大型池中的默认集群：大偏差

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Default Clustering in Large Pools: Large Deviations》
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作者：
Konstantinos Spiliopoulos, Richard B. Sowers
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We study large deviations and rare default clustering events in a dynamic large heterogeneous portfolio of interconnected components. Defaults come as Poisson events and the default intensities of the different components in the system interact through the empirical default rate and via systematic effects that are common to all components. We establish the large deviations principle for the empirical default rate for such an interacting particle system. The rate function is derived in an explicit form that is amenable to numerical computations and derivation of the most likely path to failure for the system itself. Numerical studies illustrate the theoretical findings. An understanding of the role of the preferred paths to large default rates and the most likely ways in which contagion and systematic risk combine to lead to large default rates would give useful insights into how to optimally safeguard against such events.
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中文摘要：
我们研究互联组件的动态大型异构组合中的大偏差和罕见的默认集群事件。违约以泊松事件的形式出现，系统中不同组成部分的违约强度通过经验违约率和所有组成部分共有的系统效应相互作用。我们建立了这种相互作用粒子系统经验违约率的大偏差原理。速率函数以显式形式导出，便于数值计算和系统本身最可能失效路径的推导。数值研究说明了理论发现。了解高违约率的首选途径的作用，以及传染和系统性风险结合起来导致高违约率的最可能方式，将有助于深入了解如何以最佳方式防范此类事件。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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大多数88

2022-5-5 03:59:25

大池中的默认聚类：大偏差Skonstantinos SPILIOPO Ulos麻省波士顿大学波士顿分校025理查德·B·索沃斯伊利诺伊大学厄本那-香槟纽巴纳分校数学系，伊利诺伊州61801摘要。我们研究了互连组件的动态大型非均匀端口中的大偏差和罕见的默认群集事件。违约以泊松事件的形式出现，系统中不同组成部分的违约强度通过经验违约率和所有组成部分共有的系统效应相互作用。我们建立了这种相互作用粒子系统的经验违约率的大偏差原理。速率函数以显式形式导出，便于数值计算和推导系统本身的最常见故障路径。数值研究阐明了理论发现。了解导致大额违约率的预出错路径的作用，以及传染和系统性风险结合导致大额违约率的最可能方式，将有助于深入了解如何以最佳方式防范此类事件。1.引言2007-2008年的金融危机向数学金融界提出了挑战，要求他们理解金融系统中的连通性。需要开发适当的模型，以了解风险如何在金融对象之间传播，这些金融对象此前可能被建模为封闭系统。最初的冲击，如利率价值的变化、商品价格的变化或全球经济增长的减少，可能会引发传染效应，例如[19]。因此，某些传导机制，如金融联系或投资者的非理性行为，可能会导致系统的组成部分受到初始冲击的影响。

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可人4

2022-5-5 03:59:28

相关违约的简化形式点过程模型通常基于计数过程，通常用于评估贷款和公司违约等可违约资产组合中的组合信用风险。在这些模型中，默认值是由给定的随机微分方程系统控制的强度。由于投资组合的规模，在这些模型中计算违约损失的分布通常是具有挑战性的。例如，美国主要银行可能很容易获得2万笔批发贷款和5万笔贷款-10万笔中端市场和合作商业贷款。规模为10000的抵押贷款池通常很常见。对这样的池进行模拟和分析是非常繁琐的，而且往往相当繁重。在这项工作中，我们专注于使用动态投资组合信用风险模型来研究大型投资组合中的罕见事件和缺陷聚类。我们通过点过程的分类框架对失效进行统计建模。然而，我们包含了几个不同且有意义的随机性来源，这些随机性可能导致系统本身的故障。电子邮件地址：kspiliop@math.bu.edu，r-sowers@illinois.edu.Date：2018年11月4日1991年数学学科分类。60F10·60G55·91G40·91G80。关键词和短语。大偏差、异构网络、大池、R是事件、默认群集。作者要感谢凯·吉塞克的有益评论。形成相互作用粒子系统的强度，相互作用通过反馈项和暴露于常见的系统风险发生。我们在[17]中研究的经验激励模型的基础。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:59:32

在这项工作中，研究了这类模型的各种性质，发现传染和系统性风险为违约聚集提供了有意义的见解。[17、18、20]研究了系统中组件数量增加时此类模型的典型（大数定律）和中心极限类型行为。我们感兴趣的是尾部行为和尾部事件。结构化融资的一个主要理论摩擦是，显然，大型资产的定价是合理的，因为没有人能够准确地为尾部事件定价。然而，在事后看来，在大型泳池中的互动被证明是一个致命弱点。互连通常使系统健壮，但它们也可以作为故障的诱因。在本文中，我们试图理解大型互联系统中罕见系统崩溃的数学。我们考虑一个具有相互作用组件的大系统，该组件受到外部弗兰多姆性源的影响。有一个中央互联源（中央“总线”）。任何部件的故障都会对中央总线造成压力，这反过来会导致其他部件故障（反馈效应）。特别是，我们想了解系统是如何发生严重故障的，以及反馈机制和外源因素如何相互作用，从而产生大型故障簇。除了了解这种失败的可能性，我们还想了解失败途径的结构。给出交互系统的统计描述，理解“最有可能”的故障路径自然会导致理解如何控制系统以最小化故障，以及如何感知故障的开始。特别令人感兴趣的是动态互动。额外的时间维度允许我们比较一个系统在给定点结束的不同可能方式。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:59:35

这可能有助于早期识别某些现象。我们的目标是在[17]的mo de l中发展这些见解。特别是，我们想了解系统崩溃的途径。在传染病蔓延的情况下，资金池最有可能以什么方式承受巨额损失？与其他工程系统一样，对最常见的失效路径进行表征可以更好地进行有效干预。我们分析的核心是大偏差理论。g、，参见经典手稿[6,11]。大偏差理论提供了一个丰富的框架，在这个框架中可以识别并证明指数尾的衰减率。两个简单的例子是众所周知的；萨诺夫定理最简单地描述了大量i.i.d硬币流的尾部行为，以及弗雷伊德林-温策尔定理，该定理确定了不同扰动导致稳定微分方程偏离平衡的最可能方式。这两个核心例子在我们的分析中都起到了作用，尽管这里的情况更复杂，因为硬币的形状既不相同，也不独立。违约可以被建模为硬币流，而传染的影响可以被认为是动态系统的随机扰动。我们的主要定理3.1和3.10给出了大偏差原理。在完全情况下，当传染效应和系统效应都存在时，速率函数是相对熵（一种“非线性”萨诺夫类型理论）和弗雷德林-我们-恩泽尔作用函数的组合。[5,14]和[21]研究了静态池中的尾部行为，作者研究了当恢复率取决于违约率时，随机恢复对损失分布尾部的影响。

