动态货币效用的不完全随机均衡

2022-5-8 06:15:46

动态货币效用的不完全随机均衡。我们研究了不完全市场模型中一组偏好为现金不变时间一致货币效用的代理人之间连续时间随机拉德纳均衡的存在唯一性。“小”类型的假设足以证明其存在性和唯一性。特别是，这种假设将设置封装为具有小捐赠、小时间范围或大量弱异构代理的环境。在我们的分析中，中心作用由二次BSDE的完全耦合非线性系统发挥。引言平衡问题。本文的重点是金融市场不完全连续时间随机模型中竞争（Radner）均衡的存在唯一性问题。Radner在[Rad82]中引入了我们模型的离散版本，作为经典Arrow-Debreu框架的扩展，目的是了解金融（或任何其他）市场的资产价格是如何形成的，前提是对成分或基础市场结构的最小假设。其中一个假设通常是市场完整性；更准确地说，通常假设市场允许的各种类型的交易的范围是，在所有交易完成后，代理人之间的财富分配是帕累托最优的，即，财富的进一步再分配不能在不伤害其他人的情况下使一个代理人过得更好。真正的市场并不完整；事实证明，完整性失效的精确方式对输出非常重要，应该被理解为一种先验约束。

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2022-5-8 06:15:50

事实上，提出以下问题是很有启发性的：为什么市场首先是不完整的？理性的经济代理人不会继续将新资产引入市场，只要它仍然有用吗？答案是，如果不是在2017年2月7日，他们确实会这么做。关键词和短语。倒向随机微分方程，一般均衡，不完全市场，拉德纳均衡，BSDE系统。致谢：作者要感谢裁判和AE的建议，这些建议帮助我们改进了论文。作者要感谢乌尔里希·霍斯特、塞尔吉奥·普利多、弗兰克·里德尔和沃尔特·特鲁克尔的宝贵谈话。第三作者感谢美国国家科学基金会第DMS-0706947号（2010-2015）和第DMS-1107465号（2012-2017）的资助。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会（NSF）的观点。不完全随机均衡2在那里，大多数偶然事件都不存在市场；那些确实存在的市场受到严格监管，交易成本被施加，卖空有时被禁止，流动性效应不可能重现，等等。我们没有深入探讨关于各种类型的完整性约束的建模问题，而是向读者指出[Zit12]，在那里可以找到关于此类问题的更长时间的讨论。“快和慢”模式。从财务角度来看，我们在这里订阅的特定设置是最简单的设置之一。

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2022-5-8 06:15:53

然而，它展示了在更一般的不完整结构中发现的许多有趣的特征，并允许一个简单的连续时间公式。它本质上对应于[Zit12]中引入的所谓“快和慢”完整性约束。设想“快和慢”完整性约束的方法之一是，允许以不同的速度合并和处理两种不同类型的信息。该模型的离散时间版本在[MQ96，第213页]中有详细描述，其标题为“短期”资产模型。其中，在事件树中的每个节点上，代理都可以访问一些短期资产，即寿命在一个时间单位内结束的资产，此时所有红利都被分配。这些资产的价格是在均衡状态下确定的，但它们的数量通常不足以保证市场的本地（因此也不足以保证全球）完整性。在我们的连续时间模型中，基础过滤由两个独立的布朗运动（B和W）生成。定位“节点”（ω，t），我们认为dBtand dWtas是两个独立的对称随机变量，在t+dt时实现，值为±√dt。允许代理人仅就dB中包含的风险相互投保，我们通过以下方式表示此类“资产”的（均衡）价格：-λtdt。正如上文已经暗示的，这种约束背后的一个可能的经济原理是，将dB视为可获得的（快速）信息，而dW对较慢的信息进行建模，这些信息将直接纳入过程λtin，并且仅在以后的日期。为简单起见，我们还将即期利率固定为0，允许代理人无成本、无利润地将财富从t转移到t+dt。

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2022-5-8 06:15:56

因为在我们的环境中，消费只能在终端时间发生，所以利率可以从外部获得。零利率标准化是为了简化暴露，通常用于无跨期消费的模型，cf，例如[LV03]。为了数学上的方便，并且能够访问可用的连续时间结果，我们将所有短期资产与收益和价格连接起来-λtdt转化为单个资产Bλt=Bt+Rtλudu。不应将其视为在时间T时带有股息的资产，而应将其视为所有小型短期资产家族的单一对象表示。作为“快与慢”约束的背景，我们考虑有限数量的代理；我们认为，他们的偏好结构是以一类动态的货币效用为特征的。不完全随机均衡3动态货币效用的概念与动态风险度量密切相关，动态风险度量是Artzner等人[ADEH99]引入的静态风险度量的时间一致性扩展；这种时间一致性属性符合库普曼斯[Koopmans[Koo60]和达菲·安德普斯坦[DE92]提出的概念。有关动态风险措施的更多信息，请参见[CDK04、CDK05、BEK05、DS05、KS07、BN09、CK09、DPRG10]等。动态货币效用也可以用g-期望来表征，即彭[Pen97]提出的一类倒向随机微分方程（BSDE）的解。正如Delbaen、Peng和RosazzaGianin[DPRG10]所示，任何动态货币效用都可以表示为g-期望。在本文中，我们考虑一类夹在两个熵货币效用之间的动态货币效用。这类最简单的例子是一组具有特殊风险规避参数的指数性。

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2022-5-8 06:15:59

代理人效用的现金不变性或货币属性对我们的所有结果都绝对至关重要，因为它会导致我们的问题出现“倒退”结构，虽然这仍然很难分析，但让我们向前迈出了重要的一步。代表代理方法及其在不完全市场中的失败。关于完全市场均衡存在性的经典且几乎无处不在的方法是使用所谓的代表代理方法。在这里，代理人的捐赠首先被聚合，然后以最优的方式进行分割。在此过程中，产生了一个定价测度，然后，后验地构造了一个市场，其唯一的鞅测度正是这个特定的定价测度。只要不施加完整性约束，这种方法就非常有效，非常依赖于代理的效用函数的形状（例如，参见[DH85、Duf86、KLLS91、KLS90、KLS91、DP92、AR08、Zit06]的连续时间文献样本）。[KS98，第4章，注释部分]对其中一些结果和许多其他结果进行了方便的阐述，并对经典文献进行了全面概述。这个不完整的案例需要一种完全不同的方法，曾经是微小的细节，现在成为显著的特征。不完全条件下代表代理方法的失败与市场无法通过财富再分配实现帕累托最优直接相关。事实上，当不是每一笔交易都能通过市场实现时，人们就不能将对均衡的探索简化为帕累托最优配置的有限维“流形”。更引人注目的是，被认为是平衡问题解决方案的整体性质发生了变化。

