异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

2022-6-11 06:11:51

基于奇异导数的路径依赖最优运输和模型校准Van Guo1,2和Gr’egoire Loeper1,2数学学院，维多利亚州莫纳什大学克莱顿校区，3800，澳大利亚定量金融和投资策略中心*, 本文介绍并发展了路径相关环境下的半鞅最优运输理论。我们考虑的是路径依赖约束的一般框架，而不是对边际分布的经典约束。建立了对偶结果，用路径依赖的部分微分方程（PPDE）表示解。此外，我们基于“半过滤”的新概念提供了降维结果，该概念根据约束条件和成本函数确定了适当的马尔可夫状态变量。然后，我们的技术被应用于波动率模型对一般路径依赖衍生品价格的精确校准。数学学科分类（2010）：60H30、91G80、93E20关键词：最优运输、路径依赖型偏微分方程、波动率校准1简介受Benamou和Brenier[3]关于最优运输的开创性工作的启发，以及在[4]和后来的[25]中发展的二元理论，我们研究了连续时间环境下半鞅的最优运输问题。Tan和Touzi在[34]中研究了在给定时间具有边缘约束的半鞅最优运输问题，扩展了Mikami和Thieullen的工作[26]。其他相关工作包括【23，35】。我们研究的主要目标是通过考虑更广泛的约束来扩展这项工作。如我们的抽象公式所示，所考虑的约束可以由任意闭集和凸集的概率测度来定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:11:54

特别是，这包含了对经典最优运输问题边缘的约束。此外，它可以包括约束，例如分布的边界以及路径相关函数的期望。*致谢法国巴黎银行为量化金融和投资战略中心提供了支持。一、郭获得了澳大利亚研究委员会（GrantDP170101027）的部分支持。作者还要感谢BenGoldys和匿名仲裁人提出的宝贵意见和建议。[4，25]中发展的对偶技术的结果之一是，它绕过了建立动态规划原则的需要，因为Hamilton-Jacobi-Bellman方程直接来自对偶公式。我们的研究建立了这一最优运输问题与[7、8、11、13、14、30]中发展的路径相关偏微分方程（PPDE）的最新理论之间的自然联系。我们还提供了用于BSDE（参见，例如，[16，37]）和路径相关随机控制问题（参见，例如，[33]）的数值方法中的降维技术的形式化，该方法通过从成本函数和约束中识别相关的状态变量，将PPDE的复杂性降低为更易于处理的PDE。这是通过引入半过滤来实现的，半过滤有助于获得最佳运输问题解决方案以及最佳漂移和扩散特性的可测量性结果。最近，最优运输在数学金融中得到了应用，特别是在稳健对冲领域。例如，它用于获得[21]中exotics衍生品的无模型边界和[9，22]中的稳健对冲策略。如备注3.9所示，连续时间内所谓的稳健定价套期保值二元性也是我们二元结果的必然结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:11:57

也观察到了最优运输和随机投资组合理论之间的联系。在本文中，我们关注模型校准的应用，这是金融建模中的一个关键问题。著名的杜皮尔公式[12]提供了一种独特的方法，可以从所有罢工和到期的普通期权知识中恢复局部波动性模型。然而，它需要某种形式的价格插值，因为只有有限数量的选项可用。此外，无法通过此方法实现对更复杂（路径相关）产品的校准。除了这一分析结果之外，还有一些解决校准问题的理论进展。因此，从业者经常使用参数化模型，他们将其调整为尽可能匹配可观测仪器。本文发展的对偶理论可以精确地校准任意数量的路径依赖导数，而无需进行任何价格插值。[19]探讨了使用最优运输将局部波动率模型校准为欧式期权的想法，这是对[3]数值方法的一种改进。文献[2]在熵最小化的背景下研究了离散期权价格的类似数值算法。在本文中，我们将该方法扩展到路径依赖导数的校准，从而得到路径依赖的波动率函数，这一概念也在[20]中进行了探讨。尽管问题具有复杂的XPath依赖性，但通过降维结果仍然可以实现有效的数值算法，其中最优波动率函数是驱动导数的状态变量中的马尔可夫函数。这在某种程度上类似于这样一个事实，即欧洲期权价格总是可以根据本地波动性模型进行校准。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:00

我们的方法也可用于重新定义随机波动率模型，以精确匹配一组给定的支付，同时接近参考随机波动率模型。因此，这是对所谓的局部随机波动率（LSV）模型校准的概括（见[1，18]及其参考文献）。最近，我们的对偶结果也被用于[17]股票和VIX期权的联合校准，这是研究人员多年来一直回避的一个极其困难的问题。本文的组织结构如下。第2节介绍了本文中使用的基本符号以及问题的抽象表述，包括一些示例。第3节包含主要结果及其证明。定理3.1总结了主要结果。第4节包括我们的结果在波动率校准中的应用，展示了大量欧洲、屏障和回溯选项校准的数值示例。2路径依赖约束下的最优运输2.1预备阶段letOhm := C（[0，1]；Rd）是连续路径集，X是正则过程，F=（Ft）0≤t型≤1b X.为每个t生成的规范过滤∈ [0，1]，让Ohmt： ={ω·∧t： ω∈ Ohm} 是在时间t和let∧停止的路径集：={（t，ω）：t∈ [0, 1], ω ∈ Ohmt} 。接下来，让Ohmt： ={ω∈ Ohm : ωs=0，s∈ [0，t]}和∧t={（u，ω·∧u）：u∈ [t，1]，ω∈ Ohmt} 在[0，t]上保持在0的路径集。空间Ohm, Ohm坦德Ohm皮重配备标准kωk∞= 支持∈[0,1]|ωt |，而∧和∧空间配备了metricd∞（（t，ω），（t，ω））=| t- t |+kω·∧t型- ω·∧tk公司∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:03

