保费与索赔到达随机依赖下的破产

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收藏 2022-05-10

英文标题：
《Ruin under stochastic dependence between premium and claim arrivals》
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作者：
Matija Vidmar
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We investigate, focusing on the ruin probability, an adaptation of the Cramer-Lundberg model for the surplus process of an insurance company, in which, conditionally on their intensities, the two mixed Poisson processes governing the arrival times of the premiums and of the claims respectively, are independent. Such a model exhibits a stochastic dependence between the aggregate premium and claim amount processes. An explicit expression for the ruin probability is obtained when the claim and premium sizes are exponentially distributed.
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中文摘要：
我们以破产概率为中心，研究了保险公司盈余过程的Cramer-Lundberg模型的一种改进，其中，根据其强度，分别控制保费和索赔到达时间的两个混合泊松过程是独立的。这种模型显示了总保费和索赔金额过程之间的随机依赖性。当索赔额和保费额呈指数分布时，得到了破产概率的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Ruin_under_stochastic_dependence_between_premium_and_claim_arrivals.pdf
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kedemingshi

2022-5-10 18:49:29

保险费和索赔额之间随机依赖下的破产Matija VIDMARAbstract。我们以破产概率为重点，研究了克拉姆-伦伯格模型对保险公司盈余过程的一种适应性，其中，根据其强度，分别控制保费和索赔到达时间的两个混合泊松过程是独立的。这样一个模型展示了聚合价格和索赔金额过程之间的随机依赖性。当索赔额和保费额呈指数分布时，得到了破产概率的显式表达式。1.引言保险公司资本盈余的经典模型是克拉姆-伦德伯格过程——初始资本、确定性正保费漂移和负价值索赔的复合泊松过程之和。该基准模型存在多种概括：通过更一般的计数过程替换控制索赔到达的齐次泊松过程，添加漂移差异成分以反映资本收益/损失，将保费收入随机化，仅举几例。一个基本量是破产概率。[8,2,6,11]在这篇短文中，我们研究了一个特殊的模型，该模型具有保费和索赔到达过程的随机依赖性，并且在指数分布的索赔和随机保费的特殊情况下，其破产概率允许显式解——见定理4。

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nandehutu2022

2022-5-10 18:49:32

我们发现，上述破产概率的确定与经典克莱姆-伦德伯格模型中的破产概率研究密切相关，然而，在该模型中，索赔可能为负，保费漂移可能为零——命题2。关于相关文献，关于保费收入随机但独立于索赔金额过程的盈余过程模型的出版物包括[4,12,5,9,1,3]。另一方面，文献[15]研究了保费和索赔金额过程之间具有随机相关性的模型，其中保费规模和索赔间隔时间由索赔规模控制；在[17]中，如果在索赔发生后调整了当前的保险费率，则调整后的费率取决于索赔的规模。另请参见这些引用作品中的其他参考文献。我们的贡献是分析了总保费和索赔金额过程之间可能出现的另一种随机相关性（也就是说，2010年数学学科分类之间可能存在的一个。小学：91B30；中学：91B70。关键词和短语。克拉姆-伦德伯格模型；盈余过程；随机相关性；破产概率。保费和索赔到达之间的随机相关性下的破产2保费和索赔到达时间）。对于确定保费和索赔到达的计数过程，我们选择了混合泊松过程，这是在保险环境中常用的一类均匀泊松过程的推广。我们模型的这种特殊的概率结构，虽然失去了一般性，但允许（相对而言）更容易处理的结果。我们已经提到，对我们模型的研究与经典的Cram’er-Lundbergone模型有关，但带有双侧跳跃。

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可人4

2022-5-10 18:49:36

我们在这方面的贡献是破产概率的一个完全通用（假设索赔和保费规模的负漂移和可积性）积分（更新）方程。尽管作为盈余过程模型中的一个组成部分，双边复合泊松过程[2，第XII.4b][10，16，14，13]的普遍性[2，第XII.4b]段，该结果似乎尚未记录为盈余过程的形式，并且在所示的一般性下（具体而言，我们对索赔和保费规模的分布没有连续性假设）。然而，其正跳和负跳均呈指数分布的特殊情况是众所周知的，并且已经过研究，其普遍性远远超过了关于破产概率的一般性，参见[13，第4节][7]及其参考文献。为了完整性起见，我们不只是引用这种双指数模型的破产概率的相关公式（我们最终需要得到定理4），而是简单地求解了这种情况下提到的积分更新方程。2.

