信息套利的价值 - 外文文献专区

2022-6-9 21:26:23

信息套利的价值Huy N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTA NAAbstract。在一个完整市场的一般半鞅模型的背景下，我们的目标是回答以下问题：投资者愿意花多少钱来学习一些允许套利的内部信息？如果存在这样的价值，我们称之为信息套利的价值。特别是，我们感兴趣的是内幕信息带来的是机会，而不是风险有界的无限利润。本着Amendingeret al.（2003，Finance Stoch）的精神，我们通过采用差异估值方法，对上述问题提供了一般性答案。为此，我们在具有内部信息的模型上建立了一些新的结果，并研究了初始信息和套利情况下的最优投资消费问题，同时考虑了杠杆头寸的可能性。我们刻画了信息套利的价值何时具有普遍性，即它不依赖于参考结构。我们的结果用几个明确的例子加以说明。1、简介信息的概念在投资决策分析中起着至关重要的作用。与经济直觉相一致，获得更精确的信息源为投资组合的更好表现提供了信息优势。

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2022-6-9 21:26:26

量化这种信息优势的问题是金融领域的一个核心问题，一直吸引着金融经济学和数学金融领域的极大关注。在这项工作中，我们开发了一种通用方法，用于在代表内部信息的随机变量（用L表示）的弱假设下，在完整市场的一般半鞅模型的背景下，以货币形式量化与某些内部信息相关的信息优势。我们采用差异估值法，确定一个值π（v），该值使得风险规避代理人的初始资本v在以下两种选择之间存在差异：（i）根据ly上的公开可用信息，对初始资本v进行最佳投资；（ii）以π（v）的价格获取内幕信息L，并对剩余资本进行最优投资- π（v）依靠内部信息丰富的公开信息。通过差异估值方法量化信息的想法可以追溯到信息经济学的早期贡献，尤其是参见【68级、MR72级、Mor74级、Wil89级】。日期：2018年8月7日。2010年数学学科分类。60G44、91B44、91G10。关键词和短语。内部信息；信息的价值；初步扩大过滤；套利机会；差异价格；影响力投资组合优化；密度假说；鞅表示。作者感谢Albina Danilova、Martin Larsson、Martin Schweizer以及研讨会参与者atETH Z¨urich和伦敦政治经济学院对本论文主题的宝贵讨论和建议。Huy N.Chau获得匈牙利科学院“Lend¨ulet”基金LP2015-6和NKFIH（Hun gary国家研究、发展和创新办公室）KH 126505.2 Huy N.的支持。

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2022-6-9 21:26:29

CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana【ABS03】中的现代数学金融也采用了同样的方法，这是目前工作的主要出发点。测量信息价值的另一种方法是计算informedagent的效用增益，如[PK96、AIS98、Hil05、ADI06、HJ17]中所述。然而，这使得人们不再用效用而不是货币单位来表达信息的价值。目前工作的一个主要特点是，我们明确允许内幕信息为知情的代理人创造套利机会。现有文献未涵盖这种情况，但极端情况除外，即L的知识是如此丰富，以至于对知情代理人的效用有限（参见，例如，[PK96，AIS 98]）。相反，我们假设可以利用内部信息来实现套利机会，但无法实现风险有界的无限利润（这代表了能够有效解决最优投资组合问题的最小条件，请参见[KK07，CDM15，CCFM17]）。在此框架中，我们将L的差异值称为信息套利的价值。正如我们将要展示的那样，每当内幕信息显示某些事件实际上不可能发生时，就会出现信息套利，这些事件被公众舆论认为是以严格的正概率发生的。为了说明信息套利价值的概念，让我们给出一个简单的例子，第5.1节将对其进行更一般的分析。示例1.1。考虑一个具有单一风险资产的金融市场，价格过程st=exp（Wt- t/2），对于所有t∈ [0，1]，其中（Wt）t∈[0,1]是标准布朗运动。

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2022-6-9 21:26:32

普通信息（公开可用）仅通过观察价格过程给出，对应于过滤F=（Ft）t∈[0,1].我们假设内部信息由随机变量L=1{W在t=0时的观测值表示≥0}. 换言之，观察变现情况的知情代理人在交易开始前就知道资产的终值是否会高于或低于阈值1/√e、知情代理可用的信息流由初始放大过滤G=（Gt）t描述∈[0,1]，其中Gt=Ft∨ 所有t的σ（L）∈ [0, 1].很明显，原始信息不允许任何类型的套利，每个风险规避代理都会选择不交易风险资产。相反，内部信息会产生套利机会，也可以通过适当的选择买入和持有策略来实现。从这个意义上讲，我们说L产生信息套利，我们的目的是确定差异值π（v），即初始财富v>0的代理人在交易开始前接受支付f或学习实现L的最大金额。在这个例子中，我们将表明，对于任何被限制投资于非负投资组合的风险厌恶代理人，信息套利的价值总是由π（v）=v/2给出。这意味着，虽然获取内幕信息很有吸引力，但风险厌恶型代理人不可能牺牲超过其初始财富一半的财富，以获得获得仲裁的可能性。此外，存在一种套利策略，它代表了每一个风险厌恶的知情代理人的信息套利3交易策略的最优价值。

