用衍生证券完成市场交易

2022-5-8 06:48:29

衍生证券的市场完成Daniel C.SchwarzCarnegie Mellon大学数学科学系，地址：宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，美国15213号2015年5月27日Abstractlet SFbe是一个P-鞅，表示不完全市场框架中原始资产的价格。我们提供了关于模型系数的易于验证的条件，这些条件保证了市场的完整性，在这个市场中，除了原始资产，一个人还可以交易衍生合同SB。SF和SBt都是根据二维随机微分方程的解X定义的：SFt=f（Xt）和SBt△= E[g（X）| Ft]。从纯数学的角度，我们证明了在P-鞅下的每个局部鞅都可以表示为关于P-鞅的随机积分△= （SFSB）。值得注意的是，与最近关于均衡市场内生完备性的结果相比，我们的条件允许（f，g）的雅可比矩阵在R.Hencethey cover上处处是奇异的。作为一个特例，随机波动率模型的一个突出例子是用欧式看涨（或看跌）期权完成的。AMS 2010主题分类：60G44、60H05、91G20、35K15、35K90JEL分类：G10关键词：完备性、导数、积分表示、微分、鞅、抛物线方程、解析函数、雅可比行列式(Ohm, F、 P）作为一个概率空间，考虑一个等于1的固定时间范围，并设F=（Ft）t∈[0,1]是一种满足通常条件的过滤，仅含FOhm 设S=（Sjt）是一个d维随机过程，描述了金融市场中流动交易证券贴现价格的演化，其性质是S是测度P下的（向量）鞅。

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2022-5-8 06:48:32

如果任何未定权益支付可以作为自我融资交易策略的终值获得，则该模型被认为是完整的。资产定价的第二个基本定理（参见[Harrison and Pliska，1983]）允许我们用纯数学术语重申完备性，如下所示：每个局部鞅M=（Mt）都允许一个与S对应的积分表示，即Mt=M+ZtHudSu，t∈ [0,1]，（1）对于一些可预测的S-可积过程H=（Hjt）。ssetpricing的第二个基本定理还断言，上述陈述等价于P是等价测度类中S的唯一鞅测度。例如，S过程可以描述S股票或期权合同的价格，这些股票或期权合同现在通常与其标的物一样流动。根据不同的应用，人们会清楚地意识到S差异的构造。一般来说，有三种可能性需要考虑。给定其初始值，S可以根据其在测度P下的可预测特性，以正向形式定义。在这种情况下，完整性属性的验证是简单的。例如，如果S在波动矩阵为过程σ=（σt）的测度P下是一个无漂移的扩散过程，那么市场是完整的，当且仅当σ几乎肯定具有满秩dP×dt（参见[Karatzas and Shreve，1998，定理6.6]）。或者，S可以向后定义，作为其给定终值在P下的条件表达式。最后，一些组件可能以正向形式定义，而其他组件则以反向形式定义，从而导致正向-反向设置。在本文中，我们假设上面的最后一个设置，并关注d=2的二维情况。

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2022-5-8 06:48:35

特别地，让SF=（SFt）和SB=（SBt）是标量值鞅，比如=SFSB.人们可以将远期成分视为原始资产的贴现价格，将远期成分视为衍生证券的贴现价格。也就是说，给定一个过程σF=（σF，jt）j=1,2，一个P-布朗运动W=（Wjt）j=1,2和一个随机变量ψ，则过程SF和sb由sft=SF+ZtσFudWu，SBt定义△= E[ψ| Ft]，对于t∈ [0, 1].我们正在寻找关于σFandψ的易于验证的条件，以保证所有P-鞅相对于S的积分表示性质，从而保证市场的完整性，其中除了原始资产SF之外，还可以交易衍生合约SBS。原则上，我们的主要结果定理1的证明推广到了d维情况。我们只提出二维情况的原因有两个：第一，系数σFandψ的结构条件在更高维度变得非常复杂；第二，使用我们现有的方法，将其扩展到更高的维度，需要额外的规律性ψ，尤其是r，排除看涨期权和看跌期权的支付函数，这些函数只有一次是脆弱的。在我们的分析中，我们假设σFandψ具体表示为一个二维随机微分方程的解X，其漂移向量b=b（t，X）和波动率矩阵ixσ=σ（t，X）。考虑到空间变量，我们的条件非常经典：b=b（t，·）连续可微，σ=σ（t，·）是两次连续可微且具有有界逆。此外，函数本身及其导数是有界的。

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2022-5-8 06:48:38

关于时间，我们的条件是非常精确的：b=b（·，x）和σ=σ（·，x）必须在（0，1）上进行实分析。我们的研究结果扩展并严格证明了关于衍生证券市场完整性的观点，这些观点最初是在[Romano and Touzi，1997]和[Davis and Obl\'oj，2002]中提出的。本文[Romano and Touzi，1997]关注随机波动模型的特殊情况。本文的主要结果要求导数支付函数仅为股票价格的凸函数，除非欧式看涨期权或看跌期权的特例给出，否则导数支付函数是两次连续可微的。从适用性的角度来看，可能最具局限性的是，要求波动性风险溢价在等价鞅测度下波动过程的漂移系数不依赖于股票价格。此外，资产价格与其（随机）波动过程之间的相关性以及波动过程的波动性也不依赖于股票价格。在[Davis and Obl\'oj，2002]中，设置不限于二维情况。然而，本文中的关键条件不是放在模型原语上，而是放在条件期望E[（SF，ψ）|Ft]=v（t，Xt）。特别地，假设v在时间和空间变量中是（联合）实解析的，并且在本文的主要定理中，假设v=v（t，x）的雅可比矩阵（关于x）在（0，1）×R的某些开s子集上是非零的。我们的工作与最近关于鞅的积分表示的结果密切相关，其动机是金融经济学中连续时间拉德纳均衡的内生完整性问题（参见[Kramkov and Predoiu，2014，Hugonnier et al.，201 2，Riedel and Herzberg，2013，Anderson and Ra imondo，2008]）。

