概率畸变下的随机极大值原理

2022-6-1 15:44:53

概率扭曲下的随机最大值原理*梁启柱和熊杰摘要在Kahnemand Tversky的累积前瞻性理论框架内，本文考虑了一个连续时间行为投资组合选择问题，该问题的模型在目标函数中同时包含运行项和终端项。尽管存在S型效用函数和概率扭曲，但导出了最优性的必要条件。结果应用于各种示例。关键词：累积前瞻理论、S型效用函数、概率扭曲、随机最大值原理、行为投资组合优化AMS主题分类。初级93E20；次级91G80.1。引言预期效用理论（EUT）长期以来作为风险偏好的主要衡量标准。除了连续金融投资组合选择问题的理论外，还开发了许多方法，如动态规划、随机最大原理、鞅和凸对偶，参见Merton【18】，Peng*这项研究得到了澳门科技发展基金FDCT025/2016/A1和南方科技大学创业基金Y01286120的支持。澳门大学数学系，中国澳门(yb47422@umac.mo).中国深圳南方科技大学数学系(xiongj@sustc.edu.cn).[19] ，Du ffe和Epstein【4】，Karatzas等人【11】。冯·诺伊曼南德·摩根斯特恩（von Neumannand Morgenstern）[24]提出的EUT的前提是，结果的效用由其概率加权，决策者一贯回避风险。

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2022-6-1 15:44:56

然而，这些都被实质性的现象所违背。Allais[1]认为，个人评估（超重或体重不足的概率）每一个结果都取决于通过个人数据表的潜在客户的其他结果。针对这一事实的相关研究有Fishburn【5】、Schmeidler【21】等。另一方面，风险寻求行为普遍存在于决策问题中，例如，人们喜欢在彩票上花费x，预期回报不超过x。同样地，在亏损情况下，人们通常更喜欢可能的巨额亏损，而不是一定的亏损。相当多的经济学家，如Yaari【25】，已经研究了EUT对这些挑战的修改。替代EUT最显著的作用是卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）[10]的前景理论（PT），该理论在面对不确定性时考虑了投资者的心理。后来，Tversky和Kahneman将PT演化为累积远景理论（CPT）[23]。CPT和PT之间的一个显著差异是，权重适用于累积分布函数，但不适用于个体结果的概率；也就是说，新版本可以扩展到连续发行版。CPT的关键要素包括i）基准服务作为区分损益的基点。在不丧失一般性的情况下，本文假设它为0。ii）收益效用函数为凹函数，损失效用函数为凸函数，损失效用函数比收益效用函数更陡。iii）概率扭曲（或加权）是概率测度的非线性转换，它会加重小概率，而低估中高概率。将CPT或PT纳入投资组合选择问题的研究正方兴未艾。其中大多数仅限于离散时间设置，例如Benartzi和Thaler【2】、Shefrin和Statman【22】、Levy和Levy【16】。

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2022-6-1 15:44:59

Jin和Zhou【8】对具有行为准则的连续时间资产配置进行了实证分析研究。从那时起，出版了一些广泛的著作，见何和周（[6]，[7]），以及金和周[9]。Jin和Zhou【8】提出了一种新的理论，用以计算连续时间CPT模型中的最优终值，该模型同时具有S形函数和概率扭曲。他们的主要思想是将决策变量从随机变量变为分位数函数，使非凹凸目标变为一个凸函数。整个机器都很复杂。为了实现复制最优终值的最优控制过程，需要进一步计算。尽管如此，他们的理论针对的是自融资市场中的一个特定投资组合选择问题（即没有消费或收入）。我们工作的主要动机是处理消费模型的概率失真。为了更接近现实，我们的问题不允许破产。下面是激励我们工作的两个例子。设T>0为固定时间范围，且(Ohm, F、 P，{Ft}t≥0）一个经过过滤的完全概率空间，在该空间上定义了一个标准的Ft自适应m维布朗运动Wt≡ （重量，···，Wmt）W=0时。假设Ft=σ{Ws:0≤ s≤t} ，由所有空集扩充。在本文中，A表示矩阵a的转置；a±表示实数a的正负部分。Let（eOhm,eF，eP）是概率空间的副本(Ohm, F、 P）。对于任意随机变量ξover(Ohm, F、 P）我们表示再见ξ（e）中定义的ξ的副本Ohm,eF，eP）。预期对象[·]=ReOhm（·）依赖于变量eω∈eOhm 只有在下面的内容中，我们替换f▄Y（Y）=eP{eY≤ 为了方便起见，Y}by FY（Y）f。示例1.1（投资与消费）我们说明了Pham的一个模型（[20]，第3.6.2节）。

