随机区间上的布朗桥

2022-5-10 14:17:41

随机区间上的布朗桥。L.贝迪尼，R.巴克达恩，H.-J.恩格尔伯特摘要。明确描述一家公司（或一个国家）进入市场的破产时间相关信息流的问题是通过定义一个从零开始的过渡过程来解决的，该过渡过程的条件是在发生破产时等于零。这使得我们能够抓住金融市场行为的一些实证事实：当过渡过程远离零时，投资者可以相对确定违约不会立即发生。然而，当信息处理过程接近于零时，市场代理人应该警惕即将发生违约的风险。从这个意义上说，b岭进程在违约发生之前泄露了有关违约的信息。这篇关于随机区间上布朗桥的第一篇论文的目的是提供这些过程的基本性质。1.引言出于对金融公司违约时间相关信息建模的问题，我们提出了一种新的信用风险评估方法。问题是给出一个关于公司（或州）破产时间信息流动的数学模型。这一关键事件发生的时间称为默认时间，由严格正随机变量τ建模。我们通过定义过程β=（βt，t）来解决这个问题≥ 0），在随机时间间隔[0，τ]：（1.1）βt:=Wt上介于0和0之间的布朗桥-tτ∨ tWτ∨t、 t≥ 0，其中W=（Wt，t≥ 0）是独立于τ的布朗运动。因为我们要用这种桥过程来模拟关于τ的信息，所以我们称β为信息过程。过滤Fβ=（Fβt）t≥信息流程生成的0提供了故障发生前的部分故障时间信息。

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2022-5-10 14:17:44

直观的想法是，当市场代理人从0开始观察时，他们知道违约不会立即发生；另一方面，对即将到来的违约的恐惧期对应于β接近于0的情况。在我们的方法中，贝叶斯公式特别重要，因为它允许在给定Fβt携带的信息的情况下，推断默认时间τ的后验概率分布≥ 0.日期：2015年7月13日。关键词和短语。贝叶斯定理，布朗桥，违约时间，马尔可夫过程，半鞅分解，信用违约互换。随机区间上的布朗桥2两类信用风险模型极大地启发了我们的工作：基于信息的方法和简化模型。第一个由Brody、Hughston和Macrina在[4]中开发。他们用过程ξ=（ξT，0）生成的自然、完整的过滤对在某个预先设定的日期T>0支付的随机支付信息进行建模≤ T≤ T），定义为ξT:=βTt+αtDT，其中βT=（βTt，0≤ T≤ T）是确定性时间间隔[0，T]上的标准布朗桥。过程β与DT无关，α>0是一个正常数。这种想法是，由成分αtDT表示的关于最终支付的真实信息受到一些噪声信息（谣言、错误定价等）的干扰，这些噪声信息由桥接过程表示。在该信用风险模型中，有关随机现金流数据的信息是明确建模的，但公司的违约时间τ不是。另一方面，在遵循信用风险简化方法的模型中，默认时间的信息由单跳过程H=（Ht:=I{τ）生成的自然完成过滤建模≤t} ，t≥ 0）发生在τ处。

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2022-5-10 14:17:49

我们参考了比莱斯基和鲁特科夫斯基的书[5]，珍布兰科和勒坎的系列论文[8,9,10]，以及许多其他关于降低信用风险的形式方法的著作。除了使这种方法广为人知的优点之外，关于τ的信息结构也很差：人们只知道是否发生了违约（Ht=1）或违约（Ht=0）。金融现实往往比这更复杂：市场代理人掌握了更多的信息，实际上，在某些时期，违约发生的可能性比其他时期更大。我们试图协调这两种方法，因为在我们的模型中，信息由（1.1）给出的过程β传递。本文的组织结构如下。在第2节中，我们提供了一些贯穿本文的初步事实。在第3节中，我们给出了随机长度τ的桥β的定义。我们证明，τ是一个关于过程β产生的自然完全过滤的停止时间。此外，我们还确定β是一个马尔可夫过程，其过滤系数为：=（σ（βs，0≤ s≤ t））t≥0.在第4节中，我们推导了默认时间τ分布的贝叶斯估计。此后，在第5节中，我们将前一节中获得的结果扩展到更一般的情况。第6节致力于证明信息处理关于过滤Fβ的马尔可夫性，过滤Fβ是包含FAN的最小过滤，满足权利连续性和完整性的通常条件。在第7节中，我们证明了过程β是一个半鞅，并给出了它的分解。最后，在第8节中，我们考虑一个数学金融的应用，涉及在基本市场模型中为信用违约掉期定价的问题。

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2022-5-10 14:17:52

本文以附录结尾，为了便于参考，我们回顾了贝叶斯定理，并证明了所谓的创新引理（在第7节中用于信息过程β的半鞅分解）的一个轻微扩展，以及最后的一个辅助结果。随机区间上的布朗桥3本论文基于论文[1]，主要目的是介绍和研究信息过程β，并给出其基本性质。论文[1]的其他主题包括用参考过滤F扩大过滤Fβ、默认时间τ的分类（关于过滤Fβ和扩大过滤）以及在数学金融中的进一步应用。2.预备阶段我们首先回顾一些关于布朗桥和条件期望性质的基本结果，这些结果将在续集中介绍。感兴趣的读者可能会在Karatzas和Shreve的书[13]或R ev uz和Yor的书[14]中找到关于布朗桥的进一步讨论。通常，自然数的集合用N表示，实数的集合用R表示 R、那么符号A+代表A+：=A∩ {x∈R:x≥ 0}. 如果E是一个拓扑空间，那么E上的Borelσ-代数将用B（E）表示。如果A是一个集合，它的指示函数将用IA表示。让(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间。我们用NP表示P-空集的集合。如果X是一个随机变量，符号σ（X）将表示X生成的σ-代数。设W：(Ohm, F）→ （C，C）是来自Ohm 在R+上定义的连续实值函数空间中，赋予由正则过程生成的σ-代数，因此每个ω∈ Ohm 我们将连续函数W（ω）=（Wt（ω），t联系起来≥ 0).定义2.1。

