剩余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是

2022-6-1 03:58:34

14225916).+香港中文大学系统工程与工程管理系，电子邮箱：xdhe@se.cuhk.e杜。香港中国广东省深圳市南山区北京大学汇丰商学院，电子邮箱：xianhuapeng@phbs.pku.e杜。中国。1简介假设一家公司的初始资本为c，债务为d，因此在时间0时的资产价值为c+d。假设该公司将其资产投资于一个在[0，T]期间产生净随机回报率的投资组合。假设公司需要在t时间t向债权人支付利息rd和面值d，其中r是利率。然后，该公司在d期结束时的损益为Y=（c+d）R- rd.《巴塞尔新协议》（Basel II Accord）（Basel Committee on Banking Supervision；2006年2月，2009年）提出了一种基于损益的资本充足性测试：计算某个置信水平（例如，99%）的损益风险值（VaR），然后要求企业持有相当于VaR金额的资本L。因此，如果我们将V@Rα（Y）表示为Y的α水平VaR，那么，当且仅当V@Rα（Y）时，该公司的头寸是可接受的≤ c、即，仅当V@Rα（X）时≤ 0，其中X：=Y+c=（c+d）（R+1）-（1+r）d是公司在期末的资本头寸，即公司资产减去负债。与《巴塞尔协议》一样，监管机构有意通过规定一个有效期结束时企业资本头寸的接受集，提出资本充足率测试。如果一家公司没有通过测试，它可以1）调整当前的投资组合，2）注入新资本并将其作为现金持有，以及3）注入新资本并将其投资于投资组合。

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2022-6-1 03:58:37

然后，监管机构可以通过再次进行资本充足率测试来检查更新后的资本状况是否可接受。公司资本头寸的正部分是股权持有人的盈余，负部分被定义为公司违约的选择权，代表未使用公司资产支付的负债部分。正如byStaum（2013）、Cont et al.（2013）、Koch Medina et al.（2015）和Koch Medina et al.（2016）所言，资本充足率测试的主要目的是保护负债持有人；因此，一家公司的资本头寸是否在接受集合中，只取决于该公司资本头寸的负部分，而不取决于正部分，即盈余不变性。本文证明了剩余不变量、定律不变量和圆锥接受集必须是VaR诱导的集，即必须是在给定水平上VaR小于零的资本头寸集。我们既不假设凸性也不假设一致性，因此我们研究的接受集族包括许多非凸的接受集，例如由自然风险统计pr oposedbyKou et al.（2013）以及Kou和Peng（2016）提出的扭曲风险度量所诱导的接受集族。因此，我们的结果与Koch-Medina et al.（2015）和Koch-Medina et al.（2016）的结果不同。法律不变性是一种普遍采用的属性，允许监管机构对企业是否在资本充足率测试中使用有效模型进行统计测试。一致性风险度量概念中假设了锥度，即通过任何正恒量缩放资本头寸不会影响头寸的可接受性（Artzner et a l.；1999）。锥度由num'eraire不变性暗示，Artzner et al.（2009）引入了该特性，Koch-Medina et al.（2016）进一步研究了该特性。

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kedemingshi

2022-6-1 03:58:40

我们还证明了剩余不变量、定律不变量和num'eraire不变量接受集必须是由VaR导出的集。本文的剩余部分如下：第2节给出了主要结果，第3节得出结论。所有证据都放在附录中。2主要结果2.1验收设置考虑概率空间(Ohm, F、 P）并表示L(Ohm, F、 P）作为该空间上所有属性变量的集合。设X是L的子集(Ohm, F、 P）包含∞(Ohm, F、 P），有界随机变量集。这里，X可以包括无界的drandom变量；例如，X可以是L∞(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 P）和Lp(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 表示具有有限Lp范数的随机变量集。X中的每个元素X代表一家公司在给定期限结束时的资本状况，即该公司的资产减去其负债。因此，X的正部分表示为asX+：=max（X，0），是公司股东的盈余，X的负部分表示为X-:= -最小值（X，0）是公司的默认选项。由于有限责任，公司股东获得盈余，但不支付违约选择权，因此负债持有人不能获得盈余，但必须支付违约选择权。监管机构建议通过指定接受集a来进行资本充足率测试。我们在风险度量文献（参见Artzneret al.（1999）、Staum（20 13）和Koch Medina et al.（2015））中做出了标准假设，即一家公司是否通过资本充足率测试仅取决于该公司的资本状况。因此，A是X的子集：当且仅当其资本状况位于A时，A公司通过测试。