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2022-6-9 21:26:35

参考第5.1节对该示例的详细分析，我们指出值π（v）呈现出显著的特征，即作为一个不同的值，它不依赖于偏好结构。在目前的工作中，我们旨在揭示内幕信息的哪些特征是套利出现的根源，并在一般情况下理解信息仲裁的差异价值。受例1.1的启发，与[ABS03]中的情况类似，该问题是在最初扩大过滤的背景下自然形成的。然而，为了考虑到信息套利的可能性，我们必须背离传统的假设，即Lis独立于原始信息流，可以找到一个等效的概率测度（在[ABS03]中称为耦合测度）。解耦措施的概念可以追溯到过滤扩大理论的早期工作，并在内部交易文献中得到广泛应用（例如，参见[GP98、GP01、Ame00、Cam05、Hil05、HJ17]）。d ecouplin g测度的存在意味着L的F-条件定律与其无条件定律之间的等价性，并允许轻松地将F的大部分性质转移到最初扩大的过滤g中，包括（半）鞅性质、市场完整性，以及最重要的是，无套利。我们假设Jacod密度假设的有效性，如开创性论文[Jaco85]中介绍的那样。该条件明显弱于解耦测度的存在，因为它对应于L的F条件定律相对于其非条件定律的绝对连续性（但不一定等价）。虽然从等价关系到绝对连续关系的过程可能看起来是一种技术概括，但事实证明，这需要发展一种新的方法。

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2022-6-9 21:26:38

最重要的是，它允许内幕信息产生套利，如示例1.1所示，从而涵盖现有作品无法解决的情况。本文的主要结果和贡献如下。首先，我们在最初扩大的过滤G中提供了一个新的鞅表示结果，表明市场完整性可以从F转移到G，直到数量发生变化。根据这一结果，我们获得了具有消失风险的无免费午餐（NFLVR，见[DS94，DS98]）和具有有界风险的无无界利润（NUPBR，见[KK07]）的有效性的完整表征。这组理论结果为研究内幕信息下以及可能存在套利机会时的最优消费投资问题提供了必要的基础。我们考虑由公用事业随机领域和arandom消费时钟描述的偏好，并假设允许代理人进入杠杆头寸，达到固定信贷额度的限额。我们通过对偶方法提供了一个一般解，该解揭示了套利和杠杆之间的相互作用，并且可以在典型效用函数的情况下显式表示。反过来，这使我们能够研究内幕信息L的差异值π（v）。在自然假设下，我们证明π（v）是有限的，并且无论偏好结构如何，只要L所揭示的信息允许实现套利机会，允许的杠杆率也严格正且递增。对于对数和幂效用函数，我们获得了π（v）的显式表达式，从而推广了[ABS03]的结果，并证明了[LPS10]中报告的一些经验发现。

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能者818

2022-6-9 21:26:41

此外，我们为信息套利的价值提供了通用边界，并描述了内幕信息的差异值为a4 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAuniversal值时的特征，该值不依赖于偏好结构，如示例1.1所示。特别是，我们表明，这只能在存在套利的情况下发生。1.1. 论文的结构。在第2节中，我们介绍了一般情况，包括与两种不同的过滤相关的两个金融市场。我们提供了一个新的鞅表示结果，并研究了存在内幕信息时的（无）套利性质。第3节讨论了一般偏好下的最优消费投资问题，考虑了非平凡的初始信息、杠杆和套利。在第4节中，我们研究了内部信息的差异值，并描述了在何种条件下它是一个普遍值。第5节包含三个示例。为了更好的可读性，第6节收集了校样。第7节最后讨论了市场完整性的作用，并指出了进一步研究的可能方向。1.2. 符号在本文中，我们采用以下约定和符号，参考[HWY92，J S03]中与随机微积分相关的所有未解释概念。让(Ohm, A、 P）被赋予某种过滤H=（Ht）t的代理概率空间∈[0，T]满足右连续性和P-完备性的一般条件，T∈ (0, +∞) 固定的时间范围。我们用m（P，H）（Mloc（P，H），r esp.）表示鞅集（局部鞅，resp.）在上(Ohm, H、 P）并假设每个局部鞅都有c\'adl\'ag路径a.s。

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2022-6-9 21:26:44

对于给定的Rd值半鞅X=（Xt）t∈[0，T]打开(Ohm, H、 P），我们用L（X，H）表示所有H-可预测Rd值过程的集合φ=（φt）t∈[0，T]在过滤H中可与X积。回想一下，集合L（X，H）在测量e的等效变化下是不变的（参见，例如[HWY92，定理12.22]）。ν的随机积分∈ 相对于X的L（X，H）用（Д·X）t表示：=R（0，t]udXu，对于所有t∈ [0，T]，其中（Д·X）=0。最后，我们分别用O（H）和P（H）表示，在Ohm ×[0，T]关于过滤H。对于适应的过程=（Yt）T∈[0，T]，我们写Y∈ O+（H）表示Y是一个非负O（H）可测过程。2、普通金融市场和内幕金融市场在本节中，我们首先介绍了普通金融市场（第2.1节），包括参考过滤F中的一般无障碍完整金融市场。在第2.2节中，我们介绍了与内幕信息相关的初始扩大过滤G，并在第2.3节中陈述了新的鞅表示结果，我们描述了内部信息下金融市场的（无）套利性质。2.1. 普通金融市场。我们考虑一个概率空间(Ohm, A、 P）赋予过滤F=（Ft）t∈[0，T]满足通常条件，其中T<+∞ 代表固定的投资期限。为了表示的简单性，我们假设初始西格玛场FI是微不足道的。在上(Ohm, F、 P），我们让S=（St）t∈[0，T]是一个d维非负半鞅，表示d风险资产的价格，相对于一些基准证券贴现。我们称普通金融市场为元组(Ohm , F、 P；S），其中过滤F用于呈现公开可用的信息。