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2022-6-1 15:45:02

官方市场包括一个债券，其价格St由DST=rtStdt，S=S>0，以及m个股票，其每股价格Sit，i=1，···，m，由DSIT=Sit给出的几何布朗运动建模bitdt+mXj=1σijtdWjt, Si=Si>0。利率rt，向量bt=（bt，···，bmt）股票估值率，波动矩阵σt={σijt}1≤i、 j≤马尔被认为是一个可预测的随机过程。在这个金融市场上，不允许破产。财富过程X.要求是积极的。uit（可能为负，也可能超过1）是投资于股票i的财富的比例，Ct是在时间t时每单位财富的消费。剩余比例1-Pmi=1投资于债券。然后，将其与前向随机微分方程（SDE）进行比较dXt=Pmi=1 ITXTSITDSIT+（1-Pmi=1uit）XtStdSt- ctXtdt=Xt（rt+（bt- rtm）图坦卡蒙- ct）dt+XtutσtdWt，t∈ [0，T]；X=X>0，其中ut=（ut，···，umt）cttogether是投资者的投资组合。与文献中的大多数人一样，我们将交易策略或投资组合定义为分配给不同资产的财富的比例或分数，参见Merton【18】、Karatzas等人【11】、Karatzas和Shreve【12】。在金周[8]的连续时间CPT框架内，目标是找到最优消费路径c和股票u的投资组合策略，从而使预期偏好J（c·，u·）=ZTZ∞P{ζ（ctXt）>y}dydt+Z∞w（P{l（XT）>x}）dx。达到最大值。此处ζ（·），l（·）：R+→R+分别是投资者对消费和终端财富的效用函数，w（·）：[0，1]→ [0，1]表示概率的扭曲。消费没有失真。事实上，前瞻函数可以写成j（c·，u·）=EZTζ（ctXt）dt+El（XT）w′（1- FXT（XT））.示例1.2（投资vs。

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2022-6-1 15:45:05

赌博）除上述市场的投资外，投资者还可以购买彩票。在这里，财富也需要有活力。为了简单起见，让ct∈R+是时间t和k时每单位财富的赌注，是获胜的几率。例如，i f Ktis 8，概率为0.1和d-1概率为0.9时，投资者将赢得概率为0.1的8CTX，并在t时以概率为0.9的下注CTX。财富过程由（dXt=Xt（rt+）（bt- rtm）tut）dt+XtutσtdWt+KtctXtdt，t∈ [0，T]；X=X>0，其中ut=（ut，···，umt）和CTC构成投资者的投资组合。在这种情况下，投资组合选择问题是找到最优选的投资组合，以最大化偏离的预期收益J（c·，u·）=RTR∞+（P{ζ+（K+tctXt）>y}）dy-R∞-（P{ζ-（K）-tctXt）>y}）dydt+R∞w（P{l（XT）>x}）dx，其中ζ+（·），ζ-（·）：R+→R+分别是衡量赌博收益和损失的效用函数。+(·), -(·) : [0, 1] → [0，1]分别代表收益和损失概率的扭曲。w（·）和l（·）与上一个示例中的相同。直截了当地说，扭曲的支付可以写成J（c·，u·）=ERTζ+（K+tctXt）′+1.- FK+tctXt（K+tctXt）- ζ-（K）-tctXt）′-1.- FK公司-tctXt（K-tctXt）dt+El（XT）w′（1- FXT（XT））.目标是找到一个最优投资组合（u.，c.）以最大化J。一般来说，我们将考虑具有概率扭曲和运行效用的优化问题。由于概率扭曲，条件期望与过滤的时间一致性无效。因此，dynamicprogramming方法无法解决根本问题。另一方面，金周[8]中引入的分位数公式对于作为随机变量而非随机过程的控制来说是可行的。它不符合跑步条件。

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2022-6-1 15:45:13

因此，在本文中，我们采用随机极大值原理来克服上述困难，并努力获得一般优化问题最优控制过程的必要条件。本文的其余部分组织如下。下一节将模拟CPT下的一般连续时间投资组合选择模型，该模型具有S形效用函数和概率扭曲。然后，给出了本文的主要结果。在第3节中，使用随机最大值原理来获得最优性的必要条件。在第4节中，我们将我们的一般结果应用于三个有趣的示例。最后一节给出了最后的结论。2、问题公式和主要结果确定一个正态过程（2.1）（dXt=b（t，ut，Xt）dt+σ（t，ut，Xt）dWtX=x>0，代理人的预期功能（2.2）J（u·）=ERTζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt+El（XT）w′1.- FXT（XT）,其中WT是一维布朗运动，u·是一个控制过程，取凸集u中的值R、根据CPT，以下假设将贯穿本文，其中x表示状态变量，u表示控制变量。（H.1）b（·，·，·）：[0，T]×U×R+→R、 σ（·，·，·）：[0，T]×U×R+→R、对于（u，x）是连续不同的。b，σ相对于（x，u）的一阶导数是Lipschitz连续的。我们进一步假设b（t，u，0）=σ（t，u，0）=0。（H.2）ζ±（·），l（·）：R+→R+应是可区分的、严格递增的、严格凹的，并满足ζ±（0）=l（0）=0和INDA条件ζ′±（0+）=l′（0+）=∞.（H.3）±（·），w（·）：[0，1]→ [0，1]是可区分的，并且严格地增加±（0）=w（0）=0，±（1）=w（1）=1。

