此外，我们使用一维Black-Scholes模型来说明我们的发现。然而，对于由价格过程（S（1）t，…）描述的多维市场，假设为定价选择的风险中性度量的状态价格密度过程（ξt）的形式为ξt=gt，则S（d）t基本上包括在本文给出的结果中ht（S（1）t，S（d）t）具有一些实际功能gt、ht（如Bernard、Majand和Vandu ff el（2011年）所述，他考虑了州独立案件）。本文中的所有结果都适用于用一维过程ht（S（1）t，S（d）t）。此外，我们假设资产价格是连续分布的，这实质上相当于假设状态价格密度过程ξ在任何时候都是连续分布的。对ξt可能有原子的情况进行扩展是可能的，但不在本文的范围内。本文结果的一个直接扩展是考虑Platen和Heath（2006）使用增长最优投资组合（GOP）的市场模型。它的起源可以追溯到凯利（1956年）。它包括用1/S替换状态价格密度过程ξtb*t、 在哪里*t确定共和党阁楼t的价值。在布莱克-斯科尔斯背景下，S*这只是一个固定组合策略中一个单位投资的价值，其中一部分θσ投资于风险资产，其余部分1-在银行账户里。很容易证明，对于预期的对数效用最大化者，这种策略是最优的。Platen和Heath（2006）使用了一个更温和的套利概念，他们认为，一般来说，（非负）支付的价格可以通过定价规则（1）来实现，其中ξ的作用现在由共和党的投资发挥。因此，我们的结果在以GOPI为参考的环境中也是有效的（见Bernard等人。

（2014d）为例）。通过论文和不同的证明，我们反复使用以下引理。第一个引理重述了经典的Hoe ffing–Fr\'echetbounds，可以追溯到Hoe ffing（1940）和Fr\'echet（1940）（1951）的早期工作。引理A.1（Hoe ff-ding–Fr\'echet界限）。设（X，Y）为随机对，U均匀分布在（0，1）上。ThenEF-1X（U）F-1Y（1）- U）6e[XY]6eF-1X（U）F-1Y（U）. （46）当且仅当（X，Y）是共单调的，即（X，Y），E[XY]的上界才成立~ （F）-1X（U），F-1Y（U））。类似地，当且仅当（X，Y）是反单调的，即（X，Y），E[XY]的下界才成立~ （F）-1X（U），F-1Y（1）- U） ）。下面的引理结合了两个经典构造结果的特殊情况。Rosenblatt变换描述了随机向量到iid均匀分布随机变量的变换（见Rosenblatt（1952））。第二个结果是O’Brien（1975）、Arjasand Lehtonen（1978）和R¨uschendorf（1981）在iid均匀随机变量中给定分布的随机向量的标准递归构造方法的特殊形式。引理A.2（构造方法）。设（X，Y）为随机对，假设fy | X=X（·）是连续的x、 表示V=FY | x（Y）。然后V均匀分布在（0，1）上，与X无关。它也在Y上有条件地在X上增加。此外，对于每个变量Z，（X，F）-1Z | X（V））~ （X，Z）。为了证明第一部分，请注意，通过FY | X=X的连续性假设，我们从标准变换（V | X=X）中得到~FY | X=X（Y）| X=X~ U（0,1），x、 显然V~ U（0,1）。此外，条件分布FV | X=xd不依赖于X，因此V和X是独立的。对于第二部分，我们通过通常的分位数结构得到F-1Z | X=X（V）具有分布函数FZ | X=X。

