在终端财富效用的情况下（对应于dκu=δT（du）），可以很容易地验证公式（4.2）-（4.3）在定理2.4第二部分的一个等效条件成立时，即当内部信息不会导致在(Ohm, G、 P；S） 。对于dκu=δT（du），公式（4.2）简化为πlog（v）=v（1- 经验值(-E[日志（qLT）]））。根据定理4.2（参见alsoRemark 3.11），这证实了如果内部信息L允许在(Ohm, G、 P；S） 。此外，当L是离散FT可测随机变量时，对数差值完全由L的熵确定。信息套利的价值取决于内幕信息的差异价值。一般而言，内部信息的差异值取决于所考虑的随机效用场。然而，在某些特殊情况下（例如，在导言中给出的示例中），差异值是一个通用值，它不依赖于偏好结构。这种情况由下一个定理来解释。我们用U表示所有严格递增和凹确定性效用函数的类U:R+→ R∪ {-∞}. 在以下定理的陈述中，我们用uH，k（v）表示与问题（3.1）相关的价值函数，前提是仅在T日消费的预期效用（即终端财富），以及效用函数U定理4.5。假设假设1中Q=P，dκu=δT（du）。

然后，以下三个条件是等价的：（i）对于某些常数q，它认为P（qLT=q）=1≥ 1.（ii）每k∈ R+和v>0时，存在一个普适值πk（v）∈ [0，v+k）使得ug，kv- πk（v）= uF，k（v），适用于所有U∈ U（iii）对于每一个v>0，存在一个普适值π（v）∈ [0，v）使得ug，0v- π（v）= uF，0（v），适用于所有U∈ U、 在这种情况下，对于每一个U∈ U、 k级∈ R+和v>0时，差值πk（v）总是由（4.4）πk（v）=（v+k）给出1.-q最优财富过程VG=（VGt）t∈在问题（3.1）中，H=G的[0，T]总是由（4.5）VGt=（v+k）qLtqLT给出- k、 对于所有t∈ [0，T]。在上述定理的设置下，知情主体的最优策略f由过程φ的倍数给出∈ L（S，G）出现在随机积分r表示qL=1+φ·S中（见备注2.6）。这显示了一个有趣的性质：在定理4.5的条件下，知情代理人的最佳投资组合将始终是金融市场中的总投资组合(Ohm, G、 P；S） ，而不考虑首选项结构。等效地，常数payoffv=v-πk（v）+（v+k-πk（v））（φ·S）t根据二阶随机优势系数（参见，例如，【Ing87，第5章】）确定可容许投资组合的所有可能结果。备注4.6。当L是有限集E上均匀分布的FT可测离散随机变量时，随机变量qLTis始终是确定性的，因此P（L=x）=1/| E |对于所有x∈ E、 实际上，在这种情况下，对于所有x，qxT=1{L=x}| E |∈ E、 所以qLT=| E |。这也是E x示例1.1的情况，我们将在第5.1节中详细解释。备注4.7。如果没有套利机会(Ohm, G、 P；S） ，那么定理4.5的条件（i）成立的唯一情况是当随机变量L独立于FT时。

事实上，如果NFLVR坚持(Ohm, G、 P；S） 随机变量qLTis a.S.常数，则qLT=1 a.S.，作为T heorem 2.4的序列。因此，它认为qxT=1（P λ） -a.e.，通过公式（6.1）表明，对于每个可测有界函数h:e，e[h（L）1A]=e[h（L）]P（a→ R18 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO、CLAUDIO Fontana和A∈ FT，因此L独立于FT。相反，如果L独立于FT，则对于所有x，clearlyqxT=1∈ E、 在这种情况下，公式（4.4）意味着购买随机变量L的信息内容永远不会有吸引力，因为后者不能提供任何关于金融市场的有用信息。定理4.5的假设不能轻易放松。事实上，如果dκu=δT（du），但Q 6=P，则条件（i）不足以确保普遍差异值的存在，这可以通过对第5.1节给出的示例的简单修改来证明。类似地，即使Q=P，在存在中间消费的情况下，效用差异值也可以取决于偏好结构，即使Qlts是确定性的（除了L独立于FT的小情况）。在定理4.5的相同假设下，我们可以为信息套利的差异值建立一些通用的界限，如以下命题所示。提案4.8。假设假设1中Q=P，dκu=δT（du）。进一步假设存在两个严格正常数qminan和qmax with qmin≤ qmax这样的thatP（qLT∈ [qmin，qmax]=1。然后，对于每个效用函数U∈ U、 k级∈ R+和v>0，它认为（4.6）（v+k）1.-qmin+≤ πU，k（v）≤ （v+k）1.-最大尿流率.将在第5.1节和第5.2.5节讨论的示例中说明上述命题中得出的普遍界限。

示例在本节中，我们将在三个示例的上下文中说明一些主要概念和结果。第一个示例（第5.1节）由示例1.1的概括组成。第二个例子（第5.2节）考虑了二维不连续金融市场，其中内部信息对应于两种资产的终值比率。在这两个示例中，r和dom变量L是离散的。在第三个示例（第5.3节）中，我们考虑一个连续随机变量L生成信息套利。5.1. 一维几何布朗运动。设W=（Wt）t∈[0，T]是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是W的自然过滤的缺失。我们考虑一个单一风险集合交易的金融市场，贴现价格过程S=（St）t∈[0，T]满足（5.1）dSt=StσtdWt，S>0，其中σ=（σT）T∈[0，T]是一个严格正的F-可预测过程，其Tσtdt<+∞ a、 根据第2.1节中介绍的符号，元组(Ohm, F，P；S） 表示普通金融市场，假设1满足Q=P。与[PK96，示例4.6]类似，我们假设内幕信息由随机变量L生成：=1{WT≥c} ，其中c是常数，使得P（WT≥ c） =r∈ (0, 1). 在这里，信息套利19的值，E={0，1}，L的无条件定律由λ（{0}）=1给出- r和λ（{1}）=r。由于L是离散的，假设2自动满足。特别是，它认为qt=P（L=0 | Ft）P（L=0）=1- rΦc- Wt公司√T- t型, qt=P（L=1 | Ft）P（L=1）=rΦWt公司- c√T- t型,每t∈ [0，T），其中Φ（x）：=Rx-∞√2πe-z/2dz。对于t=t，我们得到qt=1- r{WT<c}，qT=r{WT≥c} 。由于qand qhave continuous path，假设3是满足的。