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可人4

2022-5-8 06:16:02

在整个案例中，我们只需要确定一个市场清算估值指标。在目前的“快速和慢速”表述中，必须确定所有可复制索赔（除估价措施外）的家族。这严重影响了问题的“维度”，需要一个不同的工具箱。不完全随机平衡4我们的概率分析方法。本论文的方向部分类似于[Zit12]，其中引入并考虑了一个更简单的“快速和慢速”模型。然而，这里的设置有所不同，更接近[Zha12]和[CL15]。快速分量由一个独立的布朗运动建模，而不是一跳过程。此外，与上述任何一篇论文不同的是，纯偏微分方程技术在很大程度上被概率方法所取代或补充，并获得了更强的结果。取消马尔可夫假设，我们允许一组无界随机变量，满足适当的可积性假设，作为随机禀赋，并将均衡描述为二次BSDE非线性系统的（函数）解。与单二次BSDE不同的是，二次BSDE系统的理解要少得多。单二次BSDE的理论到目前为止已经相当完整（参见[Kob00、BH06、BH08、DHB11、EB13、BEK13]的示例）。主要的困难在于，比较定理可能无法适用于BSDE系统（见[HP06]）。此外，Frei和dos Reis（见[FdR11]）构造了一个二次BSDE系统，该系统具有有界的终端条件，但不允许解。

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nandehutu2022

2022-5-8 06:16:05

最强大的通用结果似乎是Tevzadze（见[Tev08]），它保证了“L”下的存在∞-“小”条件放在终端条件上。与[Tev08]一样，但与[Zit12]或[CL15]不同，我们的一般结果对代理的随机禀赋不施加任何规则性条件。与[Tev08]不同，我们在这里允许无界终端条件（随机禀赋），并使用严格弱于L的“熵”BMO类型范数测量它们的大小∞-标准当随机禀赋具有较小的熵BMO范数时，平衡点的存在性成立。此外，所构建的平衡在全局意义上是唯一的（如[KP16]中所述，其中研究了不同的二次BSDE系统）。我们的一般结果的一个有趣特征是，它独立于代理的数量（BSDE系统中方程的数量）。这与[Tev08]不同，并导致以下观察结果：只要“足够多的足够同质”（在适当的同质概念下）的代理人共享给定的总禀赋，即存在均衡，这并不被认为是小的。这正是许多竞争均衡模型的自然背景，其中有大量的小代理，其中没有一个对价格具有支配性影响。我们的一般结果的另一个特点是它与时间范围无关。这间接地导致了这样一个事实，即当时间范围足够小时，存在和唯一性也成立，但随机禀赋的大小不受限制。在马列文可微性的附加假设下，关于保证存在性和唯一性的视界必须有多小的下限与随机禀赋（Malliavin）导数的大小成反比。这将[CL15，定理3.1]扩展到非马尔可夫环境。

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2022-5-8 06:16:08

有趣的是∞-上面提到的小熵BMO范数条件暗示了随机禀赋的小性和时间范围的小性，这些条件下的存在性定理可视为我们一般结果的特例。不完全随机均衡5一些符号约定。由于我们将处理各种类型的向量值随机变量和随机过程，我们将引入足够紧凑的符号，使阅读更容易接受。时间范围T>0始终是固定的。随机变量之间的等号表示几乎确定相等，而两个过程之间的等号表示几乎所有地方的Lebesgue，几乎确定相等。从这个意义上讲，任何两个相等的过程都将被识别；这尤其适用于难以区分的cádlág过程。让(Ohm, FT，F={FT}t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，其过滤F是由两个独立布朗运动B，W生成的增强过滤，满足完整性和右连续性的通常条件。Tdenotes是所有[0，T]值的F-停止时间的集合，Pdenotes是所有可预测过程{uT}T的集合∈[0，T]使RTutdt<∞, a、 s.积分·uud^Buofu∈ p关于布朗运动，^B用u·^B表示，而随机指数（Doléans Dade）保留标准符号E（·）。Lp空间，p∈ [1, ∞] 都是关于(Ohm, FT，P），注意到这个空间上有限值随机变量的集合（P-等价类）。对于连续适应过程{Yt}t∈[0，T]，我们设置| | Y | | S∞= ||监督∈[0，T]| Yt | | | L∞,并用S表示∞所有这些Y与| | Y | S的空间∞< ∞.

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2022-5-8 06:16:11

为了p≥ 1.所有人的空间∈ Pwith | |u| | pHp=EhRT |uu | pdui<∞ 由Hp表示，Hp是产品[0，T]×上Lebesgue空间lp的别名Ohm.给定概率测度^P和a^P-鞅M，我们通过|M | BMO（^P）=supτ定义其BMO范数∈TE^Pτ[hMiT- hMiτ]L∞,式中E^Pτ[·]≡ E^P[·| Fτ]表示关于Fτ的条件期望，在^P下计算。所有^P-鞅M与|M | BMO（^P）<∞ 用BMO（^P）表示，或者简单地说，当^P=P时，用BMO表示。当应用于随机变量时，X∈ BMO（^P）表示X=MT，对于某些m∈ BMO（^P）。同样，我们定义（对于一些，然后是任何，（^P，F）-布朗运动^B）bmo（^P）={u∈ P:u·^B∈ BMO（^P）}，范数为| |u| | BMO（^P）=| |u^B | BMO（^P）。使用与之前相同的约定：当^P=P时，对^P的依赖性被抑制。对于某些固定的I，我们的许多对象将采用RI值∈ N.这些通常用粗体字母表示，如E、u、ν、α等。如果需要特定的组件，它们将被赋予一个Perscript——例如，E=（Ei）i。未量化的变量i、j始终在{1、2、…、i}范围内。Ri的拓扑由欧几里德范数|·|诱导，由| x |=qPi | xi |定义为x=（xi）i∈ 里。所有标准操作和关系（包括绝对值|·|和顺序）≤)Rk值之间的变量被视为组件。不完全随机平衡61。货币效用1。1.相对熵。我们从一个扩展期望定义的公约开始。对于任意随机变量G∈ 土地概率测度Q~ P、 setEQ[G]：=↓ 画→∞等式[G]∨ (-n） ]=∞, 如果等式[G+]=∞,等式[G+]- 等式[G]-], 否则，其中，像往常一样，G+=max{G，0}和G-= 麦克斯{-G、 0}。此外，定义（Q | P）=EP“dQdPlogdQdP#，Q~ P、是Q相对于P的相对熵，还通过密度dQ/dP=E隐式定义了可预测过程对（P（Q），Q（Q））(-p（Q）·B- q（q）·W）T。