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kedemingshi

2022-6-1 03:58:43

我们介绍了a接受集a的以下性质：（i）剩余不变性：对于任意X，Y∈ 十、如果X∈ A和X-≥ Y-几乎可以肯定（a.s.），然后是Y∈ A、（ii）定律不变性：对于任何X，Y∈ 十、如果X∈ A和Y具有相同的分布X，然后是Y∈ A、（iii）锥度：对于任何X∈ X和λ>0，使得λX∈ 十、如果X∈ A、然后λX∈ A、（iv）Num'eraire不变性：对于任何X∈ X和任意严格正随机变量Z(Ohm, F、 P）使ZX∈ 十、如果X∈ A、然后是ZX∈ A、（v）截断闭度：对于任意X∈ 十、如果最小值（最大值(-d、 X），d）∈ A表示任意D>0，然后是X∈ A、 Koch-Medina等人（201 5）提出了盈余不变性属性，分别扩展了Taum（20 13）和Cont等人（2013）提出的短缺风险度量的盈余不变性属性和基于损失的风险度量的损失依赖性属性。盈余不变性属性规定，如果A公司通过测试，则违约选择权小于A公司的B公司也应通过测试。该属性由与VaR相关的接受集满足，即A={X∈ X | V@Rα（X）≤ 0}，以及与短缺风险度量相关的，即a={X∈ X | E[l（X-)] ≤ c} ，其中lis是一个非恒定的递增函数。有关更多示例和讨论，请参见Staum（2013）和Koch Medina et al.（2016）。如果n验收集a满足剩余入侵属性，则a满足任何X、Y∈ 十、如果X≤ Y a.s.和X∈ A、然后Y∈ A、事实上，后者属性用于定义验收集inKoch-Medina et al.（2015）和Koch-Medina et al.（2016）。法律不变性对于监管机构使用历史数据来支持企业在进行资本充足率测试时使用的模型非常重要。圆锥度仍然认为，按正常数缩放企业的资本头寸不会改变企业的可接受性。

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2022-6-1 03:58:46

在一致性风险度量中假设了该属性。Koch-Medina等人（2015）使用了略有不同但等效的盈余不变性定义；s e e Eq.（1.1）和Koch Medina et al.（2016）中的命题1。如果ρ（X）=ρ（Y）对于所有X和Y，如t X，则风险度量ρ是超额不变的-= Y-对于任何X，如果ρ（X）=ρ（min（X，0）），则为损失相关（Artzner et al；1999），但凸风险度量中不需要（F¨ollmer and Schied；2002；Frittelli and Rosazza Gianin；2002）。Weber et al.（2013）表明，应用于具有价格影响的系统的一致性风险度量可能会导致非二次曲线的凸风险度量。Num'eraire不变性在Nartzner等人（2009）中介绍，在Koch-Medina等人（2016）中进一步研究。这意味着“验收集不应取决于合格（num'eraire）资产的选择”（Artzner等人；2009年，第114页）。Num'eraire不变性可以适应企业资产和负债可能以不同货币计价的情况。Koch Medina和Munari（2016年，第6节）表明，与VaR相关的验收集是num'eraire不变量，但与预期短缺相关的验收集不是。显然，num'eraire不变性意味着圆锥度。在不假设num'eraire不变性的情况下，货币风险也可以通过向量值风险度量明确纳入资本充足率测试；例如，见Jouini等人（2004年）。t runcation closedness属性仅仅意味着，如果资本头寸X的任何截断版本（可能是无界的）都是可以接受的，那么X本身也是可以接受的。该性质类似于连续性公理f或畸变风险度量ρ，该公理假设ρ满足极限→+∞ρ（min（d，X））=limd→+∞ρ（最大值(-d、 X））=ρ（X）（Wang等人，1997年）。

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2022-6-1 03:58:49

如果X=L，则截断闭合性属性自动适用于任何接受集∞(Ohm, F、 P）并被一些常用的验收集所满足。例如，对于任何失真风险度量ρh（X）：=R∞h（P（X>X））dx+R-∞（h（P（X>X））- 1） dx，其中h是畸变函数（h随h（0）=0和h（1）=1而递增），ρh={X∈ X |ρh（X）≤ 0}是截断关闭的，因为limd→∞ρh（最小值（最大值(-d、 X），d））=ρh（X）。2.2风险价值Ba sel II协议和SolvencyII中资本充足率测试的现行做法是使用VaR；《巴塞尔协议III》规定，自2018年1月1日起，压力情景下97.5%的预期空头将用于测试资本充足率以应对市场风险（巴塞尔银行监管委员会；2016年）。为了正式定义VaR，我们引入了一些符号。对于给定的随机变量，Koch-Medina et a l.（2016，命题5）表明闭接受集a是num'eraire不变性和单调的（即，对于任何X和Y，如果X≤ Y a.s.和X∈ A、然后是Y∈ A）当且仅当它是剩余不变量和二次曲线。十、将FX表示为其（右连续）累积分布函数。表示F-1xA是X的左连续分位数函数，即F-1X（t）：=sup{x∈ R | FX（x）<t}=inf{x∈ R | FX（x）≥ t} ，t∈ [0, 1].尤其是F-1X（0）=-∞ 和F-1X（1）=esssup X：=inf{X | P（X≤ x） =1}定义。此外，F-1X（t+）=inf{x∈ R | FX（x）>t}是x的右连续分位数函数（F¨ollmer and Schied；2016，引理A.19）；特别是F-1X（0+）=limz↓0F-1X（z）=essinf X：=sup{X | P（X≤ x） =0}，andF-1X（1+）=+∞ . 众所周知，对于任何x∈ R和t∈ [0，1]，（i）FX（x）<tif且仅当F-1X（t）>x和（ii）FX（x-) ≤ t当且仅当F-1X（t+）≥ x、其中fx（x-) := 林茨↑xFX（z）。

