Berk-Nash均衡：一个具有错误指定的代理建模框架

2022-5-7 02:58:58

伯克-纳什均衡：一个用错误模型对代理人建模的框架*Ignacio Esponda Demian Pouzo（WUSTL）（加州大学伯克利分校）2019年11月22日摘要我们开发了一个平衡框架，放松了人们对环境有正确特定看法的标准假设。每一个玩家都有一个（可能是误判的）主观模型，该模型描述了作为行动函数的与支付相关的后果的一组可行信念。我们引入了伯克-纳什均衡的概念：每个参与者都遵循一个策略，该策略在给定其信念的情况下是最优的，并且她的信念被限制为她认为可能的一组信念中的最佳。最佳函数的概念形式化为最小化Kullback-Leibler发散，这是内在的，取决于均衡策略。如纳什均衡和纳什均衡等标准均衡。我们通过扩展和结合关于特定错误学习的统计文献和关于游戏学习的经济学文献的结果，为伯克-纳什均衡提供了学习基础。*我们感谢弗拉基米尔·阿斯里扬、皮耶保洛·巴蒂加利、拉里·布鲁姆、亚伦·博多·克里德、西尔瓦恩卡桑、埃米利奥·埃斯皮诺、埃里克·埃斯特、德鲁·福登伯格、尤里·戈罗德尼琴科、斯蒂芬·劳尔曼、娜塔莉亚·拉扎蒂、克里斯托夫·马达雷斯、马修·拉宾、阿里尔·鲁宾斯坦、乔尔·索贝尔、约尔格·斯托耶、几位研讨会参与者，尤其是一位联合编辑和四位匿名裁判，感谢他们提供了非常有益的评论。Esponda：圣路易斯华盛顿大学奥林商学院，布鲁金斯大道1号，圣路易斯大学1133校区信箱。

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2022-5-7 02:59:01

路易，密苏里州63130，iesponda@wustl.edu; 普佐：加州大学伯克利分校经济系，地址：加利福尼亚州伯克利市埃文斯厅530-1号，邮编：94720，dpouzo@econ.berkeley.edu.1引言大多数经济学家认识到，他们模型背后的简化假设往往是错误的。但是，尽管认识到模型可能存在误判，但标准方法（下文指出的例外情况除外）假设经济机构对其环境有正确的特定看法。我们提出了一个平衡框架，放松了这个标准假设，并允许建模者假设经济主体对自己的世界有主观的、可能不正确的看法。一个客观的游戏代表了代理（或玩家，在多个交互代理的情况下）所面临的真实环境。相关状态和私人观测到的信号来自客观概率分布。每个玩家观察herown的私人信号，然后玩家同时选择动作。行动和实现状态决定结果，结果决定回报。此外，每个参与者都有一个主观模型，代表自己对环境的看法。从形式上讲，主观模型是一组概率分布，这些概率分布是玩家自身行为和信息的函数。重要的是，我们允许一个或多个参与者的主观模型被误判，这意味着主观分布集不包括真实的客观分布。例如，消费者可能会认为非线性价格表是线性的，因此对平均价格而非边际价格做出反应。或者，交易者可能没有意识到贸易的价值在一定程度上取决于贸易条件。伯克-纳什均衡是一种策略，即对于每个参与者，其主观模型满足两个条件时，存在一个信念和支持。

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2022-5-7 02:59:04

首先，考虑到信念，策略是最优的。其次，该信念将概率1置于主观分布的集合上，而不是与真实分布“最接近”的结果，其中真实分布由客观博弈和实际策略决定。“最近”的概念由加权版的库尔贝克-莱布勒散度（也称为相对熵）给出。伯克-纳什均衡包括一个共同框架中的标准和有界理性解概念，如纳什、自我确认（例如，巴蒂加利（1987）、福登伯格和莱文（1993a）、德克尔等人（2004））、完全诅咒（埃斯特和拉宾，2005）和基于类比的期望均衡（杰希尔（2005）、杰希尔和科斯勒（2008））。例如，假设游戏被正确指定（即，每个玩家的先验支持包含真实分布），并且游戏被强烈识别（即，存在唯一的分布，无论是否正确，都与观察到的数据相匹配）。然后伯克-纳什均衡等价于纳什均衡。如果放弃了强烈的认同假设，那么伯克-纳什就是一个自我确认的均衡。除了统一以前的工作之外，我们的框架还为扩展以前的案例和探索新类型的错误提供了一种系统的方法。我们通过研究一个由固定数量的玩家反复玩目标游戏的动态设置，为伯克-纳什均衡（以及使用库尔巴克莱布尔散度作为“距离”的度量）提供了基础。每个玩家都相信环境是静止的，并从一个优先于她的主观模型开始。在每个阶段，玩家根据观察到的结果，根据贝叶斯规则更新他们的信念。

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2022-5-7 02:59:07

主要目的是描述当玩家表现最佳但使用可能错误的主观模型学习时的限制行为。主要结果是，如果玩家的行为收敛，那么它收敛到伯克纳什均衡。相反的结果表明，对于某些初始（非教条主义者）先验，我们可以收敛到博弈的任何伯克-纳什均衡，但这一结果并不成立。但是，我们放松了参与者精确优化的假设，从而获得了一个正的收敛结果。对于任何给定的Berk-Nash均衡，我们证明，如果代理近视并做出渐近最优选择（即，优化错误随时间消失），就会收敛到该均衡。长期以来，人们一直对研究持有错误世界观的代理人的行为感兴趣。例子来自不同的领域，包括工业组织、机制设计、信息经济学、宏观经济学、心理学和经济学（例如，阿罗和格林（1973）、基尔曼（1975）、索贝尔（1984）、卡格尔和莱文（1986）、尼亚尔科（1991）、萨金特（1999）、拉宾（2002）），尽管通常没有明确提到错误的学习。然而，大多数文献侧重于特定环境，在开发统一框架方面几乎没有进展。我们的处理方法既有“理性”的方法，也有“有限理性”的方法，因此强调，对不特定参与者的行为建模并不构成对标准框架的重大偏离。Arrow and Green（1973）提供了一种通用的处理方法，并区分了客观游戏和主观游戏。

