线上鞅最优运输的完全对偶性

2022-5-8 11:39:26

LineMathias-Beiglb"ock上的完全对偶鞅最优输运*Marcel Nutz+Nizar Touzi2016年6月14日摘要我们研究实线路上两个概率测度之间的最优运输，其中运输计划是一步鞅定律。本文介绍了对偶问题的一个拟确定公式，并证明了它对一般边际和可测报酬（成本）函数给出了一个完整的对偶理论：不存在对偶缺口和对偶优化器。这两种性质在经典公式中都被证明是失败的。作为对偶结果的结果，我们得到了描述最优输运几何的循环单调性的一般原理。鞅；最优运输；Kantorovich DualityAMS 2010学科分类60G42；49N051简介设u，ν为实线R上的概率测度。从u到ν的Monge–Kantorovicht传输是RW上的概率P，边缘分别为u和ν；也就是说，如果（X，Y）是R上的身份映射，那么u=Po 十、-1是X在P下的分布，类似地，ν=Po Y-1.所有人的集合*维也纳大学数学系，马蒂亚斯。beiglboeck@univie.ac.at.Financial感谢FWF赠款P26736和Y782-N25的支持。+哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.感谢NSF对DMS-1512900和DMS1208985的资助巴黎理工学院，CMAP，尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.这项工作得益于ERC高级赠款321111、ANR赠款ISOTACE以及金融风险和金融与可持续发展主席的财政支持。作者感谢Florian Stebegg和一位匿名推荐人的有益评论。这些转运用∏（u，ν）表示。让P∈ π（u，ν）并考虑积分P=u κ.

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2022-5-8 11:39:30

如果随机核κ（x，dy）≡ P[·| X=X]由图T:R的狄拉克质量δT（X）给出→ R、然后T被称为相应的Monge传输。一般来说，Monge-Kantorovich转运可以解释为随机Monge转运。设f是R上的（可测）实函数；然后根据P isP（f）将u传输到ν的累积报酬≡ EP[f（X，Y）]≡ZRf（x，y）P（dx，dy）和Monge-Kantorovich最优运输问题由Supp给出∈π（u，ν）P（f）。（1.1）在另一种解释中，f的负值被视为一种成本，而上述是累计成本的最小化。Monge–Kantorovich公式的一个优点是优化器P∈ π（u，ν）的存在是因为f是上半连续的且可积的（当然，当f仅可测时，存在可能失败）。在过去几十年里，优化交通一直是一个非常活跃的领域；我们参考维拉尼的专著[41,42]或安布罗西奥和吉利的讲稿[2]作为背景。在所谓的鞅最优运输问题中，我们只考虑符合鞅定律的运输；那么u可以看作是时间t=0时鞅的分布，而ν可以看作是过程att=1的分布。这个问题是由贝格洛克、亨利·劳埃德和彭克纳[5]在离散时间的情况下提出的，由加利孔、亨利·劳埃德和图齐[23]在连续时间的情况下提出的。在本文中，我们主要关注最基本的情况，即传输发生在一个时间步长内。也就是说，从u到ν的鞅输运是一个P定律∈ 其中（X，Y）是鞅；当然，这需要u和ν有有限的第一时刻。We-letM（u，ν）=P∈ π（u，ν）：EP[Y | X]=xp-a.s。表示鞅传输的集合。

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2022-5-8 11:39:33

或者，考虑分解P=u P的κ∈ Π(u, ν); 那么P是鞅输运当且仅当x是μ-a.e.x的κ（x）的重心（平均值）∈ R也就是说，Ryκ（x，dy）=x。在这里，我们还可以观察到，在这种情况下，Monge传输是没有意义的，只有常数鞅是确定的。鞅性质导致u和ν之间的不对称性——随着时间的推移，边缘只能变得更加分散。更准确地说，集M（u，ν）是非空的，当且仅当u，ν是凸序，表示为u≤cν，表示u（φ）≤ 当φ是凸函数时（参见Proposition 2.1）。在此条件下，鞅最优运输问题由Supp给出∈M（u，ν）P（f）。（1.2）本文针对这个问题发展了一个完整的对偶理论，即广义奖励函数和边际。特别地，我们得到了对偶问题的存在性，这是本文的主要目的。问题（1.2）是在[7,30]中首次研究的。与经典运输的霍夫丁-弗雷切特耦合类似，[7]建立了一个度量P，即所谓的左幕耦合，对于特定形式的奖励函数，它在（1.2）中是最优的。在[26]中，这种形式被推广到斯宾塞-米尔莱斯条件的一个版本，其中耦合也被更明确地描述，而[31]显示了相对于边缘的稳定性。另一方面，[29,30]找到f（x，y）=±| x的最佳传输- y |。文献[43]研究了鞅输运问题的一般化，其中对∏（u，ν）施加任意线性约束。鞅最优运输的动机是考虑金融数学中的模型不确定性。从[27]开始，一系列文献通过Skorokhod嵌入问题研究期权价格的鲁棒边界，这可以解释为连续时间内的最优运输；参考[28,37]了解调查。

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kedemingshi

2022-5-8 11:39:36

参考文献[3]中的相反方向，从最佳运输角度研究了Skorokhodembeddings。最近，arich的文献围绕模型稳健性和传输的主题出现；例如，离散时间模型见[1,8,13,14,15,16,22,35]，连续时间模型见[6,11,18,17,20,21,24,25,32,34,36,38,40]。1.1经典传输的对偶让我们首先回顾经典情况（1.1）的对偶结果。事实上，双问题由inf~n，ψ{u（ψ）+ν（ψ）}给出，受制于ψ（x）+ψ（y）≥ f（x，y），（x，y）∈ R.（1.3）此处∈ L（u）和ψ∈ L（ν）是实函数，可以看作（1.1）中边际约束的拉格朗日乘数。Keller[33]在一般情况下得出了关于这种对偶性的两个基本结果。首先，不存在二元鸿沟；i、例如，（1.1）和（1.3）的值重合。其次，存在一个优化器（ψ，ψ）∈ 对于对偶问题，只要其值（1.3）是有限的。虽然额外的正则性假设允许更容易的证明，但[33]的结果适用于任何Borel函数F:R→ [0, ∞]. 一个重要的应用是“最优运输的基本理论”[2,42]或“单调性原理”，它描述了最优运输所使用的轨迹：存在一个集合Γ rsuch表示给定的传输∈ 当且仅当P集中在Γ上时，∏（u，ν）对于（1.1）是最佳的。通过设置Γ={（x，y），可以直接从对偶优化器（ψ，ψ）获得该集合∈ R:ψ（x）+ψ（y）=f（x，y）}。（1.4）事实上，给定ψ，我们可以通过f-凹共轭找到Γ，反之亦然，因此这两个函数中的任何一个都可以称为问题的Kantorovich势，然后Γ是其f-次微分的图形。

