具有共同义务的结构违约模型

2022-5-8 04:50:43

Noname手稿编号（将由编辑插入）具有相互义务的结构违约模型Andrey Itkin·Alexander Liptonover2018Abstract本文考虑了相互关联银行系统中的相互义务，并分析了它们对联合和边际生存概率以及各银行的CDS和FTD价格的影响。为了使相互关联的作用更加透明，我们考虑了一个简单的结构违约模型，其中银行资产由相关的带漂移的多维布朗运动驱动。该模型能够获得许多感兴趣的量的闭合形式表示，至少在二维情况下是如此，此外，还提供了模型校准。最后，我们证明，为了获得正确的模型参数值，必须考虑相互义务。二维结构性违约模型、共同义务、共同和边际生存概率、CDS和FTD价格1简介结构性违约框架广泛用于评估公司EBT的信用风险。它在开创性著作[21]中以简单的形式介绍，并在各种论文中进一步扩展，参见[20]中的调查和其中的参考文献。与简化模型（例如，见[5]）相比，当交易对手数量增加时，结构性违约模型不受维度诅咒的影响；然而，这些模型为典型企业的违约事件提供了更详细、更具财务意义的描述。本文表达的观点代表作者的观点，不一定代表美国银行的观点。ItkinBank of America Merrill Lynch，New York NY，USA和纽约大学工程学院，电子邮件：aitkin@nyu.eduA.

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2022-5-8 04:50:47

美国纽约州利普顿银行美林和英国牛津大学牛津曼定量金融研究所，电子邮件：alex。lipton@baml.com2亚历山大·利普顿（Alexander Liptonin）的安德烈·伊特金（Andrey Itkin）在[25]中提出，在[15]中，我们考虑到银行之间存在相互负债的事实，扩展了结构框架。为了准确分析个别银行和整个银行网络的信用价值，考虑这种影响非常重要。例如，巨大的互操作性意味着对银行的不利冲击会迅速传递到整个系统，对其稳定性产生严重影响（[8]）。[8]的作者指出，高度互联的银行之间的重新谈判有助于私人部门的相互救助，以降低政府救助的需要。相互负债相对于总负债的相对规模相当大。例如，银行间贷款的相对比例在欧盟为12%，加拿大为8.5%（[8]），美国为4.5%（根据圣路易斯联邦储备银行的经济研究网站）。通过结合相关的默顿资产负债表模型，利用观察到的银行股权收益率进行校准，并本着[9]的精神分析银行间负债的潜在清算，可以建立一个具有共同负债和持续违约监控的扩展默顿模型。在[15]中，我们假设银行的资产由具有特殊和共同成分的相关L’evy过程驱动，并开发了一种新的伪偏微分方程计算方法，以使计算联合和边际生存概率的问题易于处理。

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2022-5-8 04:50:50

讨论了相互责任的影响，并给出了数字示例来说明其重要性。显然，联合生存概率和边际生存概率的知识对于成功校准信用违约掉期（CDS）和首次违约（FTD）工具模型非常重要。由于一般情况相当复杂，这里我们仅限于银行资产由带漂移的相关布朗运动驱动的情况。然后在2D情况下，我们得到了几个感兴趣的量的明确表达式，包括联合生存概率和边际生存概率，以及CD和FTD价格。尽管考虑中的模型没有包含跳跃，但它仍然是有益的，因为它支持分析评估，并提供了与[19,20]中考虑的分析框架的自然联系。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了一个适用于N个银行的一般情况的模型。第3、4节介绍了控制方程和格林函数方法，用于求解具有共同义务的两家银行的联合和边际生存概率方程。第5、6节计算了CDS和FTD合同的价格，并给出了我们的数值试验结果。我们还通过将解析解与使用[15]中描述的有限差分算法获得的数值解进行比较，验证了我们的结果。第7节讨论了模型的校准，给出了一些数值结果。我们的结论在第8.2节模型中给出，考虑一组具有外部资产和负债Ai，Li，i=1。。。，N、以及银行间资产和负债Lji，j=1。。。，N、分别。换句话说，LIJI是第i家银行欠第j家银行的金额，等等。

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2022-5-8 04:50:53

因此，第i家银行的总资产、带相互义务的结构违约模型、负债和资本的形式为eAi=Ai+Xj6=iLji，eLi=Li+Xj6=iLij，Ci=eAi-eLi=Ai- λ=i，其中λ=i=Li+Xj6=i（Lji- 丽晶）。（1）为简单起见，我们假设相应的动力学由形式dai的des控制，t=rAi，tdt+σiAi，tdWi，t，（2）dLi，t=rLi，tdt，dLij，t=rLij，tdt，受制于初始条件Ai，0=Ai（0），Li，0=Li（0），Lij，0=Lij（0），因此Li，t，Lij，是时间t的确定函数。式（2）中r是无风险率，σi是第i项资产的波动率（假定为常数），Wi是相应的布朗运动。相应相关矩阵的元素用ρij表示。上述假设可以用多种方式概括，这将在其他地方讨论。我们假设所有负债（包括外部负债和银行间负债）在某个到期日T>0时结算。因此，在t=t时，第i银行默认为ifeAi，t<eLi（t），或者，等效地，如果Ai，t<λ=i（t）。下面我们用τi表示第i个银行的违约时间。第k个银行在τk<T时违约。我们根据[6]的精神描述了中间时间0<τi<T的违约情况，假设第i家银行在时间τi提供的违约率为ai（τi）≤ λ<i（τi），（3）λ<i（τi）=RihLi（τi）+Xj6=iLij（τi）i-Xj6=iLji（τi），其中0≤ 里≤ 1是回收率，假设在t=t之前为常数。我们需要强调的是，根据这些设置，defaultboundary在t=t时是不连续的，因为Rie在这一点经历了一个跳跃，从它的值Riat t<t到t=t时的1（因此λ<i转换为λ=i）。如果在t=t之前没有其他银行违约，则这些默认边界有效。现在假设相反的情况，即第k家银行在时间τk<T时第一个违约，因此我们只剩下一组N- 1.幸存的银行。

