函数伊藤演算、路径依赖与希腊语计算

2022-5-5 04:54:22

函数演算、路径依赖与GreeksSamy Jazaerli的计算*Yuri F.Saporito+2018年6月20日AbstractDupire的函数It^o演算提供了经典Malliavin演算的另一种方法，用于计算路径相关衍生产品价格的敏感性，也称为梯度。在本文中，我们在泛函It框架内介绍了泛函的路径依赖性度量。也就是说，我们考虑空间和时间泛函导数的李括号，我们用它来根据路径依赖程度对泛函进行分类。然后，我们重新讨论了使用分部积分技术对路径相关导数进行有效数值计算的问题。我们特别关注具有零Lie括号的路径依赖泛函，在我们的分类中称为局部弱路径依赖泛函。因此，我们推导了希腊人的加权期望公式。在完全路径依赖泛函的更一般情况下，我们证明，通过泛函演算，我们能够分析李括号对计算的影响。此外，我们还可以考虑更一般的路径依赖性动态。这些都不是通过Malliavin演算实现的。1简介杜皮尔的开创性论文[6]中介绍的函数It^o演算理论，将It^o的随机演算扩展到了给定系统当前历史的函数*法国帕莱索埃科尔理工学院数学材料贴花中心（CMAP）。jazaerli@polytechnique.edu+埃斯科拉·德·马特马蒂卡·阿皮卡达（EMAp）、法尔加斯基金会（FGV）、巴西里约热内卢、尤里。saporito@fgv.br.process，从而为研究路径依赖提供了一个很好的工具。

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能者818

2022-5-5 04:54:27

扩展这一理论及其应用的进一步工作可以在部分列表[4,3,2,7,8,9,25]中找到。我们直观地理解了一个函数的路径依赖性，它是当潜在路径的历史发生变化时，函数变化的度量。在这里，我们提出了一个由空间和时间泛函导数的李括号给出的路径依赖性度量。大致上，这是路径依赖性的瞬时度量，因为我们只考虑当前时间的路径扰动。然后我们根据这个度量对泛函进行分类。此外，我们还分析了我们所说的局部弱路径依赖泛函与路径依赖波动率模型中希腊人的蒙特卡罗计算之间的关系，参见[13]。Malliavin演算被成功地应用于推导这些蒙特卡罗程序，以计算局部波动模型中的路径依赖导数，例如[13,12,22,15,14,23]。然而，这里提出的理论允许我们将这些蒙特卡罗方法扩展到更广泛的路径依赖导数，前提是路径依赖性不太严重。这将在第3节中予以明确。我们还将看到，函数It可用于推导[13]中所示的相同加权期望公式。此外，与Malliavin演算方法不同，我们还能够为更严重路径依赖的泛函的增量提供一个公式，这里称为强路径依赖。在目前的形式中，这个公式加强了对不同路径依赖情况下权重的理解，尽管它在计算上不如对局部弱路径依赖泛函导出的公式那么吸引人。然而，它显示了谎言括号对衍生合同的增量的影响。

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2022-5-5 04:54:30

此外，函数演算允许我们考虑更一般的路径依赖波动率模型，例如参见[10]、[16]和[17]。我们的主要贡献是引入了一种路径依赖度量，并将这种度量应用于计算路径依赖导数。本文的组织结构如下。在第2节中，我们提供了一些关于函数It演算的背景知识。第3节介绍了路径依赖性的度量，并根据该度量对泛函进行了分类。最后，在第4节中，我们给出了这种路径依赖度量在Greeksin计算中的应用。本文讨论了两个与亚式期权和二次变差合同有关的数值例子。2功能性It微积分入门在本节中，我们将介绍第3节和第4节中必要的功能性It微积分的一些定义和结果。[0，t]中R值cádlág路径的空间将用∧t表示。我们还可以表示时间范围t>0。然后将路径空间定义为∧=[t∈[0，T]λT.关于符号的一个非常重要的注释：如[6]中所述，我们将用大写字母表示∧的元素，并且通常其域的最后时间将被下标，例如Y∈ λt ∧将用Yt表示。注意，对于任何Y∈ ∧，只有一个是这样的∈ ∧t.特定时间Yt的值将用小写字母表示：ys=Yt（s），表示任何s≤ t、此外，如果路径Ytix固定，则路径Ys，For≤ t、将表示路径对间隔[0，s]的限制。以下重要路径操作始终在∧中定义。对于Yt∈ ∧与t≤ s≤ T，YTS到时间s的流量扩展≥ t定义为asYt，s-t（u）=yu，如果0≤ U≤ t、是的，如果不是的话≤ U≤ s、参见图1。

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2022-5-5 04:54:33

对于h∈ R、如图2所示，颠簸路径Yht由Yht（u）定义=yu，如果0≤ u<t，yt+h，如果u=t.b b图1：路径的平坦延伸。BBB图2：颠簸的道路。对于任何Yt，Zs∈ ∧，在不丧失普遍性的情况下，假设≥ t、我们用∧，d∧（Yt，Zs）=kYt，s定义了以下度量-T- Zsk∞+ |s-t |，wherekYtk∞= 苏普∈[0，t]|于|。泛函是任意函数f:∧-→ 如果它关于度量d∧是连续的，则称之为∧-连续的。此外，对于函数f和路径ytt<t，如果存在以下限制，则f在yti的时间函数导数定义为tf（Yt）=limδt→0+f（Yt，δt）- f（Yt）δt.（2.1）定义为xf（Yt）=limh→0f（Yht）- f（Yt）h，（2.2）当这个极限存在时，对于这个导数，允许t=t。另外，我们说函数f是保有界的，如果对于每个紧集K R、存在一个常数C，使得| f（Yt）|≤ C、对于每一个pathyt（[0，t]）={y∈ RYt（s）=对于某些s为y∈ [0，t]} 最后，一个函数f:∧-→ 如果R是∧连续的，保有界的，并且它有∧连续的，保有界的导数，则R称为C1,2tf，xf和xxf。有了明显的定义，我们还使用了符号Ci，j，其中C=C0,0是∧连续函数的空间。在继续之前，请在路径和泛函的上下文中对条件期望进行一些评论。到目前为止，我们还没有考虑任何概率框架。然后，我们在论文中定义了一个概率空间(Ohm,F，P）。弗罗尼≤ [0，t]中的t，表示为∧s，t[s，t]上R值cádlág路的空间。