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可人4

2022-5-10 18:49:41

模型与符号我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）以及以下独立的随机元素：oiid序列Z=（Zi）i∈Nof值为（0，∞), 最终平均值；o另一个iid序列Y=（Yi）i∈Nof值为（0，∞), 最终平均值；o四分体（（M=（Mt）t）∈[0,∞), L=（Lt）t∈[0,∞), , Γ），在哪里 Γ的值在（0，∞), 而M和L是有条件的(, Γ），具有强度的独立齐次泊松过程和Γ。注意，我们可以实现（M，L）（假设（Z，Y，, Γ）通过独立于（Z，Y，, Γ），两个独立的泊松过程和Pof单位强度，然后设置mt=Pt对于t，Lt=PtΓ∈ [0, ∞).剩余过程K=（Kt）t∈[0,∞)然后对给定的初始资本u进行定义∈ [0, ∞) 固定确定的保费率c∈ [0, ∞), 如下所示：Kt:=u+ct+MtXi=1Yi-LtXi=1Zi，t∈ [0, ∞).这样一来，资本流入既有确定性（线性漂移），也有随机成分。保费和索赔到达之间随机依赖下的破产3最后我们让破产：={inft∈[0,∞)Kt<0}是破产事件，然后定义ψ（u）：=P（破产）和φ（u）：=1- ψ（u），破产概率和非破产概率。对于v，可以进一步规定ψ（v）：=1，然后φ（v）：=0∈ (-∞, 0).就一般符号而言：pta和FTwill分别表示随机变量T的规律和分布函数。结果备注1。瓦尔德的身份意味着EKt=u+t（c+EYE） - 埃泽（EZEΓ）。假设Y，Z，∧和Γ都是平方可积的，关系式var（Kt）=E[var（Kt|(, Γ））]+var（E[Kt|(, 复合泊松和的均值和方差的表达式进一步产生var（Kt）=E[Y]（E）[]t+tvar()) + E[Z]（E[Γ]t+tvar（Γ））- 2teeyzcov(, Γ).现在让我们关注破产概率。

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mingdashike22

2022-5-10 18:49:45

通过调节(, Γ），利用所有相关的独立性，并考虑条件期望的性质，我们发现φ（u）=E[P[Ohm\\毁灭|(, Γ]]=E[φΓ，（u）其中{γ，δ} (0, ∞), φγ，δ（u）是我们在特殊情况下的φ（u），当Γ等同于γ和等于δ。现在，由于关于有标记泊松过程的标准结果，φγ，δ（u）可以被视为模型中的非破产概率，其中盈余过程由ct给出：=u+ct-NtXi=1xi代表t∈ [0, ∞),其中X=（Xi）i∈Nis是一个具有共同规律γγ+δPZ+δγ+δP的iid随机变量序列-Y、与强度λ的均匀泊松过程N无关：=δ+γ。这是一个经典的克莱姆-伦德伯格模型，除了索赔额可以是负数，溢价可以是零。为了n∈ N设Qn:=Xn- cWn，Sn:=Pnk=1Qk，其中wn是n的第n次到达时间。显然，多亏了c≥ 0，φγ，δ（u）等于顶部（Sn≤ 为了所有人∈ N） =P（Q）≤ u、锡- Q≤ U- Qfor all n∈ N≥2）通过利用（（Xi，Wi））i∈Nis一个iid序列=Z∞dwλe-λwZ(-∞,u+cw]dFX（x）φγ，δ（u+cw）- x）进一步（假设目前c>0，并且影响变量z=u+cw）=λceuλ/cZ的变化∞乌兹-λz/cZ(-∞,z] dFX（x）φγ，δ（z）- x）。通过连续（局部）有限变分函数u 7的分部积分→ euλ/c=λcRu-∞ezλ/cdz和u7→R∞乌兹-λz/cR(-∞,z] dFX（x）φγ，δ（z）- x），映射[0，∞) → R、我们可以在保费和索赔到达之间的随机依赖下破产，4将其改写为φγ，δ（u）=φγ，δ（0）+λcZuφγ，δ（z）dz-λcZudzZ(-∞,z] dFX（x）φγ，δ（z）- x），其中我们还使用了积分的关联性。