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2022-6-1 03:58:52

很容易证明，对于任何连续、递增的函数Д：R→ R、 F级-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, z∈ （0，1）和对于任何连续递减函数ψ：R→ R、 F级-1ψ（X）（z）=ψF-1X（（1- z） +）, z∈ ( 0, 1).α级X的VaR定义为-α级X。形式上，对于任何α∈ [0，1]，我们将X的下α-VaR和上α-VaR分别定义为Rlα（X）：=F-1.-X（α）=-F-1X（（1- α） +），（1）V@Ruα（X）：=F-1.-X（α+）=-F-1X（1- α). （2）对于每个α∈ [0，1]，我们根据企业的默认概率定义了以下三个接受集：A-α： ={X∈ X | P（X<0）<1- α} ，（3）Aα：={X∈ X | P（X≤ -) < 1 - α对于任何>0}，（4）A+α：={X∈ X | P（X<0）≤ 1.- α}. （5）在《巴塞尔协议II》中，如果且仅当某一水平α（例如99%）的VaR小于或等于零时，资本头寸X才是可接受的。以下命题2.1表明-α、 Aα和A+α确实是由VaR诱导的。此外，这些接受集是盈余不变性、定律不变性、二次曲线和截断闭合的；此外，A-α和A+α是数字形式的入侵。事实上，根据F¨ollmer and Schied（2016）中的引理A.27，F-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, 对于。ez∈ (0, 1).因为F和-1Д（X）（z）和ДF-1X（z）都是连续的，那么F-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, 对于任意z∈ (0, 1). 类似的参数导致F-1ψ（X）（z）=ψF-1X（（1- z） +）, z∈ (0, 1).提案2.1。（i）对于任何α∈ [0，1]，A-α、 Aα和A+α满意度A-α={X∈ X | V@Ruα+δ（X）≤ 某些δ为0∈ (0, 1 - α） }，（6）Aα={X∈ X | V@Ruα（X）≤ 0}，（7）A+α={X∈ X | V@Rlα（X）≤ 0}. （8）特别是-= A= 和A+={X∈ X | X≥ 上午0点}。（ii）对于yα∈ [0，1]，A-α、 Aα和A+α是剩余不变量、律不变量t、二次曲线和截断闭接受集，A-α Aα A+α；此外，A-α和α+是num'eraire不变量。

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2022-6-1 03:58:55

对于任何0≤ α< α≤ 1，A-α A+α。注意，inStaum（2013，示例4.1）和Koch-Medina等人（2016，示例1）已经显示了A+α的剩余不变性。还值得注意的是，验收集A+要求当且仅当企业从不违约时才可接受，因此它只是形式上的VaR诱导验收集。最后，A和B之间的差异-α、 Aα和A+α是次要的，尽管通常A-α（Aα和Aα（A+α）。此外，Aα通常不是num'eraire不变量，如附录D.2.3中的示例1所示。盈余不变量、定律不变量、二次曲线和截断闭合接受集必须是VaR诱导的集。我们证明，任何盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和截断闭合接受集必须是VaR诱导的集。为此，我们遵循法律不变风险度量的文献（例如Kusuoka（2001）、Jouiniet al.（2006）和Frittelli和Rosazza Gianin（2005）），将自己限制在支持统一随机变量的atomle ssprobability空间。我们的结果也支持forequi概率空间((Ohm, F、 P）是等概率概率空间，如果Ohm = {ω，…，ωn}和P（ωi）=1/n，i）；见附录C。定理2.1。假设(Ohm, F、 P）无原子。然后，（i）如果A是盈余不变量、定律不变量、二次曲线和截断接受集，则存在α∈ [0，1]以便-α A. Aα或A=A+α。（ii）A是盈余不变量、定律不变量、num'eraire不变量和截断闭合接受集，当且仅当存在stsα时∈ [0，1]使得ei ther A=A-αorA=A+α。定理2.1表明，盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和截断闭合接受集本质上是由var导出的集。

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2022-6-1 03:58:58

作为一项技术评论，存在一个剩余不变量、定律不变量、二次曲线和截断闭合接受集，使得-α（A）（Aα；见附录D中的示例2。值得注意的是，满足理论2.1中属性的验收集A不能由预期缺口诱导，除非A是微不足道的，即，是X中预期缺口定义明确（即有限）的整套资本头寸的空集。事实上，出于矛盾的原因，支持这样一个非平凡的a是由某个水平β的预期短缺引起的∈ [0, 1]; i、 e.，A={X∈ X | ESβ（X）∈ B} ，其中B R和ESβ（X）：=1-βRβV@Rlα（X）dα=1-βRβF-1.-X（α）dα表示β∈ [0，1）和ES（X）：=essup(-十）。注意，当β∈ （0，1），对于当β=0时可积的X，对于当β=1时从下方有界的X。现在，对于任何常数c≥ 0和X∈ 十、我们有c-= 0≤ 十、-. 回顾A是非空的，剩余不变的，我们必须有c∈ A、意味着(-∞, 0] B、另一方面，如果存在X∈ 如果ESβ（X）>0，则由A的圆锥度得出（0，∞) B、其中B=R，因此A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} ，一个琐碎的集合，导致了矛盾。因此，不存在X∈ A使得ESβ（X）>0，意味着B=(-∞, 0]; i、 e.，A={X∈ X | ESβ（X）≤ 0}. 然后，根据Koch-Medina et al.（2016，示例5）得出{X∈ X | ESβ（X）≤ 0}不是盈余不变性，这与A是盈余不变性的假设相矛盾。此外，即使是平凡的集A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} 可能不满足OREM2.1中的特性。例如，如果X=L(Ohm, F、 P），则A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} 未关闭截断。如果我们进一步要求验收集与X上的某个合适拓扑闭合，则可以简化定理2.1。