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2022-5-5 04:54:38

现在确定操作员（· ·) : λs，t×λt，t-→ λs，T，路径的串联，通过（Y） Z）（u）=yu，如果是≤ u<t，zu- zt+yt，如果t≤ U≤ T、它是Y和Z的混合物。给定泛函u和σ，我们考虑由随机微分方程（SDE）dxs=u（Xs）ds+σ（Xs）dws（2.3）和≥ t和Xt=Yt。过程（ws）是∈[0，T]表示一个标准的布朗运动(Ohm,F，P），我们假设SDE（2.3）存在唯一的强解。这种独特的解决方案将用xyts表示，从t到t的路径解决方案将用XYtt表示。例如，我们将读者转发到[28]以获取关于具有函数系数的SDE的结果。备注2.1（强解决方案）。（2.3）的独特强溶液可以通过要求u和σ在C中并满足通常（固定时间）的Lipschitz和线性生长条件来实现：|u（Yt）- u（Zt）|+|σ（Yt）-σ（Zt）|≤ KkYt- Ztk∞,（2.4）|u（Yt）|+|σ（Yt）|≤ K（1+kYtk）∞),（2.5）对于所有Yt，Zt∈ ∧，其中K>0为常数。u和σ的连续性保证了适当的可测量条件，见第2.1节。最后，我们定义了条件期望asE[g（XT）|Yt]=E[g（Yt XYtt，T）]，（2.6）适用于任何Yt∈ Λ. 这条路 XYtt，T∈ λ等于路径Yt到t，并遵循SDE（2.3）从t到t的动力学，初始路径为Yt。此外，如果我们确定由{xs；s；生成的过滤FXT≤ t} ，可以证明[g（XT）|XT（ω）]=E[g（XT）|Fxt]（ω）P-a.s.其中左侧的期望是上面讨论的期望，右侧的期望是通常的条件期望。关于条件期望，一个有趣的问题是在函数It演算框架内研究它的光滑性。这显然取决于函数g的平稳性。更复杂的依赖关系是过程x及其系数。

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2022-5-5 04:54:40

文献[25]给出了部分答案，作者推导了g上的条件，使得在布朗运动情况下条件期望算子延伸到C1,2。为了完整起见，这里给出了函数公式。可在[6]中找到该页面。定理2.2（泛函公式[6]）。设x为连续半鞅，f为连续半鞅∈ C1,2。那么，无论如何∈ [0，T]，f（Xt）=f（X）+Zttf（Xs）ds+Ztxf（Xs）dxs+Ztxxf（Xs）dhxisP-a.s.2.1零件积分公式在这一节中，我们给出了[4]中关于x、固定连续平方可积鞅（xt）t∈[0，T]及其生成的过滤（Fxt）T∈[0，T]。我们表示[0，T]中的连续平方可积鞅相对于过滤（Fxt）T的空间∈[0，T]由Mcand we Definehx提供=F∈ CEZTf（Xt）dhxit< +∞,（2.7）Lloc，x=F∈ CZTf（Xt）dhxit<+∞ P- a、美国。,（2.8）Mx=nf∈ C（f（Xt））t∈[0，T]∈ Mco。（2.9）我们可以考虑f上更一般的可测量性条件来定义spacesabove。然而，函数的∧-连续性和过程X的连续性保证了所需的可测性，以便考虑（X）关于X的随机积分，即（f（Xt））t∈[0，T]将根据（Fxt）T逐步可测量∈[0，T]。现在考虑内积sh f，giHx=EZTf（Xt）g（Xt）dhxit,Hx和Mx中分别为（2.10）hf，giMx=E[f（XT）g（XT）]，（2.11）。因此，（2.10）和（2.11）是适当的内积，有必要对这些空间的元素进行适当的识别，如下所示：~ G<=> dP，Xt（Xt）xit=dhg。因此商空间Hx=Hx/~ 和Mx=Mx/~ 都是希尔伯特空间。备注2.3。注意，既然我们考虑的是f∧-连续，那么我们显然有f∈ Lloc，x.现在定义It操作员Ix:Hx→ MxasIx（f）（t）=Ztf（Xs）dxs，这是一个等距。

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2022-5-5 04:54:43

实际上，hf，giHx=hIx（f），Ix（g）iMx。（2.12）测试函数是DX={f∈ C1,2∩ Mx；xf∈ Hx}。（2.13）下一个命题描述了算子的分部积分公式xin空间Dx。提案2.4（[4]）。对于任何f∈ dxg和dxg∈ Hx，hxf，giHx=hf，Ix（g）iMx。（2.14）证据。因为E[Ix（g）]=0，目标是计算xf，可以假设f（X）=0，而不丧失一般性。然后，通过泛函公式，定理2.2，Ix(xf）（t）=Ztxf（Xs）dxs=f（Xt）-Zttf（Xs）ds-Ztxxf（Xs）dhxis，因此∈ Mx，通过半鞅分解的唯一性，Zttf（Xs）ds+Ztxxf（Xs）dhxis=0。特里弗雷克斯(xf）（t）=f（Xt），这意味着通过部分公式进行积分：hxf，giHx=hIx(xf），Ix（g）iMx=hf，Ix（g）iMx，用于所有f∈ dxg和dxg∈ Hx，我们使用它的地方是等距（2.12）。更一般地说，如[4]所示，运算符xis closable在Mxandits伴随中是积分。2.2路径依赖型PDE假设在风险中性度量下，股票价格x的动态由路径依赖型波动率模型（例如[10]、[16]和[17]）给出，dxt=rxtdt+σ（Xt）dwt。（2.15）因此，一个期限为T且收益由函数g∧T给出的路径依赖衍生工具的无套利价格-→ R、这将被称为合同，由f（Yt）=e给出-r（T）-t） E[g（XT）| Yt]，有关该量的确切定义，请参见方程式（2.6）。这种预期是在所选择的风险中性措施下实现的。最后，我们陈述了定价偏微分方程（PDE）的路径依赖性，简称PPDE；例如参见[6,7,8,9,25]。定理2.5（定价PPDE；[6]）。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:54:46

