协变量中带有Berkson误差的回归——一种非参数方法

2022-4-29 17:12:43

《统计年鉴2013》，第41卷，第3期，1642-1668DOI:10.1214/13-AOS1122cSusanne M.SchennachBrown大学数理统计研究所，2013年，带有BERKSON误差的非变量回归——一种非参数方法。本文建立了所谓的工具变量，能够识别和估计带有BERKSON型测量误差的完全非参数回归模型。提出并证明了一个估计量是一致的。通过蒙特卡罗模拟和流行病学应用调查了颗粒空气污染对呼吸健康的影响，研究了其实际性能和可行性。这些例子表明，在非线性回归模型中，Berkson误差显然不能被忽略，并且提出的方法代表了一种有效的补救方法。1.导言。许多统计数据集涉及协变量X，它们是真实的未观测到的对应变量X的错误版本*. 然而，测量误差通常不符合经典误差或str StructureX=X*+ X与X独立于X*. 事实上，一种常见的情况是正位情况，即X*= X+十、*具有十、*与X无关，这种情况通常被称为Berkson测量误差[Berkson（1950），Wang（2004），Carroll等人（2006）]。

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2022-4-29 17:12:47

一个典型的例子是一项流行病学研究，其中一个人的真实接触X*对某些污染物而言，没有观察到，但可以得到的是个体生活区域内该污染物的平均浓度X。单个特定的X*在区域平均值X周围随机波动，导致Berkson误差。不幸的是，处理Berkson测量误差数据的现有方法[例如，Delaigle、Hall和Qiu（2006）、Carroll、Delaigle和Hall（2007）]需要已知测量误差的分布，或在2012年8月收到；2013年4月修订。部分由NSF资助SES-0752699和SES-1156347，以及德克萨斯大学在资助SES-070003下提供的TeraGrid计算机资源提供支持。AMS 2000学科分类。初级62G08；中学62H99。关键词和短语。Berkson测量误差，变量误差，仪器变量，非参数推理，非参数极大似然。这是数理统计学会在《统计年鉴》2013年第41卷第3期1642-1668中发表的原始文章的电子版。这本重印本与原版的插图和排版细节不同。2 S.M.Schennache可能通过验证数据进行估计，这些数据可能成本高昂、难以收集或不可能收集。（在经典测量误差问题中，可以通过Kotlarski类型等式[Schennach（2004），Li and Vuong（1998）]从重复测量中识别误差分布。）。

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2022-4-29 17:12:51

然而，对于Berkson型测量误差而言，此类结果尚不存在。）放松测量误差分布完全已知的假设的一种流行方法是，在假设该解是唯一的情况下，在变量分布和它们之间的关系中考虑一些可调参数，并求解f或最能反映观测变量各种条件矩的参数值。这种方法特别适用于多项式规格[Huwang和Huang（2000）]，最近还适用于非常广泛的参数模型[Wang（20042007）]。本文超越了这一点，提供了一个正式的识别结果和一个通用的非参数回归方法，该方法在存在Berkson误差的情况下是一致的，无需事先知道测量误差的分布。相反，该方法依赖于所谓工具变量的可用性[例如，参见Carroll et al.（2006）第6章]来恢复利益关系。例如，在本文所考虑的颗粒物污染对呼吸健康影响的流行病学研究中，合适的仪器可以包括（i）污染水平的个体水平测量，甚至可能存在偏差和错误污染，或（ii）已知受污染影响的疾病以外的疾病的发病率。我们的估计方法基本上是通过用一个固定序列（或一个灵活的函数形式）来表示模型中的每个未知函数，并通过数值求解最适合观测数据的参数值。尽管这种方法很容易建议和实施，但正式确定这种方法在总体上是有效的，这是一项具有挑战性的任务。

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可人4

2022-4-29 17:12:54

首先，无法保证解（即，最符合可观测数据分布的参数值）是唯一的。第二，在存在大量未知参数的情况下，估计结果与样本量一致，这是一个充满收敛性问题的问题。假设的级数能渐近地表示解吗？参数空间是否太大，无法获得一致性？噪声是否与估计越来越多的受控参数有关？我们对这些问题的解决方案是双重的。首先，我们通过正式建立识别条件来瞄准最困难的障碍，在此条件下，模型的回归函数和所有未观测变量的分布由可观测变量的分布唯一确定。我们解决Berkson测量误差问题的第二个重要方面是利用关于非参数筛估计的广泛而成熟的文献[例如，Grenander（1981），Gallant and Berkson ERRORS 3Nychka（1987），Shen（1997）]，以正式解决非参数未知数通过带有数字的tru-ncated级数表示时出现的潜在收敛问题随着样本量的增加而增加的术语。这些理论发现得到了一项模拟研究的支持，该方法的有用性通过一个流行病学应用程序来说明颗粒物污染对呼吸健康的影响。2.模型和框架。我们考虑一个回归模型，它的一般形式为g（X）*) + Y、（2.1）X*= X+十、*,（2.2）Z=h（X*) + Z、（2.3）其中函数g（·）是Y、观察到的结果变量和X之间的（未知）利益关系*, 未被观察到的真正的回归者这是一种干扰。关于X的信息*仅以受错误影响的可观察代理X的形式提供十、*.