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2022-5-10 14:17:56

给定一个严格正实数r，函数βr：Ohm → 由βrt（ω）定义的C:=Wt（ω）-tr∨ tWr∨t（ω），t≥ 0, ω ∈ Ohm ,被称为长度为r和W的桥。如果W是概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 P），然后过程βris被称为长度为r的布朗桥。关于过程βr引理2.1的可测性，我们有以下事实。映射（r，t，ω）7→ βrt（ω）的（（0+∞)×R+×Ohm, B（（0+∞))B（R+） F）（R，B（R））是可测量的。特别地，（r，t，ω）的t截面→ βrt（ω）：（r，ω）7→ βrt（ω）相对于σ-代数是可测量的（（0+∞)) F、尽管如此，t≥ 0.证明。从βrwe的定义来看，（i）映射ω→ 对于所有r>0和t，βrt（ω）是可测量的≥ 0和（ii）地图（r，t）→ βrt（ω）对所有ω都是连续的∈ Ohm . 现在需要对参数（r，t）进行离散化，以确定逐点收敛到（r，t，ω）7的分段常数和可测量函数→ βrt（ω），并使用标准结果对可测函数的等式极限进行验证。引理的断言随即出现。随机区间上的布朗桥4Corollary 2.1。映射（r，ω）→ βr·（ω）的（（0+∞) × Ohm, B（（0+∞)) F）（C，C）是可测量的。备注2.1。注意，βris与映射的r-部分（r，t，ω）相同→ βrt（ω）。如果过程W是一个布朗运动(Ohm, F、 P），过程βris只是一个aBrownian桥，在时间间隔[r]上等于0+∞).如果我们用p（t，x，y）表示∈ R、方差为t且均值为y的高斯密度，然后由（2.1）φt（R，x）给出的函数φt（R，·）：=（pt（r）-t） r，x，0, 0<t<r，x∈ R、 0，R≤ t、 x∈ R、等于βrt0<t<R的密度。

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2022-5-10 14:17:59

此外，我们还具有以下性质：（i）（期望）E[βrt]=0，t≥ 0.（ii）（协方差）E[βrtβrs]=s∧ T∧ R-（s）∧r）（t）∧r） r，s，t≥ 0.（iii）（条件期望）对于t∈ [0，r）和t<u我们有：如果g（βru）是可积的，那么e[g（βru）|βrt=x]=^Rg（y）pR-呃-t（u）- t），y，r-呃-德克萨斯州dy，t<u<r，x∈ R、 g（0），R≤ u、 x∈ R.（2.2）（iv）βris是一个关于其完成自然过滤的马尔可夫过程。（v） βrt=βrt∧r、 t≥ 引理2.2（[11，（4.3.8）]）。过程Br=（Brt，t≥ 0）由（2.3）Brt得出：=βrt+^tβrsr- SDS是一个布朗运动，在（确定的）停止时间r处停止，关于βr的完全自然过滤。现在我们用随机时间τ代替固定时间r。设τ是一个严格正的随机变量(Ohm, F、 P）。我们感兴趣的对象由两个映射（r，t，ω）7的组合给出→ βrt（ω）和（t，ω）7→ （τ（ω），t，ω）。我们有以下定义：定义2.2。映射β=（βt，t≥ 0) : (Ohm, F）→ （C，C）由（2.4）βt（ω）定义：=βτ（ω）t（ω），（t，ω）∈ R+×Ohm .引理2.3。地图β：(Ohm, F）→ （C，C）是可测量的。证据映射（r，ω）→ （0+∞)×Ohm, B（（0+∞))F）因为推论2.1，所以（C，C）是可测量的。根据定义，映射ω→ 的（τ（ω），ω）(Ohm, F）进入可测量空间（（0+∞) × Ohm, B（（0+∞)) F）这是可以衡量的。引理的陈述来源于可测函数的可测性。随机区间上的布朗桥5我们现在考虑关于τ的条件定律。通常，byPτ表示τ相对于P.引理2.4的分布。如果τ独立于布朗运动W，那么对于任何可测函数G（0+∞) x C，B（（0+∞)) C）由于G（τ，W）是可积的，因此E[G（τ，W）|σ（τ）]（ω）=（E[G（r，W）]）r=τ（ω），P-a.s.证明。见[16，第二章第7节，第221页]。推论2.2。

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2022-5-10 14:18:04

如果h:（（0+∞) x C，B（（0+∞)) C）七,→ （R，B（R））是可测函数，使得E[|h（τ，β）|]<+∞, 然后，E[h（τ，β）|τ=r]=E[h（r，βr）]，Pτ-a.s，或者，等价地，E[h（τ，β）|σ（τ）]（ω）=（E[h（r，βr）]r=τ（ω），P-a.s。最后两个公式提供了布朗桥定律和关于涉及τ、布朗运动W和（2.4）中定义的β映射的一般泛函的σ（τ）的条件定律之间的有用联系。定义和第一属性let W=（Wt，t≥ 0）是标准布朗运动（就其完成的自然过滤FW=（FWt）t而言）≥0）从0开始。设τ：Ohm →(0, ∞) 是一个严格正随机时间，其分布函数由F:F（t）：=P（τ）表示≤ t），t≥ 0.在本文中，将始终做出以下假设。假设3。1.随机时间τ和布朗运动是独立的。假设随机时间τ（将被解释为默认时间）不是FW停止时间。这意味着不考虑τ等于正常数T的情况。定义3.1。

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2022-5-10 14:18:07

过程β=（βt，t≥ 0）由（3.1）βt:=Wt给出-tτ∨ tWτ∨t、 t≥ 0，将被称为信息处理。在以下内容中，我们将使用以下过滤：（i）F=（Ft）t≥0，过程的自然过滤β：Ft:=σ（βs，0≤ s≤ t），t≥ 0.（ii）FP=（FPt）t≥0，完成的自然过滤：FPt:=Ft∨ NP，t≥ 0.随机区间上的布朗桥6（iii）Fβ=（Fβt）t≥0，包含FAN且满足右连续性和完整性通常假设的最小过滤：Fβt:=σ\\u>tFu∪ NP！=英尺+∨ NP，t≥ 0.本节的目的是证明默认时间τ是完成自然过滤FP的停止时间，信息过程β是FP的马尔可夫过程。虽然可以直接证明τ是Fβ-停止时间（见[1，引理2.5]），但我们指出了以下结果，它更好地涉及了概率测度P的作用∈ 如果我们要写如果P（B\\a）=0，则为B P-a.s。如果 B P-a.s.和B A P-A.s.，然后我们写出A=B P-A.s.命题3.1。对于所有的t>0，{βt=0}={τ≤ t} ，P-a.s.尤其是，τ是过滤FP的停止时间。证据利用全概率公式和推论2.2，我们得到p（βt=0，τ>t）=^（t+∞)P（βt=0 |τ=r）dF（r）=^（t+∞)P（βrt=0）dF（r）=0，其中后一个等式成立，因为随机变量βrti是非退化的，且正态分布于0<t<r，因此，我们得到P（βrt=0）=0，0<t<r。因此，对于所有t>0，{βt=0}∩ {τ>t}∈ 因此，{βt=0} {τ ≤ t} ，P-a.s.考虑到{τ≤ t} {βt=0}，这产生了语句的第一部分：{τ≤ t} ={βt=0}，P-a.s.因为{βt=0}∈ Ft，事件{τ≤ t} 属于英国《金融时报》∨ NP，尽管如此≥ 因此τ是关于FP的停止时间。推论3.1。