如果由函数f表示的带合约g的路径依赖导数的价格属于C1,2，那么对于过程x的任何拓扑支持，tf（Yt）+σ（Yt）xxf（Yt）+rytxf（Yt）- rf（Yt）=0，（2.16），最终条件为f（Yt）=g（Yt）。备注2.6。在[5]的局部波动率模型（σ（Yt）=σ（t，Yt））中，在对σ的温和假设下，Stroock-Varadhan支撑定理表明，x的拓扑支撑是从x开始的连续路径空间，例如参见[26，第2章]。因此，在这些假设下，PPDE（2.16）将适用于任何连续路径。关于表（2.15）中SDE的此类结果的讨论，请参见附录A。3路径依赖本节的目标是分析运算符的交换问题桑德t、首先，考虑以下示例i（Yt）=Ztyudu。一个简单的计算表明tI（Yt）=ytandxI（Yt）=0，因此x(tI）（Yt）=16=0=t(xI）（Yt）。另一方面，很明显，当应用于形式为f（Yt）=φ（t，Yt）的泛函时，算子会通勤，其中φ是光滑的。因此，我们可以要求操作员通勤函数f，当且仅当f的形式为φ（t，yt）。下面的反例表明这不是事实。ConsiderII（Yt）=ZtZsyududs，（3.1），然后注意tII（Yt）=Ztysds和xII（Yt）=0，这显然意味着x(tII（Yt）=0=t(xII）（Yt）。定义3.1（括号）。运算符的Lie括号（或换向器）坦然X将在以下方面发挥基础性作用，定义为asL f（Yt）=[十、t] f（Yt）=xtf（Yt）- txf（Yt），在哪里xt=十、tand f是这样的，上面所有的导数都存在。我们将通过简单的谎言括号来调用运算符L。下面的引理给出了Lie括号的另一种定义。

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2022-5-5 04:54:49

为了证明这一点，我们将假设f:limh的技术假设→0f（Yt，δt）h- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt=xf（Yt，δt）- 在δt.（3.2）引理3.2中，xf（Yt）δ呈束状。假设一个函数f存在于定义3.1中，且满足条件（3.2）。然后，函数f的Lie括号由以下极限给出，lf（Yt）=limδt→0+h→0f（（Yt，δt）h）- f（（Yht）t，δt）hδt.证明。首先，请注意，既然lf存在，Txf（Yt）=limδt→0+林→0f（Yt，δt）h- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt，十、tf（Yt）=limh→0limδt→0+f（Yht）t，δt- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt现在，根据条件（3.2），可以使用摩尔关于函数交换极限的著名结果（见[18]），结果如下。这个引理对Lie括号给出了一个非常有趣的解释：它是对函数f的瞬时路径依赖性的测量，也就是说，如果在极限范围内，当前路径的凹凸和弯曲延伸的顺序没有区别，它将为零。在图3中，术语（Yt，δt）用蓝色表示，术语（Yht）t，δt用红色表示。引理3.2还表明，泛函的交换问题不仅仅是在有限维情况下缺乏光滑性。BBB图3：L.命题3.3的几何解释。假设函数f:∧-→ R由f（Xt）=φ（t，f（Xt），。。。，fk（Xt）），式中φ：R+×Rk-→ 对于任何i=1，…，R都有所有一阶和二阶偏导数，以及fiexists的Lie括号，。。。，k、那么f（Xt）=k∑i=1 φ xi（t，f（Xt），。。。，fk（Xt））L fi（Xt）证明。这很容易通过直接计算实现。

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能者818

2022-5-5 04:54:54

注意xf（Xt）=k∑i=1 φ 十一xfi（Xt），tf（Xt）= φt+k∑i=1 φ 十一tfi（Xt）。因此，我们得出结论Txf（Xt）=k∑i=1φ 十一Txfi（Xt）+ φ 十一Txfi（Xt）+k∑i=1k∑j=1φ 十一 xjxfi（Xt）tfj（Xt），十、tf（Xt）=k∑i=1φ 十一Txfi（Xt）+ φ 十一十、tfi（Xt）+k∑i=1k∑j=1 φ 十一 xjxfj（Xt）tfi（Xt）.3.1基于坦然x、我们为泛函定义了几种不同类型的路径依赖。定义3.4。A泛函f:∧-→ 如果lf=0，则称R为局部弱路径依赖如果存在φ：R+×R，则路径独立-→ R如f（Yt）=φ（t，Yt）；o如果存在0<t<·tn，则进行离散监测≤ 对于每个T∈[0，T]，φ（T）：Ri（T）-→ R使得f（Yt）=φ（t，Yt，…，yti（t），Yt），（3.3），其中i（t）是最大i∈ {1，…，n}这样≤ t、 o如果lf（Yt）=0，则t-延迟路径相关， t<t。此外，如果存在t>0使得f是延迟路径依赖的，则称函数f是延迟路径依赖的强路径依赖if [s，t] [0，T]， U∈ [s，t]，lf（Yu）6=0。备注3.5。在数学金融学中，弱路径依赖的术语被用来表示衍生产品价格，衍生产品价格是经典Black–Scholes偏微分方程的解，带有一些附加的边界条件，例如美国香草期权和障碍期权。假设这些合约的利益事件没有发生，它们的价格仍然是时间和股票当前价值的函数；例如，见[29]。我们想提醒读者，术语弱路径依赖的含义与我们的定义无关。在这里，我们想强调术语中的局部术语，它强调李括号L的瞬时方面。下一个命题分析离散监控泛函的李括号。提议3.6。

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2022-5-5 04:54:57

如果f是一个离散监控泛函，其Lie括号存在，则L f（Yt）=0，但对于t，。。。，证明。拿t∈ （ti+1）。对于足够小的δt>0，使得t+δt∈（ti，ti+1），我们必须有f（（Yt，δt）h）=φ（t+δt，Yt，…，yti（t），Yt+h）=f（（Yht）t，δt）。因此，Lf（Yt）=0.3.2合同功能对价格功能路径依赖性的影响在本节中，我们将对合同功能g:λT如何发挥作用进行一些调查性讨论-→ R影响价格f的路径依赖性，如Lie括号所示。我们的目标不是对g进行最一般的假设。这里的目标是将契约函数g的路径依赖性的度量与价格函数f的路径依赖性（用Lie括号度量）联系起来。特别地，我们将仅在g上导出一个条件，使得pricef是局部弱路径依赖的。从这一点来看，很明显，我们应该把自己限制在x的马尔可夫动力学中。然后我们可以写ef（Yt）=E[g（XT）|Yt]=E[g（Yt） Xytt，T）]，其中Xytt，是从T到T的路径，后跟从（T，yt）开始的x。因此，f（（Yht）t，δt）=E[g（（Yht）t，δt Xyt+ht+δt，t）]，f（（Yt，δt）h）=E[g（（Yt，δt）h Xyt+ht+δt，t）]。如果f满足引理3.2，我们将f（Yt）=limδt→0+h→0Eg（（Yht）t，δt Xyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Xyt+ht+δt，t）hδt.然后我们得到了以下结果，并给出了简单的证明。提案3.7。设g:T∧-→ R是一份有效的合同∈ ∧与ZT∈ λT，存在以下极限：φ（Yt，ZT）=limδT→0+h→0g（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）hδt，（3.4），满足以下有界性假设：g（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- g（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）≤ c（Yt，ZT）ψ（h，δt），（3.5）式中c:∧×∧t-→ [0, +∞) 带E[c（Yt，XT）]<+∞ limitlimδt→0+h→存在0ψ（h，δt）hδt（3.6）。

