回火稳定过程驱动的指数股票模型

2022-6-24 08:35:42

由回火稳定过程驱动的指数股票模型Uwe K"UCHLER和STEFAN Tappeastract。我们研究了由回火稳定过程驱动的指数股票模型，它构成了一个丰富的纯间断Lévy过程族。从期权定价的角度出发，我们系统地分析了等价鞅测度的存在性，在此条件下，模型仍然是可分析的。这包括Esscher鞅测度和与物理概率测度有最小距离的鞅测度的存在性。此外，我们还提供了欧式看涨期权的定价公式，并进行了案例研究。简介回火稳定分布形成了一类分布，吸引了概率论和金融数学研究人员的兴趣。他们在[18]中首次引入，其中相关的列维过程被称为“截断列维荧光”，并已被几位作者推广。回火稳定分布形成了一个六参数的不完全可分分布族，涵盖了方差伽马分布【26，25】、双边伽马分布【20，21】和CGMY分布【6】等几个著名的子类。研究了回火稳定分布的性质，例如，在[29、33、32、3]和[23]中，本文的一些结果已经公布。对于财务建模，它们已经被应用，例如，在[4、7、27、16、2]中，也可参见最近的教科书[28]。本文的目的是系统地分析由回火稳定过程驱动的指数股票价格模型的等价鞅测度的存在性，在该模型下，期权价格的计算仍然是分析可处理的。

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2022-6-24 08:35:46

特别是，我们对鞅测度感兴趣，在鞅测度下，驱动过程仍然是一个缓和的稳定过程，或者至少是一个特征函数明确已知的Lévy过程。感兴趣的等价鞅测度是Esscher鞅测度和双边Lesscher鞅测度，它们在某种意义上使到原始概率测度的距离最小化，例如最小熵鞅测度或p-最优鞅测度，在这些鞅测度下，驱动过程仍然是一个缓和的稳定过程。我们将详细研究这些鞅测度的存在性。此外，我们将处理F"ollmer-Schweizer最小鞅测度。在存在的情况下，驱动过程是该测度下两个独立回火稳定过程的总和，因此模型在分析上是可处理的。对于上述所有鞅测度，我们将推导出期权定价公式。此外，我们将通过案例研究来说明我们的发现。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍股票模型。之后，在第3节中，我们将研究Esscher变换，在第4节中，我们将研究2010年数学主题分类。60G51、91G20。关键词和短语。指数股票模型，缓和稳定过程，双边Esschertransform，期权定价。2 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappest研究了双边Esscher变换，在第5节中，我们讨论了F"ollmer-Schweizer最小鞅测度。第6节介绍了期权定价公式，第7节提供了案例研究。2、回火稳定过程驱动的股价模型在本节中，我们将介绍股价模型，并回顾回火稳定过程的一些结果。

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mingdashike22

2022-6-24 08:35:49

关于我们在本节中回顾的关于阻尼稳定过程的所有结果，请读者参考[23]。让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是满足通常条件的过滤概率空间。We fix参数α+、λ+、α-, λ-∈ (0, ∞) 和β+，β-∈ (0, 1). （R，B（R））上的独立分布η称为回火稳定分布，表示η=TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-),如果其特征函数由Д（z）=exp给出锆eizx公司- 1.F（dx）, z∈ rLévy度量F isF（dx）的位置=α+x1+β+e-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | 1+β-e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。(2.1)2.1. 评论在[22]中，我们研究了由双边伽玛过程驱动的指数股票模型，这将在β+=β时发生-= 我们可以将η的特征函数表示为（2.2）Д（z）=expα+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ iz）β-- (λ-)β-, z∈ R、其中幂来自于复对数的主分支。我们将与η相关的Lévy过程X称为回火稳定过程，并将其称为writeX~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).（2.3）累积量母函数ψ（z）=ln EP[ezX]存在于[-λ-, λ+]由（2.4）ψ（z）=α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ z） β-- (λ-)β-, z∈ [-λ-, λ+].X的所有增量都有回火稳定分布，更精确- Xs型~ TS（α+（t- s），β+，λ+；α-（t- s），β-, λ-) 对于0≤ s<t.（2.5）回火稳定库存模型是一种指数Lévy模型St=SeXtBt=ert（2.6），其中X表示回火稳定过程，S是具有确定性初值S>0和股息率q的股息支付股票≥ 此外，B是利率为r的银行账户≥ 0

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2022-6-24 08:35:52

在下面的内容中，我们假设r≥ q≥ 0、等效概率测度Q~ P是局部鞅测度（简而言之，鞅测度），如果贴现股票价格过程St：=e-（r）-q） tSt=SeXt-（r）-q） t，t≥ 由回火稳定过程驱动的0（2.7）指数股票模型3是局部Q鞅。鞅测度Q的存在性~ P确保股票市场没有套利，且欧式期权的价格Φ（ST），其中T>0是到期时间，Φ：R→ R支付函数由π=e给出-rTEQ[Φ（ST）]。2.2. 引理。以下陈述是正确的：（1）如果λ+≥ 1，则P是鞅测度当且仅当α+Γ(-β+)(λ+- 1)β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ 1)β-- (λ-)β-= r- q、（2.8）（2）如果λ+<1，则P永远不是鞅测度。证据根据[22，引理2.6]，当且仅当ifEP[eX]=1时，测度P是鞅测度，因此，通过考虑（2.4）得出结论。3.Esscher鞅测度的存在性在本节中，我们研究了[9]中首创的Esscher变换。在本节中，设X为形式（2.3）的回火稳定过程。3.1. 定义。LetΘ∈ (-λ-, λ+）可以是任意的。Esscher变换PΘ定义为局部等效概率测度，似然过程∧t（PΘ，P）：=dPΘdPFt=eΘXt-ψ（Θ）t，t≥ 0（3.1），其中ψ表示（2.4）给出的累积量生成函数。3.2. 引理。每Θ∈ (-λ-, λ+，我们有x~ TS（α+，β+，λ+- Θ; α-, β-, λ-+ Θ）在PΘ下。证据这源于[19]中的命题2.1.3和示例2.1.4。我们定义了函数f：[-λ-, λ+- 1] → R asf（Θ）：=f+（Θ）+f-（Θ），其中我们有setf+（Θ）：=α+Γ(-β+)(λ+- Θ - 1)β+- (λ+- Θ)β+,f-(Θ) := α-Γ(-β-)(λ-+ Θ + 1)β-- (λ-+ Θ)β-.3.3. 定理。