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能者818

2022-5-5 03:59:38

在[15,16]中，研究了组合信用风险高斯copula模型中损失分布的罕见事件渐近性和相关的重要抽样问题。在[3]中对平均场模型进行的大偏差分析中，作者将池中某个组件的违约强度视为违约导致的百分比池损失的确定函数，另见[4]。在[23]中，作者建立了一个单点过程相互作用系统的大时间大偏差原理。在[12]中，作者通过相互作用因素的平均场模型[从内生方面]研究了系统风险。使用双阱势模型，试剂可以从健康状态快速移动到失败状态。作者以大偏差为例，研究了从健康状态过渡到失败状态的可能性。在本文中，我们考虑了具有随机强度的动态非均匀池的尾部行为，并且我们对互连组件的大型池的行为感兴趣。我们的贡献是双重的。首先，我们为相关缺陷时间的动态点过程模型建立了一个大偏差原则，该模型同时考虑了传染和系统性、外源性风险的影响。我们研究了网络中组成企业或组件数量增长的情况。其次，我们从数值上探索了大偏差的结果，这有助于理解默认集群是如何在这样的系统中出现的。在理论方面，我们看到，控制尾部事件的速率函数被明确地给出为Freidlin-Wentzell作用泛函和非线性相对熵的加性泛函，其中非线性起源于默认值不独立的事实。

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mingdashike22

2022-5-5 03:59:41

依赖结构和环境的异质性，即默认值分布不一致的事实，使数学分析变得复杂。尽管如此，我们还是很好地得到了大偏差原理的一个相当明确的形式，这是一个可以进行数值研究的方法。特别是，我们推导了一种适用于数值计算均匀和非均匀环境中的速率函数和最有可能失效路径（即极值）的速率函数表示。在数值方面，数值实验说明了系统（外生）风险和传染对此类系统尾部事件的影响。例如，正如我们将在第4节的数值研究中看到的，如果出现大型违约集群，系统风险最有可能在初始阶段发挥重要作用，但随后其重要性降低（因此传染效应变得更加重要）。此外，对具有两种或两种以上类型的异质池中与大偏差率函数（即最有可能失败的路径）相关的极值进行分析，有助于了解池中哪些类型由于区域的影响更容易违约，以及由此导致的违约集群的产生途径。在本文结束时，我们提到，尽管我们研究的交互系统主要是由大型金融网络中的系统性风险问题驱动的，但它的公式具有足够的通用性，可以进行更广泛兴趣的分析和结果。网络中单个组件失效的物理现象，可能是由外力引起的，增加了网络中其他组件的应力，使系统更容易失效，具有广泛的意义和适用性。论文的结构如下。

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能者818

2022-5-5 03:59:44

在第2节中，我们描述了模型、假设以及[17]中证明的大数定律结果。在第3节中，我们描述了我们的主要结果，即经验测量和经验违约率的大偏差原则。然后，在第4节中，我们进行了支持理论发现的数值实验。第5节包含第3节大偏差结果的证明。我们在第6.2节总结了我们的结论。模型和大数定律我们假设我们的整个系统包含N个组件或子系统（其中N是大的）。我们假设(Ohm, F，P）是定义所有随机变量的基本概率三元组。首先，设τnn为系统中第n个分量（或粒子）失效的停止时间。失效时间τNn具有强度过程λN，N，满足{τNn∈ （t，t+δ）|Ft，τNn>t}≈ λN，ntδ为δ0，其中fti是整个系统直到时间t生成的西格玛代数。也就是说，由χ{τNn定义的过程≤t}-RtλN，ns{τNn>s}ds是关于Ft的鞅。我们希望我们的模型能够捕捉到几个重要的现象。每个成分都会受到三个随机性来源的影响，其中一个是共同成分本身特有的，一个是负责传染效应的，另一个是反映外部环境的。我们假设每个组件都经过了稳定的设计。然而，我们也假设系统受到级联（或“传染”）行为的影响；任何组件的故障都可能导致更多组件的损坏。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:59:47

特别是∈ N和N∈ {1，··，N}我们考虑模型（1）dλN，nt=-αN，N（λN，nt）-¨λN，N）dt+σN，nqλN，ntdWnt+βCN，ndLNt+εNβSN，NλN，ntdXtt>0λN，N=λo,N、 ndXt=b（Xt）dt+κ（Xt）dVtt>0X=xoLNt=NNXn=1χ{τNn≤t} 式中（2）τNndef=infT≥ 0:ZtλN，nsds≥ EN.这里，Wn是标准布朗运动的独立集合，V也是标准布朗运动，en是标准指数随机变量；Wn、V和en都是相互独立的。在βCN的情况下，n=βSN，对于所有n，n=0∈ {1，··，N}，可以恢复creditrisk中的经典CIR模型，例如[7]。术语βCN，ndlntr反映了传染效应，而XT术语是随机性（系统性风险）的外部来源。请注意，X的移动会导致每个强度λN，N中与cor相关的变化，这为默认聚集提供了一个通道。每个系统的组件对X的灵敏度由参数βSN，n测量∈ R.然后，默认值会导致强度λn，n的大小βCN，n/n的跳跃，其中βCN，n∈ R+=[0，∞). λN，N的平均回复率表明，违约的影响随着时间的推移而逐渐消失，与速率αN，N成指数关系∈ R+。dX分量g中λ的线性依赖性保证λN，nt≥ 每N 0∈ N、 N∈ {1，··，N}和t≥ 0（文献[17]中的命题3.3]），使分析计算更容易。如[1]所示，违约聚集的重要渠道是此类自我激励效应。[17]中的建议N3.3保证，在假设存在SDE for X过程的唯一强解的情况下，系统（1）具有唯一的强解，如tλn，nt≥ 每N 0∈ N、 N∈ {1，··，N}和t≥ 0.反馈项的结构，即经验平均LNt，属于平均场类型，这使得系统（1）大致处于McKean-Vlasov模型的类别内，例如[13]。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:59:50

