关于给定边值的极值鞅测度的支持度

2022-5-25 11:35:21

事实上，极值测度的概念与优化器的概念密切相关，因此与自由衍生品定价模型密切相关。更准确地说，Bauermaximm原理（参见[2，第7.69节]）指出，局部凸Hausdorff空间的紧凸子集上的任何上半连续凸函数都有一个极大值，它是一个极值点。因此，它适用于优化问题，如（1.1）当支付函数足够规则时。此外，我们注意到，当最大化子是唯一的时，它必然是一个极值点。因此，了解极值测度的支持可以深入了解鞅最优运输问题的解，如（1.1）。这项研究的另一个动机来自我们的第一个结果（参见Theorem3.3），该结果大致说明了以下等价性：鞅测度Q∈ M（u，ν）是极值的当且仅当每个导数都可以通过半静态策略在Q的支持下近似复制。这可以被视为对无模型设置的扩展，在所有鞅测度集中，“市场完备性”和Q的极值之间的经典设置中，这是众所周知的等价关系，没有对边缘的限制（参见，例如，离散时间的情况参见[24]），这反过来又是鞅理论中最重要结果之一的财务翻译，也就是说，极值等价于可预测的表示属性（见离散时间中的[11]，如连续时间中的[31，定理4.7，Ch.V]）。因此，在无模型环境中，了解极值度量inM（u，ν）的支持，可以生成模型，其中任何导数都可以（近似）通过半静态策略复制。我们记得Breeden-Litzenberger公式（参见。

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2022-5-25 11:35:24

[8] ）表示，从欧洲看涨期权的价格来看，C（K，T）=EQ[（ST-K） +]对于固定到期日T和所有履约价格K>0，可以推断潜在障碍Q的规律。实际上，在K中使用正确的导数K+C（T，K）=-Q（ST>K），对于所有K>0。除了财务动机之外，极值度量支持的特征化问题本身在数学上也是一个有趣的问题，而且历史悠久。事实上，关于给定边缘（不含鞅性质）的极值概率测度的支持有大量文献，这可以追溯到Birkhoff的一篇论文[7]，其中在有限的情况下给出了极值测度的完整描述，即两个边缘都有有限的支持。其中的主要结果证明，具有给定边缘的概率测度是极值的当且仅当其支持度不包含任何循环。随后的许多论文，例如[5、6、12、14、17、22、23、25、27、28]等，给出了有限或可数情况下的不同类型的特征，并从函数分析到组合数学。特别是[12]扩展到了可数情形Birkhoff关于支持极值测度的循环意义的结果。在一般情况下，给出具有给定边缘的极值测度的完整描述的问题仍然悬而未决。受这些文献的启发，本文从可预测表示性质的较弱形式出发，全面概括地描述了鞅情形中的极值。在具有可数支持的边缘更具体的情况下，我们定义了一个稍强的属性（称为WEP），这使我们能够专注于以M（u，ν）为单位的给定度量支持的组合属性。因此，我们提出了一个有效的条件，称为“2-link属性”和“完全可擦除”，具有很强的组合特性。

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nandehutu2022

2022-5-25 11:35:28

三个重要的例子满足这些标准，因此它们是极值度量：二项式树、霍布森和克里梅克的三项式树（参见[19]），以及在[4]中引入的左幕（至少在两个边缘中的一个有实体支持的情况下）。这些标准很容易实现，可以生成许多其他极端支持的示例。此外，我们引入了2-网和死锁的新概念，从而为WEP提供了一个本质上必要且有效的条件。最后，我们还研究了在鞅设置中，在没有循环的情况下，极值的表征在多大程度上是可能的（比较[25，28]）。本文的结构如下：第2节设置了框架和主要符号，而在第3节中，我们根据弱可预测表示性质给出了极值的一个特征。在第4节中，我们介绍了弱精确可预测表示属性（WEP）。第5节包含两个有效条件和示例。此外，在第6节中，我们研究了2-网、死锁和极值之间的关系。最后，第7节重点讨论了循环、极值和WEP之间的关系，第8节总结了本文。2设置和符号设u和ν为（R+，B（R+）上的两个概率定律，其中R+：=[0，∞) 表示所有正实数的集合。设P（u，ν）表示（R+，B（R+）上的所有概率测度集，边缘为u和ν，即Q（A×R+）=u（A），Q（R+×A）=ν（A），对于所有A∈ B（R+）。对于任何Q∈ P（u，ν），以下分解成立：Q（dx，dy）=Q（x，dy）u（dx），其中Q（x，dy）是概率核。我们将始终在以下假设下工作：假设2.1。

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mingdashike22

2022-5-25 11:35:31

LetRxu（dx）=Ryν（dy）=1和u4ν，在凸序中，即Zc（x）u（dx）≤Zc（y）ν（dy），对于所有凸函数c:R+→ R、设M（u，ν）表示P（u，ν）中具有鞅性质的所有概率测度集，即ZR+yq（x，dy）=x，u- a、 e.假设2.1意味着M（u，ν）是非空的（参见[21，32]）。此外，集合M（u，ν）对于测度的弱收敛是紧的（参见[3]中的命题2.4）。本文的中心概念是M（u，ν）的极值点之一，即任意概率测度Q∈ M（u，ν），如果Q=αQ+（1- α） Qfor someα∈ （0，1）和Qi∈ M（u，ν），i=1，2，然后Q=Q=Q。M（u，ν）是弱紧屈服，其极值点集是非空的（参见[2]中的推论7.66）。当没有歧义时，“Q extremal”将表示“Q extremal in M（u，ν）”。最后，对于某些概率空间上定义的任何实值可测函数(Ohm, F、 Q）我们将分别使用符号EQ（F）=Q（F）=RfdQ=Rf（x，y）dQ（x，y）表示Q下的F期望值。备注2.2。该设置允许通常的无模型金融解释如下：设（x，y）为样本空间R+的通用元素，设x（resp.y）表示应用x（x，y）=x（resp.y（x，y）=y）。因此，（X，Y）是定义在可测量空间（R+，B（R+）上的二维随机向量。在任何度量下Q∈ M（u，ν）、X和Y具有各自的定律u和ν。此外，在假设2.1下，（1，X，Y）在Q下是可分割的，因为其自然过滤。因此，它可以被视为某些风险资产的（贴现）价格过程。

