为此，我们注意到，以X=X为条件，~X中的函数*完全是由于十、*通过方程式（A.2）。此外十、*独立于X，hencefX*|X（~X）*|x） =f十、*（h）-1（~x）*) -十）H-1（~x）*)~x*′,（A.4）左手侧之前已被识别，且雅可比术语由假设3明确定义。3和H的假设差异性-1（~x）*). 雅可比矩阵可以通过将（A.4）与x积分来识别*到yieldRfX*|X（~X）*|x） dx=|H-1（~x）*) ~x*′|. 通过改变x，同时保持x*固定在方程式（A.4）中，我们可以确定密度f十、*最多一班-1（~x）*). 假设2。2.确定班次，以便-1（~x）*) 对于任何给定的x*. 由于h（·）根据假设3.3是一对一，h-1（·）唯一地决定h（·）。因此，（X）的联合分布*, 十、 Y，Z）被识别。最后，注意fY | X*（y | x）*) = FY（Y）-g（x）*))（根据假设2.1），然后确定g（x*) 在假设的帮助下。2.22 S.M.Schennachof Theo rem 3.1（一般情况）。

这个证明借鉴了Hu和Schennach（2008）的一些算子技巧，我们重点讨论了证明的不同方面。边际密度和条件密度的定义与假设2相结合。1导致以下等式序列：fY，Z | X（y，Z | X）=ZfY |X*,Z、 X（y | X*, z、 x）外汇*,Z | X（X）*, z | x）dx*=采埃孚Y | X*,Z十、*（y）-g（x）*)|十、*, Z-h（x）*), 十、*-x） 外汇*,Z | X（X）*, z | x）dx*=采埃孚Y（Y）-g（x）*))外汇*,Z | X（X*, z | x）dx*=采埃孚Y（Y）-g（x）*))fZ | X*,X（z | X*, x） 外汇*|X（X）*|x） dx*=采埃孚Y（Y）-g（x）*))FZ | X*,十、* （z）- h（x）*)|十、*, 十、*-x） ×f十、*|X（X）*-x | x）dx*=采埃孚Y（Y）-g（x）*))FZ（Z）-h（x）*))F十、*（十）*-x） dx*或者，相当于fY，Z | X（y，Z | X）=ZfZ | X* （z | x）*)fY | X* （y | x）*)外汇*|X（X）*|x） dx*.（A.5）如Hu和Schennach（2008）所述，这个积分方程可以更方便地写成一个算子等价关系；Z | X=FZ | X* Dy；十、*外汇*|X（A.6）通过引入等式（3.5）中定义的运算符，这些运算符作用于任意r∈ 磅（X）[或r∈ 磅（X）*)].类似地，我们可以证明fz | X（z | X）=ZfZ | X*（z | x）*)外汇*|X（X）*|x） dx*（A.7）因此FZ | X=FZ |X*外汇*|十、假设。1,2.1,3.2,3.3,3.4安德莱马。1下面，我们知道FZ | X* 在z | X的范围内允许一个倒数* （因此是FZ | X的范围），我们可以写Fx*|X=F-1Z | X*FZ | X.（A.8）BERKSON错误23将（A.8）代入（A.6），我们得到；Z | X=FZ | X* Dy；十、*F-1Z | X*FZ | X.根据假设3。1,2.1,3.2,3.3,3.4和下面的引理A.1，FZ | x再次输入一个逆。