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2022-6-9 21:26:48

我们假设S满足了不自由午餐的要求，S的非负性假设是为了表示简单，并且可以通过引入sigma鞅的概念（例如，参见[DS98，TS14]）来放松，但需要稍微增加一些技术性。信息套利的价值5消失风险（NFLVR）条件(Ohm , F、 P），见[DS98]。更具体地说，我们将在本文中假设以下条件的有效性。长期假设1。存在唯一的概率测度Q(Ohm, FT）这样~ P和S∈ Mloc（Q，F）。假设1意味着普通金融市场(Ohm, F、 P；S）无套利（NFLVR意义上）且完整。实际上，根据[Jac79，定理11.3]，每个局部鞅(Ohm, F、 Q）可以表示为S的随机积分。特别是，每个FT可测量（有界）连续索赔都可以通过自我融资交易进行复制。我们用Z=（Zt）t表示∈[0，T]Q相对于F上P的密度过程，即Zt=dQ | Ft/dP | Ft，对于所有T∈ [0，T]。回想一下，z是上的严格正鞅(Ohm, F、 P）Z=1。备注2.1。假设1可以通过只要求S上存在唯一的等价局部鞅函数来放宽(Ohm, F、 P）（见[Kar12]）。这是NUPBR坚持的理由(Ohm, F、 P；S），从而使投资组合优化问题可以在F中得到有意义的解决。鉴于[SY98，推论2.1]，该条件也有助于确保普通金融市场(Ohm, F、 P；S）已完成。然而，由于本论文的主要目的是研究内幕信息产生套利机会的价值，当仅在普通信息的基础上无法实现套利机会时，我们发现在假设1.2.2下工作更为自然。最初扩大的过滤G。

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2022-6-9 21:26:51

我们假设内部信息是由一个可测量的随机变量L生成的，该变量在一个Lusin空间（E，BE）中取值，其中Bedenotest是E的Borel sigma场。相关的初始大过滤G=（Gt）t∈[0，T]被定义为包含F的最小过滤，并且L是G-可测量的，即Gt：=Ft∨ σ（L），对于所有∈ [0，T]。我们用λ表示：BE→ L的无条件定律，因此λ（B）=P（L∈ B）所有B的保持架∈ 是的。对于每个t∈ [0，T]，设νT：Ohm×BE→ [0，1]是L的Ft-conditionallaw的常规版本（由于（E，be）是Lusin，因此始终存在）。在整篇论文中，我们将假设以下条件的有效性，这是雅科德在扩大过滤理论中的密度假设（见[J ac85]）。长期假设2。对于所有t∈ [0，T]，νT<< λ在a.s.意义上成立。为了证明H′-假设的有效性，假设2被引入到s-eminal工作[Jac85]中，即每个F-半鞅也是一个G-半鞅。在无摩擦金融市场中，semimartin gale属性的失效与NUPBR不相容（见[KP11]），而NUPBR又是解决投资组合优化问题的必要条件（见[KK07，建议4.19]）。因此，H′-假设的有效性代表了我们框架中的一个必要要求（在这方面，另见备注3.9）。我们工作的一个中心特点是，假设2只需要作为一个绝对连续性关系而不是作为一个等价关系来保持，如导言中所解释的那样。事实证明，这一事实与G中是否存在套利机会密切相关（见定理2.4）。首先，下面的引理给出了假设2的一些基本结果。市场完整性假设的相关性将在第7.6节HUY N中讨论。

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2022-6-9 21:26:54

CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANALemma 2.2。过滤G是右连续的，且每个半鞅(Ohm, F、 P）也是半鞅on(Ohm, G、 P）。存在一个（BE O（F））-可测函数E×Ohm ×【0，T】（x，ω，t）7→ qxt（ω）∈ t中的R+、c\'adl\'ag∈ [0，T]这样：（i）对于每个T∈ [0，T]，νT（dx）=qxtλ（dx）保持a.s。；（ii）每x∈ E、过程qx=（qxt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, F、 P）。此外，对于所有t，它认为P（qLt>0）=1∈ [0，T]。在目前的假设条件下，我们可以建立以下命题，该命题提供了初始放大过滤G的基本鞅表示结果。命题2.3。设M=（Mt）t∈[0，T]是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。然后存在一个过程K=（Kt）t∈[0，T]∈ L（S，G）使mt=ZtqLtM+（K·S）ta、 s.适用于所有t∈ [0，T]。上述命题证明了s的martin gale表示性质(Ohm, F、 Q）可以转移到P下最初扩大的过滤G，直至适当的“数量变化”，由过程Z/qL表示。此外，过程Z/qL在研究S的（无）套利性质方面起着关键作用(Ohm, G、 P），我们将在第2.3.2.3节中看到。内幕信息下的市场生存能力。拥有内幕信息的代理人（知情代理人）应该能够访问L生成的信息，即最初扩大的过滤。知情代理人可以交易普通金融市场上可用的同一组证券，但在构建投资组合时可以依赖信息流。

