公式（15）、（41）和（43）可以用类似的方式修改。注意，由于对数奇点的消除，推论1、3和4的条件定律的公式s不包含避免渐近线。4.2. 使用渐近公式直接从数值上说明定理1和定理2的渐近公式的性能，我们得到了一个4×4协方差矩阵，其条目如下：bij=σiσjρ（常数相关），其中σ={2,2.3,3,3}。分布函数sp[X]≤x] =P[eY+eY+eY+eY≤x] andP[x（2）≥x] =P[eY+eY-嗯-嗯≥x] 首先，使用Theo rems1和2中给出的a交感公式进行计算，并进行公式（63）中建议的修改。下面分别用Fa（x）和F（2）a（x）表示相应的渐近近似。然后，我们评估了这些量的蒙特卡罗估计值Fmc（x）和F（2）mc（x）（本节后面详细描述了蒙特卡罗算法）。为了评估渐近近似的质量，我们绘制了范围广泛的x值的比率Fmc（x）Fa（x）和F（2）mc（x）F（2）a（x）。这些比率，绘制为对数x的函数，在图1中显示了两个相关系数ρ值。P[X]渐近公式的计算≤ x] ，需要解决（6）中的二次规划问题。对于First t值，ρ=0.2，该问题的解决方案为“w”≈ {0.44 0.30 0.13 0.13}. 因此，我们在“特殊情况”的设置中，通过拉普拉斯方法（见Lemma1）直接获得渐近性。对于第二个值，ρ=0.8，s解为‘w≈{0.83 0.17 0}，因此只有前两个成分对as症状有贡献。34 A.Gulisashvili和P.Tankov图1。分布函数（生存函数）的蒙特卡罗估计与使用渐近公式获得的估计的比率。

左：P[X≤ x] 。右：P[X（2）≥ x] 。曲线中的波动是由于蒙特卡罗误差造成的。P[X（2）的渐近公式的计算≥x] 对于p=1和p=2，需要两次求解（36）中的问题，并比较所得的最小值。这里，对于ρ=0.2，解为‘w=’w={1 0}，且p=2给出了更大的最小值，因此分布函数的渐近行为仅由向量Y的第二分量决定。当ρ=0.8时，解为w≈{1.32 -0.16-0.16}和“w”≈ {1.1 -0.05-0.05}，同样，p=2的最小值更大。因此，在这种情况下，渐近行为是由Y的第二、第三和第四分量决定的。分析图1，可以得出以下观察结果，结果证明是错误的：o正如预期的那样，分布函数的比率收敛到一，但这种收敛非常缓慢。这一观察结果与理论1和2中的对数误差范围一致虽然估计值的比率收敛到1的速度非常慢，但这个比率与1的距离并不远（与概率本身的值相比），这意味着渐近公式为大范围的概率提供了正确的数量级。对于不稳定性nc e，对于ρ=0.8，左图所示的x值与以下概率范围相关：~5 ×10-93对于日志x=-40到0.2 forlog x=0.4.3。正如我们已经看到的，由于收敛缓慢，Theo rems1和2中的渐近公式通常只提供对数正态随机变量s um/d差的分布函数的数量级近似。当需要更精确的估计，且维数n较大时，可以使用蒙特卡罗估计。

