感谢杜皮尔提出如此有趣的问题和所有开明的讨论。没有他，这项工作是不可能的。我们感谢J.-P.Fouque和S.Corlay的富有洞察力的评论。我们还要感谢匿名推荐人仔细阅读了这篇论文。他们的评论极大地证明了这篇论文。这项研究的一部分是在Y.F.Saporito得到Fulbrightgrant 15101796和巴西教育部CAPES基金会（位于巴西巴西利亚，DF 70.040-020）的支持时进行的。这项研究的一部分是在B.杜皮尔的监督下于2011年夏季在布鲁姆伯格实习期间进行的。附录A具有函数系数的SDE的拓扑支持正如我们在备注2.6中所述，Stroock-Varadhan支持定理保证，在系数的温和假设下，扩散的拓扑支持将是连续空间。然而，据我们所知，这个定理不适用于路径相关系数的情况。在接下来的内容中，我们将讨论关于函数σ的一个简单假设，该假设保证过程x的支持包含所有连续路径。首先，请注意，我们可以通过考虑折扣价格e来消除SDE（2.15）的漂移-rtxt。在一般SDE（2.3）的情况下，我们可以通过应用Girsanov定理（例如，假设（u（Xt）/σ（Xt））t来消除漂移u∈[0，T]满足了诺维科夫的条件）。然后让我们考虑无位移SDEdxt=σ（Xt）dwt。关于σ的简单假设，它保证了x的拓扑支撑包含[0，T]中从xis开始的所有连续函数，σ从上到下都有界，即0<a≤ σ（Yt）≤ A<+∞, 尽管如此∈ Λ.

我们希望证明，对于任意δ>0，P（kXT- ZTk∞< δ ) > 0.通过密度参数，对于连续ΦT=（φs）s，证明上述不等式对于ZTof或mzt=x+Ztφsds是足够的∈[0，T]。注意下一步- ZTk∞= 监督∈[0，T]Ztσ（Xs）dws-Ztφsds= 监督∈[0，T]Ztσ（Xs）dws-φsσ（Xs）ds.与已发布的版本相比：增加了必要的假设，从上面对波动性进行了限定，并更正了本附录末尾的论点。因为（φt/σ（Xt））t∈[0，T]是有界的（Φ是连续的，σ从下面有界），我们可以考虑等价的概率测度Pφ：dPφdPFt=expZtφsσ（Xs）dws-Ztφsσ（Xs）ds.养鸡场∈[0，T]Ztσ（Xs）dws-φsσ（Xs）ds< δ!> 0<=>Pφsupt∈[0，T]Ztσ（Xs）dws-φsσ（Xs）ds< δ!> 0.此外，在Pφ下，过程wt-Rtφsσ（Xs）dsT∈[0，T]是布朗运动。因此，我们已经证明了p（kXT- ZTk∞< δ ) > 0 <=> Psupt∈[0，T]Ztσ（Xs）dws< δ!> 0为了展示上述等价物的右侧，我们想应用Dambis-Dubins-Scharwz定理，为此，我们将过程x扩展到时域[0+∞) 如下所示：xt=xt+a（wt- 对于t>t，注意（xt）t∈[0,+∞)是一个连续的局部鞅，其hxit几乎肯定是严格递增的，且在t中与hxi是连续的∞= +∞. 因此，根据DambisDubins-Scharwz定理，存在一个布朗运动（bt）t∈[0,+∞)就这样- x=Rtσ（Xs）dws=bhxit。因此，自hxiT以来≤ 好的，谢谢∈[0，T]Ztσ（Xs）dws= 监督∈[0，hxiT]| bt |≤ 监督∈[0，AT]| bt |，这意味着PSUPT∈[0，T]Ztσ（Xs）dws< δ!≥ Psupt∈[0，AT]|bt |<δ！>0，根据需要。B随机积分和二次变量在函数演算中，我们想考虑的一个重要函数是二次变量。这项任务的第一个困难是，这个函数对于d∧度量不能是连续的。

事实上，对于任何ε>0的情况，考虑一个过程（xt）t≥从零开始，这是条带上的布朗运动[-ε、 ε]并在其触及任一屏障时反射-ε或ε。这一过程显然让kXtk感到满意∞≤ ε和hxit=t，对于任何t≥ 0，表示路径Xt一致地接近于0，具有任意二次变化。此外，如果我们直观地将f（Yt）定义为路径Yt的二次变化，我们将面临关于∧中函数的存在以及用于计算此类二次变化的分区序列的选择的复杂问题。例如，存在一系列分区，这些分区为布朗运动生成有限的二次变量。然而，有几种方法可以考虑二次变异函数。这里我们将考虑Bichteler-Karandikar路径积分的框架，例如参见[1]或[19]，其中可以考虑泛函上较弱的连续性假设，并将泛函公式扩展到这种情况。这是在[24]中完成的，我们将读者转发给读者，以了解下面的格式定义和结果。考虑上述参考文献C1,2中定义的光滑泛函空间。通过削弱∧连续性假设，该空间扩展了C1,2。现在，只需要知道C1,2 C1，2，它的泛函公式，定理2.2，适用于C1，2中的泛函。现在，我们描述Bichteler-Karandikar方法来定义路径随机积分。他们证明了存在一个算子I∧T×∧T-→ ∧Tsuchthat对于任何过滤概率空间(Ohm,F、 Ft，P），任何半鞅x和任何适应的，cádlág过程z，都在这个概率空间中，满足（ZT（ω），XT（ω））（t）=ZTZ-dxs（ω） P-a.s.现在，fix a函数h满足[24]中规定的某些规律性要求。然后，存在一个函数h:∧-→ 就这样。Ih∈ C1,2；2.