然而，正如[17,18]中所示，（1）的结构提出了一些困难，使得此类系统的分析超出了标准设置的范围。特别是，一个关键的结构差异是，在强度λN，nt的水平上，经验度量不是t，而是在衰减时间τNn的水平上，即存在额外的随机性水平。此外，相互作用的粒子系统是非均匀和非均匀的，存在额外的ter m X，强度动力学系数没有界，并且存在平方根简并。让我们定义一个描述λN，N\'s的“类型”spa ce。定义Pdef=R+×Rand，我们用pN表示，N=（αN，N，\'λN，N，σN，N，βCN，N，βSN，N，λ）o,N、 N）∈ P.T the n pN，n给出了λn，n的动力学，对损失过程LN的响应，以及初始条件。让我们也定义PN，ntdef=（αN，N，¨λN，N，σN，N，βCN，N，βSN，N，λN，nt）；这是一个aP值过程，它可以追踪λN的动态及其当前值。当然，我们有pN，n=pN，n。对于任何波兰空间S，设M（S）是S上的子概率Borel测度的集合；i、 e.，S由Borel测度Sνo n S构成，使得ν（S）≤ 1.那么M（S）本身就是一个波兰空间；[10]. 定义reEdef=M（P），并设uNtdef=NNXn=1δPN，ntχ{τNn>t}；这是PN，ntf对于那些仍然“活着”的成分的经验分布。我们注意到E中的uNtisa随机轨迹。同样，LNt=1- uNt（P），我们将用P（P）表示P上的一组概率测度。在[17,18,20]中，作者发展了大数定律和中心极限定理逼近uNt，并将其作为LNTA的结果。本文的目的是建立经验损失LNt的大偏差原理，即研究其尾部行为。在本文中，我们主要关注limN的案例→∞εN=0。

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kedemingshi

2022-5-5 03:59:54

为了集中我们的调查，让我们首先重新调用[17]中获得的大数定律结果；我们只能理解与“典型”事件相关的“罕见”事件。假设2.1。我们假设有一个K2。1> 0表示αN，N\'s，λN，N\'s，σN，N\'s，|βCN，N | s，|βSN，N | s和λo,N、 N都以K2为界。1对于所有N∈ N和N∈ {1,2，…，N}。因此类型是有界的。事实上，我们希望它们有一个宏观分布。假设2.2。为了N∈ N、 de fi neUNdef=NNXn=1δpN，N。我们假设Udef=limN→∞UNexists在P（P）中，在概率测度P弱收敛的意义上。在这些假设下，udef=limN→∞u这是一个定义明确的度量值过程。我们可以通过martinga-le问题来确定μ。对于p=（^p，λ），其中^p=（α，βλ，σ，βC，βS）∈ P和f∈ C∞（P）定义运算符（Lf）（P）=σλFλ（p）- α(λ -λ)Fλ（p）- λf（p）（Lf）（p）=βCFλ（p）。定义alsoQ（p）def=λ表示p=（^p，λ），其中^p=（α，λ，σ，βC，βS）∈ P.发生器以杀伤率λ将感染强度的不同部分聚集起来，并在任何给定时间对存活强度产生宏观影响。每f∈ C∞（P）和u∈ E、定义HF，uiEdef=Zp∈Pf（p）u（dp）。设B（P（P））中的元素Φ为Φ（u）=u（hf，uiE，hf，uiE…hfM，uiE）形式的集合∈ N、一些∈ C∞（RM）和s ome{fm}Mm=1Fo rΦ∈ 形式（2）的定义（AΦ）（u）def=MXm=1φxm（hf，uiE，hf，uiE…hfM，uiE）{hLfm，uiE+hQ，uiEhLfm，uiE}。我们声称A w将是极限鞅问题的生成元（见[17]）。引理2.3。[弱收敛]让limN→∞εN=0。序列{uN}在DE（[0，T]）中是紧密的。此外，对于任何∈ S和0≤ R≤ R

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何人来此

2022-5-5 03:59:56

rJ=s<t<t和{ψj}Jj=1 B（E），我们有那个限制→∞EΦ（uNt）- Φ（uNs）-Ztr=s（AΦ）（uNr）drJYj=1ψj（uNrj）= 0limN→∞EΦ（uN）= Φ（U）。极限udef=limNun是唯一存在且具有确定性的，该极限的概率为C（[0，T]；E）。此外，让Lt=1- ut（P），我们得到每δ>0limN→∞Psup0≤T≤T | LNt- Lt|≥ δ= 0.推论3.3表明LTC可以表示为固定点等式的唯一解。正如大数定律一样，这为我们定义罕见事件提供了参考轨迹。对于C（[0，T]；[0，1]）中不包含L的任何闭子集，我们有（3）limN→∞P{LN∈ F}=0。在这一点上，我们想指出的是，在[17]中的特定结果的表述中有一个拼写错误。这里特别提到（Lf）（p）=Fλ（p）和Q（p）=βCλ，其中它应该是（Lf）（p）=βCFλ（p）和Q（p）=λ。大偏差理论为我们提供了如（3）所示的概率衰减率，即投资组合损失分布的尾部。它识别函数I:C（[0，T]；[0，1]）→ [0, ∞] 这样，非正式地说，P{LN≈ Lref}N→∞ 经验[-NI（Lref）]虽然（根据定义）罕见事件不太可能发生，但大偏差理论为比较不同罕见事件的罕见性提供了严格的框架。因此，它有助于我们理解一系列罕见事件中“最有可能”的罕见事件。正如第4节中的数值实验所表明的，对传染和系统风险的更大敏感性会导致更胖的尾巴，从而导致系统中更大损失的可能性。这种类型的洞察力可以让他理解传染和系统风险的作用，以及它们如何相互作用，从而产生典型的高失败率。这可以为防范丹杰罗的罕见行为提供指导。3.

