为了证明（4.10），我们从H-1（p，ν）- H-1（~p，（~νi）i）≤H-1（p，ν）- H-1（~p，ν）+H-1（~p，ν）- H-1（~p，（~νi）i）（4.11）为了估计右手边，我们计算（H）-1） （p，ν）=1/S（p，ν），和1+j（H）-1） （p，ν）=-我hj（H）-1（p，ν），νj）/S（p，ν），对于1≤ J≤ 一、 其中S（p，ν）=IPjhj（H）-1（p，ν），νj）。它来自外稃2。第二部分|（H）-1） （p，ν）|≤ C和|1+j（H）-1） （p，ν）|≤ C/I，每个j和所有p∈ R和ν∈ 里。通过将中值定理应用于（4.11）中的两项，得出了（4.10）的估计值。接下来，我们基于Chinkvinidze和Mania的一个结果（参见[CM14]），给出了bmo空间一致等价的经典结果（参见[Kaz94，定理3.6]）。引理4.5。让σ∈ bmo应为| |σ| | bmo=：√对于某些R<1的情况，为2R。如果^P~ P是这样的，d^PdP=E（σ·B）T，对于一些F-布朗运动，那么对于所有ζ∈ bmo，我们有（1+R）-1 | |ζ| | bmo≤ ||ζ| | bmo（^P）≤ (1 - R）-1 | |ζ| | bmo。（4.12）证据。因为M=σ·B是BMO鞅，定理3.6。在[Kaz94]中指出，空间bmoa和bmo（^P）重合，规范| |·| | | bmoa和|·| | bmo（^P）一致等价。[CM14]中定义了该规范等效性；定理2暗示（1+R）-1 | |ζ| | bmo≤ ||ζ| | bmo（^P）≤ （1+R）| |ζ| | bmo，其中^R=R | |σ| | bmo（P）。（4.13）显然，只需要讨论（4.12）中的第二个不平等；通过将ζ=σ代入（4.13）中的第二个不等式得到：√^R=|σ| bmo（^P）=（1+^R）|σ| bmo≤√2（1+R）R，所以（1+R）≤ (1 - R）-1.为了证明平衡点的全局唯一性，我们记录了以下关于λ非平衡点的先验估计。引理4.6。存在一个普适常数C，对于任何平衡λ∈ bmokλkbmo≤ C maxi | | | | | | | bmo。不完全随机平衡证明。

假设λ∈ bmo是一个平衡，我们从Yi，λ，和中减去xi，然后使用（3.3）中的第二个方程，得到dpi（Yi，λt）- Xit）=Pi（ui，λt- mit）dBt+Pi（νi，λt- nit）dWt++Pihit（λt，νi，λt）- λthit（λt，νi，λt）-2δi（（mit）+（nit））其中右边的两个随机积分都是BMO鞅。使用引理2。2第（4）部分，前面的不等式和Yi，λ≥ Xi，Yi，λT=XiT，我们得到γI EτZTτλudu≤2δPEτZTτ（miu）+（niu）du≤2δI maxik（mi，ni）kbmo。对于每个停止时间τ，用C=1确认索赔/√δγ. 对于λ∈ bmo接近于0，以下估计给出了Di=Yi，λ之间（非负）差的显式上界- xi在它中，我们设置r（p）=√2（M+p）√2.- p、 其中M=maxi | | |（mi，ni）| | bmo。引理4.7。存在一个普适常数C，即0≤√Di≤ Cr（| |λ| bmo），对于所有i和λ∈ 带| |λ| | bmo的bmo<√2.证据。（2.7）yieldsYi，λt中Yi，λ的变分定义≤ 等式λt[Ei]+kλkbmo（Qλ），其中dqλdP=E-ZλudBuT.其中Z表示密度Zt=E(-λ·B）t，我们有等式λt[Ei]=ZtEt[ZTEi]=ZtEt[ZTXiT]，它的公式意味着ZtEt[ZTXiT]=Xit+EQλtZTt2δi（（miu）+（niu））- λumiudu.之前的估计加上-λmi≤δiλ+2δi（mi），产生一个普适常数Csuch thatDit≤ Ckλkbmo（Qλ）+k（mi，ni）kbmo（Qλ）≤ Ckλkbmo（Qλ）+k（mi，ni）kbmo（Qλ）,下面的声明来自Lemma4。5.引理4.8。存在普适常数C和<√2使得k（ui，λ，νi，λ）kbmo≤ C（M+p），对于任何M，p≤ 其中M=maxi | | |（mi，ni）| | bmo和p=| |λ| | bmo。不完全随机均衡证明。对于p=kλkbmo的λ<√让r（p）如（4.14）和C4所示。7如引理4.7所示，所以≤ Di≤ 补体第四成份。7r（p）和DiT=0。