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2022-5-8 11:39:40

集合Γ有一个称为f-循环单调性的重要性质，可以用来分析最优传输的几何结构；我们参考[2,42]了解更多背景信息。1.2鞅的对偶性现在让我们在感兴趣的情况下继续讨论对偶问题，其中鞅约束产生一个额外的拉格朗日乘子。形式上，EP[Y | X]=X相当于EP[h（X）（Y）- 十） ]=0表示所有函数h，因此（1.3）的模拟域由实函数的三元组（ψ，ψ，h）组成，使得ψ（X）+ψ（y）+h（X）（y- 十）≥ f（x，y），（x，y）∈ R、（1.5）在对偶代价函数不变的情况下，inf~n，ψ，h{u（ν）+ν（ψ）}。在[5]中，当奖励函数f为上半连续且满足线性增长条件时，证明不存在对偶间隙，类似结果在[43]中成立。另一方面，文献[5]中的一个CounterExample表明，即使f是有界连续的，且边值是紧支持的，对偶问题也可能不允许存在最优解。[5,43]中正结果的证明，不存在对偶缺口，通过将鞅约束对偶化，并使用极大极小参数，简化为经典输运理论。只有后一步需要上半连续性，很容易相信这是证明技术所必需的技术条件。

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2022-5-8 11:39:44

这被证明是错误的：我们提供了一个反例（例8.1），表明对偶问题（1.5）可以在一个相当平淡的环境中产生一个对偶间隙，具有紧支撑的边和一个有界且下半连续的奖励函数。关于缺少优化器的问题，我们提供了一个反例（例8.2），从某种意义上说，这个反例比[5]中的反例更简单，并表明只要边缘不满足称为不可约性（见下文和第2节）的条件，且fis不光滑，存在的失败就是普遍的。现在让我们介绍对偶问题的一个公式，它将允许我们克服这两个问题，并发展一个完整的对偶理论，即一般奖励函数的对偶存在性和无对偶缺口。最重要的新奇之处在于，我们将以准确定的方式重新构造（1.5）的逐点不等式。事实上，我们说，如果一个属性在一个M（u，ν）极集合之外保持不变，那么它就保持M（u，ν）-准静态（简称q.s.）；也就是说，一个集合对于所有的P都是P-null∈ M（u，ν）。然后，我们将（1.5）替换为ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ f（X，Y）M（u，ν）-q.s。；（1.6）也就是说，这个不等式对所有的P都适用∈ M（u，ν）。对于经典输运，我们知道所有的极集都是一个平凡的类型，它们对于其中一个边缘是可忽略的。这在鞅情形中是不同的。事实上，正如在[7]中观察到的，存在着任何鞅输运都无法跨越的障碍。这些屏障将实线划分为（几乎）不相互作用的区间，因此被称为不可约分量。我们的第一个重要结果（定理3.2）提供了它们（u，ν）-极性集的完整特征：Ris极性的子集当且仅当其包含轨迹a）穿过障碍或b）可忽略的一个边缘。

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2022-5-8 11:39:47

基于这个结果，我们对（1.6）有了相当精确的理解；也就是说，它代表了每个不可约分量上的一个逐点不等式，即边缘不可见的模集。因此，我们首先研究不可约成分；分析分为两部分。一方面，分离（Hahn–Banach）和延伸（Choquet理论）的软论点与经典输运理论相似。另一方面，有一个基于新论点的重要封闭结果（命题5.2）：给定奖励函数fn→ f和相应的几乎最优对偶元素（ψn，ψn，hn），我们为f构造了一个极限（ψ，ψ，h）。这个结果的证明与边缘的凸阶有着密切的联系。事实上，我们引入了凹函数χn，它在单边界的意义上控制（ψn，ψn）。基于形式0的丰富性，为序列（χn）建立了Arzela–Ascoli型的紧性结果≤Zχnd（u）- ν) ≤ C.（1.7）在为χn找到一个极限χ之后，我们可以通过Komlos型参数为（ψn，ψn）生成极限（ψ，ψ），并且相应的函数h可以后验方式找到。紧致性结果让我们对全局问题的逐点公式（1.5）的失败有了一些了解：界（1.7）不能控制χnat势垒的凹度，因为u和ν之间的内在质量在这些点的凸顺序上并不“严格”。第二次放松是获得对偶结果所必需的；也就是说，需要从广义上定义成本u（ν）+ν（ψ）。我们提供了大量的例子，表明如果一个人坚持认为μ和ψ分别可积于u和ν，则对偶优化器（例8.4）的存在以及在某些情况下不存在对偶间隙（例8.5）就会崩溃。

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2022-5-8 11:39:51

我们认为u（ν）+ν（ψ）的几个自然定义会导致相同的值。有了这些概念，我们的主要结果（定理7.4）是任意Borel奖励函数f:R的对偶→ [0, ∞]; 在这里，下半身可以轻松放松（备注7.5），但不能完全消除（示例8.6）。此外，只要对偶问题是确定的，它就存在。因此，我们推导出了一个单调性原理（推论7.8），其集合类似于（1.4），具有相当明确的形式，推广和简化了[7,43]的结果。虽然之前没有关于不规则奖励函数的对偶性的结果，但我们提到[7]中单调性原理的证明包含了连续f情况下对偶优化器的理论元素，尽管[7]中没有形式化对偶问题。我们期望本文中提出的准肯定公式将被证明不仅适用于目前的情况，而且适用于一大类运输问题；特别是，在一般条件下获得双重成就。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们重新讨论了凸阶和势函数。第3节描述了m（u，ν）-极集的结构，第4节讨论了u（ν）+ν（ψ）的扩展定义。对偶问题的关键封闭性结果在第5节中得到，这允许我们在第6节中建立关于不可约分量的对偶。第7节结合前面的结果得到了整体对偶定理和单调性原理。反例收集在第8.2节“凸序的预备知识”的结论部分。考虑有限测度是有用的，不一定要标准化为概率。

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2022-5-8 11:39:54

第一节中介绍的概念以一种明显的方式延伸。设u，ν为R上具有有限第一时刻的有限测度。我们说u和ν是凸序的，表示为u≤cν，如果u（φ）≤ ν（φ）对于任何凸函数φ：R→ R.然后得出u和ν具有相同的总质量和相同的重心。这个顺序的另一个特征是所谓的势函数，由uu：R定义→ R、 uu（x）：=Z|t- x |u（dt）。这是一个非负凸函数，最小值在u的中值处，可以通过二阶导数从uu中恢复u。以下结果是已知的；重要的部分是[39，定理8]。提议2.1。假设u（R）=ν（R）。以下是等效的：（i）度量u和ν是凸的：u≤cν。（ii）u和ν的势函数顺序为：uu≤ uν。（iii）存在从u到ν的鞅输运：M（u，ν）6=.区分uu<uν的区间与势函数接触的点是很重要的，因为这些点是鞅传输的障碍。在下文中，声明如下：≤cν隐含地意味着u，ν是R上具有有限第一时刻的有限度量。定义2.2。这一对≤如果集合I={uu<uν}是连通的且u（I）=u（R），则cν是不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任意端点的并集，它们是ν的原子；那么（I，J）是（u，ν）的域。由于I之外的uu=uν，以及u（I）=u（R）和u，ν具有相同的质量和平均值，因此度量ν集中在J上。更精确地说，开放区间I是ν的支撑的凸包的内部，J是I支撑的ν的最小超集。边缘地带≤cν可分解为不可约组分，如下所示：；参见[7，定理8.4]。提议2.3。让我们≤cν和let（Ik）1≤K≤Nbe{uu<uν}的（开放）分量，其中N∈ {0, 1, . . . , ∞}.