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2022-6-24 08:35:55

以下陈述是正确的：（1）存在Θ∈ (-λ-, λ+，使得PΘ是鞅测度当且仅当λ++λ-> 1（3.2）和r- q∈ （f）(-λ-), f（λ+- 1)].（3.3）（2）条件（3.3）相当于α+Γ(-β+)(λ++ λ-- 1)β+- (λ++ λ-)β++ α-Γ(-β-)< r- q≤ -α+Γ(-β+) + α-Γ(-β-)(λ++ λ-)β-- (λ++ λ-- 1)β-.（3）如果满足条件（3.2）和（3.3），则Θ是唯一的，属于区间(-λ-, λ+- 1] ，它是方程f（Θ）=r的唯一解- q、（3.4）4 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEProof。LetΘ∈ (-λ-, λ+）可以是任意的。根据引理3.2和2.2，概率测度PΘ是鞅测度当且仅当λ+- Θ ≥ 1，即Θ∈ (-λ-, λ+- 1] ，和（3.4）已满。请注意(-λ-, λ+- 1] 6= 如果且仅满足函数f+和f（3.2）的要求-我们得到导数（f+）（Θ）=-α+β+Γ(-β+)(λ+- Θ - 1)β+-1.- (λ+- Θ)β+-1.,（f）-)(Θ) = -α-β-Γ(-β-)(λ-+ Θ)β--1.- (λ-+ Θ + 1)β--1.对于Θ∈ (-λ-, λ+- 1]. 注意到β+，β-∈ （0，1），我们看到（f+，（f-)> 间隔0(-λ-, λ+- 1]. 因此，f在(-λ-, λ+- 1] ，完成了证明。3.4. 评论与当前情况相反，对于双边伽马股票模型（β+=β-= 0）仅条件（3.2）就足以证明Anescher鞅测度的存在，参见【22，备注4.4】。4、最小距离测度的存在性保持了一类回火稳定过程在文献中，人们通常通过找到一个等价的鞅测度Q来进行期权定价~ 对于某些严格凸函数g：（0，∞) → R、下面是函数g的常用选择：o对于g（x）=x lnx，我们称Q为最小熵鞅测度对于g（x）=xp且p>1，我们称Q为p-最优鞅测度对于p=2，我们称Q为方差最优鞅测度。我们参考【22，第5节】了解更多备注和相关文献。

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2022-6-24 08:35:58

虽然在回火稳定股票模型中不存在公共等价鞅测度（参见[1，示例2.7]），但我们得到了以下关于最小熵鞅测度存在性的结果：4.1。定理。以下陈述是正确的：（1）如果λ+<1，则存在最小熵鞅测度。（2）如果λ+≥ 1，则存在最小熵测度当且仅当α+Γ(-β+)(λ+- 1)β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ-+ 1)β-- (λ-)β-≥ r- q、该结果已在[22，备注5.4]中指出，随后将[22，定理5.3]证明的参数调整为当前情况，其中股票模型由回火稳定过程驱动。在本节中，我们将通过执行双边Esscher变换来最小化回火稳定过程类别内的相对熵yh（Q | P）：=EP[λ（Q，P）ln∧（Q，P）]=EQ[ln∧（Q，P）]。设X为形式（2.3）的回火稳定过程。我们分解温度稳定过程X=X+- 十、-作为两个独立从属的差异。它们各自的累积量生成函数由ψ+（z）=α+Γ给出(-β+)(λ+- z） β+- (λ+)β+, z∈ (-∞, λ+],(4.1)Ψ-（z） =α-Γ(-β-)(λ-- z） β-- (λ-)β-, z∈ (-∞, λ-],（4.2）见【23】。注意，ψ（z）=ψ+（z）+ψ-(-z）对于z∈ [-λ-, λ+].由回火稳定过程驱动的指数股票模型54.2。定义。Letθ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 要专横。双边lesscher变换P（θ+，θ-)定义为似然过程∧t（P（θ+，θ-), P）：=dP（θ+，θ-)数据处理Ft=eθ+X+t-ψ+（θ+）t·eθ-十、-t型-Ψ-(θ-)t、 t型≥ 注意，第3节中的Esscher变换PΘ是Justin引入的双边Esscher变换P（θ+，θ）的特例-). 实际上，我们有PΘ=P（Θ，-Θ), Θ ∈ (-λ-, λ+).(4.3)4.3. 引理。对于所有θ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 我们有~ TS（α+，β+，λ+- θ+; α-, β-, λ-- θ-)在P（θ+，θ）下-).证据

