提款保险的随机建模与公允价值评估

2022-5-5 02:46:09

提款保险的随机建模与公允价值，*, Tim Leungb，Olympia Hadjilia统计系，哥伦比亚大学，纽约阿姆斯特丹大道1255号，纽约州，纽约州，哥伦比亚大学，纽约州，哥伦比亚大学，工业工程与运营研究系，纽约州，纽约州，布鲁克林学院，布鲁克林大学研究生中心，NY 11209摘要本文研究了市场支取事件的随机建模和基于支取的保险合同的公允价值评估。我们将资产提取过程建模为当前与资产价值历史最大值的相对距离。我们首先考虑一个普通的保险合同，根据该合同，保护买方在一段时间内支付固定的保费，以确保AGAISTA支取达到预先规定的水平。这导致了对提款时间的条件拉普拉斯变换的分析，该变换将作为提前取消或提款应急的提款保险的构建块。对于可取消的提款保险，我们根据基础提款过程的双边首次通过时间推导出投资者的最佳取消时间。我们的模型也可以用于防止违约股票的提款。我们提供了公平溢价的分析公式，并说明了违约风险的影响。关键词：提款保险；提前取消；最优停车；违约风险。JEL学科分类：C61、G01、G13、G22。1.导言最近的金融危机标志着资产价格的一系列急剧下跌，例如，标准普尔下调美国债务评级，以及欧洲国家的违约投机。许多个人和机构投资者对市场大幅下跌持谨慎态度，因为它们不仅会导致投资组合损失和流动性冲击，而且还预示着潜在的即将到来的衰退。

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kedemingshi

2022-5-5 02:46:13

众所周知，对冲基金经理的薪酬通常基于基金在过去创纪录的最高点或最高点（见[2,12,13,27]等）的表现。因此，提款事件会直接影响经理的收入。此外，大规模的资金削减还可能导致投资者赎回基金的数量激增，并导致经理的工作被终止。因此，基金经理有强烈的动机寻求针对提款的保险。如[18]、[24]等所述，这些市场现象促使提款作为路径依赖的风险度量进行应用。另一方面，Vecer[28,29]认为，一些市场交易合约，如vanilla和lookback puts，“只有有限的能力*相应的authorEmail地址：hzhang@stat.columbia.edu（张洪忠），leung@ieor.columbia.edu（梁锦松），ohadjiliadis@brooklyn.cuny.edu（奥林匹亚Hadjiliadis）预印本于2018年7月17日提交给爱思唯尔，以确保市场提款。”他通过模拟研究了看涨期权的收益率，并对标的资产的最大提款权进行了减记，并讨论了动态交易策略，以对冲与单一资产或指数相关的提款权。最近的工作[6]提供了非平凡的静态策略，使用市场交易的障碍数字期权，在提款事件上近似合成欧洲风格的数字期权。这些观察结果表明，提款保护对机构投资者和个人投资者都是有用的，综合提款保险也有好处。在本文中，我们讨论了提款的随机建模，并研究了针对提款事件的多个保险合同的估值。更准确地说，提取过程定义为资产价值从其历史最大值的当前相对下降。

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2022-5-5 02:46:17

在最简单的形式中，提取保险涉及投资者（protectionbuyer）持续支付保费，以确保标的资产价值提取到预先规定的水平。为了让投资者在管理路径依赖型提款风险方面更灵活，我们加入了提前终止合同的权利。这种提前取消功能类似于许多常见保险产品中出现的退保权，如股权指数年金（参见[8]、[21]、[22]）。由于时间的灵活性，如果投资者发现不太可能发生提款（例如，当基础价格继续上涨时），他/她可能会停止预付款支付。在我们的分析中，我们严格地表明，投资者的最佳取消时机是基于基础提款过程的非平凡的首次通过时间。换句话说，投资者的取消策略和合同估值不仅取决于标的资产的当前价值，还取决于其与历史最大值的距离。应用最优停止理论和降深过程的分析性质，导出了最优消除阈值，并通过数值例子加以说明。此外，我们还考虑了一份相关的保险合同，以保护投资者在提款之前免受提款的影响。换句话说，如果提款事件发生在提款之前，保险合同将提前到期。从投资者的角度来看，当提款实现时，几乎不需要为提款投保。因此，这种支取意外情况会自动停止预付款支付，这是一个有吸引力的功能，可能会降低支取保险的成本。我们的模型也可以很容易地扩展到包含与标的资产相关的违约风险。

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2022-5-5 02:46:20

为此，我们观察到，持续的价格波动以及跳转到默认事件都可能触发价格下降。在其他结果中，我们提供了提取保险的空中保费公式，并分析了违约风险对提取保险估值的影响。在现有文献中，提款也出现在许多金融应用中。Pospisil and Vecer[24]运用偏微分方程方法研究投资组合价值和对冲策略对提取和提取的敏感性。提款流程也被纳入到投资组合优化的交易约束中（参见[13,9,7]）。Meilijson[19]讨论了回望美式看跌期权在行使时间内的减持作用。有几项研究侧重于一些与提款相关的概念，如最大提款[10,18,28,29]和市场崩盘速度[31]。另一方面，提取和提取的统计模型也具有实际意义，我们参考了最近的研究[5,15,26]等。对于我们的估值问题，我们经常使用提取和提取的联合法则。为此，来自[14]、[25]、[30]和[32]的一些相关公式是有用的。与现有文献和我们之前的工作相比，本文的贡献是三倍的。首先，我们得出了为若干提款事件投保的空中保险费，包括到期日和到期日，以及诸如提款应急和提前终止等新条款。特别是，提前终止选项可以分析一个新的最优停止问题（见第3节）。Werigorough求解最优终止策略，该策略可以表示为提取过程的首次消息时间。

