强公式中基于秩的平均场对策

662

收藏 2022-05-11

英文标题：
《A rank based mean field game in the strong formulation》
---
作者：
Erhan Bayraktar and Yuchong Zhang
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
We discuss a natural game of competition and solve the corresponding mean field game with \\emph{common noise} when agents\' rewards are \\emph{rank dependent}. We use this solution to provide an approximate Nash equilibrium for the finite player game and obtain the rate of convergence.
---
中文摘要：
我们讨论了一个自然竞争博弈，并在代理人的报酬与秩相关的情况下，求解了相应的平均场博弈。我们利用这个解为有限人博弈提供了一个近似的纳什均衡，并得到了收敛速度。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
-->

A_rank_based_mean_field_game_in_the_strong_formulation.pdf
大小:(296.86 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

能者818

2022-5-11 02:02:36

电子公社。Probab。第0期（2012），第0期，第1-13期。内政部：10.1214/ECP。vVOL PIDISSN:1083-589Xelectronic通信概率强公式中基于秩的平均场博弈*Erhan Bayraktar+Yuchong Zhang抽象解，为有限人博弈提供近似纳什均衡，并获得收敛速度。关键词：平均场游戏；竞争常见噪声；秩相关交互作用；非局部互动；强有力的表述。AMS MSC 2010:60小时；91A。2016年3月26日提交给ECP，最终版本于2016年10月6日接受。1引入平均场游戏（MFG），由[]和[]独立引入，当代理的动态被公共噪声调制时，为最终玩家游戏提供有用的纳什均衡。Lacker[]使用弱公式，在没有常见噪声的情况下。为了解决常见噪声的问题，我们将利用常见噪声中的机制，然后通过观察纯秩相关的奖励函数是平移不变的。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了N-playergame，其中玩家通过基于等级的奖励函数进行耦合。使用平均场极限的纳什均衡。利用这些结果，在第4节中，我们使用了[7]中的机制，并获得了常见噪声的相应结果*该研究部分由国家科学基金会DMS-1613170资助。+美国密歇根大学。电子邮件：erhan@umich.edu哥伦比亚大学，美利坚合众国。电子邮件：yz2915@columbia.eduarXiv：1603.06312v3[math.PR]2016A年10月15日基于排名的平均场游戏2 N人游戏我们认为每个玩家都控制自己的状态变量，并根据自己的排名进行奖励。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-11 02:02:40

我们将表示byXithei第个玩家的状态变量，并假设它满足以下随机微分方程（SDE）dXi，t=ai，tdt+σdBi，t+σdWt，Xi，0=0，aii（Bi）i=1，。。。，在某些过滤概率空间上定义的布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P），分别代表特殊噪声和普通噪声。游戏在时间t>0时结束，当每个玩家收到一个基于等级的奖励，减去努力的运行成本，我们将假设该成本为二次方，或者某个常数c>0。为了精确定义基于等级的奖励，让“uN：=NNXi=1δXi，TN”uN(-∞, Xi，T]iR×[0，1]3（x，r）7→ R（x，R）∈ RuRRu（x）=R（x，u(-∞, x] ）=R（x，Fu（x）），其中Fu表示u的累积分布函数。我收到的奖励是由RuN（Xi，T）=R（Xi，T，\'uN）给出的(-∞, Xi，T]）=R（Xi，T，F？uN（Xi，T））。R（x，R）x绩效补偿。每个玩家的目标是观察所有玩家的进度，并选择自己的努力水平以最大化预期回报，同时预测其他玩家的策略。作为时间和状态变量的函数，参与者的均衡预期收益满足一个耦合的非线性偏微分方程组，在一个大种群博弈中，任何个体对整个种群的影响都是显著的→ ∞N人游戏，无论有无普通噪音。3无共同噪声时的平均场近似值σ=0一致性条件）。对于任何波兰空间X，用P（X）表示X上概率测度的空间，P（X）：={u∈ P（X）：RX|X|du（X）<∞}.u ∈ P（R）考虑单个玩家的优化问题：v（t，x）：=supaEt，x“Ru（XT）-ZTtcasds#（3.1）ECP 0（2012），论文0。第2页/13页ECP。ejpecp。orgA基于等级的平均场博弈，其中dxs=asds+σdBs，（3.2）Bis是布朗运动，范围是一组逐步可测量的过程，使ERT | as | ds<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 02:02:44