此外，根据Hu和Schennach（2008）中的引理1，F-1Z | Xis的密度为Lb（Z），然后我们可以写；Z | XF-1Z | X=FZ | X* Dy；十、*F-1Z | X*.（A.9）等式（A.9）表明，运算符Fy；Z | XF-1Z | X进行谱分解，其中特征值由fY |X给出*（y | x）*) 为了x*∈ 十、*（对于固定y）定义操作员Dy；十、*而本征函数是函数fZ | X* （·| x）*) 为了x*∈十、*定义算子FZ | X的核* .正如我们通常所说，对线性算子[如FZ | X]的认知只决定其核[如FZ | X（z | X）]的值，除了在一组nullebesgue测度上。得出的等价类与概率密度的通常等价类完全匹配，特别是勒贝格测度，因此不影响模型的可识别性。待对角化的算子完全根据可观测性定义，而分解提供了不可观测的感兴趣密度。为了确保这种分解的有效性，我们采用了四种技术。首先，谱分析的一个强大结果[邓福德和施瓦茨（1971）中的定理XV 4.5]确保了某些范数化的唯一性。其次，本征函数的先验任意尺度是由密度必须积分为一的要求确定的。第三，为了避免出现退化特征值时特征函数定义的任何模糊性，我们使用假设3.3以及特征函数[与特征值fy | x不同，不依赖于y]这一事实* （y | x）*)] 因变量y的不同值必须一致。

Hu和Schennach（2008）详细描述了这三个步骤，此处不再重复。第四步[与胡和谢纳赫（2008）中采用的方法不同]是排除特征值fy；十、*（y，x）*) 和本征函数fZ | X* （·| x）*) 可以通过不同的变量进行索引，而不影响运算符Fy；Z | XF-1Z | X.（这个问题类似于矩阵对角化中特征值和特征向量的非唯一顺序。）假设本征函数可以用另一个值来表示，也就是说，它们由fZ | X给出*（·|x）*) 其中x*是另一个与x有关的变量*通过x*= S（~x）*)对于一些一对一的函数S。在这个替代索引exin g下，原始模型的所有假设必须仍然适用于x*替换为x*, 所以S（·）也是可测量的，否则X是可测量的*≡ S（▄X*) 将不是一个properLandom变量。对于相同的观测fZ | X（z | X）fZ | X（z | X）=ZfZ | X，S.M.SCHENNACHrelationship similar to（A.7）仍然必须保持*（z | | x）*)fX*|X（~X）*|x） d~x*（A.10）或者，在运算符表示法中，FZ | X=FZ | | X*FX*|X.为了fZ | |X*（z | | x）*) 要成为有效的替代密度，它必须满足与fZ | X相同的假设（及其应用）*（z | x）*). 尤其是FZ | X*是可逆的（通过上面的Lemma.1建立）也必须适用于FZ |X*. 因此，对于任何替代的FZ |X*, 有一个唯一对应的FX*|十、 由FX给出*|X=F-1Z | | X*FZ | X.我们可以找到一个更明确的f | X表达式*|X（~X）*|x） 如下。首先要注意的是，我们有fZ | | X*（z | | x）*) = fZ | X*（z|S（|x*)) 自从x*= S（~x）*) S是一个卡通。通过改变变量x*= S（~x）*) 在（A.7）中，我们得到fz | X（z | X）=ZfZ | X*（z|S（|x*))外汇*|X（S（~X）*)|x） du（x）*),其中，通过u（A）=λ（S）定义度量单位u-1（A））对于任何可测集合A，其中λ表示勒贝格测度，S-1（A）≡ {x*∈A:S（~x）*) = 十、*}.

由此我们可以得出以下两个度量之间的等式：fX*|X（~X）*|x） d~x*= 外汇*|X（S（~X）*)|x） du（x）*)（A.11）通过与方程（A.10）的比较，以及被测量值fX的唯一性*|X（~X）*|x） d~x*由于FZ | | X的注入性*算符，如引理A.1所示，在一般情况下，FZ |X的域*可能包括具体措施。现在我们将展示fX*|X（~X）*|x） 必然违反假设。2（带十、*取而代之的~X*≡~X*-十） ，除非S（·）是它们的身份函数。自从十、*= 十、*-X与十、*独立于X，我们有fX*|X（X）*|x） =f十、*（十）*-x） 通过一个类似的推理fx*|X（~X）*|x） =f~X*（~x）*-x） 与~X*≡~X*-X.方程式（A.11）则变为~X*（~x）*-x） d~x*= F十、*（S）x*) -x） du（x）*).（A.12）现在，对于给定的x，考虑f的Radom–Nikodym导数~X*（~x）*-x） d~x*关于勒贝格测度dx*, 也就是说，通过定义（几乎在哪里）等于f~X*（~x）*-x），一个有界函数。1.根据方程式（A.12），以下某些步骤的Radom–Nikodym导数的存在是受到匿名裁判评论的启发。左手边的BERKSON误差意味着右手边存在相同的Radom–Nikodym导数，我们可以写~X*（~x）*-x） =f十、*（S）x*) -x） du（x）*)dx*（A.13）这里几乎每一个人。在整个x上积分方程的两边∈ 十、 我们得到（在注意到等式m可能失效的点有空测度，因此不影响积分）1=1du（~X）*)dx*, 因为密度积分为1，这意味着du（~x*)/dx*= 1，也就是说，u也是Lebesgue度量。