这意味着（X，F-1Z | X（V））~ （X，Z）因为双方具有相同的第一边际分布和相同的条件分布。引理A.3。设（X，Y）为联合正态分布。然后，在Y的条件下，X是正态分布的，E（X | Y）=E（X）+cov（X，Y）var（Y）（Y）- E（Y）var（X | Y）=（1）- ρ） var（X）。用fY（Y）表示Y的密度。一个是Zc-∞ea+byfY（y）dy=ea+bE（y）+bvar（y）p2πvar（y）Zc-∞E-Y-（E（Y）+b变量（Y））√var（Y）这个引理中的结果是众所周知的，我们省略了它的证明。A.1命题2.1Let U=FST（ST）的证明（0，1）上的均匀分布变量。考虑一个回报。有一个，等于F-1XT（U）ξT= c（X）*T） ，这里的不平等性来自F-1XT（U）和ξ皮重是反单调的，使用引理A.1中的Hoe ffing–Fr’echet界限。因此，X*T=F-1（FS（ST））是cdf中最便宜的支付方式。同样，cdf中最昂贵的支付方式为Z*T=F-1(1 - 财政司司长（ST））。由于c是cdf支付的价格，onehasc∈ [c（X）*T） ，c（Z）*T） ]。如果c=c（X*T） 然后X*这是一个解决办法。类似地，如果c=c（Z*T） 然后Z*这是一个解决办法。接下来，让c∈ （c（X）*T） ，c（Z）*T） ）并用∈ R、 fa（ST）=F-1[(1 - FST（ST）1ST6a+（FST（ST）- FST（a））第一次>第二次]。然后fa（ST）与cdf一起分布。该支付的价格c（fa（ST））是参数a的连续函数→0+c（fa（ST））=c（X*T） 安德利马→+∞c（fa（ST））=c（Z*T） ，利用连续函数的中间值定理，存在一个*使得c（fa*（ST））=c。这就结束了证明。A.2推论2.3Let XT的证明~ F具有成本效益。然后XT解出（6），定理2.2意味着XT=F-1（FST（ST））几乎可以肯定。反过来，让我们~ 那么，根据我们的连续性假设，XT=F-1（FST（ST））几乎可以肯定，因此XT具有成本效益。A.3定理3.2证明的思想与命题2.1的证明非常相似。

让你在（ST）被给予。它均匀分布在（0，1）上，与AT无关（见引理A.2）。此外，有条件地在AT时，U在ST.增加。考虑nexta Payoff XT，注意F-1XT | AT（U）~ XT。我们发现c（XT）=E[XTξT]=E[E[XTξT|AT]]>ehf-1XT | AT（U）ξTATii=EhF-1XT | AT（U）ξTi，（47），其中不等式由以下事实得出：-1XT | AT（U）和ξTare条件地（AT上）反单调，并在引理A.1中使用（46）表示条件期望（AT上条件地）。同样，我们发现C（XT）6 EhF-1XT | AT（1）- U） ξTi。接下来，我们定义均匀（0，1）分布变量ga（ST）=（1）- FST（ST）1ST6a+（FST（ST）- 我们观察到由于引理a.2，Fga（ST）| AT（ga（ST））独立于ATandalso，fa（ST，AT）给定asfa（ST，AT）=F-1XT | AT（Fga（ST）| AT（ga（ST）））是一对孪晶，具有所需的联合分布G和AT。用X表示*T=F-1XT |在（U）和Z处*T=F-1XT | AT（1）-U） 。注意，X*T=f（ST，AT）和Z*T=f（ST，AT）几乎可以肯定。与命题2.1的证明中相同的讨论适用于此处。Whenc=c（X）*T） 然后X*这是一对具有所需属性的双胞胎。类似地，当c=c（Z*T） 然后Z*这是一对具有所需属性的双胞胎。否则，当c∈ （c（X）*T） ，c（Z）*T） 然后c（fa（ST，AT））相对于a的连续性确保了a的存在*使得c:=c（fa）*（圣母院，圣母院）。因此，fa*（ST，AT）是一对双胞胎，具有所需的联合分布G和a，成本c。证明到此结束。A.4定理3.3的证明设0<t<t。从引理A.2可知，FSt | ST（ST）均匀分布在（0，1）上，且与ST无关。设孪晶f（ST，ST）为asf（ST，ST）：=f-1XT|ST（FSt|ST（ST））。再次使用引理A.2，我们发现（f（St，St），St）~ （XT，ST）~ G.这还包括，c（f（St，St））=E[f（St，St）ξT]=E[XTξT]=c（XT），证明到此结束。