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2022-5-7 02:59:10

不过，他们的框架比我们的框架在允许玩家出现的错误类型方面更具限制性。在多个代理的情况下，环境不需要是静止的，因此我们忽略了重复的游戏考虑，玩家会考虑他们的行为如何影响其他人的未来游戏。在第5节中，我们讨论了对具有连续代理的种群模型的扩展。此外，它们不能建立存在或为平衡提供学习基础。最近，Spiegler（2014）引入了一个框架，该框架使用贝叶斯网络在不完全理解相关结构的情况下分析决策。我们的论文还与bandit（如Rothschild（1974）、McLennan（1984）、Easley和Kiefer（1988））和自我确认平衡（SCE）文献有关，这些文献强调，如果实验成本高昂，代理人可能会以错误的信念告终。我们也允许由于反馈不足而导致信念错误，但我们的主要贡献是允许错误的学习。当玩家有错误的模型时，信念可能是不正确的，并且内在地依赖于自己的行为，即使有持续的实验；因此，需要一个平衡框架来描述日常状态行为，即使是在单代理环境中。从技术角度来看，我们扩展并结合了两篇文献的结果。首先，均衡是学习过程的结果这一观点来源于有关游戏学习的文献。

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2022-5-7 02:59:14

这篇文献研究明确的学习模型来证明NASH和SCE（例如，福登伯格和克雷普斯（1988）、福登伯格和克雷普斯（1993）、福登伯格和克雷普斯（1995）、福登伯格和莱文（1993b）、卡莱和莱勒（1993））。我们通过允许玩家学习即使在稳定状态下也被错误定义的世界模型来扩展这些文献。其次，我们依赖并贡献了研究贝叶斯后验概率极限行为的文献。该文献的结果已应用于具有正确指定代理的决策问题（例如，Easley和Kiefer，1988）。特别是，鞅收敛定理的应用意味着信念几乎肯定会在主体的主观先验下收敛。然而，如果我不支持正确的分布，那么根据她的先验分布，我就不支持正确的分布。因此，我们采取了不同的方法，并遵循了有关误读学习的统计文献。

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2022-5-7 02:59:18

这篇文献描述了库尔贝克-莱布尔迪维森斯（Kullback-Leiblerdivergence，1966）、邦克（Bunke）和米尔豪德（Milhaud，1998））的限制性信念。我们对统计数据进行了扩展。一些解释解释了为什么玩家可能会有错误的模型，包括使用启发式（Tversky和Kahneman，1973年）、复杂性（Aragones等人，2005年）、避免过度填充数据的愿望（al-Najjar（2009年）、al-Najjar和Pai（2013年））以及昂贵的关注（Schwartzstein，2009年）。在宏观经济学文献中，SCE一词有时在更广泛的意义上被用来包括代理人模型有误的情况（例如，Sargent，1999）。SCE的两个扩展也可能适用：基于内省的信念限制（如Rubinstein和Wolinsky，1994年）和模糊厌恶（Battigalli等人，2012年）。参见Fudenberg和Levine（1998年、2009年）对该文献的调查。White（1982）指出，Kullback-Leibler分歧也表征了关于特定学习的限制性行为文献，即代理人不仅被动地学习环境，而且通过采取行动积极地学习。我们在第2节介绍了框架和示例，在第3节讨论了与其他解决方案概念的关系，并在第4节提供了学习基础。我们将在第5.2节框架2中讨论假设和扩展。1环境（同时移动）博弈G=<O，Q>由（同时移动）客观博弈O和主观模型Q.客观博弈组成。

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2022-5-7 02:59:21

（同时移动）目标游戏是tupleO=hI，Ohm, S、 p，X，Y，f，πi，其中：i是参与者的集合；Ohm 是支付相关状态的集合；S=×i∈ISI是一组信号，其中Si是玩家i的信号集；p是一个概率分布Ohm 为了简单起见，假设它具有完全支持的边缘；我们使用标准符号来表示边际分布和条件分布，例如pOhm|Si（·| Si）表示上的条件分布Ohm 给定Si=Si；X=×i∈IXII是一组动作，其中XII是玩家i的动作集；Y=×i∈iyis是一组（可观察到的）后果，其中yi是参与者i的一组后果；f=（fi）i∈Iis是反馈或结果函数的文件，其中fi:X×Ohm → 依林Ohm 将X转化为玩家i的后果；π=（πi）i∈一、式中πI：Xi×Yi→ R是参与者i的支付函数。为了简单起见，我们证明了上述所有集合都是有限的情况下的结果。目标游戏的时间安排如下：首先，根据p绘制一个状态和一个信号文件。其次，每个玩家私下观察自己的信号。第三，玩家同时选择动作。最后，每个玩家都会观察自己的结果并获得回报。我们隐含地假设参与者至少观察到最大拟似然估计。反馈函数的概念来自SCE文献。此外，虽然πidepend依赖于xi很重要，但它简化了应用中的符号。在工作文件版本（Esponda和Pouzo，2014年）中，我们提供了技术条件，其结果延伸至非最终结果Ohm 玩家i的策略是映射σi:Si→ （十一）。玩家在观察信号si后选择动作Xia的概率用σi（xi | si）表示。