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2022-6-9 21:26:57

我们称之为元组(Ohm, G、 P；S）金融市场内幕人士回顾，假设2确保S是上的半鞅(Ohm, G、 P）（见引理2.2）。我们特别感兴趣的是，byL产生的额外信息会产生套利机会，因此NFLVR不会在内幕市场中占有一席之地(Ohm, G、 P；S）。然而，我们需要确保(Ohm , G、 P；S）仍然代表着一个可行的金融市场，因为投资组合优化问题可以得到有意义的解决。为此，鉴于[KK07，命题4.19]，最小无套利要求由名词有界利润和有界风险（NUPBR）条件表示，定义为集合概率的有界性（Д·S）T:Д∈ L（S，G）和d（Д·S）t≥ -1 a.s.适用于所有t∈ [0，T]. 根据【TS14，定理2.6】（也可参见【Kar12，定理2.1】，在d=1的情况下），满足NUPBR(Ohm, G、 P）如果且仅如果：=Z∈ Mloc（P，G）：Z>0，Z=1和ZS∈ Mloc（P，G）6= ,Z表示S上的等价局部鞅导数集（ELMDs）(Ohm, G、 P）。以下结果提供了投资者市场（无）套利性质的完整特征(Ohm, G、 P；S），从NUPBR和NFLVR的角度来看。定理2.4。假设空间L(Ohm, FT，P）是可分离的。然后，NUP B R保持不变(Ohm, G、 P）当且仅当集合{qx=0<qx-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ E、在本例中，它认为Z={Z/qL}。此外，以下属性是等效的：信息套利的价值7（i）满足NFLVR(Ohm, G、 P）；（ii）对于所有t∈ [0，T]，λ<< νa.s.意义上的tholds；（iii）对于λ-a.e，P（qxT>0）=1。

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2022-6-9 21:26:59

x个∈ E（iv）E【1/qLT】=1；（v） E【ZT/qLT】=1；（vi）过程1/qL=（1/qLt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, G、 P）；（vii）过程N/qL=（Nt/qLt）t∈[0，T]是上的鞅(Ohm, G、 P），每N∈ M（P，F）。{qx=0<qx的条件的有效性-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ 【AFK16，定理1.12】（另见【ACJ15，定理6】）中显示了G中NUPBRto保持的E。在我们的背景下，金融市场的完整性使我们能够证明，同样的条件也是NUPBR持有的必要条件(Ohm, G、 P；S）。我们指出，在定理2.4中，分离性假设仅在必要性部分的证明中需要。受上述定理的启发，我们现在介绍我们的最后一个长期假设，这将贯穿全文。长期假设3。集合{qx=0<qx-} 对于λ-a.e.x，是消失的∈ E、我们对密度Qx可以达到零的情况特别感兴趣，因为这与内部金融市场中存在的套利机会密切相关(Ohm, G、 P；S）。总的来说，密度Qxc可以连续达到零，也可以由于跳到零而达到零。假设3排除了ju mp归零的行为。如图2.4所示，在我们的假设下，S的ELMD集合(Ohm, G、 P）非空，由一个单态组成。特别是，鉴于【SY98，推论2.1】，后者意味着内幕金融市场(Ohm, G、 P；S）继承了普通金融市场的完整性(Ohm , F、 P；S）。定理2.4的最后部分给出了内幕信息何时为知情代理人产生套利机会的精确表征。当且仅当FTconditional lawνTof L不能与无条件lawλ等价时，才会发生这种情况。

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2022-6-9 21:27:03

等价性的失败意味着，存在一些场景，从普通代理的角度来看，这些场景是先验可能的（即，它们具有严格的正λ-测度），但之后可能被证明是不可能的（即，它们可以被分配为零νT-测度）。对于知情的代理人来说，在交易开始之前就已经排除了这种情况，从而提供了明确的信息优势。这一现象也将通过第5节中考虑的示例得到澄清。备注2.5（关于最佳套利）。定理2.4表明NFLVR在(Ohm, G、 P；S）当且仅当E[ZT/qLT]=1时。观察到，E【ZT/qLT】对应于在(Ohm, G、 P；S），如定理2.4的证明所示。在[CT15]的术语中，如果E[ZT/qLT]<1，则数量1/E[ZT/qLT]是最佳套利利润。从这个意义上讲，定理2.4表明NFLVR在(Ohm, G、 P；S）当且仅当不存在最优套利时。备注2.6（关于num’eraire投资组合）。uniqu e ELMD Z/Ql是可交易的，因为存在一个过程φ∈ L（S，G），使得qL/Z=1+φ·S（这是第2.3项的直接结果，取M≡ 1). 换句话说，根据[KKS16]的术语，过程1+φ·S是内部金融市场的局部鞅数(Ohm, G、 P；S）。8 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA3。内部信息下的最优消费投资问题在这一部分中，我们利用对偶技术研究了一般的最优消费投资问题，考虑了状态相关的效用和中间消费。与[ABS03]类似，我们考虑了非平凡的初始信息，由随机变量L生成的内部信息表示。

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2022-6-9 21:27:07

然而，由于我们对L的知识产生套利机会的情况特别感兴趣，因此我们必须背离基于鞅测度的经典对偶方法。本节的结果代表了计算信息套利价值的基本要素，将在第4.3.1节中讨论。可接受的投资组合。我们假设一个随机时钟k=（k t）t∈[0，T]，这是一个k=0且P（k T>0 |σ（L））>0 a.s.的非递减C ` adl ` ag F适应有界过程。随机时钟k表示假设消耗发生的时间概念。投资组合定义为三元组∏=（v，θ，c），其中v∈ R表示初始资本，θ=（θt）t∈[0，T]是一个Rd值S-可积过程，表示d风险资产的持有量，c=（ct）T∈[0，T]是表示消耗率的非负过程。对于普通代理，策略θ和消耗过程c需要分别相对于P（F）和O（F）进行测量。另一方面，知情代理人可以通过选择P（G）-可测量策略θ和O（G）-可测量消费过程来构建投资组合。数值过程Vv，θ，c=（Vv，θ，ct）t∈投资组合∏=（v，θ，c）的[0，T]定义为Vv，θ，ct：=v+ZtθudSu-Ztcudκu，适用于所有t∈ [0，T]。定义3.1。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v∈ R、初始资本为v且允许信用额度为k的H-容许投资组合集，用AH，k+（v）表示，定义为H，k+（v）：=n（θ，c）∈ L（S，H）×O+（H）：Vv，θ，ct≥ -k a.s.适用于所有t∈ [0，T]和Vv，θ，cT≥ 0 a.s.o.根据定义3.1，我们假设投资者在整个投资期内有权获得固定的信贷额度[0，T]，并且需要在到期日T前完全修复其债务。

