Bates（1996）和Scott（1997）将这两种方法结合起来，引入了收益跳跃的随机波动率模型。尽管他们的新方法有助于更好地描述股票价格的行为，但几项研究表明，具有不同随机波动性和回报率跳跃的模型无法完全捕捉股票指数回报的经验特征，例如Bakshi等人（1997）；贝茨（2000）；潘（2002）。他们的主要缺点是，他们没有很好地捕捉到经验事实，即回报的条件波动率迅速增加。通过增加波动率的跳跃，波动率过程更具体。Duffee等人（2000年）首次引入了收益率和波动率都有跳跃的模型。Erakeret al.（2003）已经证明，波动率跳跃的新模型比以前的模型表现更好，并且在波动过程中没有导致重大的误判。5.2上文提到的Eraker、Johannes和PolsonAs工作的扩展，Eraker等人（2003年）考虑了回报率和波动率跳跃的跳跃扩散过程。这些跳跃同时到达，跳跃大小相互关联。根据该模型，资产价格的对数Yt=log（St）解（5.1）dYtdVt=uκ(θ - 五、-（t）dt+pVt-10ρσνp（1）- ρ)σνdWt+ξyξνdNtwhere Vt=lims↑tVs，Wt=（W（1）tW（2）t）是标准的布朗运动，用Rand（·）t表示矩阵或向量的转置。跳跃到达是一个泊松过程，具有常数密度λ，该模型假设收益率和波动率的跳跃到达是同时发生的。变量ξyandξν分别表示收益率和波动率的跳跃大小。

波动率的跳跃大小遵循指数分布ξν~ exp（uv），而收益率和波动率的跳跃大小与ξy |ξν相关~ N（uy+ρjξν，σy）。他们的方法依赖于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法。MCMC估计的基础是（5.1）：Yt的时间离散化+T- Yt=ut+pVttεyt+t+ξyt+tJt+t、 Vt+T- Vt=κ（θ）- （Vt）t+σνpVttενt+t+ξνt+tJt+t、 （5.2）Jkt+t=1表示跳转到达。εyt+t、 ενt+皮重标准正态随机变量的相关系数ρ和t是时间离散间隔（即一天）。跳跃的大小取决于它们的分布结构，跳跃时间是强度λ为常数的伯努利随机变量t、 作者随后应用贝叶斯技术计算模型参数Θ。后验分布总结了关于参数Θ以及潜在波动率、跳跃时间和跳跃大小的样本信息：（5.3）Pr（Θ，J，ξy，ξν，V|y）∝ Pr（Y|Θ，J，ξY，ξν，V）Pr（J，J，ξY，ξν，V），其中J，ξY，ξν，V是包含相关变量的时间序列的向量。后验概率结合了似然概率Pr（Y | J，ξY，ξν，V）和前验概率Pr（|，J，ξY，ξν，V | Y）。由于后验分布在封闭形式下未知，基于MCMC的算法通过迭代地从以下条件后验中提取样本：参数：Pr（Θi |Θ-i、 J，ξy，ξν，V，y）i=1，跳转次数：Pr（Jt=1 |Θ，ξy，ξν，V，y）i=1，TJump大小：Pr（ξyt |Θ，Jt=1，ξν，V，Y）i=1，TPr（ξνt|，Jt=1，V，Y）i=1，实用性：Pr（Vt | Vt+t、 Vt-t、 Θ，J，ξy，ξν，y）i=1，TwhereΘ-IDE注意到参数向量的元素，除了Θi。从这些分布中提取是简单的，除了波动性，因为其分布不是标准形式。