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2022-5-25 11:35:35

此外，任何度量值Q∈ M（u，ν）规定了价格过程的完整规律，换句话说，给出了风险资产的价格模型，该模型与边际u，ν的知识以及无任意地理机会（由于鞅性质）的情况相符。3道格拉斯·林登斯特劳斯·奈马克定理及其后果在本节中，我们给出了M（u，ν）中极值的函数分析特征，并给出了自然的财务解释。我们强调，纸质文件这一部分的结果具有完全的概括性。在下一节中，需要对边缘u和ν的支撑进行更严格的假设。我们首先回顾了L（Q）子空间的下列经典结果极值和稠密性。定理3.1（Douglas【14】、Lindenstrauss【27】、Naimark【29】）。让(Ohm, F、 Q）是概率空间，F是L（Q）的线性子空间，使得1∈ F以下是等价的：（i）Q是R上所有概率测度集的极值点(Ohm, F）（不一定等于Q）使得ER（F）=所有F的等式（F）∈ F∩ L（R）；（ii）F在L（Q）中是稠密的，具有强拓扑。备注3.2。Douglas Lindenstrauss-Naimark定理在[31，Ch.V]中被用来证明布朗过滤中连续鞅的可预测表示性质（PRP）。这个定理与各种市场完备性概念相关的其他应用可以在[9，10]中找到。将该定理直接应用到我们的设置中，可以得到以下等价性，其中符号L（u）表示具有有限值u-A.s.定理3.3的所有可测函数集。让Q∈ M（u，ν）。

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2022-5-25 11:35:38

以下两个性质是等价的：（i）Q在M（u，ν）中是极值；（ii）弱可预测表示性质（PRP）在以下意义上成立：所有函数的集合f∈ L（Q）可表示为f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），Q- a、 s.（3.1）对于某些功能∈ L（u），ψ∈ L（ν）和h∈ L（u），密度为L（Q）。证据我们首先证明了Q下的弱PRP∈ M（u，ν）表示Q是极值。假设Q=αQ+（1- α） Qfor someα∈ （0，1）和Qi∈ M（u，ν）表示i=1，2。因此，Qi Q表示i=1，2。考虑任何函数f∈ L（Q）∩ L（Qi）使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y-x）-ψ（y）适用于适当的函数h、ψ、ψ和Q-a.s.，因此也适用于Qi-a.s。根据这些度量的期望，我们得到Q（f）=u（ν）+ν(-ψ） =对于i=1，2，对于满足（3.1）的所有有界函数f，Qi（f）。通过密度，我们得到Q=Q=Q，即Q在M（u，ν）中是极值。这有待于证明情况恰恰相反。为此，必须将定理3.1应用于集合f={f∈ L（Q）：f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），对于某些ψ∈ L（u），ψ∈ L（ν），h∈ L（u）}，（3.2），其中明确包含函数1。实际上，请注意，对于子空间f的这种选择，所有f的条件RFDR=RfdQ∈ F∩ L（R）表示R∈ M（u，ν）。定理3.3具有自然的财务解释。任何度量值Q∈ M（u，ν）可以看作是与边际u，ν一致的价格模型。因此，上述定理给出了极值模型，其中任何未定权益都可以（近似地）通过以自我融资的方式在基础上进行动态交易，并在一些欧洲期权中静态地（在时间1）和ψ（在时间2）进行复制。我们用一个命题来结束这一节，该命题特别给出了M（u，ν）的极值点完全由它们的支持度来表征。提案3.4。Q∈ M（u，ν）是极值当且仅当对于任何R∈ M（u，ν），带R 我们有R=Q。证据

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2022-5-25 11:35:41

让Q∈ M（u，ν）。假设Q不是极值，即Q=αQ+（1-α） QforsomeQi∈ M（u，ν），i=1，2，Q6=Q和一些α∈ （0，1）。因此我们有Q Q、 Nowlet Q为极值，R为∈ M（u，ν），使得R Q、表示`=drdqt由Radon-Nikodym定理给出的相应密度。此外，我们可以选择“in L”的一个版本∞（Q），产生L（Q） L（R）。因此，对于任何f∈ 如（3.1）所示，L（R）表示为三（h，Д，ψ），其中一个表示为u（Д）- ν（ψ）=ZfdQ=ZfdR=Z ` fdQ，它如下`- 1与F正交，F在L（Q）中稠密。因此，我们有`=1，因此R=Q.4弱精确可预测表示性质从现在起，我们将在以下长期假设下工作：假设4.1。在R+的可数子集X和Y上支持u和ν。我们在这个离散的支持上下文中介绍一些符号。设S为x×Y的任意子集。对于（x，y）∈ S we letYS（x）={z∈ Y：（x，z）∈ S} ，XS（y）={t∈ X：（t，y）∈ S} ，andSX={x∈ X：Y∈ Y、（x，Y）∈ S} ，SY={y∈ Y:Y∈ Y、（x，Y）∈ S} 。我们称网格为任意集 X×Y，使得| SX |=1。如果此外，S满意度| SY |=2，则称为2网格（或二项式网格）。对于任何度量值Q∈ P（u，ν）我们将其支持定义为setsupp（Q）：={（x，y）∈ X×Y:Q（X，Y）>0}。每当S是概率Q的支持，即S=supp（Q），并且没有歧义时，我们将从符号XS（y），YS（x）中删除S，并简单地写x（y），y（x）。最后，符号| A |表示任何集合A的基数，通过对任何可数集合A进行编号（或排序），我们表示该集合作为序列的任何可能表示。我们现在介绍弱PRP的以下精确加强，这是由Mukerjee在非鞅情况下的极值的纯几何特征所激发的（参见[28]中的介绍和他的定理2.7）。这样的属性比弱PRP更容易处理（参见。