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2022-5-7 02:59:26

战略规划是战略向量σ=（σi）i∈我设∑表示所有战略文件的空间。修正一个客观的游戏。对于每个策略文件σ，参与者i的结果有一个客观分布，Qiσ：Si×Xi→ （Yi），其中qiσ（Yi | si，xi）=X{（ω，X）-i）：fi（xi，x）-i、 ω）=yi}Xs-iYj6=iσj（xj | sj）pOhm×S-i | Si（ω，s）-i | si），（1）代表所有人（si，xi，yi）∈ Si×Xi×Yi。目标分布代表后果的真实分布，取决于玩家自己的行动和信号，考虑到玩家遵循的目标游戏和策略文件。主观模型。主观模型代表了参与者认为可能的先验结果的一组分布。对于固定的客观博弈，主观模型是tupleQ=hΘ，（Qθ）θ∈Θi，其中Θ=×i∈IΘiandΘiis player I的参数集；Qθ=（Qiθi）i∈一、式中QiθI:Si×Xi→ （Yi）是由θi参数化的游戏者i的结果的条件分布∈ Θi；我们用Qθi（·si，xi）表示条件分布。虽然客观游戏代表真实的环境，但主观模型代表玩家对环境的感知。客观模型和主观模型之间的这种分离在本文中至关重要。备注1。主观模型的一个特例是，每个参与者都了解正在进行的客观博弈，但不确定状态分布、结果函数，以及（在多个参与者的情况下）其他参与者的策略。在这种特殊情况下，游戏者i关于p，fi和σ的不确定性-可以用参数模型pθi，fiθi，σ来描述-iθi，其中θi∈ Θi。

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2022-5-7 02:59:29

然后通过替换p、fi和σ得出主观分布qiθiis-i带pθi，fiθi，σ-iθiin方程（1）。如果玩家不遵守自己的支付，请参见在线附录E。与往常一样，上标-i表示第i个分量被排除在外的文件。为了简单起见，我们假设玩家知道自己信号的分布。在这种情况下，玩家理解其他玩家独立混合，但由于参数θi的不确定性，指数σ-iθi=（σjθi）j6=i，她可能有相关的信念，认为气θ是原始的，我们强调两点。首先，这个物体能很好地描述行为。第二，使用一般的主观分布可以产生更多的一般类型的误判，参与者甚至不必了解决定其支付相关后果的结构要素。我们对主观模型保持以下假设。假设1。尽管我∈ I：（I）Θiis是欧氏空间的紧子集，（ii）QiθI（yi | si，xi）作为θI的函数是连续的∈ Θifor all（一、四、十一）∈ Yi×Si×Xi，（iii）对于所有θi∈ Θi，存在一个序列（θin）ninΘisuch，limn→∞θin=θi，对于所有n，Qiθin（yi | si，xi）>0对于所有（si，xi）∈ Si×Xi，yi∈ fi（xi，X）-i、 ω）和ω∈ 补充（pOhm|Si（·| Si））。条件（i）和（ii）是用于定义统计学参数模型的标准条件（例如Bickel等人（1993））。条件（iii）有两个作用。首先，它保证存在至少一个参数值，将正概率附加到每个可行观测。特别是，它排除了可以被视为明显的误判的可能性，即主观模型的每个元素都将切萨罗概率附加到以正真实概率发生的事件上。

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2022-5-7 02:59:32

其次，它在主观模型上引入了一个“丰富性”条件：如果某个可行事件被某个参数值排除，那么该参数值并不是孤立的，因为附近有一些参数值认为每个可行事件都是可能的。在第5节中，我们证明了均衡可能不存在，如果没有这个假设，稳态行为不需要以均衡为特征。2.2示例我们通过展示几个以前未集成到通用框架中的示例来说明环境。在使用单个代理的示例中，我们从符号中删除i下标。例2.1。需求未知的垄断者。垄断者面对需求y=f（x，ω）=φ（x）+ω，其中x∈ X是垄断者策略所选择的价格，如Fudenberg和Levine（1993年a）。Nyarko（1991）研究了例2.1的一个特例，表明纯策略中不存在稳态；Sobel（1984）认为存在类似于示例2.2的错误说明；Tverskyand Kahneman（1973）的故事激发了例子2.3；萨金特（1999年，第7章）研究了例2。4.Kagel和Levin（1986）、Eyster和Rabin（2005）、Jehiel和Koessler（2008）以及Esponda（2008）研究实例2.5。更多示例见Esponda和Pouzo（2014）。ω是分布为p的平均零激波∈ (Ohm). 垄断者观察到了令人震惊的情况，但没有观察到这种震惊。垄断者不观察任何信号，因此我们省略了符号中的信号。垄断者的报酬是π（x，y）=xy（即没有成本）。垄断者关于p和f的不确定性由参数模型fθ，pθ描述，其中y=fθ（x，ω）=a- bx+ω是需求函数，θ=（a，b）∈ Θ是一个参数向量，ω~ N（0，1）（即pθ是所有θ的标准正态分布）∈ Θ).

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2022-5-7 02:59:35

特别是，这个例子对应于在标记1中讨论的特殊情况，Qθ（·x）是平均值为a的正态密度- bx和单位方差。例2.2。非线性税收。一名特工选择了e off x∈ X等于成本c（X），并获得收入z=X+ω，其中ω是分布p的零平均冲击∈ (Ohm). 代理人纳税t=τ（z），其中τ（·）是一个非线性纳税计划。代理没有观察到任何信号，因此我们忽略了它们。agent观察y=（z，t）并获得payoffπ（x，z，t）=z- T- c（x）。她知道福利如何转化为收入，但没有意识到边际税率取决于收入。我们比较了两个捕捉这种错误的模型。在模型A中，代理人相信随机系数模型t=（θA+ε）z，其中边际税率和平均税率均等于θA+ε，其中θA∈ ΘA=R。在模型B中，代理人认为t=θB+θBz+ε，其中θBis是恒定的边际税率，θB=（θB，θB）∈ ΘB=R。在两种模型中，ε~ N（0，1）衡量计划的不确定方面（例如税率或抵免的变化）。因此，Qjθ（t，z | x）=Qjθ（t | z）p（z- x）式中，Qjθ（·| z）是正态密度，模型j=a的平均θa和方差zin，模型j=B的平均θB+θBz和单位方差。例2.3。回归均值。教师观察学生的首字母缩写，并决定表扬或批评他，x∈ {C，P}。然后学生再次表演，讲师观察他的最终表演s。事实是，表演y=（s，s）是独立的标准正态随机变量。