为了从中取样，作者使用了随机行走大都会算法。对于ρ，他们使用了一个独立的Metropolis算法，其建议密度以布朗增量之间的样本相关性为中心。对于这些MCMC技术的回顾，werecommend Johannes and Polson（2009）在文中作者回顾了连续时间金融计量经济学背景下MCMC算法背后的理论。Eraker等人（2003）的算法生成了一组绘图Θ（g），J（g），ξy（g），ξν（g），V（g）Gg=1是来自Pr（Θ，J，ξy，ξν，V|y）的样本。我们的方法依赖于Eraker等人（2003）开发的方法。唯一的区别是，我们用§3中描述的跳跃过程取代了伯努利跳跃过程。这种变化非常简单。在（5.2）中，Jt+tcan只取两个值及其参数λ的后验贝努利t、 为了计算伯努利概率，作者使用增量对波动率的条件独立性和收益对getPr（Jt）的条件独立性+t=1 | Vt+t、 Vt，Yt+t、 ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）∝λt×Pr（Yt）+t、 Vt+t | Vt，Jt+t=1，ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）。我们的概括很简单。遵循Jt第3节中解释的方法+t可以取0到m之间的任何值。然后取（Jt+t=m | Vt+t、 Vt，Yt+t、 ξyt+t、 ξνt+t、 Θ）∝pk×Pr（Yt+t、 Vt+t | Vt，Jt+t=m，ξyt+t、 ξνt+t、 Θ），pk=e-λt（λ）t） kk！对于k=0，M- 1和pm=pm-1k=0pk。5.3参数估计我们采用Numatsi和Rengifo（2010）开发的方法来估计模型参数。这些作者描述了Eraker等人（2003）提出的方法论在R中的一个实现，并将其应用于富时100指数日收益率。我们假设我们有每天的数据，时间为i=1，T和ti+1- ti=t=1天。

所考虑的二元密度函数由（5.4）f（Bti）=2π|∑| 0.5exp给出-（Bti）- E[Bti]）T∑-1ti（Bti）- E[Bti]）,其中|·|表示矩阵的行列式。似然函数简单地由qni=1f（Bti）和（5.5）Bti给出=ytiνti（5.6）E[Bti]=u+ξytiξJtiκ（θ- Vti-1） +ξνtiJti（5.7）∑ti=Cov[yti，νti]=Vti-1ρσνVti-1ρσνVti-1σνVti-1.哪里yti=yti-Yti-1和νti=Vti-Vti-1.联合分布由似然数乘以状态变量的分布数乘以参数的先验数的乘积给出，更具体地说：“TYi=1f（Bti）#×TYi=1f（ξyti）×f（ξνti）×f（Jti）#×”f（u）×f（κ）×f（θ）×f（ρ）×f（σν）×f（uy）×f（ρJ）×f（σy）×[f（μν）×f（λ）]状态变量的分布分别由ξνti给出~ exp（μν），ξyti~ N（uy+ρJξνti，σy）和Jti~ B（λ）。在Numatsi和Rengifo（2010年）中，作者通过遵循与Eraker等人（2003年）相同分布的先验信息施加了很少的信息~ N（0，1），κ~ N（0，1），θ~ N（0，1），ρ~ U(-1, 1), σν~ IG（2.5,0.1），uy~ N（01100），ρJ~ N（0，1），σy~ IG（5,20），uν~ G（20,10）和λ~ β(2, 40).按照我们的方法，我们只做了以下更改：我们放宽了关于伯努利过程的假设，以考虑§3中提出的更一般的过程。改变关于λ分布的假设也很有诱惑力，但β分布非常灵活，它可以处理关于这些参数的各种假设。例如，β（1，1）给出了一个统一的变量，如果我们想要一个无信息的分布，可以使用它。在每次采样时存储采样参数和状态变量向量非常重要。迭代次数内每个参数的平均值给出了参数估计值。使用显示链foreach参数历史的轨迹图检查收敛性。

ACF图用于分析绘图的相关结构。最后，可以通过均方误差和正常QQ图来评估测试的质量。标准化误差定义如下：Yt+T- Yt- uT-ξyt+tJyt+tpVt+Tt=εyt+t、 5.4计算半偏差一旦我们能够根据每日数据估计模型的参数，我们仍然需要计算一个年化半偏差。第一步是模拟τ水平上的收益率，如果我们有兴趣计算年化收益率，则τ通常为1年。这里，B（·）、G（·、·）、IG（·、·）、U（·、·）、β（·、·）分别表示伯努利分布、伽马分布、逆伽马分布、均匀分布和β分布。半偏差。我们首先模拟一个跳跃强度为λ的泊松过程Nτ。该模拟的输出包括在时间0和τ之间发生的N次跳跃，以及时间0≤ J≤ ··· ≤ jN≤ τ，这些跳跃发生的时间。每间隔[ji]-1，ji]，我们根据Heston模型的规则离散化模式模拟收益和波动过程的扩散部分，该过程将在本节后面进行解释。这给了我们初步的Y值-吉安五世-ji对于退货和差异处理，请在Atime ji。接下来，我们模拟这两个过程中跳跃的大小。这些跳跃分别由ξyjian和ξνji给出。两个过程在时间ji的最终值可以计算为：Yji=Y-ji+ξyji（5.8）Vji=V-ji+ξνji（5.9）如果jN6=τ，那么区间[jN，τ]中不会发生跳跃，我们可以应用Heston模型的Euler离散模式来获得Yτ和Vτ的值。下面，我们将解释如何为Hestonmodel实现Euler离散化模式。