此外，它认为qlt=1- r{WT<c}+r{WT≥c} 。根据定理2.4，内幕金融市场中的NUPBR h olds(Ohm, G、 P；S） 1/Q为相关ELMD。然而，由于E[1/qLT]<1，内幕信息导致套利，NFLVR不成立。qLTensures的有界性表明命题4.3的所有假设均已满足，因此，我们可以明确计算信息轨道的差异值。为了简单起见，让我们考虑k=0时终端财富预期效用最大化的问题（即，dκu=δT（du））。在这种情况下，对于每一个v>0，它保持πlog（v）=v1.- (1 -r） 1个-rrr和πpwr（v）=v1.-(1 - r） 1个-p+r1-p-1/p.观察到πpwr（v）相对于p增加，这意味着信息套利的差异值相对于风险规避降低。此外，πpwr（v）收敛到πlog（v）为p→ 0，对于每v>0。在风险规避α>0的指数效用函数的情况下，应用推论3.12表明ug，0（v）=-Ee-αvqLT= -(1 - r） e类-αv1-r- 重新-αvr，每v∈ R+。因此，在指数效用的情况下，信息套利的差异值由以下等式的唯一解π=πexp（v）给出：e-αv=（1- r） e类-α1-r（v-π） +re-αr（v-π).还请注意，在本示例的上下文中，对于每个严格递增和凹陷的确定性效用函数U:R+→ R∪ {-∞} 每k∈ 根据命题4.8，信息套利的差异值πU，k（v）满足以下界限：min{R，1- r}≤πU，k（v）v+k≤ 最大{r，1- r} ，对于所有v>0。示例1.1的分析。如果c=0（因此，r=1/2），则随机变量qLT将减少到常数qLT=2。

在这种情况下，与定理4.5的结果一致（另见备注4.6），k=0的信息套利值等于普适值π（v）=v/2。根据公式（4.5），相应的最优财富过程VG=（VGt）t∈[0，T]由vgt=vqLtqLT=v给出Φ-Wt公司√T- t型{WT<0}+ΦWt公司√T- t型{WT≥0},20 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANAfor all t∈ [0，T]。It^o公式的应用产生Φ（Wt√T-t）=+√2πRt√T-uexp(-Wu2（T-u） ）dWu，使最优策略θG=（θGt）t∈（5.2）θGt明确给出了知情代理人的[0，T]={WT≥0}- 1{重量<0}vσtStp2π（T- t） 经验值-Wt2（T- t）, 对于所有t∈ [0，T），不管考虑的是效用函数。特别是，策略是知情代理的一种仲裁策略。事实上，它认为（G·S）T=VGt-v/2>-v/2，适用于所有t∈ [0，T]，和（θG·S）T=v/2>0。这表明，通过以π（v）=v/2的价格获取内幕信息L，并遵循策略θG，知情代理人可以精确地获得最终财富v，这也对应于普通代理人的最佳最终财富。备注5.1（关于通用最优策略θG）。

在本例中，（5.2）中计算的最优策略θg具有几个有趣的特征：（i）根据交易开始时披露的内幕信息，该策略在风险资产中总是多头或短头；（ii）该策略是对风险资产的押注：如果资产价格下降，cr中风险资产的头寸就会下降，反之亦然，如果资产价格上升，cr中风险资产的头寸就会下降；（iii）它认为→TθGt=0，意味着风险资产的头寸在投资期结束时完全清算；（iv）实现最优套利的交易策略的倍数（见备注2.5），并与隐含的概率进行比较（i）=>（v） 在定理2.4中）。5.2. 二维泊松过程。第5.1节的示例考虑了具有连续路径的单个风险集。现在，我们给出了一个在具有两个不连续路径的风险资产的金融市场中导致套利的内幕信息示例。设N=（Nt）t∈[0，T]和N=（Nt）T∈[0，T]是滤波概率空间上公共强度为1的两个独立泊松过程(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是（N，N）自然过滤的P-增强。我们考虑两种风险资产，贴现价格过程=（St）t∈[0，T]和S=（St）T∈[0，T]满足DST=St-（dNt- dt），S>0；dSt=St-（dNt- dt），S>0，显式解Sit=Sie-特尼特，因为我∈ {1，2}和t∈ [0，T]。元组(Ohm, F、 P；（S，S））代表普通金融市场，因为（S，S）具有鞅表示属性(Ohm, F、 P），假设1满足Q=P。让我们定义过程N=（Nt）t∈[0，T]按Nt：=Nt-Nt，适用于所有t∈ [0，T]。我们假设内部信息是通过观察随机变量L：=NT生成的，对应于两种资产的终端价格的比率ST/STof的知识。

随机变量L的分布可以显式计算，由P（L=x）=e给出-2TI | x |（2T）=e-2TXk∈NT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z、 信息套利21的值，其中I | x |（2T）表示第一类修正贝塞尔函数。由于L是离散的，假设2自动满足，并且与[CRT18]中类似，可以计算出qxt=P（L=x | Ft）P（L=x）=Pk∈氖-（T-t） （t-t） kk！e-（T-t） （t-t） k+x-Nt（k+x-Nt）！{k+x-Nt公司≥0}主键∈氖-2TT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z和t∈ 对于T=T，我们有qxt={L=x}P（L=x）={L=x}e-2TPk∈NT2k+| x | k！（k+| x |）！，对于所有x∈ Z、 注意，对于所有t，qxt>0∈ [0，T）。此外，过滤F是准左连续的，因此，它表示wt<TFt=FT-= FT.根据L'evy向上定理，作为t→ 它认为e[1{L=x}| Ft]-→ E[1{L=x}|英尺-] = E[1{L=x}| FT]=1{L=x}a.s.因此表明qxd不会跳到零。因此，假设3得到满足，内部金融市场(Ohm, G、 P；S） 满足NUPBR（见定理2.4）。内幕信息L为知情代理人提供套利机会，因为E[1/qLT]=Px∈ZP（L=x）<1。然而，由于可接受性限制，这类套利机会无法通过两种资产中的天真多头和空头策略来实现，因为后者是不受上述限制的。在对数效用函数和幂效用函数的情况下，可以根据命题4.3明确计算信息性随机变量的差异值（为便于表述，我们只考虑dκu=δT（du）和d k=0的情况）：πlog（v）=v1- 经验值-Xx号∈ZP（L=x）对数P（L=x）!,πpwr（v）=v1.- EXx号∈Z{L=x}P（L=x）P/（P-1)!1.-p-1/p= v1.-Xx号∈ZP（L=x）1-p-1/p,对于每v>0。