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能者818

2022-5-5 04:00:00

问题公式和主要结果我们在这里给出了关于经验损失LNt的大偏差的主要结果。我们从3.1小节中的一些符号和初步y计算开始。第一个结果是第3.2小节中的orem 3.1，其中我们推导了εN=0时的大偏差原则。εN=0的引理2.3如下：；见推论3.3。推论3.2给出了定理3.1的速率函数的替代公式；这种表示法对数值研究很有用。然后在3.3小节中，我们在定理3.10中给出了本文的第二个主要结果，即当εN6=0时的大偏差原理，即当接触效应和系统效应都被预先发送时。定理3.1中的大偏差原则是通过首先确定非均质池中违约的经验度量的大偏差原则，v N（在（8）中正确定义），然后使用合同原则来获得的。用两步证明了νNis的大偏差原理。首先，我们推导了独立（即，当所有βCN，n=0）但非均匀情况下的大偏差原理。Varadhan的转移引理（被称为定理5.7）则暗示了一般情况下的LDP。定理3.10的大偏差原理是通过定理3.1的大偏差原理和小噪声扩散过程[11]的条件论证得出的。在这一节中，我们给出了定理陈述，第5节给出了相应的证明。让我们回忆一下大偏差的概念和相关的速率函数。定义3.1。

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能者818

2022-5-5 04:00:03

如果S是波兰空间，P是（S，B（S））上的概率测度，我们说集合（ξn）n∈Nof S值随机变量与速率函数I:S有一个大偏差原理→ [0, ∞] 如果（i）对于每个s≥ 0，集Φ（s）={s∈ S:I（S）≤ s} 是每一个开G的s（ii）的一个紧子集 S、 limn∞nlnp{ξn∈ G}≥ - infs∈GI（s）（iii）适用于每个封闭F S、 limn∞nlnp{ξn∈ F}≤ - infs∈FI（s.3.1。初步计算。让我们设置一些符号。Fix p=（α，βλ，σ，βC，βS，λ）o) ∈ P.固定时间范围T>0。让抛光空间S和用C（S；R）和AC（S；R）表示为从S到R的连续和分别绝对连续的P的集合。为了便于记法，如果没有混淆，我们有时会写C（S；R）和AC（S；R）。对于AC（[0，T]；R）和W中的ψ和ψ*a参考布朗运动，设λψ，ψ为SDE（4）λψ，ψt（p）=λ的解o- αZt（λψ，ψs（p）-′λ）ds+σZtqλ~n，ψs（p）dW*s+βCа（t）χ[0，t]（t）+βSZtλа，ψs（p）χ[0，t]（s）dψ（s）t>0这将代表我们工具中p型“随机选择”名称的条件强度。设随机变量τ~n，ψ为（5）Pτφ,ψ≤ T= PZtλψ，ψs（p）ds≥ E= 1.- E经验-Ztλψ，ψs（p）ds对于所有t>0，其中e是独立于W的指数（1）随机变量*. 定义fp~n，ψ（t）def=Eλψ，ψt（p）exp-Ztλψ，ψs（p）ds.那么对于t∈ [0，T]Pτφ,ψ≤ T=Ztfp~n，ψ（s）ds=1- E经验-Ztλψ，ψs（p）ds.（6）现在让我们收集τψ，ψ>T的所有场景。确定一个抽象点不在[0，T]和definetdef=[0，T]∪ {}（这是一个波兰空间）。对于AC（[0，T]；R）中给定的轨迹ψ和ψ，定义up~n，ψ∈ P（T）as（7）uP~n，ψ（A）def=Zt∈A.∩[0，T]fp~n，ψ（T）dt+δ（A）（1）-所有A的ZTfpψ，ψ（t）dt）∈ B（T）。换句话说，up~n，ψ是T上相应的概率度量。定理3.1和3.10中出现的大偏差原理是以up~n，ψ表示的。

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大多数88

2022-5-5 04:00:06

此外，利用问题的特殊结构，引理4.1表明up~n，ψ可以用封闭形式计算。3.2. εN=0情况下的大偏差原则。在这种情况下，由于随机性，X在计算中不起作用。确定概率度量∈ P（P×T）（8）νN=NNXn=1δpN，N，τNχ{τN≤T}+NNXn=1δpN，n，χ{τn>T}这捕获了pN，n（资产的“类型”）和τn，n（默认时间）的分布。如果X是抛光的，则表示方便设置xdef=P×t。我们当然可以从νN中恢复经验损失；LNt=νN（P×[0，t]）。让我们做以下定义。定义3.2。固定ω∈ P（X）和Γ∈ P（P）；我们说ω=ξ υ、其中，如果ω（a×B）=Zp，ξ是从P到P（S）的可测映射（即，ξ是随机核）∈Aξ（p）（B）Γ（dp）。尽管如此∈ B（P）和B∈ B（T）。在这种情况下，我们写ξ=ωυ.让我们定义（9）H（ν，u）=（Rt∈Tlndνdu（t）ν（dt），如果ν<< u∞, 否则，然后（10）`H（ν）=（Rp∈酸碱度νU（p），up′ν，0U（dp）如果νU（p）存在∞ 另外，如果（7）中定义了up′ν，0，U由假设2.2给出，则s超脚本p表示对特定元素p的依赖性=（α、λ、σ、βC、βs、λ）∈ P、 B区∈ B（T），我们设置‘ν（B）=ν（P×B）。动作函数的形式相当容易理解，至少在同质情况下是如此。假设有一个固定的p*∈ P和pN，n=P*为了所有人∈ N和N∈ {1，2，…，N}（因此U=Δp）。如果ν*= δp*对于某些ω∈ P（T），那么ν*U（p*) = ω和一个期望tha tPN（dνN∈ dν*)N→∞ E-全日空航空公司ω、 up*ν*,0= E-N′H（ν）*).接下来考虑一个具有两种固定类型的异构池*A和p*B.假设在一个大小为N的池中，每三个名字都是p类型的*a其余名称为p型*B

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何人来此

2022-5-5 04:00:10

如果ν*=δp*A×ωA+δp*B×ωB，那么ν*U（p）=（ωAif p=p*AωBif p=p*B然后νN联合国（p*A） =N/3X1≤N≤Nn∈3NΔτnχ{τn≤T}+N/3X1≤N≤Nn∈3Nδχ{τn>T}νN联合国（p*B） =2N/3X1≤N≤Nn6∈3NΔτnχ{τn≤T}+2N/3X1≤N≤Nn6∈3Nδχ{τn>T}在启发式水平上，我们期望tPN（dνn∈ dν*) = PNνN联合国（p*（A）≈ dωA，νN联合国（p*B）≈ dωBN→∞ 经验-全日空航空公司ωA，up*A′ν，0-2NHωB，up*B′ν，0= E-N′H（ν）*).定理5.8给出了严格的证明，一般来说，`H（ν）是{νN，N<∞} 在这种情况下。定理5.8和收缩原理的直接结果是LNt=νN（P×[0，t]）的大偏差原理。定理3。1.考虑（1）中定义的系统，εN=0，T<∞. 在假设2.1和2.2下，族{LNT，N∈ N} 满足定义3.1的大偏差范围，具有速率函数i(l) = inf\'H（ν）：ν∈ P（X）和ν（P×[0，T]）=l.速率函数I是下半连续的，具有紧的水平集。本质上，函数熵的形式是“当前”和“当前”νU（p），up′ν，0. 然而，由于环境的异质性和系统中的反馈项，出现了新的现象。异质性的影响实质上是将P空间中的不同类型进行整体整合，而反馈项则负责uPν0中的s ubs脚本，这是熵中的非线性影响。forξ，ν∈ AC（[0，T]；R）让我们定义函数ξ、 fp~n，0=ZTln˙ξ（t）fp~n，0（t）！˙ξ（t）dt+ln1- ξ（T）1-RTfp~n，0（t）dt！(1 - ξ（T））接下来，在推论3.2中，我们注意到速率函数I有一个简单的替代表示，它更适合于数值研究。推论3.2。考虑（1）中定义的系统，εN=0。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:00:13