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2022-5-5 02:46:23

此外，我们将标的资产的违约风险（在其他提款相关研究中缺乏这一特征）纳入我们的分析，并研究其对提款保险费的影响。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了一个用于支取和支取的随机模型，并制定了一个普通支取保险的估值。在第3节和第4节中，我们分别研究了可撤销提款保险和具有提款意外事件的提款保险。作为扩展，我们将在第5节讨论可违约股票的提款保险估值。第6节总结全文。我们给出了第7.2节中一些引理的证明。提取保险的模型我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）满足通常条件。风险中性定价度量Q用于我们的估值问题。在测度Q下，我们通过几何布朗运动st=rdt+σdWt（1）对风险资产S建模，其中W是Q下的标准布朗运动，产生过滤（Ft）t≥0.我们将S和S分别表示为S的运行最大值和运行最小值的过程。在编写合同时，保险人可以使用之前参考期记录的历史最大值和最小值。因此，在合同开始时，参考最大值s、参考最小值s和股价不必重合。这一点如图1所示。与S相关的运行最大和运行最小进程如下，St=S∨小吃∈[0，t]Ss, St=s∧infs∈[0，t]Ss. （2）在这里，我们表示a∨ b=最大值（a，b）和a∧ b=最小值（a，b）.01-七月-2011年1月-八月-2011 01-九月-2011 01-十月-2011年1月-十一月-201177.057.17.157.27.25原木价格初始提取图1:2011年1月7日至2011年1月11日标准普尔指数的日原木价格。

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能者818

2022-5-5 02:46:26

为了便于说明，7月被用作参考周期，以记录历史运行的最大值和最小值。在参考期结束时，运行最大值s=7.21，原木价格x=7.16，因此初始提款y=0.05。我们注意到，由于标准普尔下调美国债务评级，2011年8月出现了大规模提款。我们确定了停止时间%D（K）=inf{t≥ 0:St/St≥ K} 和%U（K）=inf{t≥ 0:St/St≥ K} （3）分别为S第一次达到K个单位的相对下降和K个单位的相对上升。在不丧失一般性的情况下，我们假设1≤ s/s<K，因此%D（K）∧ %D（K）>0，几乎可以肯定。为了便于分析，我们将研究原木价格。因此，我们定义Xt=log stsothatext=x+ut+σWt，（4）其中x=log Sandu=r-σ. 用Xt=log Stand Xt=log Stto分别表示原木价格过程的运行最大值和运行最小值。然后，S的相对下降和上升相当于原木价格X的绝对下降和上升，即τD（k）=inf{t≥ 0:Dt≥ k} τU（k）=inf{t≥ 0:Ut≥ k} ，（5）式中k=logk（见（3）），Dt=Xt- Xt和Ut=Xt- Xt。请注意，在当前模型下，抛售时间τD（k）=%D（k）和τU（k）=%U（k），它们不依赖于x或相当于初始股价。2.1. 支取保险和公平保费我们现在考虑基于支取事件的保险合同。具体而言，为规模为k的提款事件寻求保险的protectionbuyer将在提款时间τD（k）之前持续支付固定保费。作为回报，保护买方将在τD（k）时收到保险金额α。这里，p、k和α的值是在收缩时预先规定的。

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2022-5-5 02:46:31

本提取保险的合同价值为f（y；p）=IE(-ZτD（k）e-rtp-dt+αe-rτD（k）|D=y（6）=pr-α+prξ（y），（7），其中ξ是由ξ（y）：=IE{e定义的τD（k）的条件拉普拉斯变换-rτD（k）|D=y}，0≤ Y≤ k、（8）这相当于计算条件拉普拉斯变换ξ，它允许一个封闭形式的公式，如我们接下来所示。提议2.1。条件拉普拉斯变换函数ξ（·）由ξ（y）=eμσ（y）给出-k） sinh（Ξru，σy）sinh（Ξru，σk）+e（Ξru，σk）- y））sinh（Ξru，σk）e-uσkΞru，σru，σcosh（Ξru，σk）-μσsinh（μru，σk），0≤ Y≤ k、（9）式中Ξru，σ=q2rσ+μσ。证据确定提款过程（Dt）首次≥0降低到θ级≥ 0乘以τ-D（θ）：=inf{t≥ 0:Dt≤ θ}. （10）利用τ上过程D的强马尔可夫性-D（0），我们对t有这个≤ {k，τ（Dt）=e-rτD（k）|Dt}=IE{e-rτD（k）{τD（k）<τ-D（0）}|Dt}+IE{e-rτ-D（0）{τD（k）>τ-D（0）}Dt}ξ（0）=eμσ（Dt）-k） sinh（Ξru，σDt）sinh（Ξru，σk）+euσDtsinh（Ξru，σ（k- Dt）sinh（Ξru，σk）ξ（0）。（11）因此，问题归结为已知的结果ξ（0）（见[16]）：ξ（0）=e-uσkΞru，σru，σcosh（Ξru，σk）-Ξru，σk）。将其代入（11）得到（9）。因此，（6）中的合同价值f（y；p）对于任何保险费率p都是明确给出的*由方程f（y；P）得出*) = 0，哪个yieldsP*=rαξ（y）1- ξ（y）。（12）备注2.2。我们的公式可以适用于预付提取保险的情况。实际上，我们可以在（6）中设置p=0，那么这个合同在时间零点的价格是f（y；0）。另一方面，如果保险费是在预先规定的时间T内支付的，而不是在随机提取时间内支付的，则保险费现金流的现值（e-rT- 1）将以（2.7）的预期取代第一学期。在这种情况下，在开始时将合同价值设定为零，公平溢价由P给出*（T）：=f（y；0）r1-E-rT>0。