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2022-5-10 14:18:12

τ是相对于过滤Fβ的最短时间。上述命题表明，过程（I{τ≤t} ，t>0）是在概率测度P下对过程（I{βt=0}，t>0）的修正。另一方面，这两个过程并不是不可区分的，因为过程β可以在τ之前达到0（事实上，由于重对数定律，这种情况会发生无数次P-a.s.）。粗略地说，我们可以说，一般来说，如果我们只能观察βt，我们可以确定只要βt6=0，τ>t。但是，如果我们在时间t观察到事件{βt=0}，那么ftt携带的信息可能不足以知道事件{τ}≤ t} 无论发生与否，我们只能说它发生了P-a.s.我们现在证明了信息过程β是一个马尔可夫过程，关于它的自然过滤F.随机区间上的布朗桥7定理3.1。信息过程β是一个F-Markov过程：（3.2）Ef（βt+h）| Ft= E[f（βt+h）|βt]，P-a.s.，t≥ 0，尽管如此≥ 对于每一个非负的可测函数f（βt+h）都是可积的。证据对于t=0，这句话很清楚。假设t>0。关于集合{τ≤ t} 我们有P-a.s.Ef（βt+h）| FtI{τ≤t} =Ef（0）I{τ≤t} |英尺= f（0）I{τ≤t} =f（0）I{βt=0}，这是一个关于σ（βt）的可测函数，因此（3.2）是validon{τ≤ t} P-a.s.现在我们必须证明f（βt+h）| FtI{τ>t}=E[f（βt+h）|βt]I{τ>t}，P-a.s.两边都是FPt可测量的，必须验证∈ Ftwehave（3.3）^A∩{τ>t}f（βt+h）dP=^A∩{τ>t}E[f（βt+h）|βt]dP。我们观察到由βtn生成的Ftis，ξn：=βTNTNTN-βtn-1tn-1，ξn-1:=βtn-1tn-1.-βtn-2tn-2.ξ：=βtt-βtt，0<t<t<tn=t，f或n穿过n。通过单调类定理（参见[7，I.19，I.21]），证明（3.3）f或形式为A={βt的集合A是有效的∈ B、 ξ∈ Bξn∈ Bn}带B，B，B，Bn∈B（R），n≥ 1.设g:=IB，L:=IB×B×·Bn。

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2022-5-10 14:18:16

然后我们得到等式ia=g（βt）L（ξ，…，ξn），设置ηk:=Wtktk-Wtk-1tk-1，k=1，n、我们有ξk=ηkon{τ>t}，k=1，n、但是，对于r>t，随机向量（η，…，ηn，βrt，βrt+h）是高斯的，用cov（X，Y）表示两个随机变量X和Y之间的协方差，我们得到cov（ηk，βrt）=cov（ηk，βrt+h）=0，k=1，n、因此（η，…，ηn）独立于（βrt，βrt+h），并且，用符号h（x，y）：=f（x）g（y），我们也得到了L（η，…，ηn）独立于h（βrt+h，βrt）。现在我们可以陈述下面的引理，这将允许完成定理3.1的证明。引理3.1。让H:R7→ R是一个可测量的函数。假设H是非负的或E[|H（βt+H，βt）|]<+∞. 那么随机变量H（βt+H，βt）I{τ>t}和L（η，…，ηn）是不相关的：EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= EH（βt+H，βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]随机区间上的布朗桥。利用全概率公式和引理2.4，我们得到H（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）=^（t+∞)EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）|τ=rdF（r）=^（t+∞)EHβrt+h，βrtL（η，…，ηn）dF（r）=^（t+∞)EHβrt+h，βrtdF（r）E[L（η，…，ηn）]=EH（βt+H，βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]。引理的证明已经完成。我们现在证明（3.3）对于A的特殊选择。从上面的引理3.1中，我们有^A∩{τ>t}f（βt+h）dP=EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（ξ，…，ξn）= EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= Ef（βt+h）g（βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]=EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]=EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}L（ξ，…，ξn）=^A∩{τ>t}E[f（βt+h）|βt]dP，这证明了（3.3）是真的，这就结束了证明。备注3.1。请注意，马尔可夫性质被简单地扩展到完全过滤FP。4.

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2022-5-10 14:18:25

默认时间τ的Bayes估计本节的基本目的是基于对时间t之前的信息过程β的观察，提供对未知默认时间τ的估计≥ 0，观测值用σ-代数表示，由于马尔可夫性质，β2的观测值是有效的。为此，利用贝叶斯方法是很自然的。其想法是利用从流动观察中获得的知识（βt，t≥ 0）用于更新τ的初始知识。在时间0时，市场代理人只有关于τ的先验知识，由其分布函数F表示。随着时间的推移，有关违约的信息变得可用。利用Bayes定理（参见附录f oreasy参考文献），可以导出基于β到t的随机区间9上的布朗桥观测的τ的后验分布，并且通过这种方式，代理可以更新其初始知识，获得对默认时间τ的更精确估计。在本节中，由β在时间t的未来生成的σ-代数由FPt表示，∞:= σ（βs，t）≤ s≤ +∞) ∨ NP下面是关于马尔可夫过程的一个标准结果：引理4.1。设X=（Xt，t）≥ 0）是适应过滤F=（Ft）t的随机过程≥0.那么下列等式是等价的：（i）X是关于F的Markov（ii）对于每个t≥ 0和有界（或非负）σ（Xs，s）≥ t） -可测随机变量Y一相[Y | Ft]=E[Y | Xt]，P-a.s.证明。参见[3，第一章，定理（1.3）]。下一个命题描述了基于FPt观测的τ的后验分布的结构。提议4.1。尽管如此≥ 0，它能容纳（4.1）个Pτ ≤ u | FPt= I{τ≤T∧u} +P（t<τ）≤ u |βt）I{t<τ}，P-a.s.证明。显然，我们有{τ≤ u} ={τ≤ T∧ u}∪ {t<τ≤ u} 。上述分解右侧的第一组将生成该语句的第一个命令。

