一个人收回全部资金之前的年数。这是另一种报价方式。例如，如果你终身每年收到5英镑，你需要20年才能收回100英镑（忽略利息），因此这将被称为20年购买。那么，一个主要的研究问题是：为什么整整三分之一的订户决定保留tontine基金，而三分之二的订户选择终身年金？很难说剩下的托汀投资者是非理性的、无知的，或者可能选择了彩票，而人寿年金投资者则选择了更好的财务条件。毕竟，这100英镑在1693年是一笔非常大的金额。

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2022-4-28 17:42:33

关于死亡率和/或风险厌恶的不同观点能否解释为什么一些投资者改变了投资方向，而另一些则没有？有人能为这个看似不合理的选择提供合理的解释吗？我们引入的框架（3）可能有助于阐明这一决定，或者至少使选择合理化。请注意，尽管为了管理tontine游泳池，必须保存非常仔细的记录，但今天我们只能访问（i.）参与1693 tontine游泳池的每个人的名单，以及他们被提名人的年龄（ii）他们的身份是1730年，以及（iii）他们的身份是1749年。这是我们掌握的三个主要文件。正如引言中提到的，1693年tontine家族中寿命最长的被提名人——在首次提名时只有10岁——活到了100岁，在1783年又活了90年。她是一位在温布尔登度过大四的女性，在她生命的最后一年获得了1081英镑的股息。虽然在七名幸存者留在tontine池后，她的支付就被封顶，但她的最终支付是最初投资100英镑的n倍。记住，这只值一年的红利！请注意，如果她在1693年改用终身年金——很可能是她的父亲做出了决定并提名了她，因为她当时只有10岁——然后活到1783年，她的红利将只有14英镑。图1和图2从1692年11月宣布百万法案tontine计划到1693年5月底和6月初最终名单关闭的六个月期间非常繁忙和有趣。

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2022-4-28 17:42:36

总部位于伦敦的tontine公司的发起人——可能是出于某种佣金的考虑——在1692年末发布了一份表格，声称该表格显示了未来100年的预期幸存者数量和相应的高股息支付率。这些最初的预测可能被认为没有吸引力，因为来源：Finlaison（1829）。8 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury的认购率远远低于10000目标。几个月后，在1693年初，发起人发布了一份随访表，显示该群体的死亡率更低，幸存者的预期股息支付率也相应更高。图1和图2以图形方式显示了这两组表格，以及留在tontine的1013名提名者的实际经验。请注意，实际存活率远远超过了最初的预测，这可能是基于人口道德。更健康（反选择）的提名群体。还有人猜测，埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）参与了投资预测基础上的致命资产的创建，他于1693年3月向英国皇家学会（Royal Society）提交了第一个已知的生命表和年金定价模型。事实上，托丁的参与者反复提到埃德蒙·哈雷和他的生命表，他们随后抱怨死亡率低，甚至指控欺诈。但是，除了巧合之外，没有证据表明哈雷参与了tontine计划或其推广。表3显示了1693年夏天名单关闭时被提名人的年龄分布。回想一下，这是1013名提名者，他们没有切换到支付14%的年薪。他们在tontine pool工作了七年，收入为10%，之后为7%。

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2022-4-28 17:42:40

请注意1693年的年龄分布，以及这么多被提名者都在20岁、30岁、40岁甚至50多岁的事实。表3还显示了该群体在1730年和1749年的生存状态，这是仅有的两个可以获得详细文件和被提名人名单的日期。在下一节中，我们将介绍一种经济理论，以描述和理解谁可以选择参加托丁，谁可以选择终身年金，以及托丁的财产可能产生最高的终身效用。为了先发制人地预测结果，我们将证明，尽管终身年金在终身效用方面明显主导了托汀，但托汀支付结构的下降实际上是最优的。此外，如果投资者认为他们的被提名人比其他人健康得多，那么他们可能会更喜欢托丁而不是年金。3.Tontine vs.年金：经济理论我们假设一个客观的生存函数Tpx，对于一个x岁的人来说，它能生存t年。主观与客观生存率的影响将在后面讨论。我们假设tontine持续付款，而不是每季度或每月付款，尽管这并没有真正改变经济状况。基本年金包括年金受益人（他们也是被提名人）每人最初向保险公司支付1美元，并获得回报来源：Lewin（2003）来源：Walford（1871）来源：Leeson（1968）最佳退休TONTINES 9 c（t）dt终身收入流。年金的限制在于其定价合理，换句话说，由于拥有足够大的客户群，以无风险利率投资的初始付款将为所要求的永久付款提供资金。稍后我们将讨论保险负荷的含义。