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可人4

2022-5-5 02:46:34

在第4节中，我们讨论了如果提款事件发生在提款或到期之前，持有人将停止支付保费的情况。对于保险公司和保护买方来说，了解提款预计会持续多长时间是很有用的。这就导致我们计算出尺寸k下降的预期时间≥ 0，在物理测度P下。测度P相当于Q，其中S的漂移是年化增长率ν，而不是无风险率r。在测度P下，对数价格为xt=x+~ut+σWPt，其中- σ/2，其中wp是P-布朗运动。提议2.3。尺寸k的预计下降时间由iep{τD（k）|D=y}=y·ρτ（y；k）+（y）给出- k） ·e2¨σ（y）-k） ρτ（k）- Yk） △u+ρτ（y；k）·e2△σk-2/μσk- 其中ρτ（y；k）：=eμσysinh（~μσ（k）-y））sinh（**k）。证据利用过程（Xt）t的马尔可夫性≥我们知道τD（k）=τx+y-K∧ τx+y+（τD（k）o θτx+y）·1{τx+y<τx+y-k} ，P-a.s.式中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}，θ·是标准的马尔可夫移位算子。如果|u6=0，将可选采样定理应用于一致可积鞅（Mt∧τx+y-K∧τx+y）t≥0MT=Xt- ~ut，我们得到了{τx+y-K∧ τx+y | x=x}=y·P（τx+y<τx+y-k | X=X）+（y）- k） ·P（τx+y）-k<τx+y | x=x）~u。此外，利用P（τx+y<τx+y-k | X=X）=ρτ（y；k），P（τX+y-k<τx+y | x=x）=e2μσ（y）-k） ρτ（k）- Yk） [14]中的等式（11）：IEP{τD（k）|D=0}=e2μσk-2/μσk- 1（2μ|σ），我们得出|u6=0的证明。μ=0的情况是通过取极限μ来获得的→ 0.3. 可撤销提款保险由于在保险和衍生品市场中很常见，投资者可能会要求提前自愿终止合同。典型的例子包括美式期权和有退保权的股票指数年金。

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2022-5-5 02:46:37

在本节中，我们将一个可取消的功能纳入提款保险，并研究终止合同的最佳时机。有了可取消的提款保险，保护买方可以在预先指定的提款规模k之前的任何时间支付固定费用c终止头寸。对于α的名义金额和保险费率p，本合同的公平估值可以从最优停止问题中找到：V（y；p）=sup0≤τ <∞IE(-ZτD（k）∧τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}+αe-rτD（k）{τD（k）≤τ}| D=y）（14）表示y∈ [0，k）。公平溢价P*使合同价值在开始时为零，即V（y；P*) = 0.我们观察到，由于合同到期并在τD（k）支付，取消并在τD（k）支付费用c永远不是最佳选择。因此，有必要考虑一组较小的停止时间：={τ∈ F:0<τ<τD（k）}，由严格受τD（k）约束的F-停止时间组成。我们将在第3.2节中说明，候选停止时间集实际上是下降停止时间τ=τ-D（θ）由各自的阈值θ索引∈ （0，k）（见（10））3.1。合同价值分解接下来，我们证明了可撤销提款保险可以分解为普通提款保险和美式提款保险索赔。这为合同价值的显式计算以及最优终止策略提供了一个很好的视角。提议3.1。可取消支取保险价值允许分解：V（y；p）=-f（y；p）+supτ∈溶剂同位素效应E-rτ（f（Dτ；p）- c） |D=y, （15）其中f（·；·）在（6）中定义。证据让我们考虑V（D；p）的一个变换。首先，通过重新排列（14）中的第一个积分并使用1{τ≥τD（k）}=1- 1{τ<τD（k）}，我们得到v（y；p）=IE(-ZτD（k）e-rtp-dt+αe-rτD（k）|D=y）+sup0≤τ <∞IE（ZτD（k）τD（k）∧τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}- αe-rτD（k）{τ<τD（k）}|D=y）{z}=:G（y；p）=-f（y；p）+G（y；p）。

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2022-5-5 02:46:42

（16）注意，第一项在（6）和（9）中明确给出，它不依赖于τ。因为第二项仅通过其截断的对应项τ依赖于τ∧ τD（k）≤ τD（k），而τ=τD（k）是次优的，我们实际上可以考虑在有限的停止时间集合S={τ上最大化∈ F:0≤ τ<τD（k）}。因此，第二项简化了toG（y；p）=supτ∈SIE（ZτD（k）τe-rtp-dt- 总工程师-rτ{τ<τD（k）}- αe-rτD（k）{τ<τD（k）}| D=y）。然后，利用{τ<τD（k），τ<∞} = {Dτ<k，τ<∞}, 除了X的强马尔科夫性质，我们还可以写出eg（y；p）=supτ∈锡恩-rτf（Dτ；p）1{τ<∞}| D=yo，式中f（y；p）=1{y<k}IE（ZτD（k）e-rtp-dt- αe-rτD（k）- c | Dτ=y）。（17）因此，我们通过简单地注意到f（y；p）=f（y；p）来完成证明- c（比较（17）和（6））。利用这种分解，我们可以从最优停止问题G（y）中确定最优取消策略，我们将在下一小节中明确解决该问题。3.2. 最佳取消策略为了确定（15）中V（y；p）的最佳取消策略，有助于解决固定p中由g（16）表示的最佳停止问题。为了简化符号，让我们用f（·）=f（·；p）和<<f（·）=f（·；p）表示。我们的解决方法包括两个主要步骤：1。我们推测了一类由τ：=τ定义的候选停止时间-D（θ）∧ τD（k）∈ S、 τ在哪里-D（θ）=inf{t≥ 0:Dt≤ θ} ，0<θ<k.（18）这导致我们寻找一个候选的最佳阈值θ*∈ （0，k）使用平滑粘贴原理（参见（22））。2。我们通过鞅论证严格地验证了基于阈值θ的取消策略*这确实是最优的。第一步。从拉普拉斯函数ξ（·）的性质（见下面的引理7.2），我们知道了相应的函数f（·）：=f（·）- （15）中的c是一个递减的凹面。