定义\'(l) = inf~n∈AC（P×[0，T]；R），ν≥0ZPgν（p），fpā，0（t）U（dp）：а（p，0）=0，а（s）=ZPа（p，s）U（dp）和а（T）=l在定理3.1的假设和符号下，I=I′。定理3.1的一个直接序列是[17]中得到的LNTO的大数定律结果。推论3.3。εN=0。有一个独特的度量*这样每一个t∈ [0，T]-ν*（[0，t]）=1-ZPe-（bp（t）λ+Rtα′λbp（t-u） du+βCRrbp（t-u） ν*（du）U（dp）；这是H（ν）=0的唯一解。最后，\'ν*（[0，t]）=所有t∈ [0，T]，在Emma 2.3中给出了L。推论3.3的证明见第5.2节。作为一个可能使用Theorem 3.1和推论3.2的例子，让我们考虑同质池和由K个不同容器组成的异质池，每个容器内都是同质的。例3.4（均质）。修正p*∈ 假设pN，n=P*为了所有的N和N(l) = infG~n，fp~n，0: ν（0）=0，ν（T）=l, φ ≥ 0, φ ∈ AC（[0，T]；R）.例3.5（异构）。假设池由K个不同的容器组成。假设κi%的名称属于类型aii，i=1、··、K和pki=1κi=100。我们得到了(l) = inf（KXi=1κigνAi，fpAi~n，0: ν（t）=KXi=1κi~nAi（t）每t∈ [0，T]~n（T）=l, νAi（0）=0，νAi≥ 0，νAi∈ AC（[0，T]；R）对于每一个i=1，·K}.3。主要结果：案例界限的大偏差原则→∞εN=0。在本小节中，我们研究存在系统影响的情况。当εN6=0时，过程的大偏差{XNt=εNXt，N∈ N} 影响经验违约率过程的大偏差{LNt，N∈ N} 。为了恰当地表述我们的结果，我们需要对X过程的系数的标度性质做出一些假设。这些是保证{XNt=εNXt，N族存在大偏差原理的最小假设∈ N} 。具体来说：假设3.6。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:00:17

我们假设以下极限一致地存在于Ro`b（x）=limε的有界子集上↓0bε（x）=limε↓0εb（x/ε）对于某些ζ∈ （0,1]，\'κ（x）=limε↓0κε（x）=limε↓0ε1-ζκ（x/ε）。此外，系数b（x）和κ（x）在R的紧子集上是不一致连续的，我们假设具有漂移系数b（x）和扩散系数κ（x）的SDE具有唯一的强解。对于任何你∈ L（[0，T]；R）定义地图：L（[0，T]；R）7→ 通过方程（11）ψ（T）=Zt′b（ψ（s））ds+Zt′κ（ψ（s））u（s）ds3.7。我们假设，对于任何美国∈ L（[0，T]；R）地图Γ：L（[0，T]；R）7→ （11）定义的C（[0，T]；R）定义明确，且（11）具有独特的解决方案。此外，我们假设每N∈ N、当映射Γ被限制为集合{u时，它是连续的∈ L（[0，T]；R）：RT | u（s）|ds≤ N} 被赋予了L[0，T]的优势。我们还需要一个假设。假设3.8。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:00:20

让你∈ A在[0，T]、R值和Ft可预测过程上的平方可积集，并考虑受控sdedXε，ut=[bε（Xε，ut）+κε（Xε，ut）u（T）]dt+εζεε（Xε，ut）dVt，Xε，u=0。如果林→∞εn=0和{un}n∈不，是这样的∈NRT | un（s）| ds≤ N几乎可以肯定，然后是XεN，unis-tight inC（[0，T]；R）和supn∈NEZT|κ（Xεn，uns）|ds<∞.正如我们将在5.3小节的引理5.10中看到的，在3.6、3.7和3.8假设下，{XNt=εNXt，N族的大偏差原则∈ N} 在速度为1/ε2ζ的C（[0，T]；R）上，与大偏差原理相同，对于{XNt，N族，速度相同∈ N} 式中，（12）d\'XNt=\'b（\'XNt）dt+εζNκ（\'XNt）dVt，\'XN=0。在这种情况下，{XNt，N的大偏差作用函数∈ N} 在C中（[0，T]；R）是（13）JX（ψ）=inf（ZT | u（s）| ds:u∈ L（[0，T]；R），Γ（u）=ψ）每当{u∈ L（[0，T]；R），Γ（u）=ψ}6= 和JX（ψ）=∞ 否则我们注意到，如果所有x的κ（x）6=0∈ R、那么对于ψ∈ AC（[0，T]；R）ψ（0）=0，我们得到了简化的众所周知的形式，见[11]第5.3节，JX（ψ）=ZT˙ψ（t）-\'b（ψ（s））\'κ（ψ（s））Ds和JX（ψ）=∞ 否则然而，一般来说，速率函数的形式由（13）给出。例3.9。两个经典的例子，其中假设3.6、3.7和3.8保持和thu是过程{XN，N的LDP∈ N} 保持，是（a）：b（x）=-γx和κ（x）=1，其中b（x）=-γx，\'-κ（x）=1，ζ=1，和（b）：具有b（x）=-γ（x）- \'-x/ε）和κ（x）=√x、其中b（x）=-γ（x）- \'x，\'κ（x）=√x和ζ=1/2。然后，我们有下面的定理。定理3。10.考虑（1）中定义的带有limN的系统→∞εN=0，使得limN→∞Nε2ζN=c∈(0, ∞) 让T<∞.