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2022-4-28 17:42:43

无论哪种方式，年金支付函数c（t）都有一个约束，即（1）Z∞E-rttpxc（t）dt=1。虽然c（t）是每个幸存者的赔付率，但每个初始投入美元的赔付率是PxC（t）。稍后我们将回到这个话题。让u（c）表示消费的瞬时效用（又称幸福函数），没有遗赠动机的个人年金受益人（终身ζ）将选择终身年金支付函数，其中c（t）最大化贴现终身效用：（2）E[ZζE-rtu（c（t））dt]=Z∞E-rttpxu（c（t））其中，DTR（也是）主观贴现率（SDR），均受约束（1）。根据欧拉-拉格朗日定理，这意味着常数λ的存在，使得（3）e-rttpxu（c（t））=λe-换句话说，u（c（t））=λ是常数，因此如果效用函数u（c）是严格共存的，最优年金支付函数c（t）也是常数。这个常数现在由（1）决定，如下所示：定理4。优化的终身年金具有常数c（t）≡ c、式中c=hZ∞E-rttpxdti-1.这一结果可以追溯到Yaari（1965年），他表明最佳（退休）消费比例是恒定的，当没有最佳动机时，100%的财富是年化的。有关更多细节和替代证据，请参阅Cannonand Tonks（2008）的优秀著作，特别是第7.3.1章中关于年金需求理论的讨论。最佳Tontine支付。当然，在实践中，支付人寿年金c（t）的保险公司既面临长寿风险，也面临再投资或利率风险，后者是长期的不确定性。前者是我们在这里关注的问题，所以我们将继续假设r是一个给定的常数。

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nandehutu2022

2022-4-28 17:42:46

请注意，即使确定了再投资率，保险公司的支出也可能低于方程式（1）中暗示的c（t），结果来源：Elsgolc（2007）page#51或Gelfand Fomin（2000），page#1510 M.a.MILEVSKY和t.S.SALISBURYof所需资本和准备金，有效地降低了退休人员的终身效用。这将我们带到tontine结构，我们将考虑作为替代方案，在该结构中，每个t的幸存者共享一个预先确定的美元金额。设d（t）为按初始投资美元支付的费率，即tontine支付函数。我们（在本文中）的要点是，tontine支付函数没有理由像历史上那样是初始投资美元的固定百分比（例如4%或7%）。事实上，我们可以提出与上述年金相同的问题：对于认购者来说，什么样的d（t）是最理想的，但前提是tontine的赞助人不能承受损失？请注意，现在自然比较的是d（t）和TPxC（t），其中c（t）是上述最佳年金支付。假设tontine计划最初有n个订户，每个订户向tontine赞助商存入一美元。设N（t）为t时刻实时订阅者的随机数。考虑其中一个订阅者。假设这个人还活着，N（t）- 1.~ 宾（n）-1，tpx）。换句话说，任何时候t的其他（活动）订阅者的数量是用概率参数Tpx二项分布的。正如我们发现的，对于终身年金，这个个体的贴现终身效用isE[Zζe-远程终端nd（t）N（t）dt]=Z∞E-rttpxE[u]nd（t）N（t）| ζ>t]dt=Z∞E-rttpxn-1Xk=0N- 1ktpkx（1-tpx）n-1.-库nd（t）k+1dt。tontine支付函数d（t）的约束条件是，初始存款n应足以永久维持取款。