注意，我们有关系Ohm = Ohmt+Ohmt、这也导致了Ohm 以及产品Ohm~=Ohmt×Ohmt、以及他们的σ-代数，F~=英尺 B类(Ohmt）。给定一个具有Borelσ-代数的Polish空间X，设C（X）是X上的连续函数集，Cb（X）是有界连续函数集，M（X）是X上有符号有限Borel测度集。在Cb（X）上，让Tkdenote表示X紧集上一致收敛的拓扑。表示为Cb（X）上的最近一个局部凸拓扑，它与Cb（X）的Tkon闭球一致（通过一致范数）。Le Cam【24】引入了拓扑，也被称为“混合拓扑”【15】或“亚tricttopology”【32】。在本文中，我们将使用以下关键结果（参见，例如，[15，32]）。提案2.1。Cb（X）的Ttdual可与Cb（X）识别*= M（X）。备注2.2。拓扑TT的选择将允许在非局部紧设置中应用我们的对偶论证，并避免Cb问题(Ohm)*在通常的一致范数拓扑下，与所有正则、有符号、有限和完全可加的Borel测度集相一致（【10】定理IV.6.2）。设M+（X） M（X）表示正测度的子集。对于任何u∈ M（X），设L（X，u）为u-可积函数集。还可以将Cb（X；Rm）、M（X；Rm）、L（X，u；Rm）等作为各自的向量值版本。在本文中，X的典型选择是Ohm, ∧，RMA及其各种子空间。设P为上的Borel概率测度集(Ohm, F）。对于每个s∈ [0，1]，让Ps Pbe度量的子集，对于每个P∈ Ps，X∈ Ohm 是[s，1]上的（F，P）-半鞅，由xt=Xs+APt+MPt给出，hXit=hMPit=BPt，P-a.s.，t∈ [s，1]，其中[s，1]和（AP，BP）上的MPis-an（F，P）-鞅是F-适应的，P-a.s.相对于时间是绝对连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

可人4

2022-6-11 06:12:06

特别是，P被称为具有特征（αP，βP），其由αPt=dAPtdt，βPt=dBPtdt定义。注意，（αP，βP）是F适应的，几乎在所有地方都是由dP×dt决定的。通常，（αP，βP）取空间Rd×Sd+中的值。请注意，Sd、Sd+和Sd++分别表示对称矩阵、正半限定矩阵和正限定矩阵的集合。对于任何a、b∈ Sd，让我们定义a：b：=tr（a | b）。用Pt表示 P特征（αP，βP）在区间[t，1]上可积的概率测度集P。换句话说，EPZt |αP |+|βP | dt< +∞,其中|·|表示L-范数。备注2.3。可以将每条路径的βpf定义为X的二次变化，并且它与每个半鞅测度P兼容∈ P、然而，这种β-Pis的选择具有高度的病理性。由于每个P的特性都是由dP×dt决定的，因此使用具有更多规律性的βP版本通常更为实际。对于每个t∈ [0，1]和任何概率测度ρtonOhmt、定义Pt（ρt） P是与ρton一致的集合Ohmt、 Pt（ρt）：={P:P∈ P、 Po 十、-1·∧t=ρt}。此外，设Pt（ρt）=Pt（ρt）∩ Ptand Pt（ρt）=Pt（ρt）∩ Pt。路径导数和函数It^o演算的概念最初是在c\'adl\'ag路径的inDupire[11]和Cont及Fournie[8]中引入的。在这里，我们选择了一种侧重于连续路径空间的定义，因为它更适合于半鞅最优运输的研究。具体而言，我们使用了【7、13、14】中定义的微小变化。定义2.4（路径导数和函数It^o公式）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:10

对于每个t∈ [0，1]，我们说φ∈ C1,2t（λ）ifφ∈ Cb（λ），存在函数（Dtφ，xφ，xφ）∈ Cb（λ；R×Rd×Sd），使得对于任何P∈ P和u∈ [t，1]，下面的函数It^o公式成立：φ（u，X）- φ（t，X）=ZutDtφdt+xφ·dXt+xφ：dhXit，P-a.s.函数Dtφ，xφ，xφ分别称为φ的时间导数、一阶空间导数和二阶空间导数。备注2.5。定义2.4中C1,2（λ）的定义比[13，14]中的相应版本在以下方面更具限制性。我们要求集合P包含所有具有可积特征（αP，βP）的测度，而不是有界特征。此外，我们还要求函数及其导数有界。路径导数dtφ，xφ，无论何时存在，xφ都是唯一的。更多关于路径衍生工具不同定义的讨论，以及与[11，8]原始定义的比较，请参考[7，13，14]。2.2问题公式现在让我们定义路径相关约束下的半鞅最优运输问题。用H表示：∧×Rd×Sd→ R∪ {+∞} 成本函数。定义H*: ∧×Rd×Sd→R∪{+∞} 所以H*（t，ω，·）是H（t，ω，·）的凸共轭。当没有歧义时，我们将简单地写H（α，β）：=H（t，ω，α，β）和H*（p，q）：=H*（t，ω，p，q）。我们对H.假设2.6施加以下全局假设。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 06:12:13

（i）对于每个（t，ω）∈ ∧，H（t，ω，·，·，·）是下半连续的性质凸函数，minα，βH一致有界。（ii）如果β∈ Sd\\Sd+然后H（·，·，·，·，β）=+∞.（iii）成本函数H是强制性的，因为存在常数p>1和C>0，因此|α| p+|β| p≤ C（1+H（t，ω，α，β）），（t，ω）∈ Λ.为了描述约束的特征，让N M级(Ohm) 是度量的凸集。假设N在弱拓扑下是闭合的，即在u下的最粗拓扑→ROhmψdu对于所有ψ都是连续的∈ Cb公司(Ohm). 在我们的问题中，我们希望将概率度量限制为集合N.definition 2.7。给定t、ρt、H和N，我们将路径相关约束下的半鞅最优运输问题定义为以下最小化问题infp∈Pt（ρt）EPZtH（αPs，βPs）ds，受P∈ N、如果Pt（ρt），则该问题是可容许的∩ N 6= 上述内容是有限的。要处理约束，请考虑凸函数F:Cb(Ohm) → R∪ {+∞} 定义BYF（ψ）：=supu∈新西兰Ohmψdu。由于N是闭合的，F的凸共轭具有以下表示：对于任何u∈M级(Ohm),F*（u）=supψ∈Cb公司(Ohm)ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、（1）在许多情况下，在定义F时可能进一步限制ψ的选择*对某凸子集N* Cb公司(Ohm). 每当（1）中的上确界总是由N的元素实现时，就会发生这种情况*, soF公司*（u）=supψ∈N*ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、（2）例如，如果N是M的子空间(Ohm) 定义单位：N={u：ROhmψdu=0}，其中ψ∈ Cb公司(Ohm) 是固定函数，那么我们可以选择N*= {λψ: λ ∈ R} 。更多的例子可以在下一小节中找到。一般来说，N的适当选择*不能总是容易识别。但是，如果可能，Cb的减少(Ohm) 至N*可以大大简化问题。F的公式*在（2）中指出，事实上，它是实现N以外度量的合适函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:16