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2022-4-29 17:12:58

方程式（2.3）假设与X相关的仪器Z可用*通过未知函数h（·）和扰动Z.OUR的目标是非参数地估计（2.1）中的函数g（·），而不假设测量误差的分布十、*这是众所周知的。[作为副产品，我们还将获得h（·）和所有未观测变量的联合分布。]为此，我们需要以下假设，这些假设在关注具有测量误差的非线性模型的文献中非常常见[e.g.，Carroll et al.（2006），Wang（2004），Hausman et al.（1991），Fan and Truong（1993），Li（2002），Lewbel（1996）]。假设2.1。X是随机变量，十、*, YZ是相互独立的。注：假设2.1中的th表示通常提出的“替代假设”fY | X，X*（y | x，x）*) = fY | X*（y | x）*), 从以下条件密度之间的等式序列可以看出：fY | X，X* （y | x，x）*) =FY | X，X*（y）-g（x）*)|x、 x*) = FY|十、*,X（y）-g（x）*)|十、*-x、 x）=fY（Y）-g（x）*)) =FY | X* （y）-g（x）*)|十、*) = fY | X* （y | x）*).假设2.2。随机变量十、*, YZ居中（即模型的限制）十、*通过十、*+ 对于一些非零常数c，同样对于Y和Z这包括零均值、零模式或零中值，例如）。由于我们的方法依赖于仪器Z的可用性来实现识别，因此在常见环境下提供合适仪器的实用示例是很有启发性的。尽管工具变量4 S.M.Schennach的使用在计量经济学计量误差文献中历史上更为普遍[Hausman等人（1991年）、Hausm-an、Newey and Powell（1995年）、Newey（2001年）、Schennach（2007年）]，但工具对统计文献的兴趣越来越大，尤其是在测量恐怖问题的背景下[参见Carrollet等人的第6章“工具变量”。

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能者818

2022-4-29 17:13:02

（2006）和大量参考文献[1]。请注意，仪器方程（2.3）完全类似于（2.1），即生成主要因变量的方程。因此，仪器只是X引起的另一个可观察的“效应”*通过一般的非线性关系h（·）。让我们考虑几个例子，这些例子受到卡罗尔等人（2006年）、王（2004年）和希斯洛普（2001年）的一些案例研究的启发。例2.1。流行病学研究。在这些研究中，因变量Y通常是一种疾病或状况真实性的度量，而回归变量X*是指某人在未被观察到的情况下接触到某种污染物。然而，观察到个体生活区域内该污染物的平均浓度X。X上的错误是Berkson类型，因为个别特定*通常在区域平均值X周围随机波动。在此设置中，可使用多种看似合理的仪器：（1）对患者家中的污染物浓度进行测量（这些将是被经典误差污染的误差，因为给定时间的浓度会在与健康影响相关的时间平均浓度附近波动）。由于（2.3）中的函数h（·）引入的灵活性，这些测量值甚至可以被忽略。因此，它们可以用一种廉价的方法制作（这种方法可能会产生噪音，甚至没有很好的校准），从而在个人层面上使用起来非常实用。

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nandehutu2022

2022-4-29 17:13:06

因此，有可能结合（i）准确但昂贵的非特定区域平均值（X）和（ii）便宜且不准确的特定区域测量值（Z），以获得一致的估计值。（2）另一个看似合理的工具可能是衡量已知由污染物引起的其他疾病或状况的严重程度。这是由污染物引起的，这一事实引入了一个与方程式（2.3）一致的误差结构。由于该物质而产生的其他可测量影响（例如，唾液或尿液中是否存在该物质的检测结果）也可作为仪器。很明显，这些测量值不是暴露的单位，但乐趣h（·）可以解释这一点。例2.2。实验研究。研究人员可能希望研究影响Y（例如，某些化学品的产生）如何与某些施加的外部条件X（例如，ovenBERKSON误差5或反应堆温度e）相关，但实际条件X*感兴趣的样本所经历的温度可能会随机偏离设定的条件（例如，温度可能不完全均匀）。在这种情况下，仪器可能是（i）另一种已知由X引起的“影响”（例如，另一种化学物质的量）*或（ii）X的测量*这对于感兴趣的样品来说是特别的，但可能非常嘈杂，甚至有偏差（例如，在实验完成且样品部分冷却后，温度测量可能更容易进行）。例2.3。

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2022-4-29 17:13:09

自我报告的数据。Hyslop和Imbens（2001）认为，报告数据的个人（例如，他们的食物摄入量或运动习惯）有时意识到他们对X的估计存在不确定性*因此，报告所有合理估计值的平均值与他们可用的信息一致，从而导致Berkson类型的错误，因为个体试图使其预测错误独立于报告。在这种情况下，仪器Z可能是另一个与X相关的观察结果变量Z*.3.识别。我们现在正式陈述了在仪器的帮助下可以识别Berkson测量误差模型的条件。让Y，X，X*Z表示随机变量Y，X，X的分布的支撑*和Z。我们考虑Y，X，X*andZ将联合连续分布（与Y）Rny，XRnx，X*RNX和Z 新西兰RNZ≥nx）。因此，我们假设如下。假设3.1。随机变量Y，X，X*, Z在Y×X×X上允许一个关于勒贝格测度的有界节理密度*x Z.所有边际密度和条件密度也被定义和限定。我们使用符号fA（a）和fA | B（a | B）分别表示随机变量a的密度和a条件于B的密度。小写字母表示相应大写随机变量的特定值。接下来，正如在变量模型中对错误的许多处理[Carroll等人（2006年）、Fan and Truong（1993年）、Li and Vuong（1998年）、Li（2002年）、Schennach（2004年、2007年）]，我们需要各种特征函数来消除。我们还对模型的两个回归函数设置了正则性约束。假设3.2。总之ζ∈ Rnz，E[exp（iζ·Z） ]6=0，且对于所有ξ∈Rnx，E[exp（iξ）·十、*)] 6=0（其中=√-1).假设3.3。g:X*7.→ Y和h:X*7.→ Z是一对一的（但不一定在上面）。