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2022-5-5 04:55:01

然后，如果f满足引理3.2，我们发现lf（Yt）=E[φ（Yt，XT）]。在我们的例子中，由于x是一个连续扩散，我们可以将极限（3.4）限制为连续ZT。如果愿意的话≡ 0，f将是局部弱路径依赖的。此外，如果等式（3.4）中的极限是一个常数（相对于Z）差于零，那么f将不会是局部弱路径依赖的。我们想指出，如果≡ 在方程（3.4）中为0，那么对于x的任何马尔可夫模型，f都是弱路径依赖的。应该清楚的是，在x的路径依赖动力学的情况下，上述参数不起作用。下面我们分析两个有趣的例子：契约泛函g及其价格泛函f在马尔可夫模型下的路径依赖性。例3.8。让我们考虑二重积分的例子，见等式（3.1）：I（Yt）=Ztysds和II（Yt）=ztzsyududds。我们已经看到LII=0。然而，正如我们将要验证的那样，f（Yt）=E[~n（II（XT））|Yt]可能不是局部弱路径依赖的，这取决于我们假设C（R）中存在有界导数。通过直接计算，我们得到了（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- II（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）=hZt+δtt（s-t） ds+h（t）-T- δt）δt=hδt（t-（t）-hδt意味着φ（II（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- ν（II）（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t））=ψ（c）hδt（t-（t）-hδt,对于II（（Yht）t，δt之间的一些c Zyt+ht+δt，t）和II（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）。因此，limδt→0+h→0~n（II（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- ν（II）（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）hδt=（t-t） ~n（二）（年至今） Zt，T），这意味着f不是局部弱路径依赖的，如果满足E[~n（II（YtXt，T））]6=0。在这种情况下，局部弱路径依赖性属性依赖于动力学x。示例3.9。现在，让我们考虑另一个例子：g（YT）=~n（QV（YT）），其中QV（YT）表示路径YT的二次变化，有关该路径二次变化函数的精确定义，请参见附录B。

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2022-5-5 04:55:04

计算qv（（Yt，δt）h很简单 Zyt+ht+δt，t）=QV（Yt-) + （yt）- yt-)+ h+QV（Zyt+ht+δt，t），QV（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）=QV（Yt-) + （yt）- yt-+ h） +QV（Zyt+ht+δt，t）。因此，QV（（Yht）t，δt Zyt+ht+δt，t）- QV（（Yt，δt）h Zyt+ht+δt，t）=2（yt- yt-)这意味着φ≡ 方程（3.4）中的0，对于在t处没有间断的路径Yt。因此，对于x.4，对于路径依赖导数4，在任何马尔可夫动力学下，f（Yt）=E[~n（QV（XT））|Yt]在连续路径上是局部弱路径依赖的。1简介在[13]中，作者提出了一种计算效率高的方法，使用Malliavin演算工具计算某些路径相关导数的Greekson。更具体地说，他们考虑了一个时间同质的局部波动模型，dxt=rxtdt+σ（xt）dwt，（4.1）和形式为g（YT）=φ（YT，…，ytn）的合约，其中0<t<·tn≤ T为固定时间和φ：Rn-→ R等于g（XT）∈L(Ohm,F，P）。在这些假设下，结果表明xf（Y）=Eφ（xt，…，xtn）ZTa（t）ztσ（xt）dwtY,式中，x是（4.1）的解，x=Y，z是切线过程（或误差变化过程），由z=1的SDEdzt=rztdt+σ（xt）ztdwt（4.2）描述，且∈ Γ =A.∈ L[0，T]；Ztia（t）dt=1， i=1，。。。，N.我们还假设σ是一致椭圆的，在一维情况下，它可以归结为σ从下方有界。如果我们定义的权重π=ZTa（t）ztσ（xt）dwt，（4.3）不取决于衍生合同g，我们可以将结果重申为：xf（Y）=E[φ（xt，…，xtn）π| Y].4.2路径依赖波动率模型我们想提醒读者，我们正在考虑更一般的路径依赖波动率模型，见第2.2节。为了算法的简单性，我们假设r=0:dxt=σ（Xt）dwt。（4.4）在这种路径依赖波动的情况下，我们将切线过程z定义为线性SDE的解：dzt=xσ（Xt）ztdwt，（4.5），其中z=1。备注4.1。

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能者818

2022-5-5 04:55:07

我们想指出，证明z实际上是x的切向过程，这意味着zt=xxt，不会在这里被追查。正如稍后将要明确的，关于我们的应用，当我们计算微分d时，过程Z取消某些项才是重要的(xf（Xt）zt）。此外，请注意，在局部波动函数的情况下，z成为x的通常切线过程，即zt=xxt。备注4.2。需要注意的是，潜在过程x的动力学显然会影响价格函数f（Yt）=E[g（XT）|Yt]的路径依赖性。特别是，在局部波动性模型下，衍生工具的价格可能具有弱路径依赖性，但在考虑路径依赖性波动性模型时，其价格具有强路径依赖性。路径依赖的这一方面非常复杂，因此，在本文给出的示例中，我们将考虑局部波动模型。尽管如此，一般结果将在泛函微积分理论允许的完全通用性下得出，即在路径依赖的波动率模型下。备注4.3。在附录B所示的几行中，我们将考虑函数z，使得z（Xt）=zt，即z（Yt）=e（Ih（Y）t），其中h（Yt）=xσ（Yt）σ（Yt），有关函数E和Ih的定义，请参见附录B。根据本附录中的论证，可以很容易地证明z满足xz（Yt）=xσ（Yt）-)σ（Yt）-)z（Yt）-), xxz（Yt）=0和tz（Yt）=0。（4.6）我们现在列出σ的假设，这些假设将用于以下内容。它们将被认为贯穿整篇论文。假设4.4（路径依赖的波动率σ）。1。σ > 0;2. σ ∈ C0,1，即σ是∧连续的，xσ存在且也是∧连续的；3.SDE（4.4）和（4.5）具有独特的强解，见备注2.1；4.