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nandehutu2022

2022-5-8 06:16:14

最后是setQ=Q~ PdQdP∈[p>1Lp（p）.下面的引理类似于文献中的标准结果，但由于我们使用了非标准的对偶域Q引理1.1，因此需要单独证明。它认为h（Q | P）=EQ“ZT（pu（Q）+qu（Q））du#∞, Q∈ 问：此外，我们有- δlog EP[e-G/δ]=infQ∈QnEQ[G]+δH（Q | P）o，δ>0，G∈ L.（1.1）1.2。定义和属性。在续集中，我们将考虑一个随机场f：Ohm ×[0，T]×R→ R+具有以下属性。假设1.2。函数f：Ohm ×[0，T]×R→ R+是这样的：o对于所有（p，q）∈ R、 f（·，·，p，q）是一个可预测的过程对于所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，f（ω，T，0，0）=0，f（ω，T，·，·，·）是梯度为（0，0）的C（R）∈r满足Df（ω，t，0，0）=（0，0），存在常数0<δ≤ < ∞ 使得Hessian Df（ω，t，·，·，·）的两个特征值都属于δ，].在续集中，为了简化符号，在f这样的随机场中，每当我们想要强调（p，q）的依赖性时∈ R、我们写fω，t（p，q），而不是f（ω，t，p，q），或者甚至当（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]是固定的。此外，作为BSDE理论中的典型例子，我们将经常忽略参数ω，尤其是在f必须在可预测过程（pt，qt）t下计算的情况下∈[0，T]，我们将在这里简单地写出ft（pt，qt）。不完全随机平衡满足假设。2是这样的，fω，t（·，·）显然是非负的，并且对所有（ω，t）都是严格凸的∈ Ohm ×[0，T]。泰勒定理暗示δ（p+q）≤ fω，t（p，q）≤（p+q），对于所有（ω，t，p，q）∈ Ohm ×[0，T]×R。

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2022-5-8 06:16:17

（1.2）只要满足假设1。引理1.1意味着中富（浦（Q）、曲（Q））都≤H（Q|P）<∞, Q∈ Q.因此，回顾§1.1中关于期望的约定，可以定义一个映射U:L7→ [-∞, ∞] viaU（G）=infQ∈量化宽松G+ZTfu（pu（Q）、qu（Q））du, （1.3）由此定义的函数U称为货币效用函数，f称为与其相关的惩罚函数。利用（1.1）和（1.2），我们得到了U的熵上界和下界，即- δlog EP[e-G/δ]≤ U（G）≤ - 日志EP[e]-G/], G∈ L.（1.4）尤其是U（G）<∞ 适用于所有G∈ L.从上面可以简单地看出，以下属性是有效的，其中：∈ 五十、 G′∈ 五十、和{Gn}n∈Nis是L中的一个非递增序列：o正性：U（0）=0和U（G）≤ U（G′），代表G≤ G′，凹度：U（αG+（1- α） G′）≥ αU（G）+（1）- α）所有α的U（G′）∈ [0, 1].o 货币不变性：U（G+a）=U（G）+a，对于所有a∈ R.o法图地产：无论何时↓ G∈ 土地供应∈QEQ[G]<∞, 我们有↓ 画→∞U（Gn）。例1.3。如上所述，货币效用的最简单但远不是唯一的例子是当惩罚函数f satifiesf（ω，t，p，q）=η（ω，t）（p+q），（ω，t，p，q）∈ Ohm 其中η是一个可预测的过程，使得δ≤ η ≤ 对于常数0<δ保持不变≤ < ∞. 在这里，η（ω，t）可以粗略地解释为一个依赖于（ω，t）的状态时间∈ Ohm ×[0，T]，风险耐受系数。对于常数η，引理1。1意味着U是熵效用。2.单代理最大化问题2。1.金融市场。我们的金融市场模型以一个流动交易风险集为特征，其价值（用我们标准化为1的预先指定的数值表示）为给定的YDBλt=λtdt+dBt，t∈ [0，T]，（2.1）某些λ的不完全随机平衡8∈ bmo。

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2022-5-8 06:16:20

考虑到它将在我们的分析中扮演“自由参数”的角色，volatilityin（2.1）被归一化为1；这样，λ可以同时被解释为风险的市场价格。出于下面解释的技术原因，就我们的目的而言，假设λ就足够了∈ bmo。读者应参考导言中的“快速和慢速”模型小节，以正确理解该资产作为单一短期证券连续体的经济解释。2.2. 熵BMO空间。为了描述代理随机禀赋的适当正则性类，它将大于L∞, 我们需要以下空间，通过某个二次BSDE的可解性来描述：定义2.1（熵BMO）。随机变量G∈ 如果存在（必然是唯一的）过程（mG，nG），则称Lis属于熵B空间EBMO∈ b和一个常数XG，其中XGT=XG+ZtmGudBu+ZtnGudWu+Zt（mGu）+（nGu）杜。（2.2）yieldsE（2.2）两边的负数的幂(-MG）T=e-Gwhere MG=XG+MG·B+nG·W∈ BMO，（2.3）意味着∈ EBMO当且仅当e-Gis是aBMO鞅随机指数的最后一个元素。不那么正式，EBMO=-日志E（BMO）。附录A中分别介绍了BMO的特性和性质。对于G∈ EBMO我们定义了以下半形式的量，在滥用术语的情况下，我们仍然称之为EBMO半范数：| | G | | EBMO:=| | MG | | BMO=| |（MG，nG）| BMO。由于| | | | | | | | | | | | EBMO，δ=δ| | | G/δ| | EBMO，对于δ>0，我们还引入了以下族：| | G | | | | EBMO∈ EBMO当且仅当方程XG，δt=XG，δ+ZtmG，δudBu+ZtnG，δudWu+2δZt（mG，δu）+（nG，δu）du（2.4）和XG，δT=G，允许（nG，δ，mG，δ）的（必然唯一）溶液∈ bmo。