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2022-5-8 04:50:57

在τk时，第i家银行的资产和负债，I6=k，形式为EAI（τk）=Ai（τk）+Xj6=i，j6=kLji（τk）+RkLki（τk），eLi（τk）=Li（τk）+Xj6=kLij（τk）+Lik（τk）。因此，我们将它们进一步表示为Li（t），Lij（t）。4 Andrey Itkin，Alexander Lipton我们假设，对于幸存的银行，相互负债保持不变，而其外部负债根据规则Li（τk）跳跃→\'Li（τk）≡ Li（τk）+Lii（τk）- RkLki（τk）。存活下来的银行资本自然需要hitCi（τk）→\'Ci（τk）≡ Ci（τk）- (1 - Rk）Lki（τk）。因此，每次违约都会减少幸存银行的集合，并将相应的违约边界修改为∧ik（t）=（λ<ik（t），t<t，λ=ik（t），t=t，i6=k（4）λ<ik（t）=Ri[Li（t）+Lik（t）- RkLki（t）]+Xj6=i，j6=k[RiLij（t）- Lji（t）]，λ=ik（t）=Li（t）+Lik（t）- RkLki（t）+Xj6=i，j6=k[Lij（t）- Lji（t）]，例如，考虑N=2。然后，对于剩余的银行“k”≡ 3.- k、默认边界由（[15]）λk（t）=（R\'k（L\'k+L\'kk）给出- RkLk¨k），τk≤ t<t，L\'k+L\'kk- RkLk\'k，τk<t=t.（5）很明显λ′k=~λ′k- λ′k=（（1）- R\'kRk）Lk\'k≡ λ<k，τk≤ t<t，（1）- Rk）Lk\'k≡ λ=k，t=t，和λ′k≥ 0.为了使这些定义更加透明，计算域如图1所示。在这里，如果没有默认值，我们有一个矩形的main，它位于分段常量线5的上方- 3.- 4.如果银行2违约，该域将转换为第5行右侧的域-3.-7.-8.如果bank 1默认，域将转换为line1之上的域- 2.- 3.- 4.第i家银行在τi=T时违约。在这种情况下，应改变式（5）中∧iI的定义。事实上，如果第i家银行的资产在到期前的某个时间违约低于其负债，该银行有一段时间可以恢复，除非其违约低于∧<i水平。在这个水平上，该银行的交易对手不再相信其恢复能力，并且违约。

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2022-5-8 04:51:00

显然，在t=t时，银行没有时间恢复。因此，它最多可以向债务人支付其手中的当前金额，即银行资产的总价值，它是一个分数γi，0<γi≤ 1.其负债情况。因此，本着[9]的精神，为了确定在这种情况下，我们省略了λika的第二个指数，因为违约银行是唯一确定的。我们考虑的是一种理想的情况，即银行的所有资产在违约时可以立即转换为现金，不会出现延迟和进一步的损失。相互义务为5AAλ<λ的结构违约模型<λ<λ<3 7 4λ<λ<λ<图1:t<t时有无相互负债的两家银行的违约边界。默认边界我们需要找到向量γ={γi}，0≤ γi≤ 1.我∈ [1，N]解决了单位立方体中的以下分段线性问题：Ai（T）+Xj6=iγjLji（T），Li（T）+Xi6=jLij（T）= γiLi（T）+Xj6=iLij（T）.（6）引入新的无量纲变量ai=ai（T）/~Li（T），lji=lji（T）/~Li（T）。等式（6）中给出的问题可以重新写成ai+Xj6=iγjlji，1= γi.（7）很明显，如果ai+Pj6=iγjlji，γi=1（因此第i个银行仍然存在）≥ 1.和γi<1，否则，第i家银行违约。这一描述表明，当Nai（T）<λ=i（T）和通过传染，当Nli（T）+Xj6=i[Lij（T）时，相互关联的银行集合中的违约可以直接发生- γjLji（T）]>Ai（T）≥ λ=i（T）。6安德烈·伊特金，亚历山大·利普托内克。（7）可以唯一地解决。附录A中给出了一个简短的讨论。因此，在这种情况下，我们将τi=T处λ=i（T）的定义改为∧i，T=Li（T）+Xi6=jLij（T）-Xj6=iRj，T（γ）Lji（T）（8），其中Rj，T（γ）=min1，Aj（T）+Xi6=jγiLij（T）Lj（T）+Xi6=jγiLji（T）, γ=[γ，…，γN]。（9） AAλ=λ=6 7λ<λ<λ<λ<λ=td<T∧=td<TDDD^DFig。2：在t=t时，有相互负债和无相互负债的两家银行的违约边界。

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2022-5-8 04:51:03

点模式标记了整个计算域D。因此，默认边界∧i，T分段线性依赖于allAj（T），j∈ [1，N]，j6=i。特别是，设N=2和τ=T，因此当（T）=0时，我们从等式（8）~λ1，T=L+L，4=LL+LL+LL。因此∧=τ<T-~λ1，T=L（~R2，T（1）- R） =LLL+L- R.具有相互义务的结构违约模型7这种行为如图2所示。因为τj=T，因此，Rj=1，来自等式。（5）我们有λ=i=λ=i，或者λi=0。因此，当A（T）从0增长到λ=，默认边界λ1，T从l+Ltoλ=沿8-9-6线移动。在第6点，默认边界λ1转变为λ==λ=，当后者增加时，它不依赖于A（t）。这发生在点A=（T）=λ=。因此，图2中第一排的整个默认边界可视为一条穿过点8-9-6-5的线。类似地，对于第二组，图2中的默认边界可视为穿过点1-2-6-4的线。同样在图2中，D是两个银行都没有违约的域，D是第二个银行违约而第一个银行没有违约，D是第一个银行违约而第一个银行没有违约的域，D是由点模式标记的整个计算域，在D=D\\D域中，两个银行都违约。和往常一样，用无量纲变量来描述欠考虑银行集合的演化是有用的。