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2022-5-5 04:55:11

进程x的拓扑支持包含从x开始的[0，T]中的所有连续函数，见备注2.6。备注4.5（强解决方案）。（4.4）的唯一强解是通过要求σ满足通常的Lipschitz和线性增长条件来保证的，参见备注2.1。方程（4.5）的强解来源于xσ（Xt）（假设σ∈ C0,1）。备注4.6。我们将自己限制在一维过程中，以使阐述更清晰，尽管扩展到多维过程很简单。此外，本文中以下部分的结果将在假设C意义上的光滑性的情况下导出，但人们应该预期，它们可以推广到考虑C意义上的光滑泛函，如附录B.4.3弱路径依赖泛函4所述。3.1 Delta衍生工具合同的Delta是其价格相对于标的资产现值的敏感性。因此，如果f（Xt）表示上述衍生工具在时间t的价格，则其增量由下式给出：xf（Xt）。考虑一个路径依赖的导数，其到期日为T，合同为g:T∧-→R.该导数的价格由函数f∧给出-→ R:f（Yt）=E[g（XT）|Yt]，对于任何Yt∈ Λ. 在下面的内容中，我们将进行一些形式计算，因此我们假设f是光滑的，这是计算所必需的。根据定理2.5，我们知道tf（Yt）+σ（Yt）xxf（Yt）=0，对于任何连续路径Yt。现在，考虑等式（4.5）给出的切线过程z。其主要思想是将泛函公式定理2.2应用于xf（Xt）zt。

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2022-5-5 04:55:15

首先，请注意PPDE提供的xtoxtf（Yt）+σ（Yt）xσ（Yt）xxf（Yt）+σ（Yt）xxxf（Yt）=0（4.7）为了得出上述结论，需要以下结果：如果f（Yt）=0，对于所有连续路径Y和f∈ C1，1，那么对于所有连续路径Y，xf（Yt）=0。这一点的证明可在[11，定理2.2]中找到。亨塞德(xf（Xt）zt）=ztd(xf（Xt））+xf（Xt）dzt+d(xf（Xt））dzt=txf（Xt）+σ（Xt）xxxf（Xt）+σ（Xt）xσ（Xt）xxf（Xt）ztdt+(xσ（Xt）xf（Xt）+σ（Xt）xxf（Xt））ztdwt。此外，我们定义了局部鞅mt=Ztxσ（Xs）σ（Xs）xf（Xs）+xxf（Xs）zsdxs，（4.8），其中m=0，我们假设被积函数的某些可积条件。利用方程（4.7），我们可以推导出公式(xf（Xt）zt）=(txf（Xt）- xtf（Xt））ztdt+dmt=-lf（Xt）ztdt+dmt。（4.9）我们首先陈述关于函数f的假设：假设4.7（关于价格函数f的规律性）。f的Lie括号，lf，存在；2.f∈ C2,3；3.g（XT）∈ L(Ohm,F，P）。假设4.8。对于连续路径Yt，lf（Yt）=0。特别是如果f是局部弱路径依赖的，则f满足假设4.8。因此，以下结果成立：定理4.9。考虑一个路径依赖的导数，其到期日为T，收缩率为∧T-→ R.如果该衍生产品的价格用f表示，则满足假设4。然后是7和4.8(xf（Xt）zt）t∈[0，T]是局部鞅，下面的Delta公式是有效的xf（Y）=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwtY.证据根据附录C中概述的本地化论证，我们可以假设∈ x和m是鞅。根据等式（4.9）、假设（4.8）以及几乎肯定的连续路径，我们得出结论xf（Xt）zt=xf（X）+mt，然后(xf（Xt）zt）t∈[0，T]显然是一个鞅。

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2022-5-5 04:55:19

现在，与尊重t集成，我们得到了ZTxf（Xt）ztdt=xf（X）T+ZTmtdt。然后考虑期望值并注意到E[mt]=m=0，我们得到ZTxf（Xt）ztdt= xf（X）T，这意味着xf（X）=EZTxf（Xt）Tztσ（Xt）σ（Xt）dt(4.10)=xf（X），Tzσ（X）Hx。（4.11）最后，由于f（X）和X是鞅，通过分部积分公式（2.14），xf（X）=f（X），IxTzσ（X）Mx=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt.备注4.10。在Black-Scholes模型中（即σ（Yt）=σYt），我们得到了与[13]中相同的结果xf（X）=Eg（xT）wTxσT.备注4.11。定理4.9指出，对于局部弱路径依赖泛函，权重的形式为π=TZTztσ（Xt）dwt，（4.12）参见等式（4.3）。备注4.12。定理4.9也启发了Delta是鞅的问题。该定理证实了Delta的马提尼性损失来自两个因素：通过切线过程z的股价模型和所讨论的衍生合约的路径依赖性。例如，让我们考虑看涨期权。众所周知，在Black-Scholes模型下，Delta不是鞅。尽管acall期权的价格是局部弱路径依赖的（实际上它是路径独立的），但该模型中的交易过程由zt=xt/x给出。另一方面，在Bachelier模型下，局部弱路径依赖导数的增量实际上是一个鞅，因为在这种情况下zt=1。备注4.13。人们会认为假设f∈ C2,3可以使用密度参数删除。然而，目前在泛函微积分理论的发展中，还没有这方面的结果，发展密度参数超出了本文的范围。推论4.14。