将两个方程（5.1）离散化，忽略跳跃部分+以及Vt和Vt之间的差异+tand vt是由yt简单给出的+T- Yt=ut+pVtW（1）t,Vt+T- Vt=κ（θ）- （Vt）t+σνpVtρW（1）t+p1- ρW（2）t.（5.10）如前所述，我们通常使用t=1天，将两个过程离散化。模拟布朗增量W（1）tandW（2）t，我们使用的事实是，每一个增量都独立于其他增量。每个这样的增量都是正态分布，均值为0，方差为0t、 然而，使用（5.10）进行模拟可能会产生负波动。这是一个众所周知的影响，在文献中已多次提到。继Lordet al.（2006）之后，我们稍微修改了（5.10），以防止模拟产生负面值：（5.11）Vt+T- Vt=κ（θ）- V+t）t+σνqV+tρW（1）t+p1- ρW（2）t,式中，V+是0和Vt之间的最大值。如果不同跳跃之间的时间较小，则离散化步骤t、 那么它只是意味着我们在这个时间间隔内发生了几次跳跃。在这种情况下，我们只需要模拟适当的跳跃次数，在这段时间内，收益率和波动率都是如此。最后，周期[0，τ]上的返回值就是Yτ。通过重复这个过程M次，我们得到了[0，τ]期间累计收益的M次实现，这使得可以估计其密度。在我们的测试中，我们使用了高斯核来估计它。这可以通过使用density（）函数在R中轻松实现。然后，通过对（1.1）中给出的表达式进行数值积分，可以得到半方差。为此，我们通过在R中使用integrate（）函数来使用QUADPACK库。

QUADPACK是一个著名的数值分析库，用FORTRAN 77实现，包含非常有效的一维函数数值积分方法。5.5结果我们使用10万次迭代和10万次磨合迭代运行算法。表5.1提供了参数后验均值及其计算标准误差。返回的平均值u接近参数值（100k iter.）u0.0333（0.0132）uy-0.0222（0.2055）uν0.0028（0.0007）θ0.2087（0.0147）κ0.9059（0.0433）ρ-0.0058（0.2595）ρJ0。0050（2.0007）λ0.0236（0.0293）σy1。0829（0.1379）σν0.2060（0.0204）表5.1：基于10万次迭代的估计参数。时间单位是一天，而不是一年，这意味着应该每天对参数进行解释。u、uy、uν、σy和σν的单位为%。与数据中的日平均收益率（0.0325%）相比。Vt的长期平均值，即E[Vt]=θ+（μνλ）/κ等于0.2088%。这个值与收益率的方差相差不远，它等于0.1751。跳转回报率随平均值呈正态分布-0.0222%，标准偏差0.2055%。具体地说，这意味着有68%的可能性在两个阶段之间实现跳跃式回报-23个基点和+18个基点。参数σyandσν分别为1.0829%和0.2060%。最后，跳跃的强度为0.0236。这意味着，平均每年大约有6次跳跃。与我们在数据中观察到的跳跃次数相比，这有点低，因为我们更希望强度在0.05左右。然而，在计算这种经验强度时，考虑到与平均值的偏差超过2.57的回报差异可被视为跳跃。必须谨慎一点，因为这种经验强度对用作定义跳跃阈值的标准偏差的数量非常敏感。

关于实施的更多细节可以在附录C中找到。在第二步中，我们根据该过程计算了年度半偏差。我们遵循§5.4中解释的方法，首先计算模拟收益，然后计算半偏差。我们的测试表明，1000次模拟有助于准确估计密度，并由此得出半偏差。注意，这个半偏差是基于整个历史数据的。由于以下两个原因，假设波动率不变，我们不可能进行与之前相同的滚动分析。第一，参数的估计非常耗时。用IntelR生成整个周期的参数大约需要7个小时CoreTMi5-3470 CPU@3.20 GHz。假设我们必须根据同一时期的1年历史进行滚动分析，那么我们必须进行1000次以上的分析。这并非不可能实现，但通常需要并行计算技术。没有进行这种分析的第二个原因是，我们必须在滚动分析中考虑的每个阶段检查流程的收敛性，这是一项很难完全自动完成的任务。值得注意的是，可以使用显示每个参数链历史的跟踪图来检查收敛性，使用ACF图来分析绘图的相关结构，并且可以通过均方误差和正态QQ图来评估图的质量。