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2022-6-1 03:59:01

特别是空间L(Ohm, F、 P）是k-fan度量下的完整度量空间（度量定义为d（X，Y）：=E[最小值（| X-Y |，1）]，十、 Y），它度量了收敛的概率；例如，参见Dudley（2002，定理9.2.2和9.2.3，第289-290页）。因此，L的子集(Ohm, F、 P）在Ky-Fan度量拓扑下是闭合的当且仅当它在转换下是闭合的。这个例子说明，对于剩余不变接受集，如果集上没有任何拓扑假设，圆锥度不等价于num'eraire不变性。有关比较，请参见Kochmedina等人（2016年，提案5）。概率上的机智。因此，我们对接受集A的拓扑性质考虑如下：（vi）收敛-概率极限：如果Xn→ 十、∈ 概率X为n→∞ 和Xn∈ A代表所有n，然后是X∈ A、自最小值（最大值(-d、 X），d）→ X a.s.作为d→ ∞, 由此可知，收敛不概率闭性意味着截断n-闭性。如果我们要求验收集相对于L的度量拓扑是闭合的，则定理2.1可以简化为以下定理2.2(Ohm, F、 P），或者，等效地，就概率收敛性而言是闭合的。定理2.2。假设(Ohm, F、 P）是原子。那么，A是一个非空、盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量），并且当且仅当存在α∈ [0，1]使得A=A+α。定理2.2的证明是通过应用定理2.1并验证α∈ [0，1），A+α是A的闭包-l的度量拓扑下X中的α(Ohm, F、 P）。

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2022-6-1 03:59:04

如果考虑X，可以得到类似的结果有限合伙人(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 和关于Lp范数的贴近度，但不适用于X=L的情况∞(Ohm, F、 P）a和相对于L的封闭性∞-范数或弱星型拓扑；见附录B。3结论监管机构有兴趣提出一项资本充足率测试，具体规定一段时期结束时企业资本头寸的接受度。这种测试旨在保护公司的责任持有人，因此，公司是否通过测试不应取决于公司股东的盈余，这一属性称为盈余不变性。我们证明了盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是由VaR导出的集合，即必须是在给定水平上VaR小于或等于零的资本头寸集。我们还证明了盈余不变性、法律不变性和数量不变性接受集必须是由VaR诱导的集。我们的结果有助于显示资本充足率测试的竞争属性之间的潜在冲突。Koch-Medina等人（2015）表明，具有凸性和num'eraire不变性（或等效相干和剩余不变性）的接受集类别仅限于情景测试；此外，定律不变性进一步将域缩小到正锥。我们表明，如果放弃凸性，只有通过VaR诱导的接受集才能扩大选择。另一方面，如果onedrops圆锥度或num'eraire不变性，则存在丰富的剩余不变性、定律不变性和凸接受集；参见instanceCont et al.（2013）、KochMedina et al.（2015）和Koch Medina et al.（2016）。

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可人4

2022-6-1 03:59:07

因此，如果一个人发现接受集的选择范围太过严格，那么他需要牺牲一个被调查的属性，因此被迫建立标准来优先考虑竞争性属性，如凸性、一致性、剩余不变性、数量不变性和法律不变性。如果只考虑这些特性，那么它们可能是可取的，但如果将它们放在一起，则会导致选择范围很窄。命题2.1的证明。（i）对于α=1，根据（3）、（4）和（5）中的定义，A-= A= 和A+={X∈ X | X≥ 0 a.s.}，与v@Ru（X）=-F-1X（0）=+∞ 和V@Rl（X）=-F-1X（0+）=-essinf X表示（6）、（7）和（8）对α=1保持不变。然后我们证明α的（6）、（7）和（8）∈ [0，1）。回想一下，对于任何随机变量x，x∈ R、和t∈ [0，1]，FX（x）<t<=> F-1X（t）>x和FX（x-) ≤ t型<=> F-1X（t+）≥ x、我们将显示F-1X（1- α - δ) ≥ 某些δ为0∈ (0, 1 - α）<=> F-1X（（1- α -δ′)+) ≥ 某些δ′为0∈ (0, 1 - α). “The”=>” 方向从F开始-1X（（1- α -δ)+ ) ≥ F-1X（1- α - δ). 显示“<=” 方向，假设F-1X（（1- α - δ′)+) ≥某些δ′为0∈ (0, 1 - α). 设δ=δ′/2。然后，F的单调性-1X（·）表示F-1X（1- α - δ) ≥ F-1X（（1- α - δ′)+) ≥ 0 .然后，通过（2），V@Ruα+δ（X）≤ 某些δ为0∈ ( 0, 1 - α）<=> F-1X（1- (α + δ)) ≥某些δ为0∈ (0, 1 - α）<=> F-1X（（1- (α + δ′))+) ≥ 某些δ′为0∈ (0, 1 - α）<=>1.-(α + δ′) ≥ 外汇（0-) 对于某些δ′∈ (0, 1 -α）<=> P（X<0）=FX（0-) < 1.-α. 因此，（6）成立。类似地，by（2），V@Ruα（X）≤ 0<=> F-1X（1- α）≥ 0<=> -<F-1X（1-α）对于任何>0<=> P（X≤ -）=外汇(-) < 1 - α表示任何>0。