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2022-5-5 04:55:22

在与定理4.9相同的假设下∈ [0，T]，有一个xf（Ys）=（T- s） z（Ys）Eg（XT）ZTsztσ（XT）dwtY,（4.13）其中z（Ys）是切线过程z的功能版本，见备注4.3。证据同样的论点也适用，但有一些细微的差别。请注意，对“按零件积分”公式的研究可以很容易地扩展到处理条件期望。4.3.2强路径依赖函数如果f是强路径依赖函数，这些公式会发生什么变化？方程（4.9）的积分形式为xf（X）=xf（Xt）zt+ZtL f（Xs）zsds- mt.（4.14）结合t和期望，我们得到xf（X）=ETZTxf（Xt）ztdt+ ETZTL f（Xs）zsdsdt.（4.15）现在，对于第一个期望，我们使用与定理4.9相同的论点来总结TZTxf（Xt）ztdt= Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt.因此，我们证明了以下定理：定理4.15。对于到期日为T且合约期为G的路径依赖型衍生工具，其价格（用函数f表示）满足假设4.7的情况下，Delta的以下公式成立：xf（X）=Eg（XT）TZTztσ（XT）dwt+ ETZTL f（Xs）zsdsdt.（4.17）由于上述公式参考了f及其Lie括号，因此它在计算上并不具有吸引力，因为它是为局部弱路径依赖泛函推导的公式，参见定理4.9。为了在计算方面获得更好的结果，对于（4.17）右边的第二项，未来的研究应该集中在伴随和/或部分积分上坦然辛Hx。零件积分公式[6，第3节]中介绍了xin Hxis。在任何情况下，对等式（4.17）右侧第二项的一个重要解释是对等式（4.16）局部弱路径依赖“δ”的路径依赖修正，它没有考虑衍生合约的强路径依赖结构。

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2022-5-5 04:55:25

这是函数It微积分框架最重要的成就之一：它允许我们量化函数的路径依赖如何影响契约的增量。我们想提醒大家注意，这并不是在Malliavin微积分框架内实现的。在接下来的部分中，我们将提供局部弱路径依赖导数契约的Gamma和Vega公式。定义3.4的路径依赖性的不同分类的类似公式和证明可以通过类似的论证推导出来。4.3.3 Gammath衍生工具的Gamma是其Delta对标的资产当前价值的敏感性，即。xxf（Xt）。在这里，我们将推导出伽马射线的类似公式（4.13）。假设4.16。tσ=txσ=0英寸∧。请注意，对于时间均匀的局部挥发模型，假设4.16是满足的，见等式（4.1）。定理4.17。根据假设4.7和4.8，f和xf和额外假设σ满足假设4.16，我们发现xxf（Xs）=E[g（XT）ξs，T|Xs]，其中ηs=Zsztσ（XT）dwt，（4.18）ξs，T=（ηT- ηs）（T- s） zs-xσ（Xs）σ（Xs）ηT- ηs（T）- s） zs-（T）- s） σ（Xs）。（4.19）证据。首先，存在泛函z和η，使得z（Xt）=zt和η（Xt）=ηta。s、函数导数（见附录B中的函数导数）。此外，通过同样的论证，我们可以很容易地得出结论：xη（Yt）=z（Yt-)σ（Yt）-), xxη（Yt）=0和tη（Yt）=0。现在请记住推论4.14中给出的以下公式：- s） z（Y）xf（Ys）+f（Ys）η（Ys）=E[g（XT）η（XT）|Ys]。然后定义?g（YT）=g（YT）η（YT）和?f（Ys）=E[?g（XT）| Ys]。因此，f（Ys）=（T- s） z（Y）xf（Ys）+f（Ys）η（Ys）。很容易看出，f满足假设4.7，因为xf和f本身满足这个假设。

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2022-5-5 04:55:28

现在，为了应用定理4.9证明中的相同论点，有必要证明Lf=0：x~f（Ys）=（T- （s）xσ（Ys-)σ（Ys）-)z（Y）-)xf（Ys）+（T）- s） z（Y）xxf（Ys）（4.20+xf（Ys）η（Ys）+f（Ys）z（Ys）-)σ（Ys）-),t~f（Ys）=-z（Y）xf（Ys）+（T）- s） z（Y）txf（Ys）+tf（Ys）η（Ys）。（4.21）现在让我们计算混合导数。对于这一点，我们必须假设-= 这意味着-= Ys，见方程式（B.1）。特别是，以下计算在连续进行时有效。txf（Ys）=-xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）+（T）- （s）txσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）- （T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）tσ（Ys）z（Ys）xf（Ys）+（T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）txf（Ys）- z（Y）xxf（Ys）+- s） z（Y）txxf（Ys）+txf（Ys）η（Ys）+tf（Ys）z（Ys）σ（Ys），- 2F（Ys）z（Ys）tσ（Yt）σ（Yt），xtf（Ys）=-xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）- z（Y）xxf（Ys）+（T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）txf（Ys）+（T- s） z（Y）xtxf（Ys）+xtf（Ys）η（Ys）+tf（Ys）z（Ys）σ（Ys）。最后，因为lf（Ys）=0=L(xf（Ys），对于连续路径Ys，假设4.16为真，对于连续路径Ys，我们发现Lf（Ys）=0。因此，f满足假设4.7和4.8，然后根据定理4.9(x~f（Xs）zs）s∈[0，T]是鞅。因此（T- s） zsx~f（Xs）+~f（Xs）Zsztσ（Xt）dwt=E~g（XT）ZTztσ（XT）dwtXs.通过等式（4.20），我们发现x~f（Xs）=（T- s） zsxσ（Xs）σ（Xs）xf（Xs）+（T- s） zsxxf（Xs）+xf（Xs）Zsztσ（Xt）dwt+f（Xs）zsσ（Xs）。最后，从上面的方程可以很容易地得出结果。推论4.18。在s=0时，xxf（X）=E[g（XT）ξ]，其中ξ=ξ0，T=π-xσ（x）σ（x）π-Tσ（X），因为π=ηT/T。备注4.19。在Black-Scholes模型中，我们发现了与[13]中相同的结果：xxf（X）=Eg（XT）XσTwTσT- wT-σ.然而，在[13]中，伽马仅在Black–Scholes模型下推导，且对于形式为g（XT）=φ（XT）的合约的路径无关衍生品。4.3.4在本节中，我们仅限于时间齐次局部波动模型，即σ（Yt）=σ（Yt）。