相关的动态规划方程是VT+supaavx+σvxx- ca= 0v（T，x）=Ru（x）候选优化器isa*=而汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程可以写成vt+σvxx+（vx）4c=0。u（t，x）：=e（2cσ）-1v（t，x），givingut+σuxx=0。加上边界条件u（T，x）=e（2cσ）-1Ru（x），我们可以很容易地写出解：u（t，x）=E经验2cσRu（x+σ√T- （tZ）（3.3）其中Z是标准正态随机变量。让我们进一步把u写成一个积分：u（t，x）=Z∞-∞经验2cσRu（x+σ√T- （tz）√2πexp-Zdz=Z∞-∞经验2cσRu（y）p2πσ（T）- t）经验-（y）- x） 2σ（T）- （t）dy.利用支配收敛定理，我们可以在积分符号下进行微分，并且getux（t，x）=Z∞-∞经验2cσRu（y）p2πσ（T）- t）经验-（y）- x） 2σ（T）- （t）（y）- x） σ（T）- t） dy=Z∞-∞经验2cσRu（x+σ√T- （tz）√2πexp-Zzσ√T- tdz=E经验2cσRu（x+σ√T- （tZ）Zσ√T- T. （3.4）同样，我们得到了uxx=E经验2cσRu（x+σ√T- （tZ）Z- 1σ（T）- （t）. （3.5）（3.3）（3.5）以下是估计数。请注意，所有边界都与μ无关。引理3.1。函数u和v满足0<K-1.≤ u（t，x）≤ K- kRk∞≤ v（t，x）≤ kRk∞,0≤ ux（t，x）≤Kσrπ√T- t、 0≤ vx（t，x）≤ 2cσKrπ√T- t、 |uxx（t，x）|≤2KσT- t、 |vxx（t，x）|≤4cK（1+Kπ）-1） T- t、其中K:=exp（（2cσ）-1KK∞).ECP 0（2012），论文0。第3/13页ECP。ejpecp。orgA基于等级的平均场*=VX2CX遵循最优控制状态过程，用X表示*, 有一个强解[0，T）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-11 02:02:47

注意这一点≤ZTta*（s，X）*s） ds≤ZTtσKp2/π√T- sds=2σKr2（T- t） π<∞.uX*u=x+Ruta*（s，X）*s） ds+σ（Bu）- 英国电信公司→ t问题的功能（3.1）（3.2），以及*是最优的马尔可夫反馈控制。最后，再次使用支配收敛定理，我们可以证明对于t<t，limx→±∞ux（t，x）=0。A.*我同意许多现实生活中的观察，当一名球员领先非常大时，这是很容易的，而不是试图追赶。3.1纳什均衡的存在性∈ P（R）（3.1）（3.2）v（t，x；u）a*（t，x）=（2c）-1vx（t，x；u）通用播放器的过程xu满足SDEdXt=vx（t，Xt；u）2cdt+σdBt，x=0。(3.6)Φ : u 7→ L（XuT）L（·）有时指的是这样一个固定点，作为一个平衡度量。定理3.2。映射Φ有一个固定点。证据u ∈ P（R），我们有|XuT|≤ E2σKr2Tπ+σ| BT |！=: C.Φ（u）=L（XuT）P（R）拓扑的弱收敛性。回想一下p（R）={u∈ P（R）：RR|x|du（x）<∞}. 为P（R）配备由1-Wasserstein度量所诱导的拓扑：W（u，u）：=infZR | x-y | dπ（x，y）：π∈ P（R）带边缘u和u= 啜饮ZRψdu-ZRψdu：ψ∈ 边缘（R）.Lip（R）R（P（R），W）空间（见[9，定理6.18]）。我们将使用P（R）的一个子集，具体如下：=u ∈ P（R）：ZR | x | du（x）≤ C.ECP 0（2012），论文0。第4/13页ECP。ejpecp。基于orgA等级的平均场gameEW{un} E上的EWEWEΦEΦ连续。在证明的其余部分中，常数C可能会随着行的变化而变化。让{uk} Esuch thatW（微克，微克）→ 问→ ∞. 我们希望展示（Φ（uk），Φ（u））→0.注意w（Φ（uk），Φ（u））≤ E[| XukT- XuT |]≤2cZTE[|vx（t，Xukt；uk）-vx（t，Xut；u）|]dt。根据引理3.1，我们知道|vx（t，Xukt；uk）-vx（t，Xut；u）|≤C√T-T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-11 02:02:50