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2022-5-10 14:18:29

然后有必要观察到我们有关系{t<τ≤ u} ={βt6=0，βu=0}P-a.s.其中上述等式右侧的集合属于FPt，∞. 它仍然需要应用引理4。1以完成对陈述的证明。回顾F表示τ的分布函数，以及定义函数φt（r，x）（等于时间t<r时布朗桥βr的密度）的公式（2.1），我们得到了以下结果，它提供了τ的后验分布的显式形式，基于对β直到t的观察。定理4.1。让t>0。然后，对于所有u>0的情况，P-a.s.Pτ ≤ u | FPt= I{τ≤T∧u} +^（t，u]~nt（r，βt）dF（r）^（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}。（4.2）证据。结果是命题4.1和贝叶斯公式的结果（见推论a.1）。定理4.1可以推广到R+上的函数g，如下推论所述。随机区间上的布朗桥10Corollary 4.1。设t>0，g:R+→ R是一个Borel函数，使得e[|g（τ）|]<+∞. 然后，P-a.s.，Eg（τ）|FPt= g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）~nt（r，βt）dF（r）^（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}。（4.3）证据。如果函数g是有界的，则该语句紧接着将单调类定理应用于简单函数，其中可以使用定理4.1。在一般情况下，g必须通过有界函数和极限来逐点逼近。备注4.1。我们指出，由（4.4）φt（r，x）定义的函数φtde:=φt（r，x）^（t+∞)νt（v，x）dF（v），（r，t）∈ (0, +∞) ×R+，x∈ 对于t<R，R是基于观测βt=x的{τ>t}上τ的后验密度函数（见推论a.2）。

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2022-5-10 14:18:32

然后，关系式（4.2）表示基于FPt观测的τ的后验分布τ ≤ u | FPt= I{τ≤t} +^（t，u]φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.，而（4.3）等于表达式g（τ）|FPt= g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.在这里，可以看到上面给出的τ的贝叶斯估计如何通过观察时间t.5的信息过程β，更好地了解默认时间τ。Bayes估计的扩展在本节中，我们将讨论第4节中提供的τ的Bayes估计的扩展。大致来说，我们将推导公式，其中包括第4节中讨论的贝叶斯估计，以及信息过程β在某个时间u的预测，后者与第3节中证明的马尔可夫性有关（见定理3.1）。首先，我们将陈述一个引理，用于证明本节的主要结果。随机区间上的布朗桥11引理5.1。让0≤ t<u和g是（0+∞) x r证明g（τ，βu）是可积的。然后它就有了P-a.s.Eg（τ，βu）I{t<τ}FPt= E[g（τ，βu）|βt]I{t<τ}=E[E[g（τ，βu）|σ（τ）∨ σ（βt）]|βt]I{t<τ}=E[（E[g（r，βru）|βrt]）r=τ|βt]I{t<τ}。证据很明显，第一个等式成立，因为g（τ，βu）I{t<τ}是Ft，∞-可以测量，因此引理4.1可以应用。第二个平等是显而易见的。设h为任意有界Borel函数。用引理2.4我们得到了g（τ，βu）h（βt）I{t<τ}=^（t+∞)E[g（r，βru）h（βrt）]dF（r）=^（t+∞)E[E[g（r，βru）h（βrt）|βrt]]dF（r）=^（t+∞)E[E[g（r，βru）|βrt]h（βrt）]dF（r）=EE[g（r，βru）|βrt]r=τh（βt）I{t<τ},也就是说，E（g（τ，βu）- E[g（r，βru）|βrt]r=τ）h（βt）I{t<τ}= 但h是任意的，因此[g（τ，βu）|βt]=E[E[g（r，βru）|βrt]r=τ|βt]，P-a.s.在{t<τ}上，对于t<u。

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2022-5-10 14:18:35

下一个定理由以下结果准备。提议5.1。让t≥ 0和g是一个可测函数，使得g（τ，βt）是可积的。那么，P-a.s.，Ehg（τ，βt）| Fβti=g（τ，0）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r，βt）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。证据这句话在集合{τ上很清楚≤ t} 。在集合{t<τ}上，我们首先证明了它对于有界可测函数g，并且通过一个单调类参数，可以考虑形式为g（τ，βt）=g（τ）g（βt）的函数g，其中gand gare有界可测函数。然后我们得到了ehg（τ，βt）|FβtiI{t<τ}=\'（t+∞)g（r）~nt（r，βt）dF（r）\'）（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}g（βt）=^（t+∞)g（r，βt）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。如果g是一个非负可测函数，我们可以将上述结果应用于函数gN:=g∧ 最后，在一般情况下，结果是随机区间上的布朗桥对于正负部分g+和g都成立-关于g，对于g=g+- G-平等源于双方的线性关系。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理5.1。设0<t<u和g为（0+∞) x R使得E[|g（τ，βu）|]<+∞. 然后，P-a.s.Eg（τ，βu）|FPt= E[g（τ，βu）|βt]=g（τ，0）I{τ≤t} +^（t，u]g（r，0）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}+^（u+∞)^Rg（r，y）pR- 呃- t（u）- t），y，r- 呃- tβtdyφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，其中p（t，·，y）是具有均值y和方差t证明的高斯密度。关于集合{τ≤ t} 该声明是τ是FP停止时间，βu=0在{τ上的结果≤ t<u}。在集合{t<τ}上，从引理5.1我们得到g（τ，βu）|FPtI{t<τ}=E[g（τ，βu）|βt]I{t<τ}=Eg（τ，0）I{t<τ≤u} |βt+ Eg（τ，βu）I{u<τ}βt,P-a.s。

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2022-5-10 14:18:39

我们注意到，由于推论4.1Eg（τ，0）I{t<τ≤u} |βt=^（t，u]g（r，0）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。另一方面，从（2.2）开始，对于t<u<r，E[g（r，βru）|βrt=x]=Rg（r，y）pR- 呃- t（u）- t），y，r- 呃- 德克萨斯州dy=：Gt，u（r，x）。（5.1）由引理5.1和（5.1）可知，在{t<τ}P-a.s.，Eg（τ，βu）I{u<τ}βt= 嗯Eg（r，βru）I{u<r}|βrtr=τ|βti=E（Gt，u（r，βrt））r=τ|βt= E[Gt，u（τ，βt）|βt]=^（u+∞)Gt，u（r，βt）φt（r，βt）dF（r），其中后一等式来自命题5.1。例5.1。作为定理5.1的直接结果，对于t<u，我们可以计算βugivenβtbyE的条件期望βu | FPt= βt^（u+∞)R- 呃- tφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.，随机区间上的布朗桥13和βugivenβt的条件分布：ForΓ∈ B（R），P-a.s.，（5.2）Pβu∈ Γ| FPt= I{0∈Γ}I{τ≤t} +I{0∈Γ}^（t，u]φt（r，βt）dF（r）I{τ≤t} +^（u+∞)^ΓpR- 呃- t（u）- t），y，r- 呃- tβtdyφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。备注5.1。从因子（r- u） /（r）- t）在（5.2）中，我们看到过程β不可能是齐次马尔可夫过程，因为P（βu∈ Γ| FPt）不仅仅依赖于u- t和（βt，Γ）。马尔可夫性质在这一节中，我们将加强关于信息过程β的马尔可夫性质的定理3.1。我们将证明β不仅是关于过滤F（或FP）的马尔科夫过程，而且是关于Fβ的马尔科夫过程，Fβ是包含FAN且满足通常条件的最小过滤。一个重要的结果是，过滤FP和Fβ是相等的，这相当于说过滤FP是正确的连续的。结果在下面的定理中陈述。定理6.1。过程β是关于过滤β的马尔可夫过程，即Ehg（βu）| Fβti=e[g（βu）|βt]，P-a.s.对于所有0≤ t<u和所有可测函数g，使得g（βu）是可积的。证据证据分为两个主要部分。

