使用（22），我们进一步注意到*{（p，t）∈ X:φ（p，t）=0}=Z（p，t）∈Xχ{0}（φ（p，t））φ（p，t）（uo0,0 U）（dp，dt）=0。因此，我们定义ψ（p，t）def=（lnφ（p，t），如果φ（p，t）>0-∞ 如果φ（p，t）=0定义，为了方便e-∞def=0；我们知道（23）Zt∈Teψ（p，t）up0,0（dt）=ξ（p）（B）=1。对于U-a.e.p∈ P.我们还注意到\'Hind（ν*) =Z（p，t）∈Xψ（p，t）ν*（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teψ（p，t）up0,0（dt）U（dp）。修好一些o∈ P（T）。对于ψ∈ C（X；R），现在定义随机核Ξψ（p）（B）def=（Rt∈Bexp[ψ（p，t）]up0,0（dt）Rt∈Texp[ψ（p，t）]up0,0（dt）ifRt∈Texp[ψ（p，t）]up0,0（dt）>0uo（B） ifRt∈Texp[ψ（p，t）]up0,0（dt）=0B∈ B（T）现在让我们近似，记住Le mma 5.5，（22），以及x7的fact→ E-连续的[-∞, ∞). 然后我们有一个φψ∈ C（X；R）使得\'Hind（ν）*) -Z（p，t）∈X^ψ（p，t）ν*（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）U（dp）< η/3，并使测量值^νdef=Ξ^ψ 现在，让我们来定义一下∈X^ψ（p，t）νind，N（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）联合国（dp）。然后E[exp[NSN]=1，因此我们定义了^PN（A）def=E[χAexp[NSN]]A∈ F下一步是减少G。让B X是G的一个开子集，其中包含^νZ（p，t）∈X^ψ（p，t）ν（dp，dt）-Z（p，t）∈X^ψ（p，t）ν*（dp，dt）< η/2对于所有ν∈ B.ThusP{νind，N∈ G}≥ P{νind，N∈ B} =^ENχ{νind，N∈B} 经验值[-[NSN].多亏了引理5.5，MAPP7→Zt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）在C（p；R）中。因此，我们可以找到一个N*∈ N这样Zp∈PlogZt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）U（dp）-Zp∈PlogZt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）联合国（dp）≤ η/2if N≥ N*. 把东西结合起来，我们就有了Z（p，t）∈X^ψ（p，t）νind，N（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Te^ψ（p，t）up0,0（dt）联合国（dp）-\'Hind（ν）*)< η如果νind，N∈ B和N≥ N*.假设N≥ N*. 然后{νind，N∈ G}≥ P{νind，N∈ B} =^ENχ{νind，N∈B} 经验[-[NSN]≥^PN{νind，N∈ B} 经验-N{Hind（ν）*) + η}.为了完成证明，让我们展示（25）limN→∞^PN{νind，N∈ B} >0。为此，让我们在P（X）上构造一个度量。

定义d（x）定义=|x |/（1+|x |）；然后是地图（x，y）7→ d（x）- y） 是R.Let{fn}n上的一个度量∈Nbe是C（X；R）的可数稠密子集，定义为（26）ρ（ν，ν）def=Xn∈N-ndZ（p，t）∈Xfn（p，t）ν（dp，dt）-Z（p，t）∈Xfn（p，t）ν（dp，dt）！对于P（X）中的所有ν和ν。那么ρ是P（X）上的一个度量。自从∈ B、 有一个δ（27）>0的小值，比如（27）ν′∈ P（X）：ρ（ν′，^ν）<δ（27） B.现在让我们了解一下νind，Nunder^PN的统计数据。从SN的结构（24）可以看出，在^PN下，{τind，Nn}Nn=1是独立的，τNn有规律Ξψ（pNn）。修正f∈ C（X；R）。我们来写吧Z（p，t）∈Xf（p，t）νind，N（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）^ν（dp，dt）≤Z（p，t）∈Xf（p，t）νind，N（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） 联合国（dp，dt）+Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） 联合国（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） U）（dp，dt）.记住引理5.5，我们有这个限制→∞Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） 联合国（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） U）（dp，dt）= 0.接下来使用切比雪夫不等式；我们已经安排了一些事情来利用^ENf（pNn，σNn）=Zt∈Tf（pNn，t）ΞpNn^ψ（dt）表示所有N和N。然后我们计算出^ENZ（p，t）∈Xf（p，t）νind，N（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）（Ξ^ψ） 联合国（dp，dt）=^ENNNXn=1f（pNn，σNn）-Zt∈Tf（pNn，t）ψ（pNn）（dt）=NNXn=1^EN“f（pNn，σNn）-Zt∈Tf（pNn，t）ψ（pNn）（dt）#≤Nsup（p，t）∈X | f（p，t）|。让我们一起收集东西。每f∈ C（X；R），我们有那个极限→∞^EN“Z（p，t）∈Xf（p，t）νind，N（dp，dt）-Z（p，t）∈Xf（p，t）^ν（dp，dt）#= （26）的结构意味着limn→∞^PNρ（νind，N，^ν）>δ（27）= 0。这意味着（25），完成证明。5.2. 定理3.1的证明。在本节中，我们使用定理II中出现的Varadhan积分引理[22]证明定理3.1。第7.2页，共[9]页。定理5.7（瓦拉丹积分引理）。让我们成为一个波兰空间。假设{ξN}N∈Nis是一个S值随机变量序列，具有率函数I的大偏差原理。