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

能者818

2022-5-11 02:02:53

对任何人来说∈ [0，t]，E[|Xukr- Xur |]≤2cZrE[| vx（s，Xuks；uk）-vx（s，Xus；u）|]ds≤ZrE计算机断层扫描- s | Xuks- Xus |+2c | vx（s，Xus；uk）-vx（s，Xus；u）|ds。通过（3.7）和有界收敛定理，我们得到了中兴[|vx（s，Xus；uk）-vx（s，Xus；u）|]ds→ 对于足够大的k，我们有[Xukr]- Xur |]≤计算机断层扫描- tZrE[|Xuks- Xus|]ds+E-CtT-t、根据Gronwall不等式，E[| Xukt- Xut |]≤ E-CtT-t+CT- tZtE-CtT-teC（t）-s） T-tds=.这就完成了（3.8）的证明，从而完成了Φ的连续性。根据Schauder的不动点定理，集合E.3.2纳什均衡的唯一性中存在Φ的不动点。C P（R）第一状态单调性假设，符合[8]的精神。假设3.3。对于任何u，u∈ C、我们有Zr（Ru）- Ru）（x）d（u）-u）（x）≤ 0.备注3.4。TakeCto是绝对连续的所有度量inP（R）的集合函数R是Lipschitz连续的且h（x，R，R）：=R（x，R）-R（x，R）R- r、 x∈ R、（R，R）∈ [0,1]\\{r=r}hx，hr，hrRr 7→ R（x，R）R7→ Rx（x，r）hx，hr，hr≥ 0ECP 0（2012），论文0。第6/13页ECP。ejpecp。orgA基于排名的平均场游戏u，u∈ CRuRu使用部件集成实现绝对连续功能，我们得到了Zr（Ru- Ru）（x）d（u）-u）（x）=ZR（Fu- Fu（x）h（x，Fu（x），Fu（x））d（Fu- Fu）（x）=-锆（Fu）- Fu）（x）d[（Fu）- Fu）（x）h（x，Fu（x），Fu（x））=-锆（Fu）- Fu）（x）dh（x，Fu（x），Fu（x））-ZR（Ru）- Ru）（x）d（u）-u）（x）重新安排条款并使用hx、hr、hr≥ 0，我们得到Zr（Ru- Ru）（x）d（u）-u）（x）=-锆（Fu）- Fu）（x）h（x，Fu（x），Fu（x））·（dx，dFu（x），dFu（x））≤ 0.xuFu（x）：=（Fu（x+）+Fu（x-))在R（x，R）=R的情况下，假设3.3满足C=P（R）（见[5，定理B]）。提案3.5。在假设3.3下，Φ在C证明中最多有一个固定点。ΦCv（t，x）：=v（t，x；u）v（t，x）：=v（t，x；u）xuxut∈ （0，T）利用它的引理和由v和v满足的偏微分方程，很容易证明E[v（T，XuT）]=v（0，0）+EZt4c（vx）（s，Xus）ds, （3.9）andE[v（t，Xut）]=v（0，0）+EZt4c2vxvx- （vx）（s，Xus）ds.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-11 02:02:56