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kedemingshi

2022-5-7 02:59:38

教师的报酬是π（x，s，s）=s- c（x，s），其中c（x，s）=κ| s |>0，如果s>0，x=c或s<0，x=P，在所有其他情况下，c（x，s）=0。函数c表示说谎（即，在形式上高于平均值的批评，f（x，ω）=（z（x，ω），t（x，ω）），其中z（x，ω）=x+ω和t（x，ω）=τ（x+ω）。没有必要假设一个平衡存在的Θa和ΘBare紧；同样的建议适用于示例2.3和2.4形式上，ω=（s，s），p是标准正态分布的乘积，y=f（x，ω）=ω。（低于平均水平的表现或赞扬）增加谎言的规模。因为讲师无法影响绩效，所以如果s>0，最好表扬，如果s<0，最好批评。然而，讲师不承认回归到平均值的可能性，并且认为s=s+θx+ε，其中ε~ N（0，1）和θ=（θC，θP）∈ Θ参数化她对绩效的感知影响。因此，假设Qθ（·| x）是平均s+θx和单位方差的正态密度，如果^s=s，则Qθ（^s，s | s，x）=Qθ（s | s，x），否则为0。例2.4。货币政策。两个参与者，ZF（G）和公众（P），即i={G，P}，分别选择货币政策和通货膨胀预测。它们不观察信号，所以我们忽略了它们。通货膨胀率e和失业率U由=xG+εe（2）U=U确定*- λ（e）-xP）+εU，（3）其中U*> 0, λ ∈ （0,1）和ω=（εe，εU）∈ Ohm = 罕见的冲击，完全支持p分布∈ (Ohm) V ar（εe）>0。公众和ZF观察到了通货膨胀和失业，但没有观察到错误的术语。ZF的政策是π（xG，e，U）=-（U+e）。为了简单起见，我们关注ZF的问题，并假设公众有正确的信念，并选择xP=xG。

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2022-5-7 02:59:42

政府理解其政策xGa对通货膨胀的影响，但没有意识到失业是由意外的通货膨胀影响的：U=θ- θe+εU.（4）主观模型由θ=（θ，θ）参数化∈ 由此得出Qθ（e，U | xG）是方程（2）和（4）所暗示的密度。例2.5。与逆向选择交易。估价为v的买家∈ 卖方提交（投标）价格x∈ X和要价a∈ A、分别。卖方的要价和买方的价值从p中提取∈ （A×V），所以Ohm = 允许回归到平均值的×VA模型是s=αs+θx+ε；在这种情况下，代理人将正确地了解到所有x的α=0和θx=0。拉宾和瓦亚诺斯（2010）研究了一个相关的设置，在该设置中，代理人认为冲击是自回归的，而实际上它们是i.i.d.形式上，ω=（εe，εU）和y=（e，U）=f（xG，xP，ω）由等式（2）和（3）给出。是状态空间。因此，买方是唯一的决策者。提交aprice后，买方观察y=ω=（a，v）并获得支付π（x，a，v）=v- 如果a≤ 否则为X和零。换句话说，买家会观察到完美的反馈，得到v-如果存在贸易，则为x，否则为0。在提供服务时，她不知道自己的价值或卖家的要价。她也没有观察到任何信号，所以我们忽略了它们。最后，假设A和V是相关的，但买方认为它们是独立的。这可以通过Qθ=θ和Θ=（A） ×（五）。2.3平衡与真实模型的定义。在均衡状态下，我们将要求参与者的信念将概率1放在主观分布的集合上，而不是“最接近”客观分布的结果上。

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2022-5-7 02:59:46

下面的函数，我们称之为玩家i的加权库尔贝克-莱布尔散度（wKLD）函数，是统计学中标准库尔贝克-莱布尔散度的加权版本（库尔贝克和莱布尔，1951）。它代表了在给定策略绩效σ的情况下，目标分布与i的结果之间的“距离”∈ ∑和θi参数化的分布∈ Θi:Ki（σ，θi）=X（si，xi）∈Si×XiEQiσ（·Si，xi）lnQiσ（Yi | si，xi）Qiθi（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）。（5）给定σ的游戏者i的最接近参数值的集合是集合Θi（σ）≡ arg minθi∈ΘiKi（σ，θi）。解释是Θi（σ） Θ是一组参数值，在观察到与策略文件σ一致的反馈后，我可以相信这是可能的。备注2。我们在第4节中展示了wKLD在贝叶斯学习模型中是正确的距离概念。在这里，我们为一个贝叶斯代理提供了一个启发式论证（为了清晰起见，我们去掉了i个下标），它的参数集Θ={θ，θ}在t个周期（sτ，xτ，yτ）t上观察数据-1τ=0，这来自于典型故事的反复播放，即有一群卖家，他们每个人都遵循要求估价的弱主导策略；因此，卖出价是卖方估值的函数，如果买方和卖方估值是相关的，那么卖出价和买方估值也是相关的。符号EQdenotes是关于概率分布Q的期望值。同样，我们使用的约定是-ln 0=∞ 0 Ln0=0。战略σ下的目标博弈。让ρ=u（θ）/u（θ）表示代理的先验比率。

