基于信息的模型中出现意外的默认值

2022-5-26 23:15:38

INFORMATIONBASED MODELM中未指定的默认值。五十、 BEDINI，R.BUCKDAHN，H.-J.ENGELBERTAbstract。本文为破产时间（一家公司或一个州）提供了充分的条件，使其成为完全不可接近的停止时间，并在一个框架中提供了其补偿的显式计算，其中市场信息在违约情况下的流动是在随机时间间隔上显式建模的，在0和0之间有一个布朗桥。1、简介信贷风险数学模型中最重要的对象之一是某公司（或州）破产的时间τ（称为违约时间）。对有关违约时间的市场信息流进行建模至关重要，在本文中，我们考虑一个过程，β=（βt，t≥ 0），其自然过滤Fβ描述了市场代理在违约发生时可用的信息流。因此，过程β将被称为信息过程。在本文中，我们将β定义为随机长度τ：βt=Wt的0和0之间的布朗桥-tτ∨ tWτ∨t、 t型≥ 0，其中W=（Wt，t≥ 0）是独立于τ的布朗运动。在本文中，重点是关于过滤Fβ的默认时间分类，我们的主要结果如下：如果默认时间τa的分布与Lebesgue测度有关，则τ是一个完全不可访问的映射时间，其补偿器K=（Kt，t≥ 0）由kt=^t给出∧τf（s）'∞sv（2πs（v- s）（）-f（v）dvdLβ（s，0）日期：2019年5月7日。关键词和短语。

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2022-5-26 23:15:41

默认时间、完全不可访问停止时间、随机区间上的布朗桥、本地时间、信用风险、补偿过程。基于信息的模型2中的意外违约，其中Lβ（t，0）是0级至时间t的信息流程β的本地时间。在mathematicalcredit风险模型中，了解默认时间是可预测的、可访问的还是完全不可访问的停止时间非常重要。可预测的违约时间是结构化信用风险模型的典型特征，而完全无法访问的违约时间是简化型信用风险模型的最重要特征之一。在第一个框架中，市场代理知道何时会发生违约，而在后一个框架中，违约会意外发生。金融市场无法预测公司违约的时间，这一事实使得简化模型得到了从业者的广泛接受。从这个意义上讲，完全无法接近的违约时间似乎是模拟破产时间的最佳人选。我们参考了Jarrow和Prott er【JP】以及G iesecke【G】关于财务信息与默认时间属性之间关系的论文，以及Jeanblanc和Le Cam【JLCa、JLCb、JLCc】的系列论文。值得注意的是，在我们的设置中，默认时间是一个完全不可访问的停止时间，前提是它与Lebesgue测度有关，具有连续密度。在数学信用风险模型中，违约时间允许连续密度的假设及其违约意外发生的后果都是标准的，但在基于信息的方法中，信息流动的显式模型还有一个额外的特征，它比标准方法更复杂。

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2022-5-26 23:15:44

在这里，有关默认设置的可用信息通过以下方式建模I{τ≤t} ，t≥ 0,在τ处发生的单跳过程，意味着人们只知道是否发生了违约。金融现实可能更为复杂，事实上，在某些时期，违约发生的可能性比其他时期更大。在基于信息的方法中，即将发生违约的时间段对应于信息过程接近0的情况，而投资者相对确信不会立即发生违约的时间段对应于β远离0的情况。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了信息流程的定义和主要属性。在第3节中，证明定理3.2，这是本文的主要结果。在附录A中，我们提供了与信息处理相关的本地时间的属性。在附录B中，我们给出了一些辅助引理的证明。最后，在附录C中，为了便于参考，我们回顾了P.A.Meyer开发的所谓拉普拉斯方法（参见，例如，他的书[M]），用于计算（D）类右连续积分的算符。在本注释中采用的基于信息的模型3中，确定Fβ-子鞅的补偿器是一个重要的预测意外违约I{τ≤t} ，t≥ 0.论文[B]引入了利用随机区间上定义的布朗桥对默认时间信息进行建模的思想。

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2022-5-26 23:15:48

关于信息过程β的定义、对其基本性质的研究以及对违约掉期（信贷市场上交易量最大的衍生品之一）定价问题的应用，最近也出现在论文[BBE]中。另一篇论文[BH]将考虑使默认时间成为可预测停止时间的非平凡和充分条件。与随机区间上的布朗桥相关的其他主题（本说明将不考虑）涉及研究信息过程产生的过滤Fβ对参考过滤F的逐步扩大以及在数学金融中的进一步应用的问题。2、信息过程及其基本性质我们首先回顾了随机长度介于0和0之间的布朗桥的定义和基本性质。本节的材料恢复了论文【BBE】中获得的一些结果，我们将参考其中的证据和关于该过程基本性能的更多细节。如果A R（其中R表示实数集），则集A+定义为A+：=A∩ {x∈ R:x≥ 0}。如果E是拓扑空间，那么B（E）表示E上的Borelσ-代数。集a的指示函数将用IA表示。A函数f:R→ 如果R是从左到右连续的极限，则称R为cádlág。让(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间。我们用F的P-null集的集合NPthecollection表示。如果L是随机变量ξ的定律，我们应该写ξ~ L