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2022-5-25 11:35:44

定理3.3），因为它避免了表示中出现的函数可积性问题，以及L（Q）中极限的通过。然而，弱PRP的主要区别更为微妙：我们只需要在产品空间X×Y的子集S上定义的函数的复制属性。在大多数情况下，S将是某些度量值Q.defition 4.2（弱精确PRP）的支持。设S是X×Y的子集。我们说，对于每一个函数f:S，WeakExact PRP（从此，WEP）都适用于S→ R、存在函数h，Д：SX→ R和ψ：SY→ R使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），（x，y）∈ S、（4.1）此外，设f:S→ R可以是任意函数。如果（4.1）满足合适的函数h，Д，ψ，则WEP（f）在S中成立。我们说WEP适用于Q∈ M（u，ν），如果WEP适用于Q.示例4.3（二项式网格）的支撑S。设x，y，ybe是一些给定的正数，y6=yan，S：={（x，yi）：i=1，2}是相应的2网格。然后，WEP持有forS。实际上，对于任何给定的f，集ψ=0，h（x）=f（x，y）-f（x，y）y-y、和Д（x）=x-yy年-yf（x，y）+y-xy型-yf（x，y）。备注4.4。请注意，通过将WEP定义为给定路径集S的属性，我们可能会包括不能支持鞅概率度量的集，例如，当y>y>x>0时，如前一示例所示。更一般地说，如果WEP适用于某些集合 X×Y，如果m:R+→ R+是这样一个应用程序，id+m是可逆的，其中id代表身份映射，然后WEP保持集合Sm={（x+m（x，y）：（x，y）∈ S} 还有。实际上，考虑一个函数f:Sm→ Rand let（ψ，h，ψ）是函数g（x，y）=f（x+m（x，y）的分解。

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2022-5-25 11:35:47

我们有f（x+m（x），y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）=Д（x）+h（x）m（x）+h（x）（y- （x+m（x）））-ψ（y），通过设置φf（x+m（x））=φ（x）+h（x）m（x），hf（x+m（x））=h（x），Sm的WEP如下，因为id+m是可逆的。这特别表明，WEPis是一种纯几何和组合性质的性质。我们在本节结束时指出，当ν的支持度基本上是由u的支持度中的许多点“生成”时，WEP是度量Q（μ，ν）的极端性的有效条件（见以下命题的陈述）。例如，当u的支持或ν的支持是有限的时，就会发生这种情况。这并不奇怪，因为WEP完全依赖于Q。在这些情况下，可以免费获得WEPdecomposition中项的可积性，从而得到极值。提案4.5。让Q∈ M（u，ν），让我们来支持它。假设存在一个单元集{x，…，xn} Sx使SY=∪1.≤我≤nY（xi）（例如，如果SX或SYis finite）。如果WEP对Q成立，那么Q是极值。证据取一些函数g∈ L（Q），特别是rr | g（x，y）| Q（x，dy）<∞ 对于所有xin，支持u，因此对于所有x∈ {x，…，xn}。假设存在可测函数Д，h:SX→ R和ψ：SY→ R使得g（x，y）=Д（x）- ψ（y）+h（x）（y- x）（4.2）在Q的支持下，尽管有点滥用符号，我们仍然用φ、ψ和h表示这些函数对整个各自空间的扩展，即x表示φ，h和Y表示ψ，将它们设置为Sx以外的0表示ν、h，Sy以外的0表示ψ。现在，对于每个y∈ SY，|ψ（y）|≤ |^1（x）|+| h（x）|（x+y）+g（x，y）|对于某些x∈ {x，…，xn}，其中包含|ψ（y）|≤ 最大值1≤我≤n |Д（xi）|+最大值1≤我≤n（| h（xi）| xi）+最大值1≤我≤n | h（xi）| y+max1≤我≤n | g（xi，y）|。因此，由于max1≤我≤n | g（xi，y）|≤Pni=1 | g（xi，y）|每个函数y 7→ g（xi，y）isq（xi，dy）-可积所有i=1。

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2022-5-25 11:35:50

，n，我们有Z | g（xi，y）| dν（y）=Z | g（xi，y）| q（xi，dy）u（{xi}）<∞.此外，函数y 7→ 最大值1≤我≤n | h（xi）| y也属于L（ν），得到ψ∈ L（ν）也是。在重新排列术语并采用（4.2）中的条件期望后，我们得到了|（x）=Zg（x，y）q（x，dy）+Zψ（y）q（x，dy），因此| |（x）|≤R（|g（x，y）|+|ψ（y）|）q（x，dy）。自g起∈ L（Q）和ψ∈ L（ν），我们也有∈ L（u）。然后通过差值（x，y）7→ h（x）（y）- x）也属于L（Q）。因此，我们已经证明，对于每个可积函数g∈ L（Q），其WEP分解（4.2）中的每一项对于各自的测度都是可积的，因此通过应用定理3.3，我们得到Q是极值。备注4.6。当u和ν都有有限的支持时，WEP和极值实际上是等价的。要看到这一点，只需注意L（Q）可以与所有函数集sf:supp（Q）识别→ R、这是一个有限维向量空间。因此，L（Q）的任何稠密子空间都等于L（Q），因此WEP和弱PRP重合。特别是，每个极端度量Q都满足WEP。备注4.7。一般来说，半静态交易策略集在L（Q）中不是封闭的，asit在文章[1]中给出。更准确地说，在定理1.1中，作者构建了一个离散时间模型，定义在可数样本空间上，以及一系列在Lp中收敛的半静态策略，对于每个p≥ 在某种程度上，甚至不能被半静态战略的最终结果所支配。

