有趣的是，尽管我们有两个近似值，但我们的模型能够捕捉到一般机制：压力银行数量的峰值是一个信号，可以非常准确地指示系统性违约在银行网络中发生的点。6结论SOUR双级联模型是一系列系统性风险研究的自然延伸，这些研究建立在违约或压力级联中的基本模型，但不能同时建立两者。只有将违约和压力机制结合到一个单一模型中，才能衡量银行利用压力反应降低违约风险的直观明显效果等特征。为像我们这样复杂的模型开发一个可行且可靠的计算框架带来了在第5节所述的实验中已经遇到的挑战。我们已经演示了如何通过两种互补的方法进行计算：蒙特卡罗（MC）方法和局部树状独立（LTI）分析方法。这两种方法各有利弊，可以进行交叉验证，提高对结果的可信度。MC模拟具有自然的灵活性，仍然是一般系统性网络风险的主要计算框架。然而，考虑到LTI方法与网络科学其他领域的类似方法之间的关系，LTI方法增加了以不同的方式理解级联流动的可能性，有时比单独使用MC模拟更好。例如，使用LTI ONE可以通过显式差异确定对参数变化的敏感性。在某些情况下，例如在模拟一般分类（P，Q）配置模型时，MC方法不可行或导致不可接受的长运行时间，而LTI方法可以轻松计算。

归根结底，重要的是这两种方法都有互补的优势和劣势，当结合使用时，可以得出关于广泛网络效应的可靠结论。我们的数值实验只探索了一小部分简单模型规范，留下了许多有前途的金融网络，需要使用我们的技术进行研究。虽然之前已经研究了网络连通性、平均缓冲强度和银行间部门规模等参数的系统重要性，但压力响应、缓冲和风险敞口方差以及图表分类等其他参数几乎完全未被探索。本论文中省略了市场流动性不足和资产再出售的影响，但其对级联效应以及因此对更大经济的影响值得仔细研究。金融网络数据库，以及将这些数据与模型匹配的统计方法，仍处于不发达状态，但需要在我们的模型中确定广泛的参数。未来对双级联模型及其扩展的计划调查将揭示和解释更多有趣和意外的系统性风险现象，并发现政策制定者和监管机构的用途。附录A离散概率分布和这些模型的快速数值实现遵循Hurd&Gleeson（2013）中概述的方法。在本节中，我们将分析所有随机变量{v、 ∑v，Ohm`} 取特定离散集M={0,1，…（M）中的值- 1） }具有较大的值M。

众所周知，在这种情况下（3.13）中的卷积通过直接积分计算很慢，但可以通过使用离散快速傅里叶变换（FFT）精确有效地执行。设X，Y是两个独立的随机变量，其概率质量函数pX，py取值于非负整数{0，1，2，…}。然后随机变量X+Y也取这个集合上的值，并具有概率质量函数（PMF）pX+Y=pX* Py其中两个函数f，g的卷积定义为（f* g） n=nXm=0f（m）g（n）- m） 。（A.1）请注意，如果pX、pYhavesupport在M上，那么pX+Y不一定在有限集M上有支持。这种差异导致了称为“混叠”的困难。我们现在考虑M={0，1，…，M上的cmc值函数的空间-1}. 离散傅里叶变换或快速傅里叶变换（FFT）是线性映射F:a=[a，…，aM-1] ∈ 厘米→ ^a=F（a）∈ CMde由^ak=Xl定义∈Mζklal，k∈ M（A.2）其中系数矩阵Z=（ζkl）有条目ζkl=e-2πikl/M.“逆效应”（IFFT）由图a给出→ ~a=G（a），其中~ak=MXl∈Mζklal，k∈ M（A.3）如果我们让A表示A的复共轭，我们可以定义nha，bi:=Xm之间的厄米内积∈嗯。（A.4）我们还定义了两个向量的卷积积：* b） （n）=Xm∈Ma（m）b（n）- 模m），n∈ M（A.5）注意，这与（A.1）一致，当且仅当A和B的支持度之和以M为单位。否则，这种差异称为混叠误差：我们的数字元件通过将M取得足够大来减少或消除混叠误差。以下标识适用于所有a、b∈ 厘米：1。逆映射：a=G（F（a））=F（G（a））；2.共轭：G（a）=MF（\'a）；3.帕塞瓦尔身份：ha，bi=Mha，~bi=Mh^a，^bi；4.