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2022-5-26 23:15:52

除非另有规定，以下所有过滤均应满足权利连续性和完整性的一般条件。设τ：Ohm → （0+∞) 是严格正随机时间，其分布函数用F:F（t）：=P（τ）表示≤ t），t∈ R+。时间τ对发生违约的随机时间进行建模，以下称为违约时间。设W=（Wt，t≥ 0）定义为布朗运动(Ohm, F、 P）和从0开始。我们将始终使用以下假设：假设2.1。随机时间τ和布朗运动是独立的。基于信息的模型中的意外默认值4Given W和严格正实数r，标准布朗桥βr=（βrt，t≥ 0）长度r的0到0之间由βrt=Wt定义-tr公司∨ tWr公司∨t、 t型≥ 0。有关布朗桥的更多参考，请参见第5.6节。卡拉扎斯和史莱夫的书中的B。现在，我们将介绍随机长度布朗桥的定义（见[BBE]，定义3.1）。定义2.2。过程β=（βt，t≥ 0）由（2.1）βt得出：=Wt-tτ∨ tWτ∨t、 t型≥ 0，称为随机长度τ的布朗桥。我们通常会说β=（βt，t≥ 0）是信息过程（对于基于W的随机时间τ）。β的自然过滤用Fβ=（Fβt）t表示≥0：Fβt：=σ（βs，0≤ s≤ t）∨ NP请注意，根据[BBE]，推论6.1，过滤Fβ（此处用FP表示）满足右连续性和完整性的通常条件。备注2.3。以τ=r为条件的β定律与长度为r的0和0之间的标准布朗桥定律相同（见[BBE]，引理2.4和推论2.2）。

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可人4

2022-5-26 23:15:56

特别是，如果0<t<r，则以τ=r为条件的βt定律为高斯定律，期望值为零，方差为（r-t） r:Pβt∈ ·τ=r= N0，t（r- t） r,其中，N（u，σ）表示均值u和方差σ的高斯定律。通过p（t，·，y），我们用平均值y表示高斯随机变量的密度∈ R和方差t>0：（2.2）p（t，x，y）：=√2πtexp“-（十）- y） 2t#，x∈ R、为了以后使用，我们还介绍了函数Дt（t>0）：（2.3）Дt（R，x）：=（pt（r-t） r、x、0, 0<t<r，x∈ R、 0，R≤ t、 x个∈ R、在基于信息的模型5中，我们注意到，对于0<t<R，βt的条件密度conditionalonτ=R，正好等于时间t时长度R的标准布朗桥βrtof的密度νt（R，·）。我们继续讨论默认时间τ与过滤Fβ和信息过程β的马尔可夫性质无关的性质。引理2.4。对于所有t>0，{βt=0}={τ≤ t} ，P-a.s.特别是，τ是Fβ-停止时间。证据参见【BBE】，命题3.1和推论3.1。定理2.5。信息过程β是关于过滤Fβ的马尔可夫过程：对于所有0≤ t<u和可测实函数g，使得g（βu）是可积的，E[g（βu）| Fβt]=E[g（βu）|βt]，P-a.s.证明。参见【BBE】中的定理6.1。如以下定理和定理2.5所示，函数φtde由（2.4）φt（r，x）定义：=φt（r，x）^（t+∞)Дt（v，x）dF（v），（r，t）∈ （0+∞) ×R+，x∈ R、对于t<R，是τ在{τ>t}上的密度函数，条件是βt=x。定理2.6。设t>0，g:R+→ R是一个钻孔，使得E[| g（τ）|]<+∞. 那么，P-a.s.Ehg（τ）| Fβti=g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。（2.5）证明。参见【BBE】中的定理4.1、推论4.1和推论6.1。

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2022-5-26 23:16:00

在说明与信息过程的半鞅分解有关的下一个结果之前，让我们给出以下定义：定义2.7。设B为连续过程，F为过滤，T为停止时间。然后，B被称为F-布朗运动，停在Tif，B是具有平方变化过程hB的F-鞅，位=t∧ T，T≥ 现在，我们介绍由（2.6）u（s，x）定义的实值函数u：=Ehβsτ- sI{s<τ}βs=xi，s∈ R+，x∈ R、基于信息的模型6Theorem 2.8中出现意外默认值。BT定义的过程：=βt+^tu（s，βs）ds，t≥ 0，是在τ处停止的Fβ-布朗运动。因此，信息过程β是一个分解为（2.7）βt=bt的Fβ-半鞅-^t∧τu（s，βs）ds，t≥ 0。证据参见【BBE】中的定理7.1。备注2.9。信息过程β的二次变化由（2.8）hβ给出，βit=hb，bit=t∧τ、 t型≥ 0。3、缺省时间的补偿器在本节中，我们显式地计算单跳过程的补偿器，其中跳变发生在τ处，用h=（Ht，t）表示≥ 0）：（3.1）Ht：=I{τ≤t} ，t≥ 过程H称为缺省过程，是一个Fβ-子鞅，其补偿器也称为Fβ-停止时间τ的补偿器。我们的主要目标是提供H的补偿器的表示。如下文所示，该表示涉及信息过程β的局部时间Lβ（t，0）（连续半鞅的局部时间的性质，尤其是β的局部时间的性质，请参见附录a）。根据它的表示，我们立即得到缺省过程H的补偿是连续的。因此，从H的补偿器的连续性来看，默认时间τ是完全不可访问的Fβ-停止时间。在本节中，以下假设将始终有效。假设3.1。