（3.10）写作v:=v- v、我们从（3.9）中减去（3.10）得到[v（t，Xut）]=v（0,0）+EZt4c[(v） x（s，xus）]ds.让t→ 利用v的连续性和vat的终端时间，我们得到e[（Ru）- Ru）（XuT）]=E[v（T，XuT）]=v（0,0）+E“ZT4c[(v） x（s，xus）]ds#。（3.11）现在，交换u和u的角色。我们还有[（Ru- Ru）（XuT）]=-E[v（T，XuT）]=-v（0,0）+E“ZT4c[(v） x（s，xus）]ds#。（3.12）加入（3.11）和（3.12），使用该u=L（XuT），u=L（XuT），我们得到0≤4cE“ZT[(v） x（s，xus）][(v） x（s，xus）]ds#=E[（Ru- Ru）（XuT）]+E[（Ru- Ru（XuT）]=ZR（Ru- Ru）（x）d（u）-u）（x）≤ 0，ECP 0（2012），论文0。第7/13页ECP。ejpecp。orgA基于等级的平均场博弈，其中最后一个不等式来自假设3.3。这意味着vx（s，Xus）=vx（s，Xus）dP×dt-a.e.（3.6）XuT=XuTu=u。3.3 N人博弈的近似纳什均衡MFG解决方案允许我们使用分散策略构造一个近似简单的问题，因为平均场相互作用不会进入状态回报的动态，而状态回报通常不是Lipschitz连续的。定义3.6。a=（a，…，aN）如果（i）EhRT|ai，t|dti<∞ 无论如何，我∈ {1，…，N}；及(ii)i∈ {1，…，N}βEhRT |βt | dti<∞, 我们有RuN，a（Xaii，T）-ZTcai，tdt#+ ≥ E“R”uN，aiβ（Xβi，T）-ZTcβtdt#，Xβi，T=RTβtdt+σBi，Taiβ=（a，…，ai）-1，β，ai+1，a）uN，a=NPNj=1δXajj，T.RR（x，r）=a（x）rp+B（x）p∈ (0, ∞)A.∈ L∞（R）。假设3.7。L>0α∈ （0，1）| R（x，R）-R（x，R）|≤ L | r- r |α对于任何r，r∈ [0,1]和x∈ R.定理3.8。让假设3.7保持不变。对于Φ的任意固定点u，\'ai，t:=（2c）-1vx（t，X’aii，t；u），i=1，N形成O（N）-N人博弈的α/2）-纳什均衡→ ∞.证据设u为Φ的一个固定点，并将ai定义为定理陈述中的定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-11 02:03:00

为了保持符号简单，我们省略了任何状态过程的上标，如果它是由最优马尔可夫反馈策略（2c）控制的-1vx（t，x；u）。LetV:=v（0，0；u）=E“Ru（XT）-ZT4cvx（s，Xs；u）ds#是极限游戏的值，其中X满足（3.6），jni:=E“R”uN（Xi，T）-如果每个人都使用候选近似纳什均衡（\'a，\'aN），则ZTc\'ai，sds#是anN游戏者博弈中游戏者的净收益。此处|uN=NPNi=1δXi，T。自我们的国家处理SECP 0（2012），论文0。第8页/13ecp。ejpecp。orgA rank-based mean-field gamepayoff），每个Xi都只是X的一个独立、相同的副本。HenceV=E“Ru（Xi，T）-ZTc\'ai，sds#。让我们首先证明JNiand V是接近的。我们有JNI- V=E[R′uN（Xi，T）-Ru（Xi，T）]。从R的α-H"older连续性可以得出|JNi- V|≤ LE[|F|uN（Xi，T）-Fu（Xi，T）|α]≤ LE[k^FNu- Fukα∞],福恩在哪里∈ N、 ^Fnu表示NI的经验累积分布函数。i、 d.具有累积分布函数fu的随机变量。作者：德沃雷茨基·基弗·沃尔福威茨k^FNu- Fuk∞> ≤ 2e-2N.因此| JNi- V|≤ LE[k^FNu- Fukα∞] = LZ∞Pk^FNu- Fukα∞> Zdz≤ LZ∞2e-2Nz2/αdz=2L（4N）α/2Z∞E-y2/αdy=O（N-α/2）as N→ ∞.i（\'a，\'aN）控制β。用Xβi表示她的受控状态过程，以及所有其他xjj 6=i′νN:=N（δXβi，T+Pj6=iδXj，T）终端状态的经验测量，以及jn，βi:=E“R”νN（Xβi，T）-ZTcβsds#是玩家i的相应净收益。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-11 02:03:03