所以这两个原因阻止了我们在-20-10 0 10 20 30 40收益率（单位%）0.000.010.020.030.040.050.060.07密度模拟收益图5.1：此图显示了基于1000次模拟的收益直方图。考虑具有随机波动性、收益率和波动率跳跃的模型。然而，我们根据2008年和2011年两个最糟糕时期的1年数据进行了一些分析。表5.2总结了结果，并比较了我们在本文中探索的不同模型的半偏差。我们可以观察到，用随机波动率模型得到的半偏差SD4似乎更符合半偏差SD2（基于跳跃扩散模型）和SD3（基于纯扩散模型），而不是SD1（时间平方根规则）。这并不令人惊讶，因为SD4可能被解释为SD2的一个替代品，这解释了为什么这两种分析方法不应该如此不同。年份SD1 SD2 SD3 SD42008-2012 4.70 1.21 1.39 1.742008 8.71 31.59 31.72 32.162011 3.69 1.31 1.34 2.90表5.2：不同时期的年化半偏差（单位%）。SD1基于时间的平方根规则，SD2基于具有恒定波动性的跳跃扩散模型，SD3基于具有恒定波动性的纯扩散模型，SD4基于具有随机波动性、收益和波动性跳跃的跳跃扩散模型。6结论和未来的研究地点在本文中，我们提出了跳跃扩散过程的球环面近似的推广，并展示了如何基于几种跳跃扩散模型计算半偏差。我们特别考虑了一个基于巴克莱美国高收益率指数的非常详尽的例子，该指数的回报率呈现负偏态和厚尾。

通常的做法是对泊松过程强度参数施加一个界，以确保跳跃过程只捕捉到较大的偶然事件。然而，我们的分析清楚地表明，在这种情况下，风险可能被低估。在不限制强度参数的情况下，中间偏差可能比通过任意限制该参数获得的偏差大50%以上，以便仅捕获大的跳跃。我们至少有两个理由认为我们的方法应该更受欢迎。第一，我们不对强度参数施加任何任意约束。通过我们的方法，确定该参数是为了获得数据的最佳拟合。跳跃可能在某些时期经常发生，在其他时期可能非常罕见（每年很少发生）。第二个原因是，对强度参数施加任意限制可能会导致低估风险。尽可能准确地捕捉风险是风险管理中最重要的任务之一。这就是为什么基于Ball和Torous工作的“传统”方法在我们的环境中似乎不合适的原因。此外，我们的结论之一是，使用时间平方根规则可能会低估高波动期的风险，或者低估低压力期的风险。本文还对Eraker、Johannes和Polson的工作进行了推广，他们考虑了一个具有随机波动性、收益率和不可逆性跳跃的跳跃扩散模型。在波动率恒定的情况下，我们通过将跳跃贝努利过程替换为一个更一般的过程，扩展了他们的方法，该过程能够在强度参数较高时模拟每天的几个事件。参数估计方法基于MCMC方法。

特别是，当条件分布已知时，我们使用了吉布斯采样器，当情况并非如此时，我们使用了Metropolis算法的变体。我们还提供了一个程序，一旦估计了模型的参数，就可以计算年化半偏差。当我们考虑了收益率和波动率跳跃的随机波动性模型时，我们不可能达到我们想要的程度。如果能够像我们在波动率保持不变时所做的那样进行滚动分析，那将是非常有益的。然而，从计算的角度来看，这样的分析会耗费太多时间，而且在滚动分析的每个阶段，自动检查流程的一致性会很复杂。当我们试图从经验上确定日半偏差与其年化版本之间的关系时，这显然是一个局限。我们真的认为，使用半偏差（或半方差）可以通过提供有用且强大的风险度量对金融业有利。这个风险度量很久以前就被提出了，但是它很难计算，而且它的伸缩性也不好，这使得它很难实现。然而，我们在本文中已经表明，即使我们考虑非常复杂的随机过程，仍然有可能计算它，并且在一些温和的假设下，可以导出一些有用的时间标度公式。最后，我们希望本文将有助于其在资产管理行业的民主化使用。免责声明：本文中表达的观点由作者全权负责，不一定反映Pictet Asset Management SA的观点。