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2022-6-9 21:27:11

注意，在没有套利机会的情况下，要求Vv，θ，cT≥ 0 a.s.自动表示Vv、θ、ct≥ 所有t均为0 a.s≤ T（见[DS94，命题3.5]），因此，对于所有k∈ R+。然而，在存在仲裁的情况下，这不再是事实。对于k=0，我们从定义3.1中恢复了非负投资组合可采性的通常概念，如[KS98、GP98、Ame00、GK03、Mos15、CCFM17]中所述。为了便于记法，我们定义了过程ZF=（ZFt）t∈[0，T]和ZG=（ZGt）T∈[0，T]byZFt：=Zt，ZGt：=Zt/qLt，对于所有T∈ [0，T]。为了便于以后使用，我们还要定义以下两类投资组合：AH，ksm（v）：=（（θ，c）∈ L（S，H）×O+（H）：ZTZHucudκu∈ L（P）、Vv、θ、cT≥ 0 a.s.和ZHVv+k，θ，c+Z·Zucudκuis a supermartingale on(Ohm, H、 P）），信息套利价值9AH，km（v）：=（θ，c）∈ 啊，ksm（v）：ZHVv+k，θ，c+Z·ZHucudκu∈ M（P，H）.如下一小节所示，AH、ksm（v）和AH、km（v）类自然出现在最优投资消耗问题的解决方案中。要求Tzhucudκu∈ L（P）确保消耗过程c=（ct）t∈[0，T]可以通过自融资交易从一些初始资本开始融资，即存在一对（ζ，Д）∈ L+（P，H）×L（S，H），使得Vζ，Д，ct≥ 所有t均为0 a.s∈ [0，T]，其中L+（P，H）表示H-可测可积非负随机变量集（与引理3.4相比）。在当前以两个金融市场为特征的环境中，根据经济直觉，对可接受性的适当定义应确保每一个可接受为普通代理人的投资组合也可接受为知情代理人。这个性质以及集合AH、k+（v）、AH、ksm（v）和AH、km（v）之间的关系将在下一个引理中阐明。引理3.2。

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2022-6-9 21:27:15

对于每v∈ R和k∈ R+，以下公式成立：（i）AH，k+（v）=AH，ksm（v），对于H∈ {F，G}；（ii）AF，k+（v） AG，k+（v），因此，AF，ksm（v） AG，ksm（v）。此外，夹杂物AF，km（v） AG，km（v）每v保持一次∈ R当且仅当E[1/qLT]=1。根据定理2.4，上述引理表明包含AF，km（v） AG，km（v）holdsif，且仅当在(Ohm, G、 P；S）。如果我们认为鞅是公平博弈，那么这一性质背后的经济直觉就会变得清晰。事实上，如果信息代理人有可能实现套利，那么对于普通代理人来说公平的投资组合可能会被认为过于昂贵（因此不公平）。这种直觉与含义（一）是一致的=>（v）在定理2.4中，如果E[ZT/qLT]<1（相当于E[1/qLT]<1），那么将总财富投资于无风险资产对信息代理人来说不是一个公平的策略，因为后者可以从初始资本v<1.3.2开始，实施恒定的支付。最优消费投资问题。我们假设，偏好是针对【0，T】的中间消费和/或在终端日期T的财富而确定的。更具体地说，与[71z05，Mos15，CCFM17]中类似，我们引入了效用随机场U=U（ω，t，x）：Ohm ×【0，T】×R+→ R∪{-∞} 满足以下要求。假设3.3。对于每个（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，函数x 7→ U（ω，t，x）是严格凹的，严格递增的，在（0+∞) 并满足INDA条件SLIMX↓0U′（ω，t，x）=+∞ 和limx→+∞U′（ω，t，x）=0，其中U′表示U相对于x的导数。通过连续性，我们假设U（ω，t，0）=limx↓0U（ω，t，x）。

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2022-6-9 21:27:20

最后，对于每个x≥ 0，随机过程U（·，·，x）是O（F）-可测的。在下文中，除非另有说明，否则我们将始终假设效用随机场满足假设3.3。对于H∈ {F，G}，我们定义了以下一组消耗过程：CH，k+（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH、k+（v）o、10 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana对应于所有可由初始资本v满足允许信用额度k的投资组合融资的消费计划。一个能够访问信息流H且初始资本v为t=0的代理的最佳消费投资问题定义如下：（3.1）uH，k（v）：=supc∈CH，k+（v）EZTU（u，cu）dκu,按照约定E[RTU（u，cu）dκu]=-∞ 如果E[RTU-（u，cu）dκu]=+∞ . 我们还定义了相关的H-条件优化问题（可能具有非平凡的初始信息）：（3.2）ess supc∈CH，k+（v）EZTU（u，cu）dκuH,有类似的惯例。注意，元素c∈ 如果CH，k+（v）达到问题（3.2）中的上确界，则其达到问题（3.1）中的上确界（参见，例如，【ABS03，第4节】）。我们还注意到集CH，k+（v）在测度收敛拓扑（dκ）中是闭合的P）只要NupBroholds打开(Ohm, H、 P；S）（参见【CCFM17】并与引理3.4进行比较）。上面的首选项结构非常通用，允许依赖于状态的实用程序。通过合理地指定κ，可以从当前设置中恢复有无中间消费的最优投资问题的几种不同公式（与[71z05，第2.8节]和[Mos15，示例2.5-2.9]相比）。