A.5定理3.4的证明从引理A.2可知，U=FST | AT（ST）均匀分布在（0，1）上，随机独立于AT，并且在ST上有条件地增加。让thetwin X*Tbe给定asX*T=F-1XT | AT（U）。再次调用引理A.2，（X*T、 在）~ （XT，AT）~ 此外，c（XT）=E[XTξT]=E[E[XTξT|AT]]>ehf-1XT | AT（U）ξTATii=EhF-1XT | AT（U）ξTi=c（X*T） 这里的不平等性来自F-1XT | AT（U）和有条件地盯着（AT）共单调，并在引理A.1中使用（46）表示条件期望（有条件地盯着）。A.6推论的证明3.5首先假设XT是最便宜的双胞胎。根据定理3.4，XTis（几乎肯定）等于X*由（14）定义的Tas，有条件地在AT上增加。我们现在假设XT=f（ST，AT）有条件地在ST上增加。因此XT=f-1XT | ATFST | AT（ST）几乎可以肯定，这意味着它是（13）的解决方案，因此是最便宜的双胞胎。安全设计。1固定走向（持续监控）几何亚洲呼叫选项表达式（11）的双胞胎允许我们找到满足与基准ST依赖性约束（19）的双胞胎。使用引理A.3我们发现ln（ST/S）| ln（ST/S）~ NtTlnSTS, σt1.-tT,和thusFSt | ST（ST）=Φ自然对数STT-1StTTσqtT-tT.此外，偶（ln（GT），ln（ST））是二元正态分布，其边际分布的均值和方差为E[ln（GT）]=lns+u -σT、 var[ln（GT）]=σ和E[ln（ST）]=ln S+u -σT，var[ln（ST）]=σT。对于相关系数，有ρ（ln（ST），ln（GT））=√.

应用lemma。3再次发现，ln（GT）| ln（ST）~ N自然对数S1/2S1/2T,σT, （48）因此，FGT | ST（x）=Φln（x）- 自然对数S1/2S1/2Tσ√T√.因此，F-1GT | ST（y）=解释S1/2S1/2T+σ√T√Φ-1（y）！。在（21）中给出的RT（t）表达式很容易推导出来。为了选择一个特殊的双胞胎，我们建议最大化ρ（ln-RT（t），ln-GT）。首先，我们计算cov在圣路易斯，TZTln（Ss）ds=TZTcov（ln ST，ln（Ss））ds=σTZT（s∧ T）ds=σT。此外，表示a=-√qT-tt，b=tt√qtT-坦德c=-√qtT-t、 方程（21）可以改写为ln-RT（t）=a ln S+b ln St+c ln St。协方差为双线性，则具有cov（ln-RT（t），ln GT）=b cov在圣路易斯，TZTln（Ss）ds+ c冠状病毒在圣路易斯，TZTln（Ss）ds=σT+√T√T- T√.用σln RT（t）和σln GT表示各自的标准偏差。对于相关性，我们发现ρ（ln-RT（t），ln-GT）=cov（ln-RT（t），ln-GT）σln-RT（t）σln-GT=+√p（T）- t） t4T。因此，当t=t时，ρ（ln-RT（t），ln-GT）最大。B.2浮动走向（持续监测）几何亚洲看跌期权的孪生我们首次从等式（48）中回忆起，ln（GT）| ln（ST）~ N自然对数SST,σT.因此YT=（GT- ST）+具有以下条件cdfP（YT6 y | ST=s）=Φln（s+y）- 自然对数S1/2s1/2σ√T√y> 第0步-1YT |街（z）=SSTeσ√TΦ-1（z）- 装货单+.因此F-1YT |街FSt | ST（ST））然后可以很容易地进行计算，经过一些计算，它简化为（24）。B.3应用引理A.3我们发现，最便宜的两个浮动走向（持续监测）几何亚洲看跌期权，ln（ST）| ln（GT）~ NlnG3/2TS+u -σT、 σT！。因此，FST | GT（ST））=Φ自然对数士官-u -σTσ√T. （49）此外，YT=（GT- ST）+具有以下条件cdf，P（YT6 y | GT=g）=1如果y>g，Φ自然对数g3/2S+u-σT-ln（g）-y） σ√T如果0 6 y 6 g，如果y<0，则为0。然后-1YT | GT（z）=GT-GTSeu-σT-σ√TΦ-1（z）！+。用上面导出的表达式（49）代替z，得到表达式（25）。