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2022-5-5 04:55:31

与[6]一致，我们将f（Xt）的织女星定义为f（Xt）相对于v=σ的弗里谢特导数。使用[6，第4节，示例1]中给出的结果，我们知道f（Xt）在u方向上的织女星由h给出vf，ui=limε→0Ev+εu[g（XT）]- Ev[g（XT）]ε=ZTZRu（t，x）m（t，x）dxdt，（4.22），其中m（t，x）=Ev[xxf（Xt）|Xt=x]pv（t，x）。这里，Evis是局部波动模型（4.1）下的期望值，v=σ，pv（t，x）是xtunder v的密度。定理4.20。根据定理4.17的假设，织女星vf，ui=Evg（XT）ZTu（t，XT）ξt，Tdt.式中ξt，由等式（4.19）给出。此外，m（t，x）=Ev[g（XT）ξt，t |XT=x]pv（t，x）。（4.23）证据。方程式（4.22）可以改写为：vf，ui=ZTEv[u（t，xt）xxf（Xt）]dt。假设满足定理4.17的条件，则xxf（Xt）=Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]，因此以下是正确的：vf，ui=ZTEv[u（t，xt）Ev[g（xt）ξt，t | xt]]dt=ZTEv[u（t，xt）g（xt）ξt，t]dt=Evg（XT）ZTu（t，XT）ξt，Tdt.（4.24）现在请注意[xxf（Xt）|Xt]=Ev[Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]|Xt]=Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]，这意味着（4.23）。备注4.21。上一个定理中给出的结果允许我们更有效地计算局部挥发模型中路径依赖导数的Vega，即我们避免计算价格泛函的泛函二阶导数，xxf。方程（4.23）中的期望值应理解为：过程从（0，x）开始，直到时间T为止都是模拟的，但条件是xt=x（这是一个点值条件）。为此，需要模拟扩散桥，即在（0，x）处开始并在（t，xt）处通过的条件下的扩散。这种类型的条件期望不会出现在Delta和Gamma的情况下，因为它们的计算中涉及的条件期望是以完整路径Xt为条件的。备注4.22。

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2022-5-5 04:55:34

将该结果与[13]中给出的结果进行比较，我们注意到Dupire公式（4.22）避免了计算Skorohod积分的必要性。实际上，我们可以证明，当g（XT）=φ（XT）时[13]中的织女星公式可以简化为（4.22）。4.3.5数值示例波动性衍生品是金融合同，其基础资产是波动性或方差的度量，如预定期间的已实现波动性或芝加哥期权交易所市场波动性指数（VIX）。在本例中，我们将考虑连续时间版本的已实现方差期权，更准确地说，是二次方差期权，例如参见[20]。这个例子没有在Malliavin演算设置中处理。我们将考虑形式为g（YT）=φ（YT，QV（YT））的支付函数g，其中QV是表示价格路径的路径二次变化的函数，我们请读者参阅附录B。特别是，我们将研究具有方差欧洲淘汰壁垒的所有选项，即φ（y，QV）=（y）-K） +{QV<H}。这种衍生工具被称为VKO看涨期权；它是外汇市场上一种常见的异国情调衍生品。价格函数f（Yt）=E[g（XT）|Yt]如等式（2.6）所示。我们首先观察到，在局部波动模型下，变量参数的增加表明，我们可以写出f（Yt）=ψ（t，Yt，QV（Yt））。根据这一特征，我们可以用经典的偏微分方程工具证明函数ψ（和函数f的Henceo）的光滑性。因此，f满足假设4。7.为了分析这个导数的路径依赖性，我们想推导f的Lie括号。不幸的是，时间泛函导数xQV不存在于整个∧中。尽管如此，我们仍然可以得出结论，LQV（Yt）=0，对于连续路径Yt，见附录B。

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大多数88

2022-5-5 04:55:37

因此，在局部波动模型下，命题3.3对f也适用。因此，f满足假设4.8。更多详细信息，请参见附录B。为了使这个例子在计算delta和Gamma时更有趣，我们假设x遵循一个CEV（恒定方差弹性）模型，即σ（x）=max{σxγ，α}，其中α=0.001是一个下限，以确保σ从下方有界，见备注2.6。在织女星计算的特殊情况下，我们将假设Black-Scholes模型（即，我们取γ=1）。可以考虑更复杂的局部波动模型，比如CEV本身。然而，模拟其扩散桥（见备注4.21）在计算上具有挑战性，因此超出了本文的范围。当γ=1和γ=0.5时，x的二次变化的数量级是不同的。我们在计算织女星时会考虑到这一点。下面，在图4中，我们展示了xf（X）和xxf（X）。使用定理4.9和4.17计算这些量。此外，在图5中，我们使用定理4.9和4.17给出的权重与标准有限差分估计（即。xf（X）=（f（Xh）-f（X）-h） /（2h））和xf（X）=（f（Xh）-2f（X）+f（X-h） /h）。最后，我们展示了第4.3.4节中定义的织女星图。更准确地说，我们绘制了由等式4.23计算的m（x，t）。考虑到表1中给出的参数，我们在表2和图4、5和6中显示了结果。读者应该注意到，Delta和gamma的有限差分估计性能非常差。原因是“淘汰”波动性屏障的不连续性。

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2022-5-5 04:55:41

如图5所示，此功能为问题增加了显著的噪音。参数值初始值（X）100波动率（σ）0.2CEV参数（γ）0.5/1.0Strike（K）100方差屏障（H）4.0饱和度（T）1.0表1:VKO看涨期权示例的参数。平均标准误差f（X）0.3624 0.0026xf（X）0.2087 0.0022xxf（X）0.0604 0.0018xf（X）（FD）0.3683 0.1884xxf（X）（FD）-28.8123 37.5483表2:VKO看涨期权价格、δ和γ的蒙特卡罗估计。1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.2020.2040.2060.2080.2100.2120.214德尔塔菲托权重1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.0570.0580.0590.0600.0610.0620.0630.064GammaFITO权重VKO调用期权希腊人的收敛图4：计算蒙特卡罗方法的收敛图xf（X）和xxf（X）.1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0德尔塔菲托权重有限差分1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·10410520015050050Gammafito权重有限差分收敛图-与有限差分比较图5：收敛图-与有限差分法的比较。时间0。00.20.40.60.81.0现场值406080100140160VEGA-5.0·10-40.05.0·10-41.0·10-31.5·10-32.0·10-32.5·10-3图6:m（x，t）曲线图——VKO看涨期权的织女星。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:55:44