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2022-5-8 04:51:06

为此，我们引入平均波动率ω≡QNi-1σi1/N，且定义‘t=ωt，’t=ωt，Xi，’t=ωσilnAi，\'tλ<i（\'t）, ξi=-σiω。“Xi”的相应动力学由SDE控制：d“Xi”，t=ξid“t+dWi，”（10），而默认条件现在转换为Xi≤ ui，其中u定义为ui（\'t）=u<i≡ 0，\'t<\'t，u=i≡ωσilnλ=i（\'t）λ<i（\'t）,\'t=\'t。（11）根据定义，u=i>0。为了简单起见，下面我们省略了条。如果第j个组的默认值为τj<T，那么对于第i个组，默认值边界由¨uij（T）给出=√u<ij≡ωσilnλ<ij（t）λ<ij（t）！，t<t，μ=ij≡ωσilnλ=ij（t）λ<ij（t）, t=t.（12）注意，根据式（2）~u<ij与t无关。可以看出，式（12）中t=t处的边界条件与终端条件不匹配，根据式（8），终端条件为~uij，t=ωσilnλij，t（t）λ<ij（t）！6=)u=ij（T）。（13）从数学上讲，这意味着我们的问题属于t=t处有边界（过渡）层的一类问题。在财务上，该层解决方案的行为取决于合同的详细规定。8 Andrey Itkin，Alexander Lipton举个例子，如果银行即将到期，比如说前一天，回收率可以确定为在最后一天内从Rito 1顺利过渡。或者，可以发布相关合同的其他特定条件。然而，我们不考虑这些细节，假设边界层很薄，因此，当离开这一层时，由于这一层的存在，解的任何扰动都会很快消失。换言之，当我们详细考虑边界层时，我们的解在t=t时会经历一次起伏。

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2022-5-8 04:51:09

因此，在找到闭式解后，我们将与该问题的数值解进行比较，以揭示闭式解对所述效应值的敏感性。下面我们只提供了二维情况N=2的所有结果，而多维情况将在其他地方给出。因此，为了便于阅读，我们将省略第二个索引，因为在这种情况下，它不会带来任何混淆。3控制方程基于上一节中给出的分析，定义了两个资产X，Xis的联合生存概率Q（t，X，X）Ohm（t，X，X）：[0，t]×[0，∞] × [0, ∞]. 它解决了以下终端边值问题（[20]）Qt（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（14）Q（t，X，X）=1X∈D、 Q（t，0，X）=0，Q（t，X，0）=0，其中lq=ρQ+ξ·Qρ≡X+ρ十、X+十、 ξ=（ξ，ξ）T，xis是用半最大值约定定义的高阶阶梯函数，以及图2中定义的面积。我们强调，域Diin Xvariables有一个曲线边界，它取决于a’i（T）的值。事实上，根据式（3）、式（8）、式（9）和式（13）中的定义，我们可以发现，例如，对于i=1u1，T=ωσln“L+L”-~R2，T（1）LL+L- L#=ωσln“1+L（1-~R2，T（1））L+L- L#。接下来，我们定义了相应的边际生存概率qi（t，X，X），i=1，2，它们是X和X的函数，也在该域中Ohm（t，X，X）。为简洁起见，我们提供了第一银行（i=1）的所有定义和公式，同时提供了Ohm 对应于图2中的虚线区域。由于省略了对t=t处过渡层的详细考虑，因此该条件允许获得正确的χ（t，~u=）值，见等式（22）。第二个模型可以通过类比来实现。

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2022-5-8 04:51:13

所以q（t，X，X）解决了以下终端边值问题q1，t（t，X，X）+Lq（t，X，X）=0，（15）q（t，X，X）=1X∈[D]∪D] ，q（t，0，X）=0，q（t，X，0）≡ Ξ（t，X）=（χ1,0（t，X），X≥ ~u<,0, 0 ≤ X<μ<，q（t，X，X↑ ∞)= χ1,∞（t，X），q（t，X）↑ ∞, 十） =1。在式（15）中，图2中定义了域。函数χ1,0（t，X）是生存概率，它解决了以下终端边值问题tχ1,0（t，X）+Lχ1,0（t，X）=0，（16）χ1,0（t，X）=1X>~u=，χ1,0（t，~u<）=0，其中=Xi+ξixi相应地，函数χ1，∞（t，X）是1D生存概率，它解决了以下终端边值问题tχ1，∞（t，X）+Lχ1，∞（t，X）=0，（17）χ1，∞（T，X）=1X>u=，χ1，∞（t，0）=0,4生存概率我们通过引入格林函数G（t，X，X | t，X，X）来求解等式（14）和等式（15），其中X，X是X的初始值，X，X t=t。下面，为了简洁起见，我们还将使用符号G（t-t、从而明确地揭示了这样一个事实：对于我们的问题，格林函数只依赖于-t、省略第二对参数。格林函数解决了下列初边值问题Gt（t- t、 X，X）- L+G（t）- t、 X，X）=0，（18）G（0，X，X）=δ（X- 十） δ（X）- 十），G（t）- t、 0，X）=0，G（t- t、 X，0）=0，其中L+=ρ- ξ · . 一个简单的计算得到（QG）t+LGQ- QL+G=0，或者明确地说，（QG）t+ ·（QXG）- QGX）- ρQGX+ξQG（QXG- QGX）+ρQXG+ξQG！=0.10 Andrey Itkin，Alexander Lipton格林定理（[17]）yieldsQt、 X，X=Z∞dXZ∞dXGT- t、 X，X（19） =ZZ（X，X）∈DGτ、 X，Xdx，其中τ=T- t、类似地，q（t，X，X）=ZZ（X，X）∈[D]∪D] Gτ、 X，Xdx（20）+Zτtds∞Z¨u<dXGXτ- s、 X，0χ1,0（s，X）-∞ZdXGXτ- s、 X，0χ1,∞（s，X）我们首先注意到一维格林函数g（θ，X），θ≡ T- tatX（t）≤ u<的形式为g（θ，X）=e-ξθ/2+ξ（X）-十）√2πθ“e-（十）-十） 2θ- E-（X+X）-2~u<)2θ#.