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可人4

2022-5-7 02:59:50

应用贝叶斯规则和简单代数，t个周期后θ上的后验概率为ut（θ）=1+ρ∏t-1τ=0Qθ（yτ| sτ，xτ）Qθ（yτ| sτ，xτ）-1=1+ρ∏t-1τ=0Qθ（yτ| sτ，xτ）/Qσ（yτ| sτ，xτ）Qθ（yτ| sτ，xτ）/Qσ（yτ| sτ，xτ）-1=1+ρexp(-ttt-1Xτ=0lnQσ（yτ| sτ，xτ）Qθ（yτ| sτ，xτ）-tt-1Xτ=0lnQσ（yτ| sτ，xτ）Qθ（yτ| sτ，xτ）！）！-式中，第二个等式后面是乘以和除以∏t-1τ=0Qσ（yτ| sτ，xτ）。通过一个大数定律的论证，以及真正的联合分布（s，x，y）由Qσ（y | x，s）σ（x | s）pS（s）给出的事实，对数似然比的差异收敛于K（σ，θ）- K（σ，θ）。假设K（σ，θ）>K（σ，θ）。然后，对于非常大的t，后验信念ut（θ）大约等于1/（1+ρexp(-t（K（σ，θ）- K（σ，θ））），收敛到0。因此，后验概率最终为零。另一方面，如果K（σ，θ）<K（σ，θ），则后验概率最终为零。因此，后验结果表明，对于不使K（σ，·）最小化的参数值，概率为零。备注3。因为wKLD函数是由玩家自己的策略加权的，所以它不限制关于结果的信念，这些结果只会在失衡之后出现（超出了Θ施加的限制）。下一个结果收集了wKLD函数的一些有用属性。引理1。（i）尽管我∈ 一、 θI∈ σi∈ ∑，Ki（σ，θi）≥ 当且仅当Qθi（·| si，xi）=所有（si，xi）的Qiσ（·| si，xi），且σi（xi | si）>0。（ii）就我而言∈ 一、 ΘI（·）是非空的、上半连续的、紧值的。证据见附录。Θi（·）的上半连续性将遵循极大值定理，前提是我们假设Qiθito对于所有可行事件和θi都为正∈ Θi，因为WKLD功能将是有限且连续的。

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能者818

2022-5-7 02:59:54

但在某些情况下，这种假设可能很强。假设1（iii）通过要求它保持Θ的稠密子集来削弱这个假设，并且仍然保证Θi（·）是上半连续的。例如，它排除了玩家认为其他人遵循纯粹策略的情况。最优性。在均衡状态下，我们将要求每个玩家根据自己的信念选择一种最佳策略。给定ui，玩家i的策略σi是最优的∈ （i）如果σi（xi | si）>0意味着xi∈ arg最大值xi∈谢琪ui（·思，\'xi）πi（(R)xi，Yi）（6）式中，\'Qiui（·| si，xi）=\'iQiθi（·| si，xi）ui（dθi）是层i的分布，条件是（si，xi）∈ Si×Xi，由ui诱导。平衡定义。我们提出以下解决方案概念。定义1。战略文件σ是博弈G的Berk-Nash均衡，如果，对于所有参与者i∈ 一、有我∈ （i）使得（i）给定ui，且（ii）给定ui∈ （Θi（σ）），即如果^θiis支持ui，那么^θi∈ arg minθi∈ΘiKi（σ，θi）。定义1对均衡行为设置了两个限制：（i）优化假设；（ii）对信念的内生限制。为了进行比较，请注意，纳什均衡的定义与定义1相同，只是条件（ii）被替换为参与者有正确信念的条件，即“Qiui=Qiσ”。平衡的存在。这里不能使用纳什均衡的标准存在性证明，因为最佳响应对应的类似版本不一定是凸值的。为了证明存在性，我们首先扰动支付，并确定扰动博弈中存在均衡。然后我们考虑扰动对策的一系列均衡，其中扰动为零，并确定极限是（未扰动）对策的Berk-Nash均衡。证明的非标准部分是证明扰动博弈中均衡的存在性。

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2022-5-7 02:59:57

扰动的最佳响应对应仍然不一定是凸值的。我们的方法是将均衡描述为信念对应的一个固定点，并证明它满足Kakutani的执行点定理的广义版本的要求。扰动的概念和存在证明的策略可以追溯到Harsanyi（1973）；Selten（1975）和Kreps and Wilson（1982）也分别用这些观点证明了完美平衡和序贯平衡的存在。定理1。每个博弈至少有一个伯克-纳什均衡。证据见附录。2.4示例：寻找伯克-纳什均衡示例2.1，接第6页。需求未知的垄断者。设σ=（σx）x∈Xdenote是一种策略，其中σxis是选择价格x的概率∈ 由于这是一个单主体问题，目标分布不依赖于σ；因此，我们用Q（·| x）来表示它，这是一个具有平均φ（x）和单位方差的正态密度。类似地，Qθ（·| x）是平均φθ（x）=a的正态密度- bx和单位方差。由方程（5）可知k（σ，θ）=Xx∈XσxEQ（·| X）（Y）- φθ（x））- （Y）- φ（x））=Xx∈XσX（φ（X）- φθ（x））。对于混凝土性，设X={2,10}，φ（2）=34，φ（10）=2，和Θ=[33,40]×[3,3.5]。让θ∈ r为需求提供一个完美的函数，即φθ（x）=φ（x）表示所有x∈ 在这个例子中，θ=（a，b）=（42，4）/∈ Θ因此，我们说Monopolist有一个错误的模型。图1中的虚线描述了最优行为：最优价格在左边是10，在右边是2，而垄断者在虚线上的参数值是不同的。为了解决均衡问题，我们首先考虑纯策略。如果σ=（0，1）（即价格为x=10），则一阶条件K（σ，θ）/a=K（σ，θ）/b=0意味着φ（10）=φθ（10）=a- b10和任何（a，b）∈ 图1中AB段上的Θ使K（σ，·）最小。