轴时间和点值分别为t和x。4.4关于增量的更多信息，我们将推导衍生合约的增量公式，区分定义3.4中给出的每个路径依赖结构。本节的目标有两个：展示[13]中使用Malliavin演算得到的结果如何通过函数It演算实现，然后更好地理解Malliavin演算框架中使用的假设，即合同g的形式为：g（YT）=φ（YT，…，ytn）。（4.25）简言之，这种假设意味着这种形式的合同产生的衍生价格是离散监控的函数，见定义3.4。这些泛函的主要特征是，它们表现出局部弱路径依赖性，但对于有限的时间集{t，…，tn}，见命题3.6.4.4.1离散监控泛函。在本节中，我们考虑对第4.3节中描述的方法进行简单修改，以处理[13]中研究的离散监控泛函，见等式（4.25）。定理4.23。假设路径相关衍生工具的无套利价格（用f表示）是一个离散监控函数，且f满足假设4。7.因此，我们发现三角洲的代表性与[13]中的相同：xf（X）=Eg（XT）ZTa（t）ztσ（XT）dwt,（4.26）对于任何a∈ Γ，哪里Γ=A.∈ L[0，T]；Ztia（t）dt=1， i=1，。。。，N.（4.27）证据。为了关注证据的基本论点，我们考虑了只有两个监测日期t<t的案例。这种设置允许我们引入所有的证据元素，而不需要繁重的注释。类似的推理也适用于一般情况。正如我们在等式（4.9）中看到的，d(xf（Xt）zt）=-lf（Xt）ztdt+dmt，（4.28）带（mt）t∈[0，T]是局部鞅。根据著名的局部化参数（见附录C），我们假设x和m是鞅，f是鞅∈ Dx。

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nandehutu2022

2022-5-5 04:55:47

在命题3.6中，对于所有t，我们有lf（Xt）=0∈ [0，t）∪ （t，t）。由于t=t时不存在L FD，我们只能在不包含t的区间积分方程（4.28）。固定ε>0，对于t∈ （t，t），我们在区间[t+ε，t]上积分SDE（4.28），得到xf（Xt）zt=xf（Xt+ε）zt+ε+mt- mt+ε。所以，乘以任何a∈ Γ和关于t的积分，从t+ε到t，wehaveZTt+εxf（Xt）zta（t）dt=ZTt+εxf（Xt+ε）zt+εa（t）dt+ZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt=xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt+ZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt（4.29）∈ [0，t]，在区间[0，t]上再次积分方程（4.28），我们得到xf（Xt）zt=xf（X）+mt乘以a∈ Γ和关于t的积分从0到t- ε给我们zt-εxf（Xt）zta（t）dt=Zt-εxf（dt）t+Zt-εmta（t）dt=xf（X）Zt-εa（t）dt+Zt-εmta（t）dt（4.30）将两个方程（4.29）和（4.30）相加，取期望值，利用m是鞅的事实，我们得出Zt-ε+ZTt+εxf（Xt）zta（t）dt= xf（X）Zt-εa（t）dt+xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt+EZt-εmta（t）dt+ EZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt= xf（X）Zt-εa（t）dt+xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt。因此，结果如下：→ 0+应用partsformula的积分，并使用∈ 这意味着srta（t）dt=1和rtta（t）dt=0。备注4.24。与方程（4.3）相比，我们得出结论，定理4.23给出了与[13]相同的权重。备注4.25。考虑一个合同g（YT）=φ（YT，…，ytn），其中0<t<tn≤ T为固定时间和φ：Rn-→ R.在局部波动模型的情况下，前面定理中f是离散监控泛函的假设自动满足，因为人们可以简单地从f（Yt）=E[φ（xt，…，xtn）| Yt]和定义3.4中推导。我们希望在本节结束时观察到，我们能够使用泛函微积分的技术推导出[13]的相同结果，在[13]中使用了Gallavin微积分。

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2022-5-5 04:55:51

此外，这里实现的方法启发了一个假设，即衍生品价格需要是一个离散监控函数，才能应用定理4.23。实际上，这类函数的主要特征是，它们在区间（ti，ti+1）中具有局部弱路径依赖性，允许我们在每个区间应用分部积分公式。我们还应该注意到，在进行适当的调整后，对于离散监控的泛函，与OREM 4.17类似的结果也适用，因为它们的Delta也是离散监控的泛函。此外，我们应该注意，对于离散监控泛函，我们也可以推导公式（4.24）的等价物。4.4.2延迟路径相关泛函定理4.23证明中的论证可推广到延迟路径相关泛函。下一个命题正好说明了结果。定义=A.∈ L（[0，T]）；对于t，Zsa（t）dt=1，a（t）=0≥ s.提案4.26。修正满足假设4.7的t-延迟路径依赖函数f，并考虑∈ Γt.因此，xf（X）=Eg（XT）Zta（t）ztσ（XT）dwt.（4.31）证据。如前所述，通过等式（4.14），mt=xf（Xt）zt- xf（X）+ztlf（Xs）zsds。乘以任意a∈ Γt，结合t和期望，我们发现xf（X）=EZTa（t）xf（Xt）ztdt+ EZTa（t）ZtL f（Xs）zsddt= EZta（t）xf（Xt）ztdt.因此，简单应用分部积分公式即可得出结果。备注4.27。在时滞路径依赖导数的情况下，我们发现了权π=Zta（t）ztσ（Xt）dwt。我们应该将这个公式与（4.3）进行比较。备注4.28。在[u，s]中的Lie括号为零的情况下 [0，T]，我们可以利用上面的证明，为时间u的增量找到一个类似的表达式（4.31），xf（Xu）。备注4.29。

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2022-5-5 04:55:54

显然，一个离散监控的函数也依赖于延迟路径，但考虑∈ Γ代替a∈ Γt.例4.30。考虑以下合同（XT）=xT-T- tZTtxudu+,其中0<t<t。该衍生工具被称为远期起价买入期权，详情见[14]。我们假设x遵循Black-Scholes模型，r=0，dxt=σxtdwt，其中σ>0。因此，我们可以很容易地推断，对于t<t，f（Yt）=E[g（XT）|Yt]只依赖于Yt。因此，f是一个t-延迟路径依赖泛函。应用命题4.26，我们发现xf（X）=Eg（XT）Zta（t）ztσxtdwt.（4.32）然后考虑权重π=Zta（t）ztσxtdwt，并进一步注意，在该模型中，切线过程满足zt=xt/x。因此，π=σxZta（t）dwt~ N0，σxZta（t）dt.你可以证明选择≡ 1/t得出π对Γt的最小方差。然后，π=wttσx。考虑表3中给出的参数，我们得出表4和图7中给出的结果。我们使用得出的权重与有限差分法（即。xf（X）≈ （f（Xh）- f（X）-h））/（2h），对于少量h）。

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