特别要注意的是，在对数效用函数的情况下，信息套利的值由随机变量L的熵决定（见备注3.11）。在风险规避α>0的指数效用函数的情况下，推论3.12的应用表明，πexp（v）由以下方程的唯一解π=πexp（v）给出：e-αv=E经验值-αqLT（v- π)=Xx号∈ZP（L=x）e-α（v-π） P（L=x）。还请注意，作为命题4.8的一个推论，对于每个严格递增和凹效用函数U，信息套利πU，k（v）的微分值从下方以数量（v+k）P（L 6=0）为界，对于每个v>0。这是因为0=arg maxx∈ZI | x |（2T）。5.3. 由连续随机变量引起的信息套利。第5.1-5.2节中考虑的示例涉及离散ran dom变量。现在，我们给出了一个过滤的示例，该过滤最初针对满足假设2的绝对连续关系的连续随机变量L进行放大，并为知情代理人生成套利机会。22 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANALet W=（Wt）t∈[0，T]是上的一维布朗运动(Ohm, A、 F，P），其中F=（Ft）t∈[0，T]是W的自然过滤的P-增强。设U是一个均匀分布的随机变量，与布朗运动W无关，并假设a=FT∨σ（U）。我们考虑一个具有单一风险y资产的金融市场，贴现价格过程S=（St）t∈[0，T]如（5.1）所示。类似于第5.1节，元组(Ohm, F、 P；S） 表示普通金融市场，假设1满足Q=P。我们定义了随机变量L byL：=W*T2（1+W*T） +U1+W*T、 其中W*T： =支持∈[0，T]重量。

随机变量L取[0，1]中的值，并且有条件地在FT上均匀分布在[a（W*T） ，b（W*T） ，其中a（y）：=y/（2+2y）和b（y）：=（2+y）/（2+2y），对于y∈ R+。由于布朗运动的反射原理，L的无条件定律λ可以计算为λ（[0，x]）=P（L≤ x） =Ef（x，W*T）=rπTZ+∞f（x，z）e-z2Tdz，用于x∈ [0，1]，其中f（x，z）：=（z（x-1/2）+x）+∧1，适用于所有（x，z）∈ [0，1]×R+。类似地，f或everyt<T和x∈ [0，1]，可以显示（参见，例如，[JYC09，练习3.1.6.7]）νt（[0，x]）=P（L≤ x | Ft）=Ef（x，W*T） |英尺=sπ（T- t） f（x，W*t） ZW公司*t型-Wte公司-z2（T-t） dz+Z+∞W*tf（x，z）e-（z）-重量）2（T-t） dz！。对于z∈ R+，让我们定义函数g（·，z）：[0，1]→ R+x g（x，z）：=（1+z）1[a（z），b（z）]（x），对于所有x∈ [0, 1]. 然后，Ft条件密度QXT可以表示为QXT=rTT- tg（x，W*t） RW公司*t型-Wte公司-z2（T-t） dz+R+∞W*tg（x，z）e-（z）-重量）2（T-t） dzR公司+∞g（x，z）e-z2Tdz，适用于所有x∈ [0，1]，每t∈ [0，T）和，对于T=T，qxT=rπTg（x，W*T） R+∞g（x，z）e-z2Tdz，适用于所有x∈ [0, 1].通过引入函数γ：[0，1]\\{1/2}，可以更明确地计算密度qxc→ R+由γ（x）给出：=2x/（1）- 2x）对于x∈ [0，1/2）和γ（x）：=（2- 2x）/（2x- 1） 对于x∈ （1/2，1）。注意g（x，z）=（1+z）1[0，γ（x）]（z），对于所有x 6=1/2。

使用此符号，对于所有t∈ [0，T），它认为qxt=1{W*t型≤γ（x）}（1+W*t）√2πΦW*t型-Wt公司√T-t型-√2πΦγ（x）√T-+√T1.- e-γ（x）2T+（1+重量）√2πΦγ（x）-Wt公司√T-t型- ΦW*t型-Wt公司√T-t型+√T- t型e-（W）*t型-重量）2（T-t）- e-（γ（x）-重量）2（T-t）√2πΦγ（x）√T-+√T1.- e-γ（x）2T,信息套利23的价值对于所有x 6=1/2，而对于x=1/2qxt=√2π（W）*t型- Wt）ΦW*t型-Wt公司√T-t型++ Wt公司-W*t型+√T- t e公司-（W）*t型-重量）2（T-t） pπ+√T、 在结束日期T=T时，它认为qxt=1{W*T≤γ（x）}1+W*T2Φγ（x）√T- 1.+q2Tπ1.- e-γ（x）2T,对于所有x 6=1/2，对于x=1/2，qxT=1+W*T1+q2Tπ。因此，我们得到了qlt=1+W*T2Φγ（L）√T- 1.+q2Tπ1.- e-γ（L）2Ta、 s.，γ（L）=1+W*T | 1- 2U型|- 1、在本例中，νt<< λ保持所有t的a.s∈ [0，T]，因此满足假设2。然而，对于每T∈ （0，T）.这只是从观察中得出的结论，即ν在区间[a（W）]之外为null*t） ，b（W*t） ，以及以下事实：*t） t型∈[0，T]在增加，函数a（·）和b（·）分别在增加和减少。此外，过滤F的连续性意味着假设3已满足。根据定理2.4，内部金融市场(Ohm, G、 P；S） 虽然NUPBR令人满意，但确实存在套利机会。注意，对实现L（ω）的观察对应于W*T（ω）≥2L（ω）/（1- 2L（ω）），如果L（ω）<1/2，或W*T（ω）≤ 2(1 - L（ω））/（2L（ω）-1） ，如果L（ω）>1/2。此信息表示知情代理在时间t=0时的信息优势。本例可以推广到具有任意累积分布函数fu和密度gU的绝对连续随机变量U，与布朗运动无关。设H:R×R+→ R是一个函数，使得H（u，z）=x当且仅当u=H（x，z），对于所有（u，z）∈ R×R+，对于某些函数h:R×R+→ R允许偏导数hx：=xh。

如果我们确定随机变量L：=H（U，W*T） ，可以很容易地验证，可以通过与上述相同的计算获得L的Ft条件d密度，将f（x，z）替换为FU（h（x，z）），将G（x，z）替换为gU（h（x，z））hx（x，z）。6、证明6.1。第2节结果的证明。我们首先给出第2.2节和第2.3节中所述的过滤结果放大的证明。引理2.2的证明。G的右连续性源自[Fon18，引理4.2]，而半鞅性质的稳定性则建立在[Jac85，定理1.1]中。密度{qx；x的存在性∈ E} 可以类似于[Jac85，引理1.8]和[Ame00，引理2.2]中的证明（详见[Fon18，引理2.3]）。引理的最后一部分来自【Jac85，推论1.11】。24 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontanate引理2.2的以下含义将不断使用：对于每一个∈ [0，T]和（BEFt）可测函数E×Ohm  （x，ω）7→ fxt（ω）∈ R+，它认为（6.1）EfLt公司= EZEfxtqxtλ（dx）=ZEE[fxtqxt]λ（dx）。通常，公式（6.1）可以推广到实值可积（beFt）-可测量的功能。命题2.3的证明。让我们定义Rd+1值半鞅X：=（1，S），并注意zx∈ Mloc（P，F）。我们首先证明了ZX在上具有鞅表示性质(Ohm, F、 P）。为此，设N=（Nt）t∈[0，T]是上的bou-nded鞅(Ohm, F、 P）N=0 su ch THANZX∈ Mloc（P，F），指新西兰∈ Mloc（P、F）和NZS∈ Mloc（P，F）。自从Q~ P、 我认为N∈ Mloc（Q，F）和NS∈ Mloc（Q，F）。根据[Jac79，定理11.3]，假设1在N处的th是平凡的Q-a.s。因此，P-a.s。再次根据[Jac79，定理11.3]，我们得出结论，ZX在(Ohm, F、 P）。