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2022-5-8 11:39:59

集合I=R\\∪K≥1Ikanduk=u| ik表示k≥ 0，所以u=Pk≥0uk。然后，存在唯一的分解ν=Pk≥0νk表示u=ν和uk≤cνk代表所有k≥ 1，这个分解满足所有k的Ik={uuk<uνk}≥ 1.此外，任何P∈ M（u，ν）允许唯一的分解P=Pk≥0PK这样的PK∈ M（uk，νk）表示所有k≥ 0.指数0在上面是特殊的：度量是从u到自身的唯一鞅传输，由x7定律给出→ （x，x）在u以下。这对应于一个常数鞅或相同的Mongetransport。特别是，PDO不依赖于P∈ M（u，ν）。我们观察到，法律与正义党专注于:= ∩ 一、对角线部分 = {（x，x）∈ R:x∈ R} 它不包含在任何squaresIk×jkk中≥ 1.因此，将在k=0时扮演类似于Ik×JK的角色。第二句话是两个家族（uk）k≥0和（Pk）k≥0是相互单数，而（νk）k≥你不必这样。事实上，一个ν原子可能会分裂成两个相邻的组分νk。我们在本节结束时给出一条技术注释，以供以后使用。备注2.4。我们从定义中观察到，连续凸函数uu在u支撑的左侧和右侧，绝对斜率等于u的质量。此外，第一导数的不连续性对应于μ原子。让我们≤cν与域（I，J）不可约，且写I=（l，r）。当u（I）=u（R）时，度量u不能在I的边界点上有原子∞; 那么导数duu（r）就存在并且等于u（r）。

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2022-5-8 11:40:02

然而，度量值ν可能在r处有一个原子，虽然右导数d+uν（r）总是等于duu（r），但左导数满足duu（r）- D-uν（r）=2ν（{r}）。同样，如果l>-∞, 我们已经成功了-uν（l）=duu（l）=-u（R）和D+uν（l）- duu（l）=2ν（{l}）。3 M（u，ν）-极性集的结构本节的目标是刻画不能由任何鞅输运充电的集。给出了某个空间上的一组测度(Ohm, F） a组B组 Ohm 如果每个P都是P-null，则称为P-polar∈ P.对于经典质量输运，可通过将Keller对偶定理[33]应用于指示函数f=1B获得以下结果；参考[4，命题2.1]。提议3.1。设u，ν为相同总质量和letB的有限度量 Rbe是一套Borel套装。那么B是∏（u，ν）-极的当且仅当存在一个u-nullset Nu和一个ν-nullset Nν使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）。上述结果更普遍地适用于任意抛光面，表明只有∏（u，ν）-极性集是明显的：边缘不可见的集。这就是为什么在经典的双输运问题中，准确定公式和点态公式之间没有区别。也就是说，如果φ（X）+ψ（Y）≥ f保持∏（u，ν）-q.s.，设B为例外集，设Nu，Nν如上。然后，设置φ=∞ 关于Nu和ψ=∞ 关于Nν产生ψ（X）+ψ（Y）≥ f点在R上，不改变成本u（ν）+ν（ψ）。对于鞅输运来说，情况基本上是不同的。除非≤cν是不可约的，所有鞅传输都有障碍，更准确地说，一个“不在分量上”的集合是极性的，即使它被边缘人看到。下面的结果完全描述了M（u，ν）-极性集的结构。图1：在定理3.2的图示中，条纹区域对应于两个不可约分量的域。

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2022-5-8 11:40:05

虚线区域是极性的，尽管它们对于边缘来说是不可忽略的。定理3.2。让我们≤cν，让B Rbe是一套Borel套装。然后B isM（u，ν）-极性当且仅当存在u-nullset Nu和ν-nullset Nν，使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）∪ ∪[k]≥1Ik×Jkc、在哪里 = {（x，x）∈ R:x∈ R} 是对角线。证明的主要步骤是以下构造。引理3.3。让我们≤cν是不可约的，设π为边π，π满足π的rw上的有限测度≤ μ和π≤ ν. 然后，就有了SP∈ M（u，ν），使得P在绝对连续性意义上支配π。证据设（I，J）为（u，ν）的域。我们可以假设u，ν是概率测度；特别是，I 6=.（i）我们首先展示了在另一个假设下的结果，即π在紧致矩形K×L上得到支持 I×J.写I=（l，r），（I，J）的定义意味着，ν将正质量分配给l的任何邻域。由于K是紧的，它与l有正距离，我们可以找到一个紧集B- 带ν（B）的J-) > K左边0；i、 e.所有y的l<y<x∈ B-还有x∈ K.同样，我们可以找到一个契约b+ K右边质量为正的J，设π=π κ是π的解体；我们可以选择核κ（x，dy）的一个版本，它集中在所有x的L上∈ K.我们现在将改变κ（x）的平均值，使其成为鞅核。实际上，让我们引入一个核κ，其形式为κ（x，dy）=κ（x，dy）+s-（x） ν（dy）|B-+ s+（x）ν（dy）|B+c（x），x∈ K.这里是c（x）≥ 1是标准化常数，因此κ（x，dy）是一个随机变量。此外，对于κ（x）的平均值小于或等于x的x，我们设置s-（x）：=0，定义s+（x）为唯一的非负标量，使得κ（x）的平均值等于x，在相反的情况下类似。注：π≤ u我们的意思是π（A）≤ u（A）对于每个Borel集合A R.s±的定义很好，因为B±与x的左侧（分别为右侧）的距离为正∈ K