对数正态和与差的总和在这种情况下，正如我们接下来将解释的那样，渐近公式可以用来构造非常有效的变量约简程序。为了节省空间，我们将只讨论分布函数的情况。类似的想法可用于减少密度、条件期望或其他感兴趣的质量的蒙特卡罗估计的方差。分布函数F（x）=P[x的左t尾≤x] 标准估计如下：bFN（x）=NNXk=1{Pni=1exp{Y（k）i}≤x} ，其中Y（1）。，Y（N）是具有N（u，B）定律的i.i.d.向量。然而，这种估计并不是分布函数尾部的合适近似值。实际上，方差fbfn（x）由varbfn（x）=F（x）给出-F（x）N~F（x）N，x→0和相对误差，即qVarbFN（x）F（x）~pNF（x）像x一样迅速爆炸→ 0（它的行为类似于某些常量c的ec LOGX）。在高斯背景下，通常减少方差的方法是通过重要抽样。其思想是将F的公式改写为：F（x）=E经验-Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Yi+i}≤x},在哪里∧∈ RN是一个向量，将在以后选择。注意，如果∧=0，则恢复标准估计。目标是找到一个非零∧，这样对应的Ingestimatebf∧N（x）=NNXk=1exp-Λ⊥B-1（Y（k）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Y（k）i+i}≤x} （65）方差小于标准估计值。简单计算表明，BF∧N（x）的方差由VARBF∧N（x）=NVar给出经验-Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1Λ{Pni=1exp{Yi+i}≤x}=N{E[exp{-2Λ⊥B-1（Y）-u) -Λ⊥B-1∧}1{Pni=1exp{Yi+i}≤x} ]-F（x）}36 A.Gulisashvili和P.Tankov=N经验Λ⊥B-1ΛE[exp{-Λ⊥B-1（Y）-u）}1{Pni=1exp{Yi}≤x} ]-F（x）=N（exp{∧）⊥B-1∧}P“nXi=1exp{Yi-∧i}≤ x#-F（x））。LetV（λ，x）=exp{⊥B-1∧}P“nXi=1eYi-∧i≤x#。由于F（x）不依赖于∧，因此通过最小化V（λ，x）作为∧的函数来获得最佳方差缩减。

我们的想法是通过将前一表达式中的概率替换为定理1中给出的渐近等价表达式来获得一个精确估计。换句话说，我们通过最小化ev（λ，x）=∧来计算最优∧的近似值⊥B-1Λ -\'nXi，j=1\'aij对数“A+··+”A“n”Ai+ui-对数x-∧i×对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-λj.为了得到上面的表达式，我们省略了定理1中公式中不依赖于∧的所有因子，并取结果表达式的对数。最优值∧*通过求解以下方程组，可以找到∧的表达式：电动汽车∧i（λ）*) = 0, 1 ≤ 我≤ n、 这个系统可以重写如下：nXj=1aij∧*j+\'nXj=1\'aij对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-λj= 0, 1 ≤我≤ \'n，nXj=1aij∧*j=0，`n<i≤ n、 将矩阵B应用于之前的系统，我们得到了2∧*k+\'nXi，j=1bki\'aij对数A+·A+·n+Aj+uj-对数x-Λ*J= 0，（66）对数正态和差的尾部，对于所有k=1，n、 当k≤ n，将（66）中的公式简化为∧*k+对数A+·A+·n+Ak+uk-对数x=0。将其代入（66），我们看到对于所有k，最佳值∧*kis由∧给出*k=\'nXi，j=1bki\'aij对数x-日志“A+··+”A“n”Aj- uj. （67）注意，由于最优向量∧*依赖于x，我们不能直接应用定理1来刻画函数V（λ）的渐近行为*, x） 作为x→ 0

然而，这个函数可以用Jens-en不等式从上面估算，如下所示：*, 十）≤ e∧*⊥B-1Λ*P“nXi=1”wi（Yi-Λ*我-日志（wi）≤ 对数x#=e∧*⊥B-1Λ*N“w”⊥Λ*+ 对数x+Pni=1’wi（对数’wi-ui）√“w”⊥B\'w,其中w是（6）的解，N是标准正态分布函数。将（67）中的表达式替换为∧*使用（9），我们得到了⊥Λ*= 对数x+nXi=1’wi（对数’wi-ui）和∧*⊥B-1Λ*=\'nXi，j=1\'aij（对数x+对数wi- ui）（对数x+对数wj- uj）=w⊥B’w（对数x+nXi=1’wi（对数’wi）-ui））+\'nXi，j=1\'aij（对数wi- ui（对数）wj- uj）-“w”⊥B’w（nXi=1’wi（对数’wi）-ui））。因此，作为x→0，V（λ）*, x） 。Cexp{-（1/（\'w）⊥B\'w）{logx+Pni=1\'wi（logwi）-ui）}log 1/x，38 A.Gulisashvili和P.Tankov表2。方差缩减估计（65）与∧值的相对误差*给定（67），以及使用方差缩减算法ρ=0.2ρ=0.8x P[X]减少估计标准偏差的系数≤ x]rel。红色错误。因子x P[x≤ x]rel。红色错误。因子0。0.01831 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0%1.078其中常数C与x无关。比较之前用F（x）的共形估计（见公式（13）），我们看到，对于不同的常数C，V（λ）*, x） 。CF（x）logx\'n（68）为x→ 0.这尤其意味着，我们的估计器在Asmussen和Glynn[5]第VI.1节的意义上是对数有效的。为了测试所提出的方差缩减算法的性能，我们使用与上述相同的参数数值，计算了不同水平X的方差缩减前后的蒙特卡罗估计。