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2022-4-29 17:13:12

M.Schennachasumpt ion 3.4。h是连续的。假设3.3在X*维度大于或等于Y（或Z）的维度。幸运的是，通常可以通过将Y（和Z）定义为一个向量来消除这个问题，该向量除了包含感兴趣的结果外，还包含辅助变量，以便允许Y（和Z）有足够的变化来满足假设3。3.这些额外变量本身不必是利益关系的一部分，但不受X的影响*是有办法的。从这个意义上说，这种辅助变量也可以是一种“工具”我们的主要识别结果如下所示。（请注意，该定理也适用于对观测变量W进行条件处理，因此可以直接包括额外的、正确测量的回归。）定理3.1。在假设下。1–3.4，给定真实观测的条件密度fY，Z | X，解（g，h，fZ、 fY、 f十、*) 对于函数方程fy，Z | X（y，Z | X）=ZfZ（Z）- h（x）*))FY（Y）- g（x）*))F十、*（十）*-x） dx*（3.1）为了所有人∈ Y、 x∈ 十、 z∈Z是唯一的（在零概率测度集上的差异）。解（g，h，f）的相似唯一性结果成立Z、 fY、 f十、*, fX）tofY，Z，X（y，Z，X）（3.2）=fX（X）ZfZ（Z）-h（x）*))FY（Y）-g（x）*))F十、*（十）*-x） dx*.建立这一结果需要的技术与现有的Berkson误差模型处理方法截然不同，例如线性算子的谱分解[Carrasco、Florens和Renault（2005）的综述]，这些技术正在成为普遍存在的反褶积技术的有力替代品，通常应用于经典测量误差问题。证据可在附录中找到，概述如下。

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能者818

2022-4-29 17:13:16

假设2。1让我们得到以下积分方程，将可观测变量的联合密度与不可观测变量的联合密度联系起来：fY，Z | X（y，Z | X）=ZfZ | X* （z | x）*)fY | X* （y | x）*)外汇*|X（X）*|x） dx*（3.3）式（3.1）直接遵循。解的唯一性如下所示。等式（3.3）定义了以下运算符等价关系：Fy；Z | X=FZ | X* Dy；十、*外汇*|十、（3.4）BERKSON错误7我们引入了以下运算符：[Fy；Z | Xr]（Z）=ZfY，Z | X（y，Z | X）r（X）dx，[FZ | X]* r] （z）=ZfZ | X* （z | x）*)r（x）*) dx*,[FZ | Xr]（z）=ZfZ | X（z | X）r（X）dx，（3.5）[Dy；X*r] （十）*) = fY | X* （y | x）*)r（x）*),[FX*|Xr]（x）*) =ZfX*|X（X）*|x） r（x）dx表示一些非常规则但其他任意的函数r。请注意，在上述定义中，y被视为一个参数（运算器不影响它），而Dy；十、*是对角矩阵的运算器等价物。接下来，我们注意到等价性FZ | X=FZ | X* 外汇*|Xalso持有[例如，通过（3.4）在所有y上的积分]∈ Y] 。然后我们可以隔离FX*|XFX*|X=F-1Z | X*FZ | X（3.6）并将结果代入（3.4），在重新排列后得到Fy；Z | XF-1Z | X=FZ | X* Dy；十、*F-1Z | X*,（3.7）在我们的假设下，可以证明所有逆项都存在于适当的域上。等式（3.7）表示，运算符Fy；Z | XF-1Z | Xadmitsa谱分解。待“对角化”的算子由可观测密度定义，而得到的特征值fY | X* （y | x）*)（包含在Dy中；X）*) 和本征函数fZ | X* （·| x）*) （包含在FZ | X中）* )提供未观察到的感兴趣的密度。我们还需要几个步骤来确保这种分解的唯一性，我们现在简要概述一下。