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2022-4-28 17:42:49

当然，在某个时候，所有的订户都会去世，所以实际上tontine赞助商最终将能够停止付款，留下一笔小小的意外之财。但这一时间并不是预先确定的，所以我们认为这是tontine不可避免的特征。记住，我们不想让赞助者面临任何长寿风险。正是这一池完全承担了这一风险。因此，我们的预算或定价限制为（5）Z∞E-rtd（t）dt=1。因此，例如，如果d（t）=d被迫为常数（历史结构，我们称之为波动tontine），那么tontine支付函数（率）就是d=r，或者如果（5）中的积分上限小于完整性，则略大于d=r。相反，我们寻找的是远离常数的最优d（t）。根据变分法中的欧拉-拉格朗日定理，存在一个常数λ，使得最优d（t）满足（6）e-rttpxn-1Xk=0N- 1ktpkx（1-tpx）n-1.-knk+1und（t）k+1= λe-RTF表示每个t。请注意，该表达式直接将个人效用u（c）与年金联系起来。回想一下，tontine是一种参与或分担所有长寿风险的极端情况。方程式（6）明确规定了规避风险的退休人员将如何权衡消费与长寿风险。换言之，我们并不主张采用某种实际过程来平滑已实现的死亡体验。请注意，实际死亡率危险率uxd没有出现在上述等式中——它只是隐式出现在Htpx和λ中（由（5）确定）。所以，我们将通过重新参数化概率来简化我们的符号：让Du（p）满足（7）pn-1Xk=0N- 1kpk（1）- p） n-1.-knk+1unDu（p）k+1= λ.将p=1代入上述方程，它将收缩为u（Du（1））=λ。定理8。

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2022-4-28 17:42:54

最佳的音调结构是d（t）=Du（tpx），其中选择λ以便（5）保持。在恒定相对风险规避（CRRA）效用的情况下，我们可以简化这一点。Letu（c）=c1-γ/(1 - γ）如果γ6=1，当γ=1时取u（c）=log c。定义（9）θn，γ（p）=EhnN（p）1.-γi=n-1Xk=0N- 1kpk（1）- p） n-1.-Knk+11.-γ，其中N（p）- 1.~ 宾（n）- 1，p）。设置βn，γ（p）=pθn，γ（p）。然后是推论10。在CRRA效用下，最佳tontine的退出率为DOTn，γ（p）=DOTn，γ（1）βn，γ（p）1/γ，其中（11）DOTn，γ（1）=hZ∞E-rtβn，γ（tpx）1/γdti-1.证据。假设γ6=1。然后DOTn，γ（p）的方程变成（12）DOTn，γ（p）-γpθn，γ（p）=λ=DOTn，γ（1）-γ.约束（5）现在意味着（11）。当γ=1时，类似的论点也适用。DOTn，γ（p）/DOTn，γ（1）=βn，γ（p）1/γ不取决于致死风险率ux的特定形式，也不取决于利率r，而只取决于长寿风险规避γ和tontine池的初始认购者数量n。换句话说，死亡率危险率和r仅通过常数DOTn进入DOTn，γ（p）的表达式，γ（1）.12 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury据我们所知，我们是第一个推导最优tontine支付函数性质的人，与文献中众所周知的最优终身年金相比。让我们来比较一下这两者。换句话说，我们比较两种产品的每个初始订户的支付。等价地，我们可以将最优托丁的实际支付与我们所说的自然托丁进行比较，其中支付为d（t）=DN（tpx），其中DN（p）与p成比例，就像每投资一美元的年金支付一样。比较预算约束（1）和（5），我们可以看到DN（p）=pc。我们很快就会看到，对于对数效用（γ=1），自然状态是最优的，当n较大时，自然状态接近最优。