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2022-6-1 15:45:16

此外±（·）、w（·）都有界。效用函数的一个典型例子是l（x）=xγγ，0<γ<1，而畸变函数的例子是洛佩斯的SP/A理论[17]中使用的递减加权函数，其形式为：w（p）=νpα+1+（1- ν)[1 - (1 - p） β+1]，其中0≤ ν ≤ 1和α、β≥ 很明显，pα+1和1- (1 - p） β+1分别是凸函数和凹函数。定义=nu：[0，T]×Ohm → U | utis Ft适应andEZT | ut | dt<∞o、定义2.1控制过程u·∈ U被认为是可容许的，并且（U.，X.）如果（1）X.是方程（2.1）在u下的唯一解，则称为容许对。；（2） u+·和u-·具有s连续（0除外）分布函数；（3） ERT公司ζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）+ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt<∞.（4） ERT公司ddulnζ+（u+t）+ddulnζ-（u）-t）+ζ′′+（u+t）+ζ′′-（u）-t）dt<∞.所有容许控制的集合由Uad表示。备注2.2如果ζ±（u）=uγγ，0<γ<1，则满足条件（4），前提是容许控制仅限于威瑟特| ut|-8dt<∞.同时，本文还对终端状态进行了一些技术假设。假设2.3与控制过程u相对应的终端状态XT。∈Uadhas连续分布函数，和（2.3）El（XT）w′1.- FXT（XT）+Eddxln l（XT）+El′（XT）< ∞.定义2.1中的条件（3）以及不等式的第一项（2.3）保证了预期函数J（u·）始终是有限的。

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2022-6-1 15:45:19

一般来说，如果J的上限为有限初始投资x，则该模型被视为适定模型；否则，它是不适定的。备注2.4如果l（x）=xγγ，0<γ<1，^b（t，u，x）=x-1b（t，u，x）和^σ（t，u，x）=x-1σ（t，u，x）有界于[0，t]×u×R+，则ddxln l（XT）安第斯山脉l′（XT）是有限的。实际上，将It^o公式应用于X4γ-8t，我们最终获得l′（XT）= (γ - 1） X4γ-8·Eexp(4γ - 8)RT（^b（t，ut，Xt）-σ（t，ut，Xt）dt+RTσ（t，ut，Xt）dWt,这是有界的。So isEddxln l（XT）.备注2.5由于我们研究的连续模型，分布的连续性假设不是很严格。以下是满足此条件的一些情况：i）如果控制采用马尔可夫反馈形式，即对于合适的可测函数g，ut=g（t，Xt），则随机变量Xt的密度v（t，x）的存在符合一般PDE理论，因为它满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。ii）在备注2.4中给出^b和^σ。If^b-^σ有界且^σ有界于0以下，则x有密度。证明：对于i）我们让读者参考Kusuoka和Stroock【14】、Kusuoka和Stroock【15】、Bouleau和Hirsch【3】、Kusuoka【13】，了解密度存在的许多有效条件。现在我们给出了ii）的一个证明。表示ct=^σ（t，ut，Xt）和Yt=ln Xt。根据It^o公式，我们有DYT=^b-^σ（t，ut，Xt）dt+ctdWt。根据Girsanov定理，存在一个等价的概率测度▄P和▄P布朗运动▄W，使得dyt=ctd▄Wt。现在我们只需要证明它是一个密度。为便于记法，我们假定Y=0。表示F（λ）=EeiλYT。

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2022-6-1 15:45:22

那么，F（λ）=limn→∞Eexpiλn-1Xj=0ctjWtj+1-Wtj!= 画→∞Eexpiλn-2Xj=0ctjWtj+1-Wtj!经验值-λctn-1（tn- 田纳西州-1)≤ 画→∞Eexpiλn-2Xj=0ctjWtj+1-Wtj!经验值-ελ（tn- 田纳西州-1)≤ · · ·≤ 经验值-εTλ,式中，0=t<t<···<tn=t是[0，t]的分区，最大值为| tj+1- tj |→ 因为F在L中，所以它是L函数的傅里叶变换，即XT的密度。现在，我们已经准备好陈述我们的问题并介绍我们的主要结果。问题我们的最优控制问题是找到·∈ UAD使（2.4）J（\'u·）=最大值·∈UadJ（u·）。设（\'u·，\'X·）为问题（2.4）的最佳对。在说明本文的主要结果之前，我们先建立了伴随方程（2.5）（dpt=-bx（t，\'ut，\'Xt）pt+σx（t，\'ut，\'Xt）qtdt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT）），其中bx和σxd分别表示b和σ的偏导数（in x）。定理2.6如果“u”是状态轨迹为“X”的最优控制，则存在满足（2.5）的自适应过程的tsa对（p·，q·），即a.e∈ [0，T]，（2.6）ptbu（T，\'ut，\'Xt）+σu（T，\'ut，\'Xt）qt=(-ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果ut>0，-ζ′-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）如果ut<0，则为a.s。。备注2.7当ζ±（·），l（·）替换为连续两次可微分且在零处取零值的函数时，定理m 2.6仍然成立。此外，该模型还可以推广。例如，我们可以用u±tx代替u±tin作为目标函数。