因此，该问题可以重新表述为以下鞍点问题：infP∈Pt（ρt）EPZtH（αPs，βPs）ds，受P∈ N=infP∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（αPs，βPs）ds=infP∈Pt（ρt）supψ∈N*EPψ- F（ψ）+EPZtH（αPs，βPs）ds。（3） 2.3示例在我们的公式中，对度量的约束是非常普遍的，并允许存在广泛的问题，包括文献中的许多连续时间最优运输问题的现有公式。这里有一些例子。示例2.8（确定性最佳传输）。如果成本函数满足（α，β）=（|α|，β=0+∞, β6=0，则我们恢复了Benamou Brenier的经典确定性最优运输问题[3]。示例2.9（半鞅最优运输）。考虑t上的问题∈ [0，1]初始测量ρ。设ρ为Rd上的概率度量，并考虑时间1约束Tpo 十、-1= ρ. 然后通过设置n={u∈ M级(Ohm) : u o 十、-1=(R)ρ}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ = λ o 十、 λ∈ Cb（Rd）}，我们恢复了文献[34]中研究的半鞅最优运输问题。特别是Rf（ψ）=ZRdλd′ρ，λ∈ Cb（Rd），ψ=λo X+∞, 否则，鞍点问题由INFP给出∈P（ρ）supλ∈Cb（Rd）EP（λ（X））-ZRdλd′ρ+EPZH（αPs，βPs）ds。此外，如果成本函数由H（t，ω）给出·∧t、 α，β）=H（t，Xt，α），如果β=Id×d，和+∞ 否则，我们恢复了[26]中的随机最优控制问题。或者，如果成本函数的形式为H（t，ω·∧t、 α，β）=H（t，Xt，β），如果α=0，和+∞ 否则，我们从[23]中恢复鞅最优运输问题。最后，如果d=1且h（·，β）=(√β-c）对于某些常数c>0，如果α=0，并且+∞ 否则，我们的公式相当于[35]中的一维情况。示例2.10。进一步推广前面的示例，让G∈ C类(Ohm; Rm）为任意连续函数且|ρ∈ M（Rm）是目标分布。我们想施加约束Po G-1= ρ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:19

在这种情况下，约束的特征是n={u∈ M级(Ohm) : u o G-1=(R)ρ}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ = λ o G、 λ∈ Cb（Rm）}，andF（ψ）=ZRmλd′ρ，λ∈ Cb（Rm），ψ=λo G、+∞, 否则鞍点问题由INFP给出∈P（ρ）supλ∈Cb（Rm）EP（λo G）-ZRdλd′ρ+EPZH（αPs，βPs）ds。示例2.11。修复G∈ Cb公司(Ohm; Rm）并考虑约束EPG=c。这对应于{u∈ M级(Ohm) :ZOhmgdu=c}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ=λ·G，λ∈ Rm}。在这种情况下，F（ψ）=（λ·c，ψ=λ·G，λ∈ Rm+∞, 否则然后鞍点问题由INFP给出∈Pt（ρt）supλ∈Rmλ·（EPG- c） +EPZtH（αPs，βPs）ds。示例2.12。让G：Ohm → Rm+是一个在每个组件中都是下半连续的函数。考虑约束EPG≤ c代表一些c∈ Rm+，其中不等式按元素取值。这对应于N={u∈ M级+(Ohm) :ROhmG du≤ c} 。我们可以检查这个集在弱拓扑下实际上是封闭的。在这种情况下，f（ψ）=supu∈新西兰Ohmψdu=inf{λ·c：λ∈ Rm+，ψ≤ λ·G}。使用Cb的密度(Ohm) 在L中(Ohm, P），鞍点问题由INFP给出∈Pt（ρt）supψ∈Cb公司(Ohm)λ∈Rm+，ψ≤λ·GEPψ- λ·c+EPZtH（αPs，βPs）ds=infP∈Pt（ρt）supλ∈Rm+λ·（EPG- c） +EPZtH（αPs，βPs）ds。通过适当的转换，条件G：Ohm → Rm+可以放松，以便从下方限制G。3主要结果3.1主要结果总结定理3.1。让N M级(Ohm) 是相对于弱拓扑闭合的凸集。定义F：Cb(Ohm) → R∪ {+∞} 和F*: M级(Ohm) → R∪ {+∞} byF（ψ）：=supu∈新西兰Ohmψdu，F*（u）：=supψ∈Cb公司(Ohm)ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、（4）设H：∧×Rd×Sd→ R∪{+∞} 为满足假设2.6的函数，设H*（t，ω，·）表示H（t，ω，·）的凸共轭。给定t∈ [0，1]和概率测度ρtonOhmt、回想一下，具有路径依赖约束的半鞅最优运输问题指的是以下最小化问题，V：=infP∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（αPs，βPs）ds。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 06:12:22