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2022-5-8 11:40:08

那么，π：=ν（B-) ∧ ν（B+）π κ是带π的鞅测度 π及其边值u，ν满足u≤π≤ u和ν≤ ν; 后者是由于π（R）≤ u（R）=1和κ（x）≤ ν（B）-)-1ν| B-+ ν（B+）-1νB++κ（x）和π ν| B-+ π ν| B++π κ ≤ 3ν.我们还注意到π集中在紧致平方K×L（3.1）上，其中 J是由B生成的凸集-B+。还有待发现∈ M（u，ν）使得 π.（a）我们首先考虑I=J的情况，因为uν- uu在I上是连续且严格正的，这个差在紧致集L上一致有界远离零 I.另一方面，连续函数uν- uu在L上一致有界。因此，有0<ε<1使得uu- εuu≤ uν- εuν在L上，但是这个不等式扩展到了R的整体，因为uu=uν超出L，因为（3.1）。还注意到- εuu=uu-εu，因此我们有u- εu≤cν- εν，由于μ，这些是非负度量≤ u和ν≤ ν. 因此，M（u- εu, ν - εν）是非空的；参见提案2.1。设πε为该集合的任意元素，且定义为εu（R）-1π+ πε.通过构造，P是M（u，ν）和P的一个元素 π π.（b）接下来，我们讨论了一种情况，其中ν在I的一个或两个端点上有一个原子。假设ν（{r}）>0；然后，我可以触及J的右边界，我们需要给出一个不同的论点，证明ε>0的存在，如上所述，因为uν- uu不再需要以零为界。然而，左导数满足d-uν（r）<d-注释2.4中的uu（r），如果ν（{l}）>0，则类似地在l处。回顾任何势函数的导数，尤其是uu和uν-的导数，都是由相应量度的总质量一致限定的，我们发现我们仍然可以找到ε>0，使得uu- εuu≤ uν- εuν。其余部分如上所述。（ii）最后，我们处理一般情况。Asπ≤ μ和π≤ ν、 π的测量必然集中在I×J上。

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2022-5-8 11:40:11

我们可以用序列（Qn）n覆盖I×J≥1个紧凑矩形Qn I×J和定义度量Qnsuch支持的πnsu，即π=Pπn。对于每个n，我们在（I）中的构造产生一个鞅传输计划πn Pn∈ M（u，ν），然后P=P-nPnsatis满足引理的要求。推论3.4。这一对≤cν是不可约的当且仅当∏（u，ν）-极集和M（u，ν）-极集重合。证据如果u≤cν是不可约的，这个结论是前面引理的直接结果。相反，假设≤cν不是不可约的；也就是说，存在x∈ R使得uu（x）=uν（x）和u(-∞, x） >0和u（x，∞) > 0.然后是布景(-∞, x） ×（x，∞) 是M（u，ν）-极性（命题2.3），但不是∏（u，ν）-极性（命题3.1）。定理3.2的证明。根据命题2.3和推论3.4，一个Borel集Bis M（u，ν）-极当且仅当B∩ （Ik×Jk）对于所有k都是∏（uk，νk）-极性的≥ 1和B∩ 是P-null。现在应用命题3.1 foreach k得出结果≥ 1.4广义积分4。凹函数的1积分≤cν与域（I，J）不可约，设χ：J→ R是一个凹函数。我们假设I6=. 我们的首要目标是确定差异u（χ）- ν(χ). 事实上，u（χ）和ν（χ）在[-∞, ∞) 正如χ+具有线性增长，但我们需要详细说明差异。有（至少）三种自然定义，我们将看到它们都产生相同的价值。为此，请注意，χ在I上的凹度是连续的，但在边界J\\I处可能有向下的跳跃。我们用|χ（y）|。（1）近似值。假设一个开放的、有界的区间序列严格地增加到I（即，对于所有n，I有两个分量），事实上，除了例4.5和备注4.6之外，我们不需要本节结果的不可约性。

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能者818

2022-5-8 11:40:16

此外，我们可以允许χ取值-∞ 关于J\\I.考虑凹的线性增长函数χn:J→ 由以下条件定义：χn=In和J\\I上的χ，而I\\In的每个分量上的χnisa，在In的端点处具有连续的一阶导数。那么，u（χn）和ν（χn）都是有限的，我们设置i（χ，u）- ν）：=林→∞[u（χn）- ν（χn）]。（4.1）我们将看到[0]中存在极限，∞].（2）部分集成。允许-χ是凸函数的（局部有限）二阶导数测度-关于I和setI的χ（χ，u）- ν）：=ZI（uu）- uν）dχ+ZJ\\I|χ| dν。（4.2）作为uu≤ uν和χ<∞, 这个数量在[0]中有很好的定义，∞].（3）瓦解。修复任意P∈ M（u，ν）并考虑崩解P=u κ; 然后我们有χ（y）κ（x，dy）≤ χ（x）表示u-a.e.x∈ 我相信詹森的不平等。因此，I（χ，u）- ν）：=ZIχ（x）-ZJχ（y）κ（x，dy）u（dx）在[0，∞], 下面我们将看到，这个值与P的选择无关∈ M（u，ν）。这一定义在[7]中已有阐述。为了将来的参考，让我们回顾一下关于二阶导数测度χ的以下事实：在对χ及其左导数χ进行归一化之后，对于某些a，χ（a）=χ（a）=0∈ I（通过添加合适的函数），χ（y）=Z（l，a）（y）- （t）-χ（dt）+Z[a，r）（y- t） +χ（dt），y∈ 一、 l，r在哪里∈ [-∞, ∞] 是这样的，I=（l，r）。如果χ在I的边界是连续的，这个恒等式就延伸到y∈ J通过单调收敛。引理4.1。值Ii（χ，u- ν）在[0]中有很好的定义，∞], 仅依赖于χ和u- ν、当i=1，2，3时重合。证据通过凹度，χ在I上是连续的，在边界处可能向下跳跃。设置“χ：=在I上的χ，并通过连续性将“χ”扩展到J，wehaveχ=”χ- |χ| 1J\\i其中χ是凹的和连续的。通过对ν-积分的线性化，可以证明对χ的要求；换句话说，我们可以假设χ是连续的。首先假设∈ L（u）∩ L（ν）。

