投资预期回报最高的安纳塞特确实是合理的，尽管它的波动性最高，当约束优化分配问题的[23]HJB方程23∑partMerck VW SAP Fres Med Linde Fres平均回报率Merck 1.6266-0.0155-0.0104-0.0146-0.0017-0.0033 0.7315VW-0.0155 0.1584 0.0345 0.0292 0.0569 0.0238 0.3413SAP-0.0104 0.0345 0.0516 0.0183 0.0240-0.0143 0.1877 Fres Med-0.0146 0.0292 0.0183 0.040.0230-0.0230-0.02270.1932Fres-0.0033 0.0238 0.01430 0.0248 0.0201 0.0386 0.1351表4:DAX 30指数六只股票的协方差矩阵∑部分和平均回报率：默克、大众、SAP、弗雷森尤斯医疗、林德、弗雷森尤斯。根据历史数据，2010年8月至2012年4月。资料来源：财务。雅虎。在储蓄初期，comaccount的价值很低。随着账户价值的增加，可以观察到重量明显快速下降。在所考虑的五项资产中，费森尤斯医疗的波动性最低（在所有三十项资产中排名第三），平均回报率排名第三，这反映在其在投资组合中的主要代表性中。在第4.2节中，我们展示了可以直接从函数α（φ）中识别活跃指数集。此外，根据命题5.2，投资者的绝对风险规避系数a（x，t）有一个上限，由φ给出+- 1.当效用函数如（39）中所示时，我们有φ+=a+1=10，所以φ（x，t）≤ 10对于allx和t。因此，只有区间[0，~n+]为投资者提供了相关信息。知道计算出的有效指数集∈ [0，~n+]，投资者知道设置的规则∈（0，|+]{i|^θi（^）>0}，即将以非零权重进入最佳组合的资产集。

为了识别特定区间上的集合{i |^θi（ν）>0}，只需从给定区间计算一个点上的最佳θ（ν）。结论我们提出并分析了一种Riccati变换方法，用于求解一类由最优投资组合构造问题引起的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。我们推导了一个拟线性后向抛物方程，该方程对应于价值函数的相对风险规避系数，这是原始HJB方程的一个解。利用Schauder理论，我们证明了经典H¨older光滑解的存在唯一性。我们还导出了辅助参数二次规划问题在变换后的值函数的有用定性性质。提出了一种基于有限体积近似的全隐式迭代数值格式，并进行了数值试验。我们还提供了一个德国DAX 30指数投资组合优化的实例。感谢米兰·哈马拉教授对参数二次规划的启发性讨论。这项研究得到了VEGA project24 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[24]1/2429/12（英国）和欧盟资助项目FP7-PEOPLE-2012-ITN STRIKE-计算金融中的NovelMethods的支持，编号304617（英国）。参考文献[1]Abe，R.和Ishimura，N.：最优投资问题中非线性偏微分方程解的存在性，Proc。日本商会。，爵士。A.84（2008），第11-14页。[2] Aubin，J.P.：凸极小化问题解的Lipschitz行为，Mathematicsof Operations Research 9（1）（1984年2月）。[3] 班克，B.，古达，J.，克拉特，D.，库默，B.和塔默，K.：非线性参数优化。马萨诸塞州巴塞尔波士顿Birkhauser Verlag。，1983年，228页[4]Bardi，M.和Dolcetta，I.C.：Hamilton-JacobiBellman方程的最优控制和粘性解。

斯普林格，1997年。[5] 本顿，S.：汉密尔顿-雅可比方程：一种全局方法。学术出版社，纽约，1977年。[6] Bertsekas，D.P.：动态规划和随机控制。学术出版社，1976年。[7] Bielecki，T.R.，Pliska，S.R.和Sheu，S.J.：Cox–Ingersoll–Ross利率的风险敏感投资组合管理：HJB方程。《控制与优化》，44（5）（2005），1811-1843。[8] 博迪，Z.，德坦普尔，J.B.，奥特鲁巴，S.和沃尔特，S.：最优消费组合选择和退休计划，J.经济动力与控制28（2003），1115-1148。[9] Browne，S.：具有随机风险过程的企业的最优投资政策：指数效用和破产概率最小化，数学。运筹学20（4）（1995），937-958。[10] Browne，S.：风险约束动态主动投资组合管理。管理科学，46（9）（1995），1188-1199。[11] Crandall，M.C.，Ishii，H.和Lions，P.L.：《二阶偏微分方程粘性解用户指南》，美国数学学会公报27（1）（1992），1-67。[12] 戴，M.，江，L.，李，P.和易，F.：有交易成本的有限期最优投资和消费。暹罗J.控制优化。48(2) (2009), 1134–1154.[13] 戴，M.和易，F.：有交易成本的有限期最优投资：一个抛物线双障碍问题。J.微分方程组246（2009），1445-1469。[14] Dupaˇcov\'a，J.：通过随机规划进行投资组合优化和风险管理。CSF选择。注释系列1，大阪大学出版社，大阪，2009年。[15] 弗莱明，W.H.和索纳，H.M.：受控马尔可夫过程和粘性解。纽约：斯普林格出版社，第二版，2005年。[16] Huang，Y.，Forsyth，P.A.和Labahn，G.：HJBequations在金融领域的固定点和政策迭代组合，将发表在《暹罗数值分析杂志》，2012年。[17] N.石村、M.N.科列娃和L.Vulkov。