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2022-4-29 17:13:19

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2022-4-29 17:13:24

给定X时X的分布*= 十、*是一个正常的中心atx*σx/（σx+σ）十、*). 因此，绝对没有合理的位置测量（平均值、模式、中值等）来产生适当的x中心*这在HS的假设5中是必要的。此外，在e上不能简单地取代给定X的X的中心假设*（如在HS中）以X为中心*给定X（对于Berkson误差是必需的），希望HS中的定理1仍然有效。HS利用了一个事实，即在条件密度中，条件变量（这里是X）中没有与变量变化相关的雅可比项*). 然而，有了Berkson误差，条件变量中不会发生相应的变量变化，必然会出现aJacobian项，这使得HS中使用的方法基本上不适用于Berkson情况。解决这个问题需要（i）使用不同于HS的算子分解，以及（ii）使用完全不同的方法“居中”被测变量。有人提出了另一个论点（在附录中形式化），该论点与HS中的定理1有更直接的联系，但在附加假设Z和X的情况下*有同样的尺寸。这种假设是相当严格的，因为它通常会导致h（·）是一对一（假设3.3）被违反的假设。例如，如果X*是标量，我们可以使用两种仪器，它们都不是E[Z | X*] 也不是E[Z | X*] 是严格单调的，那么h（·）对于我们单独使用的任何一种仪器来说都是n对1。然而，mappingX*7.→ （E[Z|X*], E[Z | X*]) 通常是e-to-one，但真正例外的情况除外。因此，考虑到X的尺寸*Z和Differis很重要。尽管如此，即使假设不存在这个问题，这种方法仍然需要一种不同的技术来将X居中*比在HS中使用的那个。

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2022-4-29 17:13:27

有鉴于此，HS和当前的论文都依赖于算子谱分解作为传统卷积/反卷积Berkson误差9技术的替代方法，而且这些新技术似乎很可能在许多其他测量误差模型中得到应用。注意，我们的识别结果在参数和半参数环境中也很有用，因为它提供了在简单条件下，模型是识别的证据。在任何给定的参数模型中，我们的识别结果都会自动暗示需要在个案基础上进行识别的秩条件。此外，尽管X可以通过OUT随机分布，但考虑到X固定不会带来特别的困难，因为等式（3.1）在这种情况下提供了一个有效的条件似然函数。正如Schennach（2013）所讨论的，该方法的一些扩展是可能的：（i）放松X和X之间的独立性十、*为了考虑测量误差中的一些异方差性，以及（ii）结合经典误差和伯克森误差，在Mallick、Ho off man和Carroll（2002）、Carroll、Delaigle和Hall（2007）、Stram、Huberman和Wu（2002）以及Hyslop和I mbens（2001）中考虑了一种可能性。还可以证明，一些扩展是不合理的，例如假设测量方程（2.2）和仪器方程（2.3）都具有Berkson误差结构[Schennach（2013）]。估计。获得模型非参数估计量的一种自然方法是，将截断级数近似替换为（3.1）或（3.2）的每一个未知函数，并构造一个对数似然函数，使其在数值上相对于级数的所有系数最大化[e.g.，Shen（1997）]。

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2022-4-29 17:13:31

这种基于筛子的估计器最近已经在各种测量误差问题中得到了应用[例如，Newey（2001）、Mahajan（2006）、Hu和Schennach（2008）、Carroll、Chen和Hu（2010）等]。下面，我们首先确定估算值，然后再确定其一致性。我们将回归函数g（·）和h（·）表示为^m（Km）（x）*, β（Km）m）=KmXk=1β（Km）m，kq（Km）k（x*) 对于m=g，h，（4.1），其中q（Km）k（x*) 是由k=1…索引的逐步增大的基函数集的某些序列（由截断参数skm索引），而β（Km）m=（β（Km）m，1，β（Km）m，K）是待测定系数的向量。q（Km）k（x）*) 例如，可以是幂级数、三角级数、正交多项式、小波或样条曲线。kand Km采用的双精度指数法有助于考虑样条曲线，在样条曲线中，改变节点数可以修改所有基函数。对于每个扰动的密度v=10 S.M.SCHENNACH，使用了基函数p（KV）k（v）（带截断参数KV）的类似展开式ZY十、*,^f（KV）V（V，θ（KV）V）=θ（KV）V，0φ（V/θ（KV）V，0）KVXk=1θ（KV）V，kp（KV）k（V），（4.2），其中θ（KV）V=（θ（KV）V，0，θ（KV）V，K）是要确定的系数向量，φ（·）是用户指定的“基线”函数。当密度的大致形状已知时，“基线”函数有助于减少表达式中所需的项数。它不是严格需要的，但是，d可以设置为1。不管怎样，该方法都是完全非参数的。一个方便的基础选择[见Gallant和Nychka（1987）]是取φ（·）为高斯伊安，p（KV）k（v）=vk-1对于任何KV。与函数g（·）和h（·）的一个重要区别是，必须对密度施加一些约束。