B.4价格的推导（26）和（27）价格（26）让我们观察一下- ST）+=GT1.-STGT+= 塞伊1.- 简单+,其中Z=X- Y、 Y=lnGTS, X=lnSTS. 我们发现，关于风险中性度量Q，EQ（GT- （圣）+= 序号情商eY | Z1.- 简单+= 序号eEQ（Y | Z）+varQ（Y | Z）- eEQ（Y | Z）+varQ（Y | Z）+Z+.我们现在计算（仍然是关于Q），EQ（Y | Z）=EQ（Y）+covQ（Y，Z）varQ（Z）（Z）- 等式（Z））=R-σT+ZvarQ（Y | Z）=（1）- ρ） varQ（Y）=σT=σT。因此，等式（GT）- ST）+=序列erT+Z- erT+Z+= SZ-∞erT+ZfZ（z）dz- SZ-∞erT+ZfZ（z）dz，其中fZ（z）现在表示Q下z的密度。这里z通常用参数（r）分布-σ） Tand方差σT。因此，考虑引理A.3，等式（GT- ST）+=SerT-σTΦ-R-σT-σTqσT- SerTΦ-R-σT-σTqσT选择f=-rT+σTσ√第26页。价格（27）一个人拥有，燃气轮机- aGTST+= 燃气轮机1.- aGTST+= 塞伊1.- 塞兹+其中Z=2Y- 十、 Y=lnGTS, X=lnSTS, c=eu-σT.因此，关于风险中性度量Q，EQ燃气轮机- aGTST+= 序号等式（eY | Z）1.- 塞兹+= 序号eEQ（Y | Z）+varQ（Y | Z）- ceEQ（Y | Z）+varQ（Y | Z）+Z+.我们现在计算，EQ（Y | Z）=R-σT+Z和varQ（Y | Z）=σT燃气轮机- aGTST+= 序号erT-σT+Z- 证书-σT+Z+= SZln（c）-∞erT-σT+ZfZ（z）dz- SCN（ZLC）-∞erT-σT+ZfZ（z）dz，其中fZ（z）是z的密度，在Q下。注意z正态分布，参数为0，方差σT。考虑引理A.3，等式燃气轮机- aGTST+= SerTΦ（d）e-σT- euTΦd-σ√T√!!d在哪里=-ln（c）-σTσ√T=σT-uTσ√T投资组合管理。1定理5.2的证明et HT=E（ξT | ZT）=~n（ZT），并让b"a表示"a在圆锥体M上的投影↓定义如（33）中关于L（λ[0,1]）的定义。然后我们用u（bXT）：=λb~n（ZT），即bXT=（u）-1（λbа（ZT））=：k（ZT）和λ，使得E[ξTbXT]=E[а（ZT）k（ZT）]=Rа（t）k（t）dt=а·k=W。通过定义，自（u）起，bxti在ZT中增加-1逐渐增加，bа逐渐减少（属于M↓). 因此，BXT在ST增加，有条件地在AT上增加。

对于任何具有递增函数h的YT=h（ZT），我们通过uu（YT）的凹性- u（bXt）6 u（bXt）（YT）-bXT）=λb~n（ZT）（h（ZT）- k（ZT））。因此，我们得到[u（YT）]- E[u（bXT）]6λZb~n（t）（h（t）- k（t））dt=λbа·（h- ψ（b k）），（50），其中ψ（b k）=（u）-1（λb~n）=k在增加，ψ（t）=（u）-1（λt）正在减小。现在我们使用等渗近似的一些性质（见Barlow et al.（1972））并获得b k·（h）- ψ（b k））=b k((-ψ）（bа）- (-h） ）=~n·(-ψ）（bа）- b k(-h） （见Barlow等人（1972）中的定理1.7）=(-h）- b k(-h） 这两种索赔的价格均为W=（~n）- b~n）·(-h） 6通过投影方程（见巴洛等人（1972年）中的定理7.8），使用-H∈ M↓. 因此，我们从（50）中得出E[u（YT）]6 E[u（bXT）]，即bXT是一个最优索赔。