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可人4

2022-5-10 14:18:42

在第一部分中，我们证明了t>0的上述定理，而在第二部分中，我们考虑了t=0的情况。在整个证明过程中，我们可以在不损失一般性的情况下假设函数g是连续的，并且有一定的恒量∈ R+。对于证明的第一部分，设t>0为严格正实数，设（tn）n∈Nbe从上方收敛到t的递减序列：0<t<tn+1<tn<u，tn↓ t as n→ ∞. 从Fβ的定义来看，Fβt=Tn∈NFPTN在这里我们回忆起FPv=σ（βs，0≤ s≤ v）∨ NP，v≥ 因此，Ehg（βu）| Fβti=limn→∞Eg（βu）| FPtn, P-a.s.根据定理5.1和Gtn的定义，uby（5.1）我们知道，astn<u，P-a.s.Eg（βu）| FPtn= E[g（βu）|βtn]=g（0）I{τ≤tn}+g（0）^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）I{tn<τ}（6.1）+^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）I{tn<τ}。随机区间上的布朗桥14我们想证明Limn→∞Eg（βu）| FPtn= E[g（βu）|βt]，P-a.s.使用（6.1）和定理5.1，我们可以看到，如果满足以下两个恒等式，P-a.s.在{t<τ}:limn上，后一种关系成立→∞^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=^（t，u]φt（r，βt）dF（r），（6.2）limn→∞^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）=^（u+∞)Gt，u（r，βt）φt（r，βt）dF（r）。（6.3）关系式（6.2）可推导如下。证明（6.2）。回顾由（4.4）φtn（r，βtn）=tn（r，βtn）^（tn）+∞)^tn（v，βtn）dF（v），tn<r，（6.2）左侧的积分可以重写为^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=^（tn，u]^tn（r，βtn）dF（r）^（tn+∞)~ntn（v，βtn）dF（v）。计划是将勒贝格有界收敛定理应用于上述表达式的分子和分母。为此，我们必须证明被积函数φtn（·βtn）的P-a.s.点态收敛性和一致有界性。我们首先关注函数（t，r，x）7→ 由（2.1）定义的φt（r，x），在（0+∞) × [0, +∞) ×R\\{0}。

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2022-5-10 14:18:45

设置аt(+∞, x）：=p（t，x，0）对于每t>0和x∈ R、我们看到结果函数（t，R，x）7→ §t（r，x），现在定义为（0+∞)×[0, +∞]x R\\{0}也是连续的。因此limn→∞ηtn（r，βtn）=ηt（r，βt），P-a.s.在τ>t上，提供逐点收敛。为此，我们注意到集合{t<τ}上的βt6=0 P-a.s。现在我们来计算ω∈ Ohm 使得t<τ（ω）和βt（ω）6=0。然后集合{tn:n∈ N} ×（t+∞] ×{βtn（ω）：n∈ N} 等维包含在（0+∞) × [0, +∞] ×R\\{0}（取决于ω）。这意味着φtn（r，βtn（ω））是有界的（以ω为常数）。利用Lebesgue有界收敛定理，我们可以得出→∞^（tn，u]~ntn（r，βtn（ω））dF（r）=^（t，u]~nt（r，βt（ω））dF（r）。因此，我们证明了LIMN→∞^（tn，u]~ntn（r，βtn）dF（r）={t<τ}P-a.s.随机区间上的布朗桥上的^（t，u]~nt（r，βt）dF（r）这对区间（tn+∞)和（t+∞) （而不是（tn，u]和（t，u]）。关系式（6.2）紧随其后。让我们通过证明平等（6.3）确实是真的来结束第一部分的证明。证明（6.3）。回想一下t<tn<u，n∈ N.我们首先注意到功能7→ PR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn是R上所有n的密度。用n（u，σ）表示正态分布，期望值为u，方差为σ，因此概率测量n（R-呃-tnβtn（ω），r-呃-tn（美国）- tn）弱收敛到N（r）-呃-tβt（ω），r-呃-t（u）- t））。由于函数g以M为界，我们得到了| Gtn，u（r，βtn（ω））|=^Rg（y）pR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn（ω）dy≤ M<+∞ .（6.4）此外，limn→∞Gtn，u（r，βtn（ω））=limn→∞^Rg（y）pR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn（ω）dy=^Rg（y）pR- 呃- t（u）- t），y，r- 呃- tβt（ω）dy=Gt，u（r，βt（ω））（6.5）紧随g有界且连续的假设，并结合高斯测度StatedBove的弱收敛性。

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2022-5-10 14:18:49

现在（6.3）可以使用Lebesgue的有界收敛定理和P-a.s.有界性和P点收敛验证的Gtn、u（r，βtn（ω））和φtn（r，βtn（ω））（以及φtn（r，βtn（ω））的性质导出。定理证明的第一部分现在已经完成。在证明的第二部分，我们考虑t=0的情况，它分为两步。在第一步中，我们假设存在ε>0，使得P（τ>ε）=1，在第二步中，我们将放弃该条件。假设存在ε>0，使得P（τ>ε）=1。让（tn）n∈Nbe收敛到0:0的严格正实数递减序列tn+1<tn，tn↓ 0作为n→ ∞. 在不丧失一般性的情况下，我们假设所有n都小于ε∈ N.那么（4.4）可以重写如下：（6.6）φtn（r，βtn）=√2πtnqrr-特内普-βtnr2tn（r-tn）i^（ε+∞)√2πTNQS-特内普-βtns2tn（s-tn）以色列国防军+∞)（r）。我们有以下辅助结果：随机区间上的布朗桥16引理6.1。假设P（τ>ε）=1。然后函数r7→ φtn（r，βtn）是Pτ-a.s.一致有界于某个常数K=K（ε，ω）<+∞ 对于所有r>0，limn→∞φtn（r，βtn）=1，P-a.s.证明。见附录C。现在，我们来证明在P（τ>ε）=1的附加假设下，t=0时β关于toFβ的马尔可夫性质。