任何剩余的错误或不足均由作者负责。定理2.1的证明作为第一步，我们注意到以下两个恒等式：（A.1）Za-∞tφ（t）dt=-φ（a）andZa-∞tφ（t）dt=-aφ（a）+Φ（a）。通过观察dφdt=-tφ（t）与极限→-∞φ（t）=0。那么，扎伊-∞tφ（t）dt=-Za-∞滴滴涕φ（t）dt=φ（a）。为了获得第二个恒等式，我们可以如下进行：我们注意到，对于标准化的正常密度φ，Rtφ（t）dt=-φ（t）。通过部分整合，我们得到了-∞tφ（t）dt=Za-∞t（tφ（t））dt=-tφ（t）A.-∞+Za-∞φ（t）dt。最后，我们可以指出→-∞tφ（t）=0。这两个恒等式有助于证明以下结果。提议A.1。让我们~ N（u，σ），密度函数fw（w）=σ√2πexp-W- uσ!,然后让∧D=D-uσ; 然后，fw的半方差由（A.2）ZD给出-∞fW（w）（D）- w） dw=（D）- u）Φ（D）+σ（D）- u）f（~D）+σΦ（~D）证明。首先使用变量x=w的变化-根据（A.1）中给出的等式，我们得到了以下简单的发展。ZD-∞fW（w）（D）- w） dw=ZD-∞f（x）（D）- （σx+u）dx=ZD-∞（D）- u）f（x）dx+ZD-∞2σ(u- D） xf（x）dx+Z~D-∞σxf（x）dx=（D）- u）Φ（D）+2σ（D）- u）f（~D）+σ-~Df（~D）+Φ（~D）=（D）- u）Φ（D）+σ（D）- u）f（~D）+∑Φ（~D）考虑到日志返回遵循（1.7）中给出的密度，我们可以在（1.7）上应用投影A.1，以获得定理2.1的公式。B使用跳差过程对债券基准进行建模跳差过程指数化是对股票价格建模的标准做法。我们在这里解释了为什么可以将该模型用于债券基准指数，因为这一点乍一看似乎很难实现。事实上，股票和债券的特殊性是完全不同的。特别是，债券的到期日很明确，而股票则不然。此外，债券的净价格在到期时会收敛到100。

这就是众所周知的键拉效应。然而，在考虑债券基准时，大多数支持在这种情况下不使用权益模型的批评变得无关紧要。事实上，债券基准有一些与债券截然不同的特征。例如，它们通常按月重新平衡，其到期日（几乎）保持不变，而债券的到期日则随时间线性下降。到期时间最短（例如，少于1年）的债券将自动从指数中删除。保持到期日（几乎）不变的一个直接后果是，投资组合层面的影响不再相关。债券和股票之间的区别在于股票支付股息。当一张优惠券被支付时，它的脏价会下降到相当于两张优惠券的金额。然而，没有必要为债券基准的息票支付建模，因为它们遵循的规则意味着息票会自动再投资。具体来说，这意味着支付息票不会影响基准指数。此外，在一个差异模型中，如果我们忽略模型的随机部分，股票价格会呈指数增长。这是一个直接的结果，即收益不是相加的，而是必须复合的。这也适用于债券基准指数，该指数的表现也是复合的。最后，由于股票市场可能会经历崩盘，债券市场也可能会受到极端严重和突然的损失的影响，因此有理由使用收益率和波动率的跳跃。所有这些评论都表明，使用跳差过程来模拟债券基准指数似乎是合适的，尽管推动债券的动力不同于推动股票的动力。