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kedemingshi

2022-4-28 17:42:57

因此，我们认为这是设计tontine产品的合理结构。图7显示了DOTn，γ（p）与DN（p）的比率，Gompertz危险率λ（t）=bex+t-兆字节这可以针对任何特定的危险率进行，但为了得到一个通用的结果，我们再次根据p和比例常数进行参数化。换句话说，我们考虑（13）Rn，γ（p）=DOTn，γ（p）/DOTn，γ（1）DN（p）/DN（1）=p1-γθn，γ（p）1/γ=βn，γ（p）1/γp。这有Rn，γ（1）=1，仅取决于p，γ和n，而不是特定的死亡率模型。根据大数定律，limn→∞Rn，γ（p）=1，对于任何固定的γ和p，我们有以下结果：定理14。对于任何n和0<p<1，Rn，γ（p）是< 1, 0 < γ < 1= 1, γ = 1> 1, 1 < γ.自Rn，γ（p）=βn，γ（p）/pγ1/γ，该定理紧随以下估计，如附录7.1所示。引理15。对于任何n和0<p<1，βn，γ（p）是< pγ，0<γ<1=pγ，γ=1>pγ，1<γ。由于低p对应于高龄，而p=1对应于购买日期，定理14意味着比对数（即γ>1）更厌恶长寿风险的个体更倾向于在高龄时增加自然tontine支出，而不是牺牲初始支出。而寿命风险厌恶程度低于对数（即0<γ<1）的个体则倾向于以牺牲高龄者的利益为代价来增加初始支出。注意，定理的情况γ=1暗示了前面的断言，即当γ=1时，自然音调是最优的，在这种情况下，参数很简单。对于u（c）=log（c），最优的欧拉-拉格朗日方程是d（t）=λ·tpx，这意味着DOTn，1（p）与p成比例。

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何人来此

2022-4-28 17:43:00

因此，DOTn，1（p）=DN（p），因此Rn，1（p）=1代表每一个p。在第（4）节中，我们将提供各种数值示例，说明作为寿命风险规避γ和tontine池初始规模n.3.2的函数的最优tontine支付函数d（t）。最优Tontine效用vs.年金效用。设UOTn，γ表示最佳tontine的效用。为了计算这个，假设γ6=1，观察（16）DOTn，γ（p）1-γ1 - γpθn，γ（p）=DOTn，γ（p）1- γDOTn，γ（p）-γpθn，γ（p）=DOTn，γ（p）1- γDOTn，γ（1）-γ乘以（12）。因此，最佳tontine的效用是精确的Youtn，γ=Z∞E-rtDOTn，γ（tpx）1-γ1 - γtpxθn，γ（tpx）dt=DOTn，γ（1）-γ1 - γZ∞E-rtDOTn，γ（tpx）dt=DOTn，γ（1）-γ1 - γ=1 - γZ∞E-rtβn，γ（tpx）1/γdtγ乘以（5）和（11）。考虑年金提供的效用UAγ，即（17）UAγ=Z∞E-rttpxc1-γ1 - γdt=R∞E-rttpxdt（1- γ)R∞E-rttpxdt1.-γ=1 - γZ∞E-rttpxdtγ.定理18。UOTn，γ<UAγ，对于任何n和γ>0。证据对于γ6=1，这遵循引理15和上面给出的计算。我们在附录中展示了γ=1的情况。3.3. 不同年金负载。提供年金的保险公司将被建模为留出部分初始存款，以支付年金成本。换言之，初始存款的一小部分δ将在最初扣除，用于风险管理、资本储备等。以无风险利率r投资的余额将为年金提供资金。因此，随着载荷的增加，（1）变成∞E-rttpxc（t）dt=1- δ、这意味着C（t）≡ c=（1）- δ） cis是年金的最佳支付结构。有载年金的效用为△γ，δ=Z∞E-rttpxc1-γ1 - γdt=（1）- δ)1-γR∞E-rttpxdt（1- γ)R∞E-rttpxdt1.-γ=c-γ1 - γ(1 - δ)1-对于γ6=1，和log（c）+log（1-δ） cforγ=1。在第4节中，我们将考虑差异负载δ，当应用于年金时，它使年金和托丁之间的个体差异，即ULAγ，δ=UOTn，γ。