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2022-5-8 04:51:18

（21）相应地，χ1,0（t，X）=∞Z|u=e-ξτ/2+ξ（X）-十）E-（十）-十） 2τ√2πτ-E-（X+X）-2~u<)2τ√2πτdX（22）=∞Z|u=e-（十）-十、-ξτ)2τ√2πτdX- E-2ξ（X）-~u<)∞Z|u=e-（X+X）-2~u<-ξτ)2τ√2πτdX=N-~u=- 十、- ξτ√τ- E-2ξ（X）-¨u<）N-u=+X- 2~u<- ξτ√τ.和χ1，∞（t，X）=N-u=- 十、- ξτ√τ- E-2ξXN-u=+X- ξτ√τ,相应的二维格林函数的形式为（参见[18,26]和其中的参考文献）G（θ，X，X）=（23）$θρe-hξT，θiθ+hX-十、 θi-R+R2θXn=1IνnRRθsin（νnφ）sinνnφ,具有相互义务的结构违约模型11h，i表示点积，Ik（x）是第一类修正贝塞尔函数，C=1 ρρ 1, C-1=ρ1.-ρ-ρ 1,θ=C-1ξ，νn=nπ$，′ρ=1- ρ,$ =π+arctan(-ρ/ρ），ρ>0π/2，ρ=0，arctan(-ρ/ρ），ρ<0，R=hX，C-1XTi，R=hX，C-1X0Ti，Φ（X，X）=π+arctanρX-ρX+X, X<ρX，π/2，X=ρX，arctanρX-ρX+X, 十> ρX，φ=Φ（X，X），φ=Φ（X，X），X=（X，X）。因此，GX（θ，X，0）=$θXe-hξT，θiθ+θX-hX，θi-X/°ρ+R2θ（24）·Xn=1(-1） n+1νnIνnXR′ρθ罪νnφ,将这些公式代入式（19）和式（20）中，可以得到Q和Q的半解析表达式。然而，从计算的角度来看，引入一个新函数“Q（t，X，X）=qi（t，X，X）”更有效- χ1,∞（t，X）。与q（t，X，X）相反，这个新函数解决了一个类似于等式（15）中给出的问题，但具有齐次上边界条件：\'q1，t（t，X，X）+L\'q（t，X，X）=0，（25）\'q（t，0，X）=\'q（t，X，X）↑ ∞) = 0，`q（T，X，X）=-1X∈\'D，其中\'D是曲线三角形内的区域，其顶点位于图2中的点6-7-9处。由于式（15）和式（25）中的方程式仅与源项不同，式（25）的格林函数也由式（23）给出。因此，ofEq的解决方案。（25）readsq（t，X，X）=χ1，∞（t，X）-ZZ（X，X）∈“DGτ、 X，XdXdX（26）+ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）Ξ(τ- s、十）- χ1,∞(τ- s、十）dX。如果希望计算公式（20）中的第一个积分，可以进行另一个简化。

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2022-5-8 04:51:21

为了获得更好的精度，可以将其表示为12 Andrey Itkin，Alexander Liptona两个积分的差分。第一个象限位于正象限（X，X）∈ [0, ∞) × [0, ∞) 而第二个积分定义为两个半无限条的并集：D∪ D∪ D.第二个积分定义在一个或另一个方向上不确定的区域，第一个积分可以用闭合形式表示。因此，总的计算误差较小。我们强调，就我们所知，文献中尚未给出封闭形式的第一个积分的表示，因此我们在附录B.4.1数值试验中给出了这个推导。在我们的测试示例中，我们使用第一个有限差分格式（FD）解出了公式（15），然后将其与公式（26）给出的解析解进行了比较。由于式（15）是一个纯对流扩散二维问题，我们使用Hundsdorfer-Verwer方案对其进行了数值求解，见[12]。非均匀有限差分网格的构造与[14]类似，网格节点集中在|u=i，i=1,2附近。我们使用表1中给出的参数解决了这个问题：表1：结构默认模型的参数。L1,0L2,0L12,0L21,0RRTσ∑ρ60 70 10 15 0.4 0.45 1 0.5我们使用100×100空间网格计算所有测试。我们也在时间上使用了一个恒常的步骤τ=0.01，因此给定到期日的总时间步数为100。图3显示了使用该方法计算的t=0时的边际生存概率q（X，X）。图3：使用aHundsdorfer-Verwer方案计算的边际生存概率q（X，X）。无花果

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2022-5-8 04:51:24

4：使用FD方法计算的有和无共同义务的边缘生存概率q（X，X）之间的差异。在我们的设定中，利率r的值并不重要。具有相互义务的结构默认模型13很容易看出，对于我们所选的参数<<u<=0.6659，<<u<=0.2548，u==1.4424，u==0.9764，<<u==1.5821，>>u==1.0534。为了观察相互责任的影响，我们重复了这个测试，但没有相互责任。因此，与之前的案例相比，现在第i家银行的总资产为Ai+PjLji，负债为Li+PjLji。但为了提供正确的比较，我们需要保持资产价值不变。因此，在这种情况下，我们将负债重新调整为Li+PjLji-PjLij。换句话说，这意味着，如果Pjlij为正值，银行i将获得额外现金，然后将其部分外部负债用于偿还。如果该金额为负数，则从外部来源借款。调整完成后，我们在计算中设置L=L=0。在接下来的过程中，我们称此过程为调整过程（AP）。两种解决方案的差异如图4所示。上图清楚地表明，在接近X=u=、X=u=、即相互责任的影响在该区域明显存在的区域内，溶液存在显著差异。接下来我们要比较解析解和FD解。由于等式（26）中的被积函数是高度振荡的函数，为了获得合理的精度，我们在两个方向上都使用了Gauss-Kronrod算法。图5显示了在没有相互义务的情况下，这些解决方案的差异。两种解决方案都非常吻合。然而，当考虑到相互义务时，差异会增加，如图6所示。toX=u=附近区域的差异更大。无花果

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能者818

2022-5-8 04:51:27

5：在没有相互义务的情况下，通过分析和FD方法计算的边际生存概率q（X，X）之间的差异。图6：用分析法和FD法计算的边际生存概率q（X，X）之间的差异，T=5年。就性能而言，在T=1年内，使用FD方案计算该空间网格上的边际概率需要21秒。同时，使用我们的分析方法计算网格上的单个点需要0.4-0.6秒。所以，若使用分析方法计算网格中每个节点的边际概率，将需要大约4000秒，这相当慢。然而，当校准具有未知波动率和相关系数的模型时，我们只需要三个可以引用的函数。我们在配备Intel Xeon E5620 2.4 Ghz CPU的标准PC上，在Matlab中运行了此测试。14 Andrey Itkin，Alexander Lipton从CDS价差和首次违约掉期价差的市场价值中得出结论。因此，在我们过于简单的模型中，我们只需要三个点，使用我们的分析计算大约需要1.2秒。相比之下，FD方案不能仅简化为网格上的三个点，因此，对于此类校准，其效率远低于分析方法。这就是我们提出本文方法对模型进行快速校准的原因。在更一般的情况下，例如[15]中提出的方法，这种简化方法可用于对边缘分布的参数进行“智能”初始猜测。

