重新排序并与定理3.8进行比较完成了证明。5数值比较在本节中，我们通过数值样本检验第3节中近似值的准确性。为此，我们比较了方差最优套期保值的精确和近似初始资本、初始套期保值比率和均方根套期保值误差。此外，我们还比较了Black-Scholes对冲的精确和近似均方根h边缘误差。我们在三种不同的参数Lévy模型中对欧式看涨期权进行了研究。5.1市场模型作为贴现股票的参数市场模型，我们考虑了具有正态跳跃的默顿跳跃扩散（JD）模型[43]，正态逆高斯（NIG）模型[7]和方差伽马（VG）模型[41]，用于各种参数选择。作为初始股价，我们总是s=100。此外，我们确定了所有模型的参数，使得u=E（log（x））=-0.08，σ=Var（log（X））=0.4，偏斜（log（X））=0.1√.超额峰度率ExKurt（log（X））分别选择为2/250、5/25 0和10/250。所有这些选择都在经验上合理的值范围内，参见[13，表4]。请注意，报告的偏度率和超额峰度率是这样的，即假设每年有250个交易日，一个直接每天恢复该值。此外，我们的选择是u+σ=0，即股票具有无风险回报率。因此，在这种情况下，方差最优和纯套期保值的均方hedg误差是一致的，参见备注3.9。NIG和VG是具有四个参数的模型，因此对数回报的前四个矩的规定没有自由度。然而，JD模型有五个参数。

为了消除额外的自由度，参数的选择应确保跳跃成分产生的波动率能够解释对数收益率整体波动率的70%。为了计算感兴趣量的准确值，我们使用第4节中的公式。4和p执行标准数值求积。5.2期权支付函数我们考虑的是行使K=95、100或105，到期日T=1/12、1/4或1/2的欧洲看涨期权，以年为单位。相应的支付函数f（s）=（s-K） +允许（4.15）中的积分表示，给定byf（s）=πiZR+i∞R-我∞szK1-zz（z）-1）对于任意R>1，参见[33，引理4.1]。严格来说，欧洲电话的扭结支付函数不符合假设2.2的平滑性要求。然而，第3节中的近似公式在这种情况下得到了很好的定义，使用引理4.7可以很容易地说明这一点。因此，我们可以并且将在数值比较中使用t hem。5.3套期保值和套期保值误差在上述任何一种情况下，我们计算初始资本v、初始套期保值比率φ（0，S，v）和方差最优套期保值的平均平方根pε（v，ν，S）。将其与定理3.3、3.6和3.7中的相应方法进行比较。此外，我们报告了相应的Black-Scholes价格c=c（0，S）和初始Black-Scholes套期保值比率ψ（0，S）。最后，我们计算Black-Scholes套期保值的精确平均平方套期保值误差的平方根pε（c，ψ，S），并将其与定理3.11.5.4中的近似值进行比较。表1显示了不同模型和支付的精确和近似方差最优初始资本以及Black-Scholes价格。

表2给出了t=0时的精确和近似的最佳规避率，以及初始Black-Scholes套期保值比率。对于这两个量，模型中的精确值基本一致，近似值为u p到最后一位。对于高过剩峰度和短成熟度，近似值的性能稍差，但与mereBlack-Scholes值相比，改进也变得更加明显。表3显示了方差最优套期保值均方边缘误差平方根的精确值和近似值。在括号中，我们报告了准确的响应。Black-Scholes套期保值均方套期保值误差的近似平方根。我们注意到两种策略的近似值之间的差异在实际应用中似乎可以忽略不计。此外，近似值往往会略微高估准确值。随着成熟时间的缩短和过度峰度的增加，性能变得更差。在方差最优hedg e的情况下，例如，对于K=100和e xKurt（X）=2/250，所有模型的近似值与平均准确值的相对偏差在T=1/12时为6.7%，在T=1/2时为2.4%。当K=100且ExKurt（X）=10/250时，t=1/12时的相对偏差占18%，t=1/2时的相对偏差占6.0%。正如在[19]中已经指出的，我们最终从各自的套期保值误差中看到，对于方差最优套期保值，Mere Black-Scholes套期保值是一个令人满意的代理。如上所述，由于我们选择u+σ=0，因此定理3.7和3.8中方差最优和纯对冲的近似值在我们的研究中是一致的。然而，此处未显示的数值实验表明，对于典型的参数选择，如果u+σ6=0，这两种近似值之间的差异也可以忽略不计（在小于1%的幅度内）。

因此，出于实际目的，我们的公式中最简单的一个——定理3.8中的一个——应用于近似量化纯、方差最优或Black-Scholes对冲的误差。6结论当贴现股票价格遵循Lévy p过程且收益平滑时，我们提供了方差最优和纯套期保值以及这两种策略的均方套期保值误差和Black-Scholes套期保值的二阶近似值。通过将感兴趣的Lévy模型视为扰动Black-Scholes模型来获得近似值。更具体地说，我们的方法依赖于通过随机过程集合中的一条曲线将考虑中的Lévy模型与近似的Black-Scholes模型连接起来。该曲线的选择可被视为建模的一部分，因为它通常会影响结构，甚至可能影响近似值的存在。我们将这方面的详细讨论和比较研究留给未来的研究。在任何情况下，都需要对曲线进行选择，以使其产生可计算表达式，在实际相关的情况下，这些表达式在数值上非常精确。定性地说，我们的结果表明，套期保值和hedg误差与Black-Scholes的偏差基本上由Lévy模型中对数收益的第三和第四时刻以及期权的Black-Scholes敏感性（现金）决定。Lévy过程的具体结构不太相关。该选项主要是通过其Black Scholes gamma导致hedgingerror。从数量上来说，对于模型和合理的参数值，数值测试表明，我们的近似对于初始资本和套期保值比率的准确性是极好的，对于它们的hedge-ing错误也是合理的。

此外，我们的测试表明，Black-Scholes st策略是方差最优策略的一个很好的代理，其由Lévy过程的j u-mps引起的边缘误差本质上是由对数股票收益的超额库托-希斯（kurto-Sis）决定的。通过与离散时间hedgi ng的结果s进行比较，可以说，存在跳跃时Black-Scholes套期保值的风险与Black-Scholes delta在Black-Scholes市场中以时间步长离散实施的风险相同t=ExKurt（日志返回）-（倾斜（对数-返回））.参考文献[1]E.Alòs.应用于期权定价近似的赫尔和怀特公式的推广。《金融与随机》，10（3）：353-3652006。[2] E.Alòs.Heston模型中期权价格的分解公式及其在期权定价近似中的应用。《金融与统计》，16（3）：403–4222012。[3] F.安东内利和S.斯卡拉蒂。随机波动下的期权定价：幂级数方法。《金融与随机》，13（2）：269-3032009。[4] C.阿特·因森和P.威尔莫特。具有交易成本的投资组合管理：Morton和Plis-ka模型的渐近分析。数学金融，5（4）：357-3671995。[5] 巴勒斯和索纳。考虑交易费用的期权定价和一个非线性BlackScholes方程。《金融与随机》，2（4）：369-3971998。[6] O.巴恩多夫·尼尔森。正态逆高斯过程与股票收益建模。第300号研究报告，奥胡斯大学数学研究所理论统计系，1995年。[7] O.巴恩多夫·尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2（1）：41-681998。[8] E.本哈莫、E.戈贝和M.米里。智能扩展和快速校准跳跃扩散。《金融与随机》，13（4）：563-589，209。[9] E.Benhamou、G.obet和M.Miri。

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