这些模拟结果表明，就分布灵活性而言，GL-BNS OU-GGC模型是BNS OU Gamma模型的合理扩展。7模拟价格的数值结果在本节中，我们从欧式看涨期权（路径独立）和前向启动期权（路径依赖）两方面研究了所提出模型的性能。本研究由两部分组成。首先，我们用文献中许多作者使用的实物期权数据集来校准我们提出的模型。基于校准过程中的参数估计，我们随后在一些路径相关选项（如前向启动选项）的定价中演示了这些模型的能力。我们将直接采用资产价格普通模拟价格（PSP）的支付计算样本路径的蒙特卡罗平均值生成的价格称为普通模拟价格（PSP），见第2节。为了提高精确模拟定价方法的效率，有条件的BS表示表3：估计平均值、标准偏差（s.d.）、偏度（skew.）以及峰度（kurt.）ofX（1）超过10000000次试验。BNS GL-BNS OU GGCOU伽马β（1,0.01）β（1,0.1）β（1,1）β（1,10）β（0.5,0.5）ρ=0平均值0.5090 0.5111 0.5256 0.6011 0.6765 0.6014s。d、 0.6404 0.6367 0.6091 0.4447 0.1846 0.4465倾斜-1.0415-1.0423-1.0463-1.0125-0.6272-1.1309库尔特。7.6148 7.6475 7.8050 8.9646 10.4274 9.7664ρ = -平均值-0.4912-0.4883-0.4745-0.3992-0.3229-0.3983s。d、 1.1876 1.1849 1.1709 1.0945 1.0160 1.0955倾斜-1.3571-1.3576-1.3925-1.5905-1.9043-1.6040kurt。6.4008 6.3918 6.5259 7.3110 8.6068 7.4114注释。θ=c=λ=1，v（0）=0，r=q=0。可以应用导数价格的估计来减小价格估计的蒙特卡罗误差。参见（Hull and White（1987）和Willard（1997））了解SV模型下这种表示的论点。

后一种方法产生的价格称为公式模拟价格（FSP）。接下来我们解释了条件蒙特卡罗方法是如何工作的。我们遵循Broadie和Kaya（2006）的第5节和第7节以及Nicolato和Vernardos（2003）的第4.2小节。欧式C全部期权欧式看涨期权E[E]的价格-r（T）-t） （S（t）- K） +|S（t），v（t）]可以在BNS OU SV模型asE[BS（S，σ| Z（·））]下等价表示，其中BS（·，·）表示通常的BS价格公式，沙σ表示相应的现货价格和波动率，符号强调BS价格取决于BDLPZ（t）的路径。在BNS OU SV模型（5）下，我们有S=S（t）exp(-λκ（ρ）（T）-t） +ρRTtdZ（λs））和σ=pτ（t，t）/（t- t） 。在此之前，没有必要对BDLP的整个路径设置条件。买入价可以直接改写学士学位S、 σ| ZTtdZ（λS），ZTt（1- E-λ（T）-s） ）dZ（λs）.在BNS OU伽马模型下，在（S（t），v（t））的条件下，我们可以精确地生成随机对（11）的BI.i.d.副本，从而在预期范围内生成BS价格的BI.i.d.副本。因此，FSP被写为（1/B）PBb=1BSb，与（1/B）PBb=1e给出的P SP形成对比-r（T）-t） （Sb（t）- K） +。我们表示（S（t），K，t）- t、 v（t））：=BSS、 σ| ZTtdZ（λS），ZTt（1- E-λ（T）-s） ）dZ（λs）供以后使用。远期启动期权类似的条件参数可用于以公平价格对远期启动期权进行定价-rTE[（S（T）- kS（T））+]。通过欧式看涨期权价格w.r.t.现货价格和str ike的线性同质性，我们可以改写远期启动期权价格asEE-rTS（T）CE（1，k，T）- T、 v（T））,其中CE（1，k，T）- T、 v（T））是之前欧洲看涨期权案例中定义的有条件BS价格。因此，在BNS OU伽马模型下，在（S（0），v（0））的条件下，我们可以精确地采样BI.i.d。