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2022-6-1 15:45:25

同样，风险偏好可以定义为asJ（u·）=EZTf（t，ut，Xt）+ζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt+El（XT）w′1.- FXT（XT）,式中f（·，·，·）：[0，T]×Rm×R+→Ris应该是两次连续可微分的，从u和x的角度来看。这类问题的最优性的必要性是tbu（t，\'ut，\'Xt）+σu（t，\'ut，\'Xt）qt+uf（t，\'ut，\'Xt）=(-ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果ut>0，-ζ′-\'\'u-t型′-1.- F（(R)uit）-（(R)u-t）如果ut<0，a.e.t∈ [0，T]，a.s.，其中（dpt=-bx（t，\'ut，\'Xt）pt+σx（t，\'ut，\'Xt）qt+xf（t、ut、Xt）dt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））。对于经典的最优控制问题，我们参考Peng[19]，其运行成本函数为f（t，ut，Xt）。上述结论可以通过下一节给出的相同结论，结合经典的随机最大值原理（见Yong和Zhou[26]）来证明。3、主要结果的证明在本节中，我们继续证明OREM 2.6中所述的随机最大值原理。其主要思想是小心地扰动最优控制，使控制符号不会因奇异性为0的扰动而改变。关键技术是研究在状态下评估的扰动状态过程的分布函数。假设ε∈ [0，1）。拿u·∈ U使得uth与“ut”具有相同的符号（如果“ut”为0，则“ut”为0）。

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2022-6-1 15:45:29

定义ε·=\'u·+ε（u·- “u·”）。U的凸性保证Uε·∈ U、很明显，J（\'U·）- J（uε·）≥ 0.表示与‘u·的扰动uε·乘以Xε·对应的状态轨迹r y。在本文的其余部分中，我们采用了简写符号SVT=ut- \'ut，\'φ（t）=φ（t，\'ut，\'Xt），φ=b或σ。现在我们用几个引理来证明定理2.6。引理3.1在条件（H.1）下，w e havelimε→0Esup0≤t型≤TXεt-\'\'Xt= 证明：从状态方程来看Xεt-\'\'Xt=b（t，’ut+εvt，Xεt）- b（t，\'ut，\'Xt）dt公司+σ（t，’ut+εvt，Xεt）- σ（t，\'ut，\'Xt）载重吨。通过条件n（H.1）、Cauchy-Schwar-z不等式以及Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到了UP0≤t型≤TXεt-\'\'Xt=Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds+Ztσ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dWso公司≤8Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）dso+8Esup0≤t型≤TnZt公司σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dWso公司≤8Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds·Ztdso+8恩兹特σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dso公司≤8TEsup0≤t型≤坦桑尼亚先令b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds+8TEZT公司σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）ds公司≤KTEZT公司(Xεs-(R)Xs+ ε| vs |）ds≤KTZTEsup0≤s≤t型Xεs-(R)Xsdt+KTEZTε| vs | d结果来自Gronwall不等式。下面的微积分引理是对Dini定理的轻微修改，以适应我们的建议。我们在这里包括它及其证明，以证明本文件的完整性。引理3.2假设Fn，F是分布函数，F是连续的。如果有x，limn→∞Fn（x）=F（x），然后（3.1）limn→∞supx公司∈R | Fn（x）- F（x）|=0。证明：如果（3.1）不成立，则存在ε>0和序列xn∈Rsuchthat | Fn（xn）- F（x）|≥ ε. 如果需要，我们可以假设xn→ x个∈ [-∞, ∞] 作为n→ ∞.假设x是有限的。如果需要，我们可以假设xn≤ XF用于所有n或xn≥ x代表所有n。我们假设前者，因为另一个案例可以进行类似的研究。