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何人来此

2022-5-5 04:00:24

在假设2.1、2.2、3.6、3.7和3.8下{LNT，N∈ N} 满足定义3.1的大偏差范围，速度N和速率函数i(l) = inf{S（ψ，ψ）∶∈ C（P×[0，T]；R），ψ∈ C（[0，T]；R），（T）=l}式中（ψ，ψ）=火箭弹ψ（p），fp′~n，ψ（t）U（dp）+cJX（ψ），如果∈ AC（P×[0，T]；R），ψ∈ AC（[0，T]；R），ψ（0）=0，ψ（p，0）=0，ψ）≥ 0，（s）=RP（p，s）U（dp）∞, 在这里，JX（ψ）是过程{XN，N<∞}, 如（13）所定义。我(l) 具有紧凑的水平集。S（ψ，ψ）的定义表明，如果c=limN→∞Nε2ζN=∞ 然后治疗ψ（p），fp′~n，ψ（t）S（ψ，ψ）中的U（dp）积分将是主导因子，而如果c=limN→∞Nε2ζN=0，则JX（ψ）熵将成为主导因子。这将在第5.3节中变得更加清楚。因此，这两种效应都会导致ifc=limN→∞Nε2ζN∈ (0, ∞) 这就是我们在本文中关注的情况。然而，在定理3.10的证明过程中，我们证明了引理5.9，这是{LNt，N的大偏差原理∈ N、 t∈ [0，T]}进程t7的给定路径→ 当εN=1.4时，Xtin Cc（[0，T；R]）。大偏差原理的数值探索在本节中，我们通过一些数值计算来说明我们的理论结果。特别是，在第4.1节中，我们研究了同质池的速率函数、概率损失分布的尾部和极值在特定情况下的行为。我们比较了两种不同的投资组合，并定性地比较了这两种情况。

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大多数88

2022-5-5 04:00:28

然后，在第4.2小节中，我们对由两种类型组成的非均质油藏进行了一些数值试验，其中两种类型的差异在于传染和系统效应的影响程度。了解传染和系统性风险结合起来导致更高违约率的最可能方式，有助于深入了解如何对此类事件进行最佳对冲。尤其是，数值实验表明，如果出现一个大的集群，系统因素的影响在最初阶段将更为显著，但随后其重要性降低，传染效应变得更为重要。此外，在异构池的情况下，大偏差分析使我们能够说明池中哪些类型的名称可能会受到更大的影响，以及影响的顺序。在接下来的数值结果中，我们数值计算了速率函数I(l) 以及相应的极值ψ和ψ，它们解决了定理3.10中关于齐次和非齐次情形的变分问题。在速率函数的数值计算中，我们需要计算fp~n，ψ（t），这是在引理4.1.4.1的帮助下完成的。均质池的数值计算。现在让我们了解一下，在同质投资组合的某些特定情况下，我们的计算结果是什么样的。我们认为系统性风险为OrnsteinUhlenbeck型，尤其是（14）dXt=-γXtdt+dVtX=0对于下面的数值实验，我们取εN=√N.LDP由定理3.10给出，C=1。评估I的主要困难(l) 极值是（7）的up~n，ψ的计算。λN，nof（1）基于CIR的演化的优点是，有相当明确的公式可用。对于t∈ [0，T]，让θptsolve（15）θpt（s）=Zs1.-σ（θpt（r））- αθpt（r）dr+βSZsθpt（t- r） dψ（r）。

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mingdashike22

2022-5-5 04:00:31

s∈ [0，t]然后定义Γp~n，ψ（t）=θpt（t）λo+ α′λZtθpt（r）dr+βCZtθpt（t- r） d~n（r）引理4.1。我们有fp~n，ψ（t）=˙Γp~n，ψ（t）exph-Γp~n，ψ（t）i.证明。defi neMsdef=exp-θpt（t）- s） λψ，ψs- α′λZtsθpt（t- r）博士- βCZtsθpt（t- r） d~n（r）-Zsλψ，ψrdr对于s∈ [0，t]。注意θpt（0）=0。在微分形式中，dMs=n˙θpt（t- s） λψ，ψs- θpt（t）- s） n-α（λψ，ψs）-βC˙~n（s）+βs˙ψ（s）λ˙，ψso- λψ，ψs+（θpt（t- s））σλψ，ψs+θpt（t）- （s）α′λ+βC˙~n（s）Msds+DMS，其中M是一个标记。ODE（15）意味着ds项相同为零，因此M是鞅。注意m=exp[-φ，ψ（t）]和Mt=exp-Ztλψ，ψrdr,我们明白了-ψ，ψ（t）=M=E[Mt]=E经验-Ztλψ，ψrdr.将其与（5）和差异进行比较，得出如下结论。我们考虑两个测试组合；见表1。对于每个测试组合，我们比较了四种不同的情况，（a）独立e：βS=βC=0，（b）仅传染：βS=0，βC6=0，（C）仅系统风险：βS6=0，βC=0，以及（d）系统风险和传染：βS6=0，βC6=0。在每种情况下，hor izon的时间T=1。Nα′λσλγβSβCPortfolio I 200 1 0.9 0.5 1 10 3 Portfolio II 200 5 1 0.5 0.1 28表1。两个测试组合的模型参数值。在表2中，我们报告了两个投资组合在T=1时的损失，以及在存在传染效应（即βC6=0，取表1中的值）和不存在传染效应（即设置βC=0）的情况下的损失。Lc（1）Lnc（1）投资组合I 0.804 0.470投资组合II 0.650 0.589表2。典型违约率“l = 存在传染时，T=1时的Lc（T），即βC6=0和‘l = 当不存在传染性时，T=1时的Lnc（T），即βC=0。在图1中，我们看到了所有随机函数的比较。请注意，在这两种情况下l 满意度I（“”l) = 0，其中大数定律由表2给出。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:00:34

当然，这是意料之中的，符合大偏差理论。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6违约率函数仅依赖于联系仅系统风险仅系统风险和传染0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8违约率函数仅依赖于联系仅系统性风险仅依赖于系统性风险和传染性配置图1。速率函数I′(l). 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。在图e 2中，我们看到了LNT尾部的大偏差近似值。也就是说，我们绘制P{LNT≈ l} 经验[-倪(l)] 哪里l >l = LT.区域风险和系统风险对LNT的尾部有重大影响。此外，我们在这里看到，就分布的尾部而言，在投资组合I中，传染的影响主导着系统风险的影响，而在投资组合II中，系统风险的影响主导着传染的影响。这主要是由于两个投资组合的β和βCin值的差异，表1.0.6 0.7 0.8 0.9 1.00e+002e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染0。70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.000e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染图2。大偏差近似于违约率LNT的尾部。左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。在图3和图4中，我们看到了一个水平的最佳ψ和ψ的比较l = 0.85. 传染效应和系统风险改变了外部行为（最可能的失败途径）。比较图2中投资组合I和II的损失分布，我们得出结论，在投资组合I中，传染的影响通常比系统风险的影响更为深远。