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2022-5-8 04:51:30

然后，使用这种猜测，整个相当复杂的问题可以比从一些参数的任意值开始校准快得多，因为在这种情况下，应该只找到初始猜测的相对较小增量。5定价CD合同我们现在介绍如何在我们的环境中为CDS和FTD定价。5.1 CDS在第一银行上的CDS C（t，X，X）的价格解决了以下问题，（[5]）：C1，t（t，X，X）+LC（t，X，X）=，（27）C（t，X，0）=ψ（t，X）=（C1,0（t，X），X>u<1- R、 X≤ u<，C（t，0，X）=1- R、 C（t，X，X）↑ ∞) = c1，∞（t，X），其中是息票率，c1,0（t，X）是一维终端边值问题的解tc1,0（t，X）+Lc1,0（t，X）=，（28）c1,0（t，*u<）=1- R、 c1,0（t，∞) = -（T）- t），c1,0（t，X）=（1- R） 1u<≤十、≤√u=，和c1，∞（t，X）是另一个一维终端边值问题的解tc1，∞（t，X）+Lc1，∞（t，X）=（29）c1，∞（t，0）=1- R、 c1，∞（t），∞) = -（T）- t），c1，∞（T，X）=（1）- R） 1X≤u=.此外，等式（27）中给出的问题说明必须与终端条件C（T，X，X）一起提供，该条件可以根据图C（T，X，X）提供，类似的表达式可以通过类比提供。图2显示了具有相互义务的结构违约模型。省略一些中间代数，我们得到以下条件C（T，X，X）=α（X，X）∈[^D]∪D] α（X，X）=（1）- 最小值[~R1，T（1），R]，（X，X）∈ D1- 最小[~R1，T（γ），R]，（X，X）∈^D.组分γiat（X，X）的值∈^D是通过求解方程式（6）A+γL=γ（L+L），A+γL=γ（L+L）中给出的一般N维问题得出的详细平衡方程来确定的，原始变量中的解为γi=L’iAi+L’i，i（Ai+A’i），i=1,2。观察等式（29）的格林函数是由等式（21）给出的。因此，c1,0（t，X）=（1- R） Zμ=μ<g（τ，X）dX+1- RZτg（τ）- s、十）十、X=＠u<ds- ZτZ∞u<g（τ）- s、 X）dXds≡ I+I+I。

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能者818

2022-5-8 04:51:33

（30）所有这些积分都可以用闭合形式计算。省略一些中间代数，我们只提供最终结果：I=（1）- R）（e）-2ξ（X）-：/u<）[N(-Y-)- N(-2y-- z） ]+N（y+）- N（z）），I=（1- R）他-2ξ（X）-¨u<）N（y）-)+ N(-y+）i，（31）i=-τ1.-y+ξ√τN(-y+）- E-2ξ（X）-u<）y-ξ√τN（y）-),y±=±（X- ~u<) + ξτ√τ、 z=X- ~u=+ τξ√τ.通过类比1，∞（t，X）=（1）- R） Zu=g（τ，X）dX+1- RZτ\'g（τ）- s、十）十、X=0ds- ZτZ∞\'g（τ）- s、 X）dXds，（32），其中，通过在等式（21）中设置，可以从g（τ，X）中获得¨g（τ，X）¨u<=0。相应地，这些封闭形式的积分由等式（31）给出，通过替换¨u<=0和¨u==u=.16 Andrey Itkin，Alexander Lipton使用与前一节相同的技巧计算边缘生存概率q（t，X，X），这个问题的最终解可以表示为：C（t，X，X）=c1，∞（t，X）+Z∞Z∞φ（X，X）Gτ、 X，XdXdX（33）+ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）Ψ(τ- s、十）- c1，∞(τ- s、十）dX，φ（X，X）≡ α（X，X）∈[^D]∪D]- (1 - R） 1X<u=，其中格林函数Gτ、 X，X5.2数值实验在热传导理论中是众所周知的，它直接实现了Eq。（33）仍然不切实际。原因是，在X=0时，等式（33）中的第一个积分消失，因此第二个积分必须收敛到c1,0（t，X）- c1，∞（t，X）在X=0时提供正确的边界条件。然而，正如可以检查的那样，atX=0我们有GX（τ-s、 X，0）=0，因此，公式（20）的形式验证在边界处失败。它被解释了。

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2022-5-8 04:51:36

在[16]中，原因是等式（33）中第二个积分的级数在X=0时不是一致收敛的，因此过渡到极限X→ 从计算的角度来看，使用这种表示法是复杂且不切实际的。然而，这个问题可以通过应用我们在附录C中更详细描述的另一个优雅技巧来克服。接下来，我们使用表1中给出的模型参数进行了与上一节相同的测试，=0.02。我们使用了相同的FD方法来验证我们的解决方案，有关方法的描述，请参见上一节。图7显示了t=0的CDSprices。同样，为了观察相互责任的影响，我们进行了等效计算，但相互责任为零，应用了AP。两种解决方案的差异如图8所示。正如人们所料，我们的结果表明，在接近X=u=，X=u=，即共同责任的影响在这一领域不仅表现为边际生存概率，而且也表现为CDS价格。6定价优先违约（FTD）合同FTD的价格F1，t解决了以下终端边值问题：F1，t+LF=，（34）F（t，0，X）=1- R、 F（t，X，0）=1- R.F（t，X，X↑ ∞) = f1，∞（t，X），F（t，X）↑ ∞, 十） =f2，∞（t，X），F（t，X，X）=β（X，X）∈^D+β（X，X）∈D+β（X，X）∈D.对于F2，这可以通过类比来完成。具有相互义务的结构违约模型。7：使用Hundsdorfer-Verwer方案计算的CDS价格C（X，X）。图8：使用FD方法计算的CDS价格差异SC（X，X）中有无共同义务。菲菲，∞（t，Xi），i=1，2是一维终端边值问题的解tfi，∞（t，Xi）+Lifi，∞（t，Xi）=i，（35）fi，∞（t，0）=1- 李菲，∞（t），∞) = -i（T）- t），fi，∞（T，Xi）=（1- Ri）1Xi≤u=i。可以看出，f1，∞（t，X）=c1，∞（t，X）在等式（32）中给出。