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2022-4-29 17:13:35

需要一个约束来确保定心（假设2.2），KVXk=1θ（KV）V，kC（KV）V，c，k=0，其中，对于一些用户指定的函数cV（V），我们定义了（KV）V，c，k=ZcV（V）θ（KV）V，0φvθ（Kv）v，0p（KV）k（v）dv。例如，要对d扰动V施加零均值，让cV（V）=V。要施加零中值，让cV（V）=1（V）≤ 0) - 1/2，其中1（·）表示指示函数，而要施加零模，则设cV（v）=-δ（1）（v）（d eltafuncy导数，略带滥用符号）。需要另一个约束来确保非it总概率：PKVk=1θ（KV）V，kC（KV）V，1，k=1。注：在这两种类型的约束条件下，在未知系数下都具有线性的计算便利性。考虑到上述定义，我们可以根据样本（Xi，Yi，Zi）ni=1和方程（3.1）定义所有未知函数的估计量。[基于方程（3.2）的相应估计量可以单独导出]。设β（Kg）g，β（Kg）h，θ（KV）十、*,^θ（KV）Y、 ^θ（KV）Zdenote样本对数概率NNxi=1ln^fY，Z|X（Yi，Zi|Xi），（4.3），其中^fY，Z|X（y，Z|X）=R^f（K）Z）Z（Z）-^h（Kh）（x）*, β（Kh）h），θ（K）Z）Z） ^f（K）Y）Y（Y）-^g（Kg）（x）*, β（Kg）g），θ（K）Y）Y） ^f（K）十、*)十、*（十）*-x、 θ（K）十、*)十、*) dx*, 受试者toKVXk=1θ（KV）V，kC（KV）V，1，k=1和kvxk=1θ（KV）V，kC（KV）V，c，k=0（4.4）BERKSON误差11V=ZY十、*并受以下技术规范约束。估计量由^g（x）给出*) = ^g（Kg）（x）*;^β（Kg）g），^h（x*) =^h（Kg）（x）*;^β（Kg）h），（4.5）^fV（v）=^f（KV）v（v，^θ（KV）v）对于v=十、*, YZ.这类估计属于筛式非参数极大似然估计（MLE）的一个非常普遍的类别，其渐近理论在过去几年中受到了相当大的关注[e.g.，Grenander（1981），Gallant and Nychka（1987），Shen（1997）]。在这里，我们将Gallant和Nychka（1987年）以及Newey和Powell（2003年）的治疗进行对比，以确定上述程序的一致性。

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可人4

2022-4-29 17:13:38

虽然筛型估计器的一致性之前已经在一些高级假设下在非常一般的环境中建立，但我们的贡献是为本文所考虑的模型类的一致性提供了非常基本的条件。我们首先需要确定感兴趣的密度所在的集合。估计量一致性的形式证明要求这个集合是紧凑的，尽管这个要求在实践中似乎没有什么影响。本质上，紧凑性有助于排除与非常差的估计相关的非常极端但罕见的事件。这是一个标准的规则性条件；例如，参见Gallant and Nychka（1987年）、Newey and Powell（2003年）、Newey（2001年）。众所周知，n型有限维但紧凑的集合是通过L中的有界性和Lipschitz约束生成的集合∞空间在这里，我们使用加权Lipschitz约束，以允许在无界集上支持密度，同时仍保持紧致性（我们的处理方法可以直接适用于在有限区间上支持变量的简单情况）。继Gallantand Nychka（1987）之后，我们实施了一些限制措施，以避免对数可能性出现过快的差异。定义4.1。让kf k=supv∈R | f（v）|。让B明确并严格肯定。设f′+（v）是严格正的有界函数，它在| v |中衰减，关于v=0对称，这样r∞-∞f′+（v）dv<∞. LetS={f:R7→ [-B、 B]这样|λf（v）/vλ|≤ f′+（v）}。让f-（v）和f+（v）是具有f的严格正有界函数-（v）在| v | andR中减少∞-∞f+（v）dv<∞. 设F={F∈S:f-（五）≤ f（v）≤ f+（v）}。我们还为回归函数定义了合适的范数和集合f。在这里，我们需要考虑到函数在受控速率下发散到其参数的有限值。

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2022-4-29 17:13:41

与任何现有的预期误差的全局测量类似，我们也使用了一个范数来降低尾部的误差，这与非参数12 S.M.Schennachression函数的尾部总是用更多的噪声来估计这一事实是一致的，因为那里的数据点较少。定义4.2。设ω：r7→ R+由一些给定的严格正、有界和可微的权重函数确定。对于任何函数g:r7→R、设kg kω=kωgk，其中ωg（v）≡ g（v）ω（v）。设G={G:ωG∈ S和| g（v）|≤ g+（v）}其中g+（v）是一个给定的正函数，在| v |中，对称于v=0。我们现在可以说明所需的正则性条件。假设4.1。观察到的数据（Xi、Yi、Zi）是独立的，并且在i=1、2、。假设4.2。我们有f十、*, FY、 fZ∈ F和g，h∈G.假设4.3。可表示为级数（4.2）和（4.1）的函数集分别在F（范数k·k）和G（范数k·kω）中稠密。许多系列类型的密集度结果可在文献中随时获得[例如，Newey（1997）、Gallant和Nychka（1987）]。尽管这样的结果有时用均方型范数来表达，而不是这里使用的sup范数，Lemma4。下面的1【在Schennach（2013年）中得到证实】确定，在集合F和G中，均方标准中的密度意味着我们使用的标准中的密度。引理4.1。设{fn}是F.ThenR |fn（v）|dv中的一个序列→0意味着NK→0（定义4.1中的F和k·k）。我们还需要标准的有界性和支配条件。假设4.4。对于任何x∈ R、 R（ω（x）*))-1f+（x）*-x） dx*< ∞ 对于定义中的ω和f+。分别为2和4.1。假设4.5。