从（A.13）可知，几乎所有地方~X*（~x）*-x） =f十、*（S）x*) -x）。为了进行假设。两人都有2到8岁~X*和十、*, 我们一定要有那个f~X*（~x）*- x） ，当被视为x的函数时*对于任何给定的x，输入的值为x*= x、 我们必须同时得到f十、*（十）*-x） =f十、*（S）x*)-x） ，当被视为x的函数时*对于任何给定的x，都以x为中心*= x、 也就是说，S（~x）*) = x、 这两个语句只有在)x时才兼容*=S（~x）*). 因此，本征值/本征函数的参数化不可能存在两个不同但完全等价的参数化。因此，我们已经证明，在gh方程（A.9）中，未观测函数fY | X* （y | x）*) 和fZ | X* （·| x）*) 由观察到的函数fY，Z | X（y，Z | X）唯一确定（在一组零勒贝格测度上最多相差一个等价函数类）。接下来，等式（A.8）表示fx*|X（X）*|x） 也是唯一确定的。一次fY | X* （y | x）*) 和fZ | X* （z | x）*) 已知函数g（x*) andh（x）*) 可以通过利用Y十、*和Z、 例如，g（x）*) =RyfY | X* （y | x）*) 如果假设Y的平均值为零。接下来，fY(y） 可以直接识别，例如，fY(y） =fY | X* （g（x）*) + y | x*) 对于任何x*∈ 十、*. 类似的参数产生h（x）*) 和fZ(z） 从fZ | X* （z | x）*) 以及f十、*(十、*) fromfX*|X（X）*|x） 。因此，方程（3.1）有唯一的解。该定理的第二个结论来自这样一个事实：fY，Z | X（y，Z | X）和fX（X）都是由fY，Z，X（y，Z，X）唯一确定的（除了可能在一组空的Lebesguemeasure上）。以下引理与D\'Haultfouille（2011）中的命题2.4密切相关。它在算子可以作用的空间方面是不同的，在涉及的随机变量的可能维度方面是更一般的。引理A.1。

让X，X*Z可以由方程（2.2）和（2.3）生成。设S（T）是给定集T=X，X上的有限符号测度集*或者Z[注意，S（T）包括Lb（T）作为特例，在这个意义上，26 S.M.schennachf表示r中的任何函数∈ Lb（T），有一个对应的度量值R∈ S（T），其关于勒贝格测度的Radom–Nikodym导数为r]。在假设下。1、3.1、3.2、3.3和3.4，运营商FX*|X:S（X）7→磅（X）*), FZ | X*: S（X）*) 7.→ Lb（Z）和FZ | X:S（X）7→ （3.5）中定义的Lb（Z）是内射映射。证据首先，我们可以验证R∈ S（X）im使用该FX*|XR∈磅（X）*) 对于FZ | X也是如此* 和FZ | X，因为（条件）密度涉及变量X*, X和Z以假设3为界。1和区域绝对可积。我们现在验证FZ | X的射入性*.根据推测2。1，3.1和方程（2.3），对于任何R∈ S（X）*),[FZ | X* R] （z）=ZfZ | X* （z | x）*) 博士（x）*) =采埃孚Z（Z）-h（x）*)) 博士（x）*).接下来，让≈R表示符号度量赋值给任何可测集合Rnz，R（A）=R1（h（x*) ∈A）dR（x）*) 请注意，R是一个独立的度量，因为R（x*) 是然后，我们可以表示FZ | X*R为[FZ | X*R] （z）=ZfZ（Z）- ~x*) d~R（~x）*),（A.14）也就是说，概率测度和它的符号密度（sgentel）；参见Bhattacharya and Rao（2010）中的第5章。