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大多数88

2022-5-8 06:48:41

这些结果与我们的结果之间的差异有两个方面：首先，在拉德纳均衡环境中，S完全是以反向形式指定的，S图不适应正向成分；第二，也是最重要的，如果SF=f（X）和ψ=g（X），上述结果需要雅可比矩阵FXGXGX（x），x∈ R、在R的某个开放子集上排名靠前。即使在完成带有欧洲看涨期权的随机波动率模型的最关键例子中，这个条件也不满足，当相应的雅可比矩阵在R上处处是奇异的时，我们用一个新的条件来代替这个要求，除了f和g之外，还涉及状态过程b和σ的系数，这在前面提到的一个典型随机波动率模型的例子中得到了满足，该模型是用欧洲看涨期权完成的（见第6节）。乍一看，限制我们结果适用性的最具限制性的条件似乎是关于微分系数X的有界性假设。这个假设源于椭圆和抛物偏微分方程的理论，它在我们的证明中起着至关重要的作用。然而，我们在第6节中展示了我们如何通过适当的变量变化来适应金融数学中的流行模型，如几何布朗运动或均值回复过程。符号和基本概念让X是一个范数为k·k的Banach空间。在续集中，我们将经常使用映射h:[0，1]→ 十、在[0，1]上是H？older连续的，也就是说，存在常数N>0和δ>0，比如kH（u）- h（t）k≤ N|u- t |δ，u，t∈ [0,1]，并在（0,1）上进行分析，也就是说，对于每个u∈ （0，1）X中存在（u）>0和{An（u）}族元素，这样h（t）=∞Xn=0An（u）（t）- u） n，t∈ （0,1），|t- u |<u（u）。对于多指数α=（α。

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2022-5-8 06:48:44

，αd）对于非负整数，我们使用符号约定|α|△=Pdi=1αiandDα△=|α|xα。xαdd Rd.全文将使用以下空格：Lp（U）（代表p）≥ 1）：无rm-khkLp（U）的uw上的勒贝格可测r值函数h的勒贝格空间△= （RU | h | pdx）1/p；Lp△= Lp（R）。L∞（U）：U上本质有界实值函数h的勒贝格空间∞（U）△= ess supU | h |；L∞△= L∞（R）。Ck（U）：uw上所有k次连续可微实值函数h的Banach空间，其无rmkhkCk（U）=khkC（U）+X1≤|α|≤kkDαukC（U），其中khkC（U）△= 苏普| h |；Ck△= Ck（R）。回想一下，U上的局部可积函数h是弱可微的，如果每个指数j=1，d存在一个局部可积函数，使得identityZUgj（x）~n（x）dx=-祖赫（x）φxj（x）dx适用于属于C的每一个函数∞（U），这是一个在U中具有紧凑支撑的多次完全不同功能的空间。在这种情况下，我们定义了hxj△= gj。高阶的弱导数是递归定义的。通常情况下，p≥ 1，我们用p′表示p的共轭指数，用p′定义△= p/（p）-1）对于1<p<∞, p′△= ∞, 如果p=1和p′△= 1，如果p=∞.考虑到这些定义，我们定义了以下空间：Wmp（U）（代表m）∈ {0, 1, . . .} 和p≥ 1）：m次弱可微函数h的Banach空间与normkhkWmp（U）△= khkLp（U）+X1≤|α|≤mkDαhkLp（U）；（m=0的情况恢复了经典的Lebesgue空间Lp（U）。）Wmp△= Wmp（R）。Wmp，0（U）（代表m）∈ {0, 1, . . .} 和p≥ 1）：通过取C的闭包获得的Banach空间∞（U）在空间Wmp（U）。W-议员（U）（代表m）∈ {0, 1, . .

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2022-5-8 06:48:48

和p≥ 1）：形式h=X0的所有分布h的Banach空间≤|α|≤m(-1） |α| hDα·，uαi，（2）其中h·，·i表示土地uα中的内积∈ Lp（U），带正常功率-议员（U）△= min{X0≤|α|≤mkuαkLp（U）：U满意度（2）}。对于T R、我们还定义了Wr，m+2rp（T×U）（对于R，m∈ {0 , 1, . . .} 和p≥ 1）：函数的Banach空间h=h（t，x），t中的r次弱可微，x中的（m+2r）-次弱可微，具有normkhkWr，m+2rp（t×U）△=X |α|+2ρ≤m+2rρ≤rkDαρthkLp（T×U）。我们的符号与线性代数的标准符号一致。给定Rd中的两个向量x，y，xy表示标量积和| x|△=√xx。给定一个矩阵M∈ Rm×nwithm行和n列，mx用列向量x，M表示其乘积它的transposeand kMkF△=ptr（M）). 对于n×n矩阵M，我们用| M |或det M表示M的行列式。设l=（l，…，lk）表示符合条件1的多指标≤ l<…<lk≤ d、给定n×n矩阵M，C，Ck，我们写M（l；C，…，Ck）作为矩阵，t是通过用Cp的lpth列替换M的lpth列而得到的，对于p=1，k、在保持其余列不变的情况下；如果k>n，M（l；C，…，Ck）△= 0.设A是banach空间X上的算子，M是n×n矩阵，使得A，i，j=1，n、我们为算子A的入口应用编写AM；托维特阿姆△= （Amij）i，j=1，。。。，n、对于适当的正则函数h=h（t，x）：t×Rd→ 用J[h]=J[h]（t，x）表示向量值函数h（t，·）：J[h]（t，x）的雅可比矩阵函数△=xh。。。xhn（t，x），（t，x）∈ T×路，在哪里xh是h（t，·）的梯度向量，也就是xh△= (xh，xd h）。