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2022-5-26 23:16:04

（i） τ的分布函数F允许关于勒贝格测度λ+onR+的连续密度函数F。（ii）对于所有t，F（t）<1≥ 以下定理是本文的主要结果：定理3.2。假设满足假设3.1。（i）过程K=（Kt，t≥ 0）定义为（3.2）Kt：=^t∧τf（s）'∞sИs（v，0）f（v）dvdLβ（s，0），t≥ 0，基于信息的模型7中的意外默认值是默认过程H的补偿器。这里，Lβ（t，x）表示信息过程β在level x上的局部时间t。（ii）默认时间τ是相对于Fβ的完全不可访问的停止时间。证据首先，我们在假设（i）是真的情况下验证（ii）陈述。显然，由于Lβ（s，0）在s中是连续的（见引理A.4），由（3.2）给出的过程K是连续的。因此，由于后一个特性和补偿器的连续性之间的众所周知的等效性（参见，例如，[K]，推论25.18），我们可以得出默认时间τ是相对于Fβ的完全不可接近的停止时间。现在我们证明定理的陈述（i）。对于每个h>0，我们确定过程Kh=Kht，t≥ 0byKht：=h^tI{s<τ}- EI{s+h<τ}| Fβsds=^thPs<τ<s+h | Fβsds，P-a.s.（3.3）证明分为两部分。在第一部分中，我们证明了kt- Kt是Kht的P-a.s.限值- Khtas h公司↓ 0，每t，t≥ 0使得0<t<t。在证明的第二部分中，我们表明过程K与H的补偿器无法区分。整个证明中使用的辅助结果推迟到附录B。对于证明的第一部分，我们确定t，t使得0<t<t，并注意到-Kht=^tthPs<τ<s+h | Fβsds=^t∧τt∧τh's+hsИs（r，βs）f（r）dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds（3.4），其中最后一个等式是定理2.6和定义（2.4）τ的后验密度函数的结果。

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2022-5-26 23:16:07

稍后我们将验证（3.5）limh↓0^t∧τt∧τh's+hsДs（r，βs）[f（r）- f（s）]dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds=0 P-a.s.在基于信息的模型中出现意外违约8因此，我们必须将极限行为处理为h↓ 第0页，共页∧τt∧τh's+hsИs（r，βs）dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！f（s）ds=^t∧τt∧τh'hИs（s+u，βs）du'∞sДs（v，βs）f（v）dv！f（s）ds=^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0du g（s，βs）f（s）ds（3.6），其中我们引入了函数g：（0+∞) ×R→ R+乘以（3.7）g（s，x）：=^∞sИs（v，x）f（v）dv-1，s>0，x∈ R在（3.6）中，我们要替换psus+u，βs，0p（u，βs，0）。为此，我们估计psus+u，x，0- p（u，x，0）= p（u，x，0）s+美国经验值-x2s- 1.≤ p（u，x，0）”s+美国经验值-x2s- 1.+s+美国-1.#≤（2π）| x|-1exp-s+1秒x2s+ （2πu）-u2s≤ c | x |+cu，（3.8），带有一些常数c，对于0≤ u≤ h类≤ 1和s∈ [t，t]，其中，对于第一次求和的估计，我们使用了函数u 7→ p（u，x，0）在u=x时有其唯一的最大值，标准估计值1-e-z≤ z代表所有z≥ 0和（s+1）s-1.≤ 1+t-1a以及第二个和的估计和不等式p（u，x，0）≤（2πu）-和| qs+美国- 1 |≤u2s。将x=β砂从0积分到h，除以h，取0≤ u≤ h类≤ 1和s∈ [t，t]，来自（3.8）weobtainh^hpsus+u，βs，0- p（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）≤c |βs |+chg（s，βs）f（s）≤c |βs |+ccC（t，t，βs）基于信息的模型9中的意外默认值，其中C（t，t，x）是[t，t]连续inx上g（s，x）的上界（见引理B.2）和[t，t]上连续密度函数f的cis a n上界。右手边可积于[t，t]上，与勒贝格测度λ+。