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2022-4-28 17:43:04

M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYout发现，荷载δ随着n的增加而减小，总荷载nδ保持稳定。换句话说，在个人开始从年金中获得更大的效用之前，无论参与者人数如何，保险人最多可以从总年金池中扣除固定金额（大致）。我们将说明这一观察结果，至少1<γ≤ 2，通过证明附录定理19中的下列不等式。假设1<γ≤ 2.然后δ<n铬- 1..注意c>r，因为c-1=R∞E-rttpxdt<R∞E-rtdt=r-1.3.4. 主观死亡率。现在假设有两个生存函数，一个是针对一般人群的客观函数，另一个是针对相关个体的主观函数。从经济角度来看，这相当于拥有一个主观贴现率，该贴现率与无风险利率r不同。自然，个人更喜欢支付结构不同的年金，因为欧拉-拉格朗日方程（3）变成了：（20）e-rttpxu（c（t））=λe-RTTPX每t。换句话说，在CRRA效用下，最优年金结构为（21）cS（t）=cS（0）tpxtpx1/γ.因此，一个比正常人更健康的人（tpx>tpx）会更喜欢重新加载年金流。从本质上说，死亡率异常值表明，当年金支付在生命后期发生时，其价格会被低估，因此，他们更愿意投资于提高这些支付的年金。当然，这个人不会走运——年金将围绕人口的富裕程度而设计，而不是他们的。

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2022-4-28 17:43:07

但是，这确实提出了一个问题，即如何测试个人认为自己比人群更健康的程度：如果有不同的年金结构，那些认为自己比平均年金购买者更健康的人应该通过选择背负的年金支付来表明这一信念。我们可以用同样的方式来看待tontines（并测试tontines是否可以作为备用年金的代理）。如果p和p表示主观和客观生存概率，那么CRRA效用的Euler-Lagrange是最优支付率Dn，γ（p，~p）满足（22）~pDn，γ（p，~p）-γθn，γ（p）=λ。换句话说，如果βn，γ（p，~p）=pθn，γ（p），那么（23）Dn，γ（p，~p）=Dn，γ（1，1）βn，γ（p，~p）1/γ，其中特定死亡率模型再次仅通过（24）Dn，γ（1，1）=hZ进入∞E-rtβn，γ（tpx，tpx）1/γdti-1.这也意味着，如果（参与者）认为目标群体生存率远低于他或她的个人最佳退休生存率，那么托丁提供了相对更大的效用。这或许再次解释了这样一个事实：一些参与者选择tontine——也许他们认为自己比投资池中的其他人健康得多——而有些人选择年金。在正在进行的工作中，我们试图量化这种影响。3.5. 项目被忽略。有两个问题我们还没有机会解决，这有待于未来可能的研究，那就是信贷风险的作用以及灾难性死亡率的影响。鉴于保险保荐人承担的风险，与tontines相比，人寿年金购买者更关心信用风险的存在。同样地，在随机死亡率模型下，托丁支付将更加可变和不确定，这可能会进一步降低托丁相对于终身年金的效用。