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2022-5-5 02:46:46

因此，如果f（0）≤ 0，则（15）的第二项为非正项，保护买方最好不取消保险，即τ=∞. 因此，在寻找非平凡的最佳运动策略时，只研究f（0）>0的情况是有效的，这相当于top>r（c+αξ（0））1- ξ(0)≥ 0.（19）对于（18）中推测的每个停止规则，我们显式地计算（15）asg（y；θ）：=IEne的第二项-r（τ）-D（θ）∧τD（k））~f（Dτ-D（θ）∧τD（k））|D=yo（20）=IE{e-rτ-D（θ）{τ-D（θ）<τD（k）}f（θ）|D=y}+IE{e-rτD（k）{τD（k）≤τ-D（θ）}f（k）|D=y}=eσ（y）-θ） sinh（Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）-θ））~f（θ），如果y>θ~f（y），如果y≤ θ. （21）候选最佳消除阈值θ*∈ （0，k）可从平滑粘贴条件中找到：Yy=θg（y；θ）=f（θ）。（22）这相当于求根θ*式中：F（θ）：=uσ- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ))~f（θ）-~f（θ）=0，（23），其中~f和~~。接下来，我们证明根θ*存在且唯一（有关证明，请参见第7.2节）。引理3.2。存在唯一的θ*∈ （0，k）满足平滑粘贴条件（22）。第二步。用候选最优阈值θ*从（22）中，我们现在验证候选值函数g（y；θ*) 支配奖赏函数f（y）=f（y）- c、回想一下g（y；θ）*) =~f（y）代表y∈ (0, θ*).引理3.3。对应于候选最佳阈值θ的值函数*满意度（y；θ）*) >~f（y），Y∈ (θ*, k）。我们在7.3中提供了证据。通过g（y；θ）的定义*) 在（20）中，重复调节产生停止的过程{e-r（t）∧τ-D（θ）*)∧τD（k））g（Dt∧τ-D（θ）*)∧τD（k））；θ*)}T≥0是一个鞅。为了你∈ [0, θ*),我们有∑f（y）- uf（y）- r~f（y）=-Cσξ（y）- uξ（y）- r（ξ（y）- ξ(θ))= -Crξ（θ）<0，其中C=α+pr。

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2022-5-5 02:46:48

因此，进程{e-r（t）∧τD（k））g（Dt∧τD（k））；θ*)}T≥0实际上是asuper鞅。为了最终证明，我们注意到∈ (θ*, k）以及任何停止时间τ∈ S、 g（y；θ）*) ≥ IE{e-rτg（Dτ；θ）*) | D=y}≥ IE{e-rτf（Dτ）|D=y}。（24）在τ上最大化，我们看到g（y；θ）*) ≥ G（y）。另一方面，当τ=τ时，（24）变成等式-D（θ）*), 这就得到了逆不等式g（y；θ）*) ≤ G（y）。因此，停止时间τ-D（θ）*) 确实是最优停止问题G（y）的解。总之，保护买方将继续支付保险费，直到提款过程D降至θ水平*或达到合同规定的k级，以先到者为准。在图2（左）中，我们展示了最佳抵消水平θ*. 正如我们的证明所示，最优停止值函数g（y）与内禀值f（y）=f（y）平滑连接- y=θ时的c*. 在图2（右）中，我们显示了公平保费P*这是直观的，因为对于更大的水位下降尺寸k，水位下降时间τD（k）几乎肯定更长，且在τD（k）处的付款固定在α。预计保护买家将在更长的时间内支付，但保险费率较低。最后，使用最优取消策略，我们还可以计算合同终止的预期时间，无论是由于提款还是自愿取消。准确地说，我们有3.4号提案。对于0<θ*< y<k，我们有p{τ-D（θ）*) ∧ τD（k）|D=y}=（y- θ*)ρτ（y）- θ*; K- θ*) + （y）- k） e2μσ（y）-k） ρτ（k）- YK- θ*)§u，（25），其中ρτ（·，·）在命题2.3中定义。证据根据最优对消策略，我们得到了τ-D（θ）*) ∧ τD（k）=τx+y-θ*∧ τy-k、 P-a.s.其中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}。

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2022-5-5 02:46:52

将可选抽样定理应用于均匀马尔可夫（Mt）∧τx+y-θ*∧τy-k） t≥0MT=Xt- 如果▄u6=0，或Mt=（Xt），则▄ut- σt如果|u=0，我们得到（25）中的结果。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4压降y值f（y）-cg（y；*)g（y；*)-f（y）+c=c（a）平滑粘贴0。3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70.20.40.60.811.21.41.6kFair保费P*可取消支取保险（b）公平保费与kFigure 2：左面板：最佳停止值函数g（实心）占主导地位，并平滑地粘贴到本质值f=f上- c（虚线）。当提款过程降至θ时，最好立即取消保险*= 0.05（ATG和f满足）。参数为r=2%，σ=30%，y=0.1，k=0.3，c=0.05，α=1，p为公允溢价p*= 1.5245. 在y=0.1时，根据公平溢价方程V（y；P*) = 0和henceg（y；θ）*) = 这里是f（y）。右图：相对于合同规定的提款级别k，可撤销提款保险的公平保费降低。备注3.5。在有限到期情况下，候选停止时间集更改为{τ∈ F:0≤ T≤ T}in（14）。与命题15一样，溢价率p在时间零点的合同价值VT（y；p）仍然允许分解VT（y；p）=-fT（0，y；p）+sup0≤τ ≤领带{e-rτ（fT（τ，Dτ；p）- c） 1{τ<τD（k）}| D=y}，其中ft（t，y）=pr- （α+pr）ξT（T，y），ξT（T，y）是τD（k）的条件拉普拉斯变换∧ （T）- t）：ξt（t，y）=IE{e-r（τD（k）∧（T）-t））|Dt=y}，0≤ T≤ τD（k）∧ T.这个问题不再是时间齐次的，公平保费可以通过数值求解相关的最优停车问题来确定。4.纳入支取或有事项我们现在考虑一份保险合同，该合同为支取或有事项的任何特定支取提供保护。