表2显示了估算值（65）的相对误差，其中∧的值*由（67）以及估计值（64）的标准偏差与估计值（65）的比值给出。相对误差看起来相当稳定，对于x的所有值，折减系数s都大于1，并且总体上相当惊人，对于1%的不太小概率，折减系数s的范围为4–5，对于10阶概率，折减系数s的范围为数百-6.图2显示了估算值（65）与∧值的相对误差*由（67）给出（标准偏差除以估计值，在10条轨迹上计算）。如方差的理论分析所示，相对误差在x中呈对数增长，这意味着即使对于非常小的概率（例如-100），我们的估计器需要合理数量的轨迹才能获得足够的精度。额外测试为了评估我们的方差缩减方法在模型参数选择和变量数量n方面的稳健性，我们进行了额外测试，假设这一次Y。，y与定律N（0，σ）相同分布，且具有常数相关系数ρ。表3显示了σ、ρ和n的正常值的标准偏差折减系数。对于每项测试，选择x的值，以便对数正态和和和差异的轨迹如图2所示。方差缩减估计（65）与∧值的相对误差*由（67）给出。概率≤ x] 大约等于10-3（属于区间（0.9×1）-3, 1.1 ×10-3)).

我们看到，除了一个测试外，所有测试的标准偏差都减少了一个大于10的因子，这意味着，对于相同的精度，计算将加速一个大于100的事实。对数正态差的右尾在这种情况下，生存函数的标准估计的形式为bfn（x）=NNXk=1{Pmi=1exp{Y（k）i}-Pni=m+1exp{Y（k）i}≥x} ，（69）和可能降低方差的替代估计如下：bF∧N（x）=NNXk=1exp-Λ⊥B-1（Y（k）-u) -Λ⊥B-1Λ（70）×1{Pmi=1exp{Y（k）i+λi}-Pni=m+1exp{Y（k）i+i}≥x} 。表3。附加测试的标准偏差折减系数。概率P[X≤ x] 大约等于10-3对于所有试验，σ0.3 1.0 0 0.3 1.0 0 0.3 1.0ρ0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0 0.0n 5 5 20 20 20 20 x 2.5 0.55 3.4 1.6 10.5 2.7 16.9 14.3红色。系数15.7 14.7 14.0 10.1 15.2 14.2 11.4 4.840 A.Gulisashvili和P.Tankov为了找到∧的最佳值，我们需要最小化Eexp{⊥B-1∧}P“mXi=1exp{Y（k）i-∧i}-nXi=m+1exp{Y（k）i-∧i}≥ 再一次，主要思想是最小化这个函数的渐近逼近，在orem2中给出。为简单起见，假设（38）中定义的集Pde为单态，P={P}，问题归结为最小化以下函数：eV（λ，x）=∧⊥B-1Λ -\'n（p）Xi，j=1\'a（p）ij对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）i |+？（p）i-对数x-∧k（p）（i）×对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）j |+？（p）j-对数x-∧k（p）（j）.接下来，根据（67）的证明，我们看到最佳值∧*的∧是由∧给出的*k=n（p）Xi，j=1bk，\'k（p）（i）\'a（p）ij对数x-对数A（p）+·A（p）n（p）| A（p）j|- u（p）j. （71）然而，这里的计算仍然只是试探性的，因为对于具有最优∧的估计量的方差没有简单的上界*.数值试验（见表4）的结论性远不如前一段中给出的左尾。