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mingdashike22

2022-4-28 17:43:11

我们将此留作进一步研究，现在将重点放在我们（更简单）模型的含义上。4.数字和示例4。1.1639年威廉国王的托尼。我们首先展示一些基本的模拟结果和tontinevs现金流精算现值（APV）的汇总统计数据。终身年金。特别是，我们计算并显示贴现现金流的精算（死亡率调整）平均值、标准差和偏度。附录中报告了模拟本身的机制，我们使用的参数值与第2节中描述的tontine和年金支付率一致。这是比较托丁和年金的经济价值最简单、最透明的方法。从这一点可以很清楚地看出，14%的年金比10%/7%的托汀更有效——按预期现值计算。表4和表5如下所示，例如，在6%的利率和（Gompertz平滑）死亡率下，对于一名x=10岁的被提名人，一名托丁在七年内支付10%，此后支付7%的实际现值（APV）约为133英镑。这比100英镑的成本高出33%。这假设了芬莱森（1829）报告的死亡率基础。如果我们假设一个更高的死亡率，模型值为寿命m=50，那么tontine的APV（甚至更低）为130英镑，尽管偏斜度更高，为11.16。在其他条件相同的情况下，年龄越大、利率越高或死亡率假设越高，APV越低。请注意，在更具攻击性的死亡率假设下，偏度为（正）且更高，即当死亡率（由m表示）更大时。与tontine相比，在相同的6%利率假设下，向x=10岁的被提名人支付14%的人寿年金的精算现值（APV）大约等于185英镑。

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mingdashike22

2022-4-28 17:43:14

这与Halley（1694）的说法一致，即14%的终身年金在10岁时价值近14年。还请注意，终身年金的偏度始终为负值。因此，对于那些可能对偏度进行估值（所有其他方面都是同等的）的投资者来说，托汀可能比终身年金更受欢迎，尽管现值明显更低。16 M.A.米列夫斯基和T.S.萨利斯伯里。2.21世纪的最佳Tontine。图3显示了在Gompertzlaw死亡率参数m=88.721和b=10下，假设初始提名人数为400人，随着时间的推移，可能的4%托尼特股息的范围。该死亡率基础对应于生存概率P=0.05，即从65岁到100岁，是我们几个数值示例的基线值。图中清楚地显示，以生存为条件的支付流不断增加，这并不是最优函数。事实上，在这样一个（传统的、历史的）托丁计划中，相对于退休早期的终身年金，最初的预期支付是相当低的，而最后几年的支付——对于那些有幸活下来的人来说——将是非常高的，并且变化很大。因此，毫不奇怪，从经济效用的角度来看，这种形式的tontine是次优的，而且对那些希望在整个退休年龄内实现生活水平最大化的个人来说也不是很有吸引力。图3和图4与图3中的次优托汀相比，图4显示了在相同的利率和死亡率基础上，最优托汀支付函数的结果范围。具体来说，图4是通过求解DOTn，γ（1）的值，然后构造n=400，r=0.04和γ=1的DOTn，γ（tpx）来计算的。

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2022-4-28 17:43:17

一旦所有t的支出函数都已知，则二项分布的第10和第90百分位的幸存者人数用于将65岁至100岁的支出范围括起来。显然，每个幸存者的预期支出在退休年份相对稳定，这在直觉上更具吸引力。此外，如图4所示的tontine支付的贴现预期效用远高于图3所示的效用。表6显示了大小为N=25的非常小的池的最佳tontine支付函数。这些对应于第3节中推导的DOTn，γ（tpx）值。请注意，无论个体的长寿风险厌恶度γ如何，即使tontine池在n=25时相对较小，最优tontine支付函数也是非常相似的（第一个重要数字相同）。最低保证股息在65岁时约为7%，然后在95岁时降至约1%。当然，以活着为条件的个人实际现金流支出并不一定会下降，实际上保持相对稳定。表7显示了60岁参与者的效用差异值。请注意，即使是寿命风险厌恶（LoRA）γ水平非常高的退休人员，也会选择一个tontine（池大小为n）≥ 20）如果保险负担大于7.5%，则不使用人寿年金。表8给出了最佳退休时间17。最后，表8计算了确定性等效因子。如果一个LoRAγ6=1的个体所面临的tontine结构仅适用于LoRAγ=1的个体（即对数效用），那么福利损失是微乎其微的。