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2022-5-8 06:48:52

类似地，对于可测正则函数h=h（t，x）：t×Rd→ R我们用H[H]=H[H]（t，x）表示sc-alar值函数H（t，·）的Hessianmatrix函数，即H[H]（t，x）△= J[xh]（t，x），代表（t，x）∈N>0表示一个常数，其值可能因行而异。2主要结果：正倒向鞅表示let Rd表示一个d维欧氏n向量空间，b=b（t，x）：[0，1]×R→ Randσ=σ（t，x）：[0,1]×R→ R2×2可测函数，对于所有i，j=1，2，满足以下假设：（A1）映射t7→ bj（t，·）和t 7→ [0，1]到C的σij（t，·）是H－older连续的，它们对（0，1）的限制是解析的。地图t 7→ σij（t，·）是[0，1]到Cd7的连续→ bj（t，·）是[0,1]到C的连续矩阵。矩阵σ是可逆的，存在常数N>0，使得kσ-1（t，x）kF≤ N、（t，x）∈ [0,1]×R.（3）备注1。注意，（3）等价于协方差矩阵函数的一致椭圆度△= σσ:ya（t，x）y=kσ（t，x）ykF≥N | y |，y∈ R、（t，x）∈ [0,1]×R.设X∈ R.在（A1）中对b和σ的假设意味着，给定一个完整的、经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0,1]，P）定义了一个布朗运动W，其值在R中，存在唯一的随机过程X，也取R中的值，例如xt=X+Ztb（u，Xu）du+Ztσ（u，Xu）dWu，t∈ [0,1]，（4）（参见[Friedman，1975，Theo-rem 2.2，第5章，第104页]）。这里，过滤F被假定为布朗过滤的强化，即Ft△= σ（FWt）∪N），t∈ [0,1]，其中FWtdenotes表示由（Wu）u生成的σ场∈[0，t]和N表示所有P-空集的集合。设可测函数r:[0，1]×r→ R满足以下条件：（A2）映射t7→ r（t，·）作为[0，1]到C的映射是H¨older连续的，作为[0，1]到C的映射是连续的，作为（0，1）到C的映射是解析的。

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2022-5-8 06:48:55

函数r是非负的：r（t，x）≥ 0，（t，x）∈ [0，1]×R.设可测函数f=f（t，x）：[0，1]×R→ R对于x是弱可微的三倍，并且假设存在一个常数N>0，对于j，k，l=1，2，它表示：（A3）映射t7→ E-N |·|（0，1）到L的xjxk f（t，·）∞是解析的，地图t7→ E-N |·|[0,1]到L的xjf（t，·）∞是连续可微的，地图t7→ E-N |·|[0,1]toL的xjxkxl f（t，·）∞是连续的。还记得吗△= σσ是X的协方差函数。我们用LX（t），t表示∈ [0,1]，在过程X的微型发生器内：LX（t）△=Xj，k=1ajk（t，x）xjxk+Xj=1bj（t，x）xjand定义[0,1]×RbyAjk上的函数A=A（t，x）、B=B（t，x）和C=C（t，x）△= |J[f，ajk]|- 2(-1） j（H[f]a）（3-j） k，Bj△= |J[f，bj]|- (-1） j(t+LX（t）- r）x（3）-j） f，C△= |J[f，r]|，对于J，k=1，2。对于R上的适当正则函数v=v（x），对于randt中的有界开集K∈ [0,1]，我们定义了pairingBK[v，~n；t]△=ZKXj，k=1Ajk（t，x）五、xjφxk-Xj=1Bj-Xk=1Ajkxk！（t，x）五、xj k+C（t，x）v k dx。设可测函数g=g（x）：R→ R一度是弱可微的，并假设存在一个常数N>0，这样：（A4）雅可比矩阵J[f，g]（1，·）在Ror上几乎处处都有满秩，对于R中的每一个有边界的开集K，存在一个属于Wp，0（K）的函数≥ 1，使得BK[g，~n；1]6=0和Gxj（x）≤ eN（1+|x |），x∈ R、 j=1,2。鉴于上述定义，我们用ψ定义标量值随机变量ψ△= g（X）e-Rr（t，Xt）dt。本文的主要结果是Orem 1（向前向后鞅表示）。假设（A1）、（A2）、（A3）和（A4）保持不变。然后是正倒向随机微分方程的解（SF，SB，Z）SFt=SF+Zte-Rur（s，Xs）ds(xfσ）（u，Xu）dWuSBt=e-Rr（u，Xu）挖（X）-中兴通讯-Rur（s，Xs）dsZudWu（5）定义良好。