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2022-6-1 03:59:10

因此，（7）成立。最后，通过（1），V@Rlα（X）≤ 0<=> F-1X（（1-α)+) ≥ 0<=> P（X<0）=FX（0-) ≤ 1.-α.因此，（8）成立。我们感谢一位匿名裁判在我们论文的裁判报告中对本段的大部分句子进行了措辞。（ii）根据定义，A-α、 Aα和A+α是定律不变的二次曲线。此外，从（3）可以看出，对于任何X∈ A.-α和任意Y∈ X满足Y-≤ 十、-a、 s.，P（Y<0）=P(-Y-< 0）≤ P(-十、-< 0）=P（X<0）<1- α、这意味着∈ A.-α. 因此-α是剩余不变的。应用（4）和（5）的类似论证得出，Aα和A+α也是剩余不变的。对于任何X∈ X和anyd>0，它保持P（min（max(-d、 X），d）<0）=P（X<0），与（3）结合表示A-α是截断闭合的。类似的论证得出Aα和A+α也是截断闭合的。请注意，对于任何X∈ X和任何严格正随机变量Z，使得zx∈ 十、 P（ZX<0）=P（X<0）。然后，从（3）和（5）得出-α和α+是num'eraire不变量。最后，从m（3）、（4）和（5）得出-α Aα A+α表示任意α∈ [0，1]和A-α 任意0的A+α≤ α< α≤ 定理证明m 2.1。第（i）部分的证明如下。如果A=, 那么A=A-=A、所以我们假设A在下面的中是非空的。定义α：=1- supX公司∈AP（X<0）=1- supX公司∈AFX（0-). （9）如果α=1，则通过定义α，A {X∈ X | X≥ 0 a.s.}=a+。另一方面，由于A是非空的且剩余不变的，因此A+ A、因此，A=A+。现在，假设α∈ [0，1）。首先，我们将显示-α A.i、 e.，对于任何Z∈ A.-α 十、我们将显示Z∈ A、由于A是截短闭合的，我们只需要显示对于任何固定的d>0，Y：=最小值（最大值(-d、 Z），d）∈ A、自Z起∈ A.-α、从（3）可以看出，P（Y<0）=P（Z<0）<1- α. 因此，存在δ∈ (0, 1 - α）例如Fy（0-) = P（Y<0）≤ 1.- α - δ. 根据α的定义，存在X∈ 这样的FX（0-) = P（X<0）>1- α - δ.

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2022-6-1 03:59:13

因为(Ohm, F、 P）无原子，存在一个均匀分布的r和om变量U(Ohm, F、 P）使得X=F-1X（U+）a.s.（例如，参见Lemma a.3 2 inF¨ollmer and Schied（2016））。定义Y：=F-1年（U+）。然后，根据fr om Lemma A.23 inF¨ollmer和Schied（2016）的理论，Y具有相同的分布。因为Y和▄Y都是有界的，因此包含在X和a中是定律不变的，所以我们只需要显示t▄∈ A、因为FX（0-) > 1.-α -δ、我们有F-1X（（1-α -δ)+) < 0. 因此，因为-1年（0岁以上）≥ -d、存在>0，使得F-1年（0岁以上）≥ F-1X（（1- α - δ） +），其中-1年（z+）≥ F-1年（0岁以上）≥ F-1X（（1- α - δ)+) ≥ F-任意z为1X（z+）∈(0, 1-α-δ]. 此外，因为FY（0-) ≤ 1.-α-δ、我们有F-1年（z+）≥ F-1年（（1-α-δ)+ ) ≥ 0，z∈ （1）-α -δ, 1). 因此，最小F-1 Y（z+），0≥ 最小值F-1X（z+），0对于任意z∈ （0，1）因此（挈Y）-= -最小值F-1年（U+），0≤ -最小值F-1X（U+），0= 十、-a、美国，因为∈ L∞(Ohm, F、 P）十、 X个∈ A、 A为剩余侵入体，Y∈ A、那么，因为▄Y∈ L∞(Ohm, F、 P） X和A是二次曲线，我们得到Y∈ A、另一方面，（5）和（9）中α的定义意味着 A+α。因此，我们证明了-α A. A+α。因此，只有两种情况：（1）A-α A. Aα；（2）存在X∈ A这样X/∈ Aα。为了完成证明，我们只需要说明第二种情况导致A=A+α。事实上，在第二种情况下，让X∈ A是这样的X/∈ Aα。自X起∈ A、从（9）开始，FX（0-) ≤ 1.- α、这意味着-1台（1）- α）+≥ 0.自X起/∈ Aα，从（7）得出V@Ruα（X）>0，这与（2）结合意味着F-1X（1- α) < 0.因为(Ohm, F、 P）是无原子的，存在一个统一的Random变量U，使得x=F-1X（U）a.s.（参见，例如，L emma a.32 inF–ollmer和Schied（2016））。现在，对于任何Z∈ A+α 十、我们将显示Z∈ A、由于A是截短闭合的，我们只需要证明对于任何固定的d>0，Y：=min（d，max(-d、 Z））∈ A.