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2022-5-8 04:51:40

等式（34）中的βi=βi（X，X）定义为βi=1- 最小值[~R\'i，T（1），R\'i]，（X，X）∈ Di，i=1，2，β=1- min[min[~R2，T（γ），R]，min[~R1，T（γ），R]，（X，X）∈^D.与上一节类似，可以证明这个问题的解为sf（t，X，X）=Z∞Z∞β（X，X）∈[^D]∪D] Gτ、 X，XDX（36）- ZτZ∞\'g（τ）- s、 X）dXds+（1）- R） ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）dX+（1）- R） ZτdsZ∞GX（τ）- s、 0，X）dX，其中格林函数Gτ、 X，X同样，公式（23）中给出了数值实验。6.1从计算角度来看，直接实现公式（36）是不切实际的，原因与之前相同。然而，同样可以应用类似的技巧来显著提高边界积分计算的精度。我们在附录D.18 Andrey Itkin，Alexander Lipton中对其进行了更详细的描述。我们再次使用表1中给出的模型参数进行了与上一节相同的测试，并且相同的=0.02。我们使用了相同的FD方法来验证我们的解决方案，有关该方法的描述，请参见上一节。FTD价格如图9所示。为了了解相互责任对FTD价格的影响，我们进行了这项测试，但相互责任为零，应用了AP。两种解决方案的差异如图10所示。用我们的分析方法也可以得到同样的结果。与之前的案例一样，双方的义务对FTD价格产生了重大影响，尤其是在接近X=u=、X=u=。图9：使用Hundsdorfer-Verwer方案计算的FTD价格F（X，X）。图10：使用FD方法计算的FTD价格差异SF（X，X）在没有和有相互义务的情况下计算。我们还介绍了第一家银行的CDS和FTD价格的差异，包括有无共同义务和到期日T=5年。这些结果如图11、12所示。

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能者818

2022-5-8 04:51:43

可以看出，随着到期日的增加，相互债务的影响减少，在非常长的到期日范围内几乎消失。为了说明价格的最终分布在图13的某个特定示例（图2示意性给出）中是什么样子的，差异（T，X，X）- C（T，X，X）表示为（X，X）的函数。显然，F（T，X，X）在D中为正，而C（T，X，X）在那里消失（图右下角的红色框）。它们也在域名D的一部分（左下角）有所不同。在计算领域的其他点上，F（T，X，X）和C（T，X，X）的值相互吻合。7校准第3节中描述的模型有三个未知参数：σ、σ、ρ。我们使用两种资产的CDS价格和两种资产的FTD价格来校准这些参数。校准是在Matlab中使用简单的非线性最小二乘法完成的，其中每个给定点（引号）都具有相同的权重。具有相互义务的结构违约模型19Fig。11：有无共同义务计算的CDS价格差异C（X，X），T=5年。图12：在没有和有共同义务的情况下计算的FTD价格差异SC（X，X），T=5年。图13：差异F（T，X，X）- C（T，X，X），T=1年。在测试实验中，我们使用表1中的所有参数，并使用A1,0=300、A2,0=300、==0.05。然后我们用以下方法校准σ，σ，ρ。首先，我们设置σ=0.3，σ=0.4，ρ=0.5，并使用我们的算法计算CDS和FTDU的价格。

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2022-5-8 04:51:46

这给了我们报价C=0.05，C=0.0583，F=0.0583。然后我们运行校准器，确保其收敛到相同的σ、σ、ρ值，以验证我们方法的自一致性。最后，由于我们调查了相互义务对模型参数的影响有多大，在第二次测试中，我们忽略了相互义务，并应用了我们的AP，正如前面章节所讨论的。这种校准的结果如表2所示。在目标函数公差设置为10的情况下，在Matlab中获得参数值所需的典型时间约为10秒-4.如果FD算法用于网格70×70点的空间和时间步长0.03，则相应的时间大约慢12倍。当然，对于更长期限的债券，这种差异会增加。表2还列出了T=5年的结果。这里计算的报价是C=0.2579，C=0.3182，F=0.336。可以看出，相互义务的会计核算对校准参数的值有显著影响。20 Andrey Itkin，Alexander Lipton表2：校准结果T=1年T=5年∑∑∑ρ∑∑ρMO 0.300 0.400 0.500 0.300 0.400 0.500NMO 0.2819 0.4421 0.4936 0.3189 0.4234 0.2942Dif，%6.0372-10.5373 1.2801-6.3108-5.8616 41.16708结论在本文中，我们考虑了银行的相互关联（相互义务）及其对边际生存概率的影响，以及相应名称的CDS和FTD价格。我们使用一个简单的模型，其中银行资产由相关的布朗运动和漂移驱动。模型的选择取决于以封闭形式获得所有结果的优势，至少在二维情况下是如此。[15]中已经考虑了一个更复杂的模型，其资产由一般相关的L’evy过程驱动。

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2022-5-8 04:51:49

然而，目前的描述更加透明，使人们能够更好地理解影响的性质，并将CD和FTD价格加载到图片中。在2D案例中，我们还根据一些人工市场报价校准了该模型，并表明必须考虑相互义务，以获得模型参数的正确值，因为它们对校准结果有显著影响。据我们所知，这些结果是新的。另一个不太重要但可能有趣的结果是，由相关布朗运动和漂移驱动的两个资产的边际生存概率的封闭形式解。这个解决方案还没有在文献中给出，所以我们在本文中给出了它。为了理解这种解决方案的财务意义，我们强调，对于大银行来说，由于各种监管机构的要求，它们的资产不能降到远低于负债的水平，这意味着它们的回收率R应该接近1（或者，甚至可能超过1）。在这种情况下，当计算（例如）边际生存概率时，图2中的域变为正八分之一。感谢Darrel Du ffee、Dilip Madan和Tore Opsahl提供的有用意见。我们对任何剩余的错误承担全部责任。参考文献1。Abramowitz，M.，Stegun，I.：数学函数手册。多佛出版公司（1964）2。Abreu，L.：将连续正交多项式和离散正交多项式组合成傅里叶系统而产生的再生核结构（2008）。可在http://arxiv.org/abs/math/0601190Structural具有共同义务的默认模型213。Askey，R.，Daalhuis，A.B.O.：广义超几何函数。摘自：F.奥尔弗，D.洛泽，R.博伊斯维特，C.克拉克（编辑）NIST数学函数手册。剑桥大学出版社（2010）4。贝尔曼，R.：矩阵分析导论。麦格劳-希尔（1960）5。