SincedDit=（ui，λt）- mit）dBt+（νi，λt- nit）dWt++hhit（λt，νi，λt）+ui，λtλt-2δi（麻省理工学院）+（nit）idt，其公式yieldsd（Dit）=2Dit（ui，λt）的应用- mit）dBt+2Dit（νi，λt- nit）dWt+h（ui，λt- mit）+（νi，λt- nit）idt+2dithit（λt，νi，λt）+ui，λtλt-2δi（麻省理工学院）+（nit）idt。右边的随机积分是鞅，因为Dii是有界的。使用DT=0，D的事实≥ 0，hi（λ，νi，λ）≥ -λ、 和ui，λ≥ -（ui，λ）-λ、 我们得出结论，存在一个普适常数C，使得EτZTτh（ui，λ）- mi）+（νi，λ- ni）idt≤铬（p）kλkbmo+kui，λkbmo+k（mi，ni）kbmo≤铬（p）kλkbmo+kui，λkbmo+M.还有待观察的是k（ui，λ，νi，λ）kbmo- k（mi，ni）kbmo≤ k（ui，λ）- mi，νi，λ- ni）kbmo≤ 铬（p）kλkbmo+k（ui，λ，νi，λ）kbmo+M.当1- Cr（p）>0，即1- p/√2.- C（M+p）>0，重新排列之前的不等式yieldsk（ui，λ，νi，λ）kbmo≤(1 - p/√2） M+C（M+p）1- p/√2.- C（M+p）。存在一个足够小的普适成本，当p，M≤ ，我们有1个- p/√2.-C（M+p）≥ 1/2，因此（1- p/√2） M+C（M+p）1- p/√2.- C（M+p）≤ C（M+p），其中右侧的通用常数C可能与左侧的不同。然后，将前两个不等式结合起来，得出结论。定义Bbmo（p）={λ∈ bmo:kλkbmo≤ p} 。以下结果表明，当maxik（mi，ni）kbmoi足够小时，过量需求图F将Bbmo（p）映射到自身中，以选择适当的p。引理4.9。存在一个普适常数ε和一个普适函数ε：[0，ε）→ (0, ∞) 这样的不完全随机平衡26（1）limM→ 0′ε（M）=0和limM→ 0′ε（M）/M>C4。6，C4。6是引理的常数。当M=maxi | | | | |（mi，ni）| | bmo<ε时，F将Bbmo（？（M））映射到自身中。证据

自从H-1（0，0）=0，引理4.4保证了一个正的泛恒常4的存在。4使得| | F（λ）| | bmo=| | H-1(-IPiui，λ，（νi，λ）i）|bmo≤ 补体第四成份。4.maxikui，λkbmo+maxikνi，λkbmo,≤ 2C4。4maxik（ui，λ，νi，λ）kbmo，（4.15）对于所有λ∈ bmo。M=maxi | | |（mi，ni）| i，p=kλkbmo，和C4。ε4.8表示引理4中的常数。8，我们有| | F（λ）| | bmo≤ 2C4。4C4。8（M+p），对于任何p，M≤ ε4.8. 选择一个大于2C4的普适常数C。4C4。8和C4。6，我们从前面的不等式中得到| | F（λ）| | bmo≤ C（M+p）。存在一个普适常数ε≤ ε4.8使得二次方程f（p）：=C（M+p）- 当M≤ ε. 用ε（M）表示较小的溶液。（M）的表达产生limM→ 0ε（M）=0。方程f（p）=0意味着→ 0′ε（M）M=lim infM→ 0C（M+？（M））M≥ C≥ 补体第四成份。6.很容易看出kf（λ）kbmo≤ C（M+’ε（M））=’ε（M），对于具有kλkbmo的任何λ≤ ε（M）。引理4.10。存在普适常数ε，C，如果maxi | | |（mi，ni）| | bmo≤ ε、 然后对于满足kλkbmo的任意λ，＠λ，k＠λkbmo≤ ε（maxik（mi，ni）kbmo），我们有| | F（λ）- F（λ）| | bmo≤ C（Lλ+L＠λ）|λ-λ| | bmo，其中Lλ=| | |λ| bmo+maxi | |（ui，λ，νi，λ）| bmo和L |λ=| |λ| bmo+maxi |（ui，|λ，νi，| bmo）。证据在证明的第一部分中，我们显著地抑制了指数i，因为我们将集中在单个代理Yλ上。对于λ，λλ∈ 带| |λ| | bmo，| |λ| bmo的bmo<√2表示为（Y，u，ν）=（Yλ，uλ，νλ）和（Y，u，ν）=（Yλ，uλ，νλ），对应于（2.11）的解。通过引理4的论证。7，由于它在0处终止，过程δY=Y-■从B到S∞.