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2022-5-25 11:35:54

即使Q是以M（u，ν）为单位的极值度量，这是否成立的问题仍然悬而未决。5 WEP的一些有效条件本节我们为WEP提供了一些易于验证的有效条件。5.1交集引理我们从一些初步结果开始，表明对于x，WEP（以及极值）对图像集Y（x）的交集有很强的约束∈ 十、引理5.1（WEP下的交叉引理）。假设WEP对S和let x，xbe保持SX中的两个不同点。然后| Y（x）∩ Y（x）|≤ 2.（5.1）证明。假设存在两个不同的点x，x∈ Sx使得Y（x）∩ Y（x）{y，y，y}，y<y<y。因此，可以选择函数f:S→ 使得f（x，·）和f（x，·）分别在集合{yi，i=1，2，3}上严格递增和严格递减递增比率，即f（x，y）- f（x，y）y- y<f（x，y）- f（x，y）y- y（5.2）和F（x，y）- f（x，y）y- y> f（x，y）- f（x，y）y- y、（5.3）由于WEP适用于S，f可表示为f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），x∈ SX，y∈ Y（x），对于某些函数h，Д：SX→ R和ψ：SY→ R、因此（5.2）和（5.3）变成ψ（y）- ψ（y）y- y<ψ（y）- ψ（y）y- y、 ψ（y）- ψ（y）y- y> ψ（y）- ψ（y）y- y、导致矛盾的。尽管我们一般不知道WEP和极值之间的关系，但我们可以证明，在交集引理中，WEP可以被极值性质所取代，同时保持相同的结论。引理5.2（极值下的交集引理）。假设Q是极值。让Sbe支持Q和x，Xt在SX中的两个不同点。然后| Y（x）∩ Y（x）|≤ 2.（5.4）证明。让我们从矛盾的角度出发，假设y（x）中至少有三个不同的点{y，y，y}∩ Y（x）。我们将在M（u，ν）中建立Q的微扰，表明Q不可能是极值。

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2022-5-25 11:36:02

考虑正数c：=inf{Q（xi，yj）：i=1，2，j=1，2，3}>0。让我们从路径（x，y）开始，用一些数字α扰动其概率，从而得到一个新的概率权重Q（x，y）=Q（x，y）+α。现在考虑路径（x，y）并扰动它，以保持y处的总质量，通过-α、即定义Q（x，y）=Q（x，y）- α。同样地，我们将路径（x，y）关联为扰动β，将路径（x，y）关联为相反的扰动-β、最后γ到路径（x，y）和-γ到路径（x，y）。通过选择足够小的α、β、γ，该程序可得出新的概率测量值Qon S。通过构造每个点yj的总质量，对于j=1、2、3，保留。另一方面，xis点的质量u（{x}）保持为当且仅当α-β+γ=0，x处的质量守恒，即u（{x}），给出了相同的条件。它仍然是为了检查鞅性质，对x和x两个点给出相同的条件，即αy- βy+γy=0。求解该系统得到α=β- γ和β（y- y） =γ（y- y）。我们可以选择非常小的γ，以便最大{|α|，|β|，|γ|}<c，这保证了上面构造的微扰qc属于M（u，ν）。最后，执行一个模拟扰动，其权重与Q中的权重具有相同的绝对值，但符号相反，我们得到了另一个度量值Qin M（u，ν），例如Q=（Q+Q）/2，这与Q.5.2的极值相矛盾。在本节中，我们引入了“2-link属性”的概念，它给出了WEP保持X×Y的给定子集S的充分条件。这个性质可以看作是交叉引理5.1中给出的必要条件的加强。它的公式化很简单，同时它提供了一种生成非常丰富的极值测度支持集的简单方法。定义5.3（双链接属性）。

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2022-5-25 11:36:06

如果存在编号SX=（xn）n，我们说S具有2-link性质≥1对于所有n≥ 1我们有| Y（xn）∩N-1[i=1Y（xi）|≤ 2，（2LP）与约定si=1=.在稍微滥用术语的情况下，我们有时会使用（2LP）来表示“2-link属性”。从上下文中可以清楚地看到。提案5.4。如果S具有2-link属性，则WEP适用于S.Proof。让f:S→ R是任何可测量的实值函数，我们想找到函数Д，h:SX→ R和ψ：SY→ R使得f（x，y）+ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x）在S上，我们使用条件（2LP）通过归纳构造此类函数，我们假设该条件至少满足一个编号SX=（xn）n≥1、取第一个元素X并考虑所有点y∈ Y（x）。任意选取两个这样的点，比如y，y∈ Y（x），取任意两个实数ψ，ψ并设置ψ（Y）：=ψ和ψ（Y）：=ψ。我们想要f（x，yi）+ψ（yi）=Д（x）+h（x）（yi- x），i=1，2，因此y中a ffine函数的参数Д（x），h（x）∈ Y，Y 7→ Д（x）+h（x）（y-x），由上述等式中LHS上的两点确定。因此，函数ψ（y）的其他值∈ Y（x）\\{Y，Y}也通过等式ψ（Y）=f（x，Y）确定- ^1（x）- h（x）（y）- x）。现在，假设我们已经构造了函数h，Д：（xi）n-1i=1→ R和ψ：∪N-1i=1Y（xi）→R使得f（xi，y）=Д（xi）+h（xi）（y- 十一）- ψ（y），y∈ Y（xi），1≤ 我≤ N- 考虑满足条件（2LP）的给定编号sx中的下一点x。后者意味着最多存在两个不同的点，例如，y，y∈ ∪N-1i=1Y（xi），使yi∈ Y（xn）表示i=1，2。让我们首先考虑一下这些点正好是两个的情况。因此，已经确定了两个值ψ（yi），i=1，2，并将f（xn，yi）+ψ（yi），i=1，2。