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2022-5-5 02:46:55

如果提款事件发生在提款或到期之前，本保险合同可能提前到期，从而停止保费支付。从投资者的角度来看，提款的实现意味着几乎不需要为提款投保。因此，对于投资者来说，这种应急准备是一种有吸引力的降低成本的功能。4.1. 有限到期情形首先，我们考虑具有有限到期T的情形。具体而言，如果在相同规模的提款或到期日T之前发生k单位提款，则投资者将收到保险金额α，并在此后停止支付保费。因此，对投资者的风险中性贴现预期收益由v（y，z；p）=IEy，z给出(-ZτD（k）∧τU（k）∧Te-rtpdt+αe-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}），（26）其中期望值是根据定价度量Qy，z（·）计算的≡ Q（·| D=y，U=z）。公平溢价*选择时，合同在时间零点的值为零，即v（P*) = 应用（27）到（26），我们得到了公平保费的公式：P*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}。（28）因此，公平保费包括计算期望IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}与τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ T为了确定合理的保费P*在（28）中，我们首先写下：=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}（29）=中兴通讯-rttQy，z（τD（k）<τU（k）∧ t） dt。（30）右侧概率的特例Q0,0是使用[30]中的结果（等式（39）-（40））得出的，即Q0,0（τD（k）<τU（k）∧ t） =e-2ukσ+2ukσ- 1（e）-ukσ- eukσ）-∞Xn=12nπCnexp-σCn2kt×(1 - (-1）东北-ukσ）1+nπσtk-4ukσCn+ (-1） nukσe-ukσ, （31）式中Cn=nπ+uk/σ。因此，可以通过数值积分计算期望值（30）。在一般情况下∨ z>0，我们得到以下结果。提议4.1。

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可人4

2022-5-5 02:46:59

在模型（4）中，对于0≤ y、 z<k和y∨ z>0，我们有qy，z（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）=Fuy（t）dt+Guz（t）dt- Guk-y（t）dt，（32），其中fuy（t）：=σk∞Xn=1（nπ）e（y）-k） σexp-σCn2ktsinnπ（k）- y） k，（33）Guz（t）：=σk∞Xn=1（nπ）e-uzσexp-σCn2kt×nπσt- 2kCnknπkcosnπzk+μσsinnπzk+nπCnnπk2kuCnσ+zsinnπzk+1.-uzσ-2ukCnσcosnπzk. （34）证据。首先，我们将[6]中（2.7）关于成熟度t的两边进行区分，得到qy，z（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）=q（t，x，y+x- k、 y+x）dt+Zx-zy+x-Kkq（t，x，u，u+k）du其中q（t，x，u，u+k）dt=Qy，z（τu∈ dt，τu+k>t），其中τw:=inf{t≥ 0:Xt=w}表示w∈ {u，u+k}。[3]的定理5.1中导出的函数q由q（t，x，u，u+k）=σk给出∞Xn=1（nπ）eu（u-x） σexp-σCn2ktsinnπ（x）- u）积分得到（32），这就完成了证明。同样，我们表示τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ 塔西，z{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}=-中兴通讯-rttQy，z（τD（k）∧ τU（k）>t）dt。（36）为了计算这一点，我们注意到概率的等价性（在过程（X，X，X）对X的反映下）：Qy，zu（τU（k）∈ dt，τD（k）>t）=Qz，y-u（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）。（37）因此，我们-tQy，zu（τD（k）∧ τU（k）>t）dt=Qy，zu（τD（k）∈ dt，τU（k）>t）+Qy，zu（τU（k）∈ dt，τD（k）>t）=Fuy（t）dt+Guz（t）dt- Guk-y（t）dt+F-uz（t）dt+G-uy（t）dt- G-uk-z（t）dt。（38）式中，Qy，zu表示X具有漂移u的定价度量。因此，我们可以再次计算τD（k）的空间变换∧ τU（k）∧ T进行数值积分，得到公平溢价P*通过（28）申请提款保险。备注4.2。期望值IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}与τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ 皮重实际上是联系在一起的。这是透过（37）：IEy，z{e-r（τD（k）∧τU（k）∧T）}=LTr+RTr，其中Ltri是（29）中定义的期望值，而RTr:=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}}。（39）备注4.3。如果保护买方在ti=i时定期支付保险费t、 i=0。