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2022-5-8 06:16:23

在这种情况下，我们必须有XG，δ=δXG/δ和（mG，δ，nG，δ）=δ（mG/δ，nG/δ），因此| | G | | EBMO，δ=| |（mG，δ，nG，δ）| | bmo。不完全随机均衡92.3。Agent的效用最大化问题。在§2.1的市场模型中，我们考虑一个单一的经济代理人，他交易风险资产以及前述的无风险资产，价值为常量1。代理人的偏好由与满足假设1的分析函数相关联的货币效用建模。2.该代理人收到随机捐款∈ 时间T；我们将自始至终假定+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。代理人在交易产生的终端时间T最大化预期效用，并随机分配：U（π·BλT+E）→ max，（2.5）其中组合过程{πt}t∈[0，T]代表代理人持有的资产股份数量，属于下文所述的可接受类别。与往常一样，这一策略的资金来源是根据需要投资于无息资产或从中借款。据我们所知，文献中缺少动态货币效用U的（2.5）解。下面的命题2.4证明了最优投资组合过程{πλt}t的存在性和唯一性∈[0，T]。对于λ∈ bmo，我们用Mλ表示Q的子集，它由Bλ的等价局部鞅测度组成。更准确地说，根据Levy的特征化定理，Mλ由Q中的所有概率测度组成，在此条件下，Bλ成为布朗运动。我们注意到，由于λ∈ bmo，反向H"older不等式适用于E(-λ·B）（参见[Kaz94，定理3.4]）因此，最小鞅测度Qλ，由dQλ/dP=E给出(-λ·B）T，属于汤姆λ。

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2022-5-8 06:16:26

还要注意，任何Q∈ Mλ等于dQλ/dP=E(-λ·B- q·W）T，用于适当的q≡ q（q）∈ P.如果策略π是λ-可容许的，则称策略π为λ-可容许的∈ Aλ，其中λ=nπ∈ P |π·Bλ是所有Q的Q-超鞅∈ Mλo.对于每个π∈ bmo和Q∈ Mλ，π·Bλ是Q-鞅；因此，bmo λ。（2.5）中关于π的最大化问题∈ λ被称为原始问题。U和Aλ的定义产生以下弱对偶边界supπ∈AλU（π·BλT+E）≤ infQ∈MλEQE+ZTfu（λu，qu）du, （2.6）右边的最小化问题称为对偶问题。我们注意到，对双重问题的定义存在期望(-∞, ∞], 多亏了命题A。2第（2）项和定义Mλ的Lp可积性要求。我们的下一个结果通过BSDE描述了对偶问题的值。考虑到风险的市场价格λ∈ 满足假设1.2的bmo，f和随机禀赋E∈ 对于每个π∈ [Kaz94，第26页]中的能量不等式表明π∈ 每一个p≥ 1.这一事实与（dQ/dP）相结合∈Sp>1lpandh"older不等式意味着π∈ H（Q），对于每个Q∈ Mλ。因此π·Bλ是aQ鞅。不完全随机平衡10E+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ EBMO，定义过程λt=essinfEQtE+ZTtfu（λu，qu）duQ∈ Mλ, T∈ [0，T]。（2.7）在刻画Yλ之前，我们引入部分共轭h：Ohm×[0，T]×R7→ f的第二空间变元中的R:hω，t（p，ν）=supq∈Rqν- fω，t（p，q）, （ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，（p，ν）∈ R、（2.8）并在下面的引理中收集它的一些性质：引理2.2。

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可人4

2022-5-8 06:16:30

在假设下。2，上面（2.8）给出的f的部分凸共轭h对于所有（ω，t）都具有以下性质∈ Ohm ×[0，T]，其依赖关系隐藏在下面，和（p，ν）∈ R、其中所有常数仅取决于δ和假设1.2：（1）h（·，·）在第一个论证中是凹的，在第二个论证中是凸的，并且满足-p+2ν≤ h（p，ν）≤ -Δp+2Δν。（2） h（·，·）∈ C（R），h（0，0）=0，Dh（0，0）=（0，0），存在常数γ>0和Γ>0，因此h（p，ν）≤ -γ和|jkh（p，ν）|≤ Γ，代表j，k∈ 1, 2.（3）存在一个常数Θ>0，这样，对于所有的p，Θp，ν，Θ∈ R、我们有|h（p，ν）|+|h（p，ν）|≤ Θ|p |+|ν|, （2.9）和| ht（p，ν）- ht（~p，~ν）|≤ Θ|p|∨ |~p |+|ν|∨ |~ν||P- ~p |+|ν- ~ν|. （2.10）（4）对于上面（2）中的γ，我们有h（p，ν）- Ph（p，ν）≥γp.现在我们通过BSDE在下面的结果中刻画Yλ：命题2.3。让λ∈ bmo，f满足假设1。2和E∈ 使+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。然后，过程Yλ允许连续修改，并具有以下性质：（i）XE，δt≤ Yλt≤ 等式λt[E+]+kλkbmo（Qλ）<∞, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中XE，δ如（2.4）所示；（ii）Yλ是BSDEdYt的唯一解=ht（λt，νt）+λtutdt+utdBt+νtdWt，YT=E，（2.11）带（u，ν）∈ bmo，其中h由（2.8）给出。不完全随机均衡11我们的下一个任务是利用对偶问题的解来确定原始问题的最优投资策略。提议2.4。让λ∈ bmo，f满足假设1。2和E∈ 使+∈Tp>1Lp（P）和E/δ∈ 埃博莫。此外，设（μλ，νλ）是（唯一）解Yλ到（2.11）的鞅分量中的过程。然后，过程πλ=-h（λ，νλ）- uλ. （2.12）属于bmo，是原始问题（2.5）的唯一最优投资策略。平衡3。1.平衡。我们考虑一个有限的数字I∈ N.经济代理人。

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2022-5-8 06:16:33

他们的偏好由带有惩罚函数（fi）i的货币效用建模，并接受随机捐赠（Ei）i。我们施加以下假设。假设3.1。对于每个i，财政假设1。2，常数δi≤ i、还有艾未未∈ 李思哲+∈Tp>1Lp（P）和Ei/δi∈ 埃博莫。在假设的语境中。1，我们设置δ=miniδi， = 马克西i、（3.1）并介绍捷径Xi=XEi，δi和（mi，ni）=（mEi，δi，nEi，δi）∈ 所以dxit=mitdBt+nitdWt+2δi（麻省理工学院）+（nit）dt，XiT=Ei。（3.2）禀赋和惩罚函数对（E，f），其中E=（Ei）i，f=（fi）i，充分表征了模型中代理人的行为；我们称之为人口特征——E是初始分配，f是风险比例。给定一个风险过程λ的市场价格，在（2.5）的不完全金融市场中，每一个参与者都会最大化交易和随机捐赠的预期效用。定义3.2（平衡）。对于具有特征（E，f）的总体，一个过程λ∈ 如果存在一个I元组（πI），那么bmo被称为均衡（风险的市场价格），即每个π都是λ下代理I的最优策略，即πI∈ argmaxπ∈AλEhUi（π·BλT+Ei）i，ii）市场清仓，即Piπi=0。所有平衡的集合用∧（E，f）表示。不完全随机平衡12注3.3。虽然可以想象，BMO之外可能存在风险λ的均衡市场价格，但我们只关注后者。考虑到我们对E的假设，这是一个自然环境空间。此外，当λ6∈ bmo没有已知的可行条件来保证我们的代理存在最优策略。因此，我们包括条件λ∈ bmo在一个平衡点的定义中，并且仅就这个类做出我们所有的唯一性陈述。3.2. 平衡的BSDE表征。