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2022-5-25 11:36:10

这完全且无任何歧义地识别了以下WEP表示f（xn，y）+ψ（y）=Д（xn）+h（xn）（y）y-a ffine部分中的参数Д（xn），h（xn- xn），y∈ Y（xn）。实际上，我们有h（xn）=f（xn，y）- f（xn，y）+ψ（y）- ψ（y）y- y、 Д（xn）=f（xn，y）- h（xn）（y）- xn）+ψ（y），ψ（y）=f（xn，y）- ^1（xn）- h（xn）（y）- xn），y∈ Y（xn）/{Y，Y}。这样，我们将函数h，ν扩展到有限集（xi）ni=1，并将函数ψ扩展到该集∪ni=1Y（xi）。为了完成这一部分，我们还需要考虑以下情况：(∪N-1i=1Y（xi））∩ Ynis为空或仅包含一个点，例如y。在后一种情况下，结构类似于唯一的区别，即ψ（y）是固定的，而值ψ（y）可以任意选择。在前一种情况下，即交叉点是空的，可以从证明的开始处继续。最后，根据归纳原理，我们可以得出以下结论：存在函数h，ν：SX→ R和ψ：SY=∪N≥1Y（xn）→ 使得WEP（f）适用于任意函数f。备注5.5。可以很容易地构造具有多个满足点（2LP）的条件支持。这与没有边缘约束的鞅测度的情况相反，其中只有极值点具有两点条件支持（与Dellacherie[11]中的Lemme a以及Jacod和Shiryaev[24]中的定理6相比）。从财务角度来看，这显然是因为M（u，ν）的极值点对应于定理3.3中的半静态完整模型，其中特别允许一个静态交易许多欧洲期权。示例5.6（“二叉树”）。任意概率Q∈ M（u，ν），其条件支持有两个点，即所有x的| Y（x）|=2∈ 十、是极端的。事实上，属性（2LP）是微不足道的。示例5.7（Hobson和Klimmek【19】“三项式树”）。

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大多数88

2022-5-25 11:36:13

Hobson和Klimmek[19]构造了一个最优鞅最优输运，其条件支持充分刻画如下：存在a<b和两个递减映射p和q，使得对于x和x∈ 如果x<a或x>b，则Y（x）={x}，否则，p（x）<a和q（x）>b，则Y（x）={p（x），x，q（x）}。此外，对于不属于Y（x）的x，我们有Y（x）={p（x），q（x）}。可以看出，在这种情况下，该属性（2LP）也是令人满意的。实际上，设X为u的（可数）支持度，X=X<a∪ X【a，b】∪ 十> b，X>a时：={X∈ X:X>a}（其他两组定义类似）。考虑这三个集合的任何编号，即X>a=（xan），X>b=（xbn）和X[a，b]=（(R)xn）。因此，通过交替每个序列的元素，我们得到X的编号，由（xn）=（xa，xb，\'X，…）给出满足（2LP）。注意，Hobsonand Klimmek与u的最佳耦合∧ ν=0是一棵二叉树。有关此支持的更多信息，请参见示例5.16。Beiglb¨ock和Juillet在论文[4]中介绍了左单调鞅传输计划的基本概念（见其中的定义1.4），如下所示：如果存在Borel集，则R×R上的鞅传输计划π称为左单调 R×R，π（Γ）=1，并且每当（x，y-), （x，y+）（x，y）∈ 我们不能有X<X和y-< y<y+。（5.5）在[4]的定理5.1中，证明了M（u，ν）中存在唯一的左单调迁移平面，用πl表示，称为左幕。右侧帷幕πRCI的定义类似，只需将（5.5）替换为以下禁止模式：无论何时（x，y-), （x，y+）（x，y）∈ 我们不能有X>X和y-< y<y+。（5.6）提案5.8。假设SX存在严格递减（或严格递增）编号，即SX=（xn）n≥1 x>x>····（分别为x<x<····）。然后，左（右）幕πlc（右）幕πrc满足性质（2LP）。

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mingdashike22

2022-5-25 11:36:16

特别是，它满足WEP，因此，在命题4.5的假设下，它在M（u，ν）中是极值。证据自相矛盾地假设sx的所有数字都不满足（2LP），因此减少的顺序x>x>··尤其不能满足它。因此，存在k≥ 2这样的Y（xk）∩ (∪1.≤我≤K-1Y（xi））包含三个不同的点y，y，yin y。我们可以将它们排序为yu>ym>yl。存在i=1的XI，K- 1以便ym∈ Y（xi）。然后，我们发现（xk，yj），与j∈ {u，m，l}，与（xi，ym）一起属于左帘的支撑，在这里我们回忆起xi>xk。这正是左侧幕墙定义中的禁止映射（5.5）（另请参见[4，图1]）。因此，左侧的curtainsupport满足（2LP），它满足WEP（参见命题5.4）。因此，在命题4.5中的假设下，左幕为极值，单位为M（u，ν）。右侧窗帘的天窗与此类似。现在，我们提供一个示例，说明WEP不需要2-link属性。示例5.9。下图显示了X×Y的子集S，X={xi}i=1，Y={yj}j=1，它不具有双链接属性，但可以通过直接验证来检查WEP是否已满（参见示例6.26）。X1X2X3X4Y1Y2Y3Y4Y5Y6我们将在下一节中返回此图片（参见示例6.11）。示例5.10。最后，我们给出了一个有限支持填充（2LP）的示例。考虑SX=（xn）n≥1对于某些给定的正数序列，使得| Y（xn）|=n，对于所有n≥ 1，且满足性质| Y（x）∩ Y（x）|=1，Y（xn+1）∩n[i=1Y（xi）= 2，n≥ 很明显，通过这种构造，我们得到了SY=∪N≥1Y（xn）也是有限的。