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2022-6-1 15:45:32

此外，如果有必要，我们可以假设xn↑ x、对于n≥ m足够大，我们有fn（xm）≤ Fn（xn）<F（x）- ε.取n→ ∞, 我们得到F（xm）≤ F（x）- ε. 取m→ ∞, 然后我们得到F（x）≤F（x）- ε，这是一个矛盾。最后，我们假设x=∞ 或x=-∞. 我们采用前者，因为另一个相似。如果需要，我们可以假设xn↑ ∞. 让n≥ mbe足够大。然后，Fn（xm）≤ Fn（xn）<1- ε.取n→ ∞, 我们得到F（xm）≤ 1.-ε. 让m→ ∞, 我们得出的矛盾是1≤ 1.- ε.由于这两种情况都会导致矛盾，（3.1）必须成立。以下是本文的主要技术引理。引理3.3假设'XTPOSS是s连续分布函数。然后，limε→0EFXεT（XεT）- F？XT（？XT）= 证明：注意有一个子序列ε* ε使得limε*→0EFXε*T（Xε*T）- F？XT（？XT）=limε→0EFXεT（XεT）- F？XT（？XT）,它总是存在的。XεTL→\'\'XT表示Xε*TL公司→\'\'XT。此外，还有一个“Xε′tof Xε”序列*t几乎可以肯定会收敛到'XT。然后我们得到limε′→0EFXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）= limε*→0EFXε*T（Xε*T）- F？XT（？XT）.因此，将问题转化为证明（3.2）limε′→0EFXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）= 0，给定Xε′Ta。s→\'\'XT。请注意FXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）≤FXε′T（Xε′T）- F’XT（Xε′T）+F’XT（Xε′T）- F？XT（？XT）≤ supx公司FXε′T（x）- F'XT（x）+F’XT（Xε′T）- F？XT（？XT）→ 0，其中la st阶跃遵循引理3.2，分布函数F'XT的连续性。

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2022-6-1 15:45:35

等式（3.2）之后是支配收敛定理。备注3.4可以验证对于llλ，u∈ [0，1]，limε→0EλFXεT（uXεT+（1- u）(R)XT）+（1- λ） F？XT（uXεT+（1- u）(R)XT）- F？XT（？XT）= 此外，如果'u±thave连续（除0外）分布函数，则Limε→0EF（uεt）±（uεt）±- F’u±t\'u±t= 0, t型∈ [0，T]。下一个引理提供了状态过程的一阶扰动。引理3.5设Zt为（3.3）（dZt=（(R)bx（t）Zt+(R)bu（t）vt）dt+（(R)σx（t）Zt+(R)σu（t）vt）dWtZ=0。然后，在条件（H.1）下，我们有（3.4）limε→0Esup0≤t型≤TXεt-(R)Xtε- Zt公司= 证明：设yεt=Xεt-(R)Xtε- Zt，thendyεt=nεb（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- b（t，\'ut，\'Xt）- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，\'ut，\'Xt）vtodt+nεσ（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- σ（t，\'ut，\'Xt）- σx（t，\'ut，\'Xt）Zt- σu（t，\'ut，\'Xt）vtodWt。可以很容易地显示t hatERTZtdt+ERT | yεt | dt<∞. 由于yε皮重的漂移和扩散系数相似，我们只关注漂移系数。注意εb（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- b（t，\'ut，\'Xt）- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，’ut，’Xt）vt=Zbx（t，’ut+λεvt，’Xt+λε（Zt+yεt））（Zt+yεt）dλ+Zbu（t，’ut+λεvt，’Xt+λε（Zt+yεt））vtdλ- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，\'ut，\'Xt）vt=Zbx（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））- bx（t，\'ut，\'Xt）Ztdλ+Zbu（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））- bu（t，\'ut，\'Xt）vtdλ+Zbx（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））yεtdλ。通过使用条件（H.1）和Cauchy-Schwarz不等式，我们得出结论，上述等式右侧的前两项在(Ohm ×[0，T]）sεg等于零。

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kedemingshi

2022-6-1 15:45:39

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2022-6-1 15:45:42

重写术语asEl（XT）w′1.- FXT（XT）=Z∞l（x）w′1.- FXT（x）dFXT（x）=Z∞l′（x）w（1）- FXT（x））dx。现在我们计算其Gateaux导数asI△= limε→0εZ∞l′（x）w（1）- FXεT（x））dx-Z∞l′（x）w（1）- F？XT（x））dx= limε→0εZ∞l′（x）Zw′（1）- λFXεT（x）- (1 - λ） F'XT（x））dλ（F'XT（x）- FXεT（x））dx，为方便起见，letgε（x）=l′（x）Zw′+（1- λFXεT（x）- (1 - λ） F？XT（x））dλ，x>0，负ε（x）=Zxgε（y）dy，Gε（0+）=0。那么，I=limε→0ε-1Z∞gε（x）（F'XT（x）- FXεT（x））dx=limε→0ε-1Z∞（F？XT（x）- FXεT（x））dGε（x）=- limε→0ε-1Z∞Gε（x）d（F'XT（x）- FXεT（x））=limε→0ε-1E（Gε（XεT）- Gε（(R)XT））=直线ε→0ε-1EZgε（uXεT+（1- u）(R)XT）（XεT-(R)XT）du。其他术语也可以进行类似的研究。因此，J的Gateaux导数被转换为beddεJ（\'u·+εv·）ε=0=limε→0εEZTZgε（τuεt+（1- τ） \'ut）（uεt- \'ut）\'ut>0dτdt+limε→0εEZTZgε(-τuεt- (1 - τ） \'ut）（uεt- \'ut）\'ut<0dτdt+limε→0εEZgε（uXεT+（1- u）(R)XT）（XεT-\'XT）du，（3.5），其中gε（x）=ζ′+（x）Z′+(1 - λF（uεt）+（x）- (1 - λ） F'u+t（x））dλ，x>0，gε（x）=ζ′-（x） Z′-(1 - λF（uεt）-（十）- (1 - λ） F'u-t（x））dλ，x>0。接下来，我们回到I的计算，以证明mε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）= 0时，为了简单起见，我们采用速记法，Jε，λ，u=λFXεTuXεT+（1- u）(R)XT+ ( 1 - λ）下一页uXεT+（1- u）(R)XT,J=w′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）.条件（H.3）表示有界。