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2022-5-5 02:47:02

. . , N- 1t=t/n，然后是公平的高级isp（n）*=αIEy，zE-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}Pn-1i=0e-rtiQy，z{τD（k）∧ τU（k）>ti}。（40）与连续保费情况相比，公平保费p（n）*这里涉及一个概率的总和：Qy，z{τD（k）∧ τU（k）>ti}，每一个都由上面的（38）给出。4.2. 永久性案例现在，我们认为提款保险合同不会在固定时间到期，但一旦发生k级提款/提款，该合同就会立即到期。为了研究这个永恒的例子，我们取T=∞在第26页。正如下一个命题所显示的，我们有一个简单的关于公平溢价的闭式解*, 允许即时计算公平保费，并可进行敏感性分析。提案4.4。永久支取保险公平保费P*是byP给的*=rαL∞r1- L∞R- R∞r、（41）凡∞r=Fuy+Guz- Guk-y、 R∞r=F-uz+G-uy- G-uk-z、（42）fuy:=euσ（y）-k） sinh（yΞru，σ）sinh（kΞru，σ），Guz:=Ξru，σ2r/σe-σz-μσsinh（zΞru，σ）- Ξru，σcosh（zΞru，σ）sinh（kΞru，σ）。（43）证据。在永久情况下，公平溢价由byP支付*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）<τU（k）}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k））}=rαL∞r1- L∞R- R∞r、我在哪里∞r=IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）<τU（k）}}和r∞r=IEy，z{e-rτD（k）{τU（k）<τD（k）}。为了得到我的处方∞兰德R∞r、我们先把（35）的两边乘以e-R与t积分∈ [0, ∞).然后我们得到∞r=IEy，z{e-rτy+x-k{τy+x-k<τy+x}+Zx-zy+x-K基伊，z{e-rτu{τu<τu+k}}du，其中τw=inf{t≥ 0:Xt=w}。利用[4，第295页]中的公式，我们得到了u≤ 十、-z<x+y≤u+kIEy，z{e-rτu{τu<τu+k}}=eμσ（u-x）新罕布什尔州（（u+k）- x） Ξru，σ）sinh（kΞru，σ），基伊，z{e-rτu{τu<τu+k}=Ξru，σeμσ（u-x） sinh（（x）- u） Ξru，σ）sinh（kΞru，σ）。积分产生L∞r、 r的计算∞R根据建议3.1证明中的讨论。

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能者818

2022-5-5 02:47:05

这就完成了命题的证明。最后，提案4.5给出了在提款之前实现提款的概率，即在提款后合同到期之前将保护金额支付给买方。让y，z≥ 使y+z<k，然后p（τD（k）<τU（k）| D=y，U=z）=e2μσ（y-k） ρτ（k）- Yk） +e-2¨μσ（k）-y） +2¨μσ（k）- Y- z）- E-其中ρτ（·；·）在命题2.3中定义。证据从命题4.4的证明中，我们得到p（τD（k）<τU（k）|D=y，U=z）=limr→0+（Fuy+Guz- Guk-y） =e2||σ（y）-k） ρτ（k）- Yk） +limr→0+（Guz- Guk-y）。最后，L\'H^opital规则给出了最后一个极限和（44）。在图3（左）中，我们看到公平溢价随着到期日T的增加而增加，这是因为到期时或到期前提款事件的可能性更高。对于永久性案例，我们在图3（右图）中说明，更高的波动率会导致更高的公平溢价。从这一观察来看，预计在动荡的市场中，提取保险将变得更加昂贵。5.可违约股票的提款保险与市场指数相比，个别股票可能会经历持续下跌或突然违约事件的大幅提款。因此，为了投保0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.60.70.8到期TFair保费P*支取保险，不同的波动水平=20%=30%=40%（a）公平溢价与到期日T0。1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.500.511.522.533.54波动率公平保费P*支取保险，各种k k=30%k=50%k=70%（b）（永久）公平保费与波动率σ图3：左图：支取保险的公平保费随着到期日T增加。右图：永久支取保险的空中保费也随着波动率σ而增加。

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2022-5-5 02:47:08

参数为r=2%、y=z=0.1、α=1和k=50%（左）。随着股票的下跌，将违约风险纳入股票价格动态是非常有用的。为此，我们将我们的分析扩展到一种形式（基于强度）违约风险降低的股票。在风险中性度量Q下，可违约股票价格S根据todSt=（r+λ）Stdt+σStdWt演变-~St-dNt，~S=~S>0，（45），其中λ是单跳过程Nt=1{t的恒定默认强度≥ζ} ，带ζ~ exp（λ）与Q下的布朗运动W无关。在ζ处，股票价格立即降至零并永久保持不变，即对于a.e.ω∈ Ohm,~St（ω）=0，T≥ ζ(ω). 在[20]和最近的[17]等文献中，也考虑过类似的股权模式。提款事件的定义与（5）中的类似，其中原木价格现在由Xt=（原木S+（r+λ）给出-σ） t+σWt，t<ζ-∞, T≥ ζ、我们遵循第2节对提取保险合同的类似定义。违约事件的一个主要影响是导致提款，合同将立即到期。在这种情况下，保费支付至τD（k）∧ τU（k）如果它发生在默认时间ζ和到期时间T之前，或者直到默认时间ζ，如果T≥ τD（k）∧ τU（k）≥ ζ. 注意，如果在ζ之前没有出现大小为k的上升或下降，则下降时间τD（k）将与默认时间一致，即τD（k）=ζ。买方的预期价值由v（y，z；p）=IEy，z给出(-ZτD（k）∧τU（k）∧ζ∧Te-rtpdt+αe-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}）。（46）同样，基于X的停止时间τD（k）和τU（k）不依赖于X，因此，合同值v是初始提取y和提取z的函数。在该可违约股票模型下，我们获得以下有用的公平溢价公式。提议5.1。