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2022-5-8 04:51:52

比莱斯基，T.R.，拉特科夫斯基，M.R.：信用风险：建模、估值和对冲。斯普林格（2004）6。布莱克，F.，考克斯，J.：公司证券估值：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》31（2），351-367（1976）7。Blanchet Scalliet，C.，Patras，F.：CDS的交易对手风险评估（2008年）。可在http://arxiv.org/abs/0807.03098.大卫·A·莱哈尔·A：为什么银行之间高度互联？(2014). 可用的http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.11088709.艾森伯格，L.，诺伊，T.：金融系统中的系统性风险。管理科学47236–249（2001）10。I.Gradshtein，I.Ryzhik：积分、级数和乘积表。爱思唯尔（2007）11。Granas，A.，Dugundji，J.：不动点理论。斯普林格·维拉格，纽约（2003）12。In\'t Hout，K.J.，Foulon，S.：具有相关性的Heston模型中期权定价的有限差异方案。《国际数值分析与建模杂志》7（2），303–320（2010）13。Itkin，A.：具有分裂和矩阵指数的向后跳跃扩散PIDEs的有效解决方案。《计算金融杂志》即将出版（2014年）。电子版可于http://arxiv.org/abs/1304.315914.Itkin，A.，Carr，P.：无泪跳跃：一种新的障碍物分割技术。《国际数值分析与建模杂志》8（4），667–704（2011）15。Itkin，A.，Lipton，A.：具有相关跳跃和相互义务的结构违约模型的有效解决方案（2014年）。可在http://arxiv.org/abs/1408.651316.Kartashov，E.：固体热传导理论中的分析方法。Vysshaya Shkola，莫斯科（2001）17。凯斯，P.：格林函数和线性微分方程：理论、应用和计算。应用数学与非线性科学。查普曼和霍尔/CRC（2011）18。利普顿，A.：外汇的数学方法：金融工程师的方法。《世界科学》（2001）19。

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2022-5-8 04:51:55

利普顿，A.，萨维斯库，I.：双边价值调整的信用违约掉期定价。量化金融14（1），171–188（2014）20。Lipton，A.，Sepp，A.：扩展结构违约模型中的信用价值调整。摘自：《牛津信用衍生工具手册》，第406-463页。牛津大学（2011）21。默顿，R.：关于公司债务的定价：利率的风险结构。《金融杂志》29449-470（1974）22。梅茨勒，A.：关于相关布朗运动的第一段问题。统计与概率信件80277–284（2010）23。Polyanin，A.：工程师和科学家线性偏微分方程手册。查普曼和霍尔/CRC（2002）22安德烈·伊特金，亚历山大·利普顿24。沃森G.：贝塞尔函数理论论文，第二版。剑桥大学出版社，英国剑桥（1966）25。韦伯，L.，威廉姆森，M.：系统性资本要求。技术代表436，英格兰银行（2011年）。可在http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=194565426.周：具有跳跃风险的信用利差的期限结构。《银行和金融杂志》，2015-2040（2001）等式（7）的解我们需要证明等式（7）有唯一的解。下面的讨论是[9]给出的这个问题的解决方案的替代方案。首先，考虑两种极端情况。如果没有银行违约，那么ai+Pj6=iγjlji≥ 1.我∈ [1，N]。显然，等式（7）的解是γi=1，我∈ [1，N]。如果所有银行都违约，则公式（7）转换为公式F（γ）=γ，其中F（γ）表示公式（7）的lhs。这是一个定点问题，可以通过定点迭代法解决。点迭代局部线性收敛的一个有效条件是雅可比矩阵J（F（γ））必须服从条件|J（F（γ））|<1。（37）为了在我们的例子中证明这一点，用显式形式j（F（γ））表示雅可比矩阵=你会。lN1l0 l。lN2。

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2022-5-8 04:51:58

. . . . . .l1Nl2Nl3N。0=NYk=1~Lk！-1.你会。LN1L0 L。液氮。L1NL2NL3N。0通过定义任意矩阵|M |=| | mij | |，i，j∈ [1，N]det（|M |）=Xχ∈SNsgn（χ）NYi=1mi，χi，其中求和是在集合SN=[1，2，…，N]的所有置换χ上计算的，参见[4]。辛塞尔·李≥ 我们有j（F（γ））<Xχ∈SNNYi=1Li，χi“NYk=1Lk#-1.（38）现在观察等式（38）中的分子是N个元素的乘积之和，每一个这样的乘积i）是正的，ii）在分母中有其vis-`a-vis。然而，去离子器还包含一些额外的正项，例如qni=1Li，因此J（F（γ））<1。例如，当N=2 | J（F（γ））|=LL+LLL+L<1时。因此，我们证明了条件式（37）总是满足的。因此，通过Banach定点定理（[11]映射F（γ）→ γ是γ上的压缩映射，这意味着这实际上是一个线性方程组。然而，我们希望使用一种执行点迭代方法来解决这个问题，以便在以后将此技术应用于一般等式（7）。具有相互约束的结构缺省模型证明了固定点的存在唯一性，因为定义γ的单位立方体是紧度量空间。这两种极端情况自然而然地产生了一种想法，即通常如何使用定点迭代法求解等式（7）。给定上一次迭代中的向量γ，我们检查所有i的条件ai+Pj6=iγjlji<1∈ [1，N]。如果对于某些i=k，该条件不满足，我们将γk=1，并从公式（7）中排除γk的方程。否则，这个等式将保留在系统中。在这一步完成后，例如，N变量γ中的M被设置为1，我们为剩余的N解方程（7）- M变量。