设{ξN}N∈Nbe是另一个S值随机变量序列，并假设存在一个连续函数G:S→ R使得p{ξN∈ A} =E[χA（ξN）exp[NG（ξN）]对于所有A∈ B（S）。Iflimα→∞画→∞Nln-Ehχ[α，∞)G（ξN）eNG（ξN）i=-∞然后{ξN}N∈NHA是一个大偏差原理，具有良好的速率函数I- G.在我们的例子中，我们取Sdef=P（X）和ξNdef=νind，N。引理4.1允许我们定义P的Ra don Nikodym导数∈ P、 定义˙bp（t）=1-σ（bp（t））- αbp（t）t>0bp（0）=0。请注意，s因βs=0，然后θpt（s）=bp（s）表示所有0≤ s≤ T≤ T，其中θpt（s）在（15）中定义。很容易看出，在P×[0，T]中，bpand˙bps是一致有界的。利用（6）和引理4.1，我们可以相当容易地计算出τnn和τind，nn的密度之比，进而计算出ν和νind，N的密度之比∈ P、 r∈ [0，T]和ν∈ P（P×[0，T]），负的（P，r）def=logduP′，0（[0，r]）dup0,0（[0，r]）=log˙bp（r）λo+ α′λbp（r）+βCZr˙bp（r- u） ν（P，du）- 日志˙bp（r）λo+ α′λbp（r）- βCZrbp（r- u） ν（P，du）for P∈ P、 我们也来定义一下负的ν（P，) = βCZTbp（T- u） ν（P，du）forν∈ P（X），让我们最终定义负（ν）def=Z（P，t）∈Xgν（p，t）ν（dp，dt）。然后νN∈ A.= EχA（νind，N）expNG（νind，N）.定理3.1遵循定理5.8和收缩原理。定理5.8。家庭（νN）N∈Nof（8）通过速率函数¨H（ν）：P（P×T）7满足大偏差原理→ [0, ∞].证据注意G:P（X）→ R在弱拓扑中是连续且有界的。Thusimα→∞画→∞Nlog Eχ[α,∞)G（νind，N）经验NG（νind，N）= -∞持有。因此{νN，N∈ N} 与速率函数“Hdef=”Hind有较大偏差-G.修复ν∈ P（X）。如果ν你不存在，那么“后（ν）=∞ 所以`H（ν）=∞.

如果νUexists，那么H（ν）=Zp∈P（Zt）∈TlnνU（p）dup0,0（t）dνdU（p，dt））U（dp）-Z（p，t）∈Xlndup′ν，0（s）dup0,0（s）ν（dp，ds）=Zp∈P（Zt）∈T（ln）νU（p）dup0,0（t）- lndup′ν，0（s）dup0,0（s））νU（p，ds））U（dp）=Zp∈P（Zt）∈TlnνU（p）dupν，0（t）dνdU（p，dt））U（dp）=Zp∈酸碱度dνdU（p），up′ν，0U（dp）最后，我们给出了共滚动3.3的证明。推论3.3的证明。显然，考虑“H（ν）”的情况就足够了∞. H（·，·）是相对熵，这意味着它是一个凸的下半凸函数，与两个参数有关，并且是严格共凸函数，作为每个第二个参数的第一个参数的函数。因此，H（ν）=0意味着HdνdU（p），up′ν，0= 0，由于H的相对熵性质，如果νU（p）=up′ν，0U-a、 e.这意味着，对于所有B，关系式为ν（P，B）=ZP×BuP′ν，0（ds）U（dp）∈ B（T）由（6）和引理4.1转化为方程¨ν（[0，T]）=ZPh1- Ehe-Rtλ′ν，0s（p）dsiiU（dp）=1-ZPe-（bp（t）λ+Rtα′λbp（t-u） du+βCRtbp（t-u） 其中λν，0（p）满足φ（t）=ν（[0，t]）和ψ（t）=0。接下来，让我们讨论一下，这个方程有一个唯一的解，它与Lt一致，Lt是经验损失LNtas N的概率极限→ ∞.通过[17]中的引理4.1，我们得到（29）Lt=1- ut（P）=1-茨佩赫-Rtλ*s（p）dsiU（dp），其中每个p∈ P、 有一个唯一的对{（Q（t），λ）*t（p））：t∈ [0，T]}取R+×R+中的值，使q（T）=ZPEλ*t（p）exp-Ztλ*s（p）dsU（dp）。λ*t（p）=λo- αZt（λ）*s（p）-\'\'λ）ds+σZtpλ*s（p）dW*s+βCZtQ（s）ds。然后，使用引理4.1，我们可以很容易地从（29）计算出（28）的唯一解Lt=？（0，t]）。5.3. 定理3.10的证明。在本小节中，我们考虑定理3.10。这个证明是（a）：定理5.8和（b）：XNt=εNXtprocess的LDP，引理5.10的直接结果。因此，我们不排除主要论点。首先，我们注意到定理5.8的一个直接结果是下面的条件LDP。引理5.9。