但在投资组合层面上，当我们考虑一个具有固定到期日的债券基准时，没有根本理由不将指数层面的动态近似为股票价格。我们的MCMC算法是用R语言实现的，并依赖Numatsian和Rengifo（2010）提供的代码。我们修改了它们的实现，以适应本文介绍的模型。我们算法的起始值如下所示。波动性向量是使用三个月的滚动窗口创建的。我们认为绝对收益（收益的绝对值）高于平均值2.57个标准差（在考虑异常值后）。对于标准化正态分布，2.57对应于它的0.995分位数，这意味着我们应该预期大约1%的绝对收益大于该阈值。事实上，在我们的数据中，超过14%的数据超过了这一阈值，证实了回报率存在跳跃。一旦确定了这些“事故”，我们仍然需要确定跳转返回大小、跳转波动性大小和发生的跳转次数。事实上，根据我们的方法，在一个特定的日期内可能会发生不止一次的跳跃。假设跳跃大小远远大于在没有“事故”的日子里观察到的回报，我们认为跳跃大小对应于观察到的每日回报。例如，如果我们已经确定了一个跳跃，并且在该日期观察到的回报率为-67个基点，那么我们认为跳跃的大小是相同的。我们也做出了类似的假设。描述巴克莱债券指数管理的技术文件可在https://indices.barcap.com/index.dxml.for波动性。

因此，波动率跳变只是对应于某一天的实际估计值与前一天之间波动率的差异。跳跃收益总和的过程是具有正态分布跳跃的泊松复合变量。与波动率跳跃总和之后的过程相同，只是跳跃是指数分布的。假设收益的跳跃可以是负的，也可以是正的，但波动性（总是正的）则不一样，考虑波动性来确定跳跃的数量要容易得多。这就是为什么我们考虑波动率跳跃的复合泊松过程X，其中泊松过程导致P（λ），跳跃大小是参数ν的指数变量ξν。很容易证明过程x的分布函数F（x）是由F（x）=Pr（x）简单给出的≤ 十）=+∞Xk=0pkPrkXi=1ξν！，其中pk=e-λkk！。如果没有跳跃，那么X=0，概率p=e-λ. 直接的结果是密度不存在。为了克服这个问题，我们建议根据至少有跳跃的天数的比例来估计λ。在某一天没有发生事故的概率是e-λ≈ 1.- λ、 当λ很小时。根据这个公式，我们可以简单地通过至少一次跳跃的天数与该期间的总天数之比来估计λ。一旦对这些参数进行了估计，我们仍然需要确定检测到事故时的跳变次数。众所周知，k iid指数变量的卷积由参数为k和λ的伽马分布给出。因此，基于对跳跃大小的观察，我们可以通过确定哪个KG的密度最高来确定跳跃的数量。在确定了状态空间变量之后，我们现在可以解决估计模型参数的问题。

我们实现了吉布斯采样器或Metropolis Hasting，这取决于我们是否知道参数分布的闭合形式。为了将我们的结果与Eraker等人（2003年）和Numatsi andRengifo（2010年）的结果进行比较，我们使用了相同的先验。请注意，很少有信息是通过优先级强加的。具体如下：~ N（0，1），κ~ N（0，1），κθ~ N（0，1），ρ~ U(-1, 1), σν~IG（2.5,0.1），uy~ N（01100），ρJ~ N（0，1），σy~ IG（5,20），uν~ G（20,10）和λ~ β(2, 40).我们使用其他研究提供的参数的另一个原因是为了确保已独立于其后验分布来确定优先级。在Eraker等人（2003年）的研究中，还发现，当应用于标准普尔500指数和纳斯达克100指数的回报率时，这些先决条件可能会导致非常不同的后验条件。此外，我们工作的主要目标不是挑战参数的估计，尤其是关于周期的假设，而是表明即使考虑复杂的随机过程，也可以计算半偏差。ReferencesArdia，D.，Boudt，K.，Carl，P.，Mullen，K.M.，和Peterson，B.G.（2011a）。差分进化与DEoptim——非凸投资组合优化的应用。R期刊，3（1）：27-34。Ardia，D.，David，J.，Arango，O.，和G\'omez，N.D.G.（2011b）。使用差异进化进行跳跃差异校准。威尔莫特，2011（55）：76-79。Ardia，D.和Mullen，K.M.（2013）。DEoptim：R中的差异进化优化，版本2。2-2. http://CRAN.R-project.org/package=DEoptim.Bakshi曹，C.和陈，Z.（1997）。替代期权定价模型的实证表现。《金融杂志》，52:2003-2049。Ball，C.A.和Torus，W.N.（1983）。普通股回报的简化跳跃过程。《金融与定量分析杂志》，18:53-65。Ball，C.A.和Torus，W.N.（1985）。