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2022-5-8 06:48:59

此外，P下的每个局部鞅M是关于二维P-M art-ingale S=（SFt，SBt）的随机积分，即（1）成立，并且P下的市场模型是完全的。如果函数g=g（x）的正则性稍好一些，我们可以从经典意义上解释（A4）中所述的结构条件。为了说明这一点，我们定义了线性微分斜率Q（t）△=Xj，k=1Ajk（t，x）xjxk+Xj=1Bj（t，x）xj- C（t，x），t∈ [0,1]，并假设g=g（x）是两次弱可微的。然后，对于Ris中的所有有界开集K，BK[g，~n；1]6=0，相当于假设Q（1）G6=0，几乎在R上的每一个地方。定理1的证明在第5节给出，并依赖于抛物方程解的特殊光滑性和可积性，我们在第3节中获得，以及雅可比矩阵的不可测性，我们在第4.3节研究了（t，x）相关抛物线方程解的正则性∈ [0,1]×R，考虑一个椭圆算子org（t）△=Xj，k=1ajk（t，x）xjxk+Xj=1bj（t，x）xj+c（t，x），（6）其中系数ajk，bj，c:[0，1]×R→ R是可测函数并满足：（B1）映射t7→ ajk（t，·），t 7→ bj（t，·），t 7→ [0，1]到c的c（t，·）是H－older连续的，它们对（0，1）的限制是解析的。地图t 7→ ajk（t，·）是[0，1]到t7的连续映射→ bj（t，·），t 7→ c（t，·）是[0，1]到c的连续矩阵。矩阵a是对称的：aij=aji，且一致椭圆：存在N>0使得ya（t，x）y≥N | y |，（t，x）∈ [0,1]×R，y∈ 函数c是非正的：c（t，x）≤ 0，（t，x）∈ [0,1]×R.设g=g（x）：R→ R是一个可测函数，因此对于某些p>1：（B2）函数g属于Wp。定理2。假设条件（B1）和（B2）成立。在[0,1]×Rsuch that1上存在唯一的可测函数v=v（t，x）。

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2022-5-8 06:49:02

t 7→ v（t，·）是[0，1]到Wp，2的连续映射。t 7→ v（t，·）是（0，1）到Wp，3的解析映射。t 7→ v（t，·）是[0,1]到Wp，4.t7的p-可积映射→ tv（t，·）是[0，1]到wp的p-可积映射，使得v=v（t，x）解齐次柯西问题t+G（t）v=0，t∈ [0,1），（7）v（1，·）=g（8）证明。通过假设（B1），我们知道对于每个t∈ [0,1]和j，k=1,2，函数ajk（t，·）在C中。特别是，AJKw相对于x的一阶偏导数是有界的，因此矩阵a与x一致连续。在假设（B1）和（B2）下，在进行时间变化t时，立即得到第1项和第2项的断言→ 1.- [Kramkov and Predoiu，2014]中定理3.1中的t。此外，[Kramkov and Predo iu，2014]中的orem 3.1告诉我们T 7→ v（t，·）是[0，1）到lp的连续可微分映射，[0，1）到Wp的连续映射，这意味着v=v（t，x）属于W1,2p（[0，1）×R）。因此，考虑到矩阵函数a=a（t，x）的对称性和一致椭圆性，a（t，·）的一致连续性，每个函数jk（t，·），bj（t，·），c（t，·）都属于c=c（t，x）的非负性，我们可以使用推论5。2.4在[K rylov，2008]中，我们推导出v=v（t，x）实际上属于W1,3p（[0，1）×R）。第三项和第四项中的规则性紧随其后。在下一节中，我们将要求定理2的推论，其中假设可测函数g=g（x）曾经是弱可微的，并且具有以下性质：（B3）存在常数N，而不是（B2）≥ 0这样的-N |·|Gxj（·）∈ L∞, j=1,2。固定一个函数φ=φ（x）：R→ R、哪一个令人满意∈ C∞（R） φ（x）=|x |当|x |≥ 1.（9）推论1。假设条件（B1）和（B3）成立。设φ=φ（x）满足条件（9）。

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2022-5-8 06:49:08

证明是这样完成的：通过将常数N稍微大一点，情况p=1与情况p>1有细微的区别。对于（t，x）∈ [0,1]×Rde fi nevj（t，x）△=五、xj（t，x），j=1，2，（13），考虑椭圆算子△=Xj，k=1ajkxl（t，x）xjxk+Xj=1北京xl（t，x）xj+Cxl（t，x），l=1，2。（14）然后我们得到以下推论，这将在下一节中需要。推论2。假设条件（B1）和（B3）成立。设v=v（t，x）为推论1生成的函数，并将vjbe定义为（13）。然后vj=vj（t，x）解非齐次偏微分方程vjt+G（t）vj+Gj（t）v=0，t∈ (0, 1). （15）证据。从推论1中，我们知道函数v=v（t，x）对于x是弱可微的三倍，并且同一函数关于t的导数对于x是弱可微的。给定条件（B1），我们还知道算子G的系数对于x是连续可微的。因此，我们可以区分抛物线方程偏微分方程（7）与xj，j=1，2的关系表明vj=vj（t，x）满足（15）。4雅可比矩阵的可逆性a=a（t，x），b=b（t，x），c=c（t，x）和g=g（x）是第3节中的系数。