C.2等式（36）和（38）的证明在5.1小节的示例中，我们将定理5.1应用于具有电力设施的投资者。那么，X？T（η）=（u）-1（λξT）=（λξT）-η（51），其中选择λ以满足预算约束，即[ξT（u）-1（λξT）]=EhξT（λξT）-ηi=λ-ηEξ1-ηT= W（52）因为ξT=exp-rT-θT- θZT, 我们发现λ-η=Wexpn-R1.-ηηT-θT1.-ηηηoandX？T（η）=（λξT）-η=我们-r（1）-η）T-θT（1）-ηη)η-ηhθσu-σT-r+θ钛STSθση，可简化为（36）。接下来，我们将定理5.2与AT=St一起应用于一些t，使得t<t。从引理A.3我们知道ln（ST）|ln（ST）~ Nln（St）+u -σ（T）- t） ，σ（t）- （t）所以fst | St（St）=Φ自然对数STSt-u -σ（T）- t） σ√T- T.因为C是一个高斯copula，一个有c1 | St（x）=ΦΦ-1[x]- ρ自然对数StS-u-σtσ√Tp1- ρandC-11 | St（y）=Φp1- ρΦ-1[y]+ρ自然对数StS-u -σtσ√T.这意味着ζT=C-11 | St（FST | St（St））=Φ[$T]，其中，$T是由$T=p1给出的一个支架St的函数- ρ自然对数STSt-u -σ（T）- t） σ√T- T+ ρ自然对数StS-u -σtσ√T.

（53）因为ξT=αTSTS-β，其中αT=expθσu -σT-r+θT, β=θσ和θ=u-rσ（来自（4）），一个hasHT=E（ξT |ζT）=E（ξT |$T）=δE-βcov（ln（ST），$T）$T，对于某些δ>0，我们发现=δe-θρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）$T.注意，相关系数的条件意味着Ht在$Tand中减少，因此Ht在ZT中减少。因此，最优契约写为asbXT:=（u）-1.λe-θρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）$T, （54）其中选择λ以满足预算约束。当投资者拥有电力设施时，即u（x）=x1-η1-η使（u）-1（x）=x-η我们发现等式（54）读数为asbXT（η）：=λ-ηeηθρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）$T（55）和预算约束（即EhξTbXT（η）i=W）要求E-rTe-θT-θZTλ-ηexpηθρ√t+p（1）- ρ） （T）- （t）$T= W、 其中我们使用了ξTandbXT（η）的表达式。我们发现λ-η=WerTeθρ√t+√(1-ρ） （T）-（t）η-2η.然后，将此表达式应用于（55）中，得出最优解。C.3命题5.6的证明假设目标概率最大化问题存在最优解。这是一个最大化的法律不变的目标，因此它是路径独立的。用X表示它*T:=f*（ST）。定义A={x | f*（x） =0}，A={x|f*（x） =b}，A={x|f*（十）∈]0，b[}和A={x | f*（x） >b}。我们证明P（ST∈ A.∪ A） =1必须保持。假设P（ST∈ A.∪ A） <1所以P（圣∈ A.∪ A） >0。财政部=F*（圣）圣∈ A.∪ A、 0代表圣∈ A、 b代表圣∈ A.然后我们观察到Y=f*（ST）在∪ a和Y<f*（ST）在∪ A.辛塞普（圣路易斯）∈ A.∪ A） >0也Q（ST∈ A.∪ A） >0，因为P和风险中性概率Q是等价的。因此c（Y）<W。接下来我们定义Z=b1ST∈C+Y我们选择了C A.∪ 把c（b1ST）切掉∈C） =W- c（Y）。辛塞普（圣∈ C） 有一个P（Z>b）>P（Y>b）=P（f*（ST）>b）。因此，Z影响了f的最优性*（ST）。因此P（ST∈ A.∪ A） =1。因此f*（ST）只能取值0或b。