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2022-5-8 11:40:19

那么，很明显Ii（χ，u- ν）对于i=1,2,3和i（χ，u- ν） =I（χ，u）- ν). 用I（χ，u）检验质量- ν），让我们∈ 我不能武断。再次写I=（l，r），我们有zjχ（s）（u）- ν）（ds）=Z[l，a）Z（l，a）（t）- s） +χ（dt）（u）- ν）（ds）+Z[a，r]Z[a，r）（s）- t） +χ（dt）（u）- ν）（ds）。将Fubini定理应用于这两个积分，并注意到被积函数在某些集合上是非对称的，这可以重写为z（l，a）ZJ（t）- s） +（u）- ν）（ds）χ（dt）+Z[a，r）ZJ（s）- t） +（u）- ν）（ds）χ（dt）。替换（t）- s） +=（s）- t） ++t- 在第一个积分中，使用u和ν具有相同的质量和平均值，这等于Zizj（s- t） +（u）- ν）（ds）χ（dt）。另一方面，使用| s- t |=2（s）- （t）+- （s）- t）产生（uu- uν（t）=ZJ|s- t |（u）- ν）（ds）=2ZJ（s）- t） +（u）- ν）（ds）。由此得出I（χ，u- ν） =I（χ，u）- ν）这个值只取决于χ和u- ν.对于一般χ，定义χn∈ L（u）∩ L（ν）与之前一样（4.1）；以上确定Ii（χn，u）的值- ν）每个n的值一致。注意χn平稳地增加到χ，并且χn+1- χnis凹，单调收敛需要Ii（χn，u- ν) → Ii（χ，u）- ν）对于i=2，3，尤其是这些极限重合。现在，极限定义I（χ，u- ν）必须存在并具有相同的值。定义4.2。我们写（μ）- ν）（χ）表示Ii的公共值（χ，u- ν），i=1,2,3。正如符号所示，我们有（u）- ν)(χ) = u(χ) - ν（χ）由于后一个积分中至少有一个是有限的，这可以从表示式（4.1）中得出。然而，可能会发生（u）- ν）（χ）是有限的，但u（χ）=ν（χ）=-∞. 下面的评论对此进行了详细阐述。备注4.3。假设（μ）- ν）（χ）是有限的；那么u（χ）和ν（χ）要么都是有限的，要么都是有限的。因此，它们的完整性的一个充分条件是u的支持是I的一个紧凑子集。

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kedemingshi

2022-5-8 11:40:22

一个更一般的条件是常数C的存在≥ 1.这样你就- uδm≤ C（uν）- uu），（4.3），其中m∈ 我是地球的重心。实际上，通过（4.2），这意味着（δm- ν)(χ) ≤ C（u）- ν)(χ);因此，ν（χ）>-∞ 如果右侧是固定的。人们可以通过用任何“满足”的度量值替换δM来表示类似的条件≤cν和¨u（χ）>-∞.例4.4。设u，ν为高斯分布，具有相同的均值和方差σu<σν。然后，直接计算表明：≤cν是不可约的，条件（4.3）是满足的。事实证明，在积分方面，I端点的原子是有用的。例4.5。假设≤cν与域（I，J）不可约。如果I的两个端点上都有原子，则满足（4.3）。实际上，I上的uν>uu，并且斜率在端点处分开（参见备注2.4），因此（uν-uδ）/（uν-uu）在边界处具有正极限。利用这两个事实，（4.3）如下。本着同样的精神，我们有以下与前一个例子相关的估计。备注4.6。让我们≤cν与域（I，J）不可约，设I有一个确定的右端点r，设χ：J→ R是凹函数，使得χ（a）=χ（a）=0，其中a∈ I是u和ν的公共重心。特别是，χ≤ 0和χ1[a，∞)它是凹的。如果ν在r处有一个原子，那么χ（r）≥ -Cν（{r}）Z[a，∞)χd（u）- ν），（4.4）带有常数C≥ 0仅取决于u，ν。事实上，如例4.5所示，备注2.4暗示存在（4.3）适用于[a，∞). 因此，-χ（r）ν（{r}）≤ -Z[a，∞)χdν=Z[a，∞)χd（δa）- ν) ≤ CZ[a，∞)χd（u）- ν），我们将引理4.1应用于χ1[a，∞).4.2可积性模凹函数下一个目标是在单个积分不一定是有限的情况下定义形式为u（ν）+ν（ψ）的表达式。我们继续假设≤cν与域（I，J）不可约。定义4.7。

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2022-5-8 11:40:26

让我来告诉你：我→ R和ψ：J→ R是Borel函数。如果存在凹函数χ：J→ R以至于- χ ∈ L（u）和ψ+χ∈ L（ν），我们说χ是（ν，ψ）的凹慢化剂，并设置u（ν）+ν（ψ）：=u（ψ）- χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ) ∈ (-∞, ∞],其中（u）- ν）定义4.2中引入了（χ）。备注4.8。上述定义与相关调节因子χ的选择无关。事实上，假设还有另一个凹函数- χ ∈ L（u）和ψ+’χ∈ L（ν），那么接下来是χ- χ ∈L（u）∩ L（ν）。例如，使用表示法（4.1），我们可以看到（u- ν)(χ) - (u - ν)(χ - χ) = (u - ν）（？χ）现在它是u- χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ) = u(φ - χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν）（¨χ）根据需要。定义4.9。我们用Lc（u，ν）表示所有Borel函数对的空间→ R和ψ：J→ R中含有凹面慢化剂χsuchthat（u- ν)(χ) < ∞.特别是，u（ν）+ν（ψ）对（ψ，ψ）有很好的定义和定义∈ Lc（u，ν），并具有通常的值，如果（ψ，ψ）∈ L（u）×L（ν） Lc（u，ν）。以下健全性检查证实了u（ν）+ν（ψ）在鞅输运中具有良好的价值。备注4.10。Let（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）并设h:I→ 我是博雷尔。如果φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x）在I×J上由下而有界，则u（ν）+ν（ψ）=P[ν（x）+ψ（Y）+h（x）（Y）- 十） ]任何P∈ M（u，ν）。证据设χ为（ψ，ψ）的凹慢化剂。我们可以假设0是一个下限，所以- χ）（X）+（ψ+χ）（Y）+χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ 0.由于前两项是P-可积的，剩余表达式的负部分是P-可积的，且P[~n（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]等于u（ν）- χ） +ν（ψ+χ）+P[χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]。设P=u κ是P的解体；然后通过χ+的线性增长，下列积分定义良好且相等，Z[χ（x）- χ（y）+h（x）（y）- x） ]κ（x，dy）=Z[χ（x）- χ（y）]κ（x，dy）表示u-a.e.x∈ 我