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2022-6-24 08:36:01

这源于[19]中的命题2.1.3和示例2.1.4。4.4. 提议以下陈述是正确的：（1）如果我们-α+Γ(-β+) ≤ r- q、（4.4）则无对（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) 有P（θ+，θ-)存在鞅测度。（2）如果我们有-α+Γ(-β+>r- q、（4.5）则存在-∞ ≤ θ+< θ+≤ λ+- 1和连续、严格递增的双射函数Φ：（θ+，θ+）→ (-∞, λ-) 这样：o对于所有θ+∈ （θ+，θ+）存在唯一的θ-∈ (-∞, λ-) 带P（θ+，θ-)是鞅测度，由θ给出-= Φ(θ+).o 对于所有θ+∈ (-∞, λ+\\（θ+，θ+）无θ-∈ (-∞, λ-) 有P（θ+，θ-)存在鞅测度。证据我们介绍函数f+：(-∞, λ+- 1] → R和f-: (-∞, λ-] → Rasf+（θ+）：=α+Γ(-β+)(λ+- θ+- 1)β+- (λ+- θ+)β+,f-(θ-) := α-Γ(-β-)(λ-- θ-+ 1)β-- (λ-- θ-)β-.通过引理2.2和4.3，度量P（θ+，θ-)是鞅测度当且仅当θ+∈ (-∞, λ+- 1] andf+（θ+）+f-(θ-) = r- q、（4.6）函数f+连续且严格递增(-∞, λ+- 1] withlimθ+→-∞f+（θ+）=0和f+（λ+- 1) = -α+Γ(-β+) > 0.函数f-是连续且严格递减的(-∞, λ-] withlimθ-→-∞f-(θ-) = 0和f-(λ-) = α-Γ(-β-) < 0.6 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappethere之前，如果我们有（4.4），那么对于无对（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+- 1] × (-∞, λ-)方程（4.6）满足。如果我们有（4.5），那么让-∞ ≤ θ+< θ+≤ λ+- 1.方程的唯一解SF+（θ+）=r- q、 f+（θ+）=r- q- α-Γ(-β-),使用约定θ+=-∞, 如果r- q=0，θ+=λ+- 1，如果r- q- α-Γ(-β-) > -α+Γ(-β+，定义Φ（θ+）=（f-)-1（右- q- f+（θ+），θ+∈ (θ+, θ+).（4.7）那么Φ是连续的，并且严格地随着Φ（（θ+，θ+）=(-∞, λ-), 完成证明。4.5. 评论

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2022-6-24 08:36:04

命题4.4的证明表明，情况θ+=-∞当且仅当r=q且情况θ+=λ时发生+- 当且仅当ifr时发生1- q≤ -α+Γ(-β+) + α-Γ(-β-).所有保持回火稳定过程类的等价测度变换都是双边Esscher变换；这源自【23，命题8.1】，另请参见【7，示例9.1】。因此，我们引入参数集smp：={（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) | P（θ+，θ-)是鞅测度}，因此双边Esscher变换是鞅测度。前面的命题4.4告诉我们，对于（4.4），我们有MP=, 对于（4.5），我们有mp={（θ，Φ（θ））∈ R |θ∈ (θ+, θ+)}.（4.8）此外，我们注意到，对于r=q.4.6，条件（4.5）总是满的。引理。对于所有（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) 我们有h（P（θ+，θ-)| P） =-α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ+)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ+)β+- (λ+)β+- α-Γ(-β-)λ-β-(λ-- θ-)β--1+ (1 - β-)(λ-- θ-)β-- (λ-)β-.证据双边Esscher变换的相对熵由h（P（θ+，θ）给出-)| P） =EP（θ+，θ-)[ln∧（P（θ+，θ-), P） ]=EP（θ+，θ-)[θ+X+- ψ+（θ+）+EP（θ+，θ-)[θ-十、-- Ψ-(θ-)].回火稳定过程驱动的指数股票模型7利用引理4.3和[23，备注2.7]我们得到了EP（θ+，θ-)[θ+X+- Ψ+(θ+)]= θ+Γ(1 - β+)α+(λ+- θ+)1-β+- α+Γ(-β+（λ）+- θ+)β+- （λ+）β+i=-α+Γ(-β+)θ+β+(λ+- θ+)1-β++ (λ+- θ+)β+- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)(β+θ++ λ+- θ+)(λ+- θ+)β+-1.- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)λ+β++ (1 - β+)(λ+- θ+)(λ+- θ+)β+-1.- (λ+)β+= -α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ+)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ+)β+- (λ+)β+.EP（θ+，θ）的类似计算-)[θ-十、-- Ψ-(θ-)] 完成证明。4.7. 定理。以下陈述是正确的：（1）如果（4.4）满足，则我们有MP=.（2）如果满足（4.5），则存在θ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-)使得h（P（θ+，θ-)| P） =最小值（θ+，θ-)∈英里/小时（P（θ+，θ-)| P）。（4.9）证明。如果（4.4）满足要求，则根据命题4.4，我们得到MP=.

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2022-6-24 08:36:07

现在，假设（4.5）满足，让Φ：（θ+，θ+）→ (-∞, λ-) 是命题4.4中的函数。设f：（θ+，θ+）→ R是函数f（θ）：=-α+Γ(-β+)λ+β+(λ+- θ)β+-1+ (1 - β+)(λ+- θ)β+- (λ+)β+- α-Γ(-β-)λ-β-(λ-- Φ(θ))β--1+ (1 - β-)(λ-- Φ(θ))β-- (λ-)β-.根据命题4.4和引理4.6，对于每个θ∈ （θ+，θ+）测度P（θ，Φ（θ））是阿马丁格尔测度，我们有H（P（θ，Φ（θ））| P）=f（θ）。函数Φ随limθ严格递增↓θ+Φ(θ) = -∞ 和limθ↑θ+Φ(θ) = λ-,这就得到了uslimθ↓θ+f（θ）=∞ 和limθ↑θ+f（θ）=∞.因为f是连续的，所以它达到了一个最小值，断言如下。4.8. 评论与双边伽马股票模型相比，MP=, i、 e.不存在等价鞅测度，在该鞅测度下X保持一个阻尼稳定过程。此外，与双边伽马股票模型相比，函数Φ来自命题4.4，在（4.7）中通过f的倒数定义-, 似乎没有以封闭形式提供，参见【22，备注6.7】。接下来，我们考虑p-distancesHp（Q | p）：=EP“dQdPp#对于p>1。如本节开头所述，对于回火稳定股票模型，P最优鞅测度不存在。然而，我们可以根据最小熵鞅测度，确定这类回火稳定过程的p-最优鞅测度。为此，我们计算了双边Esscher变换的8 UWE K"UCHLER和STEFAN-TAPPEp距离。