根据有符号测度的卷积定理[Bhattacharya和Rao（2010）中的定理5.1（iii）]，可以将卷积（A.14）转换为傅里叶变换的乘积，σ（ζ）=φZ（ζ）ρ（ζ），其中σ（ζ）≡R[FZ | X* R] （z）eiζzdz，φZ（ζ）≡ E[eiζZ]和ρ（ζ）≡ReiζzdR（z）。自φZ（ζ），特征函数Z、 是由Assum ption3提供的非零散信息。我们可以将ρ（ζ）分离为ρ（ζ）=σ（ζ）/φZ（ζ）。由于有限符号测度和它们的傅里叶变换之间存在一对一的映射[根据Bhattacharya和Rao（2010）中的定理5.1（i）]，因此可以将rca恢复为唯一的符号测度，其傅里叶变换为ρ（ζ）。我们现在证明，有符号测度R唯一地决定了测度R。设AB=Sx*∈B{h（x）*)} 对于任何可测量的BRnx，注意ABI也是可测量的，因为h是连续的。4.然后观察到所涉及的傅里叶变换都是连续函数，因为原始函数（或测度）是绝对可积的（或有限的），因此“几乎无处不在”的条件不适用于它们。BERKSON的错误是，假设3.3，h（x*) ∈ ABif且仅当x*∈ B、 我们有R（AB）=Z1（h（x*) ∈ AB）dR（x）*) =Z1（x）*∈B） 博士（x）*).由于B是任意的，因此R（AB）的知识唯一地决定了符号测度R指定给任何可测量集的值。FX的内射性*|Xis是上述推导的特例（带Z，X*被X取代*, 十） ，其中h是恒等式函数。最后，由FZ | X的内射性所暗示的FZ | Xis的内射性* 和外汇*|十、 因为FZ | X=FZ | X*外汇*|假设2。1和等式（2.2）和（2.3）。

补充材料“协变量中Berkson误差的回归——非参数方法”的补充材料（DOI:10.1214/13-AOS1122SUPP；.pdf）。补充材料提供了（i）所提议的估计器的一致性证明，（ii）额外的模拟结果和（iii）该方法的各种扩展，包括将一些完全独立的假设弱化为条件独立，以及处理同时存在的经典和Berkson误差。参考伯克森，J.（1950）。有两种回归吗？J.艾默尔。统计学家。助理45 164–180。巴塔查里亚，R.N.和拉奥，R.R.（2010）。正规近似和渐近展开。费城暹罗。卡拉斯科，M.，弗洛伦斯，J.P.和雷诺，E.（2005）。线性反问题和结构计量经济学：基于谱分解和正则化的估计。《计量经济学手册》第6卷。爱思唯尔，阿姆斯特丹。Carroll，R.J.，Chen，X.和Hu，Y.（2010）。使用具有非经典测量误差的两个样本识别和估计非线性els。J.非参数。统计数据22 379-399。2007年，卡罗尔·霍尔，第25页。由伯克森误差和经典误差混合污染的数据进行非参数回归估计。J.R.统计Soc。爵士。B.统计方法。69 859–878.MR2368574R.J.卡罗尔、D.鲁佩特、L.A.斯特凡斯基和C.M.克雷尼西亚努（2006）。非线性模型中的测量误差。查普曼和霍尔/华润，佛罗里达州博卡拉顿，A.德莱格尔，霍尔，P.和邱，P.（2006年）。求解变量埃伯森误差问题的非参数方法。J.R.统计Soc。爵士。B.统计方法。68 201–220.MR2188982D\'Haultfouille，X.（2011年）。关于非参数工具问题的完备性条件。计量经济学理论27460–471。MR2806256Dockery，D.W.，Pope，C.A.，X u，X.P.等人（1993年）。

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