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何人来此

2022-5-5 04:00:38

另一方面，在投资组合II的情况下，系统风险的影响比传染的影响更为深远。此外，在图4的左面板中，我们看到，如果出现大型默认集群，系统风险最有可能在初始阶段发挥重要作用，但随后其重要性降低（因此传染影响变得更加重要）。0.20.40.6 0.8 1.00.0.2 0.4 0.6 0.8时间依赖性仅系统风险和传染0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 TimePhi极端依赖性仅接触系统风险仅系统风险和传染图3。t的最优φ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。4.2. 异构池的数值计算。在这一部分中，我们用数值方法说明了由两种类型组成的异质投资组合的情况。A型是名字的1/3，B型是名字的2/3。为了说明这种异质性投资组合中传染和系统风险的影响，我们将所有参数保持不变，但a型和B型的参数（βCA、βSA）和（βCB、βSB）除外。假设系统风险由（14）给出。特别是，我们假设最初池中有N=200个名称，我们考虑一个PortfolioComposited，由两种类型和以下参数组成。在这样的投资组合中，我们计算出，如果没有传染，典型的损失时间T=1为0.62，如果有传染，则为0.81。

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可人4

2022-5-5 04:00:41

下面，我们看到plo比较了所有病例的速率函数、分布尾部和极值，这取决于是否存在传染和系统风险影响。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Timepsi极端系统性风险仅系统性风险和传染性0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Timepsi极端系统风险仅系统风险和传染图4。t的最优ψ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：投资组合I。右面板：投资组合II。α′λσλγβSβcTypea 1 0.5 1 5 10类型B 1 0.5 1 1表3。投资组合中两种类型的模型参数值。在图5中，我们比较了所有速率函数I和损失分布的尾部。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0违约率函数仅依赖于联系仅系统风险仅系统风险和传染0。70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.000e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05违约率概率独立仅传染系统风险仅传染系统风险和传染图5。速率函数I(l) 而损失分布的尾部——传染效应和系统性风险——会改变极端行为（最有可能的失败途径）。在图6中，我们看到了一个损失水平的最佳φ的比较l = A型和B型在有无传染效应和有无系统风险效应的不同情景下为0.85。为了说明A型和B型之间最有可能出现故障的路径行为之间的差异，我们比较了图7左面板中的相应魟极值，当传染和系统风险的影响都包含在模型中时。我们注意到，在任意给定的时间t，A型的极值大于B型的极值。

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可人4

2022-5-5 04:00:44

这意味着A型部件的不太可能的大损耗比B型部件的不太可能的大损耗更有可能。因此，A型组件对池的影响大于B型组件，即使A型组件占池的1/3，而B型组件占池的2/3。然后，在图7的右边，我们看到了一个水平的最优ψ极值的比较l = 系统性风险影响是否存在的情况为0.85。如果一个大的阶段发生了，那么这个阶段最重要的是系统性的影响。因此，总而言之，对极端群体的分析表明，在这样一个群体中，如果出现一个大的群体，很可能是由于系统性风险因素的影响，这会影响更多的a型名称，而更少的B型名称。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8时间PHI极端依赖仅持续系统风险仅系统风险和传染0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8时间PHI极端依赖性仅接触系统风险仅系统风险和传染图6。t的最优φ（t）∈ [0,1]和l = 0.85. 左面板：A型为φ极值。右面板：B型为φ极值。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 B0型为φ极值。2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020次psi极端系统性风险仅系统性风险和传染性图7。左图：存在系统风险影响时A型和B型φ极值的比较。右面板：t的最佳ψ（t）∈ [0,1]和l = 0.85.5. 大偏差原理的证明定理3.1的证明分两步进行。

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何人来此

2022-5-5 04:00:47

首先，当βC=0时，我们证明了相应的结果，即当默认值相互独立时，我们证明了在异种情况下的LDP（第5.1小节）。然后，基于这个结果，结合定理5.7，我们将得到第5.2小节中定理3.1所需的LDP。在5.3小节中，我们证明了定理3.10.5.1。独立性和异质性下的大偏差。每N∈ N、设{τind，Nn}Nn=1强度为（16）dλind，N，nt=-αN，N（λind，N，nt）-¨λN，N）dt+σN，nqλind，N，ntdWntt>0λind，N，N=λo,N、换句话说，τind，Nndef=infT≥ 0:Ztλind，N，ns≥ EN其中en是re，如（2）所示。那么{τind，Nn}Nn=1是一组独立的随机变量（尽管它们不是同分布的）。定义类型和违约时间的经验度量：νind，N=NNXn=1δpN，N，τind，Nn。此外，让（17）Hind（ν）=（Rp∈酸碱度dνdU（p），up0,0U（dp）如果ν马克思主义者∞ 另一种情况是，H如（9）所示。“后”的定义与“H”的定义（10）不同，因为我们用up0,0替换了upν，0in（10）。这与没有传染性或系统性影响相关，这与设置βC=βS=0导致独立违约率相同。然后，相应的大偏差原则如下所示。定理5.1。家族{νind，N，N∈ N} 用速率函数“Hind（ν）：P（P×T）7满足大偏差原理→ [0, ∞].证据上界和下界后面分别是引理5.4和5.6。现在我们来证明这是一个具有紧水平集的下半连续泛函。H的下半连续性dνdU（p），up紧接着，因为H（ν，u）是每个变量ν或u分别的凸下半连续函数（例如[8]中的引理1.4.3）。由于相对熵H（ν，u）的相应性质（例如，引理[8]中的引理1.4.3），水平s ets的紧致性再次出现。