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可人4

2022-5-5 02:47:11

到期日为T的提取保险的公平保费，写在（45）中的默认股票上，由P给出*=α{rLTr+λ+λ- λRTr+λ- λe-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）}1- LTr+λ- RTr+λ- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T），（47），其中（30）和（39）分别给出了LTr+λ和RTr+λ。证据如（28）所示，公平溢价P*满足感*=rαIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}1- 哎呀{e-r（τD（k）∧τU（k）∧ζ∧T）}。（48）我们首先计算分子中的期望值。哎呀{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧ζ∧T}}=ZTλe-λtIEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧t} }dt+IEy，z{e-rτD（k）{τD（k）≤τU（k）∧T}}·Qy，z（ζ>T）+IEy，z{e-rζ{τD（k）∧τU（k）≥ζ、 ζ<T}}=ZTe-（r+λ）ssQy，z（τD（k）≤ τU（k）∧ s） ds+ZTλe-（r+λ）tQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ t） dt=LTr+λ+λr+λ1.- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ 中兴通讯-（r+λ）ttQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ t） dt=LTr+λ+λr+λ{1- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ （T）- LTr+λ- RTr+λ}。（49）接下来，τD（k）的拉普拉斯变换∧ τU（k）∧ ζ ∧ T由y，z{e给出-r（τD（k）∧τU（k）∧ζ∧T）}=IEy，z{e-r（τD（k）∧τU（k）{τD（k）∧τU（k）<ζ∧T}}+e-rTQy，z（τD（k）∧ τU（k）>T，ζ>T）+IEy，z{e-rζ{τD（k）∧τU（k）≥ζ、 ζ<T}}=ZTe-（r+λ）ssQy，z（τD（k）∧ τU（k）≤ s） ds+e-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）>T）+λr+λ{1- E-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ （T）- LTr+λ- RTr+λ}=LTr+λ+RTr+λ+λr+λ{1- LTr+λ- RTr+λ}+e-（r+λ）Trr+λQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）=λr+λ+rr+λ{LTr+λ+RTr+λ+e-（r+λ）TQy，z（τD（k）∧ τU（k）≥ T）}。（50）重新排列（49）和（50）收益率（47）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.10.20.30.40.50.60.70.8永久下降保险违约强度公平溢价P*图4：公平溢价（实数）作为默认强度λ的函数，它支配着直线αλ。Asλ→ ∞, 公平溢价*→ αλ. 参数：r=2%，σ=30%，y=z=0.1，k=0.5，α=1。通过服用T→ ∞ 在（47）中，我们以封闭形式获得永久提款保险的公平保费。提议5.2。

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2022-5-5 02:47:15

byP给出了（45）中可违约股票的永久提款保险的公平保费*=αrL∞r+λ+λ- λR∞r+λ1.- L∞r+λ- R∞r+λ，（51）式中∞r+λ和r∞r+λ在（42）中给出。在图4中，我们说明了永久情况下，公平溢价随着违约强度λ的增加而增加，对于高违约风险，其接近αλ。这一观察结果可以通过（51）中的限额正式显示出来，这是直观的，因为高违约风险意味着提款更有可能发生，而且最有可能是由违约触发的。6.结论我们已经研究了市场崩溃保险的实用性，并提出了一些可追溯的方法来评估提款保护。在几何布朗运动动力学下，我们给出了若干保险合同的公平保费公式，并检验了其与关键模型参数的关系。在可撤销提款保险中，我们表明，保护买方将监控提款过程，并在提款风险降低时以最佳方式停止支付保费。此外，我们还研究了违约风险对提取的影响，并导出了公平溢价的分析公式。在未来的研究中，我们设想本文中的估值和最优停止问题可以在其他价格动态下进行研究，尤其是当拉普拉斯变换和命中时间分布等下降公式可用时（见[25]）。虽然我们的分析重点是针对单一标的资产的提款保险，但对多个金融市场的提款进行建模，并调查一个市场发生的提款的系统性影响，是一件既困难又具有挑战性的事情。这将涉及对各种金融市场之间的相互作用进行建模[11]，并开发新的系统性风险度量[1]。

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kedemingshi

2022-5-5 02:47:19

最后，市场缩减的想法和相关的数学工具也可用于其他领域，如投资组合优化问题[13,9]、风险管理[7]和信号检测[23]。确认我们感谢约翰·霍普金斯大学和哥伦比亚大学的研讨会参与者。我们也感谢INFORMS在2011年年度会议上为这项工作颁发的最佳演示奖。Tim Leung的工作得到了NSF拨款DMS-0908295的支持。奥林匹亚哈德吉利亚迪斯的工作得到了NSF拨款CCF-MSC-0916452、DMS-1222526和PSC CUNYgrant 65625-00 43的支持。最后，我们感谢编辑和匿名推荐人的有用评论和建议。7.引理的证明。1.支取时间的条件拉普拉斯变换为了准备第3节中关于可撤销支取保险的后续证明，我们现在总结τD（k）的条件拉普拉斯变换的一些性质（见（8））。提议7.1。条件拉普拉斯变换函数ξ（·）具有以下性质：1。ξ（·）为正且在（0，k）上增加。ξ（·）满足微分方程σξ（y）- 在Neumann条件ξ（0）=0.3下，μξ（y）=rξ（y），（52）。ξ（·）是严格凸的，即ξ（y）>0表示y∈ （0，k）。证据性质（i）直接来自ξ（y）和强马尔可夫性质的定义。属性（ii）直接来自（9）的差异。关于财产（三），证据如下。如果u≥ 0，则（52）意味着ξ（y）=2uσξ（y）+2rσξ（y）>0，y∈ （0，k）。如果u<0，则（11）和（52）表示y∈ （0，k），ξ（y）=Ξru，σ+μσξ（y）- e（σ）-Ξru，σ）yξ（0）, （53）ξ（y）=2uσξ（y）+2rσξ（y）=Ξru，σ+μσξ（y）-2uσΞru，σ+μσe（σ）-Ξru，σ）yξ（0）>0。（54）最后一个不等式来自以下事实：u<0和Ξru，σ+μσ>0。因此，严格凸性如下。7.2.