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2022-5-8 06:49:12

可测函数f=f（t，x）：[0，1]×R→ R对于x是弱可微的三倍，并且假设存在常数N≥ 因此，对于j，k，l=1，2，它持有：（B4）映射t7→ E-N |·|（0，1）到L的xjxkf（t，·）∞是解析的，地图t7→ E-N |·|[0,1]到L的xjf（t，·）∞是连续可微的，地图t7→ E-N |·|[0,1]toL的xjxkxl f（t，·）∞这就是我们。我们定义了[0,1]×RbyAjk上的函数A=A（t，x），B=B（t，x）和C=C（t，x）△= |J[f，ajk]|- 2(-1） j（H[f]a）（3-j） k，Bj△= |J[f，bj]|- (-1） j(t+G（t））x（3）-j） f，C△= |J[f，c]|，对于J，k=1，2。对于适当的正则函数v，а：R→ R、对于一个开放的，有界的集合K，用Rand表示∈ [0,1]，我们定义了pairingAK[v，k；t]△=ZKXj，k=1Ajk（t，x）五、xjφxk-Xj=1Bj-Xk=1Ajkxk！（t，x）五、xj~n- C（t，x）v~ndx。我们假设满足以下假设：（B5）雅可比矩阵J[f，g]（1，·）在Ror上几乎处处都有满秩，对于每一个开放的有界集K，对于某些p，存在一个属于Wp，0（K）的测试函数≥ 1，使得AK[g，~n；1]6=0。下面的定理是本节的主要结果，最终将允许我们证明定理1中所述的马尔代尔表示。定理3。假设条件（B1）、（B3）、（B4）和（B5）已就位。设v=v（t，x）为推论1提供的函数。那么雅可比矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）对于[0，1]×R上的勒贝格测度几乎处处都有满秩。在证明定理3之前，我们首先需要建立以下几个引理。设X和Y是Banach空间，E是X的开子集，考虑一个映射h:E→ Y.如果存在，我们用Dkhx表示h在x点的第k个Fr′echet导数∈ E众所周知，这构成了k折积X×。X X.因此，对于X，xk∈ 我们用Dkhx（x。

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2022-5-8 06:49:15

，xk）第k个Fr’echet差异。引理1。给定m矩阵m，C，C，C∈ R2×2，行列式映射在M处的一阶和二阶导数由d de t M（C）=Xl=1det M（l；C），Ddet M（C，C）=Xl=1det M（1，2；Cl，C3）给出-l）。证据这些表达式是[Bhatia and Jain，2009]中等式（4）和（6）的特例。定义线性偏微分算子p（t）△=Xj，k=1Ajk（t，x）xjxk+Xj=1Bj（t，x）xj+C（t，x），t∈ [0, 1].引理2。设f=f（t，x），v=v（t，x）：[0，1]×R→ R是可测函数，其在（0，1）×上罕见的关于t的一次弱可微函数，关于x的三次弱可微函数，关于t和x的一次弱可微函数，并且让G（t）和Gj（t）分别是（6）和（14）中定义的算子。定义fj△= xjf，vj△= xjv，j=1,2，并假设vj满足偏微分方程vjt+G（t）vj+Gj（t）v=0，t∈ (0, 1). （16）然后，行列式函数w=w（t，x）定义在[0,1]×Rby上△= |J[f，v]| s非齐次偏微分方程Wt+（G（t）+c）w=-P（t）v.（17）证明。考虑到我们关于f=f（t，x）和v=v（t，x）的可微性假设，我们可以区分关于t的决定函数w=w（t，x）。让我们回顾一下这个引理J的整个证明△= J[f，v]。Fr’echet微分演算中链式规则的简单应用（参见[Bhatia，1997年，第X.4章]）以及Vjs满足偏微分方程（16）的事实Wt=D det J-G（t）J-xG（t）五+t+G（t）xf, T∈ (0, 1).

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何人来此

2022-5-8 06:49:19

（18）直接计算G（t）w，并使我们e的恒等式2c det J=cD det J（J）和Fr’echet导数的线性度表明，我们可以替换该项-D用xj，k=1ajkDdet J表示上述J（G（t）J）Jxj，Jxk- （G（t）+c）w，t∈ (0, 1).通过引理1中导出的行列式映射的一阶和二阶Fr′echet导数的显式公式，以及矩阵函数a的对称性，我们经过一些计算得到了Wt+（G（t）+c）w=2Xj，k=1ajk | J[fj，vk]|+(t+G（t））xf十五-xf(xG（t））v.收集xjxkv，xjv和v产生结果。引理3。设γj，η：[0，1]×R→ R、 j=1，2是可测函数，当p>1时，映射t7→ γj（t，·），t7→ η（t，·）[0，1]对Lp，loc是连续的。设K是一个开放的、有界的集合，其秩为φ=φ（x），是一个属于Wp′，0（K）的测试函数。然后，对于每个t∈ [0,1]，配对＠AK（＠；t）△=ZKXj=1γj（t，x）φxj+η（t，x）~ndx是Wp′，0（K）上的有界线性泛函。此外，地图t 7→~AK（·；t）在[0,1]到W的amap中是连续的-1p（K）。证据通过三角不等式和H¨older不等式，对于每个t∈ [0, 1],■AK（η；t）≤ZKXj=1γj（t，x）φxj+ |η（t，x）|dx≤ k~nkWp′（k）Xj=1kγj（t，·）kLp（K）+Kη（t，·）kLp（K）,这意味着线性泛函的有界性。证明映射t7的连续性→~AK（·；t）[0,1]到W-1p（K），注意每个∈ [0,1]，~AK（·；t）在Wp′，0（K）的对偶空间中。我们记得Wp′，0（K）的对偶空间与W是等距同构的-1p（K）。因此~AK（·；t）-■AK（·；u）W-1p（K）≤Xj=1kγj（t，·）- γj（u，·）kLp（K）+Kη（t，·）-η（u，·）kLp（K），这意味着映射t7的期望连续性→通过mapst 7的连续性确定AK（·；t）→ γj（t，·），t7→ η（t，·）[0，1]对Lp，loc。证据