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2022-4-29 17:13:46

存在b>0使得E[|ln（f-（X，Y，Z）|]<∞, f在哪里-（x，y，z）≡ 2bf-（b） f-（|y |+（g+（|x |+b）））f-（|z |+（g+（|x |+b））代表f-和定义中的g+一样4。分别为1和4.2。然后我们可以陈述我们的一致性结果[在Schennach（2013）中得到证明]：定理4.1。在假设下。1–4.5，如果KVp→ ∞, 对于V=h，g，十、*, YZ、（4.5）中给出的估计量在（4.3）的最小值下根据（4.4）^f进行评估十、*,^fY、 ^fZ∈ F和^g，^h∈ G和满足假设4.4是这样的，k^G-G*kωp→0，k^h-H*kωp→0，k^f十、*-F*十、*金伯利进程→0，k^fY-F*Ykp→ 0，k^fZ-F*Zkp→0，其中初始量表示真值[即（3.1）的唯一解]。BERKSON误差13上述方法的实际实现需要在每个近似序列中选择kV项的数量。理论4。1允许数据驱动的千伏选择，因为千伏是随机的。为了选择KV，可以使用基于Kullback–Leibler（KL）标准的自举交叉验证模型选择方法，shownby van der Laan、Dudoit和Keles（2004），即使候选模型的数量随着样本量的增加而增加（因为它是h er e），也要保持一致。在该方法中，随机排除样本中的一部分p，剩余的1-p分数用于估计给定数量（K）的模型参数十、*, KY、 KZ、 Kg，Kh）对应系列中的术语。然后，使用排除分数p，在上一步中找到的估计参数值处，对可能性（或KL标准）进行评估。该过程重复多次，将样本随机分成不同的部分p和d（1-p），以获得方差非常小的平均KL准则（可根据每个随机分区的KL准则进行估计）。

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nandehutu2022

2022-4-29 17:13:48

本程序适用于（K）的各种试验选择十、*, KY、 KZ、 Kg，Kh），并选择产生最大可能性的选项。这种方法是渐近一致的（当样本为n时）→∞) 作为np→∞ 和p→在范德兰、杜多伊特和凯尔斯（2004）所述的一些温和的技术规范条件下。我们的非参数应用程序roach嵌套了参数和半参数模型。通过用合适的参数模型替换部分或全部非参数序列近似，可以很容易地实现这些子类。沿着Shen（1997）或Hu和Schennach（2008）的线，有可能获得收敛速度和极限分布结果，尽管由于空间限制，我们在这里没有这样做[说明适当的规律性条件，即使是以高级形式，也是相当复杂的，如Hu和Schennach（2008）的补充材料所示，其中涵盖了一个相关但不同的测量误差模型]。然而，重要的是要指出一个重要的属性。在非参数正则条件下，非参数筛的正则性和非参数筛的正则性是一致的；Shen（1997）的See定理4。这种最优性的概念是众所周知的参数极大似然效率的自然非参数推广。5.模拟研究。我们现在通过一个模拟例子来研究所提出的估计器的实际性能和可行性，这个例子被选为一个困难的例子。数据生成如下。X的分布是一个非if-orm分布[-1,1]（意味着标准偏差为0.58）。我们认为6个自由度的厚尾t分布按0.5缩放为十、*.

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2022-4-29 17:13:51

14 S.M.SCHENNACHthe误差的标准差十、*几乎与“信号”X中的一个相同，因此这个估计问题非常困难。分配Y isa逻辑比例为0.125，而Z是一个t分布，6个自由度按0.25的比例缩放。回归函数的形式为：*) = |十、*|十、*,（5.1）是完全可多次微分的，因此限制了其系列估计在测量误差稳健估计中的收敛速度（原始估计受影响较小，因为它会“看到”该函数的平滑变化）。仪器方程h是严格凸的，因此会加剧许多非参数估值器的偏差，h（x*) = ln（1+exp（2x*)).如上所述，总共产生了100个独立样本，每个样本包含500个观察结果，并输入我们的估计器。出于估计目的，函数g（·）和h（·）都用多项式表示，而十、*, Y和Z由高斯乘以多项式表示[遵循Gallant和Nychka（1987），他们确定这些选择满足适当的密度条件]。高斯分布以原点为中心，但其宽度作为待估计的参数。请注意，所考虑的函数形式并不是简单地嵌套在截断筛近似所跨越的空间中。这是一个有意的选择，目的是正确地解释问题的非参数性质（研究人员从未幸运地选择一个完全符合真实模型的截断筛）。方程（3.1）中的积分通过将积分离散为范围内的和来进行数值计算[-3,3]的间隔为0.05。

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2022-4-29 17:13:55

忽略测量误差的朴素最小二乘估计（即Y对X和Z对X的最小二乘回归）被用作g和h函数的数字筛优化的起点，而相应残差的方差被用于构造初始高斯猜测，以优化所有误差分布。利用Nelder和Mead（1965）提出的单纯形法（也称为“变形虫”）对V=十、*, YZ和β（Km）m，m=g，h同时进行。估计密度和回归函数分别位于定义4中给定形式的集合F和G中的约束。1和4.2由筛分系数θ（KV）V、k和β（Km）m、kin（4.2）和（4.1）的大小范围表示。这种约束很容易在单纯形优化方法中施加：Berkson误差15会导致违反边界的参数变化被简单地拒绝（有效地分配一个“有限”值）——单纯形优化方法很容易适应目标函数中的极端行为，因为它不依赖于竞争。然而，我们发现，这些约束在实践中很少具有约束力，除非展开式中的项数很大[Gallantand Nychka（1987）报告了类似的观察结果]。通过我们的数据驱动的术语数选择方法，Kv的如此大的值往往会自然地被排除在外。为了选择给定样本的近似序列中的项数，我们使用第4节中描述的“引导交叉验证”方法，使用分数p=1/8和100个引导复制。