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2022-5-10 14:18:52

因为Ehg（βu）| Fβi=limn→∞Eg（βu）| FPtn, 与第一部分一样，有必要验证（6.7）limn→∞Eg（βu）| FPtn= 利用全概率公式，推论2.2和（2.1），我们可以计算出[g（βu）|β]=E[g（βu）]=g（0）F（u）+^（u+∞)^Rg（y）pR- 乌鲁，y，0dy-dF（r）。因此，回顾（6.1）中计算（6.7）左侧的定义，以及Gtn、UAN和Gt、uby（5.1）的定义，并注意到明显的关系→∞I{τ≤tn}=0，证明以下两个等式P-a.s.是足够的：limn→∞^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=F（u），（6.8）limn→∞^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）=^（u+∞)Gt，u（r，βt）dF（r）。（6.9）第一个等式依赖于引理6.1和勒贝格有界收敛定理。为了验证第二个等式，我们使用了Lebesgue有界收敛定理和引理6.1，以及序列Gtn，u（·βtn）（SEE（6.4）和（6.5））的有界性和点态收敛性。现在我们来看τ>0的一般情况。设ε>0为任意值，但为固定值。在接下来的过程中εβ=（εβt，t≥ 0）表示由εβt:=（βrt）r=τ定义的过程∨ε. 过程εβ的自然过滤将由Fε=（Fεt）t决定≥其中Fεt:=σ（εβs，0≤ s≤ t）。显然，为了证明β在t=0时相对于Fβ的马尔可夫性质，有必要证明Fβ：=F0+∨ NPP是微不足道的。为了证明F0+∨ NP确实是平凡的σ-代数，我们考虑一个集合a∈ 我们证明了如果P（A）>0，那么P（A）=1。如果P（A）>0，则存在ε>0使得P（A）>∩ {τ > ε}) > 0.自从∈ F0+，因此∈ fu代表所有0<u≤ ε，因此，A∩ {τ > ε} ∈ Fu |{τ>ε}∨ 其中Fu |{τ>ε}表示τ>ε集上随机区间17上FuBROWNIAN桥的迹σ-场。此外，在集合{τ>ε}上，对于所有t，βt=εβt≥ 0，即β和εβ在{τ>ε}上产生相同的痕迹过滤，因此∩ {τ > ε} ∈ Fεu |{τ>ε}∨ NP

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2022-5-10 14:18:55

因此，存在一个集合Au∈ Fεu取（6.10）A∩ {τ>ε}=Au∩ {τ>ε}P-a.s.，对于所有0<u≤ ε. 将u替换为1/n，表示n∈ N足够大，定义为A:=lim supn→∞A1/n，我们得到∈ Fε0+。我们从证明的第二部分的第一步得知，σ-Fε0+isP是平凡的，因此P（A）∈ {0, 1}. 然而，根据等式（6.10），我们得到了P-a.s.，a∩ {τ>ε}=A∩ {τ > ε}. 假设我们有∩ {τ>ε}>0，因此P（A）∩ {τ>ε}）=P（A∩ {τ>ε}>0，这意味着P（A）=1，因此，我们得到P（A）∩ {τ>ε}）=P（{τ>ε}）。由于ε是任意的，我们可以取ε的极限↓ 得到P（A）=P(Ohm) = 1，证据到此为止。推论6.1。过滤FPS满足了权利连续性和完整性的一般条件。证据参见，例如[3，（第一章，（8.12））]。作为推论6.1的结果，过滤Fβ和Fp重合，尤其是σ-代数Fβ是P-平凡的。备注6.1。值得一提的是，事实上，推论的陈述。1与定理3.1相结合，等于定理6的陈述。1.7. 信息处理的半鞅分解本节讨论β相对于Fβ的半鞅分解。首先，我们回顾了一般可测量过程X的可选投影的概念。命题7.1。设X为非负可测过程，F a过滤满足通常条件s。存在一个独特的（直到无法区分）F选项al processoX，例如XTI{T<+∞}|英尺=oXTI{T<+∞}, P-a.s.对于每个F-停止时间T。证据例如，见[14，第四章，（5.6）]。定义7.1。（i） processoX称为非负可测过程X相对于F的可选投影。（ii）设X为任意可测过程。

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2022-5-10 14:19:00

然后，我们定义了X与F asox（ω）的最优投影onox:=（oX+t（ω）-公牛-t（ω），ifoX+t（ω）∧公牛-t（ω）<+∞,+∞, 否则，布朗桥在随机区间18ox+（resp.oX-) 是正极部分X+的可选项目（分别是负极部分X-) 与F.备注7.1有关的X。设ξ为任意随机变量，G为F的子σ域。然后条件期望E[ξ+| G]和E[ξ-|G] 根据上述定义，我们同意定义条件期望E[ξ| G]byE[ξ| G]：=（E[ξ+| G]- E[ξ-|G] ，关于{E[ξ+|G]∧ E[ξ-|G] <+∞},+∞, 否则现在让X是一个任意的可测量过程，F a满足通常条件。我们要强调的是，在哈维之间的每一次停车时间XTI{T<+∞}|英尺=oXTI{T<+∞}, 特别是，对于所有t，E[Xt | Ft]=oXt，P-a.s≥ 0.接下来，我们将陈述过滤理论的一个著名结果的一个轻微扩展，该结果将在续集中使用。读者可以在[11，命题5.10.3.1]或[15，第六章，（8.4）]中找到参考文献。首先，我们将介绍以下定义。定义7.2。假设B是一个连续的过程，F是过滤，T是搅拌时间。如果B是一个平方变化过程为hB，Bi:hB，Bit=T的F-鞅，则B称为停在T处的F-布朗运动∧T，T≥ 0.命题7.2（创新引理）。设F=（Ft）t≥当过滤满足通常条件时，F停止时间和F布朗运动在T停止。设Z=（Zt，t）≥ 0）为F可选流程，以便（7.1）E^t|Zs|ds< +∞, T≥ 0.让进程X=（Xt，t≥ 0）由下式给出：=^tZsds+Bt，t≥ 0 .表示Z相对于FX=（FXt）t的可选投影≥0.然后进程b，bt:=Xt-^toZsds，t≥ 0是一个停在T的FX布朗运动。证据为了便于参考，附录B中提供了该结果的证明。