随机对（11）和（12）的副本，以及S（T）的BI.i.d.副本，以及预期内的BS价格。因此，FSP由（e）给出-rT/B）PBb=1Sb（T）CbE，与（e）给出的PSP相反-rT/B）PBb=1（Sb（T）-kSb（T））+。更多细节参见Broadie and Kaya（2006）第7节，相关工作参见Kruse and N–ogel（2005）。7.1模型校准数据集在1993年11月2日市场收盘时，标准普尔500指数上有87个看涨期权价格，有关数据集的详细说明，请参见（Ait-Sahalia and Lo（1998）和Ait-Sahalia an d Lo（2000））。当天，标准普尔500指数收于468.44点。无风险率为3.19%，假设收益率q为零。许多作者对该数据集进行了分析，包括（Duffee等人（2000年）和Nicolato和Vernardos（2003年））。我们比较了叠加L=1,2的BNS OU伽马和GL-BNS OU-GGC模型。对于GL-BNS OU-GGC模型，我们使用了R，使得R/c~ β（α，β），c>0，α>0和β>0。对于叠加l=2的模型，我们给出了参数集λ的约束≥ λ避免标签切换问题，即标签切换问题的λi、s ee Diebolt和Robert（1994）置换的唯一性。通常，校准（市场数据模型）是风险中性测量下的模型估计程序，通过最小化均方误差mse=Xoptions（市场价格）来完成- 模型价格）期权数量，其中模型价格是对预期贴现收益（tru emodel价格）的模拟估计。因此，我们在这里报告的均方误差涉及蒙特卡罗误差，即真实模型价格的模拟估值的方差。FSP用于减少这种蒙特卡洛误差。出于校准目的，双CFTP完美取样器可用于上述所有考虑的模型。

通常使用网格搜索方法来查找参数估计。然而，在5维以上的参数空间中进行网格搜索几乎是不可能的。我们没有使用网格搜索，而是使用了在GSL 1.4版中实现的多维最小化问题的单纯形算法（Nelder和Mead（1965））。这是一种不需要衍生工具且稳健的方法。我们使用100000次试验，即B=100000次，来获得模型价格。事实证明，这个数字足够大，因此此处报告的MSE至少精确到小数点后三位。表4显示了风险中性校准参数和MSE。通过引入GGC扩展，FIT有了显著的改善，而通过包括叠加，几乎没有什么改进。就MSE而言，OUGamma模型优于Heston模型，注意到OU Gamma模型的MSE为0.00870（见表4第二列），而Heston模型的MSE为0.0124（这可以从Duffee et al.（2000）表I的第一列中找到），OU Gamma模型的MSE明显更小。从Nicolato和Vernardos（2003）的表5.1中可以看出，带有IG和Gamma边缘的BNS模型的MSE分别为0.01686和0.01244，henceOU Gamma模型也优于这两个模型。表4：4种型号的拟合参数值。1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=1 l=2 P（4.88115–4.87261-0.0 0.04455-0.455-0.455-0.045-0.045-5-0.045-5-0.04455-5-0.045-0.044 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.0 0 0 0 0.4 4 4θ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0.4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3θ，0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.810.00842 0.00778 0.007117.2模拟路径依赖选择价格在表5中，我们还给出了基于之前校准估计的参数的正向启动选项的模拟定价结果。

对于BNS OU伽马模型，我们采用了精确采样方法和近似方法进行比较。两种方法的估计价格相似。在BNS OU伽马叠加模型和估计参数集下，精确方法所需的时间比近似方法要长。对于GL-BNS OU-GGC模型，我们只能应用近似方法s。它也给出了相似的估计值。FSP的蒙特卡罗误差明显小于SPS。毫不奇怪，在超级位置l=2的OU伽马模型的精确路径模拟中需要花费大量时间，因为正如我们之前在第3.1节中提到的，为了生成价格路径，必须分别处理两个独立的OU过程。然而，根据表4中的ou结果，第二个ou过程导致模拟形状参数δ=θλ的Dirichlet平均变量≈ 0.02，如果预计ich需要花费时间，请参见第6.1节，尤其是图1。尽管如此，这对于路径依赖情况并不是一个问题，因为在模型校准中，人们总是可以按照第4.2小节命题1所示的聚合方式来处理模拟。然后，相关的Dirichlet均值变量具有中等值的形状参数δ=θ（λ+λ）。虽然我们对远期启动期权的精确模拟定价进行了说明，但其他路径依赖性更强的衍生工具，如百慕大期权，也可以通过建议的精确模拟方法进行定价，只要衍生工具的支付函数依赖于离散的空间数据集价格，且定价次数有限。当时间点的数量相等时，计算时间是线性的。表5：不同估算模型下的远期启动方案模拟估算PSP s.e.c.t.FSP s.e.的试验。