我们设置λ=（λ+～λ）/2和u=（u+～u）/2，使得dδYt=（ut- §ut）dBt+（νt- ννt）dWt+ht（λt，νt）- ht（λt，νt）+utλt- utλtdt=（ut）- §ut）dBλt+（νt）- ννt）dWνt+ht（λt，νt）- ht（λt，νt）+ut（λt-λt）dt。不完全随机平衡=h（∧λ，ν）-h（∧λ，∧ν）ν-若不满足，则ν6=ν0≤ Θ（k)λkbmo+kνkbmo+kνkbmo），（4.16）多亏了（2.10）。那么Bλ=B+R·λtdt，Wν=W+R·νtdt是Qλ，ν下的布朗运动。再次利用（2.10），存在一个普适常数C，使得|δYt |≤ C等式λ，νtZTt|λu |+| |λu |+|νu |+|uu||λu-λu | du,柯西-施瓦茨不等式yieldskδY kS∞≤ C（\'Lλ+\'L∧）kλ-λkbmo（Qλ，ν）。（4.17）式中，Lλ和Lλ类似于Lλ和Lλ，但bmo范数在Qλ，ν下计算。接下来，根据它的公式，我们得到了（δYt）=2δYt（ut）- §ut）dBλt+2δYt（νt）- ννt）dWνt+（ut）- ~nut）+（νt- ~nνt）dt++2δYtht（λt，νt）- ht（λt，νt）+ut（λt-λt）dt，由于（2.10），（4.17），以及δYT=0的事实，我们得到了等式λ，νZTτ（uu）- ~nuu）+（νu- νu）du≤ CkδY-kS∞（\'Lλ+\'L∧）kλ-λkbmo（Qλ，ν）≤ C（\'Lλ+\'L∧）kλ-对于任何停止时间τ。这反过来意味着k（u，ν）- （)u，)ν）kbmo（Qλ，ν）≤ C（\'Lλ+\'L∧）kλ-λkbmo（Qλ，ν）。（4.18）F和引理的定义4。4意味着用P下的规范替换上述（4.18）中qλ，ν下的所有bmo规范，以及‘Lλ，’L∧表达式中的bmo规范就足够了，可能是在扩大了普适常数C之后。要做到这一点，对于M=maxik（mi，ni）kbmo≤ ε4.9，其中ε4.9是引理4中的普适常数。9，取任意kλkbmo，kλkbmo≤ ε（M）。引理4.8意味着k（u，ν）kbmo，k（~u，~ν）kbmo≤ C（M+（M））。（4.19）设置R=√k（°λ，±ν）kbmo。结合（4.16）、（4.19）和limM→ 0′ε（M）=0，我们可以选择足够小的ε，当M≤ . 然后应用引理4。5至（4.18）的两侧，weobtaink（u，ν）- （)u，)ν）kbmo≤ C1+R（1）- R）（Lλ+Lλ）kλ-λkbmo。