考虑（1）中定义的系统，εN=1。在假设2.1和2.2下，并给定apath t 7→ Xtin-Cc（[0，T]；R），家族{νN，N∈ N} 满足条件大偏差原理与速率函数H（ν；X）：P（P×t）7→ [0, ∞] 速度N，其中H（ν；X）=（RPHνU（p），up′ν，XU（dp），如果νU（p）存在+∞, 否则其次，我们注意到，在假设3.6、3.7和3.8下，族{XN=εNX，N∈ N} 满足引理5.10给出的大偏差原则。引理5.10。设XN=εNX，并假设假设假设3.6、3.7和3.8成立。{XN·，过程·∈ N} 用（13）给出的速率函数JX（·）和速度1/ε2ζN证明满足大偏差原理。注意，XN=εNX是SDEdXNt=εNb的唯一强解XNtεNdt+εζNε1-ζNκXNtεNdVt，XN=εNxIt之后是[2]中的orem 2.1，对于第5.3节中经典结果的非退化有界扩散。在[11]中，在假设3.6、3.7和3.8下，过程{εNX，N<∞} 和{XN，N<∞} （12）中定义的具有与速率函数JX（·）相同的大偏差，且当大偏差渐近速度为1/ε2ζN时。通过引理5.9和收缩原理，我们得到了，给定路径t7→ Xt，family{LNt=νN（P×[0，t]）的大偏差率函数，N∈ N、 t∈ [0，T]}由（30）J（ν；X）给出=火箭弹~n（p），fpā，X（t）U（dp），~n∈ AC（P×[0，T]；R），φ（P，0）=0，φ≥ 0和s）=RP（p，s）U（dp）+∞, 另一方面，后一种说法和引理5.10意味着这一对的速率函数（LNt，XNt），N∈ N、 t∈ [0，T]由S（ψ，ψ）给出，如定理3.10所定义。根据引理1.2.18和[6]的定理4.1.11，建立局部大偏差原理和指数紧性是不够的。

指数紧密性是第5.1.1节紧凑支撑计算和小噪声扩散过程XN指数紧密性的直接结果。用均匀范数表示[0，T]中连续函数空间中的球，证明局部大偏差原理相当于提供limδ↓0lim supN→∞Nlog P（LN，XN）∈ B（（ψ，ψ），δ）≤ -S（ψ，ψ），和limδ↓0lim infN→∞Nlog P（LN，XN）∈ B（（ψ，ψ），δ）≥ -limN情况下的S（ψ，ψ）→∞Nε2ζN=c∈ (0, ∞), 由于条件概率关系P（A），这两种说法都是正确的∩Γ）=P（A |Γ）P（Γ），并使用atLemma 5.9中讨论的条件大偏差原理和引理5.10中的大偏差原理。基本上，按指数顺序，我们有asN→ ∞（31）P{LN≈ ~n，XN≈ ψ} ≈ 经验“-NJ（ψ；ψ）-ε2ζNJX（ψ）#。也就是说如果limN→∞Nε2ζN=c∈ (0, ∞), 配对的速率函数（LNt，XNt），N∈ N、 t∈ [0，T]由S（ψ，ψ）决定，如定理3.10所定义。然后，通过改变ψ∈ C（[0，T]；R）和∈ C（P×[0，T]；R）使得l, 我们得到了损失{LNT，N<∞} 时间T是I（·），这是Theo rem 3.10的陈述，总结了它的证明。显示屏（31）还显示如果limN→∞Nε2ζN=∞, 那么，术语J（ψ；ψ）是主导因素，而→∞Nε2ζN=0，则JX（ψ）熵项为主导因子。6.结论在本文中，我们研究了一个经验驱动的相互作用粒子系统的大偏差。系统中的组成部分通过池中的经验违约率和它们共同的系统风险相互作用。推导了一个显式的大偏差原理，并研究了事件发生的概率。人们可以计算速率函数的极值，它表征了系统最可能发生故障的概率。