c、 t.10000BNS OU GammaExactl=1 5.95545 0.06524 2 5.97314 0.02963 2l=2 5.98338 0.06593 114 6.00002 0.02973 113App。l=1 5.98782 0.06433 2 5.99087 0.02904 2l=2 6.04260 0.06412 3 5.98026 0.02934 3GL-BNS OU-GGC应用程序。l=16.00127 0.06489 2 6.06638 0.02890 2l=2 5.96249 0.06314 3 5.96251 0.02895 31000000BNs OU GammaExactl=1 5.98164 0.02127 15 5.98314 0.00941 16l=2 5.99319 0.02145 1131 6.00002 0.00938 1123App。l=1 6.00002 0.02125 16 5.99100 0.00940 15l=2 6.00211 0.02201 29 6.00006 0.00951 28GL-BNS OU-GGC应用程序。l=1 5.99176 0.02103 17 5.98917 0.00939 17l=2 5.98142 0.02192 29 5.99251 0.00941 29注。拟合模型参数如表4所示，S（0）=100，k=1，T=1年，T=2年。100个分量用于近似方法。这里s.e.是标准误差，c.t.是计算时间（Unseconds）。8结论在本文中，我们为非平凡的BNS型OUGamma SV模型设计了精确的路径模拟方法，与Broadie和Kaya（2006）对流行的Hestonmodel的结果平行。还研究了独立OU波动过程和OU GGC模型与基线OU伽马模型的叠加等扩展。通过引入伽马杠杆概念，精确模拟技术仍然适用于更大类别的OU-GGC模型下路径无关衍生品的定价，而在考虑路径相关衍生品的定价时，需要近似方法。通过与数值研究中的精确双CFTP方法的比较，证实了这两种近似方法的高精度。然后，我们将提出的OU Gamma模型等校准为一个众所周知的欧式期权数据集，该数据集已被许多作者在文献中研究过，表明其性能优于Heston模型和其他两个BNS类型的模型。

通过数值试验验证了该模型对路径相关期权的定价能力，表明了其在实际应用中的潜力。附录A:GGC随机变量的独立性Let N表示R+上的泊松随机测度，平均测度e[N（ds，dr，dy）]=θs-1exp(-s） dsFR（dr）Dy，其中θ>0，Fri是一个概率度量。广义伽马卷积子函数GGC（θ，R）定义为z（t）：=ZtZ∞Z∞rsN（ds，dr，dy）=ZtZ∞rγ（dr，dy）。作为特例，如果R是常数c，则它是形状参数θ>0且尺度参数c>0的伽马过程。这里γ（dr，dy）：=Z∞sN（ds，dr，dy）是r+上的一个Gamma完全r-dom测度，平均测度E[γ（dr，dy）]=θFR（dr）dy:=η（dr，dy）。也就是说，对于R+A和B的任何不相交子集，γ（A）和γ（B）分别是独立的γ（η（A））和γ（η（B））随机变量，其中（γ（A），γ（B））=ZAγ（dr，dy），ZBγ（dr，dy）.此外，γ（t）：=ZtZ∞γ（dr，dy）是一个伽马从属项，是Z（t）的提取伽马分量。对于r∈ [0, ∞) 安迪∈ [0，t]，γ（dr，dy）γ（t）是一个随机概率测度，它是一个Dirichlet过程，与{γ（s）：s无关≥ t} 。因此，对于任何非负函数k，Ztk（y）Z（dy）=ZtZ∞k（y）rγ（dr，dy）=γ（t）Mt。这里Mt是一个独立于γ（t）的狄里克莱平均变量，且满足td=vy+（1- V）其中Y=k（Ut）R，V~ β（1，θt）和U~ 一致[0,1]。均匀的[a，b]d表示[a，b]上的均匀分布，β（a，b）表示平均a/（a+b）和方差a/（a+b）（a+b+1））的β分布。右边的三个随机变量，即Y、V和Mt，是相互独立的。虽然γ（t）和rtk（y）Z（dy）是明显相关的，但这对粒子的分布可以表示为γ（t），Ztk（y）Z（dy）d=（γ（t），γ（t）Mt）。例如，见詹姆斯等人。