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大多数88

2022-5-5 04:00:50

这些性质被[6]中的引理6.2.16继承到了“Hind（ν）”。这就完成了定理的证明。备注5.2。在均匀性下，即如果pN，n=Pf或所有n∈ N和N∈ {1，··，N}那么LDP是萨诺夫定理的直接结果，由（9）给出。默认值的分布不一致这一事实给证明带来了一些额外的困难，如下所示。5.1.1. 紧凑的支持。它通常有助于（从紧集的大偏差上界传递到闭集的上界）显示足够的紧密性。在我们的例子中，假设2.1实际上提供了紧凑的支持。假设2.1意味着P有一个有界子集K，使得pN，n∈ K福尔N∈ N和N∈ {1,2…N}。因为T本身很紧凑[-K2。1，K2。1] ×T是compac T，a和factνind，N[-K2。1，K2。1] ×T= 1.将其移动到测量空间，让我们定义（18）Kdef=ω ∈ P（X）：ω[-K2。1，K2。1] ×T= 1..然后K P（X）和P-a.s.νind，N∈ K代表所有人N∈ N.5.1.2。大偏差上限。在这一部分中，我们证明了大偏差上界。让我们从f′H（ν）的等价表征开始。引理5.3。每一刻∈ P（X）我们有，H（ν）=supφ∈C（P×T）（Z（P，T）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈扑通一声∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））。证据首先我们假设随机核ξ=ν马克思主义者。对于φ∈ C（T）和p∈ P、让我们定义（φ，P）def=Zt∈Tφ（T）ξ（p）（dt）- logZt∈Teφ（t）up0,0（dt）。相对熵[8，定理1.4.3]的Donsker Varadhan变分表示为thatH（ξ（p），up0,0）=supφ∈C（T）G（φ，p）。对于任何φ∈ C（X；R），我们有z（p，t）∈P×Tφ（P，T）ν（dp，dt）-Zp∈扑通一声∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）=Zp∈PZt∈Tφ（p，T）ξ（p）（dt）- lo gZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）=Zp∈PG（φ（p，·），p）U（dp）≤Zp∈PH（ξ（p），up0,0）U（dp）=Hind（ν）。为了证明相反的不等式，definefn（p）=supφ∈C（X），kφk≤所有正整数N的NG（φ（p，·），p）。现在修复η>0。

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kedemingshi

2022-5-5 04:00:55

对于每个N，让φ*N∈ C（X；R）为kφ*Nk≤ N和g（φ*N（p，·），p）≥ FN（p）- η. 从N7开始→ FN（p）对于每一个p都是不递减的∈ P、单调共收敛意味着H（ν）=Zp∈普林→∞FN（p）U（dp）≤ 画→∞Zp∈PFN（p）U（dp）≤ 画→∞Zp∈PG（φ）*N（p），p）U（dp）+η≤ supφ∈C（X）ZPG（φ，p）U（dp）+ηLetη0；把这些东西结合起来，我们有权要求ν马克思主义者。接下来让我们考虑一下νUI定义不明确；因此“Hind（ν）=∞. 然后是A∈ B（P）和B∈ B（T）使得ν（A×B）>0且U（B）=0。因为P是波兰的，所以Asuch有一个闭合的d子集F，其ν（F×B）>0。对于c>0和N∈ N、定义φcN（p，t）=c exp[-N distX（（p，t，F×B）]，其中distX（·F×B）是（X）到F×B的距离→∞φcN=cχF×b逐点。通过主导收敛，我们得到了thatsupφ∈C（X）（Z（p，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））≥画→∞（Z（p，t）∈XφcN（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈TeφcN（p，t）up0,0（dt）U（dp））=Z（p，t）∈XcχF×B（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈TecχF×B（p，t）up0,0（dt）U（dp）如果p∈ Fc，thenZt∈TecχF×B（p，t）up0,0（dt）=Zt∈T1up0,0（dt）=up0,0（T）=1。Thussupφ∈C（X）（Z（p，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp））≥ cν（F×B）。让c∞, 我们在νUI定义不明确，无法完成证据。现在我们可以证明上界了。引理5.4。对于任何闭集F P（X），我们有limn→∞Nln Pνind，N∈ F≤ - infν∈FHind（ν）证明。使用（18），我们用（19）P这个事实来表示tνind，N∈ F= Pνind，N∈ F∩ K.修理l < infν∈F∩K′Hind（ν）。每一天∈ C（X；R），呼吸φ=（ν）∈ P（X）：Z（P，t）∈Xφ（p，t）ν（dp，dt）-Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up（dt）U（dp）>l)通过引理5.3，我们得到了∩ K ∪φ∈C（X）Aφ。自从F∩ K是compa c t，实际上我们有∩ K ∪φ∈对于C（X；R）的某些有限子集ΦAφ。

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何人来此

2022-5-5 04:00:58

因此（20）Pνind，N∈ F∩ K≤Xφ∈ΦP{νind，N∈ Aφ}。利用指数切比雪夫不等式，我们计算出νind，N∈ Aφ≤ P（Z（P，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）>l +Zp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）= P（新西兰（P，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）>Nl + NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）≤ 经验[-Nl] E exp“新西兰（p，t）∈Xφ（p，t）νind，N（dp，dt）#×exp-NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）≤ 经验[-Nl] 经验NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）联合国（dp）×exp-NZp∈PlogZt∈Teφ（p，t）up0,0（dt）U（dp）苏斯林→∞Nln Pνind，N∈ Aφ≤ -l.在（20）中使用这个函数的次数是有限的，我们得到了这个极限→∞Nln Pνind，N∈ F∩ K≤ -l.让l infν∈F∩K’Hind（ν），我们有那个limn→∞Nln Pνind，N∈ F∩ K≤ - infν∈F∩K′Hind（ν）。最后回到（19），我们计算thatlimN→∞Nln Pνind，N∈ F≤ - infν∈F∩K’Hind（ν）≤ - infν∈F’Hind（ν）向我们提出索赔。5.1.3. 大偏差下限。在本节中，我们将证明大偏差下界。我们需要以下连续性结果。引理5.5。地图第7页→ up0,0是从P到P（T）的连续映射。证据这很容易遵循明确的公式（7）。我们现在可以证明下限了。引理5.6。设G是P（X）的开子集。德林→∞Nln Pνind，N∈ G≥ - infν∈G’Hind（ν）证明。我们以标准的方式前进。它有助于*∈ G使得¨Hind（ν）*) < ∞ η>0，表示（21）limN→∞Nln Pνind，N∈ G≥ -\'Hind（ν）*) - η.让我们了解“Hind（ν）”的含义*) < ∞. 然后ξdef=ν*Uexists和ZP∈PH（ξ（p），up0,0）U（dp）<∞soh（ξ（p），up0,0）<∞ 对于U-a.e.p∈ P.因此ξ（P）<< U-a.e.p.的up0,0∈ P.最后，这和Tonelli的理论确保φ（P，t）def=dξ（P）dup0,0（t）定义良好。事实上，定义随机核uo0,0（p）def=up0,0，我们得到了t（22）φ=dν*d（uo0,0 U）所以φ是可测量的。

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