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2022-5-8 11:40:29

作为χ（X）的负部分- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） isP-可积，Fubini定理（核）yieldsP[χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]=ZZ[χ（X）- χ（y）]κ（x，dy）u（dx），右侧等于（u）- ν）（χ）通过引理4.1.5关于不可约分量的闭性，在这一节中，我们分析了单分量上的对偶问题；也就是说，我们继续假设：≤cν与域（I，J）不可约。定义5.1。让f:I×J→ [0, ∞]. 我们用Dc，pwu，ν（f）表示所有Borel函数的集合（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R使得（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和ν（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y），（x，y）∈ I×J。此外，我们用D1，pwu，ν（f）表示所有（ψ，ψ，h）的子集∈ 直流，pwu，ν（f）带∈ L（u）和ψ∈ L（ν）。我们强调，在这个定义中，不平等是以点的方式（“pw”）表述的。为了以后的参考，我们还注意到在选择（ψ，ψ，h）时有两个自由度。也就是说，给定常数c，c∈ R、三重态（ψ，ψ，h）属于Dc，pwu，ν（f）当且仅当三重态（x）=（x）+c+cx，ψ（y）=ψ（y）- C- cy，~h（x）=h（x）+c（5.1）不存在，然后是u（ν）+ν（ψ）=u（~ν）+ν（~ψ）。本节的目标是获得以下贴近度结果forDc，pwu，ν（f）；它是我们的二元性和存在论的核心。提议5.2。假设≤cν与域（I，J）不可约，设f，fn:I×J→ [0, ∞] 是这样的fn→ f逐点与let（ψn，ψn，hn）∈Dc，pwu，ν（fn）满足supn{u（νn）+ν（ψn）}∞. 然后，存在（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f），使得u（ν）+ν（ψ）≤ 林恩芬→∞{u（ψn）+ν（ψn）}。不可约对≤cν在本节的其余部分是固定的，所以让我们简化符号toDc（f）：=Dc，pwu，ν（f）。作为命题5.2证明的第一步，我们引入了凹函数，它将在单侧边界的意义上同时控制φ和ψn。引理5.3。Let（ψ，ψ，h）∈ Dc（0）。

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能者818

2022-5-8 11:40:32

然后，存在一个凹形慢化剂χ：J→ R表示（ψ，ψ），使得χ≤ 在我身上，-χ ≤ ψ在J上，尤其是u（χ）+ν(-χ) ≤ u(φ) + ν(ψ).证据函数χ（y）：=infx∈I[~n（x）+h（x）（y）- x）】，y∈ Jis凹面作为一个函数的内确界，和（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）意味着∞ 在非空集上，所以∞ 此外，我们显然有χ≤ 关于I.我们的假设是：ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J（5.2）表明≥ -ψ对J.自（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν），集合{ψ<∞} 是densein supp（ν），通过凹度可以得出χ>-∞ 在supp（ν）的凸面外壳内部；也就是说，在区间I上，{ψ<∞} 必须包含任何ν原子，尤其是J\\I，因此χ>-∞ 关于J.设置：=- χ ≥ 0和ψ：=ψ+χ≥ 0，我们可以把（5.2）写为（x）+ψ（y）+[χ（x）- χ（y）]+h（x）（y- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J.设P=u κ是一些P的分解∈ M（u，ν）。对于固定x∈ 一、以上四项均由线性增长函数从下限定。对于u-a.e.x，它遵循这一点∈ 一、左手边与κ（x，dy）的积分可以逐项计算，从而得到（x）+Zψ（y）κ（x，dy）+Z[χ（x）- χ（y）]κ（x，dy）。这三个项都是非负的，因此关于u的积分可以再次逐项计算。根据Fubini定理和引理4.1，可以得出P[？（X）+ψ（Y）+[χ（X）- χ（Y）]+h（X）（Y- 十） ]=u（°ψ）+ν（°ψ）+（u）-ν)(χ).（5.3）当然，左手边也等于P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）-十） ]因此，请参见备注4.10。因此，右侧也是固定的。因此，（°ψ，°ψ）∈ Lc（\'u，\'ν）与凹型慢化剂χ和u（ν）+ν（ψ）=u（\'ν）+ν（\'ψ）+（u）- ν)(χ) ≥ (u - ν)(χ) = u(χ) + ν(-χ）如你所愿。让我们记录前面构造的一个变体，以便以后使用。备注5.4。

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2022-5-8 11:40:35

设（ψ，ψ，h）：R→ (-∞, ∞]×(-∞, ∞]×R为Borel函数，表示φ（x）+ψ（y）+h（x）（y- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J.那么，（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）当且仅当P[ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]∞对于一些（然后全部）P∈ M（u，ν）。证据“仅当”声明直接从备注4.10开始。反之，设P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]∞ 为了一些P∈ M（u，ν）；然后，ψ是有限的u-a.s.，ψ是有限的ν-a.s。然后我们可以按照莱玛5.3到（5.3）的证明来定义凹函数χ：J→ R使得：=- χ ≥ 0和ψ：=ψ+χ≥ 0和p[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]=u（°ψ）+ν（°ψ）+（u）- ν)(χ).由于左侧是有限的，因此右侧的三个（非负）项也是有限的；也就是说，（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）与凹面慢化剂χ。主要结果的第二个工具是凹函数的紧性原理。不可约性对于它的证明至关重要，所以让我们重申这一立场。符号χn表示左导数（例如）。提议5.5。让我们≤cν与域（I，J）不可约，设a∈ Ibe是u和ν的公共重心。让χn:J→ R是凹函数，即χn（a）=χn（a）=0和supn≥1(u - ν）（χn）<∞.存在一个子序列χnk，它在J上逐点收敛到一个凹函数χ：J→ R、和（u）- ν)(χ) ≤ lim infk（u- ν）（χnk）。证据根据我们的假设- ν）（χn）在n中一致有界。从（4.2）来看，这意味着存在一个常数C>0，使得0≤ZI（uu）- uν）dχn≤ C和0≤ |χn|≤ C、我们使用的是，J\\I由（最多两个）ν和|χn |=0在I上。根据同样的事实，我们因此有limk|χnk |=lim infn|对于合适的子序列χnk，χn |（5.4）；我们可以假设nk=k。

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2022-5-8 11:40:38

此外，第一个不等式表明，由（uu）定义的有限测度序列- 对于由I上紧支撑的连续函数所产生的弱拓扑，uν）dχ是有界的，因此是相对紧的- uu是连续的，并且严格地对I为正，因此(-χn）也是相对弱紧的。鉴于χn（a）=0，这意味着在I的任何给定紧子集上，χ的Lipschitz常数都有一个统一的界。同样使用χn（a）=0，Arzela–Ascoli定理便产生了一个函数χ：I→ R使得χn→ χ在传递到一个序列后局部一致。显然χ是凹的，通过部分积分可以看出-χn弱收敛于二阶导数测度-χ与χ相关。近似uu- 从上面的uν和I上的紧支撑连续函数，我们可以看到（u-ν）（χ）=ZI（uu-uν）dχ≤ 林恩芬→∞ZI（uu）-uν）dχn=lim infn→∞(u-ν）（χn）。与（5.4）一起，我们可以定义关于J的χ，结果通过（4.2）得出。现在我们可以得出本节的主要结果。命题5.2的证明。因为（ψn，ψn，hn）∈ Dc（fn）和fn≥ 0，我们可以在引理5.3中引入相关的凹函数χnas。用合适的常数对（5.1）中的（ψn，ψn，hn）进行归一化，我们可以假设χn（a）=χn（a）=0；注意关系χn≤ ~nnand-χn≤ ψnare被保存。在传递到子序列之后，命题5.5会产生一个逐点极限χ：J→ R表示χn，因为≥ χn→ χ、 Komlos引理（以[19，引理A1.1]及其后续注释的形式）表明有∈ conv{~nn，~nn+1，…}其收敛u-a.s.，对于ψn也是如此。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设n=n，对于ψn也是如此。