普通股价格的上涨及其对股票期权定价的影响。《金融杂志》，40（1）：155-173。贝茨，D.（1996）。跳跃和随机波动：汇率过程隐含的indeutschemark期权。《金融研究回顾》，9:69-107。贝茨，D.（2000年）。标普500指数期货期权经历87次崩盘恐慌。计量经济学杂志，94:181–238。巴瓦，V.S.（1975年）。排序不确定前景的最佳规则。金融经济学杂志，2（1）：95-121。贝克斯，S.（1981）。关于股票收益跳跃扩散模型参数估计的注记。《金融与定量分析杂志》，16。布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，第637-654页。Chernov，M.，Gallant，A.R.，Ghysels，E.，和Tauchen，G.（1999）。一类新的带跳跃的随机波动率模型：理论与估计。SSRN eLibrary。Cont，R.和Tankov，P.（2004年）。具有跳跃过程的金融建模。查普曼与霍尔酒店。Cox，J.C.和Ross，S.A.（1976年）。替代随机过程的期权估值。《金融经济学杂志》，3:145–166。Dan-Zigson，2006年。关于风险的时间标度和时间规则的平方根。《银行与金融杂志》，30（10）：2701-2713。杜菲，D.，潘，J.和辛格尔顿，K.J.（2000年）。转换分析和资产定价以实现跳跃式的差异。《计量经济学》，第1343-1376页。Eraker，B.，Johannes，M.，和Polson，N.（2003）。波动性和回报率跳跃的影响。《金融杂志》，58（3）：1269-1300。菲什伯恩，P.C.（1977年）。平均风险分析，包括与低于目标回报相关的风险。《美国经济评论》，67（2）：116-126。赫斯顿，S.（1993）。具有随机波动性的期权的闭式解，适用于债券和货币期权。《金融研究评论》，6:1993。Honore，P.（1998年）。

估计跳跃扩散模型中的陷阱。Working PaperHull，J.C.和White，A.（1987年）。随机波动资产的期权定价。《金融杂志》，42:281-300。约翰·M.和波尔森·N.（2009）。《金融计量经济学手册》，第二卷，第二章，连续时间金融计量学方法。爱思唯尔科学。基弗，N.（1978）。离散参数变化：扩散过程中的有效估计。计量经济学，2:427–434。罗德·R.、科克克·R.、范·迪克·D.（2006年）。随机波动模型有偏模拟方案的比较。技术报告，鹿特丹大学，荷兰合作银行国际和罗伯科另类投资。马科维茨，H.M.（1952年）。投资组合选择。金融杂志，7（1）：77-91。马科维茨，H.M.（1959）。投资组合选择。约翰·威利和他的儿子们。R.C.默顿（1976）。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，第125-144页。马伦，K.M.，阿迪亚，D.D.，吉尔，D.L.，温多弗，D.，和克莱恩，J.（2011）。DEoptim：一个通过差异进化进行全局优化的Rpackage。统计软件杂志，40（6）。Numatsi，A.和Rengifo，E.（2010）。收益率和波动率跳跃的随机波动率模型：一个R包实现。H.Vinod主编，《利用R.Springer Science+商业媒体进行社会科学研究的进展》。潘，J.（2002）。期权隐含的跳跃风险溢价：来自一项综合时间序列研究的证据。《金融经济学杂志》，第3-50页。普莱斯，K.，斯托恩，R.M.，和兰皮宁，J.A.（2005）。差异进化——一种实用的全局优化方法。自然计算系列。斯普林格·维拉格。R开发核心团队（2008年）。R：用于统计计算的语言和环境。R统计计算基金会，奥地利维也纳。http://www.R-project.org.Roy，A.D.（1952年）。

安全第一和资产持有。《计量经济学》，20（3）：431-449。斯科特·L.（1997）。具有随机波动率和利率的跳跃扩散模型中的股票期权定价：傅里叶反演方法的应用。数学金融，7:413–426。斯科特，L.O.（1987）。方差随机变化时的期权定价：理论、估计和应用。《金融与定量分析杂志》，22:419–438。夏普，W.F.（1966）。共同基金业绩。商业杂志，39（1）：119-138。第二部分。Sortino，F.A.和Van Der Meer，R.（1991年）。下行风险。投资组合管理杂志，17（4）：27-32。斯托恩，R.和普莱斯，K.（1997）。差分进化——一种简单有效的启发式算法，用于在连续空间上进行全局优化。《全球优化杂志》，11（4）：341-359。斯托恩，R.M.连续函数优化的差分进化。http://www.icsi.berkeley.edu/~storn/代码。html。