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可人4

2022-5-26 23:16:10

另一方面，根据微积分的基本定理，对于每x 6=0，（3.9）limh↓0h^hp（u，x，0）du=0，limh↓0h^hpsus+u，x，0du=0。为此，我们注意到p（0，x，0）=0是函数u 7的连续扩展→ p（u，x，0），如果x 6=0。根据推论A.3，我们得到了集合{0≤ s≤ t型∧ τ：βs=0}的勒贝格测度为零。然后利用Inglebesgue关于支配收敛的定理，我们可以得出P-a.s.（3.10）limh↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0- p（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=0。这完成了第一部分证明的第一步，即在（3.6）中，我们可以替换psus+u，βs，0通过p（u，βs，0）来确定极限。第一部分的第二步是证明LimH↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=Kt- Kt，P-a.s.设置（3.11）q（h，x）：=h^hp（u，x，0）du，0<h≤ 1，x∈ R，应用占用时间公式（见推论A.3）得出^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=^t∧τt∧τq（h，βs）g（s，βs）f（s）ds=^+∞-∞^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）q（h，x）dx，P-a.s.（3.12）对于每一个h>0，q（h，·）是关于R上Lebesgue测度的概率密度函数。根据引理B.1，密度为q（h，·）的概率测度qhw弱收敛于0处的Dirac测度δ。另一方面，引理B.4表明函数x 7→基于信息的模型10'ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）中的意外默认值是连续且有界的。因此，在（3.12）中，我们可以传递到极限并获得limH↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=^ttg（s，0）f（s）dLβ（s，0），P-a。s、（3.13）在第一部分项目的第三步中，我们必须证明（3.5）是成立的。注意，函数f在[t，t+1]上是一致连续的。我们确定ε>0，并选择0<δ≤ 1使得| f（s+u）-f（s）|≤ε每0≤ u<δ。

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mingdashike22

2022-5-26 23:16:14

按照上述步骤，我们获得了LIM suph↓0^t∧τt∧τh's+hsДs（r，βs）[f（r）- f（s）]dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds公司≤ lim suph公司↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0f（s+u）- f（s）du g（s，βs）ds≤ εlim suph↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0du g（s，βs）ds=εlim suph↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）ds=ε^ttg（s，0）dLβ（s，0），P-a.s。由于ε>0是任意选择的，且上述积分是P-a.s.有限的，我们可以得出结论（3.5）成立。证明的第一部分已完成。证明的第二部分依赖于P.-A.Meyer所谓的拉普拉斯方法，为了便于参考，附录C中回顾了相关结果。让我们用Kw表示（3.1）中引入的默认过程H的补偿器：Ht：=I{τ≤t} ，t≥ 0.我们首先表明KHTC收敛于Kwtas h↓ 0在弱拓扑σ（L，L）的意义上∞) （见定义C.3），对于每个t≥ 然后，我们证明过程K实际上与Kw无法区分。为了简单起见，如果一个可积随机变量序列（ξn）n∈在弱拓扑σ（L，L）意义下，n收敛到一个可积随机变量ξ∞) 我们将写出ξnσ（L，L∞)-----→n→+∞ξ。基于信息的模型11中的意外违约此外，我们将用G表示（D）类的右连续电势（参见附录C开头），由（3.14）Gt=1给出- Ht=I{t<τ}，t≥ 0。通过推论C.5，我们知道存在一个唯一的积分可预测的增长过程Kw=（Kwt，t≥ 0）在定义C.1的意义上，产生（3.14）给出的电势l G，对于Fβ-停止时间T，我们有KHTσ（l，l∞)-----→h类↓0千克重量。过程Kw实际上是H的补偿器。事实上，众所周知，过程H允许一个唯一分解（3.15）H=M+a到一个右连续鞅M和一个自适应的、自然的、递增的、可积过程a的和。

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2022-5-26 23:16:17

然后，过程A被称为H的补偿器。另一方面，从增加过程（见定义C.1）产生的电势的定义来看，过程（3.16）L：=G+Kw是一个马丁加值。通过将过程的定义（3.14）与（3.16）相结合，我们得到以下H分解：H=1- L+千瓦。然而，通过分解的唯一性（3.15），我们可以将鞅M识别为1- 我们得到A=千瓦，直到显示可分辨性。自次鞅H和鞅1- 上述证明中出现的L是右连续的，过程k也是右连续的。通过应用引理C.8，我们可以看到- KT是KWT的修改- Kwt，对于所有t，t，使得0<t<t.通过极限ast↓ 0，我们得到所有t的Kt=KwtP-a.s≥ 由于两个进程都有正确的连续采样路径，因此它们无法区分。证明了该定理。备注3.3。我们通过以下观察来结束本文的这一部分。（1）请注意I{τ≤t} ，t≥ 0不允许与过滤Fβ相关的强度（因此不可能应用F或例如Aven\'sLemma来计算补偿（参见，例如[A]）。基于信息的模型中的意外违约12（2）假设3.1（ii）分布函数F（t）<1对于所有t≥ 0确保（3.2）右侧被积函数的分母始终严格为正。但是，它可以删除。事实上，如果τ的密度函数f是连续的（如假设3.1（i）所要求的），那么如上所述，我们可以证明关系式（3.2）对于所有t≤ t： =支持{t>0:F（t）<1}。另一方面，很明显τ≤ tP-a.s.（因此（3.2）的右侧对于t是恒定的∈ [t，∞)) 补偿功=（Kt，t≥ 0）个I{τ≤t} ，t≥ 0在[t]上为常数，∞).