Ih（Xt）=Zth（Xs-)dxs，对于任意连续半鞅x；3.此外，tIh=0，xIh（Yt）=h（Yt）-) 和xxIh=0。这里，路径Yt-是byYt给的-（u）=yu，如果u<t，yt-= 利木→T-yu，如果u=t（B.1）。此外，基于众所周知的半鞅恒等式，hxit=xt- 2Ztxs-由于随机积分的路径定义已设置，路径二次变化由恒等式qv（Yt）=Yt定义- 2Il（Yt），（B.2）其中函数l:∧-→ R由l（Yt）=Yt给出。由此，我们可以很容易地看出。QV∈ C1,2；2.对于任意连续半鞅x，QV（Xt）=hxit；3.此外，tQV=0，xQV（Yt）=2（Yt- yt-) 和xxQV=2。然后我们可以计算随机积分和二次变分泛函的Lie括号：LIh（Yt）=-th（Yt），如果yt=0，@，如果yt6=0，LQV（Yt）=0，如果yt=0，@，如果yt6=0，其中yt=yt- yt-是Y在时间t的跳跃。我们感兴趣的另一个函数是多来安-戴德指数的路径版本：E（Yt）=expyt-QV（Yt）∏0<s≤t（1+ys）exp-Y+(Y）,（B.3）见[27]。如果x是一个连续半鞅，我们可以很容易地看到E（Xt）=expxt-hxit. 要计算E的函数导数，请注意E（Yt）=（1+yt）经验-yt+(yt）经验yt-QV（Yt）∏0<s<t（1+ys）exp-Y+(Y）.因此，很容易得出结论1。tE（Yt）=0；2.xE（Yt）=1+Yt（Yt）和xxE（Yt）=0。正如我们将看到的，我们想要计算f（Yt）=E（Ih（Y）t的函数导数，其中Ih（Y）是路径（Ih（Ys））s∈[0，t]。因此，链式规则允许我们写作tf（Yt）=0，xf（Yt）=1+Yt（Yt）h（Yt）-) 和xxf（Yt）=0。定理4.9的局部论元通过对f和σ的假设，方程（4.8）中给出的过程m是局部鞅。

表示通过（vt）t定义m的被积函数∈[0，T]并考虑停止时间τn=inf的顺序T∈ [0，T]；Zt（1+(xf（Xs）+vs）dhxit≥ N,那么，τn→ T P-a.s，作为n→ +∞, 和（xt）∧τn）t∈[0，T]，（mt∧τn）t∈[0，T]，（f（Xt∧τn）t∈[0，T]和zt∧τnxf（Xs）dx是真鞅，对于每n∈ N.此外，f∈ Dn，其中Dn=Dx·∧τn.通过定理4.9证明中所示的参数，我们假设∈ 并且x和m是真鞅，我们得出结论，对于每一个∈ Nxf（Xt）∧τn）zt∧τn=xf（X）+mt∧τn.那么(xf（Xt）zt）t∈[0，T]显然是一个局部鞅和（τn）n∈这是一个局部序列。现在，关于t积分，我们得到了ztxf（Xt）∧τn）zt∧τndt=xf（X）T+ZTmt∧τndt。因此，按照定理4.9证明中执行的相同步骤，我们发现xf（X）=Ef（XT）∧τn）TZT∧τnztσ（Xt）dwt.现在注意f（XT）∧τn）=E[g（XT）|FxT∧τn]，这意味着xf（X）=Eg（XT）TZT∧τnztσ（Xt）dwt.利用Cauchy-Schwarz不等式，它是等距的，并且使用了g（XT）∈ 五十、 我们发现xf（X）- Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt≤ Eg（XT）TZTT∧τnztσ（Xt）dwt≤ 千克（XT）吉隆坡EZTT∧τnztσ（Xt）dt1/2n→+∞-→ 0，产生结果。参考文献[1]K.比切特勒。随机积分与半鞅理论。安。Probab。，9(1):49–89, 1981.[2] R.Cont和D.-A.Fournié。路径空间上非能动泛函变量公式的变化。J.Funct。肛门。，259(4):1043–1072,2010.[3] R.Cont和D.-A.Fournié。It公式的函数扩展。C.R.数学。阿卡德。Sci。巴黎，348（1）：57-612010。[4] R.Cont和D.-A.Fournié。函数演算和鞅的随机积分表示。安。Probab。，41(1):109–133, 2013.[5] B.杜皮尔。微笑定价。《风险》杂志，1994年7:18-20。[6] B.杜皮尔。函数演算。2009.可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=1435551.[7] I.Ekren、C.Keller、N.Touzi和J.Zhang。

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