设M=（Mt）t∈[0，T]∈ Mloc（P，G）。根据[Fon18，P Proposition 4.10]，存在一个过程H∈ L（ZX，G）使得（6.2）Mt=qLtM+（H·（ZX））t=ZtqLtM+（H·（ZX））tZta。s、 尽管如此，t∈ [0，T]。此外，由于S的鞅表示性质(Ohm, F、 Q），存在一个过程θ∈ L（S，F）表示每个n的1/Z=1+θ·S∈ N、 让我们定义Hn：=H1{kHk≤n} 。利用分部积分和随机积分的关联性，我们得到M+Hn·（ZX）Z=M+M+（Hn·（ZX））-·Z+HnZ-· （ZX）+Hn·ZX，Z= M级+M+（Hn·（ZX））-θ· S+Hn·X-（Hn）十、-Z-·Z=M+Kn·S，其中Rd值过程Kn=（Knt）t∈[0，T]由kn定义，它：=（M+（Hn·（ZX））T-- （Hn）tXt文件-Zt公司-)θit+Hn，i+1t，对于所有i=1，d和t∈ [0，T]。类似于[RS97，命题8]中的论证，f行为∈ L（ZX，G）表示半鞅拓扑asn中的Hn·（ZX）收敛于H·（ZX）→ +∞. 因此，根据[JS03，命题III.6.26]，Kn·S=（M+Hn·（ZX））/Z- 对于某些K，Malso在半鞅拓扑中收敛到K·S∈ L（S，G），从而提供了（M+H·（ZX））/Z=M+K·S。再加上（6.2），这就完成了证明。我们现在证明了我们关于内幕金融市场（无）套利性质的主要结果(Ohm, G、 P；S） （定理2.4）。作为初步结果，我们回顾了以下关于初始过滤放大下局部鞅行为的结果。在现有假设2-3下，这是[ACJ15，提案9]的直接结果（另见[AFK16，提案3.6]）。引理6.1。设M=（Mt）t∈[0，T]是上的局部鞅(Ohm, F、 P）。然后M/qL∈ Mloc（P，G）。信息套利的价值25定理2.4的证明。该定理的第一个断言的效率部分直接来自【AFK16，定理1.12】。

为了证明这一必要性，让我们定义F-停止时间ζx：=inf{t∈ [0，T]：qxt=0}和ηx：=ζx{qxζx->0}+ (+∞)1{qxζx-=0}，对于x∈ E、 假设存在一个集合B∈ beithλ（B）>0，使得P（ηx<+∞) > 0，用于allx∈ B、 根据[Jac85，推论1.11]，它认为ηL=ζL=+∞ a、 s.对于每个x∈ B、 定义鞅Mx=（Mxt）t∈[0，T]通过Mx：=-（1[[ηx，T]]-（1[[ηx，T]]）p），其中（1[[ηx，T]]）p表示过程1[[ηx，T]]的双F可预测预测预测。自L起(Ohm, FT，P）是可分的，[SY78，命题4]保证了a（P（F）的存在 BE）-（1[[ηx，T]]）p的可测版本。由于假设1与[Fon18，命题4.9]一起，存在a（p（F）BE）-可测量过程Hx∈ L（S，F）使得Mx=Hx·S，对于每x∈ E、 [Fon18，命题4.10]证明中使用的相同论点允许证明G-可预测过程HL属于L（S，G），并认为HL·S=ML=（1[[ηx，T）]）px=L。过程（1[[ηx，T）]）px=Lis非负，非递减，它保持eh（1[[ηx，T]]）pTx=Li=ZEEqxT（1[[ηx，T]]）pTλ（dx）=ZEEZTqxu公司-d（1[[ηx，T）]）puλ（dx）=ZEEqxηx-{ηx≤T}λ（dx）>0，其中第二个和第三个等式来自【HWY92，定理5.32-5.33】。这与NUPBR的有效性相矛盾(Ohm, G、 P），从而证明了该定理的第一个断言。假设NUPBR保持不变(Ohm, G、 让我们证明Z={Z/qL}。SinceS公司∈ Mloc（Q，F）和Z是F上Q相对于P的密度过程，Z和Z是F上的局部鞅(Ohm, F、 P）。因此，引理6.1意味着Z/qL∈ Mloc（P、G）和ZS/qL∈Mloc（P，G），表示Z/qL∈ Z、 为了证明Z={Z/qL}，设D=（Dt）t∈[0，T]是Z和（τn）n的任意元素∈将a.s.增加至（Z/qL）τn的Na G停止时间序列∈ M（P，G）和Dτn∈ M（P，G），对于所有n∈ N

对于每个n∈ N、 确定过滤系数=（Gt∧τn）t∈[0，T]和概率测度QG，nandbQnby，dQG，n=ZT∧τn/qLT∧τndP和dbqn=DT∧分别为τndP。它认为Sτn∈ Mloc（QG、n、Gn）∩ Mloc（bQn，Gn）。设N=（Nt）t∈[0，T]∈ M（QG，n，Gn），所以n（Z/qL）τn∈ M（P，Gn）。根据命题2.3和[HWY92，引理13.8]，对于某些γ，它将th保持在N=N+γ·SτN∈ L（Sτn，Gn）。因此，Sτnhas themartingale表示性质为(Ohm, Gn、QG、n）。鉴于[Jac79，推论11.4]（扩展到一个n个平凡的初始西格玛场），该影响在于QG，n=bQn，f或每个n∈ N、 等效YZT∧τn/qLt∧τn=Dt∧τna。s、 ，每t∈ [0，T]和n∈ N、 自停止时间（τN）N起∈九里萨。s、 最后，我们得到了一个消失集的Z/qL=D，从而证明了Z={Z/qL}。现在我们来证明定理的第二部分：（ii）<=> （iii）：这种复制很明显（与[Ame00，引理2.2]相比）。（三）<=> （iv）：需要注意的是，根据引理2.2和公式（6.1），E昆士兰= EqLT{qLT>0}=ZEP（qxT>0）λ（dx）。26 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA（三）<=> （v） ：同上，它认为ZTqLT公司= EZTqLT{qLT>0}=ZEE[ZT{qxT>0}]λ（dx）=ZEQ（qxT>0）λ（dx）。自从Q~ P、 对于λ-a.e.x，性质（iii）等于Q（qxT>0）=1∈ E、 从而证明了这一主张。（四）<=> （vi）：引理6.1表示th为1/qL∈ Mloc（P，G）。作为一个严格正的局部鞅，因此是一个超鞅，当且仅当E[1/qLT]=1时，1/ql是一个真鞅。（三）=> （vii）：定义集合B：={x∈ E:P（qxT=0）>0}，λ（B）=0。让N∈ M（P，F）取任意0≤ s≤ t型≤ T，Fs可测集as和有界BE可测函数h:E→ R