（2008）和James（2010）等，以供参考。附录B：双CFTP的紧凑算法Devroye和James（2011）的双CFTP方法设计用于精确采样通过以下随机方程或马尔可夫mapMd=V Y+（1）定义的随机变量- V）M，其中右侧的所有变量彼此独立，两侧的M均为s ame分布。我们假设V的密度h从[0,1]的下方以常数chand 0<Y为界≤ cY<∞. 在Followin g算法中，参见James and Zhang（2011），（Ui）i≥1是统一的[0,1]变量，Y和Y′具有相同的d分布。落后阶段。因为我=-1.-2, . . .: 继续生成（Ui，Yi，Y′i）并存储（Yi，Y′i），直到UT≤ |YT- Y′T | ch/（2cY）。保持T.设定起点。设置M=YT∧ Y′T+2cYUT/ch.前进阶段。对于i=T+1，T+2，-1：给定之前存储的（Yi，Y′i，M），执行以下g步骤：生成U′~ 均匀[0,1]，ξ1/2~ 伯努利（1/2）和V，构造X=（1）- V）M+vyiξ1/2+vy′i（1）- ξ1/2). 重复此步骤直到：U′[h（X- MYi- M） |易- M |+h（X- 我的- M） |Y′i- 或Cyx/Yi]∧ Y’ior X>Yi∨ Y′i.然后设置M=X.输出。返回M。作为特例，当V是β（1，δ）变量时，M是Dirichlet平均变量Mδ。特别是在本文中，所考虑的Dirichlet均值变量是带有V~ β（1，δ）表示0<δ≤ 1，其密度为h（x）=δ（1- x） δ-1.≤ 所有x的δ∈ [0，1]，Y为R，R exp(-λU（T）- t） ）或R（1- 经验(-λU（T）- t） ）（见第5节），以c、c和c（1）为界- 经验(-λ（T）- t） ）如果R≤ c、 上述算法可以通过简单地设置ch=δ和cY=c或c（1）来模拟相关的狄里克莱平均随机数-经验(-λ（T）-t） ））。感谢Yacine Ait-Sahalia教授为我们提供选项数据集。

多亨金的研究得到了韩国政府资助的韩国研究基金会的资助（KRF-2008-314-C0046）。参考Ait-Sahalia，Y.和Lo，A.（1998）金融定价中隐含的国家价格密度的非参数估计。《金融杂志》，53499-547。Ait-Sahalia，Y.和Lo，A.（2000）非参数风险管理和隐含风险规避。《计量经济学杂志》，94，9-51。Barndor Off-Niels en，O.E.和Shephard，N.（1973）基于非高斯Ornstein-Uhlenbeck的模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志B，63167-241。Bertoin，J.，Fujita，T.，Roynette，B.和Yor，M.（2006）。关于一类特殊的自分解随机变量：跨越独立指数时间的贝塞尔游程的持续时间。Probab。数学统计学家。，26, 315–366.Bondesson，L.（1992）广义伽马卷积和相关的分布和密度类。统计学课堂讲稿，76。斯普林格·维拉格，纽约。Broadie，M.和Kaya，¨O.（2006）随机波动性和其他有效跳跃扩散过程的精确模拟。运营研究，54217–231。Carr，P.，Madan，D.B.（1999）期权定价和快速傅立叶变换。《计算金融杂志》，第2期，第61-73页。Carr，P.，Geman，H.，Madan，D.B.a和Yor，M.（2003）列维过程的随机波动性。数学《金融》，13345-382。Chan，K.C.，Karolyi，G.A.，Longs Taff，F.A.和Sanders，A.B.（1992）短期利率替代模型的实证比较。《金融杂志》，471209-1227。Cont，R.和Tankov，P.（2003）带跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润出版社。Cox，J.C.，Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985）利率期限结构理论。《计量经济学》，53385-406。Devroye，L.和James，L.F.（2011）双CFTP方法。

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