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2022-5-26 23:16:20

总之，关系式（3.2）适用于所有t≥ 附录A。关于信息处理的本地时间在本节中，我们介绍并研究与信息处理相关的本地时间处理。对于任意连续半鞅X=（Xt，t≥ 0）对于任何实数x，可以通过田中公式（参见，例如，[RY]、定理VI.（1.2））定义（右）本地时间LX（t，x）与x级x到时间t的x相关，如下所示：（A.1）LX（t，x）：=| Xt-x个|-|十、-x个|-^tsign（Xs- x） dXs，t≥ 0，其中，如果x>0，则符号（x）：=1，并且符号（x）：=-1如果x≤ 0、进程lx（·，x）=LX（t，x），t≥ 0出现在关系式（A.1）中的称为X级X的（右）局部时间。现在我们回顾连续半鞅局部时间的占用时间公式，该公式以便于我们应用的形式给出。用hX，Xi表示连续半鞅X的平方变分过程。引理A.1。设X=（Xt，t≥ 0）是一个连续半鞅。存在一个P-可忽略集，其外部为^th（s，Xs）d hX，Xis=^+∞-∞^th（s，x）dLX（s，x）dx，每t≥ 0和R+×R证明上的每个非负Bo rel函数h。当h是定义在R上的非负Borel函数（即，它不依赖于时间）时，参见Revuz和Yor书的推论VI.（1.6）。然后，首先考虑h的形式h（t，x）=I[u，v]（t）γ（x）为0的情况，证明了引理的陈述≤ u<v<∞ 以及R上的非负Borel函数γ，以及基于信息的模型13中使用单调类参数的意外默认值（参见Revuz和Yor[RY]，练习VI（1.15），或Rogers和Williams[RW]，定理IV（45.4））。关于当地时间的连续性，有以下结果。引理A。2.

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2022-5-26 23:16:24

设X=（Xt，t≥ 0）是一个连续半鞅，其ca非正则分解由X=M+a给出，其中M是一个局部鞅和一个有限变分过程。然后存在对当地时间过程的修改LX（t，x），t≥ 0，x∈ R对于x，映射（t，x）7→ LX（t，x）在t和cádlág inx，P-a.s中是连续的。此外，（a.2）LX（t，x）- LX（t，x-) = 2^tI{x}（Xs）dAs，适用于所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.证明。参见，例如，【RY】，定理VI.（1.7）。信息过程β是一个连续的半鞅（参见定理2.8），因此在x级β的局部时间Lβ（t，x）∈ R至timet≥ 0定义良好。占用时间公式采用以下形式。推论A.3。我们拥有∧τ^h（s，βs）ds=t^h（s，βs）d hβ，βis=+∞^-∞t^h（s，x）dLβ（s，x）dx，适用于所有t≥ 0和R+×R上的所有非负Borel函数h，P-a.s.证明。第一个等式来自关系式（2.8）a，第二个等式来自引理a.1的isan应用。局部时间Lβ的一个重要性质是无连续版本的存在。引理A.4。有一个Lβ的版本，使得映射（t，x）∈R+×R 7→ Lβ（t，x）是连续的，P-a.s.证明。我们根据Lemma选择当地时间Lβ的一个版本。2、利用（A.2），我们得到了Lβ（t，x）- Lβ（t，x-) = -2^t∧τI{x}（βs）u（s，βs）ds，基于信息的模型14中所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.，其中u是（2.6）定义的函数。将推论A.3应用于上面最后一个等式的右侧，我们可以看到∧τ^I{x}（βs）u（s，βs）ds=2+∞^-∞I{x}（y）t^u（s，y）dLβ（s，y）dy=0，因此Lβ（t，x）-Lβ（t，x-) = 0，对于所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.，因为{x}的勒贝格测度为零。这就完成了proo f。我们还利用了局部时间相对于空间变量的有界性。引理A.5。函数x 7→ Lβ（t，x）i对所有t有界∈ R+P-a.s.（界限可能取决于t和ω）。证据