（5）（i）对偶性：如果问题是可容许的，则得到（5）中的极限，它等于V=V：=supψ∈Cb公司(Ohm)-F（ψ）- Jψ，H（t，ρt），（6）Let{ui} N是收敛到u的度量序列。设{Gj} Cb公司(Ohm; Rm+）是一个渐增的函数序列，收敛于G。然后通过Fatou引理，RωG du≤ supjRωGjdu=supjlimiRωGjdui≤ lim supiRωG dui≤ c、其中J由Jψ给出，H（t，ρt）：=supP∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=infφ∈C1,2t（λ）ZOhmtφ（t，·）dρt，（7）受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0、设Δω·∧在ω处具有奇异质量的狄拉克测度·∧t、然后函数Jψ，halsosatiesjψ，H（t，ρt）=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.（8）此外，如果设置Cb(Ohm) 可替换为凸集N* Cb公司(Ohm) 在（4）中，则可以在（6）中进行相同的更换。（ii）最优解：假设▄P是最优运输问题的最优概率测度，并且在[t，1]上具有特征（▄α，▄β）。Let（ψn，φn）n∈Z+是（6）和（7）的优化顺序。然后我们有以下概率收敛Ohm ×【t，1】：Dtφn+H*xφn，xφndP×dt→ 0，φn+ψndP→ 此外，假设H是强凸的，即存在一个常数C>0，使得对于所有t，ω，α，β，α，β和任何子导数H、如果H（α，β）是有限的，则H（α，β）≥ H（α，β）+HH（α，β），（α- α, β- β） i+C（kα- αk+kβ- βk），其中k·k是Rd和Sd上的Lnorm。然后，以下内容将继续Ohm ×[t，1]，H*xφn，xφndP×dt→ (~α,~β).（iii）PPDE特征描述：假设假设满足假设2.6和3.14。则jψ，hh表示jψ，H（t，ρt）=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtφψ，H（t，·）dρt.（9），其中φψ，His是以下路径相关PDE的粘度解：φ（1，·）=-ψ和Dtφ+H*xφ，xφ= 此外，如果假设3.16也满足，那么φψ，His是PPDE（10）的唯一粘度解。（iv）尺寸缩减：固定t∈ [0，1]和ψ∈ Cb公司(Ohm).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:25

假设假设满足假设2.6和3.14。设G={Gt，t∈ [0，1]}是一种半过滤（见定义3.19），使（ψ，H）适应于G。然后映射J（t，·）：Ohm → 定义为J（t，x）：=Jψ，H（t，δ（ω·∧t=x·∧t））是可测量的。此外，如果φ∈ C1,2（λ）是PPDE（10）的经典解，H是严格对流的（α，β），然后（αt，βt）=H*(xφ（t，·），xφ（t，·））也是可测量的。备注3.2。通过降维，我们的意思如下。一般来说，最优的αP，βPare路径依赖，F-适应过程。对于实际应用，这不是很有帮助，因为路径相关函数通常很难计算。然而，在许多问题中，我们可以证明，解决方案实际上只取决于几个状态变量，这些状态变量通常可以从约束和成本函数中识别出来。本质上，时间t时这些状态变量生成的GTI。例如，考虑示例2.9（也可在[34]中找到），其中约束条件是X的初始密度和X的最终密度，而时间t时的成本函数不依赖于路径，只依赖于Xt。在这种情况下，最佳αP，βPat时间t仅取决于（t，Xt）。因此，有必要求解有限维经典偏微分方程，而不是有限维PPDE。考虑另一个例子，如果约束条件是对某些固定t<t的期望f（Xt，Xt）（对于金融应用，这将对应于所谓的cliquetor棘轮选项），那么最佳αP，βP只取决于t的（t，Xt≤ t<t时的tand（Xt，t，Xt）≤ t、备注3.3。定理3.1是许多现有连续时间最优运输结果的推广（见第2.3小节中的示例）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:29

在这里，我们将进一步强调我们的技术与其他作品之间的一些技术差异。我们的方法和[23]之间有一些相似之处，因为这两部作品都使用了Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5。在[23]中，这个问题是在马尔可夫集中提出的，并且仅限于鞅。对偶定理首先应用于紧域，然后通过验证参数扩展到无界域。另一方面，我们的公式是在具有更一般约束的非马尔可夫半鞅环境中。由于缺乏局部紧性，在底层拓扑空间的构造和对偶结果的应用中带来了额外的技术挑战。与[23]不同，我们不能将半鞅条件编码为福克-普朗克方程的形式。相反，通过引理3.4形式的泛函It^o公式来确定半鞅测度。我们的工作还将[34]的结果推广到非马尔可夫约束。[34]的方法包括证明目标函数的凸性和下半连续性，并将Fenchel-Moreau定理应用于测度函数对偶对。结果PDE表示是通过经典的可测选择和动态编程参数推导出来的。我们的方法在functionmeasure对偶对上使用Fenchel-Rockafellar对偶定理，并绕过动态规划直接得到路径依赖的对偶问题。事实上，我们的对偶结果也将隐含动态规划原则，而无需调用可测量的选择参数。为了简化我们的符号，主要对偶结果的证明将集中在t=0的情况。换句话说，这对应于从时间0开始的具有初始分布ρ的最优运输问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 06:12:32

一般情况下，可以使用类似的参数来处理。3.2适当测量的特征函数F*用于惩罚N之外的措施，N是问题的约束条件。在这一小节中，我们的目标是找到一个合适的函数来惩罚P（ρ）之外的测度，P（ρ）是半鞅测度集。我们论证的一个关键步骤是在M中扩展度量(Ohm) 在停止路径M（λ）上测量，然后利用该空间上的Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5（参见，例如，[31]）。以下引理提供了识别度量inP（ρ）的条件，以及合适的对应度量M（λ）。引理3.4。设ρ为Ohm. 假设u∈ M级+(Ohm) 并诱导测量^u∈ M+（λ）通过^u（E）=ZOhmZ1（（t，ω·∧t）∈ E） dtdu，E Λ.Letν∈ M+（λ）和（α，β）∈ L（λ，ν；Rd×Sd）。均衡器ZOhmφ（1，·）du-ZOhmφ（0，·）dρ=Z∧Dtφ+α·xφ+β：xφdν保持所有φ∈ C1,2（λ）当且仅当^u=ν和u∈ P（ρ）具有特征（α，β）。证据见附录。3.3对偶在本小节中，我们将证明定理3.1（i），这是本文的主要对偶结果。事实上，我们将证明定理3.6中的一个稍强的陈述，该陈述允许F是任意凸函数，而不是使用集合N定义的函数。回想一下，在时间t=0时，鞍点问题由infp给出∈P（ρ）supψ∈N*EPψ- F（ψ）+EPZH（s，X·∧s、 αPs，βPs）ds。关键步骤是对条件P进行编码∈ P（ρ）使用引理3.4，并重新表述关于度量u和ν的问题，infP∈P（ρ）supψ∈N*= infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*.然后，通过FenchelRockafellar对偶定理3.5建立对偶性（交换内界和上界）。我们将陈述[31]中定理的版本。该定理的变体也可以在[5]的开头或[36]的定理1.9中找到。定理3.5（Fenchel Rockafellar）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:34