对于中等的x值，该算法不会导致任何方差减少，甚至可能会增加方差。然而，在很大程度上，当所讨论的概率非常小，以至于无法在合理的时间内用传统的蒙特卡罗估计进行计算时，方差缩减估计变得非常有效。我们得出的结论是，对于对数和异常差异的情况，见表4。方差缩减估计（70）与∧值的相对误差*由（71）和普通蒙特卡罗估计（69）给出，只要可用ρ=0.2ρ=0.8x P[X（2）≥ x] 雷尔。错误rel。错误，xp[x（2）≥ x] 雷尔。错误rel。错误，普通MC普通MCe 0.2672 0.153%0.166%e 0.1121 0.74%0.281%e0。01564 2.37%00.792%e2。134 × 10-34.26%2.17%e6。771 × 10-657.1%29.5%e3。759 × 10-71.15%376%e3。459 × 10-110.274%–e9。765 × 10-130.44%–e1。724 × 10-180.318%——e2。654 × 10-200.502%–e8。050 × 10-280.358%——e6。872 × 10-300.561%–对数正态和和差的尾部41我们的方差缩减算法可能非常有用，用于模拟极端罕见事件（概率小于10-6） 但是，在将该算法应用于概率为10的事件中之前，还需要对其进行进一步的研究和改进-2–10-3例如，财务风险管理中的风险价值计算。5.多维Black-Scholes模型中的风险管理本文得到的尾部估计可以应用于n维Black-Scholes模型中的风险管理。假设资产价格向量St=（S，…）的动态。

n维随机过程描述为：log St=log S+θt-diag（B）t+B1/2Wt，（72），其中W是n维标准布朗运动，B是协方差矩阵，θ是漂移向量，diag（B）代表B的主diagona l。考虑一个包含asse ts Si，1的投资组合≤ 我≤ n带权ξ，ξn，价格过程X定义为xt=nXi=1ξiSit，t≥0.（73）过程X的初始条件为X=Pni=1ξiSi。过程X可以交替地表示为Xt=Pni=1sgnξiexp{Yit}，其中Yit=log Si+log |ξi |+θit-biit+nXj=1γijWjt，1≤ 我≤ n、 （74）在（74）中，符号代表矩阵B1/2的元素。我们还设置了ui，t=log Si+log |ξi |+θit-biit，1≤ 我≤n、 （75）在续集中，t将被固定，第2节和第3节中得到的渐近公式将应用于（73）中定义的随机变量。与上述情况相关的高斯数据如下所示：平均向量为∨u=（u1，t，…，un，t），协方差矩阵为tB。出于风险管理的目的，解决与投资组合X有关的两类问题很重要：42 A.Gulisashvili和P.Tankovo量化一个投资组合在市场演变的特定不利情景中的行为，通常根据另一个投资组合（基准）来定义。这可以通过我们对高斯向量在其分量的指数和或指数差（推论3和4）上的渐近行为的描述来实现。我们将在下一段中详细讨论这个问题评估投资组合X的各种风险度量，例如agiven量级的损失概率或风险价值（分位数函数）。

损失概率可以使用第2部分（仅具有正权重的投资组合）或第3部分（具有正权重和负权重的投资组合）的渐近公式进行近似。第5节描述了当置信水平趋于1时，Ris k值的渐近行为。2.5.1. 不利情景下对数正态投资组合的行为假设投资者持有的投资组合包含资产S，SNSV的重量，越南。此类投资组合的价值由VT=nXi=1viSit给出。（76）1996年对Ba sel I[8]的市场风险修正案以及巴塞尔协议II和巴塞尔协议III资本协议要求银行和投资公司进行压力测试，以确定其应对不利市场事件的能力。这些不利情景通常是特定基准性能的定义，对应于过去观察到的特定cris事件的程式化版本。接下来，我们将描述一些可能出现的压力情景的例子，并解释如何定义相应的基准流程X股市下跌到一定程度。这是最常见的压力情景。基准过程{X}t≥0在这种情况下，标准化市场指数（normalized marketindex）的初始值为1，对于s ome t>0和x，不良事件为{Xt=x}，假设为小。然后，权重ξi为正，等于股票的标准化市场资本化两个地区或两个行业的股票市场在表现上存在一定差异。例如，人们可能会认为美国市场的表现优于欧洲市场，或者小盘股优于大盘股。假设Xat=Pmi=1ξ是第一个ar ea的市场指数，其中ξ，ξ为股票的正市场资本化权重S。