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mingdashike22

2022-5-26 23:16:28

根据占用时间公式（或Revuzand Yor[RY]，推论VI.（1.9）），当地时间Lβ（t，·）在紧致区间的外侧消失[-Mt（ω），Mt（ω）]，其中（A.3）Mt（ω）：=sups∈[0，t]|βs（ω）|，t≥ 0，ω∈ Ohm ,这与Lβ（t，·）的连续性（见引理A.4）一起，使得该函数的有界性P-A.s。在可忽略的集合之外，对于固定x∈ R、局部时间Lβ（·，x）是一个正的连续增长函数，我们可以将其与R+：Lβ（B，x）：=^BdLβ（s，x），B上的arandom测度联系起来∈ B（R+）。引理A.6。对于任何序列ce（xn）n，在负集外部∈Nin R接近x∈ R、序列Lβ（·，xn）n∈nConverge弱toLβ（·，x），即^R+g（s）Lβ（ds，xn）---→n→∞^R+g（s）Lβ（ds，x），对于所有有界和连续函数g:R+7→ R、证明。我们定义了一个可忽略的集合，在该集合之外，Lβ是双连续的（参见引理a.4），我们现在将在该集合之外工作。措施Lβ（·，xn）n∈R上的定义，它们由[0，τ]支持。通过Lβ（t，·）的连续性，我们得到了Lβ（s，xn）---→n→∞Lβ（s，x），s≥ 0，由此得出（A.4）Lβ（[0，s]，xn）---→n→∞Lβ（[0，s]，x），s≥ 0。基于信息的模型15中的意外默认值我们也有整个空间的这种收敛：Lβ（R+，xn）=Lβ（[0，τ]，xn）---→n→∞Lβ（[0，τ]，x）=Lβ（R+，x）。由此我们可以得出结论，测度Lβ（·，xn）弱收敛于Lβ（·，x）。附录B.辅助结果在（3.11）中，我们引入了函数q byq（h，x）：=h^hp（u，x，0）du，0<h≤ 1，x∈ R，其中p（t，·，y）是方差和期望值为y的正态分布的密度（见（2.2））。引理B.1。函数q（h，·）是关于R上的Lebesgue测度的概率密度函数。与密度qh相关的概率测度qhon R弱收敛为h↓ 0至Dirac，测量0处的δ。证据引理的第一个陈述是显而易见的。

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可人4

2022-5-26 23:16:32

为了验证第二种说法，假设f是r上的一个边界连续函数。利用Fubini定理，我们得到了^Rf（x）Qh（dx）=^Rf（x）Qh（x）dx=^Rf（x）h^hp（u，x，0）dudx=h^h^Rf（x）p（u，x，0）dxdu=h^h^Rf（x）N（0，u）（dx）杜。自函数u起∈ [0，1]7→ 与everyu关联的N（0，u）∈ [0，1]中心高斯定律N（0，u）对于概率测度的弱收敛是连续的（注意，N（0，0）=δ），我们观察到函数u∈ [0，1]7→\'Rf（x）N（0，u）（dx）连续。右边收敛于'Rf（x）δ（dx）a s h的微积分基本定理的一个应用↓ 0和hencelimh↓0^Rf（x）Qh（dx）=f（0），证明引理的第二个陈述。基于信息的模型中出现意外的默认值16现在，我们考虑（3.7）中引入的函数g：g（s，x）：=^∞sИs（v，x）f（v）dv-1，s>0，x∈ R引理B.2。（1）对于所有x∈ R和0<t<t，函数g（·，x）：[t，t]7→ R是有界的，即存在一个实常数C（t，t，x），如∈[t，t]g（s，x）≤ C（t，t，x）。（2）对于所有x∈ R和0<t<t，函数g（·，x）：[t，t]7→ R是连续的，即对于所有序列号，s∈ [t，t]这样sn→ s、 limsn公司→sg（sn，x）=g（s，x）。（3） Let（xn）n∈Nbe单调收敛于x的序列∈ R、然后，对于所有0<t<t，sups∈[t，t]| g（s，xn）- g（s，x）|---→n→∞0。证据

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2022-5-26 23:16:36

让我们定义，对于每个∈ [t，t]和x∈ R、 D（s，x）：=^∞srv2πs（v-s）经验值-v x2s（v- s）f（v）dv，（B.1）并将g重写为（B.2）g（s，x）=D（s，x），s∈ [t，t]，x∈ R为了证明语句（1），必须验证存在常数C（t，t，x），使得（B.3）0<C（t，t，x）≤ D（s，x），s∈ [t，t]，x∈ R可以通过设置（B.4）~C（t，t，x）：=^来找到该常数∞tr2πtexp-v x2t（v- t）f（v）dv，证明引理的第一个陈述。为了证明引理的语句（2），必须验证函数s 7→ D（s，x），s∈ [t，t]是连续的，这一事实可以用Lebesgue的支配收敛定理来证明。的确，letsn，s∈ [t，t]这样sn→ s为n→ ∞. 重写（B.1）we g etD（sn，x）=^∞tI（sn+∞)（v） rv2πsn（v- 序号）exp-v x2sn（v-序号）f（v）dv。基于信息的模型17中的意外默认值首先，我们考虑从t到∞: 对于v≥ t、我们可以用qv2πt（v）对被积函数进行更高的估计-t） f（v）可积于[t+∞). 对于t t的积分的第二部分，我们通过I（sn+∞)（v） qt2πt（v-sn）c，其中c是f在[t，t]上的n上界，通过积分，我们观察到limn→∞^ttI（sn+∞)（v） st2πt（v- sn）dv=^ttI（s+∞)（v） st2πt（v-s） dv。由于被积函数是非负的，我们在L（[t，t]）中得到收敛，从而得到一致可积性（参见定理C.7）。这意味着序列（sn+∞)（v） rv2πsn（v-序号）exp-v x2sn（v- 序号）f（v）在[t，t]上一致可积，我们可以应用Lebesgue定理（参见定理C.7）得出结论→∞^ttI（sn+∞)（v） rv2πsn（v- 序号）exp-v x2sn（v- 序号）f（v）dv=^ttI（s+∞)（v） rv2πs（v-s）经验值-v x2s（v- s）f（v）dv。总结我们的收获→∞D（sn，x）=D（s，x），并完成引理陈述（2）的证明。我们转向引理语句（3）的证明。