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kedemingshi

2022-5-10 18:49:48

然后通过Tonelli定理和Lebesgue积分φγδ（u）中变量的后续变化- φγ,δ(0) -λcZuφγ，δ（z）dz=-λc“Z(-∞,0）dFX（x）Zu-十、-xdzφγ，δ（z）+z[0，u]dFX（x）Zu-xdzφγ，δ（z）#所以托内利定理的另一个应用产生φγ，δ（u）- φγ,δ(0) -λcZuφγ，δ（z）dz=-λcZudzφγ，δ（z）δγ+δFY（z）+z∞udzφγ，δ（z）δγ+δ（FY（z）- FY（z）- u））+Zudzγγ+Δφγ，δ（z）FZ（u）- z）,i、 e.φγ，δ（u）- φγ,δ(0) -λcZuφγ，δ（z）dz=-λcZ∞dzφγ，δ（z）δγ+δFY（z）-Z∞udzφγ，δ（z）δγ+δFY（z）- u） +Zudzγγ+Δφγ，δ（z）FZ（u）- z）= -λcZ∞dz（φγ，δ（z）- φγ，δ（z+u））δγ+δFY（z）+Zudzγγ+δφγ，δ（u）- z） FZ（z）.换句话说sc（φγ，δ（u）- φγ,δ(0)) = -δZ∞dz（φγ，δ（z+u）- φγ，δ（z））FY（z）+γZudzφγ，δ（u）- z） FZ（z）。根据随机游动理论（无论c>0）：如果c+δEY≤ γEZ，那么φγ，δ（u）=0；否则利木→∞φγ，δ（u）=1。假设是后者。让你↑ ∞ 在最后一个显示中，将其插回，并用ψγ，δ：=1表示所有内容- φγ，δ，我们得到cψγ，δ（u）=-δZ∞dzψγ，δ（z+u）FY（z）+γZudzψγ，δ（u）- z） FZ（z）+γz∞udzFZ（z），也可以重写为（回想一下，ψγ，δ（v）=1表示v∈ (-∞, 0）cψγ，δ（u）=ZRψγ，δ（u）- z） dG（z），（3.1）其中z∈ 我们引入了G（z）：=RzγFZ（y）dy（0，∞)（z） +R-zδFY（y）dy(-∞,0）（z）。利用支配收敛，我们可以达到极限c↓ 0和结论（3.1）在c=0的情况下仍然有效，当然前提是δEY>γEZ–临时假设c>0现在被放弃。值得单独记录这部分结果。提议2。让剩余过程C由ct给出：=u+ct-NtXi=1xi代表t∈ [0, ∞),其中{u，c} [0, ∞) X=（Xi）i∈Nis是一个具有普通规律L的随机变量iid序列，与强度λ的齐次泊松过程N无关∈ (0, ∞). 设（fi）在保费和索赔到达之间的随机依赖下破产5除u以外的一切）ν（u）：=P（inft∈[0,∞)Ct<0）表示破产概率。假设L（{0}）=0，{R（0，∞)xL（dx），-R(-∞,0）xL（dx）} (0, ∞).

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可人4

2022-5-10 18:49:52

如果c≤ λRxL（dx），然后ψ（u）=1，否则cν（u）=ZRν（u）- z） dG（z）（3.2）其中z∈ R、 G（z）：=λ（RzL（y），∞)dy（0，∞)（z） +R-zL(-∞, -y） dy(-∞,0）（z）），我们理解v（v）=1代表v∈ (-∞, 0).备注3。如果存在r∈ (0, ∞) 满足reyrl（dy）λλ+cr=1，等价于c=RerzdG（z），也就是说，如果存在一个调整系数，那么通常的论点是，一个人有Lundbergboundψ（u）≤ E-鲁。在这种情况下，如果c>0，我们可以定义指数倾斜函数H（z）：=λcRzeryL（y，∞)dy（0，∞)（z） +R-泽-赖尔(-∞, -y） dy(-∞,0）（z）为了z∈ R、这样，dH就变成了质量的符号量度，dH（R）=1，和（3.2）可以重写为一种新的方程ξ=ξ？H在[0，∞) （3.3）对于由ξ（v）定义的有界函数ξ：=v的ervν（v）∈ R.现在让我们具体说明一下{a，b} (0, ∞), Y~ Exp（a）和Z~ Exp（b）。我们可以把（3.1）改写成cψγ，δ（u）=-δeauZ∞uψγ，δ（z）e-azdz+γe-buZuψγ，δ（z）ebzdz+γbe-日分。（3.4）由于ψγ，δ是有界的，因此从（3.4）的右侧，通过支配收敛，ψγ，δ是均匀连续的，然后从（3.4）的右侧，根据微积分的基本原理，ψγ，δ是可微的（在[0，∞); 我们指的当然是正确的导数（0）。微分（3.4），然后将恒等式（3.4）与b相乘，我们发现（为了简洁起见，我们省略了u处的某些计算）bcψγ，δ+c（ψγ，δ）=（δ+γ）ψγ，δ- （a+b）δeauZ∞uψγ，δ（z）e-阿兹兹。（3.5）经过必要的修改，再重复一遍这个练习，我们发现ψγ，δ属于Con[0，∞)满足（ψγ，δ）+（c（b- （a）- δ - γ)(ψγ,δ)+ (-bδ+aγ- cba）ψγ，δ=0（3.6）。