设E是R上具有对偶E的局部凸Hausdorff拓扑向量空间*. 让f:E→ R∪ {+∞} 是真凸函数，g:E→R∪ {-∞} 是一个适当的凹函数，f*, g级*是它们各自的共轭物。如果f或g在两个函数都不确定的某个点连续，则infx∈Ef（x）- g（x）=最大∈E*g级*（y）-f*（y）。粗略地说，当前上下文中使用的对偶对的形式为（u，ν，(R)ν，ν）和（φ+ψ，Dtφ，xφ，xφ），其中d′ν=αdν，dν=βdν。双重配方将使用路径依赖型偏微分方程（PPDE）进行表征。定理3.6。让F：Cb(Ohm) → R是凸函数，N* Cb公司(Ohm) 是一个凸集，如infψ∈N*F（ψ）<+∞. 定义函数F*: M级(Ohm) → R byF*（u）：=supψ∈N*ZOhmψdu- F（ψ）。设H：∧×U→ R∪ {+∞} 满足假设2.6和H*（t，ω，·）是H（t，ω，·）的凸共轭。定义：=infP∈P（ρ）F*（P） +EPZH（αPt，βPt）dt，（11）V：=supψ∈N*,φ∈C1,2（λ）-F（ψ）-ZOhmφ（0，·）dρ，（12）受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0。（13）则V=V。此外，如果V是有限的，则达到（11）中的最大值。证据为了方便起见，我们用φtin代替φ（t，·）。回想一下，^P∈ M（λ）由P通过d^P=dt×dP诱导。在假设2.6下，只需考虑概率度量集P∈ P（ρ）in（11）。方向V≥ V可以很容易地显示如下。应用Fubini定理，在此设置中，除非N*= Cb公司(Ohm), F*不一定是F的凸共轭。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:37

相反，F*将是F 1（·）的凸共轭∈ N*).引理3.4，我们有v=infP∈P（ρ）F*（P） +Z∧H（αP，βP）d^P=infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+ZOhm（ψ+φ）du-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ）dν+Z∧H（α，β）dν≥ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）-F（ψ）-ZOhmφdρ+ZOhm（ψ+φ）du-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ）dν+Z∧H（α，β）dν≥ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+infu∈M级+(Ohm)ZOhm（ψ+φ）du- supν∈M+（λ）Z∧sup（α，β）∈Rd×SdDtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）dν=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+infu∈M级+(Ohm)ZOhm（ψ+φ）du- supν∈M+（λ）Z∧Dtφ+H*xφ，xφdν=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 06:12:41

φ≥ -ψ、 Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ 0.=V现在让我们关注相反的方向，V≤ 五、这是非常困难的。主要的技术问题是，为了使用Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5，我们要求特定凸函数的有效域具有非空内部。这是通过引入两个额外的松弛项来实现的, H和φ+ψ中。这类似于[36]第1.3节中证明1.22中Kantorovich对偶的技巧。根据F和N上的条件*, 存在一些ψ∈ N*使得F（ψ）<+∞.在剩下的证明中，让我们 > 0是一个固定常数，因此 >最大（|ψ）|∞, |H*（0，0）|）=最大值（|ψ）|∞, |最小H |）。然后我们有V+2 = infP公司∈P（ρ）F*（P） +ZOhm dP+Z∧（H（αP，βP）+) d^P=infP∈P（ρ）supψ∈N*-F（ψ）+ZOhm(ψ + ) dP+Z∧（H（αP，βP）+) d^P.应用Fubini定理和引理3.4，我们得到v+2 = infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）+ZOhm(ψ + φ+ ) du-ZOhmφdρ-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）- ) dν=infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*φ∈Cb公司(Ohm),φ=-(φ+ψ)-F（ψ）+ZOhm( - ^1）du-ZOhmφdρ-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）- ) dν。在证明的下一部分中，介绍度量（(R)ν，￠ν）∈ M（λ；Rd×Sd）通过d？ν=αdν和d？ν=βdν，因此我们可以写ev+2 = inf（ξ，ρ，u，ν，ν，Д，ν）∈Asup（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈B-F（ψ）+Z∧Hd？νdν，d？νdν+ dν+ZOhm du- h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i，式中：={（ξ，ρ，u，ν，ν，’ν，ν）∈ M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（∧；R×Rd×Sd）：ξ=0，ρ=ρ，u≥ 0, ν ≥ 0, (ν, ~ν) ν} ，B：={（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈ Cb公司(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（∧；R×Rd×Sd）：ψ∈ N*, φ ∈ C1,2（λ）s.t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 06:12:43

φ = φ, φ = -（φ+ψ），（p，q，r）=（Dt，x，x） φ}，内积由h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i定义：=ZOhm（ψdξ+Дdu）+ZOhmνdρ+Z∧（p dν+q·dν+r：dν）。请注意，A和B都是凸集。接下来，定义凸函数a:Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（λ；R×Rd×Sd）→ R∪{+∞} 它的凸共轭*: M级(Ohm)×M(Ohm)×M(Ohm)×M（λ；R×Rd×Sd）→ R∪{+∞}根据引理A.1。它们由以下表达式给出：a（ψ，(R)Д，Д，p，q，r）：=ZOhm^1dρ，如果Д≤ 和p+H*（q，r）≤ ,+∞, 否则*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν) :=ZOhm du+Z∧Hd？νdν，d？νdν+ dν，if（ξ，ρ，u，ν，ν，ν，ν）∈ A、+∞, 否则进一步定义凹函数b:Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（λ；R×Rd×Sd）→R∪ {-∞} 及其凹共轭b*: M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（λ；R×Rd×Sd）→R∪ {-∞} 按以下方式b（ψ，’Д，Д，p，q，r）：=(-F（ψ），if（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈ B-∞, 否则b*（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν）：=inf（ψ，’ν，ν，p，q，r）∈Bh（ξ，ρ，u，ν，’ν，Д），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i+F（ψ）。注意，我们不需要计算b*明确地因此，V可以写成V+2 = inf（ξ，ρ，u，ν，’ν，Дν）sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）a*（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν）+b（ψ，’ν，ν，p，q，r）- h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i，=inf（ξ，ρ，u，ν，ν，’ν，’ν，’ν）a*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν) - b*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν).为了应用Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5，我们需要cont（a）∩dom（b）6=.回想一下，F（ψ）<+∞, -ψ< 和H*(0, 0) < . 所需条件在（ψ，(R)Д，Д，p，q，r）=（ψ，0，-ψ, 0, 0, 0). 对偶定理意味着V+2 = sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）b（ψ，’Д，Д，p，q，r）- a（ψ，’Д，Д，p，q，r）=sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈B-F（ψ）-ZOhm^1dρ，s.t.Д≤ , p+H*（q，r）≤ ,= supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥ -, Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ ,将φ平移2 yieldsV=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥ 和Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 06:12:46