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2022-5-26 23:16:39

利用关系式（B.2），我们可以看到| g（s，xn）- g（s，x）|=| D（s，xn）- D（s，x）| D（s，xn）D（s，x）并从不等式（B.3）中得到∈[t，t]| g（s，xn）- g（s，x）|≤小吃∈[t，t]| D（s，xn）- D（s，x）| C（t，t，xn）~C（t，t，x），其中C（t，t，x）由（B.4）定义。很容易看出这一点→∞~C（t，t，xn）~C（t，t，x）=~C（t，t，x）<+∞.基于信息的模型中出现意外的默认18因此仍需证明∈[0，t]| D（s，xn）- D（s，x）|---→n→∞通过假设，序列xn与x呈单调收敛。在这种情况下，很容易看出f函数D（·，xn）的序列是单调的。此外，利用Lebesgue的支配收敛定理，我们证明了对于所有s∈ [t，t]。自函数s 7→ D（s，x）在[t，t]上也是连续的，根据托迪尼定理，D（·，xn）一致收敛于[t，t]上的D（·，x）。这意味着引理的第三个陈述，证明已经完成。引理B.3。设度量空间E上的h，hnbe有界连续函数和（E，B（E））上的u，unbe有限测度。支持满足以下两个条件：（1）函数序列hn一致收敛于h。（2）测度序列un弱收敛于u。然后limn↑+∞\'Ehndun=\'Eh du。证据可以立即验证^Ehndun-^Eh du≤ supx公司∈Eh（x）- hn（x）^Edun+^Eh dun-^Eh du,收敛到0为n↑ +∞. 引理B.4。设0<t<t。函数k:R→ R+由k（x）给出：=^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x），x∈ R是有界连续的，其中函数g由（3.7）给出n。证据让我们首先限制为R的紧子集E。

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2022-5-26 23:16:43

首先，我们证明了函数k的左右连续性，从而证明了函数k的连续性。让xnbe是一个从m E单调收敛到x的序列∈ E、从m引理B.2我们知道有界连续函数G（·，xn）：[t，t]→ R一致收敛于有界连续函数g（·，x）：[t，t]→ R作为n→ ∞. 从L emma A.6中，我们发现在基于信息的模型19as n中，测度序列Lβ（·，xn）弱收敛于Lβ（·，x）意外违约→ ∞ . 应用引理B.3，我们得到了thatlimn→∞k（xn）=limn→∞^ttg（s，xn）f（s）dLβ（s，xn）=^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）=k（x）。因此，函数k在E上是连续的。k的有界性现在来自于E的紧性。为了证明该陈述也适用于R，让我们选择E=[-Mt公司- 1，Mt+1]（符号见（A.3）。当Lβ（s，x）=0，s时∈ [0，t]，x/∈ [-Mt，Mt]（见引理A.5的顶部），声明如下。附录C.补偿器的Meyer方法下面我们简要回顾P.-A.Meyer[M]开发的用于计算（D）类右连续电位器补偿器的方法。在本节中，F=（Ft）t≥0表示满足正常连续性和完整性要求的过滤。我们从定义（D）类的右连续势开始。设X=（Xt，t≥ 0）是一个右连续F-超鞅，T是相对于此族的所有有限F-停止时间的集合。如果随机变量XT，T的集合∈ T是一致可积的。如果随机变量X为非负且iflimt→+∞E[文本]=0。定义C.1。

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大多数88

2022-5-26 23:16:46

设C=（Ct，t≥ 0）是一个可积的F-自适应右连续递增过程，设L=（Lt，t≥ 0）是鞅（E[C]的右连续修正∞|Ft]，t≥ 0）；过程Y=（Yt，t≥ 0）由YT给出：=Lt-CTI称为C产生的电势。以下结果建立了递增过程产生的电势与（D）类电势之间的联系。设h为严格正实数，X=（Xt，t≥ 0）是（D）类的势，用（phXt，t）表示≥ 0）上鞅的右连续修改（E[Xt+h | Ft]，t≥ 0）。基于信息的模型20定理C.2中的意外默认值。设X=（Xt，t≥ 0）为（D）级电势，leth>0且Ah=Aht，t≥ 0由（C.1）定义的过程Aht：=ht^（Xs-phXs）ds。那么ahi是一个可积的递增过程，它产生一个（D）类的势Xh=Xht，t≥ 0由X控制，即过程s X-xH是一种潜力。它保持着SXHT=hEh^hXt+sds | Fti，P-a.s.，t≥ 0。证据参见，例如，【M】，VII。T28。递增过程A=（At，t≥ 如果对于每个有界右连续F鞅=（Mt，t≥ 0），我们有Eh^（0，t）MsdAsi=Eh^（0，t）Ms-dAsi，t>0。众所周知，递增过程A相对于F是自然的当且仅当它是F-可预测的。对于以下从弱拓扑意义上的收敛定义σ（L，L∞), 见【M】，II。定义C.3。Let（ξn）n∈Nbe可积实值随机变量序列。序列（ξn）n∈Nis在弱拓扑σ（L，L）中收敛到一个可积随机变量ξ∞) iflimn公司→+∞对于所有η，E[ξnη]=E[ξη]∈ L∞（P）。定理C.4。设X=（Xt，t≥ 0）是（D）类的右连续po ten tialof。然后存在一个可积的自然增长过程sA=（At，t≥ 0）哪个基因对X进行评级，这个过程是独特的。