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2022-5-8 06:49:22

对于定理3的证明，我们定义了新的（t，x）△= |J[f，v]|（t，x），（t，x）∈ [0，1]×R.当且仅当setG△= {（t，x）∈ [0,1]×R:w（t，x）=0}在[0,1]×R上有勒贝格测度零。这相当于塞斯△= {x∈ R:ZG（t，x）dt>0}在R上有勒贝格测度为零。从推论1和（B4）我们推断，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-Nφ（·）w（t，·）作为（0，1）到Wp的映射进行分析。此外，根据Sobolev的嵌入定理，对于p>2，它也是解析的，如（0，1）到C的映射。对于一个矛盾，thatZRH（t，x）dx>0。从t7的分析性→ w（t，·），因此如果x∈ H然后w（t，x）=0表示所有t∈ （0,1）然后这个极限↑1w（t，x）=0，x∈ H.我们首先证明了定理的要求，即suming J[f，g]（1，x）几乎在R上的每个位置都有满秩。从推论1和（B4）我们知道，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-[0,1]到lps的Nφ（·）w（t，·）是连续的。因此，地图t 7→ [0，1]到Lp的w（t，·）是连续的，因此，对于R中的所有开有界集K，kw（t，·）- w（1，·）kLp（K）→ 0，t↑ 1.我们推断几乎所有地方的w（1，·）=J[f，v]|（1，·）=0。现在回想一下，通过（B5），矩阵函数J[f，v]（1，·）=J[f，g]（1，·）几乎在R上的每一个e上都有满秩。现在让我们假设，对于R中的每一个开放的有界集K，都存在一个属于Wp′，0（K）的测试函数，使得AK[g，~n；1]6=0。从推论1和（B4）我们知道，函数f=f（t，x）和v=v（t，x）满足引理2的可微性假设，从推论2可知VJ满足偏微分方程（16）。由（17）可知，对于所有（t，x），ifw（t，x）=0∈ （0，1）×H，那么P（t）v=0表示所有（t，x）∈ （0，1）×H。从推论1我们知道，对于每一个p≥ 1，t 7→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1]到Wp的连续映射。

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kedemingshi

2022-5-8 06:49:26

特别是，对于每一个p>1，t7→ v（t，·）和t7→ xjv（t，·）是[0，1]到Lp，loc的连续映射。假设（B1）和（B4）也意味着t7→ Ajk（t，·），t 7→ Bj（t，·），t 7→ C（t，·），t7→xk-Ajk（t，·）是每一个p>1的[0，1]到Lp，loc的连续映射。引理3得出结论，对于任何开的有界集K′ H、对于Wp′、0（K′）类的任何测试函数和任何固定t∈ [0,1]配对AK′[v，·；t]是Wp′，0（K′）上的有界线性泛函。实际上，福特∈ （0,1），AK′[v，~n；t]=0是偏微分方程P（t）v=0的弱公式。因此，对于所有t，AK′[v，~n；t]=0∈ （0,1）和属于Wp′、0（K′）的每一个魟=魟（x）和该极限↑1AK′[v，а；t]=0，а∈ Wp′，0（K′）。同样从引理3我们知道，映射t7→ AK′[v，·；t]作为[0，1]拖的映射是连续的-1p（K′）因此thatkAK′[v，·t]- AK′[v，·；1]kW-1p（K′）→ 0，t↑ 1.由此得出，对于每一个φ，AK′[v，φ；1]=AK′[g，φ；1]=0∈ Wp′，0（K′）。现在回想一下（B5），对于每个开放的有界集K和一些p>1，存在一个测试函数∈ Wp′，0（K）这样的AK[g，~n；1]6=0.5定理1的证明从这里开始，我们采用第2节中介绍的符号，并假设条件（A1）、（A2）、（A3）和（A4）在平面上。我们在满足（9）的条件下定义了一个函数φ=φ（x），并回忆起LX（t），t∈ [0,1]是过程X:引理4的内部生成元。[0,1]×Rand a constantN上存在唯一的连续函数v=v（t，x）≥ 0，使以下内容保持不变：1。每p≥ 1，（a）t7→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1]到Wp，（b）t7的连续映射→ E-Nφ（·）v（t，·）是（0，1）到Wp，（c）t7的解析映射→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1）到Wp，（d）t7的p-可积映射→ E-Nφ（·）tv（t，·）是[0，1]到Wp，2的p-可积映射。

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2022-5-8 06:49:29

函数v=v（t，x）解决了齐次柯西问题五、t+（LX（t）- r） v=0，t∈ [0,1）、（19）v（1，·）=g（20）3.雅可比矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）几乎在[0,1]×R上的勒贝格测度的所有地方都具有满秩。下文中，我们用v=v（t，x）表示引理4中定义的函数。证据观察到（A1）、（A2）、（A3）和（A4）在理论3中的相应系数上暗示（B1）、（B3）、（B4）和（B5）。v和J[f，v]的断言现在直接从mTheorem 3开始。引理5。鞅△= E【ψ| Ft】是一个完整的定义，其表示形式为sbt=v（t，Xt）E-Rtr（u，徐）杜。（21）此外，对于t∈ （0,1），dSBt=e-Rtr（u，徐）杜(xvσ）（t，Xt）载重吨。（22）证据。假设过程SBI实际上由（2 1）定义。从v在[0,1]×Rit上的连续性可以看出，它实际上是[0,1]上的一个连续过程，从v（1，·）的表达式（20）可以看出SB=ψ。因此，为了完成证明，仍然需要证明由（21）给出的SB是测度P下的鞅。从引理4我们知道映射t7→ E-Nφ（·）v（t，·）解析为（0，1）到Wp的映射；特别是，它是连续可区分的。这使得我们可以根据Krylov（参见[Krylov，1980，第2.10节，定理1]）使用It^o公式的一个变体，并考虑（19），我们立即得到（22）。我们已经证明了SBI是一个连续的局部鞅。现在只剩下验证过程的一致性。回想一下，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-Nφ（·）v（t，·）从[0，1]到Wp是连续的。根据Sobo le v的嵌入定理，对于p>2，相同的映射从[0,1]到C是连续的。