（14）为了消除在（14）中，我们将使用这样一个事实，即可以任意修改路径相关函数的时间导数，而不改变空间导数（见Remark3.8）。对于每个φ∈ C1,2（λ）满足（14），我们可以构造φ∈ C1,2（λ）通过φ（t，·）=φ（t，·）-Zt公司Dtφ（s，·）+H*(xφ（s，·），xφ（s，·））+ds。很容易检查φ=φ，φ≥ φ- , (x，x） φ=(x，x） φ，Dtφ=Dtφ-Dtφ+H*(xφ，xφ）+≤ -H*(xφ，xφ）。因此≤ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥ 0和Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ 0=V。因此，我们可以得出V=V的结论。如果V<+∞ 是Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5的直接结果。这就完成了定理3.6的证明。推论3.7。下面给出了时间t>0的类似结果。infP公司∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（s，X·∧s、 vPs）ds=supψ∈N*,φ∈C1,2t（λ）-F（ψ）-ZOhmtφ（t，·）dρt，受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0.（15）备注3.8。通过将r·f dt加到C1,2（λ）中的任何函数，可以用任意函数f改变时间导数，而不改变空间导数。这是路径依赖导数的一个有用但独特的性质，与传统的可微分函数相比，这有点违反直觉。通过应用这一思想并适当增加Dtφ，我们可以用一个等式替换PPDE中的不等式。然而，终端状态下的不良状态仍然存在。备注3.9。由于F中的附加灵活性，定理3.6提供了比定理3.1（i）更一般的设置。除了第2.3小节中的示例之外，这还允许更广泛的应用，例如，在原始问题中包含终端目标函数。一个值得注意的例子是在连续时间设置中对路径相关期权进行稳健对冲的应用（参见，例如，[9，22]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:49

如下图所示，定理3.6立即暗示了所谓的稳健定价对冲二元性。考虑欧洲支付的稳健对冲问题∈ Cb公司(Ohm) 对于一组由鞅测度表示的模型，其扩散特征是在一些紧凸集D中有界线 Sd+。假设存在欧洲支付形式的其他模型约束∈ Cb公司(Ohm, Rm），已知价格为0。Letus设置F=0，N*= {λ·g- f：λ∈ Rm}，如果α=0，β，则H（α，β）=0∈ D或+∞ 否则然后，鲁棒模型价格等于原始问题supP∈P、 EPg=0αP=0，βP∈DEPf=V=支持∈Pinfλ∈Rm-λ·EPg+EPf- EPZH（αP，βP）dt。对偶公式由v=infλ给出∈Rmφ∈C1,2（λ）φ（0，X），s.t.φ（1，·）≥ f- λ·g，Dtφ+supβ∈Dβ：xφ≤ 0。（16）通过函数It^o公式，对于满足（16）的每个φ，以下不等式对每个候选模型P，f保持P-a.s- λ·g- φ（0，X）≤Z（Dtφ+βP：xφ）dt+xφ·dXt≤Zxφ·dXt。因此，交易策略的起始成本为φ（0，X），持有动态投资组合x中的xφ和g中的静态位置λ是f的超边缘策略。由于这对于所有满足（16）的φ都是正确的，所以对偶值V必须是超边缘价格的上界，这很容易被证明至少是稳健模型价格。根据定理3.6，我们必须在稳健模型价格和超边际价格之间具有等式。为了完成定理3.1（i）的证明，我们需要用函数J来表示路径相关最优运输问题的解，这将重新确定最优控制问题和PPDE之间的联系。提案3.10。固定ψ∈ Cb公司(Ohm). 定义J byJψ，H（t，ρt）：=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:52

（17）（i）那么Jψ，hc可以写成Jψ，H（t，ρt）=infφ∈C1,2t（λ）ZOhmtφ（t，·）dρt，受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0。（ii）函数Jψ，Halso满足Jψ，H（t，ρt）=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.证明。（i）这是定理3.6在设置F=0和N后的直接结果*={ψ}.（ii）确定设定Φ：=φ ∈ C1,2t（λ）：φ（1，·）≥ -ψ、 Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0.从第（i）部分，我们立即得到jψ，H（t，ρt）≥ZOhmtinfφ∈Φφ（t，ω·∧t） dρt=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.对于其他方向，对于任何P∈ Pt（ρt），让我们分解P相对于mapX·∧t、因此存在ρt-a.s.唯一映射ω·∧t型→ Pω·∧t型∈ Pt（Δω·∧t）这样，对于所有 Ohm,P（E）=ZOhmtPω·∧t（E）dρt。回想一下，X是一个具有特征（αP，βP）的（F，P）-半鞅。那么，ρt-a.s.，X是an（F，Pω·∧t） -也具有特征（αP，βP）的半鞅。亨塞普-ψ -ZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtEPω·∧t型-ψ -ZtH（αPs，βPs）dsdρt≤ZOhmtsupP公司∈Pt（Δω）·∧t） EP公司-ψ -ZtH（αPs，βPs）dsdρt=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt，因为这适用于任何P∈ Pt（ρt），通过定义Jψ，H，我们得到了所需的结果。备注3.11。命题3.10中使用的论点可以扩展，以获得众所周知的动态规划原理，即Jt=Jψ，H（t，Δω·∧t）。简要概述任何停止时间τ的参数≥ t、我们有以下不等式链，Jt≤ 支持Jτ-ZτtH（αP，βP）dt= 支持infφφτ-ZτtH（αP，βP）dt≤ infφφt，其中第一个不等式源自命题3.10（ii）的分解论证，中间等式源自命题3.10（i）的对偶结果，最终性质源自函数It^o公式和PPDE。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:56