（4.20）最后，外稃4。4和一个类似于（4.15）implykF（λ）的估计值- F（∧λ）kbmo≤ 2C4。4maxik（ui，νi）- （~ui，~νi）kbmo。不完全随机平衡28在结合和最后两个不等式，并将指数i重新引入（4.20）的左侧后，得出结论。理论证明3。6.我们选取的常数M足够小，引理4.9的ε（M）定义良好，并且具有以下性质：（1）C4。6米≤ ε（M），其中C4。6和引理4.6一样。（2） 当| |λ| | bmo≤ ε（M），我们有Lλ≤3C4。10，其中Lλ和C4。10与引理4.10一样，第（1）项可以通过引理4实现。9第（1）项和第（2）项可以满足（4.19）项和引理4.9第（1）项。假设maxi | | |（mi，ni）| | bmo≤ M、 外稃4。9意味着F将Bbmo（¨ε（M））映射到自身。此外，上述第（2）项和引理4。10意味着F是Bbmo上的一个收缩（°ε（M））。因此，根据Banach不动点定理，F在Bbmo中允许一个唯一的不动点（°ε（M））。这立即意味着系统（3.3）允许含有（u，ν）的溶液（Y，u，ν）∈ bmo2I，通过定理3使λ达到平衡。4.转向独特性，勒玛。6意味着任何平衡都需要在半径球中。6M，由于上述第（1）项的原因，其小于ε（M）。我们已经建立了Bbmo（？ε（M））中平衡的唯一性，因此平衡λ以及上面构造的（3.3）的相关溶液（Y，u，ν）是全局唯一的。4.8. 推论的证明。9

我们求| | Ei的两边之和- Ej | | L∞≤ χE（| | Ei | L）∞+ ||Ej | | L∞)超过j到奥塔尼| | Ei | L∞- ||E∑| | L∞≤ 基辅-PjEjkL∞≤Pj | | Ei- Ej | | L∞≤≤ χEI|EI|L∞+ χEPj | | Ej | L∞,这意味着（1）- χE）|Ei |L∞≤I | E∑| L∞+ χEIPj|Ej|L∞.将得到的i上的不等式求和，我们得到pi | | Ei | L∞≤1.-2χE | | E∑L∞.前两个不等式加起来就意味着| | Ei | L∞≤1.-2χEI | | E∑L∞, 另一方面，命题A.2第（4）部分暗示k（mi，ni）kbmo≤ 4δikEikL∞≤ 4.凯克尔∞≤4.1.-2χEIkE∑kL∞, 对于所有的i，那么对于大于一些i的i，右手边小于（3.4）中的M，并且平衡的存在遵循定理3。6.不完全随机平衡29附录A.定义2.1中引入的EBMOThe熵BMO空间的特征和性质可以通过反向H"older不等式来描述，这相当于BMO中的成员资格；参见[Kaz94，定理3.4]。提议A.1。随机变量E在EBMO中当且仅当E-E∈ 存在常数p>1和C>0，因此对于每个停止时间τ，我们有e[e]-pE | Fτ]≤ C（E[E]-E | Fτ）p.以下结果中稍微弱一点的陈述可能会对EBMO的结构有更多的解释：命题A.2。以下结论成立：（1）如果E∈ EBMO，然后是E/α∈ 对于每个α>1，（2）如果E∈ EBMO然后e-E∈ ∪p> 1磅。（3） 如果H∈ BMO为正，且有界于0，然后为对数H∈ 埃博莫。（4） L∞ EBMO；事实上，如果E∈ L∞然后| | E | | EBMO≤ 2 | | E | | 1/2升∞.证据（1） （2）直接从命题A开始。1.对于（3），我们注意到严格正的ebmo鞅ht=Et[H]允许一个随机对数Mt=Rth-1吨。此外，因为h的有界距离为零，所以M的二次变化量从上方以h的二次变化量的常数倍数为界，所以M∈ BMO，即对数H∈ 埃博莫。事实是我∞ EBMO是L∞ BMO。