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2022-6-24 08:36:10

因为从属性X+和X-是独立的，对于p>1和θ+∈ (-∞,λ+p），θ-∈ (-∞,λ-p） p距离由（4.10）Hp（p（θ+，θ）给出-)| P） =EP“dP（θ+，θ-)数据处理p#=e-p（ψ+（θ+）+ψ-(θ-))EP公司epθ+X+EP公司epθ-十、-= 经验值- p（ψ+（θ+）+ψ-(θ-)) + ψ+（pθ+）+ψ-（pθ-)= 经验值- α+Γ(-β+）hp(λ+- θ+)β+- (λ+)β+-(λ+- pθ++β+- (λ+)β+我- α-Γ(-β-)hp（马力）(λ-- θ-)β-- (λ-)β--(λ-- pθ-)β-- (λ-)β-我.与定理4.7类似的论证表明，如果条件（4.5）成立，则存在一对（θ+，θ-) 最小化p距离（4.10），在这种情况下，我们还有θ-= Φ（θ+），其中θ+最小化函数θ7→ Hp（P（θ，Φ（θ））| P）。（4.11）具体实例的数值计算表明θp→ θ表示p↓ 1，其中，对于每个p>1，参数θpminimize（4.11），θ最小化θ7→ H（P（θ，Φ（θ））| P）。（4.12）这并不奇怪，因为众所周知，在适当的技术条件下，p-最优鞅测度收敛到p的最小熵鞅测度↓ 1，参见，例如[10、11、30、14、1、17]。5、F"ollmer-Schweizer极小鞅测度的存在性在本节中，我们讨论回火稳定股票模型中F"ollmer-Schweizer极小鞅测度的存在性。在[8]中引入了这一措施，目的是构建最优套期保值策略。通过本节，我们确定一个有限时间范围T>0，并假设λ+≥ 2、然后constantc=c（α+，α-, β+, β-, λ+, λ-, r、 q）=ψ（1）- （r）- q） ψ（2）- 2ψ（1），（5.1）定义良好。出于技术原因，我们还应假设过滤（Ft）t≥0由形式（2.3）的回火稳定过程产生。

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2022-6-24 08:36:13

如[22，引理7.1]所示，我们证明了贴现股票价格过程是一个特殊的半鞅。设▄S=S+M+A为其正则分解，设^Z为随机指数^Zt=E-ZocSs-dMs系统t、 t型∈ [0，T]，（5.2）其中，我们回顾了半鞅X的随机指数Y=E（X）定义的asE（X）T：=expXt公司- 十、-hXc、XciYs公司≤t（1+Xs）e-Xs，t≥ 0是随机微分方程的唯一解Dyt=Yt-dXt，Y=1，由回火稳定过程驱动的指数股票模型9参见，例如【13，定理I.4.61】。密度d^PdP：=^ZT（5.3）的（可能有符号）测度^P是所谓的F"ollmer-Schweizer最小鞅测度（简而言之，FS最小鞅测度）。5.1. 定理。以下陈述是等价的：（1）^Z是▄S的严格鞅密度。（2）^Z是严格正P鞅。（3）我们有-1.≤ c≤ 0。（5.4）（4）我们有α+Γ(-β+)[(λ+- 1)β+- (λ+)β+](5.5)+ α-Γ(-β)[(λ-+ 1)β-- (λ-)β-] ≤ r- qandα+Γ(-β+)[(λ+- 1)β+- (λ+- 2)β+](5.6)+ α-Γ(-β)[(λ-+ 1)β-- (λ-+ 2)β-] ≤ -（r）- q）。如果前面的条件满足，那么在FS最小鞅测度^P下，我们有（5.7）X~ TS（（c+1）α+、β+、λ+；（c+1）α-, β-, λ-)* TS(-cα+、β+、λ+- 1.-cα-, β-, λ-+ 1).证据我们只需要证明等价性（3）<=> （4），其余的则在证明[22，定理7.3]时进行论证。我们观察到（5.4）相当于两个条件ψ（1）≤ r- q和ψ（1）- Ψ(2) ≤ -（r）- q），并且，考虑到（2.4）给出的累积量生成函数，当且仅当我们有（5.5）和（5.6）时，这两个条件是完全满足的。5.2. 评论关系式（5.7）表示在^P下，驱动过程X是两个独立回火稳定过程的总和。有以下两个边界值：o在c=0的情况下，我们有x~ TS（α+，β+，λ+，α-, β-, λ-) 在^P下，即FS最小鞅测度^P与物理测度P重合。