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2022-5-8 06:49:33

因此，|v（t，x）|≤ eN（1+| x |）。特别是，考虑到r=r（t，x）的增长特性，supt∈[0,1]（|SBt |）≤ eN（1+支持）∈[0,1]| Xt |）。作为主管∈[0,1]|Xt |具有所有指数矩，sb的鞅性质如下。定理1的证明现在很容易完成。等式（5）和（22）表明（dSFt=e-Rtr（u，徐）杜(xfσ）（t，Xt）dWt，dSBt=e-Rtr（u，徐）杜(xvσ）（t，Xt）载重吨。（23）通过（A1）、（A2）和（A3）中r=r（t，x）、f=f（t，x）和σ=σ（t，x）的增长性质，可以很容易地证明连续局部鞅le SF=（SFt）也是真鞅。鉴于（23），我们得到了-Rtr（u，Xu）du（J[f，v]σ）（t，Xt）dWt，t∈ [0, 1].我们记得，根据布朗积分表示性质，每个P-局部鞅M都是关于W:dMt=~HtdWt，t的随机积分∈ [0,1]，对于某些渐进可测的平方可积过程ss＠H=（＠Ht）。因此，为了导出积分表示性质（1），需要证明矩阵过程（J[f，v]σ）（t，Xt），t∈ [0,1]，（24）在Ohm ×[0,1]几乎肯定是在乘积测度dP×dt下。从引理4我们知道矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）在[0，1]×R上的勒贝格测度下几乎处处都有满秩。从（A1）中的非奇异性假设我们知道，在[0，1]×R上的勒贝格测度下，矩阵函数σ=σ（t，x）几乎处处都有满秩Ohm ×[0，1]几乎可以肯定，根据（A1）的事实，Xt的分布在Lebesgue测度R下有一个密度，参见[Stroock and Varadhan，2006，定理9.1.9]。6示例：一类随机波动率模型在本节中，我们应用我们的主要结果定理1来证明一个金融市场的完备性，其中一只股票的价格过程P=（Pt）和一只看涨期权的价格过程V=（Vt）被交易。

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2022-5-8 06:49:36

过程P和V定义为dpt=rPtdt+ν（Yt）PtdWtdYt=（α（m-Yt）- u（Pt，Yt））dt+σ（Yt）dWtVt=e-r（1）-t） E[（P- Γ）+|Ft]，（25）对于常数Γ，α，m，r∈ R wΓ>0，R≥ 0.这尤其包括[Fouque等人，2000年，方程式（2.7），第43页]中介绍的随机波动性模型。系数ν，u，σj:R→ R、假设j=1，2满足以下条件：（C1）存在常数N，D，ρ，>0，使得∈ R、 ν（y）>N和σj（y）>N；导数dν/dy（y）6=0，几乎在R上的所有地方，且函数ν，σjandu（p，·）是完全可微分且满足的kuyk（p，y）+kνyk（y）+kσjyk（y）≤Dk！（ρ+| y |）k，（p，y）∈ R×R。函数u=u（p，y）在p和y中具有第一和第二连续导数基尼lpu∈ L∞, l=0,1,k=1,2,l+k≤ 2.我们现在准备陈述本节的主要结果。定理4。假设条件（C1）满足，那么（25）定义的（Pt，Vt）市场就完成了。备注3。我们提请注意，在（C1）中，对（25）的系数的空间正则性进行适当的假设是非常必要的，因为我们允许P根据几何布朗运动进行演化，Y具有均值回复动力学，而在系数无界的情况下。从下面的定理4的证明中可以很容易地看出这一点。在这种特殊的动力学选择中，定理1假设的验证要简单得多。备注4。满足（C1）中的ν和σ条件的函数的两个具体例子是arctan和tanh函数的sca-led和移位版本。证据