数值实验揭示了传染和系统风险在系统失效中的作用。在我们进行的数值示例中，我们看到，如果出现大规模违约集群，系统风险最有可能在初始阶段发挥重大作用，但随后其重要性降低，然后传染效应变得更加重要。然后，对异质池中极值的分析可以帮助理解池中哪些组件更容易受到传染的影响。7.确认在这项工作的准备过程中，K.S.得到了国家科学基金会（DMS 1312124）的部分支持，R.S.得到了国家科学基金会（DMS 1312071）的部分支持。参考文献[1]S.Azizpour、K.Giesecke和G.Schwenkler，探索默认聚类的来源，工作论文，斯坦福大学（2014年）。[2] A.Chiarini和M。Fischer，关于小噪声It^o过程的大偏差，应用概率的进展，（2014），toappear。[3] P.Dai Pra、W.Runggaldier、E.Sartori和M.Tolotti，《大型投资组合损失：动态传染模型》，《应用概率年鉴》，第19卷，（2009），第347-394页。[4] P.Dai Pra和M.Tolotti，《异质信贷组合与总损失的动态、随机过程及其应用》，第119卷（2009），第2913-2944页。[5] A.Dembo，J.-D.Deuschel和D.Duffee，大型投资组合损失，金融斯托克。，第1卷（2004年），第3-16页。[6] A.Dembo和O.Zeitouni，《大偏差技术与应用》，第38卷《数学应用》，斯普林格·维拉格，纽约，第二版（1998年）。[7] D.D.Uffee，J.Pan和K.Singleton，《有效跳跃差异的转换分析和资产定价》，计量经济学，68，（2000），第1343-1376页。[8] P.Dupuis和R.S。

Ellis，《概率统计中大偏差Wiley级数理论的弱收敛方法》（1997）。[9] R.S.Ellis，《熵、大D证据和统计力学》，纽约斯普林格Grundlehren der Mathematischen Wis Senschapten出版社第271卷（1985年）。[10] S.N.Ethier和T.G.Kurtz，《马尔可夫过程：特征化和收敛》，约翰·威利父子公司，纽约，（1986）。[11] M.I.Freidlin和A.D.Wentzell，《动力系统的随机扰动》，第三版，Springer，（2012）。[12] J.Garnier、G.Papanicolaou和T.-W.Yang，系统风险平均场模型的大偏差。暹罗金融数学杂志，第4卷（2012年），第151-184页。[13] J.G–artner，关于相互作用的McKean Vl asov极限，Mathematische Nachricten，第137卷，第1期，（1988），第197-248页[14]P.Glasserman，投资组合信用风险的尾部近似，衍生工具杂志，第1卷，第2期，（2004），第24-42页。[15] P.Glasserman和J.Li，portfoli o信用风险的重要性抽样，管理科学，第51卷，（2005），第1643-1656页。[16] P.Glasserman，W.Kang和P.Shahabuddin，《多因素投资组合信用风险的大偏差》，数学金融，第17卷，第3期，（2007），第345-379页[17]K.Giesecke，K.Spiliopoulos和R.Sowers，《大型投资组合中的违约聚集：典型事件》，应用可能性年鉴，第23卷，第1期，（2013），第348-385页。[18] K.Giesecke、K.Spiliopoulos、R.Sowers和J.A.Sirignano，《违约损失的大型投资组合渐近性》，数学金融（2013），即将出版。[19] C.Meinerding，《面对系统性风险的资产配置与资产定价：文献综述与评估》，《国际理论与应用金融杂志》（IJTAF），第15卷，第03期，（2012），第1250023-1–1250023-27页。[20] K.斯皮利奥普洛斯、J.A.西里亚诺和K。

Giesecke，《违约损失的波动分析，随机过程及其应用》，第124卷，第7期，（2014），第2322-2362页。[21]K.Spiliopoulos和R.Sowers，《投资级信贷资产池中的回收率：大偏差分析，随机过程及其应用》，第121卷，第12期，（2011），第2861-2898页。[22]S.R.S.Varadhan，《渐近概率和微分方程》。《纯粹数学与应用数学通讯》，第19卷（1966年），第261-286页。[23]X.张，J.布兰切特，K。Giesecke和P.W.Glynn，《单点过程：近似和有效模拟》，《运行数学研究》（2014年），即将出版。