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大多数88

2022-6-24 08:36:16

事实上，c的定义（5.1）和引理2.2表明，P已经是S的鞅测度。在c=-1我们有X~ TS（α+，β+，λ+- 1, α-, β-, λ-+ 1）在^P下，即FS最小鞅测度^P与Esscher变换P一致，见定理3.3。事实上，c的定义（5.1）表明方程（3.4）满足Θ=1。如【22，第7节】末尾所述，在FS最小鞅测度^P下，我们可以构造一个交易策略ξ，该策略使二次hedging误差最小化。争论转移到我们目前的情况，并伴随着一个驱动-缓和-稳定的过程。10 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE6。缓和稳定股票模型中的期权定价在本节中，我们给出了欧式看涨期权的定价公式。执行测量更改后Q~ P如第3节或第4节所述，即Q=PΘ或Q=P（θ，Φ（θ））。对于适当的参数，我们可以假设驱动过程x是鞅测度下形式（2.3）的回火稳定过程。我们确定履约价格K>0，到期日T>0。然后，具有这些参数的欧洲看涨期权的价格由π=e给出-rTEQ[（ST- K） +]。首先，我们将根据ideafrom【15，第8.1节】推导出封闭形式的期权定价公式。在续集中，Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-表示TS（α+、β+、λ+；α-, β-, λ-)-分布函数和Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-:= 1.- Fα+、β+、λ+；α-,β-,λ-.6.1. 提议假设λ+>1。然后，看涨期权的价格为（6.1）π=Se（ψ（1）-r） T'Fα+T，β+，λ+-1.α-T、 β-,λ-+1（ln（K/S））- e-rTK'Fα+T，β+，λ+；α-,β-T、 λ-（ln（K/S））。证据通过定义似然过程（3.1），我们得到π=e-rTEQ[（ST- K） +]=e-rTEQ[（SeXT- K） +]=Se-rTEQ[外部{XT≥ln（K/S）}]- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S））=东南-rTEQ“eXT{XT≥ln（K/S）}dQdQ英尺#- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S））=东南-rTeψ（1）TQ（XT）≥ ln（K/S））- e-rTKQ（XT≥ ln（K/S）），根据引理3.2，提供了公式（6.1）。6.2. 评论

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2022-6-24 08:36:19

请注意，应用期权定价公式（6.1）需要了解回火稳定分布的密度，通常在闭合形式下不可用。因此，我们将转向以下基于傅立叶变换技术的期权定价公式（6.2）。然而，我们注意到公式（6.1）也适用于双侧伽马射线情况β+=β-= 0，其密度根据Whittaker函数给出，见【20，第4节】。在续集中，我们将使用以下基于傅立叶变换技术的期权定价公式（6.2）。设X是形式（2.3）的回火稳定过程，在P，设Q下~ P是第3、4或5节中所述的鞅测度，即Q=PΘ，Q=P（θ，Φ（θ））或Q=^P，并用νxtx表示鞅测度Q.6.3下x的特征函数。提议我们假设oλ+>1，如果Q下有（2.3）。在这种情况下，让ν∈ （1，λ+）可以是任意的。oλ+>2，如果Q下有（5.7）。在这种情况下，让ν∈ (1, λ+- 1）熊宝宝。那么看涨期权的价格由π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izИXT(-z） z（z- i） dz。（6.2）回火稳定过程驱动的指数股票模型11证明。股票价格由t=Sexp给出（r）- q） t+~Xt, t型≥ 0，其中▄X表示由▄Xt=Xt给出的Lévy过程- （r）- q） t代表t≥ 此外，Payoff函数的傅里叶变换w（x）=（ex- K） +由^w（z）=-Kiz+1z（z- i），z∈ 当Im z>1时，见【24】中的表3.1。此外，特征函数（2.2）在行程{z）上是解析的∈ C：Im z∈ (-λ+, λ-)} 通过幂函数z 7的解析性→ zβ在β的复对数的主支上∈ (0, 1).

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nandehutu2022

2022-6-24 08:36:22

通过我们对λ+的参数限制，并可能考虑到（5.7），我们推断出在{z形式的条带上进行分析∈ C：Im z∈ （a，b）}带<-1和b>0。因此，[24，定理3.2]适用，并为我们提供了看涨期权价格π=e-rT2πZiν+∞iν-∞e-iz（ln S+（r-q） T）ИXT(-z） ^w（z）dz=-e-rT2πZiν+∞iν-∞S-尺寸-iz（r-q） TхXT(-z） eiz（r-q） TKiz+1z（z- i） dz=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izИXT(-z） z（z- i） dz，证明（6.2）。6.4. 评论命题6.3不适用于边界情况λ+=1（或λ+=2），尽管在这种情况下Q可能是鞅测度，参见引理2.2。关键在于，在这种情况下，特征函数ДXTis notanalysis on a strip of The form{z∈ C：Im z∈ （a，b）}带<-1和b>0，因此，[24]中的期权定价公式不适用。6.5. 评论期权定价公式（6.2）也可以从【5，第3.1节】中推导出来。考虑到特征函数（2.2）和关系（2.5），应用命题6.3得出以下定价公式：o对任意ν执行第3节中的Esscher变换∈(1, λ+- Θ）我们得到（6.3）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司α+TΓ(-β+)(λ+- Θ+iz）β+- (λ+- Θ)β++ α-TΓ(-β-)(λ-+ Θ - iz）β-- (λ-+ Θ)β-z（z- i） dz.o对任意ν执行第4节中的双边Esscher变换∈ (1, λ+- θ）我们得到（6.4）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司α+TΓ(-β+)(λ+- θ+iz）β+- (λ+- θ)β++ α-TΓ(-β-)(λ-- Φ(θ) - iz）β-- (λ-- Φ(θ))β-z（z- i） dz。12 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEo根据第5节中的FS最小鞅测度对任意ν进行期权定价∈ (1, λ+- 1）我们得到（6.5）π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izexp公司（c+1）α+TΓ(-β+)（λ++iz）β+- (λ+)β++ （c+1）α-TΓ(-β-)(λ-- iz）β-- (λ-)β-- cα+TΓ(-β+)(λ+- 1+iz）β+- (λ+- 1)β+- cα-TΓ(-β-)(λ-+ 1.- iz）β-- (λ-+ 1)β-z（z- i） dz，其中常数c由（5.1）给出。7.

