因此，进程b的bt:=Xt-\'toZsds，t≥ 0，是FX自适应的。此外，Z是F-可选的，过程'·zsds是F-适应的，因此过程X也是F-适应的。这就产生了结论FX 接下来我们证明过程b是一个FX鞅。显然，B对所有t都是不可理解的≥ 0，如上所示，b是FX自适应的。让0≤ s<t.为了展示鞅的性质，利用富比尼定理，我们首先注意到存在一个Borel集∧ R+，使得l+（R+\\∧）=0和Zs，因此也就是soozs，对所有s都是可积的∈ Λ. 诺威英国电信- bs | FXs= E英国电信- Bs | FXs+ E^ts（Zu）-oZu）du | FXs= EE[Bt- Bs | Fs]| FXs+ E^tsI∧（u）（Zu）-oZu）du | FXs=^tI∧（u）E祖-oZu | FXsdu=^tI∧（u）EE祖-oZu | FXu|FXsdu=0，我们在哪里使用了该FX F和B是F-鞅，Fubini的理论和可选投影的性质（见备注7.1）。这证明了b是一个连续的FX鞅。最后，由于B是一个停在T处的F-布朗运动，从B的定义可以清楚地看出，B是一个连续的F-半鞅，具有s方变量过程hb，bi:hb，bit=T∧ T，T≥ 0.鉴于连续半鞅的平方变化不依赖于随机区间上的布朗桥这一众所周知的事实，对于FX也是如此。这证明了b是在T处停止的anFX布朗运动。附录C引理的证明6.1首先我们回顾（tn）n∈Nis是一个收敛到0的严格递减序列，使得0<tn+1<tn<。t<ε，tn↓ 0

为了证明这一点→∞φtn（r，βtn）=1，假设P（τ>ε）=1，（4.4）和（2.1），我们可以写出φtn（r，βtn）=（2πtn）-1/2r1/2（右）- tn）-1/2exp- βtnr/2tn（r- tn）I（tn+∞)（r） \'）（ε+∞)（2πtn）-1/2s1/2（s）- tn）-1/2exp- βtns/2tn（s）- tn）dF（s）（C.1）=r1/2（r- tn）-1/2I（田纳西州）+∞)（r） \'）（ε+∞)s1/2（s）- tn）-1/2expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）dF（s）。（C.2）首先我们注意到∈ (ε, +∞)（C.3）1≤ s1/2（s）- tn）-1/2≤ ε1/2(ε - tn）-1/2≤ ε1/2(ε - （t）-1/2.第二，如果∈ （ε，r），然后expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）≤ 1.而福斯∈ [r+∞) 我们有- r） /（s）- tn）≤ 1和Thusepβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）≤ 经验βtn/2（r- tn）.我们注意到，这个不等式的右边相对于n有界，因为tn↓ 0和βtn→ 0.此外，林→∞s1/2（s）- tn）-1/2expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）= 1.因此，我们可以应用Lebesgue的有界收敛定理，它遵循Limn→∞^(ε,+∞)s1/2（s）- tn）-1/2expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）dF（s）=1。最后，对于（C.2）中的分子，limn→∞r1/2（r）- tn）-1/2I（田纳西州）+∞)（r） =1，r>0，我们有limn→∞φtn（r，βtn）=1。为了证明φtn（·βtn）的Pτ-a.s.一致有界性，首先我们注意到，鉴于（C.3），（C.2）中的分子是一致有界的∈ (ε, +∞) 利用P（τ>ε）=1的假设，可以得出它在r中一致有界∈ (0, +∞), 也还有待验证的是，（C.2）中的分离器在随机区间28上由严格正的康斯坦布朗桥从下方限定，仅取决于ε和ω。使用（C.3），用于∈ (ε, +∞) 分母为（C.2）的被积函数可以从下面的1/2（s）来估计- tn）-1/2expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）≥ 经验βtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）≥ 经验-βtn/（ε）- （t）I（ε，r）+I[r+∞)≥ E-γ式中，γ=γ（ε，ω）=s upn≥1βtn（ω）/（ε）- t） <+∞.

因此，对于（C.2）中的分母，它是f ollowse-γ=^(ε,+∞)E-γdF（s）≤^(ε,+∞)s1/2（s）- tn）-1/2expβtn（s）- r） /2（r）- tn）（s）- tn）dF（s）。引理6.1的证明已经完成。致谢。这项工作得到了欧洲共同体FP 7项目的财政支持，合同为PITN-GA-2008-213841，玛丽·居里ITN《受控系统》。参考文献[1]Bedini M.L.关于默认时间的信息：随机区间上的布朗桥和过滤的放大。2012年，德国耶拿弗里德里希·席勒大学博士论文。[2] 比莱克i T.R.，詹布·兰克M.，乌特科夫斯基M.R。信用违约掉期市场中一篮子信用衍生品的套期保值。《信贷风险杂志》，3:91–132，2007年。[3] Blumenthal R.M.，Geto或R.K.马尔可夫过程和势理论。学术出版社，1968年。[4] Brody D.，Hughston L.，Macrina A.《超越风险率：信用风险建模的新框架》。《数学金融的进展：纪念迪利普·马丹的Festschrift卷》，第231-257页，巴塞尔：Birkh"auser，2007年。[5] Bieleck i T.R.，Rutkowski M.Credi T risk:建模估值和对冲。柏林，2001年。[6] Dellacherie C.能力与过程随机性。Ergebnisse第67卷。1972年春天。[7] Dellacherie C.，Meyer P.-A.概率和潜力。北荷兰，1978年。[8] Jeanblanc M.，Le Cam Y.浸没财产和信用风险建模。优化与风险——数学金融的现代趋势，第99-132页。Springer BerlinHeidelberg，2010年。[9] Jeanblanc M.，Le Cam Y.随着初始时间的推移，过滤逐渐扩大。Sto ch.过程。应用程序。，2009年，第119卷，第8期，2523-2543页。[10] Jeanblanc M.，Le Cam Y.信用风险简化模型。预印本2007，可访问：http://ssrn.com/abstract=1021545.[11] Jeanblanc M.，Yor M.，Chesney M.金融市场的数学方法。斯普林格，第一版，2009年。[12] K阿伦伯格O。

现代概率论的基础。斯普林格·维拉格，纽约，第二版，2002年。[13] K aratzas I.，Shreve S.布朗运动和随机微积分。斯普林格-维拉格，柏林，第二版，1991年。随机区间上的布朗桥29[14]Revuz D.，Yor M.连续鞅和布朗运动。施普林格·维拉格，柏林，第三版，1999年。[15] 罗杰斯L.C.G.，威廉姆斯D.微分，马尔可夫过程和鞅。第二卷：它是微积分。剑桥大学出版社，第二版，2000年。[16] Shiryaev A.N.概率。斯普林格·维拉格，第二版，1991年。意大利米兰圣保罗联合会马泰奥·卢多维科·贝迪尼；电子邮件：matteo。bedini@intesasanpaolo.comRainerBuckdahn，法国布列斯特西方布列塔尼大学数学实验室CNRS-UMR 6204；山东大学数学学院，中国山东省济南；电子邮件：雷纳。buckdahn@univ-布雷斯特。frHans-Jürgen Engelbert，德国耶拿弗里德里希·席勒大学；电子邮件：汉斯·尤尔根。engelbert@uni-杰娜。判定元件