，Sm和Xbt=Pni=m+1ξ是第二个区域的市场指数。压力是事件的起因XatXa-XbtXb=x.对数正态和差的尾部43在我们的框架中可以通过取xt=mXi=1ξiXaSit来替代-nXi=m+1ξixbsit，应力情景{Xt=x}。这里x的值很大两个基准在性能上存在一定差异。例如，当投资者的投资组合严重低于市场表现时，投资者可能会感兴趣。这与上面的cas e cons ide red类似，只是这两个基准可能包含相同的股票。让这两个基准由Xat=Pni=1ξaisitan和Xbt=Pni=1ξbiSit给出。我们再次对压力情景感兴趣-XbtXb=x}。这相当于takingXt=nXi=1ξaiXa-ξbiXb使用压力场景{Xt=x}和x大。我们的下一个目标是，在上述压力情景下，用（76）给出的价格过程来刻画投资组合的各种条件期望值的渐近行为。这可以针对单个股票或整个投资组合进行。在前一种情况下，我们近似地计算了formei（t，x）=E“Sit的条件概率nXk=1ξkSkt=x#，（77），而在后一种情况下，我们处理以下条件概率：E[Vt | Xt=x]=nXi=1viei（t，x）。（78）由于ei（t，x）=ξiE“exp{Yit}，可以使用条件空间变换的公式（16）和（42）估计量ei（t，S）nXk=1exp{Ykt}=x#（79）对于所有1≤ 我≤ n、 因此，以下结果是推论1和4的直接结果。定理4。假设权重ξ。，ξnare为正，且假设（A）适用于协方差矩阵B。那么以下为真：44 A.Gulisashvili和P.Tankov1。如果1≤ 我≤ \'n，然后作为x→0，ei（t，x）=xξi\'Ai\'A+·A+·A\'n1+Ologx-1.= x′wiξi1+Ologx-1..2.

如果n<i≤n、 然后作为x→ 0，ei（t，x）=xP\'nj=1\'AjbijSiexp（θit-\'nXp，q=1bpi\'apq对数A+·n+Aq+uq，t)×exp(-t\'nXp，q=1\'apqbpibqi）1+Ologx-1..备注8。SinceP\'nj=1\'Ajbij>1表示i/∈“I（见备注3），根据定理4，市场指数中的资产可分为两类，这取决于它们在条件法则下的条件预期行为。”“安全资产”，其条件预期与市场指数的x值成比例衰减。正是这些资产，以严格的正权重进入马科维茨最小方差投资组合（问题（6）的解决方案）“危险资产”，其条件支出比指数衰减更快。下一个断言涉及上文描述的第二个和第三个典型压力场景。定理5。那是为了m≤ n权重ξ。，ξmare正和ξm+1，ξn为负，假设（Ai）适用于矩阵B，每i=1，m、 在（38）中定义的集Pde是一个单态，P={P}。那么以下是正确的。1.如果我∈ I（p），然后作为x→ +∞,ei（t，x）=xξi|A（p）i|p|n（p）j=1|A（p）j×1+Ologx-1.= x|wi|ξi×1+Ologx-1..2.如果我/∈I（p），然后作为x→ +∞,ei（t，x）=SixP\'n（p）j=1\'A（p）jb\'k（p）（j），对数正态和差的iTails 45×exp（θit-\'n（p）Xj，k=1\'a（p）jkb\'k（p）（j），ilogP\'n（p）l=1\'A（p）l|A（p）k |+uk（p）（k），t)×exp(-t\'n（p）Xj，k=1\'a（p）jkb\'k（p）（j），ib\'k（p）（k），i）1+Ologx-1..备注9。根据假设（Ap）和注释7，对于/∈I（p），\'n（p）Xj=1\'A（p）jb\'k（p）（j），I<1。因此，一旦获得收益，基准中的资产可分为以下两类：o那些资产，其条件预期在压力情景下按比例增长至x。该类资产仅包括一项资产，Sm，关于Sm+1的相对渐近方差高的那个。