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2022-5-25 11:36:19

前四个迭代步骤的一个可能特征是以下x1x2x3x4y1y2y3y4y5这只是一个可能的示例，使用（2LP）的定义可以在支架的两侧提供许多点。实际上，我们再次强调，（2LP）本身就是一个非常有建设性的属性。5.2.1与图论的关系我们在本节结束时表明，2-链性质与图论中的k-退化的概念非常相关，如[26]。特别是，我们看到了这种意外的关系如何提供（2LP）的替代特征，以及生成满足X×Y（2LP）的子集的方法。我们将使用一些graphtheory的术语，我们可以参考Diestel的书【13】。设G=（V，E）是一个顶点集为V，边集为E的图。出于我们的目的，我们允许G有多条边。此外，V和E可以是有限的可数集。顶点v的度数d（v）∈ V是与V相关联的边数。G顶点的最小度数称为G的最小度数，用δ（G）表示。此外，图G的子图H由G的顶点子集和G的边子集组成，它们共同构成一个图。由G的一组U顶点（用hUi表示）诱导的子图，以U作为其顶点集，并包含G的所有边与U定义5.11（[26]）的两个顶点相关。一个图G被称为k-退化图，对于k是一个非负整数，如果对于G的每个诱导子图H，我们有δ（H）≤ k、下面的命题说明了一个图的k-退化（k=2）与一个与（2LP）非常相似的性质之间的等价性。当G是有限的且没有多页时，这只是[26]中的命题1。然而，即使G可以有可数的多个属性和多条边，这样的等价性仍然成立。

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2022-5-25 11:36:23

为了方便读者，我们在k=2的情况下提供了证明。提案5.12（【26】）。G=（V，E）是2-退化的当且仅当其顶点集V允许阶V=（vn）n≥1这样的d（v）≤ 2和，在诱导子图hh{v，…，vn中-1} G中的i，我们有d（vn）≤ 2，每n≥ 1.证明。假设G是2-退化的。我们可以找到这样的排序方式：选择度最小的顶点，将其命名为X，然后将其从图中移除。对其余子图重复此过程并迭代。现在，假设给定了阶，并且存在一个δ（H）>2的G的诱导子图H。选择n个足够大的V（H）/{V} {v，…，vn-1} ，其中V（H）是H的顶点集，V是其顶点之一。现在，由于δ（H）>2，诱导子图hv中的v度，越南-1i比2大得多，这与排序的属性相矛盾。我们展示了如何使用2-退化图生成子集S X×Y完全符合2-link属性。首先，请注意，S可以被视为（可能是有限的）二部无向图G=（V，E），其中V=X×Y是顶点集，E=S是边集，因此E=xy是G的边当且仅当（X，Y）∈ S、即y∈ Y（x）。出于我们的目的，让我们用顶点集X定义一个更简单的图。让GX=（VX，EX）是一个VX=X且EXis的图，这样xx∈ EXif且仅当xy和xy属于某些y的E时∈ Y，限制同一个Y不能使用两次以上。请注意，图形GXcan有多条边。此外，可以从相同的图G开始构建不同的GxC。让我们在下面的示例中说明这种构造：让Gbe如下图所示：X1X2X3Y1Y2Y3注意G满足（2LP）。

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2022-5-25 11:36:27

如上所述，从G中产生的一个可能的图gxp由x1x2x3给出，其他图可以通过重新标记顶点从后者获得，换句话说，这样的图是同构的。让我们表示相关的等价类。以下等效性是命题5.12和GX定义方式的直接结果。设G=（V，E）和G=（V，E）是两个图。如果存在双射η：V，则称G和Gisomorphic→ V点击xy∈ E当且仅当η（x）η（y）∈ 对于所有x，y∈ 五、这种映射称为同构（参见[13，第1.1节]）。提案5.13。设S是X×Y的子集，G是相应的图。如果Egxis 2-退化，则S（或等效G）满足（2LP）。文章[26]包含了许多k-退化（有限）图的例子，这些图可以用来生成M（u，ν）中极值测度的支持。一类相关的例子是连通3-正则图（所有顶点都有三个邻居）。这类图本身不是2-退化的，但删除它们的任何顶点都会留下一个2-退化图。生成充满图（2LP）的方法如下：给定一个顶点集VX=X的2退化图GX=（VX，EX），我们定义一个顶点集V=X×Y的图G=（V，E），通过分割任何边E=xx获得边集E∈ EXINTO某些y的两条边xy和xy∈ Y新的图G通过构造满足（2LP）。对图论中的（2LP）和2-简并的深入理解超出了本文的范围。我们推迟了对这种相互作用的研究，以便将来进行研究。5.3可擦除设置在本节中，我们为WEP提供了另一个有效条件。当添加越来越多的点时，2-link属性在路径之间施加了一种兼容性条件，这里给出的条件是基于以某种方式擦除路径。

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nandehutu2022

2022-5-25 11:36:30

这是由非鞅情形中的类似性质推动的（参见[28]，定理2.3）。我们从以下引理开始：引理5.14。让我们 X×Y，设U={（X，Y）∈ S：| X（y）|=1或| y（X）|≤ 2} 。然后，WEP适用于S当且仅当其适用于S\\U证明。很明显，如果WEP适用于S，那么它适用于S\\U。现在，假设WEP适用于S\\U。Let（x，y）∈ U、首先考虑| X（y）|=1和X的情况∈ 对于某些y，例如（X，y）∈ 在这种情况下，值ψ（y）可以取为ψ（y）：=f（x，y）- ^1（x）- h（x）（y）- x）其中，μ（x）和h（x）由WEP针对S\\U给出。另一方面，如果| Y（x）|=2且Y（x）={Y，Y}，则通过以下等式，由Y（x）上的ψ值唯一确定Д（x）和h（x）：h（x）=ψ（Y）- ψ（y）y- y、 Д（x）=x- yy年- yψ（y）+y- xy型- yψ（y）。（5.7）如果| Y（x）|=1，即Y（x）={Y}，则选择φ（x）=ψ（Y）+f（x，Y）和h（x）=0允许沿路径（x，Y）满足WEP。让我们定义子集S X×Y以下擦除变换：E1，X（S）=S \\{（X，Y）∈ S：| X（y）|=1}，Ek，y（S）=S \\{（X，y）∈ S：| Y（x）|=k}，k=1，2，最终E=E2，Yo E1，yo E1，x.definition 5.15（已擦除集和完全可擦除集）。如果E（S）=S，则称为集S已擦除。此外，如果En（S），则称为完全可擦除↓ 作为n→ ∞, i、 e.对于所有（x，y）∈ S存在n∈ N使得（x，y）/∈ En（S）（根据惯例，我们设置E=id）。示例5.16（Hobson和Klimmek【19】“三项式树”（续））。Hobson和Klimmek三项式树（如示例5.7所定义）是完全可擦除的：如果x≤ aor x≥ b、对于x∈ （a，b），根据跃迁概率的定义，| X（X）|=1。由于网格源自x∈ （a，b）是三项式网格，在应用贴图E1、xa和E1后，ywe因此剩下二项式网格，并且最终ye（S）=.示例5.17。