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2022-5-8 04:52:01

解的唯一性和定点迭代的收敛性来自上述证明。B由于各种监管机构的要求，大型银行的资产不能低于负债，这意味着它们的回收率R应该接近1。在这种情况下，当计算（例如）边际生存概率时，图2中的域变为正象限。在非零漂移的正象限中寻找生存概率的解析解是一个长期存在的问题，据作者所知，这个问题还没有解决。相关文献包括[7,18,22,26]及其参考文献。从技术角度来看，我们想要计算积分q（t，X，X）=Z∞dXZ∞dXG（τ，X，X）（39），其中相应的二维格林函数由式（23）给出。当公式（39）中的漂移ξ消失时，该积分的闭式解已知，见[22]及其参考文献。然而，如果ξ6=0，闭合形式的解还不知道。在这里，我们推导出了广义超几何函数和反超几何函数的级数形式。首先，使用极坐标R，φ，我们将等式（39）改写为q（t，R，φ）=$θeκ∞Xn=1英寸νnφZ$sin（νnφ）dφZ∞Reγ（φ）Re-αRIνn（βR）dR（40），其中κ=-hξT，θiθ-R2θ- hX，θi，β=R/θ，γ（φ）=（θ+ρθ）sinφ+’ρθcosφ。α =2θ.接下来，我们使用超球面（Gegenbauer）多项式中两个变量的复指数的Gegenbauer展开式，[2]eixs=Γ（ν）s-ν∞Xk=0ik（ν+k）Jν+k（s）Cνk（x），（41）其中Cνk（x）是Gegenbauer多项式（[1]），参数ν可以任意选择。它也可以被视为指数eixt的Neumann级数（[24]）。通过改变式（41）中的变量s=可以将后者转换为-Sx=Γ（ν）s-ν∞Xk=0(-1） k（ν+k）Iν+k（S）Cνk（x）。

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2022-5-8 04:52:05

（42）用S=βR和x=-γ（φ）/β转化为等式（40）yieldsQ（t，R，φ）=2′ρ$eκ（ν）β-ν∞Xn=1∞Xu=0(-1） u（ν+u）sinνnφ（43）·Z$sin（νnφ）Cνu(-γ（φ）/β）dφZ∞R1-νe-αRIνn（βR）Iν+u（βR）Andrey Itkin博士，Alexander Lipton为了简单起见，选择ν=1，然后使用恒等式（[10]）Z是有意义的∞E-αRIνn（βR）Iν+u（βR）dR=2-νn-u-1α-（νn+u+1）/2βνn+Γ[（1+u+νn）/2]Γ（u+1）Γ（νn+1）（44）·F“νn+u+1νn+u+2νn+u+1u+1νn+1；-βα#，其中f（a，a，a；b，b，b；z）是广义超几何函数（[3]）。进一步观察，在ν=1时，Gegenbauer多项式成为第二类切比雪夫多项式，其表示形式（[1]）Un（x）=[n/2]Xk=0(-1） kCn-kk（2x）n-2k，其中[x]是FL oor函数。因此，式（43）中的第一个积分假设formI=[u/2]Xk=0u-2k(-1） kCu-kkZ$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）u-2kdφ，（45）带‘θ=θ+ρθβ，‘ρθβ和Cu-kk可能是二项系数。式（45）的rhs中的积分可以采用闭合形式，读数为$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）u-2kdφ=（46）ω22k-u-1ω(u - 2k）- πn（a[bF（n）+bF(-n） [bF（n）+bF(-n） ]F（n）=F2k- u，k+πnω- u, k+πnω- u+ 1.-1 +θθ- i′θ,F（n）=F2k- u，k+πnω- u, k+πnω- u+ 1，e2iω（\'θ+i\'θ）\'θ- i′θ,a=-θu-2k-i′θ′θ- i′θ2k-u，a=e-iπn，bi=(-1）我-1ω(u - 2k）+πn，i=1，2，其中f（a，b，c，x）是反超几何函数（[1]）。虽然在等式（46）中，积分表示为复变元的函数，但可以证明它是实的。

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2022-5-8 04:52:08

例如，Z$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）dφ=πnω- πn(-1） n（θsin（ω）+θcos（ω））-θZ$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）dφ=2πn- 8πnω(- 4ω（θ+θ）+2πθnω+(-1） nωπnθ- θcos（2ω）- 2θsin（2ω）-θ+ θπn- 4ω),等。具有共同义务的结构违约模型25C公式（33）的计算效率表示首先，让我们提到公式（27）中给出的问题在半有限域中定义∈ [0, ∞), 十、∈ [0, ∞). 然而，出于实际目的，这个有限域总是由一些相当大的值Mi构成，i=1,2。因此，我们考虑等式（27）和X∈[0，M]。严格来说，这种截断会改变格林函数的表示形式（[23]），但是当X→ ∞, 或者换句话说，它在截断误差范围内，即将上边界从∞ 为了精确地匹配等式（27）中的边界条件，我们用一个新函数C（t，X，X）=C（t，X，X）替换C（t，X，X）-XMc1，∞（t，X）-1.-XMψ（t，X）（47）函数C（t，X，X）解决了以下问题：~C1，t（t，X，X）+L~C（t，X，X）=Ξ（t，X，X），（48）~C（t，X，0）=~C（t，0，X）=~C（t，X，M）=~C（t，∞, 十） =0，~C（T，X，X）=α（X，X）∈[^D]∪D]-XM（1）- R） 1X≤u=-1.-XM(1 - R） 1X≤~u=.这个问题的解由公式（[23]）C（t，X，X）=Z给出∞dXZ∞dXC（τ，X，X）G（τ，X，X）（49）+ZτdsZ∞dXZ∞dXΞ（τ）- s、 X，X）G（τ）- s、 X，X）。在X→ 0和X→ ∞ 由于C（t，X，X）的边界条件，新的函数C（t，X，X）消失。另外，根据边界条件c1，∞（t，X）→ -（T）- t）在X→ ∞ 以及c1,0（t，X）和C（t，X，X）。因此，在这个极限下，~C（t，X，X）也消失了。最后，在X=0时，我们有c1，∞（t，0）=c1,0（t，0）=C（t，X，X）=1-因此，在这个极限下，~C（t，X，X）=0。因此，函数C（t，X，X）满足齐次边界条件。现在，让我们给出Ξ（t，X，X）的精确表示。

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