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2022-5-8 06:16:37

命题2中基于BSDE的描述。3和2.4单剂优化问题的解决方案是以下表征的主要组成部分。定理3.4（平衡的BSDE表征）。给定λ∈ bmo和满足假设3.1的总体特征（E，f）是等价的：（1）λ∈ λ（E，f），即λ是总体（E，f）的平衡。（2） λ和一些过程（Yi，λ，ui，νi）i，每个过程（ui，νi）∈ bmo，满足以下BSD系统：dYi，λt=命中（λt，νit）+λtuitdt+uitdBt+νitdWt，Yi，λT=Ei，i=1，一、圆周率hi（λ，νi）=-Piui.（3.3）备注3.5。（1）根据引理2的结果。2.根据对驾驶员fi施加的条件，systemin（3.3）是一个真正的BSDE系统。事实上，在假设3.1下，对于第二个变量的每个值，每个HI在第一个变量中都是严格相关的。这样，情况hi（λ，νi）=-Piui可以重写为λ=H-1.-IXiui；我！其中H（p；（νi）i）=IIXi=1嗨（p，νi），其中H-1在第一个空间参数中为逆。λ的表达式替代了（3.3）中的第一个I方程，产生了一个带二次驱动器的完全耦合BSDE系统。（2）虽然从竞争的角度来看，情况I=1毫无意义，但上述描述中的情况I=1仍然允许有意义的解释。这里的平衡概念对应于λ的选择，在此λ下，一个随机禀赋为E的代理∈ 我们应该选择根本不投资这个市场。系统（3.3）简化为一个等式DYT=utdBt+νtdWt+gt（ut，νt）dt，YT=E，其中gω，t（u，ν）=supp∈Rup+hω，t（p，ν）, （ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R，不完全随机平衡13是f和满足2的凸共轭(u+ ν) ≤ gω，t（u，ν）≤2δ（u+ν），（ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R.自E/δ∈ EBMO，提案A.2第（1）项暗示E/ ∈ EBMO也是。

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2022-5-8 06:16:40

因此，之前的BSDE承认了一个独特的解决方案，强调了EBMO在货币效用的随机均衡中作为自然空间的作用。3.3. 存在与独特。下面是我们的主要结果。定理3.6（平衡点的存在性和唯一性）。假设总体特征（E，f）满足假设3。1.对于δ和由（3.1）给出，存在常数Tm=M（δ，) > 0使得无论何时| | Ei | | EBMO，δi≤ M、对于每个i，（3.4），都存在一个唯一的平衡λ∈ bmo。此外，三重态（Y，u，ν），其成分在命题2中定义。3，是（3.3）与（u，ν）的唯一解决方案∈ bmo2I。备注3.7。（1）要求| | Ei | | EBMO，δi≤ M可以通过多种方式填充。最重要的语调是：（a）命题。2，| | Ei | | EBMO，δi=δi | | Ei/δi | | EBMO≤ 2qδi | | Ei | L∞. 因此，EBMO中的“smallness”由L中的“smallness”表示∞随机捐赠的一部分。（b）根据命题A。3.当EI是Malliavin可微且有界Malliavin导数（即附录A术语中的Malliavin-Lipschitz）时，其EBMO范数由L控制√其中L是Ei的Malliavin-Lipschitz常数，T是时间范围。因此，我们的结果保证了平衡点的存在，即使在无界的情况下，只要时间范围或它们的Malliavin-Lipschitz常数足够小。[CL15，定理3.1]（以及[Zit06]中一个更简单的模型）在马尔可夫环境中证明了一个类似的“时间范围内的小”结果。（2）条件（3.4）中的常数M不取决于试剂I的数量。这与Tevzadze（见[Tev08，命题1]）的“小”类型结果相反，后者取决于系统中的方程数量。

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2022-5-8 06:16:43

这个特性在3.9版的推论中非常重要。（3）定理3中的唯一性陈述。6是一个全局唯一性，与bmo球中通常的局部唯一性相反，bmo球直接遵循Banach的不动点定理，参见例[Tev08，命题1]。在[KP16，定理4.1]中，对于价格影响模型产生的不同二次BSDE系统，也获得了类似的全局唯一性。不完全随机均衡3.8（指数效用）。当理论3。6专门用于具有异质风险容限（δi）i的熵效用的情况∈ (0, ∞)一、也就是说，当nfi（p，q）=δI（p+q），I=1，一、另外两点可以说明：（1）一组可行分配E是帕累托最优的当且仅当所有的Ei/δA都在常数上，即存在Ec∈ 陆面常数（ci）是指Ei/δi=Ec+ciforAlli。当Ec+∈ ∩p> 1Lp（p）和Ec∈ EBMO，理论声明3。当条件（3.4）转换为更接近帕累托最优分配时，6仍然成立，即maxik（mi- 麦克，倪- nc）kbmo（Pc）≤ r、其中dpcdp=exp(-Ec）E[exp(-Ec）]=E(-RmcudBu-RncudWu）和（mi，ni）如（3.2）所示。（2）在马尔可夫环境中，对于有界且H"older连续的g，E=g（XT），由B和W驱动的扩散X，[XZ16，定理3.1]证明了平衡点的整体存在性和唯一性。这个结果是用解析方法得到的，并且只适用于马尔可夫环境。3.4. 理论的经济含义。6.（3.4）的一个新颖有趣的特点是它不依赖于I剂的数量；这具有深远的经济影响，并导致在具有“大量”代理人的经济意义的渐近制度中存在均衡。