，Sn。它可能包括也可能不包括Sm+1等中的某些资产。，序号考虑到压力情景，这些资产的条件预期增长速度比x慢。换句话说，投资组合S+···+SM强于投资组合M+1+···+SN的事实可以渐近地归因于S中的一只股票表现非常强劲。，Sm，这可能部分取决于第二组股票的表现。5.2. 对数正态投资组合和风险价值我们在本小节中的目标是为第5节中描述的投资组合的风险价值（VaRα）找到一个精确的渐近公式。此portfoliois在时间t的价格定义为（73）。我们研究了信心水平α趋于一的情况，并将自己限定为只有正权重的投资组合。同时具有正权重和负权重的投资组合的情况可以类似地处理。对于投资组合，t>0期间的风险价值VaRα，0<α<1被定义为最小的数字k，使得t期间损失大于k的概率等于α。不难看出varα=inf{k:P（Xt≤十、-k） =1- α}.下一个定理提供了一个n作为函数α7的符号公式→ VaRα作为置信水平α趋于1。46 A.古利萨什维利和P.坦科维奇定理6。假设协方差矩阵B的假设（A）成立，那么下面的渐近公式是有效的：VaRα=X-经验-r2t“A+··+”A“nlog1-α+P\'nk=1\'Ak（对数（\'A+·A+·A\'n）/\'Ak+uk，t）\'A+·A+·A\'n(80)×1+O日志1/（1）- α） 扑通一声/（1）-α)作为α→ 1.证据。让我们假设t>0，并用F表示-函数Ft（x）=P（Xt）的广义逆函数≤x） 。然后我们得到Varα=X-F-1t（1-α).

（81）因此，为了描述函数α7的渐近行为→ VaRαasα→ 1.有必要为函数y 7找到一个渐近公式→F-1t（y）为y→0.我们将首先研究反函数F在零附近的渐近性-1任何函数F，具有以下形式：F（x）=c十、Clogxcexp-clogx1+Ologx-1.（82）作为x→ 0.在（82）中，假设常数满足以下条件：c>0，c∈ R、 c∈ R、 a和c>0。我们还假设函数F的连续性和可逆性接近于零。引理3。在前面的限制条件下，下面的渐近公式成立→0:F-1（y）=exp{-pφ（y）}1+O迟缓的-1., （83）式中φ（y）=clogy+cc-3/2逻辑+2逻辑阻塞c2c+c2clogc+CLOGC+ccc-3/2log log 1/yplog 1/y.使用函数u 7的泰勒公式→√1+u加上两项，我们从（83）中得到一个公式的样本。对数正态和与差的尾部476。下面的渐近公式成立：F-1（y）=exp-医学-c2c1+O日志1/yplog 1/y（84）作为y→0.注意公式（84）只使用常数c.引理3的证明。让y>0，让F（uy）=y，然后是F-1（y）=uy。接下来，使用（82），我们得到了cology=cloguy-克罗盖-木屐-日志c+O洛古-1.（85）作为y→ 0.前面的公式暗示了以下双边估计：arlogy≤洛古≤arlogy，0<y<y，对于某些常数a>0和a>0。把zy=loguy放进去。那么公式（85）giveszy=clogy+cc√zy+c2clog zy+clog c+O迟缓的-1/2（86）作为y→ 我们的下一个目标是使用公式（86）中的迭代。我们将用（86）右侧的整个表达式替换（86）右侧出现的任何zy。以下简单公式将需要在序列中：log（1+s）=O（s）和√1+s=1+s+O（s）作为s→ 0.让我们假设=c2clog zy+log c+O迟缓的-1/2, （87）其中O项与式（86）中相同。