我们有JN，βi- V=E“R′νN（Xβi，T）-ZTcβ-sds#- E“Ru（Xi，T）-ZTc\'ai，sds#=EhR\'νN（Xβi，T）-Ru（Xβi，T）i+E“Ru（Xβi，T）-ZTcβ-sds#- E“Ru（Xi，T）-中兴国际，sds#≤ EhR′νN（Xβi，T）-Ru（Xβi，T）i与我们估计| JNi的方式相似- V |，我们有jn，βi- 五、≤ LE[|F′νN（Xβi，T）-Fu（Xβi，T）|α]=LEN1.-Fu（Xβi，T）+N- 1N^FN-1u（Xβi，T）-Fu（Xβi，T）α≤ 乐N+N- 1Nk^FN-1u- Fuk∞α≤ LN+N- 1NEhk^FN-1u- Fuk∞我α=O（N）-α/2）as N→ ∞,ECP 0（2012），论文0。第9/13页ECP。ejpecp。基于orgA等级的平均场GameActainJn，βi- JNi≤ JN，βi- V+| V- JNi |=O（N）-α/2）as N→ ∞.这表明（\'a，\'aN）是O（N）-α/2）-近似纳什均衡。备注3.9。如果没有假设3.7，我们仍然可以使用N人博弈的连续性和有界性要求。然而，收敛速度不再有效。4平均场近似当本节中存在常见噪声时，我们假设σ>0，r（x，r）与x无关；后者意味着→ ∞随机测量，而不是确定性测量。因此，MFG问题现在是这样的：（i）修正一个随机度量u，即代表性玩家面临的人口终端分布问题：V（u）=supaE“Ru（XT）-ZTasds#，（4.1），其中dxs=asds+σdBs+σdWs，X=0。（4.2）用Xu表示最佳控制状态过程。（ii）找到映射的固定点ψ：u7→ L（XuT | W）。u ∈ P（R）u（·+q）uq∈ RRxRu（x+q）=R（Fu（x+q））=R（Fu（·+q）（x））=Ru（·+q）（x）中给出的相互作用。在没有平移不变性的一般情况下，只能在弱公式中获得结果，见[3]。（3.1）（3.2）（4.1）（4.2）以及它们各自的定点问题，如MFG和MFGcn。直接应用[7，定理2.5]可以得到以下存在性结果。提议4.1。设u为制造商的（确定性）平衡测量值。然后u：=- σWT）是MFGcn的（随机）平衡度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-11 02:03:06

此外，与MFGis的u相关联的最优控制也是与MFGcn的u相关联的最优开环控制。噪音因此，在优化σ（W）-可测量中，公共噪声的影响基本上被抵消，因此在[2]的语言中是一个强大的MFG解决方案。备注4.2。cna*（t，XoTu）a*（t，x）=（2c）-1vx（t，x；u）xo（3.2）a*CNECP 0（2012），论文0。第10/13页ECP。ejpecp。orgA基于等级的平均场游戏个人噪音平均值。因此，观察整个系统应该给每个玩家提供比她自己的状态过程产生的信息更多的信息。定理4.3。让假设3.7保持不变。设u为MFG的平衡量度，且ai，t=（2c）-1vx（t，Xoi、 t；u）Xoi（3.2）a’Aibre被BI取代。然后（\'a，\'aN）形成anO（N-α/2）-具有公共噪声的theN playergame的纳什均衡。证据uXoX:=Xo+ σW和Xi:=Xoi+σW。根据命题4.1，我们得到V:=V（u）=E“Ru（XT）-ZT4cvx（s，Xos“u）ds#。同样，letJNi:=E“R”uN（Xi，T）-ZTc'ai，sds'是玩家在anN玩家游戏中的净收益，如果每个人都使用大约（'a，'aN）'uN的候选值：=NPNi=1δXi，TuimplyRu（XT）=Ru（XoT+σWT）=Ru（·+σWT）（XoT） =R搌u（XoT）。类似地，因为¨uN=NNXi=1δXoi、 T+σWT=NNXi=1δXoi、 T！(· -σWT）=：¨uNo(· -σWT），我们还有R′uN（Xi，T）=R′uN（Xoi、 T+σWT）=R¨uNo（十）oi、 T）。因此我们可以重写V和JNiasV=E“R”u（Xoi、（T）-ZTc\'ai、sds#和JNi=E“R”uNo（十）oi、（T）-ZTc\'ai，sds#，Xo九orem 3.8，我们知道| JNi- V|≤2L（4N）α/2Z∞E-y2/αdy=O（N-α/2）as N→ ∞.iβXβiXo,我分别地。我们有Xβi=Xo,βi+σW。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-11 02:03:09