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2022-4-29 17:13:59

序列报告中自由参数（不计算由零均值和单位面积约束唯一确定的参数）数量的相对值十、*, FY、 fZeach跨越集合{1,2,3,4}，而对于g，h每个跨越集合{4,5,6,7}。最佳参数数（在复制过程中保持不变）为f十、*: 3.FY:3；FZ:3；g:6；h:6。图1总结了这些模拟的结果，其中还显示了忽略测量误差（即Y对X和Z对X的最小二乘回归）的朴素非参数系列最小二乘估值器，该估值器具有相同数量的奇异项，用于比较。该方法的可靠性可以通过注意复制测量的中位数与真实模型的匹配程度来评估，而忽略测量误差的朴素估计量或更具偏见，即使忽略了真正的回归函数几乎是在中间部分的事实，反而产生了一个非常误导的线性形状，尽管真正的模型具有强烈的非线性。事实上，与提出的估计器不同，朴素估计器的偏差非常大，基于它的任何类型的假设都会显示出完全误导性的置信水平：真实模型曲线（对于g和h）几乎总是位于估计器分布的95%或5%百分位之外。总的来说，在合理的样本量为500时，所提出的测量误差稳健估计器表现出低可变性和低偏差。在有限样本中，偏差不完全为零，因为我们的估计器是样本平均数的非线性函数，并且在有限样本中，筛子近似必须具有有限的精度。然而，我们的估计器在存在如此大的测量误差的情况下表现如此出色，这一事实有力地表明了它的实用性。

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nandehutu2022

2022-4-29 17:14:03

这种行为并不特定于该模型，我们已经在其他模拟设置中测试了该方法；参见Schennach（2013）。应用许多研究试图量化空气污染对呼吸健康的影响[e.g.，Dockery等人（1993）]。具体而言，人们越来越担心小颗粒物质16 S.M.SCHENNACHFig的影响。1.与忽略测量误差存在的“朴素”非参数多项式序列最小二乘估值器相比，所提出的测量误差稳健估值器实际性能的仿真研究。在每个图中，100次重复模拟的估计器的点态90%置信区间显示为误差条。[Pope等人（1995年），Samet等人（2000年）]。这类研究的一个关键困难在于，空气质量监测器不一定位于受空气污染影响的对象附近，这意味着主要的利益回归因素被误判。伯克森：我们对这个问题的处理方法依赖于美国环境保护署（EPA）和疾病控制中心（CDC）收集的非常全面的全国性数据。污染水平取自2005年EPAS监测值报告标准空气污染物数据库。EPAs数据提供了美国各地不同监测站的颗粒物水平的点测量值（我们关注的是所谓的PM2.5颗粒物的第95百分位水平，直径小于2.5微米的颗粒物），从中我们构建了州平均污染水平（我们的X变量，以每米微克颗粒物测量）。我们不知道，因为污染数据只适用于一小部分县，即使有，其测量误差的性质也是复杂的（可能是经典误差和伯克森误差的混合）。

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2022-4-29 17:14:07

通过构建州级平均值，我们将监测测量中的随机性平均化，同时保持个体暴露中的随机性不变，从而获得每个州的个体所经历的污染水平的有效Berkson误差污染估计，无论他们是否生活在有监测站的国家。每个人都面临着与州平均水平相等的暴露，加上由于其精确的地理位置和生活方式而产生的未知随机噪音。健康数据来自2005年公开的“疾控中心奇迹”数据库，题为“死亡的根本原因”。为了测量呼吸系统健康，我们使用死亡原因的数据，其优点是非常全面和准确（需要医学专业人员收集数据，不依赖自愿调查）。对数据完整性的一个限制是，对于一些县，数据被CDC“禁止”（出于隐私原因）或标记为“不可靠”，因此从我们的样本中省略。我们感兴趣的因变量（Y）是因“慢性低呼吸疾病”（如哮喘、支气管炎、肺气肿）导致的死亡率（每10000人），而我们的工具（Z）是因“外部因素导致的肺部疾病”（如有机或无机粉尘导致的尘肺病、煤工尘肺）导致的死亡率（每10000人）。其基本原理是，作为一种工具，使用一个显然会受到污染水平影响的变量。该变量间接提供了有关真实污染水平的信息，因此可以更准确地评估污染（如果有）对相关变量的影响。我们使用县级死亡原因数据，因为这些数据随时可用，无需担心患者隐私问题。