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2022-5-8 06:16:46

给定总捐赠额E∑∈ L∞要在I个代理人之间共享，即PiEi=e∑，人们可以问以下问题：需要多少以及什么样的代理人来共享这一总捐赠，以便他们能够形成一个均衡存在的金融市场？答案是“足够多的同质代理”。为了证明这一点，我们首先要精确定义我们所说的充分同质。对于种群特征E=（Ei）和f=（fi）i，带E∈ （L）∞)满足假设3。1.我们定义了禀赋熵指数χE（E）∈ [0,1]通过χE（E）=maxi，j|Ei- Ej | | L∞||Ei | | L∞+ ||Ej | | L∞.如果χE（E），我们认为代理人群体是“充分同质的”≤ 对于某些给定的临界指数χE，我们有以下定理3的推论。6：推论3.9（存在足够多的足够同质试剂的平衡）。给定临界捐赠同质性指数χE∈ [0，）和总捐赠额E∑∈ L∞, 存在一个常数I=I（| | E∑| | L）∞, χE，δ，) ∈ N、所以任何总体（E，f）=（Ei，fi）都是令人满意的假设。1安迪≥ 一、 PiEi=E∑和χE（E）≤ χE，不完全随机均衡是唯一的均衡。4.校样。1.引理的证明。1.对于第一个身份，给出Q∈ Q、设Z是matingale Zt=EPt[dQdP]的连续版本。对于足够小的p>1，Z的Lp可积性和а（Z）=Z log Z的凸性意味着а（Z）是一致p-可积的子鞅，因此属于[0，T]上的（D）类。半鞅分解d~n（Zt）=Zt（pt+qt）dt+~n′（Zt）ZtptdBt+~n′（Zt）ZtqtdWt，其中p≡ p（Q）和Q≡ q（q）和一个基于类（D）属性giveH（q | P）=EP[~n（ZT）]=EPhZTZt（pt+qt）dti=EQhZT（pt+qt）dti的本地化参数，其中最后一个等式由部分积分和另一个本地化参数得出。现在我们来看（1.1）的证明。

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2022-5-8 06:16:50

我们将证明特例δ=1，因为一般情况下，只需将特例应用于G/δ即可。首先，假设G从下面有界，即G-∈ L∞. 詹森不等式在指数函数中的应用-日志EP[e]-G] =-log EQhexp-G+logdQdP我≤ EQhG+logdQdPi，适用于所有Q~ P.此外，对于QG~ P满足dQG/dP=exp(-G） EP[exp(-G） ]这是一个很好的定义，是Q的一个元素，因为G-∈ L∞, 我们有平等的权利-日志EP[e]-G] =EQG[G+log（QG/dP）]。因此，只要G-∈ L∞.G将军∈ 五十、它认为-日志EP[e]-麦克斯{G，-n} ]=infQ∈QEQ[max{G，-n} +log（dQ/dP）]根据我们刚刚证明的所有n。在最后一个等式的两侧取n的最小值，并在左侧使用单调收敛定理，将两个最小值互换，并使用§1.1，（1.1）中关于期望的约定。4.2. 引理2.2的证明。在整个证明过程中，我们抑制了下标t。声明（1）之后是直接检查和（1.2）。对于（2），我们首先注意到假设1.2为f的二阶偏导数提供了额外的界限。实际上，常数δ和具有δ的性质≤(f+f）≤ 和δ≤ FF- F≤ ,因此，x=F≥ 0和y=F≥ 0，我们有x+y≤ 2. 还有xy≥ δ.紧接着 -√- δ≤ x、 y≤ +√- δ、所以两者都是f和f从上方有界，从0有界，由仅依赖于δ和的正常数确定. 自从F≤ Ff、因此，所有二阶偏导数的绝对值都是有界的。不完全随机平衡16我们可以由此，通过中值定理和第二个参数中f的凸性，推导出q 7→ ft（p，q）是连续的，并且严格地（事实上至少是线性地）增加，对于p的每个值，其范围是R。

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2022-5-8 06:16:53

因此，对于每个（p，ν）∈ R、方程ν=f（p，q）有一个唯一的解，我们用q（p，ν）表示。隐函数定理进一步暗示q是其两个参数的C函数。注意到h（p，ν）=q（p，ν）ν- f（p，q（p，ν）），我们得出结论h∈ Cand，在区分双方论点后，获得h（p，ν）=-f（p，q（p，ν））和h（p，ν）=q（p，ν）。这些关系将h的规律性提升为C，并允许我们进行直接计算，从而获得更高的产量h（p，ν）=-det（Df（p，q））f（p，q），h（p，ν）=-f（p，q）f（p，q），和h（p，ν）=f（p，q）。上下限f，以及假设1的原始边界。暗示（2）。等式Dh（0，0）=（0，0）是（1）的直接结果。对于（3），我们利用h的所有二阶导数一致有界的事实，以及DH（0，0）=（0，0），得出结论（2.9），对于某些常数Θ，对于所有（p，ν）。Lipschitz性质（2.10）由中值定理（2.9）推导而来。转到（4），我们再次使用中值定理得到h（p，ν）- Ph（p，ν）+ph（~p，ν）=h（p，0），对于一些~p，仍然需要使用（2）中的边界和h（p，0）的事实≥ 0，所有第4.3页。动态货币效用及其BSDE表示。可以为G定义（1.3）中货币效用U的动态版本∈ LviaUt（G）=essinfEQtG+ZTtfu（pu（Q）、qu（Q））duQ∈ Q, T∈ [0，T]。（4.1）当然，（1.4）中边界的条件版本是有效的。[DPRG10]表明，所有时间一致的动态货币效用都具有类似的形式。U=（Ut）t的以下特征∈[0，T]在[DHB11，定理2.2]中得到。我们将其记录在这里，以便为后面介绍所需的一些符号。注意，它只涉及边界随机变量；我们将在命题证明2的“本地化”论证中使用这个结果。4.不完全随机平衡17引理4.1。