根据公式（6.1），我们可以计算：NtqLth（L）1As= ENtqLth（L）1As{qLt>0}=ZEh（x）E[NtAs{qxt>0}]λ（dx）=ZE\\Bh（x）E[NtAs]λ（dx）=ZE\\Bh（x）E[NsAs]λ（dx）=ZEh（x）E[NsAs{qxs>0}]λ（dx）=ENsqLsh（L）1As.由于西格玛场GSI是由形式为h（L）1As的随机om变量生成的，这证明了N/qL∈ M（P，G）。（七）=> （i） ：我们已经知道Z/qL∈ Z、 自Z起∈ M（P，F），属性（vii）表示z/qL∈ M（P，G）。因此，dQG定义的概率测度QGde：=ZT/qLTdP是S on的等效局部鞅测度(Ohm, G、 P）。根据[DS98]，S Saties NFLVR on(Ohm, G、 P）。（一）=> （v） ：我们通过矛盾论证，并明确构建了一个套利机会。假设E[ZT/qLT]6=1。因为Z/ql是(Ohm, G、 P），必须是E[ZT/qLT]<1。定义M=（Mt）t∈[0，T]∈ M（P，G）乘以Mt：=E【ZT/qLT | Gt】，对于所有t∈ [0，T]。根据命题2.3，存在K∈ L（S，G），使Mt=Zt/qLt（M+（K·S）t）a.S.对于所有t∈ [0，T]。注意，（K·S）t=qLtZtMt- M≥ -M≥ -1 a.s.适用于所有t∈ [0，T]，其中最后一个不等式来自于Z/qL的G-超鞅性质。因此，在[DS94]的意义上，策略K是1-可容许的。此外，还发现（K·S）T=1- M≥ 0a。s、 E[M]<1意味着P（（K·s）T>0）>0。这表明K是一个套利机会，因此与NFLVR在(Ohm, G、 P）。6.2. 第3节结果s的证明。我们首先证明了引理3.2和3.4，它们共同提供了可容许投资组合集的完整对偶描述。引理3.2的证明。（i） ：让H∈ {F，G}和（θ，c）∈ 啊，k+（v）。为了简化旋转，让usdenote V：=Vv+k，θ，c，c：=R·cudκuandeC：=R·ZHudCu。

通过分部积分公式（参见[JS03，命题I.4.49]），我们得到了∈ [0，T]，ZHtVt+eCt=ZHtv+k+（θ·S）t- ZHtCt+ZtZHudCu=ZHtv+k+（θ·S）t-（C）-· ZH）自ZH起∈ Mloc（P，H）和ZHS∈ Mloc（P，H），这意味着ZHV+eC是sigma鞅(Ohm, H、 P）（参见，例如，【Fon15，引理4.2】）。由于非负，它也是信息套利27的一个超级大赢家（参见[Kal04，命题3.1]）。为了证明（θ，c）∈ 啊，ksm（v），还有待证明∈ L（P）。类似于[CCFM17，引理1]，let（τn）n∈Nbe C的H停止时间本地化序列-· 中弘∈ Mloc（P，H）。那么，对于每n∈ N、 它保持V+k≥ EZHT公司∧τnv+k+（θ·S）T∧τn≥ EZHT公司∧τnCT∧τn= EZT公司∧τnCu-dZHu+ZT∧τnZHudCu,其中，我们使用了ZH（v+k+θ·S）的超鞅性质和分部积分。自（C）起-· ZH）τn∈ M（P，H），对于所有n∈ N、 单调收敛定理得出v+k≥ 画→+∞E发射型计算机断层扫描仪∧τn= E发射型计算机断层扫描仪.Conver sely，let（θ，c）∈ 啊，ksm（五）。根据定义，ZHVv+k、θ、c+R·Zucudκuis过程是(Ohm, H、 P）。因此，对于所有t∈ [0，T]，ZHtVv+k，θ，ct+ZtZHucudκu≥ EZHTVv+k，θ，cT+ZTZHucudκuHt公司≥ EZTZHucudκuHt公司,所以ZHtVv+k，θ，ct≥ E【RTtZHucudκu | Ht】≥ 0。这表明Vv，θ，ct≥ -k a.s.适用于所有t∈ [0，T]，从而提供（θ，c）∈ 啊，k+（v）。（ii）：引理2.2与[Jeu80，命题2.1]一起意味着L（S，F） L（S，G），f，其中包含AF，k+（v） AG，k+（v）紧随其后。反过来，在引理的第（i）部分中，这意味着AF，ksm（v） AG，ksm（v）。现在让我们来看引理最后一个断言的证明。首先假设E[1/qLT]6=1，或等效地，E[ZT/qLT]6=1（见定理2.4）。

由于Z/qLis是一个三次正局部鞅(Ohm, G、 P）（见引理6.1），必须是E[ZT/qLT]<1和Z/qL/∈ M（P，G）（即Z/qLis astrict局部鞅）。考虑这对（0，0）∈ AF，km（1），生成定值过程v1,0,0=1。自ZGV1,0,0=Z/qL/∈ M（P，G），这表明（0，0）/∈ AG，km（1），从而提供AF，km（1）*AG，km（1）。相反，假设E[1/qLT]=1，let（θ，c）∈ AF，km（v）。让u s表示V：=Vv+k，θ，candeC：=R·ZFucudκu，并注意E“eCTqLT#=E”eCTqLT{qLT>0}#=ZEEeCT{qxT>0}λ（dx）=E发射型计算机断层扫描仪< +∞,其中，我们使用了公式（6.1）和等价物（iii）<=>（iv）定理2.4。同样根据Theorem2.4，它认为1/qL∈ M（P，G）。因此，取1/qLT的G-可选投影（参见，例如，[HWY92，定理5.16]），我们可以为所有t∈ [0，T]，E“eCTqLTGt#=E“ZTtqLTdeCu+eCtqLTGt#=EZTTQLUDEC公司燃气轮机+eCtqLt=EZTqLudeCu燃气轮机-ZtqLudeCu+eCtqLt，因此表明EC/qL-R·（1/qLu）deCu∈ M（P，G）。自（θ，c）起∈ AF，km（v），它认为ZFV+eC∈M（P，F）。根据定理2.4，E[1/qLT]=1的事实意味着（ZFV+eC）/qL∈ M（P，G）。28 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontana根据部件积分公式，我们得到了thatZGtVt+ZtZGudCu=Zftvqlt+ZtqLudeCu=ZFtVt+eCtqLt-eCtqLt+ZtqLudeCu，适用于所有t∈ [0，T]。这证明了ZGV+R·ZGucudκu∈ M（P，G），所以（θ，c）∈ AG，km（v）。引理3.4的证明。CH，k+（v）=CH，ksm（v）这一事实是引理3.2第（i）部分的直接结果。如果是c∈ CH，k+（v），则存在θ∈ L（S，H）使得（θ，c）∈ AH，k+（v）=AH，ksm（v）（见引理3.2）。因此，由于过程ZHVv+k，θ，c+R·ZHucudκuan的超马氏性，以及Vv，θ，cT≥ 0 a.s.，它保持V+k≥ EZHTVv+k，θ，cT+ZTZHucudκuH≥ EkZHT+ZTZHucudκuH,所以E[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1-E[ZHT | H]）a.s.相反，设C：=R·cudκu，并假设E[RTZHudCu | H]≤ v+k（1-E【ZHT | H】）a.s。