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能者818

2022-5-8 11:40:42

因此，将φ：=lim sup~nnon I，ψ：=lim supψnon jj设置为Borel函数φ，ψ，使得φn→ ~nu-a.s.，~n- χ ≥ 0与ψn→ ψν-a.s.，ψ+χ≥ 0.Fatou引理和命题5.5表明u（ψ）-χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ)≤ lim infu（k n）- χn）+lim-infν（ψn+χn）+lim-inf（u- ν）（χn）≤ lim inf[u（un）- χn）+ν（ψn+χn）+（u- ν）（χn）]=lim-inf[u（νn）+ν（ψn）]∞.特别是，这表明（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和凹面慢化剂χ，然后可以更简洁地表示为u（ν）+ν（ψ）≤ lim-infu（νn）+ν（ψn）。对于任何函数g:J，都需要找到h→ R、让gconc:J→ R表示凹面信封。给定一系列这样的函数gn，我们有lim-inf（gconcn）≥ （lim-inf-gn）concas-gconcn≥ gnand lim inf gconcnis凹面。此外，（ψn，ψn，hn）∈ Dc（fn）指的是φn（x）+hn（x）（y）- 十）≥ fn（x，y）- ψn（y），这意味着φn（x）+hn（x）（y- 十）≥ [fn（x，·）- ψn]conc（y），（x，y）∈ I×J·Fix∈ 我然后，这两个事实是yieldlim inf[~nn（x）+hn（x）（y- x） ]≥ lim-inf[fn（x，·）- ψn]conc（y）≥ [lim-inf（fn（x，·）- ψn）]conc（y）≥ [f（x，·）- ψ] conc（y）=：对于所有y∈ J、对于特定的选择y=x，我们得到了φ（x）≥ lim infаn（x）≥ ^~n（x，x）。Asν{ψ=∞} = 0和f>-∞, 我们有^~n（x，y）>-∞ 尽管如此∈ J.如果x/∈ N:={~n=∞}, 上述不等式还表明^^（x，x）<∞因此，凹函数^k（x，·）在J上是有限的，并且允许左导数eh（y）：=d-^а（x，·）（y）∈ R、 y∈ I.通过凹度，可以得出以下结论：ψ（x）+h（x）（y）- 十）≥ ^~n（x，x）+h（x）（y）- 十）≥ ^~n（x，y）≥ f（x，y）- ψ（y）表示所有y∈ J.在N上设置h:=0，我们就有了φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）-十）≥f（x，y）代表所有（x，y）∈ I×J，因为左边是x的定义∈ N.因此，（ψ，ψ，h）∈ Dc（f），证明是完整的。6不可约分量的对偶性≤cν与域（I，J）不可约。我们将原始值和双重值定义如下。定义6.1。让f:R→ [0, ∞].

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2022-5-8 11:40:46

原始问题是u，ν（f）：=supP∈M（u，ν）P（f）∈ [0, ∞],其中P（f）指的是外部积分，如果f是不可测的。对偶问题isIpwu，ν（f）：=inf（ψ，ψ，h）∈Dc，pwu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}∈ [0, ∞].本节的目标是以下二元结果；它对应于我们在不可约边值问题上的主要结果。我们记得函数f:R→ [0, ∞] 如果集合{f≥ c} 都是分析性的∈ R、其中Ris的一个子集称为解析，如果它是Borel映射下波兰空间的Borel子集的（正向）图像。AnyBorel函数是上半解析函数，任何上半解析函数都是可测的；有关背景信息，请参见[10，第7章]。定理6.2。让我们≤cν不可约且设f:R→ [0, ∞].（i）如果f是上半解析的，那么Su，ν（f）=Ipwu，ν（f）∈ [0, ∞].（ii）如果Ipwu，ν（f）<∞, 存在一个对偶优化器（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f）。定理6.2的证明基于命题5.2，Choquet的定理和一个分离论证，所以让我们介绍相关术语。让[0，∞]Rbe所有函数的集合f:R→ [0, ∞], 设USA+为上半解析函数的子格，U为有界上半连续函数的子格；注意，U相对于可数单位是稳定的。A映射C:[0，∞]R→ [0, ∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为U-容量，∞]R、在U上依次连续向下。在本节的其余部分，我们写S（f）：=Su，ν（f）和I（f）：=Ipwu，ν（f）；这两种映射结果都是容量。引理6.3。映射S:[0，∞]R→ [0, ∞] 是U型容量。证据由于M（u，ν）是弱紧的，因此接下来是[33，命题1.21，1.26]中给出的标准参数。接下来，我们证明了上半连续函数不存在对偶间隙。

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2022-5-8 11:40:50

这个结果已经从[5，推论1.1]中得知，它使用了经典输运的aminimax参数和Keller对偶定理[33]。我们将根据命题5.2给出一个直接而完整的证明。引理6.4。让f∈ U然后S（f）=I（f）。证据让f:R→ [0, ∞] 有界且上半连续；然后是他们的品质（f）≤ I（f）（6.1）摘自备注4.10。下面，我们展示了逆不等式。（i）我们首先证明了一类连续报酬函数的结果。这将是一个Hahn–Banach论点，它要求我们引入可测量空间。回想一下，u有一个确定的第一刻。因此，根据德拉瓦莱-普桑瑟雷姆定律，存在一个递增函数ζu：R+→ 超线性生长的R+，使得x 7→ ζu（|x |）是u-可积的。这同样适用于ν和wesetζ（x，y）=1+ζu（|x |）+ζν（|y |），（x，y）∈ R.设Cζ=Cζ（R）为所有连续函数f:R的向量空间→ r使得f/ζ在单位内消失；这包括线性增长的所有连续函数。我们为Cζ配备了范数|f |ζ：=|f/ζ|∞, 在哪里|·|∞这是统一的标准。让f∈ Cζ。然后，设置φ（x）=ζu（|x |）和ψ（y）=ζu（|y |），我们得到-c（1+ψ+ψ）≤ F≤ c（1+ψ+ψ）对于某些常数c，特别表明S（f）是有限的。因此，我们可以假设S（f）=0。考虑setK={g∈ Cζ：I（g）≤ 0}.这是Cζ中的凸锥，命题5.2暗示K是闭合的；这里，我们使用Cζ中的收敛序列从下到下一致有一个函数的形式-c（1+ψ+ψ）。假设I（f）>0；也就是f/∈ 然后，哈恩-班纳赫定理和锥性质产生了一个线性泛函`∈ C*ζ使得`（K） R-和`（f）>0。我们将在下面讨论“可以用有限的有符号测度π表示”。