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2022-6-24 08:36:25

案例研究为了说明我们之前的结果，我们将在本节中进行案例研究。图1显示了2011年1月3日至2012年12月28日期间德国股票指数DAX的历史值以及相应的对数回报。这些数据位于http://www.finanzen.net/index/DAX/Historisch.0 100 200 300 400 5005000 5500 6000 6500 7000 75000 100 200 300 400 500-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04图1。左图显示了2011年1月3日至2012年12月28日期间德国股票指数DAX的数值。右图显示了相应的日志返回。在续集中，时间t以交易日为单位。该数据集由510个观测值组成，相当于两年。下图2显示了日志返回的柱状图。为了通过矩量法从这些历史数据中估计参数，我们确定了高达4阶的经验矩，其由m=1.717·10给出-4，（7.1）m=2.338·10-4，（7.2）米=-6.363 · 10-7，（7.3）m=2.716·10-7.（7.4）然后用驱动维纳过程X~ N（u，σ）估计为u=1.717·10-4和σ=1.529·10-2.（7.5）填充密度如图2左图所示。已经在多个案例研究中证明，Black Scholesmodel不能很好地提供观察到的财务数据对数回报，这一点也显示在这里。因此，我们考虑由回火稳定过程13驱动的指数股票模型的回火稳定过程X-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060 10 20 30 40-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060 10 20 30 40图2。对数回归直方图以及左图中的正态分布和右图中的回火稳定分布。(2.3). 回想一下，对于β+=β-= 0我们将有一个双边伽马过程。

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大多数88

2022-6-24 08:36:28

通过选择β：=β+=β，我们可以稍微偏离这种情况-= 0.1.（7.6）为了通过矩量法估计剩余参数，我们必须求解方程组α+(λ-)1.-β- α-(λ+)1-β- c（λ+）1-β(λ-)1.-β= 0α+(λ-)2.-β+ α-(λ+)2-β- c（λ+）2-β(λ-)2.-β= 0α+(λ-)3.-β- α-(λ+)3-β- c（λ+）3-β(λ-)3.-β= 0α+(λ-)4.-β+ α-(λ+)4-β- c（λ+）4-β(λ-)4.-β=0，（7.7），其中c，c，c，由c=m/Γ（1）给出的护理- β），c=（m- m） /Γ（2- β），c=（m- 3mm+2m）/Γ（3- β），c=（m- 4毫米- 3m+12mm- 6m）/Γ（4）- β），请参见【23，第6节】了解更多详细信息。（7.7）的解由α+=1.0260，α给出-= 0.8506, λ+= 122.58, λ-= 100.86.（7.8）图2中的右图显示了合适的回火稳定密度。回想一下，回火稳定分布的密度通常不是封闭形式。对于图2中的右图，我们使用了反演公式f（x）=2πZRexp- ixz+α+Γ(-β+)(λ+- iz）β+- (λ+)β++ α-Γ(-β-)（λ++iz）β-- (λ-)β-dz，它来自（2.2）和[31，引理28.5，命题2.5.xii]。在续篇中，我们假设在真实世界的概率测度P下，过程X是一个形式为（2.3）的回火稳定过程，带有（7.6）和估计参数（7.8）。由于时间t是以交易日计量的，因此利率rdenotes为日利率。我们假设它由r=0.01/255给出，对应于1%的年化利率Ra。此外，我们假设q=0，即股票不支付股息。基于这些数据，我们将说明第3–5节中关于等价鞅测度存在性的结果。14 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE-2-1.5-1-0.5 0.0-1e级-04 0e+00 1e-04 2e-04 3e-04-2-1.5-1-0.5 0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0图3。左图显示了第3节中的函数f以及利率r，如虚线所示。

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2022-6-24 08:36:31

右图显示Φ图和Θ7图→ -Θ为虚线。首先，我们考虑第3节中的Esscher鞅测度。图3中的左图显示了函数f：[-λ-, λ+- 1] → 间隔上的R[-2，0]，连同利率r作为虚线。如图所示，条件（3.3）已满，方程（3.4）的解由Θ=-1.0659.（7.9）因此，Esscher鞅测度PΘ存在。或者，这可以通过检查图3中的右图来发现，图3显示了间隔上命题4.4的函数Φ[-2，0]，以及Θ7的图形→ -Θ为虚线。Φ图表示保留回火稳定过程类的所有鞅测度P（θ，Φ（θ）），虚线表示Allescher变换PΘ=P（Θ，-Θ). 因此，交点对应于刚刚确定的Esscher鞅测度PΘ。-2-1.5-1-0.50.00014 0.00016 0.00018 0.00020-2-1.5-1-0.51.00030 1.00035 1.00040图4。左图显示了间隔上的相对熵[-2，0]，其中x轴为θ，y轴为H（P（θ，Φ（θ））| P）。右图显示间隔上的2个距离[-2，0]，其中x轴为θ，y轴为H（P（θ，Φ（θ））| P）。接下来，我们讨论第4节中最小双边Esscher鞅测度的存在性。

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mingdashike22

2022-6-24 08:36:34

图4中的左图显示了相对熵θ7→区间上的H（P（θ，Φ（θ））| P）[-2, 0]; 它表明，对于θ=-1.0760.（7.10）回火稳定过程驱动的指数股票模型15图4中的右图显示了2个距离θ7→ 区间上的H（P（θ，Φ（θ））| P）[-2, 0]; 结果表明，对于θ=-1.0868.(7.11)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0图5。功能ra7→ c（ra）根据区间[0，0.2]上的（7.12）定义，其中x轴是年化利率ra。阴影区域表示存在Ffs最小鞅测度的Ra值。最后，我们讨论了第5节中FS最小鞅测度的存在性。为此，考虑年化利率将非常有用。图5显示了功能ra7→ c（α+，α-, β+, β-, λ+, λ-, ra/255，q）（7.12）根据（5.1）定义，在区间[0，0.2]上变化年化利率ra。根据定理5.1，FS最小鞅测度存在且仅当-1.≤ c≤ 0，即c的值属于图5中的阴影区域。我们发现FS极小鞅测度存在的充要条件是0.0736≤ ra公司≤ 0.1330，即年利率在7.36%-13.30%之间。特别是，在年利率为1%的模型中，不存在FSminimal鞅测度。在续集中，我们将说明第6节有关期权定价公式的结果。图6中的左图显示了欧洲看涨期权的价格，当前股价S=7500，到期日T=2，履约价格K从7000到8000不等。