设ηN:=N（δXβi，T+Pj6=iδXj，T）和jn，βi:=E“R”νN（Xβi，T）-ZTcβsds#。ECP 0（2012），论文0。第11/13ecp页。ejpecp。根据V的定义和R thatJN，βi的H"older连续性，我们得到了基于orgA等级的平均场博弈- V=E“R′νN（Xβi，T）-ZTcβ-sds#- V=EhRN（Xβi，T）-Ru（Xβi，T）i+E“Ru（Xβi，T）-ZTcβ-sds#- 五、≤ EhR′νN（Xβi，T）-Ru（Xβi，T）i≤ LEh |νN(-∞, Xβi，T]-u(-∞, Xβi，T]|αi.平移不变性(-∞, Xβi，T]=N+NPj6=iδXoj、 T(-∞, 十、o,βi，T]。根据定义：(-∞, Xβi，T]＝u(-∞, 十、o,βi，T]j6=iL（Xoj、 T）=L（XoT） =uu是MFG的平衡度量。因此，通过用uX表示一切o十、o,β定理3.8意味着jn，βi- 五、≤ 乐N+NXj6=iδXoj、 T- u(-∞, 十、o,βi，T]α= 乐N（1）-F¨u（Xo,βi，T）+N- 1N^FN-1u（Xo,βi，T）-F¨u（Xo,βi，T）α≤ LN+N- 1NEhk^FN-1u- F′uk∞我α=O（N）-α/2）as N→ ∞,^Fn′unF′uJN，βi- JNi≤O（N）-α/2）并且（\'a，\'aN）是anO（N-α/2）-具有公共噪声的时参博弈的纳什均衡。备注4.4。β噪声。然而，当其他人使用各自独立于公共噪声的“ai”时，公共噪声的附加信息给每个玩家带来了很小的优势。参考文献[1]控制Optim。51（2013），第4号，2705–2734。MR-3072222[2]勒内·卡莫纳、弗朗索瓦·德拉鲁和丹尼尔·拉克尔，常见噪音的平均场游戏，出现在概率史册上。[3] RenéCarmona和Daniel Lacker，平均场博弈和应用的概率弱公式，Ann。阿普尔。Probab。25（2015），第3号，1189-1231。MR-3325272[4]奥利维尔·盖恩特、让·米歇尔·拉斯利和皮埃尔·路易斯·利昂斯，《平均场游戏与应用》，2010年巴黎普林斯顿数学金融讲座，数学课堂讲稿。，2003卷，柏林斯普林格，2011年，第205-266页。MR-2762362[5]419-423。MR-0112937[6]公社。中导系统。6（2006），第3期，221-251页。MR-2346927[7]丹尼尔·莱克和凯文·韦伯斯特，具有公共噪声的平移不变平均场游戏，电子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-11 02:03:11

公社。Probab。20（2015）第42、13号。MR-3358964ECP 0（2012），论文0。第12/13页ECP。ejpecp。orgA基于排名的平均场游戏[8]229–260。MR-2295621[9]柏林，2009年。MR-2459454ECP 0（2012），论文0。第13/13页ECP。ejpecp。组织

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

栏目导航

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群