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2022-5-8 11:40:54

注意，`（K） R-事实上，K包含形式为φ（X）的所有函数- u（u）带∈ Cb（R）意味着对于所有的φ∈ Cb（R）；i、例如，u是π的第一个边缘，同样，ν是第二个边缘。因此，π∈ Π(u, ν). 此外，如果∈ Cb（R），然后是函数h（X）（Y）- 十）是在Cζ中，因为它是线性增长的，一个标度参数显示`（h（X）（Y- 十））=0。这意味着π是鞅输运；i、 e.，π∈ M（u，ν）。但是现在π（f）=`（f）>0收缩S（f）=0，我们已经证明了I（f）≤ S（f）。还有待争论的是C*ζ可以用有限的符号度量来表示。的确，f 7→ f/ζ是从Cζ到通常空间C（R）的赋范空间的同构，连续函数在统一形式下消失。根据Riesz的表示定理，任何连续线性泛函C（R）都可以用有符号测度m表示，因此任何`∈ C*ζ可以表示为`（f）=m（f/ζ）。使用1/ζ∈ C（R） L（m）作为aRadon–Nikodym密度，因此用有限符号的测量值m=（1/ζ）dm表示。（ii）设f有界且上半连续，则存在fn∈Cb（R） Cζ减小到f，我们有S（fn）=I（fn）对于这个证明的第（I）部分的所有n。As S（fn）→ S（f）通过S的连续性递减，参见引理6.3，仍然可以证明I（fn）→ I（f）。自从f≤ fn，我们有i（f）≤ 另一方面，（6.1）表示lim I（fn）=lim S（fn）=S（f）≤ 这就完成了证明。我们为定理6.2的证明做的最后准备是证明I是容量；同样，这是命题5.2中封闭性结果的结果。引理6.5。映射I:[0，∞]R→ [0, ∞] 是U型容量。证据当引理6.4表示U上的I=S时，引理6.3已经表明Iis在U上连续向下∈ [0, ∞]Rbe使Fn增加到f；我们需要证明我（fn）→ I（f）。

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2022-5-8 11:40:58

很明显，我很单调；特别是，I（f）≥ lim sup I（fn）和I（fn）→ I（f）ifsupnI（fn）=∞.因此，我们只需要显示I（f）≤ 在supni（fn）<∞. 事实上，根据I（fn）的定义，存在（ψn，ψn，hn）∈Dc，pwu，ν（fn）与u（νn）+ν（ψn）≤ I（fn）+1/n.命题5.2则产生（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f）与u（ν）+ν（ψ）≤ lim-inf[I（fn）+1/n]，表明I（f）≤ lim inf I（fn）根据需要。现在我们可以推断出这一部分的主要结果。定理6.2的证明。（i）根据引理6.3，Choquet的电容能力Theorem表明s（f）=sup{s（g）：g∈ U、 g≤ f} ，f∈ 美国+。根据引理6.5，相同的近似公式适用于I，而根据引理6.4，S=离子U，则S=I适用于USA+。（ii）为了确保在有限时达到最大值，必须应用命题5.2，其恒定序列fn=f.7主要结果7。1双三甲苯u≤cν为凸序概率测度，设f:R→ [0, ∞]是一个Borel函数。我们继续用su，ν（f）：=supP来表示原始问题∈M（u，ν）P（f），如在不可约情况下。需要为对偶问题引入更多的符号。让我们首先回顾命题2.3中的分解u=Xk≥0uk，ν=Xk≥0νk，其中uk≤cνkis与k的域（Ik，Jk）不可约≥ 1和u=ν。此外，Pdenotes是M（u，ν）的唯一元素。设（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R是波雷尔。因为法律与正义党专注于对角线, 我们有φ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） =ψ（X）+ψ（X）P-a.s。；也就是说，函数h不起作用，而φ，ψ只通过它们的和进入。事实上，与（u，ν）相关的对偶问题可以通过如下方式轻松解决：例如，通过设置ψ（x）=f（x，x）和ψ=0。不需要使用可积模凹函数，但为了简化下面的表示法，我们设置lc（u，ν）：={（ψ，ψ）：ψ+ψ∈ L（u）}和u（ψ）+ν（ψ）：=u（ψ+ψ）表示（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）。

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2022-5-8 11:41:02

此外，Dc，pwu，ν（f）是所有（ψ，ψ，h）与（ψ，ψ）的集合∈ Lc（u，ν）和ν（x）+ψ（x）≥ f（x，x），x∈ I.最后，可以方便地定义Su，ν（f）：=P（f）≡ u（f（X，X））。现在我们可以在整个实线上介绍对偶问题的域。定义7.1。设Lc（u，ν）是所有Borel函数的集合→ r如（ψ，ψ）∈ Lc（uk，νk）适用于所有k≥ 0和xk≥0|uk（ψ）+νk（ψ）|<∞.对于（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν），我们定义u（ν）+ν（ψ）：=Xk≥0{uk（ψ）+νk（ψ）}<∞,Dcu，ν（f）是所有Borel函数的集合（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ f（X，Y）M（u，ν）-q.s.最后，Iu，ν（f）：=inf（ψ，ψ，h）∈Dcu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}∈ [0, ∞].我们强调双畴Dcu，ν（f）现在是在准理想意义下定义的。在与单个组件精确对应之前，让我们回顾一下，间隔可能在其端点重叠，因此我们必须避免对某些事物进行两次计数。的确，让（ψk，ψk，hk）∈Dc，pwuk，νk（f）。如果Jk包含其一个端点，则它是一个ν原子，因此是Jk\\Ik上的ψkis fine。将ψkb转换为一个有效函数，并相应地移动ψk，参见（5.1），我们可以对（ψk，ψk，hk）进行归一化，使得在Jk\\Ik上ψk=0。（7.1）根据我们对M（u，ν）-极性集的分析，双域可以分解如下。引理7.2。让f:R→ [0, ∞] 做波雷尔，让我来≤设uk，νkbe为命题2.3。（i） Let（ψk，ψk，hk）∈ Dc，pwuk，对于k≥ 1，标准化如（7.1）中所述，并设φ（x）=f（x，x）和ψ=0。IfPk≥0{u（ψk）+ν（ψk）}<∞, 那么φ：=Xk≥0~nkIk，ψ：=Xk≥1ψkJk，h:=Xk≥1HKiksaties（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）和u（ν）+ν（ψ）=Pk≥0uk（ψk）+νk（ψk）。（ii）相反，let（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）。在一个u-nullset和一个ν-nullset上的ψ发生变化之后，我们得到了（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwuk，对于k≥ 0和xk≥0{uk（ψ）+νk（ψ）}=u（ν）+ν（ψ）<∞.证据

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