考虑进程bv=（bVt）t∈[0，T]由BVT定义：=v+ZHtCt-ZTZUDCU+EZTZHudCuHt公司- EZTZHudCuH+ k1.- E【ZHT | H】+E【ZHT | Ht】- ZHt公司,对于所有t∈ [0，T]。过程bv被定义为Mloc的一个元素（P，H）。作为假设1（以及命题2.3，在H=G的情况下）的结果，存在ψ∈ L（S，H）使得BVT=ZHtv+（ψ·S）ta、 s.适用于所有t∈ [0，T]。过程Vv+k，ψ，c=（Vv+k，ψ，ct）t∈与对（ψ，c）相关的[0，T]满足zhtvv+k，ψ，ct+ZtZHudCu=v+k+EZTZHudCuHt公司- EZTZHudCuH+ kE【ZHT | Ht】- E【ZHT | H】a、 s.适用于所有t∈ [0，T]。通过构造，它认为ZHTVv，ψ，cT≥ 0 a.s.这表示（ψ，c）∈ AH，km（v） 啊，k+（v）（见引理3.2），从而证明了c∈ CH，k+（v）。断言（ii）后面是类似的论点，使用s et CH，km（v）的定义，并用鞅性质替换上鞅性质。还有待证明（3.3）。自AH起，km（v） 啊，k+（v），很明显，呃，k（v）≥ 嗯，公里（v）。为了克服逆不等式，让c∈ CH，k+（v）。根据引理的第（i）部分，它认为e[RTZHucudκu | H]≤ v+k（1-E[ZHT | H]）a.s.定义H-可测非负随机变量v：=v+k（1- E【ZHT | H】）- E【RTZHucudκu | H】和定义▄c=（▄ct）t∈[0，T]∈ O+（H）乘以▄ct：=ct+▄vZHtE[κT | H]，对于所有T∈ [0，T]。通过构造，它认为E[RTZHucudκu | H]=v+k（1-E【ZHT | H】）a.s.，因此▄c∈ CH，km（v）。此外，对于每t∈ [0，T]，我们有P（~ct≥ ct）=1，当且仅当ifc时，P（~ct>ct）>0/∈ CH，km（v）。由于假设U在不断增加（假设3.3），这意味着EZTU（u，cu）dκu≤ EZTU（u，~cu）dκu,严格不等式条件下信息套利的价值当且仅当c/∈ CHm（v）。由c的任意性∈ CH，k+（v），我们有uH，k（v）≤ km（v），从而证明了等式（3.3）。我们现在可以证明命题3.6。

尽管证明遵循了一个众所周知的主题，但为了方便读者，我们给出了全部细节。命题3.6的证明。在当前假设下，过程cH=（cHt）t∈[0，T]satifiese[RTZHucHudκu | H]=v+k（1-E[ZH | H]）a.s.，以便∈ CH，km（v），引理3.4。考虑任意消耗过程c∈ CH，km（v）。根据U的凹度（假设3.3），它认为U（t，cHt）≥ U（t，ct）+U′（t，cHt）（cHt- ct）=U（t，ct）+∧H（v）ZHt（cHt- ct），每t∈ [0，T]。因此，EZTU（u，cHu）dκuH≥ EZTU（u，cu）dκuH+ ∧H（v）EZTZHucHudκuH- ∧H（v）EZTZHucudκuH= EZTU（u，cu）dκuH,式中，等式来自以下事实，根据引理3.4的第（ii）部分，v+k1.- E【ZHT | H】= EZTZHucHudκuH= EZTZHucudκuHa、 这一主张是由c的任意性引起的∈ CH，km（v）以及引理3.4中的等式（3.3）。推论3.10的证明。根据命题3.6，为了计算uH，k（v），有必要明确找到满足方程（3.4）的H-可测随机变量∧H，k（v）。注意，无论何时存在，随机变量∧H，k（v）都是唯一确定的（直到P-nullset）。（i） ：如果U（ω，t，x）=log（x），那么i（ω，t，y）=1/y，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞). 因此，方程（3.4）可以显式求解，它认为∧H，k（v）=E[κT | H]/（v+k（1-E【ZHT | H】）。根据命题3.6，最优解cH=（cHt）t∈[0，T]由cht=∧H，k（v）ZHt=v+k（1）给出- E【ZHT | H】）ZHtE【κT | H】，对于所有T∈ [0，T]。在推论中所述的可积性假设下，可通过简单的计算获得（3.5）给出的最佳预期效用uH，k（v）。注意，（3.5）右侧的前两项始终是有限的，这是κT.（ii）有界性的结果：如果U（ω，T，x）=xp/p，那么I（ω，T，y）=y1/（p-1） ，对于所有（ω，t，y）∈ Ohm ×【0，T】×（0+∞).