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nandehutu2022

2022-5-8 06:16:56

对于任何G∈ L∞, U允许连续修改，这是唯一的解决方案ToDut=gt（ut，νt）dt+utdBt+νtdWt，UT=G，（4.2）与（u，ν）∈ bmo。上图g：Ohm ×[0，T]×R7→ 定义的asgω，t（u，ν）=supp，q∈Rup+νq- fω，t（p，q）, （ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R是罚函数f的凸共轭，满足2(u+ ν) ≤ gω，t（u，ν）≤2δ（u+ν），（ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R.备注4.2。外稃4。1来自[DHB11，定理2.2，2=> 6] ，可以推广到满足假设1的随机罚函数。2.（在[DHB11]中，假设惩罚函数f是确定的。）事实上，2=> 3和4=> 6在[DHB11，定理2.2]中，对于满足均匀增长条件（1.2）的随机函数f成立，3=> [DHB11，定理2.2]中的4在[JST06，定理5.2（iv）中得到了改进=> （v） ]。备注4.3。用引理4表示。1，概率测度^Q，给定比亚迪^QdP=E-Zgu（uu，νu）dBu-Zgu（uu，νu）dWuT、是上述（4.1）中唯一的最小值。由于g是凸的，并且在空间参数中是二次增长的，所以它的偏导数jg，j=1，2，最多线性增长。考虑到（u，ν）∈ bmo，我们有jg（u，ν）∈ bmo，以及^Q∈ Q源自反向H"older不等式（参见[Kaz94，定理3.1]）4.4。命题的证明2。3.第一部分：第一，假设E+∈ ∩p> 1Lp（p）和dQλ/dP∈∪p> 1Lp（p）与霍尔德不等式相结合，意味着+∈ L（Qλ）。（1.2）和引理1中的界。1，以及假设λ∈ bmo，意味着δloge[E-E/δ]≤ Yλ≤ kE+kL（Qλ）+kλkbmo（Qλ）。有条件地应用，同样的参数可以用来扩展上述不等式对每个t的有效性∈ [0，T]。需要注意的是δloget[e-E/δ]=δXE/δt=XE，δt。第（ii）部分：当E有界时，Yλ满足（2.11）的说法来自一个类似于[DHB11，定理2.2，2]的论证=> 6].

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2022-5-8 06:16:59

当假设E/δ属于EBMO时，利用[BH06，定理2]的局部化参数证明了BSDE特征（2.11），这要归功于（i）中Y的界。不完全随机平衡18剩下的问题是（u，ν）∈ bmo。为了证明这是事实，我们首先注意到Xe，Δσ=E-ZTσ2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu））- λu（mE，δu）杜-ZTσmE，δudBλu-ZTσnE，δudWu，（4.3）对于任何停止时间σ。由于[Kaz94，定理3.6]，mE，δ和nE，δ（以及λ）都属于bmo（Qλ），因此，上面（4.3）右边的两个随机积分都是Qλ鞅。λ，mE，δ和nE，δ的bmo（Qλ）-性质允许我们根据Fσ上两边的投影得出结论，XE，δ在Qλ下属于（D）类。因此，（i）中的边界暗示Yλ也是Qλ下的（D）类，因此我们可以使用局部化参数得出eqλσ[E]- Yλσ=等式λσZTσh（λu，νu）du, 对于每个停车时间σ。多亏了外稃2。2，第（1）部分，右侧由以下等式λσ[RTσ]限定(-λu+2νu）du]，而左侧的上界由等式λσ[E]给出- XE，Δσ=等式λσZTσ2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu）- λumE，δu杜≤ (2δ+)kλkbmo（Qλ）+kmE，δkbmo（Qλ）+knE，δkbmo（Qλ）.这些估计意味着∈ bmo（Qλ）和同构定理[Kaz94，定理3.6]表明∈ bmo也是。为了证明这一点∈ bmo，我们首先证明- δ属于S∞. 自从- XE，δ≥ 0，这就足以证明Y- XE，δ是从上面有界的。

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2022-5-8 06:17:02

为此，我们计算Y的半鞅分解- Qλ：d（Yt）下的XE，δ- XE，δt）=hh（λt，νt）+mE，δtλt-2δ（mE，δt）+（nE，δt）idt+（微升）- nE，δt）dBλt+（νt）- nE，δt）dWt。（4.4）利用h的下界，Y和XE的类（D）性质，Qλ下的δ，以及- δT=0，我们得到了- XE，δt≤ 等式λthZTtλu-2.νu- mE，δuλu+2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu）dui，其中，由于λ，ν，mE，δ和nE，δ的bmo（Qλ）性质，右侧从上方均匀地在t中有界。bmo和S中的界∞, 与应用于（Y）的公式一起使用- XE，δ）和（4.4）的促进，意味着μ-我，δ∈ bmo（Qλ）。对[Kaz94，定理3.6]的另一个诉求是：∈ bmo。不完全随机平衡19最后，我们讨论（2.11）的唯一性，并考虑两个解（Y，u，ν）和（Y，u，ν）。他们之间的差异很小-■Y令人满意（年初至今）-~Yt）=（h（λt，νt）- h（λt，*νt））dt+（ut- §ut）dBλt+（νt）- ννt）dWt。通过凸性，我们得到了h（p，ν）- h（p，~ν）≤ Q*（p，ν）（ν）- 其中q*（p，ν）=h（p，ν），所以-~Yt≥ -ZTt（μu）- ■uu）dBλu-ZTt（νu）- ~nνu）dWq*u、（4.5）其中q*表示过程q*(λ, ν). 引理2.2中（2.9）的界暗示q*∈ bmo。因此，概率测度Qλ，*, 由dQλ定义，*/dP=E(-RλudBu-Rq*udWu）定义良好。此外，由于（u，ν）和（u，ν）的bmo性质，上述（4.5）右侧的随机积分为Qλ，*-鞅。在Qλ下对ftq的投影，*（4.5）的两个侧面产生Y≤~Y。同样证明了逆不等式。4.5. 命题的证明2。4.引理2.2中（2.9）中的边界允许πλ从λ和（μλ，νλ）继承其bmoproperty。设置μλ=πλ+μλ和νλ=νλ，我们有μλ，νλ∈ bmo和h（λ，νλ）+μλλ=g（μλ，νλ）- πλ，（4.6）所以dyλt=gt（μλt，νλt）- πλtλtdt+（μλt）- πλt）dBt+νλtdWt=gt（uλt，νλt）dt- πλtdBλt+μλtdBt+νλtdWt。因此Yλt+πλ·Bλt（4.2）与终端条件E+π·Bλt。

