我们注意到，在连续体极限下，过程w变成了区间[0，c]上的反射布朗运动（两端都有反射边界条件）。计算每日对数价格增量的直方图比例R*n=r*（tn+τ）- R*（tn），其中τ=1天是固定的时间间隔，tn=nτ，将在连续时间和状态设置中执行。假设遍历性，增量的统计由过程r和（w，σ）的典型长轨迹得到的Rn可以用随机变量的概率密度函数来近似R*= R*(τ) - R*（0）=r（τ）+κ（σ（τ）- σ（0）），（B5），其中以矩形∏为界的平稳过程（w（t），σ（t））由布朗输入r（t）[r（0）=0]驱动，且具有定律（B4）。以下计算基于以下假设：布朗输入r在1天内的最大增量保持在数量c/2的范围内，概率接近1，Pmax0≤T≤τ| r（t）|≥ c/2 1.（B6）对于图7所示的图，布朗输入r（T）在时间间隔T=40年（每年250个交易日）结束时的方差被设置为1。因此，对于一个交易日r（τ）~ N（0，∑），标准偏差∑=0.01。由于这些图的c/2=2.5∑，P（| r（τ）|≤ c/2）=0.988，与（B6）一致。我们只考虑那些在整个时间间隔0上满足| r（t）|<c/2的输入向量≤ T≤ τ. 相应的过程轨迹（w，σ）不能在同一时间间隔内到达矩形∏的左右两侧。

发生这种情况的轨迹将被忽略。因此，让我们考虑对应于时间间隔0上布朗r（t）的不同实现的轨迹（w（t），σ（t））≤ T≤ τ和不同的初始数据（w（0），σ（0）），限制了我们对矩形∏右半部分的初始数据的关注，即c/2≤ w（0）≤ c、 0≤ σ(0) ≤ 2.（从∏的左半部分开始的轨迹可以进行类似处理）。因为我们假设r（t）>-c/2适用于所有0≤ T≤ τ[由于（B6）]，忽略其他输入，从∏的右半开始的轨迹永远不会到达矩形的左侧。对于这种轨迹，对数价格增量（B5）可以很容易地用变量w（0）、σ（0）、r（τ）和m（τ）=max0表示≤T≤τr（t），最大输入值，其中布朗运动及其运行最大值的联合分布概率密度由关系式ρbr（r，m）确定=2（2米）-r） τ√2πτe-（2米）-r） 2τ，m≥ 0米≥ r、 否则为0。（B7）二维随机变量（r（τ），m（τ））和二维变量（w（0），σ（0））是独立的，它们具有law（B4）。作为表达R*根据这些变量之间的关系，我们将轨迹分为几个组。如果σ（0）=2，则轨迹始终保持在矩形∏的上边界上（对于所有0，σ（t）=2）≤ T≤ τ） 因此原木价格增量（B5）等于投入的增量，R*= r（τ）。因为r（τ）是正态分布，所以r（τ）也是正态分布R*对于这样的轨迹，ρ(R*= y、 σ（0）=2）=3c8（a）- 2κ）·e-y2τ√2πτ（B8），其中P=3c/（8（a- 2κ）是在直角上半边的右半边找到点（w（0），σ（0））的总概率，参见（B4）。另一类是从矩形∏上方下方开始的轨迹，白天永远不会到达其右侧。该类由关系0定义≤ σ(0) < 2; c/2≤ w（0）<c- m（τ）。

（B9）对于这些轨迹，σ（t）=σ（0）对于所有0≤ T≤ τ因此R*= r（τ），如前一种情况。将概率密度ρst（w，σ）ρbr（r，m）在域（B9）上的乘积与变量w（0）=w，σ（0）=σ和m（τ）=m积分，我们得到了这类轨迹的对数价格增量的概率密度函数。经过一些处理后，这个概率密度可以表示为积分ρ(R*= y、 σ（0）<2，w（0）<c- m（τ））=2c（a- 2κ）Zc/2max{0，y}ρbr（y，m）C- Mc+m+4（κc- κ)dm，（B10），可以用高斯函数和误差函数显式表示。下一组条件，m（τ）+w（0）>c；m（τ）+w（0）- cκc- κ< 2 - σ（0），（B11）确保轨迹到达矩形∏的右侧，而不是上侧。对于这样的轨迹，R*= r（τ）+κc- κ（m（τ）+w（0）- c） 。（B12）因此，我们得到了概率密度函数ρ(R*= y） 通过将产品ρst（w，σ）ρbr（r，m）与变量w=w（0），σ=σ（0），m=m（τ）通过公式（B12）与R*= y保持固定；关系式（B11）将积分域定义为一对（w，σ）的域∏与线m的乘积。由此产生的三重积分可归结为以下两项之和：ρ(R*= y、 0<σ（0）<σ（τ）<2）=cZmax{0，（y）-c/2）/κc}（2）- p） d pZc/2max{0，y-κcp}ρbrY- κp，q+（κc- κ） pdq，（B13）ρ(R*= y、 0=σ（0）<σ（τ）<2）=cκc- κZmax{0，（y-c/2）/κc}dpZc/2max{0，y-κcp}qρbrY- κp，q+（κc- κ） pdq，（B14），其中c=（κc- κ） /（c（a）- 2κ)).最后，有一些轨迹从矩形的上侧下方开始，在白天到达上侧。该类由条件0<2定义- σ（0）<m（τ）+w（0）- cκc- κ（B15）和相应的原木价格增量等于R*= r+κ（2-σ(0)).

对于我们考虑的次临界参数集，具有此类轨迹的可能性很小，它们的贡献几乎对概率密度图的性能没有影响。因此，我们放弃了对概率密度函数的修正R*由于这样的轨迹。因此，用ρr（y）表示从∏的右半部分开始的不同轨道类别的贡献（B8）、（B10）、（B13）和（B14）之和，对称化总和ρ(R*= y） =ρr（y）+ρr(-y） （B16）提供了原木价格每日增量的概率密度函数的解析近似值，见图7（c）中的理论曲线。ρr项(-y） 说明轨迹从∏的左半部分开始。现在我们来看临界值κ=κc。在临界情况下，到达矩形右侧的每条轨迹立即跳到其上侧。因此，ρr（y）是表达式（B8）和（B10）的总和[没有形式（B13）和（B14）的术语]。对称和（B16）描述了图7（d）所示概率密度分布的主要中心模式。一个小边模式出现是因为从矩形的下侧开始的轨迹和从上侧开始的轨迹，即在亚临界情况下被忽略的轨迹。边模的特性由函数ρside（y）=2cZc/2max{y，0}mρbr（y，m）dm的左右位移ρside（±（y+2κ））来描述。（B17）因此，中心模式和侧模式可以明确表示为高斯函数和误差函数的组合。在超临界情况下κ>κc，中心模与临界情况下相同，而侧模与临界情况下相同，但进一步向左和向右移动。[1] R.Pastor Satorras和A.Vespignani，Phys。牧师。莱特。863200（2001）[2]C.Castellano，S.Fortunato和V.Loreto，Rev。摩登派青年菲斯。

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