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2022-5-26 23:16:50

对于每个停止时间T，我们有σ（L，L∞)-----→h类↓0AT。证据参见，例如，【M】，VII。T29。在基于信息的方法框架内，过程H=（Ht，t≥ （3.1）给出的g是一个基础的增长过程，它是Fβ适应的。它是一个子鞅，可以立即看到过程G=（Gt，t≥ （3.14）给出的0）是（D）类基于信息的模型21中的一个右连续潜在意外默认值。根据定理C.2，由（3.3）定义的过程Kh，h>0，产生了一系列由G支配的电势。推论C.5。存在唯一的可积自然增量过程Kw=（Kwt，t≥ 0）其中g生成（3.14）定义的过程g，对于每个Fβ-停止时间T，我们有thatKhTσ（L，L∞)-----→h类↓0KwT，其中kh是（3.3）定义的过程。证据见定理C.4。定理C.6（Dunford-Pettis的紧性准则）。设A为空间L（P）的asubset。以下两个性质a是等价的：（1）a是一致可积的；（2） A在弱拓扑σ（L，L）中是相对紧的∞).证据见【M】，II。T23。定理C.7。Let（ξn）n∈Nbe可积随机变量序列，其概率共同收敛于一个随机变量ξ。nξn收敛于L（P）中的ξ当且仅当（ξn）n∈Nis唯一可积。如果随机om变量ξn，n≥ 1是非负的，当且仅当iflimn→+∞E[ξn]=E[ξ]<+∞.证据见【M】，II。T21。引理C.8。Let（ξn）n∈Nbe随机变量序列和ξ，η∈L（P）使得：（1）ξnσ（L，L∞)------→n→+∞η；（2） ξn→ ξ、 P-a.s.然后η=ξ，P-a.s.证明。从条件（1）可以看出（ξn）n∈Nis在弱拓扑yσ（L，L）中相对紧∞). 根据定理C.6，可以得出（ξn）n族∈Nis一致可积。我们也知道ξn→ ξPa.s.因此，根据定理C.7，我们可以看到ξn→ ξ，因此，ξnσ（L，L∞)------→n→+∞ξ。

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2022-5-26 23:16:55

引理的陈述之后是极限的唯一性。基于信息的模型22Acknow ledgment中出现意外默认值。这项工作得到了欧洲社区FP 7项目的财政支持，合同为PITN-GA-2008213841，Marie Curie ITN《受控系统》。参考文献[A]Aven T.一个确定计数过程补偿器的定理。《斯堪的纳维亚统计杂志》，12，62-721985年。[B] 贝迪尼M.L.《关于默认时间的信息：随机区间上的布朗桥和过滤的扩大》。2012年，耶拿弗里德里希·席勒大学（德国）博士论文。M.L.Bedini，R.Buckdahn，H.-J.Engelbert。随机区间上的布朗桥。Teor公司。Veroyatnost公司。i Primenen。，61:1（2016），129–157。M.L.Bedini，M.Hinz。信用违约预测与抛物线势理论。2016年预印本，可在https://arxiv.org/a bs/1608.08999（已提交）。[BR]Bielecki T.R.，Rutkowski M.信用风险：建模、估价和对冲。施普林格·维拉格，柏林，2001年。[G] Giesecke K.默认值和信息。《经济动力与控制杂志》，30:2281-23032006。Jarrow R.，Protter P.Structural versu s Reduced Form Models：一种新的基于信息的视角。《投资管理杂志》，2004年。【JLCa】Jeanblanc M.，Le Cam Y.浸没财产和信用风险建模。最优化与风险——数学金融的现代趋势，第99-132页。斯普林格·伯林，海德堡，2010年。【JLCb】Jeanblanc M.，Le Cam Y.随着初始时间的逐渐扩大过滤。斯托赫。专业应用程序。，2009年，第119卷，第8号，第2 523-2543页。【JLCc】Jeanblanc M.，Le Cam Y.信贷风险简化模型。Preprint2007，可在http://ssrn.com/abstract=1021545.Jeanblanc M.、Yor M.、Chesney M.《金融市场的数学方法》。Springer，第一版，2009年。[K] 《现代概率的基础》。

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