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mingdashike22

2022-4-28 17:43:20

这就是为什么我们提倡自然色调payout函数，它只适用于γ=1，作为21世纪色调的基础。图5如图5所示，当tontine池大小大于N=250时，不同级别的长寿风险规避γ的最佳tontine支付函数之间的差异几乎不明显，这主要是由于大数定律的影响。这条曲线追踪了幸存者在不同年龄段可以获得的最小红利。中位数（显然）要高得多。图6如图6所示，对于对数γ=1的人，无论tontine池中的参与者人数如何，他们开始支付与终身年金完全相同的利率，图6说明了最佳tontine支付函数。但是，对于较高水平的长寿风险厌恶γ和相对较小的tontine池，该函数以较低的值开始，以较低的速率下降。图7如图7所示，对于相对较小的tontine池，与长寿风险γ=25高度相反的退休人员将希望在高龄时获得高于其预期生存概率的保证最低支付率（GMPR）。作为交换，他们会在较低的年龄接受较低的GMPR。相比之下，对数效用最大化者将选择一个完全等于预计生存概率的GMPR。图8如图8所示。相比于精算公平的终身年金，65岁开始的终身保障为7.5%，无论寿命风险规避（LoRA）或tontine池的大小，它比最优tontine提供更多的效用。但是，一旦将保险负担包括在内，使初始支付下的收益率从最优托汀开始，人寿年金的效用可能会降低。差异荷载为δ，见表7。这是我们在论文中的主要观点。

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2022-4-28 17:43:23

在整个利润期内，整个资金池的股息是一个恒定（例如4%）利率的历史趋势是次优的，因为它们创造了一个不断增加的消费利润，这既是可变的，也是不可取的。然而，在托丁计划中，早期向储蓄池支付的利息更高（例如8%），然后随着时间的推移而下降，因此，少数百岁老人可以获得更低的利率（例如1%），这实际上是最理想的政策。巧合的是，威廉国王1693年的tontine也有类似的利息支出递减结构，这在历史上非常罕见。18 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYWe小心区分支付给整个池的担保利率（例如8%或1%），以及个人投资者在最佳时间内的预期股息，这将随着时间的推移相对恒定，如图3所示。当然，随着时间的推移，支付给整个池的利息的现值与池本身的原始贡献完全相等。我们只是在以不同的方式重新安排和分析身份现值的现金流。我们还表明，与精算公平人寿年金相比，合理设计的托汀计划的效用损失非常小，后者是养老金经济学和生命周期文献的工作重点。事实上，当保险（佣金、资本成本等）负载超过10%时，托丁的效用实际上可能高于纯人寿年金产生的效用。这一结果不应否定或被视为与广泛的年金文献相矛盾，这些文献证明了生命周期模型中终身年金的最佳性。事实上，我们所展示的是，完全对冲长寿风险仍然是最优的，但我们使用的工具取决于相对成本。

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2022-4-28 17:43:27

换句话说，在一个相对较小（n≤ 100）至少在经典的理性模型中，人才库不会造成巨大的公共设施或福利损失。这也可以被视为对参与式终身年金的进一步认可，该年金介于tontine和传统终身年金之间。5.简短的文献综述这不是一个全面回顾洲际文献的地方，我们也没有足够的空间，因此我们为那些有兴趣进一步阅读的人提供了一份精选的关键文章列表。洛伦佐·托蒂（Lorenzo Tonti）最初提出的托汀方案以法语发表在《托汀》（1654）一书中，并在哈伯曼和西贝特（1995）编辑的《重要历史精算学文章精选集》中以英语翻译出版。Kopf（1927年）的评论文章和O’Donnell（1936年）的书都很过时，但在记录历史上的tontine如何运作、讨论其曲折的历史以及提供丹麦、荷兰、法国和英国的一些最早推广者的易读传记方面做得很好。库珀（1972）的专著完全致力于tontine和19世纪（美国）tontine保险业的基础，该行业基于tontine的概念，但由于储蓄和lapsation的组成部分，有所不同。在一篇内容广泛的文章中，Ransom和Sutch（1987年）提供了纽约州禁止在线保险的背景和故事，然后最终整个美国。Jennings和Trout（1982年）的综合情绪图回顾了tontines的历史，特别是法国时期，同时仔细记录了最著名tontines的支付率和收益率。

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