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2022-5-5 02:47:23

引理3.2的证明在（22）中，我们求根θ*式中：F（θ）：=uσ- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ))~f（θ）-~f（θ）=0。（55）为此，我们计算f（θ）=-（Ξru，σ）sinh（Ξru，σ（k）- θ））~f（θ）-Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) -uσ~f（θ）-~f（θ）。（56）因为f是单调递减的，从f（0）>0到f（k）=-α - c<0，存在唯一的θ∈ （0，k）使得∧f（θ）=0。我们有F（θ）=-~f（θ）>0乘以（55）和f（0）=（μσ-Ξru，σcoth（Ξru，σk））~f（0）<0，这意味着f（θ）=0至少有一个解θ*∈ (0, θ).此外，对于θ∈ （θ，k），~f（θ）<0，因此f（θ）>0乘以（55），在（θ，k）中没有根。接下来，我们通过证明所有θ的F（θ）>0来证明根是唯一的∈ (0, θ). 为此，我们首先从（6）中观察到，f可以表示为f（θ）=C（ξ（θ）- ξ（θ）），对于θ，θ∈ （0，k），其中C=（α+pr）>0和Cξ（θ）=pr- c、把它们放到（56）中，我们用ξ来表示F（θ），而不是用F来表示。反过来，验证F（θ）>0被简化为：引理7.2。inf0<θ<θ<k（ξ（θ）+Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) -uσξ（θ）+（Ξru，σ）（sinh（Ξru，σ）（k）- θ)))(ξ(θ) - ξ(θ)))≥ 0，且在θ=θ=k时达到最大值。我们首先用（52）重写引理asinf0<θ<θ<k中的语句Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- θ)) +uσξ(θ) +（Ξru，σ）coth（Ξru，σ（k- θ)) -uσξ(θ)-（Ξru，σ）sinh（Ξru，σ（k）- θ))ξ(θ)≥ 0通过过程D·的强马尔可夫性质，函数ξ满足（11）的更一般版本。具体来说，对于0≤ y、 y<k，ξ（y）=eμσ（y）-k） sinh（Ξru，σ（y）- y） sinh（Ξru，σ（k）- y））+e/∑（y）-y） sinh（Ξru，σ（k）- y） sinh（Ξru，σ（k）- y） ξ（y）。（57）对y的定义∈ [0，k，∧（y）=e-uyσξ（y）sinh（Ξru，σ（k）- y））。（58）然后函数∧（·）满足（见（57））满足∧（y）- ∧（y）=e-ukσsinh（Ξru，σ（y- y） sinh（Ξru，σ（k）- y））·sinh（Ξru，σ（k）- y）），y、 y∈ [0，k），（59），从中我们可以很容易地得到∧（y）=Ξru，σe-ukσsinh（Ξru，σ（k- y））>0，Y∈ [0，k）。

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2022-5-5 02:47:26

（60）直接计算表明∧（y）=e-uyσ（Ξru，σcoth）（Ξru，σ（k- y） )-uσ）ξ（y）+ξ（y）sinh（Ξru，σ（k）- y））>0，Y∈ [0，k）。因此，ξ（y）=∧（y）euyσsinh（Ξru，σ（k- y） )- Ξru，σcoth（Ξru，σ（k- y） )-uσ）ξ（y）。（61）使用（61），上述不等式等价于inf0<θ<θ<kΛ(θ)eθσΞ，Ξ- θ））+μσsinh（μru，σ（k）- θ))- Ξru，σeukσξ（θ）≥ 让我们用h（θ，θ）=eθσ来表示Ξru，σcosh（Ξru，σ（k- θ））+μσsinh（μru，σ（k）- θ))- Ξru，σeukσξ（θ）。我们将展示inf0<θ<θ<kH（θ，θ）≥ 注意，对于θ∈ [0, θ],Hθ= -2rσeΞθσsinh（Ξru，σ（k- θ））因此≤θ≤θH（θ，θ）=H（θ，θ）。此外θH（θ，θ）=-2rσeΞθσsinh（Ξru，σ（k- θ)) - Ξru，σeukσξ（θ）<0。因此，inf0≤θ≤θ<kH（θ，θ）=H（k，k）=0。这就完成了引理7.2的证明。由于我们的问题涉及θ<θ<k，引理7.2表示θ的F（θ）>0∈ （0，θ），这证明方程F（θ）=0最多有一个解。这就得出了光滑粘贴点θ的唯一性*∈ (0, θ).7.3. 引理3.3Proof的证明。让我们考虑j（y）：=g（y；θ*) -~f（y）=C（β（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）- ξ（θ）），y∈ [θ*, k）。我们检查它对x:J（y）=C的导数β（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）, （62）J（y）=Cβ（y）（ξ（θ）- ξ(θ*)) + ξ（y）, 其中β（y）=g（y；θ）*)f（θ）*)= eσ（y）-θ*)sinh（Ξru，σ（k）- y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*)), Y∈ (θ*, k）。（64）利用函数β（·）的概率性质，我们知道它是正的和递减的。因此，如果≤ 0，我们有β（y）=2μ∑β（y）+2r∑β（y）>0=> J（y）≥ Cξ（y）>0。另一方面，如果u>0，从（64）我们有β（y）=uσ- Ξru，σβ（y）+Ξru，σeμσ（y）-θ*)-Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*)),β（y）=2μσβ（y）+2rσβ（y）=Ξru，σ-uσβ（y）+2μσru，σeμσ（y）-θ*)-Ξru，σ（k）-y） sinh（Ξru，σ（k）- θ*))> 0,=> J（y）≥ Cξ（y）>0。所以在这两种情况下（μ）≤ 0或u>0），J（·）是递增函数，J（y）>J（θ）*) = 0, Y∈ (θ*, k）这意味着J（y）>J（θ）*) = 0, Y∈ (θ*, k）。这就完成了证明。参考文献[1]Adrian，T.和Brunnermeier，M.（2009）。

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2022-5-5 02:47:29

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