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可人4

2022-6-1 03:59:16

自Z起∈ A+α，Y∈ L∞(Ohm, F、 P）十、 P（Y<0）=P（Z<0），由（5）t Y得出∈ A+α和FY（0-) ≤ 1.- α、这意味着F-1年（（1- α)+) ≥ 0、定义Y：=F-1年（U）。然后，它遵循fr om Lemma A.23 inF¨ollmer和Schied（2016）的观点，即Y具有与Y相同的分布。因为F-1X（1-α） <0和F-1年（0岁以上）≥ -d、存在>0这样的F-1年（0岁以上）≥ F-1X（1-α），这意味着F-1Y（z）≥ F-1年（0岁以上）≥ F-1X（1-α）≥F-1X（z），z∈ (0, 1-α]. 此外，因为F-1Y（z）≥ F-1年（（1-α)+) ≥ 0，z∈ （1）-α、 1），我们得出以下结论：F-1Y（z），0≥ 最小值F-1X（z），0对于任何z∈ (0, 1). 因此，（Y）-= -最小值F-1Y（U），0≤ -最小值F-1X（U），0= 十、-a、 s.因为a是盈余不变的，且∈ L∞(Ohm, F、 P）十、因此，Y∈ A、因为Y和▄Y都是有界的，因此包含在X中，所以A的圆锥度意味着▄Y∈ A和A的定律不变性意味着Y∈ A、因此，A=A+α，这就完成了第（i）部分的证明。第（ii）部分的证明如下。“如果”方向遵循命题2.1。为了显示“仅当”方向，suppo se A是盈余不变性、law不变性、num'eraire不变性和截断闭合。由于num'eraire不变性乘以圆锥度，因此从定理的（i）部分可以看出，存在α∈ [0，1]，使得-α A. Aα或A=A+α。有两种情况：α=1和α∈ [0，1）。在第一种情况下，从（3）和（4）可以看出-α=Aα=.因此，A=A-α= 或A=A+α。在第二种情况下，假设-α（A Aα。然后，存在X∈ A. Aα使得X/∈ A.-α. 固定d>0，定义Y：=最小值（d，最大值(-d、 X））。诺丁基∈ L∞(Ohm, F、 P） X和Y-≤ 十、-, 我们从Y的剩余不变性得出结论∈ A. Aα。从（3）和P（Y<0）=P（X<0）得出/∈ A.-α和P（Y<0）≥ 1.- α. 定义Z：=-1年/月{Y<0}+1{Y≥ 0}. 然后，Z>0，ZY=-1{Y<0}+Y 1{Y≥ 0}∈ L∞(Ohm, F、 P）十、

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2022-6-1 03:59:19

此外，对于任何∈ （0，1），P（ZY≤ -）=P（Y<0）≥ 1.- α、这意味着（4）ZY/∈ Aα和thusZY/∈ A、这与A是num'era ire不变量的假设相矛盾。定理证明m 2.2。为了证明“如果”部分，通过命题2.1，我们只需要证明A+α在概率闭上收敛。假设Xk∈ A+α，k=1，2。和Xk→ 十、∈ 概率X为k→ ∞. 那么，对于任何δ>0，P（X≤ -δ） =P（X≤ -δ、 | Xk- X |≥ δ/2）+P（X≤ -δ、 | Xk- X |<δ/2）≤ P（| Xk- X |≥δ/2）+P（Xk≤ -δ/2) ≤ P（| Xk- X |≥ δ/2) + 1 - α. 让k→ ∞, 我们得到P（X≤ -δ) ≤ 1.- α. 然后，让δ↓ 0产生P（X<0）≤ 1.- α、与（5）结合意味着X∈ A+α。接下来，我们证明“仅当”部分。回顾定理2.1的第（i）部分，以及A+α在X，α中的概率贴近度的收敛性∈ [0, 1]. 因为A被假定为非空的-= A=, 我们只需要证明对于任何α∈ [0，1），A的概率闭包的收敛性-X中的α是A+α，即对于任何X∈ A+α\\A-α、存在一个序列Xk，k=1，2。这样Xk∈ A.-α, k和Xk→ 概率中的X等于k→ ∞. 对于任何n=1，2。，表示Yn：=最小值（n，最大值(-n、 X））∈ L∞(Ohm, F、 P）十、因为P（Yn<0）=P（X<0），我们从（3）和（5）中得出结论，Yn∈ A+α\\A-α.在下文中，我们表明，对于每个固定的n，我们可以找到一个序列Znk，k=1，2。在一个-α，使其收敛到Ynin概率为k→ ∞. 那么，对于任何k∈ N、存在指数mk，使得d（Zkmk，Yk）<1/k，其中d（·，·）表示Ky Fanmetric（即，d（X，Y）：=e[最小值（| X-Y |，1）]，十、 Y）。确定序列Xk：=Zkmk，k=1，2。。然后，Xk∈ A.-α和xk在概率上与X重合为k→ ∞.对于固定n，因为Yn∈ A+α\\A-α、我们从（3）和（5）中得出结论，P（Yn<0）=1- α > 0. D enote a：=essinf Yn；然后a∈ [-n、 0）因为P（Yn<0）>0和Yn≥ -n