我们有log zy=logclogy+cc√zy+h（88）=logc+logy+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.此外，√zy=√crlogys1+c√zylog 1/y+chlog 1/y48 A.Gulisashvili和P.Tankov=√c语言+c√C√zyplog 1/y+√chplog 1/y+O迟缓的-1/2就像我一样→ 接下来，我们迭代一个增益，得到√zy=√c语言+c√cplog 1/y（89）×√c语言+c√zy√cplog 1/y+√chplog 1/y+O迟缓的-1/2+√c^hplog 1/y+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.在（89）中，符号^h代表将（88）中给出的表达式Zylog代入公式（87）的结果。不难看出这一点√c^hplog 1/y=c√堵塞日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（90）作为y→ 现在，考虑到（89）和（90），我们得到√zy=√CROGY+c2c+c4clog日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（91）作为y→ 最后，我们可以估计zy。使用（86）、（88）和（91），我们可以看到thatzy=clogy+cc-3/2逻辑+2逻辑阻塞c2c+c2clogc+CLOGC+ccc-3/2日志1/yplog 1/y+O迟缓的-1/2（92）=φ（y）+O迟缓的-1/2就像我一样→ 0.接下来我们将找到函数F的渐近公式-1.我们将使用公式F-1（y）=uy=e xp{-√zy}（93）和下面的简单引理。对数正态和和差的尾部49引理4。设zy=φ（y）+O（ψ（y））为y→ 0，其中函数φ和ψ为正，且φ（y）→ ∞ 和ψ（y）√φ（y）→ 0为y→ 0.Thenuy=exp{-pφ（y）}1+Oψ（y）pφ（y）就像我一样→0.引理的证明4。我们有-√zy=-qφ（y）+O（ψ（y））=-φO（y+s1）ψ（y）φ（y）= -pφ（y）1+Oψ（y）φ（y）,因此，uy=exp{-√zy}=exp{-pφ（y）}expOψ（y）pφ（y）= 经验{-pφ（y）}1+Oψ（y）pφ（y）.现在，考虑（93）、（92）和引理4，函数φ如in（92），函数ψ由ψ（y）=（logy）给出-1/2，我们建立了外稃3。我们现在准备完成定理的证明。将定理1应用于（73）给出的随机变量XT，我们看到条件（82）成立。注意C=-t\'nXk=1\'Ak对数A+·n+·Ak+·μm，t和c=\'A+··+\'A\'n2t。现在，很容易看出（81）和推论6暗示了公式（80）。

致谢我们想感谢两位匿名推荐人和主编埃里克·莫莱恩斯，他们富有洞察力的评论使论文有了实质性的改进。参考文献[1]艾奇森，J.和布朗，J.A.C.（1957）。对数正态分布，特别是它在经济学中的应用。剑桥：剑桥大学出版社。MR008496650 A.Gulisashvili和P.Tankov[2]Albrecher，H.，Asmussen，S.和Kortschak，D.（2012年）。依赖指数变量的尾部渐近性。兄弟姐妹。数学J.53 965–983。[3] Albrecher，H.，Asmussen，S.和Kortschak，D.（2006年）。两个重尾相依风险之和的尾渐近性。极端9 107–130。MR2329800[4]Asmussen，S.，Blanchet，J.，Juneja，S.和Rojas Nandayapa，L.（2011年）。有效模拟相关对数正态和的尾部概率。安。奥普。第1895-23号决议。MR2833609[5]Asmussen，S.和Glynn，P.W.（2007）。随机模拟：算法与分析。随机建模和应用概率57。纽约：斯普林格。MR2331321[6]Asmussen，S.和Rojas Nandayapa，L.（2008）。对数正态随机变量之和与高斯copula的一个辛。统计学家。Probab。莱特。78 2709–2714.MR2465111[7]Avellaneda，M.，Boyer Olson，D.，Busca，J.和Friz，P.（2003）。大偏差法在金融指数期权定价中的应用。C.R.数学。阿卡德。Sci。巴黎336 263–266。MR1968270[8]国际清算银行（1996年）。资本协议修正案，将市场风险纳入其中。[9] 巴鲁克，E.和考夫曼，G.M.（1976）。关于对数正态随机变量之和。工作文件，第831-76号。麻省理工学院阿尔弗雷德·P·斯隆管理学院。[10] 巴鲁克，E.，考夫曼，G.M.和格拉瑟，M.L.（1986）。关于对数正态随机变量之和。螺柱。阿普尔。数学75 37–55.MR0850438[11]拜耳，C.，弗里兹，P.和劳伦斯，P.关于篮子的概率密度函数。预印本。

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B 33 557–568。2013年10月收到MR2996531，2014年5月修订