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2022-4-29 17:14:11

此外，CDC提供了经年龄校正的死亡率，从而校正了县与县之间的人口差异。我们通过县匹配死亡率数据和州匹配污染数据来构建样本，在多达51个州的多个县进行了305次观察。我们的方法的一个局限性是，它无法控制其他可能的混淆效应，例如，如果吸烟者的比例在工业城市和工业城市之间存在差异。然而，这种限制在此类研究中很常见[如Dockery等人（1993年）所述]。我们使用与模拟示例中相同类型的筛子和计算方法，并使用第4节中描述的“bootstrapcross验证”方法选择术语的数量，分数p=1/8和100个bootstrap复制。代表f的系列中自由参数数的试验值十、*, FY、 fZ平移范围{1,2,3}，而序列r中表示g和h的项数的三个左值跨越范围{2,3,4}（如果将任何一个kV增加到该范围之外，则会导致明显更差的性能）。自由参数（不计算由零均值和单位面积约束唯一确定的参数）的最佳数量为f十、*: 2.FY:3；FZ:1；g:4；h:3。非参数估计值周围90%的置信区间是通过100次复制的标准自举法获得的[参见Gin\'e and Zinn（1990）中证明其使用的一般条件]。结果如图2所示。一些观察结果是正确的。首先，我们的测量误差鲁棒估计器完全能够检测到clearFig。2.将建议的估计器应用于流行病学示例（变量和估计函数的描述见正文）。

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能者818

2022-4-29 17:14:14

在每个图中，估计器显示为实线，而误差条表示点态90%置信区间。在（b）中，“朴素”估计是一种忽略测量误差的非参数多项式级数最小二乘估计。（a）中的估计器显示在图（b）上，用于比较。Y和X之间的BERKSON单调关系*在Z和X之间*尽管使用了完全非参数的方法，但仍具有有用的置信区间。第二，尽管测量误差的分布很难估计（由宽置信区间反映），但这种不确定性对主要利益函数的影响[g（x*)] 幸运的是，它非常有限。90%的置信区间表明，大量测量误差的存在与数据一致：测量误差约为10ug/m，而观察到的X大致在10到40ug/m之间。第三，测量误差的分布Y具有不可忽略的不对称性，因此说明了仅假设所有误差项为正态的方法的缺点。相比之下，这些数据的分布十、*和Z显然非常接近对称（这是正式模型选择程序的结论，而不是假设）。出于比较目的，我们还使用传统的最小二乘法（从而排除测量误差）和多项式规格，对误测回归器X上的因变量（Y或Z）进行简单回归，其项数与我们的Berkson模型相同。这项研究的第一个令人不安的观察结果[见图2（b）]是对g（x）的天真估计*)不是单调的，尽管在其意外下降的区域，置信区间并不排除恒定响应。

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2022-4-29 17:14:17

其次，与直觉相反的是，朴素估计量的置信区间有时大于稳健估计量的相应区间。这是一个事实的结果，即校正forBerkson误差相当于一个类似于卷积的操作（而不是像经典测量误差那样的反卷积）。与反褶积不同，卷积是一种降噪操作，有效地将Y的变化平均在X的宽范围内，从而在给定X的特定值的情况下得出Y的预期值。这种现象还可能导致测量误差稳健估计的响应行为更合理（即，增加）。最后，测量误差稳健回归函数通常位于或超过原始估计分布的95%或5%；参见图2（b）。这意味着任何统计测试的水平都会有严重的偏差。例如，朴素估计量的置信区间将拒绝我们对g（x）的最佳估计*)通过测量误差或rob ust p程序获得。总之，这个应用程序示例说明，忽略Berkson错误在非线性环境中可能会造成严重误导。不仅估计响应的形状受到了相当大的影响，而且基于测量误差盲法的统计参考也会有很大的偏差。这个应用实例还表明，我们的完全非参数测量误差鲁棒性方法在实际数据集中通常可用的样本量下运行良好，并且假定了测量误差分布的知识。20 S.M.Schennachapendix：PROOFSLet Lb（D）带D 对于某些情形，L（D）中所有有界函数的s集都具有通常的形式。

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2022-4-29 17:14:21

此外，每当我们在Lb（D）中陈述乐趣之间的质量时，我们的意思是它们的差异在形式中为零。我们提供定理1的两个证明。第一个假设由一位专家提出，它依赖于（i）Z和X的附加假设*具有相同的尺寸和（ii）h及其逆是可区分的。假设（i）进行消费。3不太可能成立，但可以在某种程度上直接应用Hu和Schennach（2008）中的定理1。第二个证明放松了这些假设。它借鉴了Hu and Schennach（2008）的一些算子技术，但需要对方法进行相当大的修改，我们在此重点讨论了不同的证明方面。证明理论3。1（简单的特殊情况）。让Huand Schennach（2008）中的变量用相应的up percase字母和波浪号表示，并进行以下赋值：（~X）*,~X，~Y，~Z）=（h（X*), Z、 Y，X）。我们现在验证Hu和Schennach（2008）中定理1的5个假设。为了验证假设1，我们观察到*,~X、~Y、~Z）和（X）*, Z、 Y，X）通过：fX关联*,~X，~Y，~Z（~X*, ~x，~y，~z）=fX*,Z、 Y，X（h）-1（~x）*),~x，~y，~z）|H-1（~x）*)/~x*′| 在哪里*,Z、假设3.1中的Y，Xexists和h-1（~x）*) 假设存在。3.雅可比矩阵H-1（~x）*)/~x*′仅当X*和Z（因此X*) 具有相同的维数，并且在h及其逆可微的假设下是有限的和非奇异的。

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