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2022-5-25 11:36:33

这是一个非平凡的完全可擦除集示例：x1x2x3x4x5x6使用完全可擦除集的定义，可以擦除上述支持，并执行以下步骤：首先，应用E1，xwe获取x1x2x3x4x5x6，同时使用E1，yand E2，ygivesx1x2x3x4x5x6。此外，可以立即应用E1，x，然后是E1，yagain，我们获得x1x2x3x4x5x6的最后一个应用E2，yand最终是E1，充分利用支持。示例5.18（最终完全可擦除支持）。通过归纳，我们将首先构建一个辅助的不可擦除的有限集合，该集合将被稍微扰动以获得完全可擦除的集合。简而言之，辅助集将只有三项式网格，它的左手点将被排序，每个右手点将正好有两条路径指向它。此外，它将在某种意义上连接，即任何右侧或左侧点将在迭代中连接到初始网格。我们从一个三项式网格S=M（x）开始，其中M（x）Y={Y，Y，Y}都是不同的，我们再附加一个三项式网格M（x），右侧点{Y，Y，Y}chosenso thaty=Y，Y=Y，和y6=yi，i=1，2，3。通过归纳，我们假设有一个具有所需性质的集sn。因此，为了继续构造，我们考虑进一步的三项式网格M（xn+1），并设置Sn+1=Sn∪ M（xn+1）。我们需要指定新网格如何与之前的点连接。设M（xn+1）={yn+1，yn+1，yn+1}（三个不同的点），前一组Sn中的右手点可以划分为（Sn）Y=Fn∪ fn其中表示Fkn：={y∈（Sn）Y：| X（Y）|=k}对于k=1，2。假设Fn6=.

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2022-5-25 11:36:37

因此，我们考虑以下两种情况：o| Fn |=1，在这种情况下，我们选择yn+1∈ Fn（这是唯一可用的点），而我们选择yjn+1/∈ （Sn）yf对于j=2，3.o|Fn |≥ 2，在这种情况下，我们选择yn+1，yn+1∈ Fnand yn+1/∈ （Sn）Y，因此在添加新网格后，对于j=1，2，我们有| X（yjn+1）|=2。然后，集合Sn+1具有所有必需的属性，并且满足Fn+16=. 立即设置：=∪N≥1Sn。可以很容易地检查S中的每个左手点正好属于三条路径，每个右手点正好属于两条路径，并且通过构造，每个路径都连接到初始网格M（x）。特别是，我们知道S不是完全可行的。此外，序列（xn）n≥1可严格视为递增。现在拾取SY中的任意右侧点y，该点正好属于两条路径，例如（z，y）和（z，y），并将其替换为（z，y+ε）和（z，y- ε）式中，ε等于neithery+εnor y- ε属于SY。让S（ε）代表新集合。然后可以证明它是完全可擦除的。实际上，取任何连接x到y的路径。通过y的归纳，每个子路径（x，z）都可以被擦除，因为它要么属于二项式网格，要么满足| x（z）|=1。所以最终M（x）也会被擦除。现在选择SX中最小的元素（自（xn）n以来定义良好≥1正在严格增加），以便其网格尚未擦除。由于它也连接到xin S，因此有一条asub路径，它要么属于二项式网格，要么沿着连接到X的前一条路径满足| X（z）|=1。因此，我们可以从该子路径中进行感应擦除。迭代地应用这样的方案将完全擦除集合S（ε）。下一个结果表明，完全可擦除性意味着WEP。提案5.19。假设S是完全可擦除的。然后WEP支持S.Proof。注意，当且仅当S=∪N≥0En（S）c（约定E=id）。

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mingdashike22

2022-5-25 11:36:40

因此，为了证明WEP适用于S，我们可以通过归纳法在nas上进行如下操作。第一个E（S）c=, 因此，WEP适用于n=0。假设WEP适用于En（S），并让我们证明它适用于En+1（S）cas。通过定义erasuretransformations，任意（x，y）∈ En+1（S）c\\En（S）c=En（S）\\En+1（S）满意度| X（y）|=1或| y（X）|∈ {1，2}。因此，为了将WEP从En（S）cto扩展到路径（x，y），我们可以在引理5.14的证明中进行。备注5.20。完全可擦除不是WEP的必要条件：可以坦率地检查示例5.9中的集合是否不完全可擦除。另一方面，可以证明，在某些特殊情况下，这是必要的（见命题6.29）。请注意，删除路径（x，y），使| x（y）|=1可能会阻止剩余集成为鞅度量的支持。事实上，考虑集合{（x，yi）：i=1，2}，0<y<x<y。在后半部分中，我们需要以下擦除集概念的弱化，这确实保留了鞅属性：定义5.21（1-擦除集和2-擦除集）。如果E1，y（S）=S（分别E2，y），则集合S称为1-erased（分别为2-erasedo E1，y（S）=S），或等效地，如果| YS（x）|≥ 2（分别为| YS（x）|≥ 3）对于所有x∈ SX。备注5.22。根据上述定义，1擦除或2擦除集可能具有右手自由路径，即路径（x，y），使得| x（y）|=1，不同于擦除集S，其中sx中的任何点通过S连接到y中的至少三个点，而sy中的任何点连接到x到S中的至少两个点。这意味着擦除集在x上的投影中至少有两个点，在Y上的投影上有三个点。我们通过研究fullyerasability概念与2-link属性之间的关系来结束本节。

