由于ζ可以是任意的，我们得出结论，预期的二次变化E[[n] （t）]→ 0作为n→ 任何t<0∞.根据Doob不等式，我们得到了所有固定ζ>0，P（max0≤U≤t|n（u）|>ζ）≤E[[n] （t）]ζ→ 0.因此，n（·）弱收敛于x（·）≡ 空间D[0，t]中的0表示所有t<∞.最后，在假设3中给出了nP（IakVak+IbkVbk6=0）=2γ+o（1），因此计数过程N（·）收敛到一个速率为2μγ的泊松过程。因此，对于任何t<∞E[max0≤U≤t |（（2c+1）N（u）- 1)√n |]=E[（2c+1）n（t）- 1)√n] =O(√n） 。因此，过程（（2c+1）N（·）- 1)√n弱收敛到x（·）≡ 空间D[0，t]中的0。再次证明我们已经证明了（（2c+1）N（·）- 1)√nis是| sn（·）的上界-|Sn（·）|和| | mn（·）的“跳跃部分”-~Mn（·）|。因此，我们可以得出结论，差异过程（\'sn（·）-~Sn（·），~mn（·）-~Mn（·））在任何紧区间[0，t]上弱收敛到（0，0）。命题2的证明。定义Na（t）=P{j:tj≤t} Iaj，Nb（t）=P{j:tj≤t} 注意Na（·）、Nb（·）是两个独立的泊松过程，每个过程的速率为γu。接下来，定义Sn（0）=Sn（0）≥ 0，并且∧Mn（0）=Mn（0），和setSna（t）=X{j:tj≤t}(-1） 拉杰[Uaj]/(√nδn）]nδn，Snb（t）=X{j:tj≤t}(-1） Rbk[Ubk]/(√nδn）]δn）。我们还将定义（t）=Sna（t）+Snb（t）+sn（0），Mn（t）=Sna（t）- Snb（t）+mn（0）（因此按照惯例，我们设置t=0，Sn（0）=Sn（0））。此外，我们定义（t）=Sn（t）- min（Sn（u）：u≤ t、 0）。设A=inf{t≥ 0:Na（t）≥ 1} B=inf{t≥ 0:Nb（t）≥ 1} 分别为A（·）和Nb（·）的首次到达时间。

自Sn（tk）=(na（~Sn（tk））+nb（~Sn（tk））+~Sn（tk））+，我们有关于min（A，B）>t~Sn（t）=Rn（t）的。策略如下。步骤1）：显示if（\'sn（0），\'mn（0））=> （\'s（0），\'m（0）），过程（Sna（t），Snb（t）：t≥ 0）在D[0]中弱收敛，∞) 到过程（X（t）：t≥ 0）定义的viaX（t）=s（0）- ηt+Wa（t）+Wb（t），X（t）=m（0）+Wa（t）- Wb（t）。步骤2）：一旦执行了步骤1），我们就可以直接应用连续映射原理，在进程sn（·）的[0，min（A，B））上得出联合弱收敛=> R（·）：=X（·）- 最小（X（u）：0≤ U≤ ·) ,锰（·）=> X（·）。步骤3）：通过调用Skorokhod嵌入定理，我们可以假设步骤2）中的联合武器会聚几乎肯定会发生。我们可以在时间min（A，B）处加上右跳，而不改变t<min（A，B）时X（t）和Sn（t）的分布。更准确地说，定义=I（A<B）R（A）Va/2+I（B≤ A） R（B）Vb/2，其中Vb和Va分别是Vb和vak的i.i.d.副本，我们还定义了n=i（A<B）[Rn（A）Va/（2δ）]δ+i（B≤ A） [Rn（B）Vb/（2δ）]δ。然后穿上t∈ [0，min（A，B）]Sn（t）=Rn（t）I（t<min（A，B））+I（t=min（A，B））（Rn（min（A，B））+Dn，\'s（t）=R（t）I（t<min（A，B））+I（t=min（A，B））（R（min（A，B））+D），~Mn（t）=Mn Mn I（t）I（t<min（A，B））+I（t=min（A，B））[Rn（A，B）Va/（δ）-I（t=min（A，B））I（B≤ A） [Rn（B）Vb/（2δ）]δ，\'m（t）=X（t）I（t<min（A，B））+I（t=min（A，B））I（A<B）R（A）Va/2-I（t=min（A，B））I（B≤ A） R（B）Vb/2δ。因此，假设步骤2）并使用Skorokhod嵌入，我们得出结论SUP0≤T≤min（A，B）~Sn（t）- \'s（t）+ sup0≤T≤min（A，B）~Mn（t）- \'m（t）→ 几乎可以肯定。第4步）：最后，请注意，鉴于[0，t]中只有非常多的跳跃，通过重复应用步骤1）到3），收敛会延伸到整个区间[0，t]。

显然，这个过程完成了SDE（8）解的构造。因此，我们看到一切都取决于步骤1）的执行，为此我们调用了鞅中心极限定理（见Ethier和Kurtz[8]，定理7.1.4）。德涅扎克（n）=(-1） Rak[乌克兰克朗]/(√nδn）]nδn，Zbk（n）=(-1） Rbk[Ubk]/(√nδn）【n】δn.我们得到了Ezak（n）=E（[Uak/(√nδn）]δn）(-β/(√n） ）=βEZbk（n）=-如果δn=o（1），则βE（Ua）n+o（1/n）/√n） ,，-如果δn=1，则βE（[Ua]）n+o（1/n）/√n、 andV ar（Zak（n））=E（[Uak/(√nδn）]δn）- （EZak（n））=E（[Uak/(√nδn）]δn）- O（1/n）。我们写的是na（t）=Mna（t）+utEZbk（n）=Mna（t）- ηt+o（1），其中Mna（t）是鞅，我们得到了sup0≤T≤T |人（T）- 男（t）-) | ≤ (θ/√n+δn），因此sup0≤T≤T |人（T）- 男（t）-) | + E sup0≤T≤T |人（T）- 男（t）-) |= o（1）as n→ ∞, 这验证了Ethier和Kurtz[8]定理7.1.4中的条件a）和b.1）。此外，我们有[Mna，Mna]（t）=N（nt）Xj=1[Uaj/(√nδn）]nδ→ tσ=当δn=1时，tuE（华积）/√n、 tuE(Uaj) 如果δn=o（1/√n） 。此外，我们有最大的≤T |[Mna，Mna]（T）- [Mna，Mna]（t）-)| ≤ (θ/√n+δn）=o（1），对应于Ethier和Kurtz[8]定理7.1.4中的条件b.2）。因此，我们得出结论（·）=> 紧集上一致拓扑下的Wa（·）。一个完全类似的策略适用于包含Mna（·）=> Wb（·）。由于独立性，收敛性共同成立，因此我们得出了步骤1）中要求的结论。如前所述，现在直接执行步骤2）至4）。参考文献[1]P.比林斯利。概率测度的收敛，第二版。威利，1999年。[2] J.布查德、M.梅扎德和M.波特。股票订单簿的统计特性：经验结果和模型。《定量金融》，2（4）：251，2002年。[3] J.布查德、Y.格芬、M.波特和M.怀亚特。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙本质。《定量金融》，4（2）：176，2004年。[4] A.Cartea，S。

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