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2022-6-1 15:45:45

因此，通过Cauchy-Schwarz不等式，limε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0EZl′型uXεT+（1- u）(R)XTZw′型1.- λFXεTuXεT+（1- u）(R)XT- (1 - λ）下一页uXεT+（1- u）(R)XTdλdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0公里Zl′uXεT+（1- u）(R)XT- l′（\'XT）·Zw′型1.- Jε，λ，udλdu+ limε→0公里l′（\'XT）·ZZw′型1.- Jε，λ，udλdu- w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0KEZL′\'τuXεT+（1- τu）(R)XT（XεT-(R)XT）udτdu+KEl′（\'XT）· limε→0埃兹w′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）dλdu.由于引理3.1，我们得到了→0KEZL′\'τuXεT+（1- τu）(R)XT（XεT-(R)XT）udτdu≤ limε→0公里l′（XεT）+l′（\'XT）（XεT-(R)XT）≤ limε→0公里El′（XεT）+l′（\'XT）E（XεT-\'\'XT）= 同时，根据备注3.4，我们有△= limε→0EZZw′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）dλdu≤ limε→0EZZZw′\'1.- τJε，λ，u- (1 - τ） F？XT（？XT）dτF？XT（？XT）- Jε，λ，u·δ≤Jε，λ，u，F？XT（？XT）≤1.-δdλdu+limε→0EZZ | J |·Jε，λ，u<δdλdu+limε→0EZZ | J |·F'XT（'XT）<δdλdu+limε→0EZZ | J |·Jε，λ，u>1-δdλdu+limε→0EZZ | J |·F'XT（'XT）>1-δdλdu≤ limε→0KδEZZF？XT（？XT）- Jε，λ，udλdu+limε→0KEZZJε，λ，u<δdλdu+limε→0KEZZJε，λ，u>1-δdλdu+KE（F'XT（'XT）<δ）+KE（F'XT（'XT）>1-δ） =KZLIMε→0便士Jε，λ，u<δdλdu+KP{F'XT（'XT）<δ}+KZZlimε→0便士Jε，λ，u>1- δdλdu+KP{F'XT（'XT）>1- δ}≤ 2KP{F'XT（'XT）≤ δ） }+2KP{F'XT（'XT）≥ 1.- δ}.我们认识到，随机变量F'XT（'XT）~ U（0，1）。取δ→ 0，我们看到Iis 0。

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能者818

2022-6-1 15:45:48

因此，limε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）= 通过引理3.5，我们得到了l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））ZT.（3.5）中RHS上的其他术语也可以用同样的方法处理。作为最后一个技巧步骤，我们将上面的I写成一个形式，它与最后一个引理中给出的预期泛函的导数中的其他两项相同。引理3.7E（pTZT）=EZTvt（pt’bu（t）+qt’σu（t））dt。证明：根据（3.3）和（2.5），将It^o公式应用于ptztyeldsd（ptZt）=ptdZt+Ztdpt+d hp，Zit=pt'bx（t）Zt+pt'bu（t）vtdt+pt\'\'σx（t）Zt+\'\'σu（t）vt载重吨- Zt公司\'\'bx（t）pt+\'\'σx（t）qtdt+ZtqtdWt+\'\'σx（t）Zt+\'\'σu（t）vtqtdt=pt'bu（t）vt+'σu（t）vtqtdt公司+pt'σx（t）Zt+pt'σu（t）vt+Ztqt载重吨。然后，对t进行积分，并对两侧进行期望，结果如下。最后，我们准备完成定理2.6的证明：结合引理3.6和3.7，预期泛函的Gateaux导数以这种方式表示。ddεJ（\'u·+εv·）ε=0=EZTvtpt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0dt。由于“u”是最佳的，我们到达atEZT（ut- “”ut）pt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0dt=0。注意，当“ut6=0时，ut- “”UTI是任意的。因此，在这种情况下，我们有pt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0=0，a.e.t∈ [0，T]，每年。。在本节中，我们将最大值原理应用于三个有趣的示例。第一个例子将表明，在没有运行成本的情况下，金州的结果与我们的结果一致。另外两个例子表明，使用我们的随机极大值原理可以显式地解决一些优化问题。例4.1考虑例1.1，无需假设。