此外，设N是由Nt=Et[e]给出的连续鞅-E] 。由于N是一个有界于零的L-鞅，过程M通过M=-R·N-1udNu，所以logn=logn-M-（1/2）人机界面，也是一种艺术。此外，我们还有- hMit]=Et[（hMit+MT）- （hMit+Mt）]=Et[log（Nt/Nt）]≤ 2 | | E | | L∞,和| | E | | EBMO≤ 2 | | E | | 1/2升∞直接来自| | E | | EBMO=| | M | | BMO这一事实。在我们给出EBMO成员资格的另一个有用的充分条件之前，让我们回顾一下Wiener空间上Malliavin微分的概念。设Φ为形式为φ（I（η）的随机变量集，I（ηk）），式中∈ C∞对于某些k，ηj=（ηj，b，ηj，w）的b（Rk，R）（所有阶有界导数的光滑函数）∈ L（[0，T]；R）和I（ηj）=ηj，b·BT+ηj，w·WT，foreach j=1，k、 如果ζ=η（I（η），I（ηk））∈ Φ，我们将其Malliavin导数定义为二维过程dθζ=kXj=1φxj（I（η），I（ηk））ηjθ，θ∈ [0，T]，不完全随机平衡30，用Dbζ和Dwζ表示Dζ的两组分过程。ζ∈ Φ和p≥ 1，我们定义了范数| |ζ| | 1，p=E|ζ| p+ZT | Dθζ| Dθ！p/21/p，让Banach空间D1，pbe是Φ在| |·| | 1，p下的闭包。我们说一个随机变量Eis Malliavin Lipschitz如果∈ D1、2和DbE、DwE∈ s∞. 康斯坦特酒店=q | DbE |+| DwE|s∞被称为E的Lipschitz常数。在马尔可夫环境中，E=g（BT，WT），对于某些函数g，当g是Lipschitz函数时，E是Malliavin Lipschitz，而E的Lipschitz常数是g的Lipschitz常数。命题a.3。如果E是马利雅文-利普希兹常数为L的马利雅文-利普希兹，那么E/δ∈ EBMO和| | E | | EBMO，δ≤ L√T，对于每个δ>0。证据

根据Clark-Ocone公式，鞅表示E=E[E]+\'MT=E[E]+m·BT+n·WTsatisfymt=Et[DbE]和nt=Et[DwE]中的分量m和n，a.s.，对于每个t∈ [0，T]，因此，允许使用q（mt）+（nt）的版本≤ 五十、 每个t∈ [0，T]，a.s.因此，h\'MiT≤ L和Bernstein不等式（见[BJY86]中的等式（4.i））意味着E（最多）具有高斯尾。特别是，e-E∈ L.再加上E的Malliavin导数的有界性，这个事实意味着E-E∈ D1,2因此，用修正意义上的等式解释，Vt=Et[e]-E]∈ D1,2和DkθVt=-Et[e-所有θ的EDkθE]≤ T≤ T和k=b或w。将克拉克-奥肯公式应用于VtyieldsVt=E[Vt]+ZtEθ[DbθVt]Dbθ+ZtEθ[DwθVt]Dwθ。另一方面，dVθ=-VθmθdBθ- VθnθdWθ，Eθ[DbθVt]=-Vθmθ和Eθ[DwθVt]=-Vθmθ，表示θ≤ t、 因此，mθ=-Eθ[DbθVt]Vθ=Eθ[E-EDbθE]Eθ[E-E]≤ ||DbE | | S∞,这意味着| | m | | S∞≤ ||DwE | | S∞. 同样地，|n|S∞≤ ||DwE | | S∞, （2）中的界紧随其后。不完全随机均衡31参考文献[ADEH99]P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath，一致风险度量，数学。《金融9》（1999），第3期，203-228页。[AR08]R.M.Anderson和R.C.Raimondo，《连续时间金融市场中的均衡：内生动态完全市场》，计量经济学76（2008），第4841–907期。[BEK05]P.Barrieu和N.El Karoui，《定价、对冲和设计具有风险度量的衍生品》，无差别定价：理论与应用，普林斯顿大学，2005年，第77-146页。[BEK13]，二次半鞅的单调稳定性及其在无界一般二次BSDE中的应用，Ann。Probab。41 (2013), 1831–2853.[BH06]P.Briand and Y.Hu，具有二次增长和无界终值的BSDE，Probab。理论关系。Fields 136（2006），no.4，604–618。[BH08]，具有凸生成元和无界终端条件的二次BSDE，Probab。

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