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mingdashike22

2022-6-24 08:36:37

我们使用最小熵鞅测度计算了这些价格，即使用公式（6.4），其中θ=θ由（7.10）给出，模型参数由（7.6）和（7.8）给出。图6中的右图显示了这些价格与相应的Black-Scholes价格之间的差异。图7显示了隐含波动率曲面，当前股价S=7500，到期日T在2到10之间变化，履约价格K在7000到8000之间变化。对于该过程，我们使用最小熵鞅测度计算期权价格，即使用公式（6.4），其中θ=θ由（7.10）给出，模型参数由（7.6）和（7.8）给出，并将Black-Scholes公式转换为标准偏差σ。我们观察到T=2的波动性模型，其在更长的到期时间内衰减，并收敛到Black-Scholes模型的标准偏差σ，我们在（7.5）中估计了该偏差。16 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE7000 7200 7400 7600 7800 80000 100 200 300 400 500 7000 7200 7400 7600 7800 8000-2.-1 0 1图6。左图显示了S=7500、T=2和K的欧洲看涨期权的价格∈ [7000，8000]，其中x轴是履约价格K，使用最小熵鞅测度计算。右图显示了这些价格减去相应的布莱克-斯科尔斯价格。对于T=10，图7所示的隐含波动率曲线的行为几乎类似于恒常函数，其等于（7.5）中估计的σ；这种流动行为在成熟期T较长的情况下不会发生变化。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:36:40

我们的经验观察并不令人惊讶，正如我们在[23，定理4.10]中所示，对于具有相同均值和方差的回火稳定过程X和布朗运动W，对于大时间点t，XT和WT的分布彼此接近；关于回火稳定过程的长时间行为研究，另见【29，定理3.1.ii】。众所周知，在估计模型参数时，只有对大量观测才能获得平均u的合理置信区间。因此，模型在校准误差方面表现稳定是很重要的。为了证明我们定价规则的稳定性，我们计算了各种平均值u=和标准偏差σ=pm的期权价格- m、对于这个过程，我们计算了相应的参数α+，α-, λ+, λ-> 0，通过用m、m和（7.3）、（7.4）及β求解方程组（7.7）∈ （0，1）由（7.6）给出，并计算出饱和度T246810履约价格K700075008000隐含波动率0.0150.0160.0170.018图7。用最小熵鞅测度计算隐含波动率曲面。看涨期权的参数为S=7500，T∈ [2、10]和K∈ [7000, 8000].回火稳定过程驱动的指数股票模型17Mean-5e-040e+005e-041e-03标准偏差0.01500.01510.01520.0153选项价格65666768图8。平均u的期权价格∈ [-0.0008，0.0012]和标准偏差σ∈ [0.0150, 0.0153]. 看涨期权的参数为S=7500、T=10和K=7700。具有最小熵鞅测度的期权价格，即公式（6.4）和θ=θ。图8显示了u的计算期权价格，从-0.0008至0.0012，σ在0.0150至0.0153之间变化，当前股价S=7500，到期日T=10，履约价格K=7700。

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2022-6-24 08:36:43

表面表现为局部弯曲，表明模型在较小的校准误差方面是稳定的。结论在本文中，我们系统地分析了由温度稳定过程驱动的指数股票价格模型的等价鞅测度的存在性，在此条件下，期权价格的计算仍然是可分析的。在本节中，我们将回顾我们的结果，并与[28]中得出的结果进行比较。教科书[28]讨论了由几种回火稳定过程驱动的金融模型。其研究包括CTS、GTS、KRTS、MTS、NTS和RDTS过程。我们参考[28]了解更多详细信息，但指出本文考虑的回火稳定分布对应于meanm=Γ（1）的广义经典回火稳定（GTS）分布- β+)α+(λ+)1-β+- Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-,（8.1）见【28】第68页的公式（3.4），似乎有一个小的排印错误。请注意，（8.1）中的平均值计算也与[23]中的公式（2.12）一致。如注4.5所述，所有保持回火稳定过程类的测度变换都是双边Esscher变换。这是因为forX~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)在概率测度P和x下~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)在另一个概率测度Q下，测度P和Q等价当且仅当α+=α+，α-= α-, β+=β+和β-= β-. 在[28]的第5.3.3节中，GTS过程也显示了这样的结果，并且已经确定了氡Nikodym衍生物对数的特征三重态。18 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappeu利用双边Esscher变换，我们研究了驱动过程保持回火稳定过程的几个鞅测度。

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2022-6-24 08:36:46

这些鞅测度是第3节中的Esscher鞅测度（后来证明是双边Esscher鞅测度的特例），以及第4节中的最小熵鞅测度和p-最优鞅测度。此外，我们在第5节中提供了Off"ollmer-Schweizer极小鞅测度存在的一个判据。在存在的情况下，驱动过程被证明是新度量下两个独立回火稳定过程的总和，从而提供了一个分析可处理的模型。在第6节中，我们提供了期权定价公式（6.3）–（6.5），该公式适用于我们在上述章节中研究的鞅测度。这些公式基于傅里叶变换技术，并遵循[24]中的结果，该结果也已在[5]中提供。此类期权定价公式也可在[28]第7.5节中找到；见第152页公式（7.10）。在第7节的案例研究中，我们根据德国股指DAX的历史数据估计了回火稳定过程的参数。根据我们之前的结果，我们确定了适当的鞅测度，并使用这些测度来计算期权价格和隐含波动率曲面。在【28】第7.5.2节中，作者进行了不同的研究。也就是说，他们不考虑现实世界的概率度量，而是根据可用的期权价格数据校准缓和稳定过程的风险中性参数。因此，他们假设驱动过程也是鞅测度下的回火稳定过程，这意味着鞅测度是双边鞅测度。