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2022-6-1 15:45:51

状态过程建模为（dXt=Xt（rt+（bt- rtm）tut）dt+XtutσtdWt，t∈ [0，T]；X=X>0，并且代理在CPT下的目标函数为comesv（XT）=Z∞w（P{l（XT）>x}）dx。假设存在anRm值、一致有界、Ft可测过程θ。使得σtθt=bt- rtm，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。此外，秩（σt）=m，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。该假设确保金融市场是无套利且完整的。在适当的条件下，金周[8]（第6节）给出的最优终端财富为（4.1）’XT=（l’）-1.λρTw′（FρT（ρT））,其中ρt=expn-Zt公司rs+|θs|ds公司-ZtθsdWsois是定价核，λ>0是唯一的实数，使得e（ρT'XT）=x。它们证明了fρT（ρT）=1- F'XT（'XT）。根据定理2.6，最优解（\'u·，\'X·）必须满足（2.5）和（2.6）。事实上，将（4.1）代入（2.5），我们可以得到（dpt=-（rt+（bt- rtm）tut）ptdt- utσtqtdt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））=λρT。将其^o公式应用于λρT，一个hasdλρt）=-rt·λρtdt- λρtθtdWt。与上述反向SDE相比，其屈服SPT=λρt，qt=-λρtθt，σtθt=bt- rtm，我们实现了（bt- rtm）+σtqt=λρt（bt- rtm）- σtλρtθt=0，t型∈ [0，T]，即，（p，q）满意度（2.6）。换句话说，本文得到的最优策略与金、周的最优策略一致[8]。实际上，在某些情况下，当“ut6”为0时，将无法解决问题。在其他情况下，控制过程的唯一解决方案是0。示例4.2 Le t b（t，u，x）=-ux，σ（t，u，x）=x。

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kedemingshi

2022-6-1 15:45:54

假设re不是终端目标函数；即J（u·）=EZTζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt。如果（\'u·，\'X·）是一个最优解，根据随机最大值原理，我们有pt=（ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果“ut>0，ζ′”-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）如果ut<0，则为a.s。。另一方面，（pt，qt）解决了BSDE（dpt=“”utpt- qtdt+qtdWt，pT=0。很明显，pt≡ qt≡ 0是唯一的解决方案，如果“ut6=0”，则会产生相反的结果。相应地，\'ut=0，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。最后，我们给出了一个可解的例子，并将结果与无概率失真的结果进行了比较。目标函数中的过程u±tin替换为u±tXt，表示财富过程的比例。我们研究了一个具有compoundedcost函数的情况。示例4.3 Le t ut，Xt>0，b（t，u，x）=-ux，σ（t，u，x）=x，ζ+（x）=xαα（0<α<1），+（p） =νpγ+1+（1- ν) [1 - (1 - p） β+1]（γ，β≥ 0, 0 ≤ ν ≤ 1). 我们有（dXt=-utXtdt+XtdWt，X=X，andJ（u·）=EZTα（utXt）α′+1.- FutXt（utXt）+ Xt公司dt。根据定理2.6，其最优解（\'u·，\'X·）应满足（4.2）pt=“”“ut”“Xt”α-1.′+1.- F“ut”Xt（“ut”Xt）, a、电子技师∈ [0，T]，a.s.，其中（dpt=“”utpt- qt-“”“ut”“Xt”α-1.′+1.- F“ut”Xt（“ut”Xt）“”ut- 1.dt+qtdWt，pT=0。结合这两个方程，我们得到（dpt=-（qt+1）dt+qtdWt，pT=0。It yieldspt=T- t、 qt=0，t型∈ [0，T]。回到等式（4.2），我们写下“ut”Xt=h（pt）。如果是这种情况，“ut”Xt是确定性的，因此f“ut”Xt（“ut”Xt）=1。