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可人4

2022-5-10 14:19:09

随机区间上的布朗桥19在本节剩余部分中，我们将使用过滤G=（Gt）t≥0定义为（7.2）Gt:=\\u>tFβu∨ σ（τ），t≥ 0，等于过滤Fβ的初始放大系数σ-代数σ（τ）。在续集中，过程Z=（Zt，t≥ 0）定义为（7.3）Zt:=βtτ- tI{t<τ}，t≥ 0 .下面的辅助结果将用于证明过程β的半鞅性质。引理7.1。我们有^t|Zs|ds< +∞ 尽管如此，t≥ 0 .证据使用全概率公式，推论2.2和（2.1），我们可以计算^t|Zs|ds=^+∞^t∧rE |βrs |/（r- s） ds-dF（r）=（2/π）1/2^+∞R-1/2^t∧rs1/2（r）- （s）-1/2秒方位角（右）。上述表达式右侧的外积分可分为两个积分，第一个积分在（0，t）上，第二个积分在（t+∞).对于第一个积分，我们看到^（0，t]r-1/2^t∧rs1/2（右- （s）-1/2ds测向（右）≤^（0，t）^t∧r（r）- （s）-1/2ds dF（r）=^（0，t]2 r1/2dF（r）≤ 2 t1/2<+∞ .第二个积分可以估计如下：^（t+∞)R-1/2^t∧rs1/2（r）- （s）-1/2ds测向（右）≤ t1/2^（t+∞)R-1/2^t（r- （s）-1/2ds测向（右）≤ t1/2^（t+∞)R-1/22 r1/2dF（右）≤ 2 t1/2<+∞ .引理的陈述现在被证明了。随机区间上的布朗桥推论7.1。由（7.3）定义的Z可积于Lebesguemeasure P-a.s.：P^t|Zs|ds<+∞= 1.尽管如此≥ 0 .备注7.2。从推论7.1的观点来看，可以发现一个过程Z与Z是可区分的，因此Zsds<+∞ 尽管如此，t≥ 到处都是0（不仅仅是P-a.s.）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Z具有这个性质。如果不是这样，我们可以在一个可忽略的集合上修改z的路径。通过这种修改，关于任何过滤F的可选projectionoZ将保持在同一类不可区分的过程中。

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2022-5-10 14:19:13

我们还可以修改β，将β=0放在可忽略的集合上，在该集合中，所有t的ab ove积分都不是有限的。这样，Z的所需属性将自动填充。备注7.3。（i）过程Z对于过滤GBE是可选的，因为Z是正确的连续和G适应的。（ii）设l+为R+上的勒贝格测度。由于引理7.1，使用富比尼定理，存在R+的可测子集∧，使得L+（R+\\∧）=0和E[|Zt|]<+∞ 尽管如此，t∈ Λ. 为了以后的使用，我们用这些属性定义了一组∧。（iii）第4节中获得的公式允许计算Z相对于集∧：上的过滤Fβ的可选投影∈ ∧我们有P-a.s.oZt=EhZt | Fβti=Eβtτ- tI{t<τ}|βt= βt^（t+∞)R- tφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，其中第一个等式来自注释7.1，第二个等式来自过程β的马尔科夫性质和过程Z的定义（7.3），而第三个等式直接来自命题5.1和βt相对于σ（βt）的可测性。请注意，在ab ove equality中，每个t都定义了所有术语≥ 0，t∈ 只有第二个和第三个等式才需要∧。提议7.3。过程B=（Bt，t≥ 0）定义为（7.4）Bt:=βt+^tZsds，t≥ 0是在τ处停止的G-布朗运动。证据注意，根据推论7.1和备注7.2，过程（Zt，t≥ 0）对于勒贝格测度是不可积分的，因此B是明确的。很明显，过程B是连续的和G适应的。为了证明它确实是一个在τ处停止的G-布朗运动，必须证明随机区间21上的过程B和过程X定义为Xt:=Bt- （t）∧ τ），t≥ 都是G-鞅。为此，我们将使用推论2.2。首先我们证明了B是G-鞅。让n∈ N是一个任意但固定的自然数，0<t<。。。

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2022-5-10 14:19:16

<tn-1<tn:=t，h≥ 0和g是任意有界的Borel函数。回顾Brin（2.3）的定义，我们有[Bt+h]- Bt）g（βt，…，βtn，τ）=^（0+∞)E[（Bt+h- Bt）g（βt，…，βtn，τ）|τ=r]dF（r）=^（0+∞)EBrt+h- 快速公交Gβrt，βrtn，rdF（r）=0，因为Bris是布朗运动，因此是关于βr生成的过滤的鞅（参见引理2.2）。利用单调类变元，可以很容易地导出B是关于G的鞅。还有待证明过程X是G-鞅。放置Xrt:=（快速公交）- （t）∧ r），t≥ 0，重复我们上面提到的相同论点，我们看到e[（Xt+h- Xt）g（βt，…，βtn，τ）=^（0+∞)E[（Xt+h）- Xt）g（βt，…，βtn，τ）|τ=r]dF（r）=^（0+∞)EXrt+h- XrtGβrt，βrtn，rdF（r）=0，因为Xris是关于βr生成的过滤的鞅。由此可知，X是关于G的鞅。这就完成了引理7.3的证明。我们现在准备陈述本节的主要结果。定理7.1。过程b=（bt，t≥ 0）由Bt给出：=βt+^tEβsτ- sI{s<τ}βsds=βt+^tβs^（s+∞)R- sφs（r，βs）dF（r）I{s<τ}ds，（7.5）其中secon d等式保持P-a.s.，是一个在τ处停止的Fβ-布朗运动。因此，信息过程β是一个Fβ-半鞅，其分解由（7.5）决定。证据首先，我们注意到，引理7.1和备注7.1和7.3（iii）明确了（7.5）的第二项和第三项的定义≥ 它们等于l+-a.e.，在[0，t]×上可积Ohm 关于l+×P，这就得到了第二个等式P-a.s。现在我们可以把命题7.2应用到过程中(-Z） X，其中X由Xt=\'t定义(-Zs）ds+Bt，t≥ 0.随机区间上的布朗桥22根据命题7.3，我们知道过程B与Bt:=βt+\'tZsds，t≥ 0是在τ处停止的G-布朗运动（见命题7.3）。注意x=β。