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2022-5-25 11:36:43

事实证明，在有限的情况下，它们是等价的，而当X为有限时，可以很容易地构建一个支持的示例，以满足后者而不是前者。提案5.23。假设SXis有限。那么S是完全可擦除的，当且仅当它具有2-link属性时。证据对于一些非负整数n，设| X |=n≥ 1、假设S满足2link属性。因此，S可以构造为多个集合（Sk）nk=1的并集，如下所示：（S）Xis是一个单子，并且在每一个进一步的步骤中，Skis通过添加（Sk）获得-1） Xa新点，如xk，使属性（2LP）充满。现在，从这种构造的底部开始，请注意，任何对（xn，y）都可以通过应用转换E来擦除，因为| X（y）|=1的对（xn，y）将首先被取消，然后任何其他对（xn，y）将紧随其后，因为在第一次取消后，它们将满足| y（xn）|≤ 2、迭代E将对其他每对（xk，y），y产生相同的影响∈ Y（xk），1≤ K≤ N- 1，将减少到空集。因此S是完全可行的。现在，假设S是完全可擦除的。由于SXis有限，S是完全可擦除的，当且仅当Y（S）= 对于某些n≥ 空集平凡地满足了2-link属性。现在，我们可以进行归纳。我们假设Ek（S）满足2-link性质，我们想证明Ek-1（S）也可以。通过定义擦除转换E=E2，yo E1，yo E1，x，我们已经从Ek中删除了Ek-1（S）somepair（x，y）∈ S的顺序如下：首先是满足| X（y）|=1的，其次是满足| y（X）|=1的，最后是满足| y（X）|=2的。关键的观察结果是，将它们添加到Ek（S）中可以返回到Ek-1（S）将2-link属性转移到更大的集合Ek-1（S）。因此，根据归纳原理，我们可以得出结论，S=E（S）满足2-link属性。示例5.24。

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2022-5-25 11:36:46

这里我们展示如何构造一个集合S X×Y，具有R+的X和Y可数子集，满足2-link属性，且不可完全擦除。我们希望支持S满足| Y（x）|≥ 3和| X（y）|≥ 2代表全部（x，y）∈ S、我们从somex开始∈ X，Y（X）={y1,1，y1,2，y1,3}。然后再加上第二个点x∈ X \\{X}具有两个带有X的链接和一个附加的自由y点，即y（X）={y1,1，y1,2，y2,1}对于某些2,1∈ Y\\Y（x）。我们继续构造，使得X（y2,1）在X中至少有两点。因此，我们添加X∈ X \\{X，X}，例如Y（X）={y1,3，y2,1，y3,1}。到目前为止，2-link物业已全部由建筑完成。现在，考虑x的左侧自由点，即y3,1，并添加第四个点xsuch，即Y（x）={y3,1，y4,1，y4,2}，依此类推。通过迭代，我们最终将得到具有所需属性的集S。下图说明了构建的前四个步骤：x1x2x3x4y1,1y1,2y1,3y2,1y3,1y4,1y4,26 WEP的几何特征本节的目标是提供集合S的特征 X×Y满足WEP。主要结果如定理6.21所述，该定理基于死锁的新概念（在定义6.18中引入）。现在，我们在下面的定义中介绍连接的初步直观概念。给定S上的二元关系R，我们记得R的传递闭包被定义为S上包含R.definition 6.1的最小传递关系。让我们 X×Y。我们说，如果x=xor y=y，则S areneighbours中的两条路径（x，y）和（x，y）。这种关系的传递闭包是等价的。S的相应等价类称为连通子类（ofS）。

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大多数88

2022-5-25 11:36:49

具有单个子类的集合S将被称为connected。这种连通性的概念产生了以下分解特性，这将允许我们在不损失一般性的情况下处理1-擦除连通集。提案6.2。让我们 X×Y为1擦除集，设S=∪N≥1Snbe将其分解为相互不相交的连接子类。然后每个Sn，对于n≥ 1，被1擦除。此外，WEP适用于S当且仅当其适用于每个集合Sn，n时≥ 1.证明。假设S为1擦除，且S=∪nSnis将其分解为相互独立连接的子类。自相矛盾地假设SNI不是为某个人1擦除的≥ 因此存在（x，y）∈ sn使得{y}=YSn（x）。因为S是1擦除的，所以我们有| YS（x）|≥ 2，因此存在一个点yin YS（x）\\YSn（x）。此外，（x，y）和（x，y）areneighbours，这意味着sn不能是S的连通子类。如果WEP适用于S，那么它显然适用于每个子类Snas。现在假设WEP适用于每个子类Sn，n≥ 因此每个函数f:X×Y→ Rsatis表示每个子类Sn上的WEP，即f（x，y）=Дn（x）+hn（x）（y- x）- ψn（y），（x，y）∈ 序号，n≥ 1，对于某些函数Дn，hn：（Sn）X→ R和ψn：（Sn）Y→ R、由于子类SNAREDISINET，我们可以安全地将这些函数粘贴在一起，并得到完整集S.6.1 S-a ffine函数和2-nets：定义和属性上f的WEP。本小节和下一小节将重点讨论S-a ffine函数和2-nets的两个重要辅助概念。从现在起，我们将在以下假设条件下工作：假设6.3。s X×Y是1擦除集，即E1，Y（S）=S或等效的| Y（X）|≥ 2对于所有x∈ SX。定义6.4（S-a ffine功能）。函数ψ：SY→ 如果R是每个集合YS（x）的一个函数，即对于所有x，则称为S-a ffene∈ 存在ψ（x），h（x），ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x），则，Y∈ YS（x）。

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