应用对偶结果意味着整个过程必须是平等的。推论3.7和命题3.10的结合意味着我们的主要对偶结果，即定理3.1（i）。3.4最优概率测度如果对偶问题达到最优，我们可以使用定理3.1（ii）来描述最优概率测度，该定理被重新表述为下面的命题3.12。提案3.12。设▄P是最优运输问题的最优概率测度，其特征（▄α，▄β）在[t，1]上。Let（ψn，φn）n∈Z+是（6）和（7）的优化顺序。然后我们有以下概率收敛Ohm ×【t，1】：Dtφn+H*xφn，xφndP×dt→ 0，φn+ψndP→ 0。（18）此外，假设H是强凸的，即存在一个常数C>0，使得对于所有t，ω，α，β，α，β和任何子导数H、如果H（α，β）是有限的，则H（α，β）≥ H（α，β）+HH（α，β），（α- α, β- β） i+C（kα- αk+kβ- βk），其中k·k是Rd和Sd上的Lnorm。然后，以下内容将继续Ohm ×[t，1]，H*xφn，xφndP×dt→ (~α,~β).证据对于每个 > 0，对于所有足够大的nF，我们有以下不等式*（▄P）+E▄PZtH（▄αs，▄βs）ds≤ -F（ψn）-ZOhmtφn（t，·）dρt+.应用函数It^o公式和重新排列，该屈服值ZtH（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφNSD（19） +EPZt公司-Dtφns- H*xφns，xφnsds公司+ EP（φn+ψn）+（F*（￠P）+F（ψn）- E▄Pψn）≤ .利用Fenchel不等式，以及条件|φ（1，·）≥ -ψ，Dtφ+H*x▄φ，x▄φ≤ （19）中的四个术语（尤其是期望值和积分中的术语）都不是负数。因此，它们都必须以, 这意味着需要收敛（18），以及0≤ EPZtH（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφNSD≤ .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:12:59

（21）如果H是强凸的，则H*是可区分的，我们可以定义（αn，βn），使得（αn，βn）=H*xφn，xφn,xφn，xφn= H（αn，βn）。请注意，我们对强凸的定义并不要求H是可微分的，因为只使用了次导数。然而，这意味着H是严格凸的，因此H*因此，通过凸共轭的定义和H的强凸性，H（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφns=H（|αs，|βs）- H（αns，βns）- （￠αs- αns）·xφns-（￠βs- βns）：xφns≥ Ck▄αs- αnsk+βs- βns. （22）组合（21）和（22）意味着（αn，βn）→ dP×dt中的（|α，|β），完成证明。备注3.13。如果对偶问题的最优解是由一对（|ψ，|φ）得到的，那么命题3.12中的所有收敛结果都可以用等式代替。3.5路径依赖型Pd在本小节和下一小节中，我们对ψ和H施加了额外的假设，这是PPDE适定性所必需的。假设3.14。（i）对于每个（α，β），H（·，·，α，β）是F-逐步可测量的。（ii）H的有效域由dom H=λ×U给出，其中U Rd×Sd++是紧凑的。换句话说，对于所有（t，ω）∈ ∧，H（t，ω，α，β）<+∞ 当且仅当（α，β）∈ U、（iii）此外，H在其作用域内有界且一致连续。（iv）函数ψ有界且一致连续，具有与H相同的连续模。备注3.15。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:13:01

假设2.6和3.14对H有以下影响*（t，ω，p，q）：（a）对于固定（p，q），H*（·，p，q）是F-逐步可测量的，且| H*（·，p，q）|有界；（b） H类*是一致椭圆的，即存在一个常数c>0，使得H*（·，q）-H*（·，q）≥c tr（q- q）对于任何q≥ q（c） H类*在（p，q）中是一致Lipschitz连续的；（d） H类*在（t，ω）中一致连续。条件（a）满足，因为H是逐步可测量的，H*可以写成可数族逐步可测函数的上确界。还要注意H*（·，0，0）有界。对于（b），H*实际上是一致椭圆的，因为只有当β的特征值一致有界于正常数以下时，H（·，β）才是有限的。对于（c），由于H（t，ω，·）的有效域是有界集U，H*（t，ω，·）也必须有界。最后，（d）成立，因为H（·，α，β）在∧上一致连续。为了获得粘度解的唯一性，我们需要额外的技术消耗（见[14]，假设3.5）。对于所有人 > 0，n≥ 0和0≤ T<T≤ 1，表示∏n（T，T）：={πn=（ti，xi）1≤我≤n： T<T<···<tn<T，xi≤ , 1.≤ 我≤ n} 。对于所有πn∈ Πn（T，T），设ωπn∈ OhmT∩ OhmT指定（0，0），（T，0），（ti，iXj=1xj）1的线性插值≤我≤nand（1，iXj=nxj）。假设3.16。存在0=T<···<TN=1，因此以下各项适用于每个i=0，N-1、对于任何, n、 p、q和ω∈ OhmTi+OhmTi+1，函数πn→ ψ（ω+ωπn）和πn→ H*（t，（ω+ωπn）·∧t、 p，q）在∏中一致连续n、现在，我们将提出第3.1（iii）条提案，在这里重述。提案3.17。假设满足假设2.6和3.14。那么Jψ，hh表示Jψ，H（t，ρt）=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtφψ，H（t，·）dρt.（23），其中φψ，His是以下路径相关PDE的粘度解：φ（1，·）=-ψ和Dtφ+H*xφ，xφ= 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:13:04

（24）此外，如果假设3.16也满足，那么φψ，His是PPDE（24）的唯一粘度解。证据根据命题3.10，必须证明该解是控制问题jψ，H（t，δ（x·∧t））=支持∈Pt（δ（x·∧t）（）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）DS是PPDE（24）的粘度溶液。这可以通过遵循[13]中的相同论点，即命题4.7来证明，这是对PPDE设置中推导HJB方程的标准论点的改编。如果假设3.16也成立，那么我们有PPDE（24）和φψ，hm的完全比较原理必须是唯一的粘度解（见【14】，定理4.1）。备注3.18。如【14】第8.3节所述，假设3.16是一个技术假设，仅用于构建一系列粘度溶液，以接近路径冻结PDE系列。在控制问题中，如命题3.17中的控制问题，可以通过一系列近似控制问题及其HJB方程直接构造所需的粘度解族，而无需假设3.16。另一种方法是利用[30]的比较原理结果，这要求在定义均匀连续性时在∧上有不同的度量。它也不需要第3.16条。我们将把这些潜在的方法推迟到未来的研究中，并请感兴趣的读者参考[13、14、30]，以详细讨论全非线性PPDE的粘度解决方案和各种版本的规律性假设。3.6降维一个特别有趣的情况是，ρ是狄拉克测度，即ρt=δt，x=δ（x·∧t=x·∧t）。ThenJψ，H（t，δt，x）=supP∈Pt（δt，x）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=infφ∈C1,2t（λ）φ（t，x·∧t），（25）以φ（1，·）为准≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 06:13:07