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2022-6-9 21:27:22

特别地，通过设置dκu=δT（du），得到了终端财富期望效用最大化的经典问题。为了便于记法，让我们定义以下消费过程集，对应于第3.1节中考虑的不同可接受投资组合集：CH，ksm（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH，ksm（v）o，CH，km（v）：=nc∈ O+（H）： θ ∈ L（S，H）S.t.（θ，c）∈ AH，km（v）和Vv，θ，cT=0 a.s.o。很明显，th在CH，km（v）处 CH，k+（v），每k∈ R+和v∈ R、在下面的引理中，我们证明了如果一个人在属于较小类别CH，km（v）的所有消费过程中最大化，则最优预期效用不会改变。这个结果的经济直觉很清楚，asa鞅是达到给定终值的最便宜的超鞅（与[PH06，引理10.4.1]相比）。此外，条件Vv、θ、cT=0 a.s.代表了一个简单的事实，即所有可用资源都用于为消费融资。引理3.4。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v∈ R、然后，CH，k+（v）=CH，ksm（v），对于每个消耗过程c∈ O+（H），以下情况成立：（i）c∈ CH，k+（v）当且仅当E[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1- E【ZHT | H】）a.s。；（ii）c∈ CH，km（v）当且仅当E[RTZHucudκu | H]=v+k（1- 此外，它认为（3.3）uH，k（v）=supc∈CH，km（v）EZTU（u，cu）dκu=: 嗯，公里（v）。为便于记法，我们将省略在效用随机场U中明确写出对ω的依赖。信息套利的价值11备注3.5。重要的是要注意，信贷额度（或允许的杠杆）k p在可融资消费计划的特征描述中不起作用，当且仅当ZH∈ M（P，H）。从（3.3）来看，这意味着对于每一个v∈ R+，当且仅当ZH∈ M（P，H）。

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2022-6-9 21:27:25

换言之，当且仅当没有套利机会时，最优预期效用不取决于允许的杠杆率(Ohm, H、 P；S）。为此，另见备注3.7。我们现在可以导出最优消费投资问题（3.1）-（3.2）的一般解。与[Ame00，ABS03]类似，我们依赖于对偶方法。然而，由于我们设定的套利机会可能存在，我们必须依赖ELMDs而不是鞅测度（与[KS98，第3章]和[FR13]相比）。由于效用随机场U的严格凹性和连续可微性（见假设3.3），存在唯一的随机场I=I（ω，t，y）：Ohm ×【0，T】×（0+∞) → (0, +∞ ) 使得U′（ω，t，I（ω，t，y））=y，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞). 根据假设3.3，对于每个严格积极的可选过程（Yt）t∈[0，T]，它认为（I（ω，T，Yt（ω）））T∈[0，T]∈ O+（H）。提案3.6。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v≥ -k（1- kE[ZHT | H]k∞) =: vHk。假设存在一个H-可测的随机变量∧H，k（v）：Ohm → (0, +∞) 使（3.4）EZTZHuI公司u、 ∧H，k（v）ZHudκuH= v+k1.- E【ZHT | H】a、使过程（I（t，λH，k（v）ZHt））t∈[0，T]令人满意-（u，I（u，λH，k（v）ZHu））dκu∈ L（P）。然后，最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]。可以很容易地表明，如果uH，k（v）<+∞, 那么，U的严格凹性意味着最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]对a（dκ）是唯一的 P） -空集。

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2022-6-9 21:27:28

关联最优交易策略θH∈ L（S，H）由局部鞅M=（Mt）t的鞅表示（见命题2.3）中出现的被积函数给出∈[0，T]打开(Ohm, H、 P）定义Mt：=E【RTtZHucHudκu | Ht】+ZHtRtcHudκu+k（E【ZHT | Ht】-ZHt），适用于所有t∈ [0，T]。还请注意，如果NFLVR保持不变，则最佳解决方案不取决于允许的杠杆k(Ohm, H、 P；S）。数量vHk=-k（1-kE[ZHT | H]k∞) 在提案3.6中引入了一个明确的经济解释。实际上，它代表了代理人在t=0时可以开始的最大负债额。如果v=vHk，则代理人可以通过借入kkE【ZHT | H】k的金额开始交易∞,因此，耗尽了他的信贷额度，并投资于复制持续支付的自我融资策略。该策略确保在T日全额偿还所有债务，并要求在T=0时投资kE【ZHT | H】（见定理2.4的证明）。剩余资源k（kE[ZHT | H]k∞-E【ZHT | H】）可能用于资助消费。对于v<vHk，不存在能够完全确保代理人免于其责任的策略，因此CH，k+（v）=.备注3.7。让0≤ 对于某些v，假设存在满足（3.4）的两个H-可测随机变量∧H，k（v）和∧H，k（v）≥ vHk。由于P（κT>0 |σ（L））>0 a.s.，可以显示∧H，k（v）≥ ∧H，k（v）a.s.，严格不等式保持在{E[ZHT | H]<1}。为了便于记法，我们省略了在随机领域I.12中对ω的依赖性。HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana表示，在存在套利的情况下，更深的信贷额度会产生更高的消费率。就内部而言，这意味着，如果E【ZHT】<1，则uH，k（v）在k中严格增加（另见备注3.5）。备注3.8。