根据命题3.6，H-可测随机变量∧H，k（v）必须解ZT（朱）pp-1.∧H，k（v）p-1dκuH= v+k1.- E【ZHT | H】.因此，如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]<+∞ a、 那么我们有∧H，k（v）=v+k（1- E【ZHT | H】）p-1E级ZT（朱）pp-1dκuH1.-p、 30 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANABy p Proposition 3.6，相应的最优消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]由cht=（λH，k（v）ZHt）1/（p）给出-1） ，对于所有t∈ [0，T]。如果E[RT（ZHu）p/（p-1） dκu | H]1-p∈ L（P），则最佳预期效用uH，k（v）是有限的，可以如（3.6）所示明确计算。推论3.12的证明。我们首先表明，对于everyv>vHk，方程（3.9）允许a.s.唯一解。为此，我们定义了H-可测量函数g：Ohm × (0, +∞) → R+byg（λ）：=αE“ZTZHu日志αλZHu+dκuH#，对于λ∈ (0, +∞).注意，g定义良好，因为g（λ）=αEZTZHulog公司αλZHu{朱≤α/λ}dκuH≤E[κT | H]λ<+∞ a、 显然，g是一个递减函数。此外，支配收敛定理表明g是连续的。再次通过控制收敛，它认为limλ→+∞g（λ）=0 a.s，Fatou引理的一个前瞻性应用产生limλ↓0g（λ）=+∞ a、 此外，对于所有0<λ′<λ<+∞, 它认为{g（λ）>0}上的g（λ′）>g（λ）a.s。通过矛盾论证，如果H-可测s et Gλ，λ′：={G（λ）=G（λ′），G（λ）>0}具有严格的正概率，则日志αλ′ZHu+-日志αλZHu+!dκuGλ，λ′上的H#=0。然而，由于log（α/（λ′ZHu））>log（α/（λZHu）），对于所有u∈ [0，T]，这与g（λ）>0的假设相矛盾。鉴于这些观察结果，v+k（1-E[ZHT | G]（ω））∈ {g（λ）（ω）：λ∈ (0, +∞)} 论坛。a、 ω∈ Ohm. 因此，根据[Ben70，引理1]，方程（3.9）允许一个唯一的严格正H可测解∧H，k（v），对于每一个v>vHk。在滥用符号的情况下，让U（x）：=-e-αx，对于x∈ R+，I（y）：=（1/α）（对数（α/y））+，对于y∈ (0, +∞).

可以很容易地检查（6.3）supx∈R+U（x）- xy型= UI（y）- yI（y），对于所有y>0。然后让我们定义消费过程cH=（cHt）t∈[0，T]bycHt：=α日志α∧H，k（v）ZHt+, 对于所有t∈ [0，T]，注意E[RTZHucHudκu | H]=v+k（1- E【ZHT | H】）a.s.，以便cH∈ CH，km（v）。考虑任意消费过程c=（ct）t∈[0，T]∈ CH，km（v），并注意到，由于（6.3），U（cHt）≥ U（ct）+∧H（v）ZHt（cHt- ct），对于所有t∈ [0，T]。在命题3.6的证明中采用的相同论点可以得出结论，CHI是最佳消费过程。公式（3.8）通过直接计算得出。信息套利价值316.3。第4节结果的证明。定理4.2的证明。（i） ：由于U的凹度（见假设3.3），假设ug，k（v）<+∞ 对于某些v>vgk意味着函数uG，kis是凹的，而uG，k（v）<+∞,对于所有v≥ vGk。引理3.2认为uG，k（v）≥ uF，k（v）=uF，0（v）>-∞, 对于每v>0。因此，对于每一个v>0，如果函数uG，kis连续，严格递增且满足limwvGkuG，k（w）<uF，0（v），则方程（4.1）允许唯一的非负解πU，k（v）。在目前的假设下，uG、Ksaties这些属性。实际上，通过凹度，函数uG，kiscontion（vGk+∞). 此外，根据条件（3.4），我们得到，y v>vgk，δ>0，EZTZGu公司我u、 ∧G，k（v+δ）ZGu- 我u、 ∧G，k（v）ZGudκuG= δ、 对于一些G-可测随机变量∧G，k（v+δ）和∧G，k（v）。由于ZG>0且I（ω，t，·）急剧减小，对于每一个（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，这意味着∧G，k（v+δ）<∧G，k（v）a.s。回顾uG，k（v）=E[RTU（u，I（u，G，k（v）ZGu））dκu]，根据命题3.6，这意味着uG，kis严格增加。（ii）：如果E[1/qLT]<1，则E[ZGT]<1（见定理2.4）。

如备注3.7（w ithH=G）中所述，这需要在k 7处进行th→ uG，k（v）呈快速增加趋势。反过来，从定义4.1来看，这意味着k 7→ πU，k（v）不断增加，y v＞0。相反，如果映射k 7→ πU，k（v）是严格递增的，那么对于每一个v>vGk，它必然保持uG，k（v）>uG，0（v）。鉴于备注3.5和定理2.4，这意味着E[1/qLT]<1。（iii）：它必须表明，对于所有k，ifRE（E[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0保持，则ug，k（v）>uF，0（v）∈ R+和v>0。在目前的假设下，根据表3.4，存在一对（θF，cF）∈ AF，0m（v），使cf解决问题（3.1）（H=F）。引理3.2认为（θF，cF）∈ AF，公里（v） AG，ksm（v），因此m：=EZTZGucFudκu+kZGTG≤ 通过公式（6.1），可以显式地计算G-可测随机变量mca。的确，leth:E→ 是一个任意的可测有界函数。ThenE公司h（L）ZTZGucFudκu+kZGT=ZEh（x）EqxTZTZFuqxu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}λ（dx）=ZEh（x）EZTZFu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}λ（dx），其中第二个等式来自【HWY92，定理5.32】。因此，我们知道M=E[RTZFu{qxu>0}cFudκu+kZFT{qxT>0}]x=La。s、 因为过程Cf是严格阳性的（dκP） -a.e.（作为假设3.3的结果），条件re（e[RT{qxt=0}dκt]+kP（qxt=0））λ（dx）>0意味着P（M<v+k）>0。然后确定O（G）-可测量过程^c=（^ct）t∈[0，T]by^ct：=cFt+v+k- MZGtE[κT | G]，对于所有T∈ [0，T]。32 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO Fontanasimily在引理3.4的证明的最后一部分，它认为^c∈ 重心，km（v）。此外，由于每t的P（^ct>cFt）>0∈ [0，T]，我们有thatuG，k（v）≥ EZTU（u，^cu）dκu> EZTU（u，cFu）dκu= uF，k（v），从而完成证明。命题4.3的证明。

结果来自推论3.10中获得的最优期望的显式表达式。更具体地说，考虑到方程式（3.5），第（i）部分通过求解πlog（v）方程式0=uF（v）- uG公司v- πlog（v）= 对数（v）E[κT]- 日志E[κT]E[κT]+EZTlog公司祖dκu- 日志v- πlog（v）E[κT]+E日志E[κT | G]κT-EZTlog公司qLuZu公司dκu.类似地，根据方程式（3.6），定理的第（ii）部分随后通过求解方程式0=uF（v）- uG公司v- π压水堆（v）=vppEZT（Zu）pp-1dκu1.-p-v- π压水堆（v）ppE“EZT公司Zu/qLu聚丙烯-1dκuG1.-p#。定理4.5的证明。首先请注意，由于U是凹的，Jensen不等式和假设s∈ Mloc（P，F）意味着对于每个效用函数U，uF，k（v）=U（v）∈ U和（k，v）∈ R+。（一）=>（ii）：设U是U，k的任意元素∈ R+和v>0。考虑消费过程cg=（cGt）t∈[0，T]由cGt=v1{T=T}给出，对于T∈ [0，T]。因为dκu=δT（du），P（qLT=q）=1，q≥ 引理3.4表示cG∈ 重心，公里（（v+k）/q- k） 。因此，我们得到了thatuG，k（（v+k）/q- k）≥ EU（cGT）= U（v），每v>0。另一方面，根据Jensen不等式，对于任何消费过程c∈ CG，k+（（v+k）/q-k） ，我认为U（cT）≤ UE[cT]= Uq EcT/qLT≤ Uq（（v+k）/q-k+k- k/q）= U（v），其中第二个不等式来自引理3.4的（i）部分，因为Q=P，dκU=δT（du）。因此，我们证明了uG，k（（v+k）/q- k） =U（v）=uF，k（v），对于每个U∈ U、 因此，假设（ii）成立，差值πk（v）如（4.4）所示。（二）=>（iii）：在（ii）中取k=0，这是一个简单的应用。（三）=>（i） ：考虑效用函数U（x）=log（x）和U（x）=xp/p，对于p∈ (0, 1). ForH公司∈ {F，G}和i∈ {1，2}，用uH，0i（v）表示对应的期望最大化问题（3.1）的值函数，对于v>0且k=0。