卷积恒等式：~a·*~b=^（a）* b） ^a·*^b=\\（a* b） ，在哪里·* 表示组件方面的产品。为了举例说明上述公式的帮助，我们观察到非典型公式（3.14）可以通过公式p（n）jk=MhF（D）来计算，^g（n）-1） jji，（A.6）式中^D=F（D），^g（n）-1） j=F（g（n）-1） j）功率是分量矢量乘法。这种基于FFT的公式可以系统、高效地计算，如果, Σ, Ohm 根据傅里叶变换进行初始化。附录B欧盟网络建设2011年，欧洲银行管理局（EBA）公布了90家欧洲大中型银行的银行间风险敞口数据，以及核心一级资本和风险加权资产等其他信息。在该数据集中，银行间风险敞口按负债方的国家汇总，这意味着我们只知道每个v银行借给每个欧盟国家c所有银行的总金额。在本附录中，我们解释了我们如何在实验3中构建综合网络，模拟真实金融网络的程式化事实，并使用EBA数据作为有关银行间负债和银行资产负债表的附加信息来源。如Cont、Moussa和Santos（2013）等论文所述，受具有厚尾度分布的网络普遍相关性的推动；Bech&Atlay（2010），我们基于Bollob\'as、Borgs、Chayes&Riordan（2003）的优先依恋模型构建了骨骼。给定四个参数α，γ，δ-δ+和β=1- α - γ、 该模型使用三个规则从一个完整的初始“种子图”生成一个随机定向网络：1。利用概率α，将一个新顶点v与一条从v到现有顶点w的边相加，其中w根据jw+δ选择-（也就是说，概率与jw+δ成正比-).2.

使用概率β，将根据kv+δ+选择的现有顶点v的边添加到根据jw+δ选择的现有顶点w-.3.利用概率γ，将一个新的顶点v和一条从现有顶点w到v的边相加，其中w根据kw+δ+选择。众所周知，这种方法会导致厚尾度分布P-J~ J-τ-andP+k~ K-τ+具有帕累托指数τ-= 1 +1+δ-(α+γ)α+β, τ+= 1 +1+δ+(α+γ)γ+β.四个参数α=0.169，γ=0.169，δ-= δ+=4.417由以下条件确定：我们假设帕累托指数τ-= τ+=4（确保某些时刻的精确性），α=γ，平均度为z=10（这是金融网络中观察到的非典型值）。为了实现这一点，我们搜索了大量的α值，为每个α生成1000个网络样本，每个样本由N=1000个节点组成。对于每个已实现的网络样本，我们选择了90个最连通节点的子网络，并计算其平均度z。最后，我们选择了α值，该值提供了最接近10的平均度z。然后，这组参数被用于生成实验3的骨架，方法是生成一个（有向）无标度图的单个样本，其中N=1000个节点，并保留其90个节点的最连通子网络。为了建立银行资产负债表，我们假设缓冲和风险敞口随机变量的LTI兼容规格为对数正态分布utedehttp://www.eba.europa.eu/risk-analysis-and-data/eu-wide-stress-testing/2011conditionally在网络拓扑上：v=（kvjv）βexp[a+bXv]，（B.1）∑v=（kvjv）βexp[a+B＠Xv]，（B.2）Ohmv=（kvjv）βexp[a+bX`]。（B.3）其中集合{Xv，~Xv，X`}由独立的标准正态随机变量组成。

为了确定参数值，首先我们任意设置β=0.3和β=-0.2，其基本原理是，违约率应随着银行连通性的增加而增加，而更多的交易对手应意味着较低的平均双边风险敞口。我们使用报告的核心一级资本作为默认值的代理，因此我们匹配了第一个和第二个样本时刻E[v] 还有E[v] 使用方程式（B.1）。由于我们在数据中没有发现应力buffers∑的代理，因此我们任意选择了与之相同的参数, 但是有一个2/3的系数。最后，根据汇总的银行间风险敞口数据，将等式（B.3）与样本矩E[AIBv]和[（AIBv）]进行匹配，我们可以得到足够的等式来确定完整的参数列表：β=0.3，a=8.03，B=0.9，β=-0.2，a=8.75，b=1.16。附录C致谢本项目于2012年7月在加拿大温哥华由Evangelos Kranakis组织的MITACS Canada国际重点讨论会上诞生，该讨论会致力于网络分析及其应用的进展。该项目由多伦多全球金融服务风险研究所（TRH）、加拿大自然科学和工程研究委员会（TRH）、爱尔兰研究委员会（IRIS Research Council）和FET前瞻性项目PLEXMATH（DC）共同资助，FP7（INSPIRE fellowship，SM）下的玛丽·居里行动（Marie Curie Actions）共同资助，来自爱尔兰科学基金会（11/PI/1026，DC和SM），我们感谢法国理工学院的莱昂内尔·卡西尔，以及加拿大麦克马斯特大学的惠宾成、马修斯·格拉塞利和贝尔纳多·科斯塔·利马，他们积极开发了我们模型的早期版本。我们感谢欧洲中央银行的托尔泽戈尔兹·哈拉吉就欧盟金融网络进行的讨论。参考资料。阿米尼，R.康特和A.明卡。对金融网络的弹性进行压力测试。《国际理论与应用金融杂志》，2012年15:1-20。H

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