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2022-5-10 14:19:20

根据命题7.2，过程b的BT=Xt-^to(-Z） sds=βt+^toZsds=βt+^tEβsτ- sI{s<τ}βsds是一个布朗运动，停在τ处，关于FX=Fβ，这里我们用注释7.3（iii）表示第三个等式。这就完成了定理7.1的证明。备注7.4。注意，信息处理β的二次变化hβ，βi由hβ，βit=hb，bit=t给出∧ τ、 t≥ 0 .这直接源自β的半鞅分解（7.5），例如，参见[14，第四章，（1.19）]（二次变化不依赖于过滤，前提是过程是连续半鞅）。8。示例：信用违约掉期（CDS）是信贷市场上交易的一种相当常见的金融合同，为信用违约掉期定价。到期日T>0的CDS是指买方与卖方之间的合同，买方希望防止金融资产违约在T之前发生。如果在T之前未发生违约，买方将向卖方支付一笔费用，直至到期。但是，如果违约时间τ发生在到期日之前，费用将一直支付到违约，然后卖方将立即向买方支付预先确定的金额δ，称为回收。恢复可能取决于默认值出现的时间，因此，它由正函数δ[0，T]建模→ R+。我们遵循[2]中提出的方法，读者也可以在[11，第7.8章]中找到一些细节。我们假设无违约即期利率r是恒定的，并且买方必须向卖方支付的费用是按照一定的利率κ>0持续支付的，也就是说，买方必须在dt到τ的时间内支付一笔金额κdt∧ T如果违约时间τo在到期日T之前出现，卖方将在到期日τ向买方支付一笔回收费δ（τ）。

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2022-5-10 14:19:24

如果定价指标为P，市场过滤为G=（Gt）≥0时，CDS在T时的价格St（κ，δ，T，r）由（8.1）St（κ，δ，r，T）给出：=ertEE-rτδ（τ）I{t<τ≤T}-^T∧τt∧τe-rvκdv | Gt.我们想将我们模型中得到的结果与[2]中给出的结果进行比较。然而，与[2]不同的是，我们将自己简化为一种简单的情况，即市场过滤可以是使τ成为停止时间的最小过滤H，或信息过程β产生的过滤Fβ。值得注意的是，使τ成为停止时间的最小过滤在随机区间上的布朗桥23过滤放大理论及其在信用风险数学模型中的应用中特别重要。我们参考了一系列论文[8,9,10]和书[11]中关于数学金融的主题，其中使用了过滤，并参考了书[6]和书[7]，从数学角度对主题进行了讨论。下面，让我们进一步假设r=0。我们首先将市场过滤G=H的定价公式称为命题8.1。如果市场过滤G是最小过滤H=（Ht）t≥0这使得τ成为一个时间点，那么时间点的价格st（κ，δ，0，T）由T（κ，δ，0，T）=E给出δ（τ）I{t<τ≤T}- κ ((τ ∧ （T）- t） I{t<τ}|Ht= I{t<τ}G（t）-^Ttδ（v）dG（v）- κ^TtG（v）dv（8.2）式中G（u）：=P（u<τ）=1- 对于每一个u，F（u）应该严格大于0∈ [0，T]。证据参见[2，引理2.1]。在我们的模型中，即如果市场过滤是过滤Fβ=（Fβt）t≥0由信息过程β生成，定价公式如下所示。提议8.2。

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2022-5-10 14:19:27

如果G=Fβ，那么在时间T时的价格St（κ，δ，0，T）由T（κ，δ，0，T）=Ehδ（τ）I{T<τ给出≤T}- κ ((τ ∧ （T）- t） I{t<τ}| Fβti（8.3）=I{t<τ}-^Ttδ（v）dvψt（v）- κ^Ttψt（v）dv（8.4）式中ψt（u）：=P（u<τ| Fβt）=\'+∞uφt（v，βt）dF（v）和上述公式中的dvψt（v）表示积分是用v作为积分变量计算的。证据关于（8.3）中的第一项，鉴于推论4.1和（4.4），我们有，P-a.s.：Ehδ（τ）I{t<τ≤T}Fβti=I{T<τ}Ttδ（v）φT（v，βT）dF（v）=I{T<τ}Ttδ（v）dvΦT（v），其中ΦT（v）：=P（τ）≤ v | Fβt）=1- ψt（v）和henceEhδ（τ）I{t<τ≤T}|Fβti=I{T<τ}^Ttδ（v）dvΦT（v）（8.5）=-I{t<τ}Ttδ（v）dvψt（v）。（8.6）随机区间上的布朗桥关于（8.3）中的第二项，再次考虑推论4.1和（4.4），我们得到了P-a.s.，EhT∧ τ| FβtiI{t<τ}=^TtvdvΦt（v）+t（1）- Φt（t））I{t<τ}=-^Ttvdvψt（v）+tψt（t）I{t<τ}=^Ttψt（v）dv+tψt（t）I{t<τ}。（8.7）在价格公式（8.3）中插入（8.5）和（8.7），并注意到ψt（t）=1on{t<τ}P-a.s，我们得到了断言的结果（8.4）。提案的证明已经完成。虽然（8.2）和（8.4）之间有一个正式的类比，但定价公式是相当不同的。第二个公式（8.4）的信息量要大得多，因为它使用了β的观测值和τ的Bayes估计值，即观测βt后τ的后验分布。鉴于t<τ，则（8.2）中的价格是一个确定性值，而（8.4）中的价格取决于观测βt。所谓的CDS在时间t的公平价差是值κ*这样St（κ*, δ、 0，T=0。

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2022-5-10 14:19:30

在我们的模型中，我们有κ*= -`Ttδ（r）drψt（r）`Ttψt（r）dr而在市场过滤为H的简单情况下，公平分布由κ给出*= -\'\'Ttδ（r）dG（r）\'\'TtG（r）dr.在处理与信用风险相关的问题时，有必要考虑这样一种情况，即市场过滤是通过用另一种过滤D=（Dt）t逐步扩大参考过滤F而获得的过滤G≥0，负责建模与默认时间τ相关的信息。传统上，过滤D与在τ处发生的单跳过程产生的过滤H相等。我们打算考虑一种不同的设置，其中参考过滤F将随着过滤Fβ的增大而增大，我们将提供CDS等信贷工具的相对价格公式。然而，这超出了本文的范围。附录A.Bayes公式此处回顾了Bayes公式的基本结果，无需证明。有关更多详细信息，请参阅[16，第二章7.8]或任何有关贝叶斯统计的书籍。随机区间上的布朗桥设τ和X为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）分别使用可测量空间（E，E）和（E，E）中的值。设pr是X关于τ=r的正则条件分布，即对于B∈ E、 Pr（B）=P（X∈ B |τ=r），Pτ-a.s。通过Pτ，我们表示τ在（E，E）上的分布（称为先验分布）。此外，对于C∈ E、将GC定义为：GC（B）：=^CPr（B）Pτ（dr），B∈ E.（A.1）我们对后验概率Q（x，C）：=P（τ）感兴趣∈ C | X=X），对于X∈ E和C∈ E.用px表示X定律。定理A.1（贝叶斯定理）。我们有GC<< PXandQ（x，C）=dGCdPX（x），x∈ E、 C∈ E、 PX-a.s.现在我们假设在（E，E）上存在一个σ-有限度量u，例如<< u，尽管如此∈ E

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