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2022-6-1 15:45:57

因此，我们输入“ut”Xt=T- t（1- ν)(β + 1)1/(α-1），a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。换回到状态方程，我们得到'Xt=Vtx+ZtT- s（1- ν）（β+1）Vα-1秒1/(α-1） ds公司, Vt=exp英国电信-t型.最后，最优控制为“ut=（T- t） 1/（α）-1） Vt公司x（（1- ν)(β + 1))1/(α-1） +Rt（T-s） 1/（α）-1） VSD, a、电子技师∈ 【0，T】，a.s。。如果没有本例中的扭曲概率，我们得到'ut=（T- t） 1/（α）-1） Vt公司x+Rt（T-s） 1/（α）-1） VSD, a、电子技师∈ 【0，T】，a.s。。5、结论性意见本文提出了一个一般连续行为投资组合模型的随机极大值原理。o ptima l溶液的特征为（2.5）和（2.6）。该系统（2.1）和（2.2）涵盖了高度多样化的偏好，包括古典效用最大化、涉及消费（或赌博、保险）的金融投资活动以及其他行为模式。最后对三个算例进行了研究，结果表明我们的解与Jin和Zhou[8]的解是一致的，所得结果也用于解决概率扭曲和效用运行的优化问题。与文献中的大多数模型不同，此处的运行术语分为积极部分和消极部分。效用函数因其S形及其在0处的有限导数而表现不良。此外，在一系列概率扭曲上处理FY（Y）带来了严重的数学挑战。为了克服这些困难，我们将此设置转换为平均场最优控制问题，并导出平均场随机最大值原理。由于技术原因，我们将效用限制为单变量函数。我们将效用函数依赖于多个变量的情况作为一个具有挑战性的开放问题进行研究。参考文献【1】Allais，M.（1953）。《理性人的构成：美国高等教育的姿势和公理批判》。

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能者818

2022-6-1 15:46:00

计量经济学：计量经济学学会杂志，21503-546。内政部：10.2307/1907921[2]贝纳茨，S.和泰勒，R。H、（1995年）。短视的损失厌恶和股权溢价之谜。《经济学季刊》，110，73-92。内政部：10.3386/w4369[3]Bouleau，N.和Hirsch，F.（1991）。Diric-hlet形式与维纳空间分析。纽约：Walter de Gruyter，柏林。[4] 杜菲，D.和爱泼斯坦，L.G.（1992）。随机微分效用。计量经济学：经济学会杂志，60353-394。内政部：10。公元2307/295年，1600[5]Fishburn，P.C.（1988年）。非线性p参考和效用理论。巴尔的摩：约翰霍普金斯大学出版社。[6] 何，X.D.和周，X.Y.（2011a）。累积预期理论下的投资组合选择：分析处理。管理科学，57315-331。内政部：10.1287/mnsc。1100.1269[7]He，X.D。和Zhou，X.Y.（2011b）。通过quant iles投资组合cho ice。MathematicalFinance，21203-231。内政部：10.1111/j.1467-9 965.2010.0 0432。金海清，周，x.Y.（2008）。连续时间内的行为投资组合选择。《数学金融》，18385-426。内政部：10.1111/j.1467-9965.2008.00339。x[9]金海清，周x.Y.（2013）。贪婪、杠杆和潜在损失：前景理论视角。《数学金融》，第23122-142页。内政部：10.1111/j.1467-9965.2011.00490。x【10】Kahneman，D.和Tversky，A.（1979年）。前景理论：风险决策分析。计量经济学：计量经济学学会杂志，47263-291。内政部：10.2307/1914185【11】Karatzas，I.，Lehoczky，J.P.，Shreve，S.E.和Xu，G.L.（1991）。n不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。《SIAMJournal关于控制和操作优化》，29702-730。内政部：10.1137/03290 39[12]Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1998）。数学融资方法。纽约：斯普林格。[13] Kusuoka，S.（2010）。

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kedemingshi

2022-6-1 15:46:04

Malliavin演算中随机微分方程解密度的存在性。功能分析杂志，258758-784。内政部：10.1016/j.jfa。2009.09.009【14】Kusuoka，S.和Stroock，D.（1984）。Malliavin微积分的应用，第1部分。随机分析。过程。Ta niguchi Symp公司。Katata 1982，Kinokuniya 271-306。[15] Kusuoka，S.和Stroock，D.（1985年）。Malliavin微积分的应用，第一部分。东京大学理学院学报。门派1A，数学，32，1-76。[16] Levy，H.和Levy，M.（2003年）。前景理论和均值-方差分析。《金融研究回顾》，17，1015-1041。内政部：10.1093/rfs/hhg062[17]Lopes，L.L.（198 7）。在希望和恐惧之间：风险心理学。非实验社会心理学进展，20255-295。内政部：10.10 16/S0065-2601（08）60416[18]R.C.默顿（1969）。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济学和统计学评论》，51247-257。内政部：10.2307/1926560[19]Peng，S.G.（1990）。最优控制问题的一般随机极大值原理。《暹罗控制与优化杂志》，28966-979。内政部：10.1137/0328054【20】Pham，H.（2009）。金融应用中的连续时间随机控制和优化。施普林格科学与商业媒体。[21]Schmeidler，D.（1989）。主观概率和无可加性的预期效用。计量经济学：生态计量学会杂志，57571-587。内政部：10.2307/1911053【22】Shefrin，H.和Statman，M.（2000）。行为投资组合理论。《金融和定量分析杂志》，35127-151。内政部：10.2307/26761 87[23]Tversky，A.和Kahneman，D.（1992）。前景理论的进展：不确定性的累积表示。《风险与不确定性杂志》，5297-323。内政部：10.1007/bf 00122574【24】冯·诺依曼，J.和摩根斯特恩，O.（2007）。博弈论与经济行为。

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