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2022-5-8 06:49:39

考虑随机过程△= 对数Pt，SFt△= E-rt+Xt，Xt△= eαt（Yt）- m），SBt△= E[E]-r（前）- Γ）+|Ft]。通过简单应用It^o公式，我们发现=R-ν（m+e）-α（tXt）dt+ν（m+e）-αtXt）dWtdXt=-eαtu（eXt，m+e-αtXt）dt+eαtσ（m+e-αtXt）dWt。我们定义了ν（t，x）△= ν（m+e）-αtx），σj（t，x）△= σj（m+e）-αtx）和¨u（t，x，x）△= u（ex，m+e-αtx）。现在，通过附录A中的引理6，观察地图T7→ [0,1]toC（R）的∧ν（t，·），∑j（t，·）和映射t7→ [0,1]到C的*u（t，·，·，·）是分析性的。通过计算t的导数，并使用（C1）中的u、ν和σj的导数上的bo unds，可以很容易地验证映射t 7→ ~ν（t，·），~σ（t，·）是[0,1]到C（R）和mapt 7的连续→ μ（t，·，·，·）在[0，1]到C之间是连续的。因此，条件（A1）-（A3）满足。仍需验证条件（A4）。定义为f（x）△= E-r+x，a（x）△= （△ν（1，x）），a（x）△= eα（△νσ）（1，x），b（x）△= R- （1/2）（ν（1，x）），g（x）△= E-r（前）- Γ）+配对BKbecomesBK[g，Γ；1]=ZKXk=1dfdxda1kdxφxk+xkdfdxda1kdxφdgdx- 2DFDxDxDxDgDx~ndx=e-rZK∩（十）≥日志（Γ））exdivdfdxdadxа，dfdxdadxа- 2exdfdxdbdx~ndx=-（e）-rΓ）Z^Kdadxˋ（logΓ，·）dx，其中^K△= K∩ （x=log（Γ）），最后一步是散度理论的一个变体，以及db/dx=-（1/2）da/dx。Sincedadx（·）=2~nνd~ndx（1，·）=2e-ανdνdy（m+e）-α·），由（C1）可知，对于Rwe c中的e极有界开集K，对于某些p>1，可以找到一个函数φ=φ（x）inWp，0（K），使得BK[g，φ；1]6=0。例如，我们可以选择函数的适当截断、移位和缩放d版本-|x |。现在的结果遵循定理1。感谢Dmitry Kr amkov向我介绍了衍生证券市场的完整性，并进行了有趣的讨论。

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2022-5-8 06:49:42

我要感谢Leonar d Monsaingeon a和Peter Tak\'ac对所提交作品的讨论，以及Johannes Ruf对本文件早期版本的评论。解析性作为函数组合的映射定理4的证明需要下列引理。引理6。设S是R中的有界开集，可测函数g=g（x）：R→ R、 f=f（t，x）：S×R→ R的性质是g（·），f（·，x）是连续可微的，f（t，·），tf（t，·）是两次连续可微的，假设R上存在一个连续函数C=C（x），常数sδ，R，D，R，>0，使得公斤xk（x）≤Dk！（r+| x |）k，x∈ R、 δ| C（x）| k！Rk≤kftk（t，x）≤ |C（x）| k！Rk，（t，x）∈ S×R，对于k=1，2。，然后是地图t 7→ h（t，·）△= （g）o f）（t，·）作为S到C（R）的映射进行分析。证据为了证明分析性断言，我们必须证明正常数M>0的存在，这样khtk（t，·）C（R）≤Mk！Lk，t∈ S.（26）根据我们的差异性假设，我们可以应用Fa’a di Bruno公式来获得khtk（t，x）=Xk！α! . . . αk！|α| gx |α|（f（t，x））FTα. . .Kkftkαk（t，x），其中总和取所有α，αk例如α+2α++kαk=k。使用[Krantz and Parks，2002，第18页]中g和f的导数以及引理1.4.1的估计，我们估计khtk（t，·）≤ KDRkX |α|！α! . . . αk！|C（x）| r+δ| C（x）||α|=k！D | C（x）| Rk（r+δ| C（x）|）1+| C（x）|r+δ| C（x）|K-1=D | C（x）| r+（1+δ）| C（x）|“k！Rkr+（1+δ）|C（x）|r+δ|C（x）|k#。取范数后，估计值（26）为M=D/（1+1δ）和L=Rδ/（1+2δ）。参考文献[Anderson and Raimondo，2008]R.M.Anderson and Raimondo，R.C.（2008）。均衡不连续时间金融市场：内生动态完全市场。《计量经济学》，76（4）：841-907。[Bhatia，1997]Bhatia，R.（1997）。矩阵分析。

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2022-5-8 06:49:46

主题学硕士学位论文。斯普林格。[Bhatia and Jain，2009]Bhatia，R.and Jain，T.（2009）。行列式的高阶导数和扰动边界。线性代数及其应用，431（11）：210 2–2108。[Davis and Obl\'oj，2002]Davis，M.and Obl\'o j，j.（2002）。使用期权完成市场交易。《金融数学的新进展》，班纳赫中心出版物第83卷，第49-60页。[Fouque et al.，2000]Fouque，J.-P.，Sircar，R.，和Papanicolaou，G.（2000）。具有随机波动性的金融市场中的衍生品。剑桥大学出版社。[Friedman，1975]弗里德曼，A.（1975）。随机微分方程与应用，概率与数理统计第一卷。学术公关。[Harrison and Pliska，1983]Harrison，J.M.and Pliska，S.R.（1983）。连续交易的随机模型：完全市场。随机过程及其应用，15（3）：313-316。[Hugonnier等人，2012]Hugonnier，J.，Malamud，S.，和Trubowitz，E.（2012）。差异驱动的均衡市场的内生完全性。《计量经济学》，80（3）：1249-1270。[Karatzas and Shreve，1998]Ka ratzas，I.and Shreve，S.E.（1998）。数学金融方法。斯普林格。[Kramkov and Predoiu，2014]Kramkov，D.and Predoiu，S.（2014）。金融经济学中内生完备性问题引发的鞅的积分表示。随机过程与应用，124（11）：81-100。[Krantz and Parks，2002]Krantz，S.G.and Parks，H.R.（2002）。真正的分析函数入门。巴斯勒·莱布彻。Birkh–auser高级教材。[Krylov，1980]Kry lov，N.V.（1980）。受控扩散过程，数学应用第14卷。斯普林格。[Krylov，2008]Kry lov，N.V.（2008）。Sobolevspace中的椭圆和抛物方程讲座，数学研究生学习第96卷。

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