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能者818

2022-5-7 03:00:00

然而，这些最小值位于虚线的右侧，在这里，将价格设置为10并不是最优的。因此，σ=（0，1）不是一个平衡。一个类似的论点证明σ=（1，0）不是一个均衡：如果是，则最小值将位于D，而实际上选择2的价格并不是最优的。最后，考虑混合策略。由于两个一阶条件不能同时保持，使K（σ，θ）最小的参数值位于Θ的边界上。一点代数表明，对于任何完全混合的σ，有一个唯一的极小值θσ=（Aσ，bσ），其特征如下。如果σ≤ 3/4，最小值在BC段上：特别是，需求函数的确定部分可以有任何函数形式，只要它通过（2，φo（2））和（10，φ（10））。CSlope=2Slope=10Θbaθ0最优价格=10最优价格=2DABθσ33.53340slope=2Slope=10Θbaθ0最优价格=10最优价格=2DABθσ*33.53340图1：需求函数不明确的垄断者。左面板：使给定策略^σ的wKLD函数最小化的参数值为θ^σ。右面板：σ*是伯克-纳什均衡（σ*给定θσ是最优的*—因为∑*位于差异线上，θσ*最小化给定σ的wKLD函数*).bσ=3.5，aσ=4σ+37K（σ，θ）/a=0。图1的左面板描述了一个示例，其中策略^σ下的唯一极小值θ^σ由K（^σ，·）等高线和可行集Θ之间的切线给出。如果σ∈ [3/4,15/16]，那么θσ=C是Θ的东北顶点。最后，如果σ>15/16，最小值在分段DC上：aσ=40，bσ=（380）- 368σ)/(100 - 96σ）解K（σ，θ）/b=0。因为垄断者是混合的，所以最优性要求均衡信念θσ位于虚线上。

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2022-5-7 03:00:04

唯一的伯克-纳什均衡是σ*= （35/36，1/36），以及它的支持信念，θσ*= （40，10/3），由虚线和段DC的交点给出，如图1的右面板所示。然而，这并不是说关于Y的平均值的平衡信念是正确的。因此，专注于拟合平均值而不是最小化K的方法可能会得出错误的结论。可以证明K（σ，θ）=θ -θMσθ -θ, 其中Mσ是一个依赖于σ的加权矩阵。特别地，K（σ，·）的等高线是椭圆。这个例子还说明了混合策略对于存在伯克-纳什均衡的重要性，即使是在单代理环境中。作为先例，Esponda和Pouzo（2011）认为这就是为什么不能在投票应用程序中纯化混合策略均衡的原因。例2.2，接第7页。非线性税收。对于任何纯策略x和参数值θ∈ ΘA=R（模型A）或θ∈ ΘB=R（模型B），模型j的wKLD函数Kj（x，θ）∈ {A，B}equalsEhlnQ（T|Z）p（Z）- x） Qjθ（T | Z）p（Z）- x） |x=xi=-嗯τ（Z）/Z- θA| X=xi+CA（A型）-嗯τ（Z）-θB- θBZ| X=xi+CB（模型B），其中E表示真实的条件期望，Ca和CB是常数。对于模型A，θA（x）=E[τ（x+W）/（x+W）]是使KA（x，·）最小化的唯一参数。直觉上，代理人认为预期边际税率等于真实预期平均税率。对于模型B，θB（x）=Cov（τ（x+W），x+W）/V ar（x+W）=E[τ（x+W）]，其中第二个等式来自Stein引理（Stein（1972）），前提是τ是可微分的。

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2022-5-7 03:00:08

根据直觉，边际税率是真实的边际税率。现在，我们将这两种模型下的均衡与Agent有正确信念并选择使x最大化的最优策略XOPT的情况进行比较-E[τ（x+W）]-c（x）。相比之下，xj的战略*是模型jif的Berk-Nash均衡，且仅当x=xj时*最大化x- θj（xj）*)十、- c（x）。例如，假设出口成本和真正的税收计划都是平滑函数、递增函数和凸函数（例如，税收是累进函数），并且X R是一个紧密的间隔。那么一阶条件对最优性是足够的，Xopti是1的唯一解- E[τ（xopt+W）]=c（xopt）。此外，唯一的伯克纳什均衡解为1- Eτ（xA）*+ W）/（xA*+ W）= c（xA）*) A型和1型- E[τ（xB）*+ W）]=c（xB*) 对于模型B，尤其是模型B中的效果是最佳的，xB*= xopt。直觉上，代理人对其均衡选择的边际税率的真实预期有正确的信念，因此她对边际税率有正确的激励，尽管她错误地认为边际税率是恒定的。相反，在模型A，xA中，效率高于最佳值*> xopt。直观地说，agentWe使用W来表示实现ω的随机变量。通过线性和正态性，KB（x，·）的极小值与OLS估计值一致。Weassume normality表示可处理性，尽管该框架允许一般分布假设。还有其他易于处理的分布；例如，拉普拉斯分布下wKLD的最小值对应于中值（而非线性）回归的估计值。认为预期边际税率等于真实预期平均税率，低于累进制下的真实预期边际税率。例2.3，接第7页。回归均值。

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2022-5-7 03:00:12

由于最优策略的特点是一种削减效应，我们让σ∈ R代表一种策略，如果初始绩效高于σ，则讲师会对其进行表扬，并对其进行批评。任意θ的wKLD函数∈ Θ=风险（σ，θ）=^σ-∞Elnа（S）а（S）- （θC+s））~n（s）ds+^∞σElnа（S）а（S）- （θP+s））ν（s）ds，式中Ф是N（0，1）的密度，E表示真实期望值。对于每个σ，使K（σ，·）最小的唯一参数向量是θC（σ）=E[S- S | S<σ]=-E[S|S<σ]>0，同样，θP（σ）=-E[S | S>σ]<0。直觉上，讲师对低于阈值的表现至关重要，因此，被批评学生的平均表现低于无条件平均表现；因此，受到批评的学生下一次的表现会更好。同样，受到表扬的学生下一次的表现也比预期的差。遵循策略cuto offσ的讲师在观察初始绩效s>0后认为，她的预期回报是s+θC（σ）-κsif她批评，s+θP（σ）如果她赞扬。通过优化，这种削减使她在赞扬和批评之间变得不一样。因此，σ*= （1/κ）（θC（σ）*) - θP（σ）*)) > 0是唯一的平衡。忽视回归均值的教师对其反馈对学生成绩的影响有错误的看法：她在平衡中过于挑剔，因为她错误地认为批评学生会提高成绩，而表扬学生会使成绩恶化。此外，由于声誉成本κ→ 0，这意味着讲师只关心表现，而不关心撒谎，σ*→ ∞: 教师只会批评（就像特沃斯基和卡尼曼（1973）的故事）。