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2022-6-1 03:59:22

有两种情况：（i）P（Yn=a）=0和（ii）P（Yn=a）>0。在（i）情况下，定义Znk：=Yn{Yn≥a+k}∈ L∞(Ohm, F、 P）十、k、根据a的定义，P（Yn<a+k）>0，k、因此，P（Znk<0）=P（Yn<0）- P（Yn<a+k）<P（Yn<0）=1- α, k>-a、这意味着Znk∈ A.-α, k>-a、此外，limk→+∞P（Yn<a+1/k）=P（Yn=a）=0，意味着Znk→ 伊娜。s、概率为k的NDTHES→ ∞. 在案例（ii）中，根据无原子测度的中值定理（例如，见p.46 of Remlin（2010）中的命题215D），t存在一系列递减子集{Yn=a} A. A. ···, p（Ak）=k+1P（Yn=a），k、定义Znk：=Yn{Ohm\\Ak}∈ L∞(Ohm, F、 P）十、那么，P（Znk<0）=P（Yn<0）- P（Ak）<1- α、这意味着Znk∈ A.-α, k、此外，对于任何>0，P（| Znk-Yn |≥ ) ≤ P（Ak）→ 0作为k→ ∞ , 这意味着thatZnk→ Ynin概率a s k→ ∞.在这一节中，我们首先表明，如果我们限制X，则定理2.2仍然成立有限合伙人(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 并考虑与Lp范数的贴近度。推论B.1。假设(Ohm, F、 P）是原子l和X 有限合伙人(Ohm, F、 P）对于som e P∈[1, +∞). 那么，A是一个非空、剩余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和Lp闭合（即，A在Lp范数下在X中闭合）接受集，当且仅当存在sα∈ [0，1]使得A=A+α。证据按照定理2.2证明中的相同步骤，我们只需要证明（i）对于任何α∈ [0，1]，A+α在Lp范数下在X中是闭合的，（ii）f或任何α∈ [0，1），关闭-Lp范数下X中的α是A+α。权利要求（i）是正确的，因为我们在定理2.2的证明中已经证明，在概率收敛的情况下，A+α在X中是闭合的，并且Lp范数诱导的拓扑比概率收敛诱导的拓扑更强。

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kedemingshi

2022-6-1 03:59:24

为了显示权利要求（ii），回忆一下随机变量Znkin A的序列-α表示在定理2.2的证明中构造的足够大的k，以概率将e转化为给定的有界随机变量YninA+α。仔细检查表明，znkconverge为k→ +∞, 至Ynin Lp norm。因此，权利要求（ii）是正确的。如果我们考虑X=L，则定理2.2不成立∞(Ohm, F、 P）与L的接近度∞-因为-一般来说，这个范数下的α是a+α的严格子集。事实上，与定理2.2的证明类似，我们可以证明，在L∞-标准现在，fixα∈ [0，1）并考虑X∈ A+α使得P（X=1）=α和P（X=-1) = 1 -α. 对于任何Y∈ A.-α、我们有P（Y<0）<1-α、 so P（Y≥ 0，X=-（1）≥ P（X=-（1）- P（Y＜0）＞0。因此，L∞-X的范数-Y必须大于或等于1，这意味着X不在A的闭包中-L下方的α∞-标准如果我们考虑X=L，则定理2.2也不成立∞(Ohm, F、 P）和关于弱星拓扑的闭合性，因为A+α在该拓扑下一般不闭合。事实上，考虑一下Ohm = [0，1]，F是Borelσ-代数，Pto是Lebesgue测度。我们证明了对于任何α∈ （0，1），在弱星型拓扑下，A+α是不闭合的。对于任何X∈ L∞(Ohm, F、 P），任意>0，以及L的任意有限子集(Ohm, F、 P），表示N（X，A，）：={Y∈ L∞(Ohm, F、 P）| | E[Y Z]- E【XZ】|<，Z∈A} 。然后，{N（X，A，）| X∈ L∞(Ohm, F、 P），A是L的有限子集(Ohm, F、 P），>0}构成弱星型拓扑的基；参见D unford和Schwartz（1988）中的定义V.3.2。现在，考虑X*≡ -（1）- α）∈ X\\A+α。在下文中，我们展示了L的任何有限子集A(Ohm, F、 P）且任何>0，都存在X′∈N（X*, A、）∩ A+α；因此，在弱星型拓扑下，A＋α不是闭合的。对于每个i∈ {1, . . .