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2022-6-9 21:27:31

用ifRTZHuI（u，yZHu）dκu证明了H-可测随机变量∧H，k（v）解方程（3.4）的存在性∈ L（P），对于所有y>0。这对应于预期效用最大化理论中的一个经典条件（例如，参见[KLSX91，KS98]和[Ame00，引理5.2]）。备注3.9。pr ob lems（3.1）-（3.2）的结构以及本节的结果表明，如果存在F停止时间τ，则κτ=κTa。s、，则可放宽假设2-3，且仅假设保持[[0，τ]]。特别是，这允许考虑假设2保持[0，T），但在最终日期T失败的情况（例如，当L是一个可测量的连续随机变量，在这种情况下，在日期T财富的预期效用最大化问题在G中没有解，请参见[PK96，GP98，AIS98]）。3.3. 明确的解决方案。在本节中，我们推导了对数、幂和指数效用函数情况下最优消费投资问题的显式解。除了中间消费之外，本节还将[ABS03，推论4.7]概括为内幕信息可以产生套利机会的情况。第4节将使用本节的结果明确计算信息套利的价值。推论3.10和3.12本身可能会有一些兴趣，因为它们在存在非平凡初始信息和杠杆的情况下，为允许套利机会的一般完整金融市场中的最优投资组合问题提供了合法的解决方案。推论3.10。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v>vHk。

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2022-6-9 21:27:34

对数和幂效用函数的最优预期效用问题（3.1）明确给出如下：（i）设U（ω，t，x）=log（x），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).IfRTlog（1/ZHu）dκu∈ L（P），然后（3.5）uH，k（v）=E日志v+k（1- E【ZHT | H】）κT- E日志E[κT | H]κT+ EZTlog公司朱先生dκu.（ii）设U（ω，t，x）=xp/p，对于某些p∈ （0，1），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]<+∞ a、 s.，然后（3.6）uH，k（v）=pE“v+k（1- E【ZHT | H】）体育课ZT公司朱先生聚丙烯-1dκuH1.-p#和uH，k（v）<+∞ 如果E[RT（ZHu）pp-1dκu | H]1-p∈ L（P）。观察最优预期效用不依赖于k，当且仅当(Ohm, H、 P；S），符合备注3.5。另一方面，在存在套利的情况下，最优预期效用在k中严格增加，这反映了在套利策略中采取更多杠杆头寸可以为更高水平的消费融资的事实。信息套利的价值13备注3.11。考虑经典设置，其中dκu=δT（du），u（ω，T，x）=log（x），对应于终端财富预期对数效用的最大化。假设ug，k（v）<+∞, 对于一些k∈ R+和v>0。推论3.10则意味着ug，k（v）- uF，k（v）=E日志v+k（1- E【ZGT | G】）+ E日志1/ZGT- 日志（v）- E日志1/ZFT= E日志1+kv1.- Q（qxT>0）x=L+ E日志（qLT）,（3.7）用允许的杠杆k表示知情代理人的效用收益。该结果推广了[AIS98，定理3.7]，其中关系式（3.7）是在密度qxare a.s.严格正且连续（且k=0）的附加假设下得出的。

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2022-6-9 21:27:38

还要注意UG，k（v）- uF，k（v）≥ uG，0（v）- uF，0（v）≥ -日志（E【1/qLT】）≥ 根据定理2.4，这表明，如果L表示的内部信息允许在(Ohm, G、 P；S）。此外，如第5.1-5.2节所述，如果L是一个离散的可测量随机变量，且k=0，则知情代理人的效用收益等于L的熵，即[对数（qLT）]=-二甲苯∈EP（L=x）对数（P（L=x））。现在让我们考虑一下指数偏好的情况。即使指数效用不满足假设3.3（0 f故障时的Inada条件），最优消耗过程的特征也可以类似于命题3.6。下一个推论可以看作是[CH89，定理2.4]的半鞅版本（也可以参见离散时间设置中的[MW12，定理3.2]）。推论3.12。让H∈ {F，G}，k∈ R+和v>vHk。假设U（ω，t，x）=-e-αx，对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×R+，对于α>0。然后，问题（3.1）中的最优预期效用由（3.8）uH，k（v）=-αEZT公司∧H，k（v）ZHu∧ αdκu,其中，H-可测随机变量∧H，k（v）是方程（3.9）αE“ZTZHu）的a.s.唯一解日志α∧H，k（v）ZHu+dκuH#=v+k1.- E【ZHT | H】.方程3.9可以在一些简单模型中显式求解。特别是，如果dκu=δT（du）和k=0，一个有效条件是log（ZHT）≤ E[ZHTlog（ZHT）| H]/E[ZHT | H]a.s.如果Q=P和L是一个离散的FT可测随机变量，则后一个条件总是满足的，在(Ohm, G、 P；S）（也可与第5.1-5.2节中给出的示例进行比较）。4、内幕信息的效用无差异价值根据上一节的结果，我们现在可以研究和计算内幕信息的价值，这有可能使知情代理人获得套利机会。