G.：风险偏好非线性演化方程的数值解，《计算机科学讲稿》，第6046卷，纽约，海德堡，2011年，445-452。[18] Ishimura，N.，Koleva，M.N.和Vulkov，L.G.：通过期权定价中非线性模型的变换方法进行数值求解，AIP Conf.Proc。1301 (2010), 387–394.[19] Ishimura，N.和Maneenop，S.：风险偏好非线性演化方程的行波解，JSIAM Letters 3（2011），25-28。[20] Ishimura，N.和ˋSevˋcoviˋc，D.：关于不等式约束下Hamilton-Jacobi-Bellman方程的行波解，日本工业和应用数学杂志30（1）（2013），51–67。[25]约束最优分配问题的HJB方程25[21]Ishimura，N.和Nakamura，M.：随机环境下的风险偏好。发表于：BMEI2011——2011年国际商业管理和电子信息会议记录，2011年第1卷，文章编号5917024668–670。[22]Jandaˇcka，M.和ˇSevˇcoviˇc，D.：基于风险调整定价方法的普通期权估值和波动微笑的解释，应用数学杂志32005235–258。[23]Karatzas，I.，Lehoczky，J.P.，Shreve，S.E.和Sethi，S.：一般消费/投资问题的显式解决方案。运筹学数学，第11卷，第2期，第261-294页，1986年5月。[24]Klatte，D.：关于二次优化和线性互补的参数问题中最优解的Lipschitz行为，优化：数学程序设计和运筹学杂志16（6）（1985），819–831。[25]Koleva，M:养老金储蓄管理中非线性抛物线问题的迭代解法，AIP会议记录1404，（2011），457–463。[26]科列娃，M。

和Vulkov，L.：全非线性抛物线问题的拟线性化数值格式及其在数学金融、数学和计算机建模模型中的应用57 2013，2564-2575。[27]K\'utik，P.和Mikula，K.：金融数学中求解非线性偏微分方程的有限体积格式。《复杂应用的有限卷问题与展望》，斯普林格数学学报，2011年，第4卷（1），643-651。[28]Ladyzhenskaya，O.A.，Solonnikov，V.A.和Ural\'tseva，N.N.：抛物线型线性和准线性方程。数学专著23的翻译，普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）XI，1968，648页[29]LeVeque，R.：双曲问题的有限体积法。剑桥大学出版社，2002年。[30]Macov\'a，Z.和ˇSevˇcoviˇc，D.：养老金储蓄管理产生的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的弱非线性分析，国际数值分析与建模杂志7（4）（2010），619–638。[31]Mass Collel，A.，Michael，D.W.和Green，J.R.：微观经济理论。牛津大学出版社，牛津1995年。[32]Melicherˇcik，I.和Ungvarskiy，c.：斯洛伐克的养老金改革：财政债务和养老金水平的观点。金融a\'uvˇer-捷克经济和金融杂志，54（9-10）（2004），391-404。[33]R.C.默顿：不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。牧师。经济。统计学家。51 (1969), 247–257.[34]默顿，R.C.：连续时间模型中的最优消费和投资组合规则，J.Econ。理论3（1971），373-413。[35]Milgromn，P.和Segal，I.：任意选择集的包络定理，计量经济学70（2）（2002），583-601。[36]Musiela，M.和Zariphopoulou，T.：金融随机指数参考下的差异价格示例。8（2004），229–239[37]K.穆图拉曼。

和Kumar，S.：具有比例交易成本的多维投资组合优化（2004年10月）。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=563944[38]Nayak，S.和Papanicolaou，G.：投资组合优化器的市场影响，应用数学金融15（1）（2008），21-40。[39]Peyrl，H.，Herzog，F.和Geering，H.P.：随机最优控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解。摘自：WSEAS动态系统与控制国际论坛，意大利威尼斯，2005年11月2-4日，489-497页。[40]Pratt，J.W.：小规模和大规模的风险规避，《计量经济学》32（1964），122–136.26 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[26][41]Protter，M.和Weinberger，H.F.：微分方程中的最大原理。纽约，海德堡，柏林：斯普林格·维拉格，1984年。[42]ˇSevˇcoviˇc，D.，Stehlikov\'a，B.和Mikula，K.：金融衍生品定价的分析和数值方法。Nova Science Publishers，Inc.，Hauppauge，2011年。[43]Song，Q.S.：广义HJB方程上马尔可夫链逼近的收敛性及其应用，Automatica 44（3）（2008），761-766。[44]宋哲，L.：抛物型Monge–Amp![3]方程初值问题解的存在性及其应用。非线性分析，65（2006），59-78。[45]Tourin，A.和Zariphopoulou，T.：具有奇异交易的投资模型的数值格式，计算经济学7（4）（1994），287-307。[46]Witte，J.H.和Reisinger，Ch.：离散HJB方程解的惩罚方法——连续控制和障碍问题，暹罗J.Numer。肛门。50 (2) (2012), 595-625.[47]夏，J.：连续时间模型相关数据库中的风险规避和投资组合选择，暹罗J.控制优化。，49(5) (2011), 1916–1937.[48]Zariphopoulou，T.：有约束的消费投资模型，暹罗J.控制与优化32（1）（1994），59-85。