（26）对于x∈ Ohm, 让我们用简写J（t，x）：=Jψ，H（t，δt，x）。通常，J（t，·）只取决于时间t之前的路径，并且可以显示为可测量的。但在所有实际例子中，支付函数ψ和成本函数h都只取决于路径的某些特征，而不是整个路径，并且通常可以由有限数量的状态变量参数化。直观地说，就这些状态变量而言，解J（t，·）应该是马尔可夫的。这在实践中很有用，因为它允许我们识别驱动路径相关特征的状态变量，并将有限维PPDE简化为有限维PDE。这种降维思想在BSDE的数值方法（参见，例如，[16，37]）和路径相关随机控制问题（参见，例如，[33]）中是众所周知的。通常的方法是识别一个“更新函数”[6]或等效函数，该函数根据路径的演变更新状态变量。在本文中，我们将以一种略有不同的方法将这一概念正式化。在这里，我们介绍了一种所谓的“半过滤”，它是一类比F小的σ-代数，它捕获了解决方案所需的信息。通常，这可以是由状态变量生成的σ-代数，但我们的构造也允许更一般的情况。此外，如备注3.22所示，我们的方法能够明确构建任意问题的“最小”半过滤。定义3.19（半过滤）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:13:10

（i） σ-代数的集合G={Gt:t∈ 如果以下属性成立，【0，1】}称为半过滤：o对于每t，Gt 英尺；o对于所有t<u，Gu 燃气轮机∨ F[t，u]，其中F[t，u]是由F[t，u]=σ（{Xs）定义的σ-代数- 文本：s∈ [t，u]}）。（ii）一对函数（ψ，H）∈ Cb公司(Ohm) 如果ψ是G-可测的且对于每t∈ [0，1]，H（t，·，·）是Gt B（U）-可测量。一般来说，半过滤G不是过滤。它有以下解释。随着时间的推移，G收集了关于规范过程X的更多信息，与F收集信息的方式相同。同时，G也被允许“忘记”信息，每当包含Gu时，G都会被忽略燃气轮机∨F[t，u]是严格的。此外，一旦信息被“遗忘”，G就不允许“回忆”信息。对于许多实际问题的数值实现，G的优点是比F小得多。例如，如果已知问题是马尔可夫问题，那么它可以跟踪状态变量Gt=σ（Xt）的当前值，而不是整个路径Ft的历史。理想情况下，我们会选择G尽可能小，同时保留解决方案所需的所有因变量。条件Gu 燃气轮机∨ F【t，u】可以解释为半过滤的时间一致性条件。给定Gt和时间段[t，u]的所有可能信息，我们有足够的时间来构造Gu。这个概念在下面的重要引理中正式化了。引理3.20。设G是半过滤空间，X，Y是抛光空间。修复t∈ [0，1]和考虑函数f∈ Cb公司(Ohm ×X，Y）即（（Gt∨F【t，1】）B（X），B（Y））-可测量。确定地图：Ohm → Cb公司(Ohmt×X；Y）通过ωΓ→ f（ω·∧t+·，·）。那么Γ是可测量的。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:13:13

请注意，空格Cb(Ohmt×X；Y）被赋予上确界范数k·k∞以及相关的Borelσ-代数。对于任何打开的球D Cb公司(Ohmt×X；Y）对于中心g和半径r，我们必须检查Γ-1（D）∈ 燃气轮机。由于Ohmt×X，我们可以写Γ-1（D）=\\（ω，x）∈SΓ-1（ω，x）（D（ω，x）），（27），其中S是Ohmt×X，mapΓ（ω，X）：Ohm → Y由ω定义→ f（ω·∧t+ω，x）和D（ω，x） Y是一个中心为g（ω，x）且半径为r的开放球。通过（27），可以检查Γ-1（ω，x）（D（ω，x））∈ GT全部（ω，x）∈ Ohmt×X.现在自f起-1（D（ω，x））∈ （燃气轮机∨F【t，1】）B（X），通过取这个集合的X截面，我们得到了f-1（D（ω，x），x）∈ 燃气轮机∨ F【t，1】。那么我们有以下含义{ω：f（ω，x）∈ D（ω，x）}∈ 燃气轮机∨ F【t，1】==> {ω：f（ω，x）∈ D（ω，x），ω-ω·∧t=ω}∈ 燃气轮机∨ F【t，1】<==> {ω：f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x），ω-ω·∧t=ω}∈ 燃气轮机∨ F[t，1]（28）==> {ω：f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x）}∈ 燃气轮机。（29）最后一个含义依赖于一个事实，即存在一个自然同构gt∨ F【t，1】~=\'\'Gt B类(Ohmt），其中'gt是上的σ-代数Ohmt、自f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x）不依赖于时间t后的路径，（29）通过ω剖分（28）得到-ω·∧t=ω∈ Ohmt、因为（29）等于Γ-1（ω，x）（D（ω，x））∈ Gt，这就完成了证明。现在我们可以证明定理3.1（iv），它在下面被重述为命题3.21。提案3.21。假设假设满足假设2.6和3.14。让（ψ，H）适应半过滤G={Gt:t∈ [0, 1]}. 我们得到以下结果：（i）（25）定义的映射J（t，·）是Gt可测量的；（ii）如果φ∈ C1,2t（λ）是[t，1]上PPDE（24）的经典解，H是严格对流的（α，β），则对（α，β）=H*xφ（t，·），xφ（t，·）Gt是否可测量。证据（i）首先要注意的是，由于（ψ，H）是有界的、连续的并且适应于G，所以映射（ω，u，v）→ （ψ（ω），H（u，ω·∧s、 v）），其中u≥ t是有界的、连续的和（Gt∨F【t，1】）B（R×U）可测量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