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2022-6-24 08:36:49

然而，将我们的图7与[28]第154页的图7.1进行比较，我们观察到关于隐含波动率表面的类似结果：对于短期到期日，我们有一个波动率微笑，而对于长期到期日，则会出现波动率微笑。双边伽马分布的类别，出现在β+=β时-= 0是回火稳定分布类中的极限情况。由双边伽马过程驱动的股价模型已在[22]中进行了研究。将本文的结果与文献[22]的结果进行比较，我们发现，对于含β+、β-∈ （0，1）与驱动双边GammaProcess相比，我们获得了更多关于适当鞅测度存在的限制条件。这并不奇怪，因为我们在【23】中的研究表明，在许多方面，双边伽马分布的性质不同于所有其他回火稳定分布的性质。致谢作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议。参考文献[1]Bender，C.和Niethammer，C.（2008）：关于指数allévy模型中的q-最优鞅测度。金融与随机12（3），381–410。[2] Bianchi，M.L.、Rachev，S.T.、Kim，Y.S.和Fabozzi，F.J.（2010）：回火稳定分布和金融过程：数值分析。精算科学与金融数学与统计方法33–42，意大利斯普林格，米兰。[3] Bianchi，M.L.、Rachev，S.T.、Kim，Y.S.和Fabozzi，F.J.（2011年）：回火完全可分分布和过程。概率论及其应用55（1），2–26。[4] Boyarchenko，S.I.和Levendorskii，S.Z.（2000）：截断Lévy过程的期权定价。《国际理论与应用金融杂志》3（3），549–552。[5] Carr，P.和Madan，D.B.（1999）：使用快速傅立叶变换的期权估价。

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2022-6-24 08:36:53

计算金融杂志2（4），61–73。由缓和稳定过程驱动的指数股票模型19【6】Carr，P.、Geman，H.、Madan，D.B.和Yor，M.（2002）：资产回报的精细结构：实证研究。《商业杂志》75（2），305–332。[7] Cont，R.和Tankov，P.（2004）：带跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/CRC出版社，伦敦。[8] F"ollmer，H.和Schweizer，M.（1991）：不完全信息下的未定权益对冲。摘自：M.H.A.Davis和R.J.Elliott（编辑），“应用随机分析”，随机图，第5卷，Gordon和Break，伦敦/纽约，389-414。[9] Gerber，H.U.和Shiu，E.S.W.（1994）：Esscher transforms的期权定价。变速箱。Soc。精算师。四十六、 98–140。[10] Grandits，P.（1999）：P-最优鞅测度及其与最小熵鞅测度的渐近关系。伯努利5（2），225-247。[11] Grandits，P.和Rheinl"ander，T.（2002）：关于最小熵鞅测度。概率年鉴30（3），1003–1038。[12] Hubalek，F.和Sgarra，C.（2006）：指数Lévy模型的Esscher变换和最小熵鞅测度。量化金融6（2），125–145。[13] Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（2003）：随机过程的极限定理。柏林斯普林格。[14] Jeanblanc，M.、Kl"oppel，S.和Miyahara，Y.（2007）：指数Lévy过程的最小fq鞅测度。应用概率年鉴17（5-6），1615–1638。[15] Keller Ressel，M.、Papapantoleon，A.和Teichmann，J.（2013）：伦敦银行同业拆借利率模型。数学金融23（4），627–658。[16] Kim，Y.S.、Rachev，S.T.、Chung，D.M.和Bianchi，M.L.（2009）：修正的缓和稳定分布、GARCH模型和期权定价。概率与数学统计29（1），91–117。[17] 科尔曼，M.和熊，D。

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2022-6-24 08:36:56

（2008）：一般跳跃模型中的最小熵和poptimal鞅测度的收敛性。随机分析与应用26（5），941–977。[18] Koponen，I.（1995）：截断Lévy flightstowards向高斯随机过程收敛问题的分析方法。体检E 521197–1199。[19] Küchler，U.和Sorensen，M.（1997）：随机过程的指数族。斯普林格，纽约。[20] Küchler，U.和Tappe，S.（2008）：金融数学中的双边伽马分布和过程。随机过程及其应用118（2），261–283。[21]Küchler，U.和Tappe，S.（2008）：关于双侧伽马密度的形状。统计和概率字母78（15），2478–2484。[22]Küchler，U.和Tappe，S.（2009）：双边Gamma股票模型中的期权定价。统计与决策27、281–307。【23】Küchler，U.和Tappe，S.（2013）：回火稳定分布和过程。随机过程及其应用123（12），4256–4293。[24]Lewis，A.L.（2001）：一般跳跃微分和其他指数allévy过程的简单期权公式。设想金融系统和期权城市。净额(http://optioncity.net/pubs/ExpLevy.pdf)[25]Madan，D.B.（2001）：纯粹不连续的资产定价过程。摘自：Jouini，E.，Cvitanic，J.和Musiela，M.（编辑），第105-153页。期权定价、利率和风险管理。剑桥大学出版社，剑桥。[26]Madan，D.B.和Seneta，B.（1990）：股票市场回报的VG模型。《商业杂志》63511–524。【27】Mercuri，L.（2008）：具有缓和稳定创新的Garch模型中的期权定价。《金融研究快报》5172-182【28】Rachev，S.T.、Kim，Y.S.、Bianchi，M.L.和Fabozzi，F.J.（2011）：具有Lévy过程和波动率聚类的金融模型。约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯。[29]罗辛斯基，J。

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