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2022-5-7 03:00:15

3.与其他解概念的关系我们表明，伯克-纳什均衡包括几个解概念（标准和有界理性）作为特例。3.1游戏的属性直接指定游戏。在贝叶斯统计中，如果先验知识的支持包括真实的数据生成过程，则模型是正确的。单代理决策问题的扩展非常简单。然而，在游戏中，我们必须考虑这样一个事实，即后果的客观分布（即truemodel）取决于策略属性。定义2。一个游戏被正确地定义为σif，尽管我∈ 一、存在θI∈ Θisuch，Qiθi（·| si，xi）=Qiσ（·| si，xi）代表所有人（si，xi）∈ Si×Xi；否则，在给定σ的情况下，该游戏是错误的。如果一个游戏对所有σ都有正确的定义，那么它就是正确的定义；否则，这就是误认。从玩家的角度来看，重要的是确定Qiθ的分布，而不是参数θ。如果模型被正确指定，那么真正的Qiσ就被微不足道地识别出来。当然，如果模型被错误指定，这就不是真的，因为真正的分布永远不会被了解。但我们希望定义能抓住同样的精神：如果两个分布被判定为同等最佳（给定真实的分布），那么我们希望这两个分布是相互矛盾的；否则，我们无法确定哪个发行版是最佳发行版。玩家采取行动这一事实给身份的定义带来了额外的细微差别。我们可以要求确定玩家采取的行动（即在游戏路径上）或所有行动（即在游戏路径上和离开游戏路径）的后果分布。定义3。

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2022-5-7 03:00:18

在给定σif的情况下，一个博弈是弱识别的∈ I：如果θI，θI∈ Θi（σ），然后Qiθi（·si，xi）=所有（si，xi）的Qiθi（·si，xi）∈ Si×Xisuch表示σi（xi | Si）>0（回想一下，Psi有充分的支持）。如果所有人都满足条件（si，xi）∈ Si×Xi，那么我们说，在给定σ的情况下，博弈是强识别的。如果一个游戏[弱或强]识别所有σ，则该游戏[弱或强]识别。一个正确定义的游戏是弱识别的。另外，两个接受反馈的游戏在正确定义或识别方面可能会有所不同。更准确地说，游戏是在稳定状态下正确定义的。3.2与纳什均衡和自我确认均衡的关系下一个结果表明，当博弈既被正确定义又被强烈识别时，伯克纳什均衡与纳什均衡是等价的。（i）假设在给定σ的情况下，博弈是正确的，且σ是其目标博弈的纳什均衡。σ是（客观和主观）博弈的伯克-纳什均衡；（ii）假设σ是一个博弈的Berk-Nash均衡，该均衡在给定σ的情况下得到了正确定义和强烈识别。σ是相应目标博弈的纳什均衡。证据（i）设σ为纳什均衡，并乘以任何i∈ I.然后σI，给定qiσ。由于博弈是在给定σ的情况下正确定义的，所以存在θi*∈ Θisuch thatQiθi*= 因此，由引理1，θi*∈ Θi（σ）。因此，在给定qiθi的情况下，σi2也是最优的*θi*∈ Θi（σ），所以σ是Berk-Nash均衡。（ii）设σ为Berk-Nash均衡，并乘以任何i∈ I.然后给出“QiuI”，对于某些uI∈ （Θi（σ））。由于博弈是在给定σ的情况下正确定义的，所以存在θi*∈ Θisuch the Qiθi*= 因此，由引理1，θi*∈ Θi（σ）。此外，由于该博弈在给定σ的情况下具有很强的识别性，因此任何^θi∈ Θi（σ）满足Qi^θi=Qiθi*= 齐σ。那么σi2也是给定的Qiσ。

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2022-5-7 03:00:21

因此，σ是纳什均衡。例2.4，接第8页。货币政策。修正策略xP*为了公众。注意，U=U*- λ（xG）- xP*+ εe）+εU，而政府认为U=θ- θ（xG+εe）+εU。因此，通过选择θ*∈ Θ=Rsuchθ*= U*+λxP*θ*= λ、因此，Y=（U，e）上的分布由θ参数化*与给定的目标分布一致*. 因此，尽管有外观，但考虑到xP，这款游戏的规格是正确的*. 此外，由于V ar（εe）>0，θ*wKLD函数的唯一极小值是否给定*. 因为有一个唯一的极小值，所以在给定xP的情况下，游戏是强烈识别的*. 因为这些属性适用于所有xP*,命题1暗示伯克-纳什均衡等价于纳什均衡。因此，无论政府是否意识到失业是由意外而非实际的通货膨胀驱动的，均衡政策都是相同的。Sargent（1999）得出了政府进行基于OLS的学习的这一结果（当错误是正常的时，这是我们示例的一个特例）。为了简单起见，我们假设了线性，但对于真实失业U=fU（xG，xP，ω）和主观模型fUθ（xG，xP，ω）的更一般情况，结果是正确的，如果对于所有xP，存在θ，使得fU（xG，xP，ω）=fUθ（xG，xP，ω）对于所有（xP，ω）。下一个结果表明，伯克-纳什均衡是博弈中的一个自我确认均衡（SCE），它是正确定义的，但不一定是强识别的。假设在给定σ的情况下，博弈是正确的，且σ是aBerk-Nash均衡。那么σ也是一个自我确认的平衡。证据我能解决任何问题吗∈ I并让^θibe支持uI，其中uI参与者I相信支持Berk-Nash均衡策略σI。由于游戏正确指定给定σ，因此存在θI*∈ Θisuch the Qiθi*= 因此，由引理1，Ki（σ，θi*) = 因此，它也必须是Ki（σ，^θi）=0。