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kedemingshi

2022-5-10 18:49:55

现在，由于假设净利润条件c+δ/a>γ/b，检查调整系数c+δa+r=γb的等式是很简单的-rin r公司∈ R\\{-a、 b}有两个精确的根，一个在（0，b）中，此后表示rγ，δ，另一个在(-∞, -a）此外，这两个模的符号变化，也正是（3.6）特征多项式的两个零。根据常系数齐次二阶线性微分方程的一般理论和ψγ，δ的有界性，ψγ，δ（u）=Ae-rγ，δuf对于某些A∈ [0, ∞). 将其插入（3.4），我们发现A=1- rγ，δ/b。综合所有因素，我们在保费和索赔到达之间的随机依赖下到达一个单位。第二节模型中的破产概率，其中{a，b} (0, ∞),Y~ Exp（a）和Z~ Exp（b）由表达式ψ（u）=Z（0）给出，∞)1.-rγ，δbE-rγ，δu(-∞,c）γb-δaP（Γ，)（dγ，dδ）+PΓb-A.≥ C,式中rγ，δ=c（b- （a）- δ - γ+p（（a+b）c+δ）- 2（（a+b）c- δ） γ+γ2c，假设c>0，由ψ（u）=Z（0，∞)1+a/b1+δ/γe-bδ-aγδ+γu(-∞,0)γb-δaP（Γ，)（dγ，dδ）+PΓb-A.≥ 0,当c=0时。问题5。关系（3.2）不适用于美国∈ (-∞, 0）（例如，在双边指数分布的情况下可以明确检查）。然而（3.3）似乎与整个实线上的经典更新方程相差不远。总的来说，关于基于这个方程的ξ的共形可以说些什么呢？参考文献1。H.Albrecher和H.U.Gerber。贴现惩罚函数的直接方法。《北美精算杂志》，14（4）：420–43420010.2。S.Asmussen和H.Albrecher。破产概率。统计科学与应用概率高级系列。《世界科学》，2010年3月。Z.鲍。随机收益风险过程中破产时的预期贴现罚金。《应用数学与计算》，179（2）：559–5662006.4。A.V。

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大多数88

2022-5-10 18:50:00

博伊科夫。随机保费过程的Cramer–Lundberg模型。《概率论及其应用》，47（3）：489–4932003.5。B.V.邦达雷夫和V.O.博尔蒂雷娃。推导了（B，S）-市场中保险公司的非破产概率方程。随机索赔和随机保费。控制论与系统分析，2014.6。D.C.M.迪克森。保险风险和破产。精算学国际系列。剑桥大学出版社，2005年7月。寇世杰和王浩。跳跃扩散过程的首次通过时间。《应用概率的进展》，35（2）：504–5312003.8。A.基普里亚努。Gerber–萧风险理论。EAA系列。斯普林格国际出版社，2013年9月。C.拉布和K.P.森多娃。具有随机变量的风险模型下的期望贴现惩罚函数。《应用数学与计算》，215（5）：1852–18672009.10。D.佩里、W.斯塔杰和S.扎克。对于某些类型的正跳和负跳，复合泊松过程的首次退出时间。随机模型，18（1）：139-157，2002.11。T.罗尔斯基、H.施密德利、V.施密特和J.泰格尔。保险和金融的随机过程。威利·塞里森概率统计。威利，2009.12。特姆诺夫。随机收益的风险过程。《数学科学杂志》，123（1）：3780–37942004.13。尹春云、温耀文、宗志强和沈耀文。混合指数跳跃过程的首次通过时间问题及其在保险和金融中的应用。摘要与应用分析，2014:1-92014。保费和索赔到达之间随机依赖下的破产714。S.扎克。具有非线性边界的普通泊松过程和复合泊松过程的首次退出时间。《应用概率中的方法与计算》，9（3）：359–375，2007.15。Z.张和H.杨。关于一个保费收入随机且收入和损失之间存在依赖关系的风险模型。

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2022-5-10 18:50:03

计算与应用数学杂志，234（1）：44-572010.16。张志强、杨浩和李诗生。具有双边跳跃的扰动复合泊松风险模型。计算和应用数学杂志，233（8）：1773-17842010.17。周先生和蔡先生。保费率和索赔额之间存在依赖关系的扰动风险模型。保险：数学与经济学，45（3）：382-3922009。卢布尔雅那大学数学系，斯洛文尼亚卢布尔雅那数学、物理和力学学院，斯洛文尼亚通讯地址：matija。vidmar@fmf.uni-lj。硅

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