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2022-6-9 21:27:41

受[ABS03]的启发，我们引入以下定义。定义4.1。对于k∈ R+和v>0，内部信息的效用差异值定义为一个解π=πU，k（v）∈ R+下式：（4.1）uF，k（v）=uG，k（v- π).14 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAAs在导言中解释道，πU，k（v）的值表明投资者在两种选择中是不同的：（i）根据公开信息对初始总财富v进行最佳投资；（ii）以πU，k（v）的价格获取内幕信息L，并对剩余财富v进行最佳投资-πU，k（v），可能利用L的知识产生的套利。内部信息L允许投资者实现套利，如第5节的示例所述，那么我们将数量πU，k（v）称为信息套利的差异值。效用差异值πU，k（v）存在，并且在最优消费投资问题的自然假设下是唯一的，只要知情代理人的预期效用最大化问题是适定的（即，它不会导致有限效用）。定理4.2。假设uF，0（v）>-∞, 对于每一个v>0，并且每k满足命题3.6的假设∈ R+，v>VHK和H∈ {F，G}。进一步假设ug，k（v）<+∞, 对于某些v>vGk。然后，对于每一个v>0，以下保持不变：（i）如果limwvGkuG，k（w）<uF，0（v），则效用差异值πU，k（v）存在且唯一。（ii）地图k 7→ πU，k（v）严格增加i f，且仅当E[1/qLT]<1时。（iii）如果re（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0，那么它总是认为πU，k（v）>0。上述定理第（i）部分中出现的条件在没有平均值的情况下总是满足的（即，如果k=0）。

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2022-6-9 21:27:44

实际上，∧G，0（0）：=limw0∧G，0（w）通过单调性存在（参见第6.3节中给出的第4.2条的证明），其值为（0+∞]. 通过I（ω，t，·）的连续性和支配收敛，条件（3.4）给出ZTZGuIu、 ∧G，0（0）ZGudκuG= 因此，回顾I（ω，t+∞) := 石灰→+∞I（ω，t，y）=0，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，作为INDA条件的一个序列（见假设3.3），它必须保持∧G，0（0）=+∞ a、根据命题3.6和反法图引理，这意味着，对于每一个v>0，limw0uG，0（w）=limw0EZTU公司u、 I（u，∧G，0（w）ZGu）dκu≤ EZTU公司u、 I（u，∧G，0（0）ZGu）dκu= EZTU公司u、 0个dκu< EZTU公司u、 vE[κT]ZFudκu≤ uF，0（v），其中我们使用了一个事实，即消费过程（v/（e[κT]ZFt））T∈[0，T]是严格正的，属于CF，0+（v）（见引理3.4）。另一方面，如果k>0，则条件limwvGkuG，k（w）<uF，0（v）可能不一定成立，因为杠杆和风险的组合可能性可能导致知情代理始终优于未知情代理，即使从t=0的负债头寸开始。在这种情况下，初始财富为v的代理人更愿意以不超过v的任何价格获取内幕信息- vGk。另请注意，假设uF，0（v）>-∞, 对于每一个v>0，如果效用随机场U由实值函数从下方限定（特别是，如果U是确定性的），则始终保持不变。信息套利的价值15定理4.2的一个含义是，无论内部信息L产生套利，那么信息套利的差异价值在允许杠杆k中严格增加。

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2022-6-9 21:27:47

经济直觉是，如果有机会获得更深的信贷额度，informedagent可以在套利策略中占据更多的杠杆头寸，从而产生套利利润，套利利润可以扩大到允许的杠杆限度。反过来，这使知情代理人能够为更高水平的消费融资。注意，如果k>0，则可能发生πU，k（v）>v。条件re（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0意味着知情机构可以为任何消费计划提供资金c∈ CF，km（v），成本小于v，利用剩余资源增加消耗。这是可能的，因为知情代理人不需要在与观察到的L实现不兼容的状态下为消费融资。特别是，假设P(κT>0）=1（或k>0），且P（qxT=0）>0，对于属于λ（B）>0的某个setB的所有x。这对应于这样一种情况，即在终止日期T，财富的权重为严格正，随机变量L产生套利（见定理2.4）。在这种情况下，定理4.2的第（iii）部分意味着信息套利的差异值总是严格正的：投资者总是愿意付出严格正的价格来了解内幕信息，而不管具体的偏好结构如何。在适当的可积条件下，定理4.2的结论始终适用于第3.3节中考虑的效用函数。这使我们能够在对数和幂效用函数的k=0的情况下，获得内幕信息L效用差异值的显式表达式，如下一个命题所示，该命题将[ABS03，定理5.3]推广到内幕信息收益率套利机会和中间消费的情况。提案4.3。假设k=0。

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2022-6-9 21:27:50

然后，内部信息l的效用差异值明确给出如下：（i）让U（ω，t，x）=log（x），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).IfRTlog（qLu/Zu）dκu∈ L（P），那么，对于每v>0，（4.2）πlog（v）=v1.- 经验值E[κT]χG- χF- EZTlog（qLu）dκu,其中χH：=E[对数（E[κT | H]）κT]，对于H∈ {F，G}。（ii）设U（ω，t，x）=xp/p，对于某些p∈ （0，1），对于所有（ω，t，x）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).如果E[RT（Zu/qLu）pp-1dκu |σ（L）]1-p∈ L（P），那么，对于每v>0，（4.3）πpwr（v）=v1.-ERTZpp-1udκu1.-ppE“ERT（Zu/qLu）pp-1dκuG1.-第1页/页.通常，对于k>0，内部信息的效用差异值不能以对数和幂首选项的显式形式计算，如（3.5）-（3.6）所示。然而，从推论3.10来看，当随机变量k E[ZT/qLT | G]是a.s.常数，或者等效地，当k Q（qxT>0）不依赖于定理4.2的x.16 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAby第（ii）部分时，可以获得效用差异值的完全明确表示，公式（4.2）和（4.3）分别表示对数和幂效用函数k>0时内部信息差异值的下限。命题4.3给出了对数和幂效用函数情况下信息套利价值的几个有趣结果。特别是：o如果ree[RT{qxt=0}dκt]λ（dx）>0，则πlog（v）和πpwr（v）始终严格地相对于v递增。该性质是定理4.2和d公式（4.2）-（4.3）的直接结果。

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