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2022-5-7 03:00:24

通过引理1，可以得出所有（si，xi）的Qi^θi（·| si，xi）=Qiσ（·| si，xi），使得σi（xi | si）>0。特别是，给定Qi^θi，σii最优，且Qi^θi满足所需的自我确认限制。对于没有正确定义的博弈，均衡路径上的信念可能不正确，因此伯克-纳什均衡不一定是纳什或SCE。3.3与基于完全诅咒和阿贝尔类比的游戏的关系满足以下四个属性：（i）状态和信息结构：状态空间Ohm 与分布p有关吗Ohm∈ (Ohm). 此外，对于每个i，都有一个分区SiofOhm, 包含ω的Sithat元素（即处于ω状态的游戏者i的信号）用si（ω）表示；（ii）完美反馈：Foreach i，fi（x，ω）=（x-i、 ω）表示所有（x，ω）；（iii）类比划分：对于每个i，都存在一个Ohm, 用Ai表示，包含ω的元素用αi（ω）表示；（iv）条件独立性：（Qiθi）θi∈Θ是X上所有联合概率分布的集合-我Ohm 这让我很满意十、-i、 ω| si（ω），xi= 气Ohm,θi（ω| si（ω））QiX-i、 θi（x）-i |αi（ω））。战略文件σ是一个SCE如果，对于所有参与者∈ 一、给定^Qiσ，其中^Qiσ（·| si，xi）=所有（si，xi）的Qiσ（·| si，xi），使得σI（xi | si）>0。这种定义比典型的定义（如Dekel等人（2004））更为普遍，因为它并不限制参与者相信后果是由其他参与者的策略驱动的。逆向不一定适用于固定的游戏。原因是SCE的定义不会对有效均衡信念施加任何限制，而特定的主观游戏可能会对信念施加事前限制。

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kedemingshi

2022-5-7 03:00:27

然而，以下相反的说法确实成立：对于任何属于SCE的σ，都存在一个正确定义的博弈，其中σ是Berk-Nash均衡。这个假设是为了便于与Jehiel和Koessler（2008）的ABEE进行比较。换句话说，每个我相信的球员-iandω独立于类比划分的条件。例如，如果Ai=Sifor all i，那么每个玩家都认为其他玩家的行为独立于国家，取决于他们自己的私人信息。定义4。（Jehiel和Koessler，2008）战略规划σ是一种基于类比的预期均衡（ABEE），如果所有的∈ 一、 ω∈ Ohm, σi（xi | si（ω））>0，xi∈ arg最大值xi∈XiPω∈OhmPOhm|Si（ω| Si（ω））Px-我∈十、-我‘∑-i（x）-i |ω）πi（(R)xi，x-i、 ω），其中‘σ-i（x）-i |ω）=Pω∈OhmPOhm|Ai（ω|αi（ω））Qj6=iσj（xj | sj（ω））。提议3。在基于类比的博弈中，σ是Berk-Nash均衡当且仅当它是ABEE。证据见附录。如Jehiel和Koessler（2008）所述，在Ai=SIF的特殊情况下，ABEE相当于Eyster and Rabin（2005）的完全诅咒均衡。特别是，命题3为这两个解决方案概念提供了一个错误的学习基础。Jehiel和Koessler（2008）讨论了forABEE的另一个基础，玩家在过去的比赛中会收到粗略的反馈，并且多个反馈与此一致。在这种不同的反馈结构下，ABEE可以被视为SCE集合的自然选择。例2.5，接第8页。与逆向选择交易。在附录A中，我们展示了x*当且仅当x=x时，是否为伯克-纳什均衡价格*使平衡信念函数∏（x，x）最大化*) 这代表了在稳定状态下选择任何价格x的预期收益*.

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2022-5-7 03:00:29

平衡信念函数取决于反馈/误判假设，我们讨论以下四种情况：∏NE（x）=Pr（A≤ x）（E[V|A≤ x]- x） πCE（x）=Pr（A）≤ x）（E[V]- x） πBE（x，x）*) = 公共关系（A）≤ x）（E[V|A≤ 十、*] - x） πABEE（x）=kXj=1Pr（V）∈ Vj）{Pr（A）≤ x | V∈ Vj）（E[V | V∈ [Vj]- x）哦。第一种情况是∏NE，是信念正确的基准情况。第二种情况∏CE对应于完美反馈和主观模型Θ=（A） ×（五），如第8页所述。这是一个以类比为基础的游戏的例子，该游戏采用单一类比类V。买方了解A和V的真实边际分布，并相信联合分布等于边际分布的乘积。伯克纳什恰逢充满诅咒的均衡。第三种情况，即∏BE，与第二种情况具有相同的特定模型，但假设存在部分反馈，即始终观察到要价a，但只有在存在交易的情况下才观察到估值v。均衡价格x*影响买家观察到的估值样本，因此影响她的信念。伯克·纳什符合天真的行为均衡。最后一种情况∏ABEE对应于完美反馈和以下错误描述：考虑将V划分为k个“类比类”（Vj）j=1，。。。，k、买方认为（A，V）是独立的，以V为条件∈ Vi，对于每个i=1。。。，k、参数集为ΘA=×j（A） ×（五），其中，对于值θ=（θ，…，θk，θV）∈ ΘA，θV参数化V上的边缘分布，对于每个j=1。。。，k、 θj∈ （A）参数化V上的条件分布∈ Vj。伯克·纳什（Berk Nash）与类比类（Vj）j=1的游戏的ABEE一致，。。。，K4平衡基础我们为平衡提供学习基础。

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