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2022-5-8 06:17:06

当E+πλ·Bλt出现有界时，（4.2）的唯一性意味着yλ=inf情商E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）duQ∈ Q,π的最优性来自（2.6）。当E+πλ·Bλ为无界时，我们使用非减量序列τn=inf{t使用局部化参数≥ 0 | | Yλt+πλ·Bλt |≥ n}∧T，n∈ P[τN=T]→ 1.过程Yλt+πλ·Bλt是（4.2）有界终端条件Yλτn+πλ·Bλτn，因此，通过唯一性，Yλ=inf情商Yλτn+ZτnπλudBλu+Zτnfu（pu，qu）duQ∈ Q. （4.7）因此，上面（4.7）中的等式和f yieldYλ的非负性≤ 情商Yλτn+ZτnπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du, 每n∈ N和每个Q∈ Q.（4.8）对于右边的第一项，我们声称{Yλτn}从上面被Q下的一致可积族所限定。事实上，我们从命题2中得到了。3第（i）项Yλt≤不完全随机平衡20EQλt[E+]+kλkbmo（Qλ）。另一方面，Q∈ Q意味着DQDP∈ Lp（P）对于某些P而言足够接近1。此外，由于λ∈ bmo（Qλ），逆霍尔德不等式（见[Kaz94，定理3.1]）意味着dpdqλ∈ Lp′（Qλ）对于一些充分接近1的p′，类似于dqλdP∈Lp′（P）对于某些P′足够接近1。拿s∈ （1，p∧ p′∧ 通过1/p+1/q=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1定义q、q\'和q\'=1。我们从霍尔德不等式中得到等式λt[E+]s= EPdQdP等式λt[E+]s≤ EPdQdPP打气等式λt[E+]平方米Q≤ EPdQdPPpEQλdPdQλ等式λt[E+]平方米Q≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EQλEsqq\'+qq\'≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EPdQλdPEsqq′+qq\'≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EPdQλdPp′\'qq′p′EPEsqq\'q\'\'+qq\'q\'，对于任何t∈ [0，T]。因此，条件期望EQλ·[E+]的连续修正是Q下的一类（D）过程，它证实了{Yλτn}在Q下由一个非均匀可积族从上而下的结论。因此，我们可以使用Fatou引理得出lim supnEQ[Yλτn]≤等式[E]。

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2022-5-8 06:17:09

对于（4.8）右侧的随机积分，类似于上述yieldsEQZTτnπλudBλu≤ 伊芙dQdPpipEQλhdPdQλp′ip′qEQλZTτnπλudBλuqq\'qq′（4.9），其中1/p+1/q=1/p′+1/q′=1和p，p′充分接近1。对于右边的第三个预期，因为πλ·Bλ∈ BMO（Qλ），我们有supnEQλhRTτnπλudBλu2qq′i≤ kπλ·Bλk2qq′BMO2qq′（Qλ）<∞德拉瓦莱-普桑定理暗示RTτnπλudBλu在Qλ下，qq′在n中是一致可积的。因此，（4.9）中的第三个期望值消失为τn→ 我们得到λ≤ 情商E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du, 任何问题∈ Q.因此，Yλ≤ infQ∈量化宽松E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du= UE+ZTπλudBλu,πλ的最优性来自（2.6）。此外，在^Qλ处获得了最小测度~ P、给定比亚迪^QλdP=E(-RλudBu-R^qλudWu）T，其中^qλT=h（λt，νλt）。因此Yλt+Rtfu（λu，^qλu）是一个^qλ-鞅。不完全随机平衡21为了证明唯一性，我们采用了另一个最优策略π，并观察到，由于它的最优性，两个不等式inU（E+~π·BλT）=infQ∈QEQhE+π·BλT+ZTfu（pu，qu）对≤ E^QλhE+π·BλT+ZTfu（λu，^Qλu）对≤ E^QλhE+ZTfu（λu，^Qλu）dui=infQ∈MλhE+ZTfu（λu，qu）对，实际上是等式。特别地，^Qλ-上鞅^π·Bλ是一个^Qλ-鞅，且u（E+)π·BλT）=E^QλhE+)π·BλT+ZTfu（λu，^Qλu）dui。前面的恒等式和[DHB11，命题2.1，第2项）]意味着Ut（E+～π·BλT）+Rtfu（λu，^qλu）du是一个^qλ-鞅。utan的Ft-cash不变性和∧π·Bλ的^Qλ-鞅性质则表明Ut（E+RTt∧πudBλu）+Rtfu（λu，^Qλu）du也是a^Qλ-鞅。它由另一个^Qλ-鞅控制，即Yλt+Rtfu（λu，^Qλu）du。这两个鞅实际上是重合的，因为它们满足相同的终端条件。

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2022-5-8 06:17:12

特别是，我们有YT=UtE+ZTtπudBλu, T∈ [0，T]。在[DHB11，命题2.1，第1项]中已经证明，对于任何Q，Ut（E+～π·BλT）+Rtfu（pu，qu）du是aQ子鞅∈ Q.这个次鞅性质与Ut（E+＠π·BλT）+Rtfu（λu，^Qλu）du yieldsUt的^Qλ-鞅性质相结合∧τ（E+～π·BλT）=essinfQ∈QEQt∧τhUτ（E+～π·BλT）+ZτT∧τfu（pu，qu）dui，对于任何[0，T]值的停止时间τ。特别是，当τ=τk这里τk=inf{t≥ 0:| Ut（E+)π·BλT）|≥ k}∧ T，有界终端条件下（4.2）的唯一性意味着dut（E+＠π·BλT）=gt（＠uT，＠νT）dt+＠tdBt+＠tdWt，0≤ T≤ τk，对于某些（＠u，＠ν）。因此，Ut=Ut（E+RTtπudBλu）满足=gt（ut，νt）- λtπtdt+（~ut）- ~πt）dBt+~νtdWt。将其与（2.11）中的动力学进行比较，并利用半鞅分解的唯一性，我们得到了μλ=～u- ~π，νλ=~ν，和gt（~u，~ν）- λ∧π=ht（λ，νλ）+λμλ。Thereforesupp∈Rht（p，νλ）+p（uλ+～π）= gt（λ+π，νλ）=ht（λ，νλ）+λ（λ+π）。Ht的凹度在其第一个参数中产生μλ+μπ=-ht（λ，νλ）和conf-confirm∧π=πλ。不完全随机均衡224.6。理论证明3。4. (1) => (2). 给定一个平衡λ∈ ∧（E，f），设πibe为agent i的初选择机。命题2中的唯一性陈述。4个标识πi=-hi（λ，νi）- ui，其中（Yi，λ，ui，νi）是（2.11）的唯一解，终端条件为Yi，λT=ei和（ui，νi）∈bmo。市场清算条件piπi=0意味着pihi（λ，νi）=-Piui.（2）=> (1). 给出一个溶液（Yi，λ，ui，νi）ito（3.3），每个溶液（ui，νi）∈ bmo，我们设定πi=-hi（λ，νi）- ui.命题2。4意味着当风险的市场价格为λ，且市场清算条件满足时，πi对于代理i是最优的，因为πi=-圆周率hi（λ，νi）+Piui=0.4.7. 理论证明3。6.仅依赖于δ和从定理3.6可以称为普适。

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