假设f或每v>0，存在一个值π（v），使得uG，0i（v-π（v））=uF，0i（v）=Ui（v），对于i∈ {1，2}和所有p∈ (0, 1). 特别是，这一影响在于uG，0i（v- π（v））<+∞, 对于i∈ {1，2}，π（v）=πlog（v）=πpwr（v），所有p的信息套利值33∈ （0，1），使用命题4.3中引入的符号。因此，命题4.3的假设是满足的，根据公式（4.2）-（4.3），它认为expE日志（qLT）= EEh（qLT）p1-pGi1-p1/p，适用于所有p∈ (0, 1). 根据Jensen不等式，它认为exp（E[log（qLT）]）≤ E[昆士兰]。另一方面，函数x 7→ x1/（1）-p） 是凸的，根据Jensen不等式，EEh（qLT）p1-pσ（L）i1-p1/p≥ EhE公司（qLT）pGi1/p=E（qLT）p1页。我们已经证明了（qLT）p1/p≤ EEh（qLT）p1-pGi1-p1/p≤ E[qLT]和E[（qLT）p]1/p<+∞, 对于所有p∈ (0, 1). 因此，E[E[（qLT）p1-p |σ（L）]1-p] 1/p接近E【qLT】asp→ 反过来，这意味着V1.- e-E[日志（qLT）]= πlog（v）=πpwr（v）=v1- EEh（qLT）p1-pGi1-p-1/p！→ v1.-E[昆士兰]作为p→ 因此，它认为E[log（qLT）]=log（E[qLT]）。从函数x 7开始→ 对数（x）是严格凹的，这意味着存在一个严格的正常数q，使得P（qLT=q）=1。事实上，q≥ 1自E【1/qLT】起≤ 1，根据1/qLon的supermartingale属性(Ohm, G、 P）。结果表明，在条件（i）、（ii）或（iii）下，问题（3.1）中的最优财富过程H=G，表示为VG=（VGt）t∈[0，T]如（4.5）所示。证明第一部分中构建的最佳消费计划CG属于CG，km（（v+k）/q- k） 。因此，vq=EcGTqLT燃气轮机=VGt+kqLt- EkqLT公司燃气轮机=VGt+kqLt-kqa。s、 尽管如此，t∈ [0，T]，其中第二个等式来自于集合CG的定义，km（（v+k）/q- k） 。命题4.8的证明。

与定理4.5的证明类似，对于每一个U∈ U、 k级∈ R+和v≥ 0、消耗过程cG=（cGt）t∈[0，T]由cGt=v1{T=T}定义，对于T∈ [0，T]，属于CG，k+（（v+k）/qmin-k） 。实际上，在目前的假设下，我认为E[（v+k）/qLT | G]≤ （v+k）/Q最小值。s、 因此，对于所有k∈ R+和v>0，我们有thatuF，k（v）=U（v）=E[U（cGT）]≤ uG，k（（v+k）/qmin- k） ，这意味着v- πU，k（v）≤ （v+k）/qmin- k、 从而得出（4.6）中的第一个不等式。然后考虑任意消耗过程c=（ct）t∈[0，T]∈ CG，k+（（v+k）/qmax- k） 。ByJensen不等式认为e[U（cT）]≤ U（E[cT]）≤ UQ轴cTqLT公司≤ U（v）=uF，k（v），其中第三个不等式来自引理3.4。根据c的任意性，这意味着ug，k（（v+k）/qmax- k）≤ uF，k（v），因此表明v- πU，k（v）≥ （v+k）/qmax-k34 HUY N.CHAU、ANDREA COSSO和CLAUDIO FONTANA7。结论在本文中，我们在一个包含内幕信息的完整金融市场的半鞅模型中，对信息套利的价值进行了一般性研究。在我们的分析中，市场完整性假设起着核心作用。特别是，它可以自然地转移到最初扩大的过滤G中，从而使我们能够精确描述内部金融市场中NUPBR和NFLVR的有效性(Ohm, G、 P；S） 。反过来，这为最优消费投资问题的解决提供了一种通用且简单的对偶方法。在典型效用函数的情况下，市场的完备性导致了完全明确的解决方案，这揭示了信息套利价值的有趣特征。信息套利的价值也可以在一般不完全市场中定义和研究。

特别是，只要G中的最优投资消费问题是适定的，定理4.2的存在唯一性结果在不完全市场中仍然成立。更确切地说，如果G中的原始值函数和对偶值函数是有限的，并且(Ohm, G、 P；S） 满足NUPBR（但不一定是NFLVR），那么[CC FM17]的结果表明，价值函数具有充分的规则性，可以证明信息套利价值的存在性和唯一性。然而，除了特定模型外，人们无法获得信息轨道价值的明确描述。此外，在一般的不完全市场中，不存在一个简单的标准来确定内幕信息是否会在G中产生套利（与定理2.4相比）。在目前的工作中，我们考虑了一个无摩擦的金融市场，其中交易资产具有完全的流动性。我们认为，未来研究的一个有趣方向是，本着[KHS06]的精神，在更现实的市场结构下研究信息套利的价值，这些市场结构包括交易成本和价格冲击。在这些情况下，informedagent最好投资于套利机会，因为交易活动本身可能影响套利策略的可靠性，或者仅仅因为存在市场摩擦。参考文献【ABS03】J.Amendinger、D.Becher和M.Schweizer。portfoliooptimization中初始信息的货币值。财务Stoch。，7(1):29–46, 2003.【ACJ15】A.Aksamit、T.Choulli和M.Jeanblanc。关于一个可选的半鞅分解和一个扩大过滤中的扩散子的存在性。在C.Donati Martin、A.Lejay和A.Rouault中，编辑，InMemoriam Marc Yor-S’eminaire de Probabilit’es X LVII，第2137卷《数学课堂讲稿》，第187-218页。Springer，2015年。【ADI06】S.Ankirchner，S。

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