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2022-6-1 03:59:27

，n}，因为Zi∈ L(Ohm, F、 P）连续函数集在L中是稠密的(Ohm, F、 P），存在一个连续函数▄Zi（t），t∈ [0，1]使得E[| Zi-Zi |]</3。因为▄Zi’s是一致连续的，所以存在一个整数m≥ 1使得|Zi（t）-Zi（s）|</（6α（1- α））对于任何i∈ {1，…，n}和任何s，t∈ [0，1]- t |≤ 1/m.现在，定义m（t）=(-1，t∈k-1m，k-1m+1-αm,0，t∈k-1m+1-αm，km,k=1，m、那么，P（Xm<0）=P（Xm=-1) = 1 - α、 so Xm∈ A+α。我们有| E[~ZiXm]- E【】ZiX*]| =ZZi（t）Xm（t）dt-ZZi（t）X*（t） dt公司=mXk=1“-Zk公司-1m+1-αmk-1mZi（t）dt#+（1- α） ZZi（t）dt=mXk=1“-αZk-1m+1-αmk-1mZi（t）dt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）dt#=mXk=1“-αZk-1m+1-αmk-1米Zi（t）-Zik- 1m+1- αmdt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）-Zik- 1m+1- αmdt公司#≤mXk=1“αZk-1m+1-αmk-1米Zi（t）-Zik- 1m+1- αmdt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）-Zik- 1m+1- αmdt#</3，其中最后一个不等式成立，因为|Zi（t）-Zi（s）|</（6α（1-α））适用于任何s、t∈[0，1]这样| s- t |<1/m。因此，| E[ZiXm]- E[ZiX*]| ≤|E【~ ZiXm】- E【】ZiX*]| + |E【~ ZiXm】- E[ZiXm]|+| E[~ZiX*] - E[ZiX*]|</3+2E[| | Zi- Zi |]<其中第二个不等式成立，因为| Xm |≤ 1和| X*| ≤ 第三个不等式是这样的，因为-Zi |]</3。因此，Xm∈ N（X*, A、） N（X，A，）。另一方面，Xm∈ A+α。因此，在弱星型拓扑下，A＋α不是闭合的。上述例子是由于马塞尔·努茨（MarcelNutz）在海姆和本论文第一作者之间的私人通信中提到的。C等概率空间的情况Theorem C.1。假设(Ohm, F、 P）是一个等概率空间。然后，isa盈余不变量、v变数定律和二次曲线（或num'eraire不变量）接受集当且仅当它是空集或某个α的A+α∈ [0, 1].理论证明mC。1、假设Ohm = {ω，…，ωn}。

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2022-6-1 03:59:30

然后，通过定义，P（{ωi}）=1/n，i=1，n、首先，我们证明了对于任意随机变量X(Ohm, F、 P），在（Ohm, F、 P）使得（i）X=F-1X（U+）=F-1X（~U）和（ii）任意随机变量Y开启(Ohm, F、 P）具有与F相同的分布-1Y（U+）和F-1Y（~U）。事实上，在不丧失一般性的情况下（如有必要，通过重新标记状态），假设X（ωi）=xk，nk-1<i≤ nk，k=1，m、其中，n=0<n<···<nm=n，x<x<···<xm。然后，我们将两个随机变量▄U和U定义如下：▄U（ωi）：=i/n，U（ωi）：=（i- 1）/n，i=1，n、那么，我们有-1X（~U（ωi））=F-1X（i/n）=xk=X（ωi），对于任何nk-1<i≤ nk；因此，F-1X（~U）=X。此外，F-1X（U（ωi）+）=F-1X（（（i-1） /n）+）=xk=X（ωi），对于任何nk-1<i≤ nk；因此，F-1X（U+）=X。对于任何随机变量Y，on(Ohm, F、 P），假设{Y（ω）|ω∈ Ohm} = {y，…，y'm}，其中y<···<y'm和P（y≤ yk）=？nk/n，k=1，m，其中n=0<n<···<n··············································-1<i≤ (R)nk。那么，我们有F-1Y（~U（ωi））=F-1Y（i/n）=yk=\'Y（ωi），对于任何\'nk-1<i≤ (R)nk；因此，F-1Y（yenU）=Y。此外，F-1Y（U（ωi）+）=F-1年（（（i-1） /n）+）=yk=\'Y（ωi），对于任何\'nk-1<i≤ (R)nk；因此，F-1年（U+）＝年。由于“Y”与“Y”具有相同的分布，因此（ii）成立。因为Ohm 是一个有限集，所有随机变量(Ohm, F、 P）有界，构成资本头寸X的空间；因此，任何验收集都将关闭。然后，使用上面构造的U和U，可以很容易地改变定理2.1第（i）部分的证明也可以适用于等概率空间的情况；因此，如果A是剩余不变量、定律不变量、二次曲线接受集，则t存在α∈ [0，1]这样-α A. Aα或A=A+α。当α=1时，我们有-= A=, so A= 在这种情况下，或A=A+。

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2022-6-1 03:59:33

Whensuchα∈ [0，1），我们声称-对于某些α′，α=Aα=A+α′∈ （α，1）.实际上，对于anyX∈ Aα，有两种情况：（i）X≥ 0.在这种情况下，通过定义-α、 X个∈ A.-α.（ii）存在ω，使得X（ω）<0。让x*:= 最大{X（ω）| X（ω）<0，ω∈ Ohm}.请注意Ohm 是一个有限集，所以x*< 那么，从（4）可以得出P（X≤ x个*) <1.- α、这意味着P（X<0）=P（X≤ x个*) < 1.- α. 通过（3），我们得出∈ A.-α. 因此-α=α。现在注意到(Ohm, F、 P）是1/n的倍数，P（a）<1- α当且仅当P（A）≤ 1.- α′，其中α′：=1-n（1- α) - 1./n和x个代表x的上限（即，控制x的小整数）；此外，因为n（1- α) - 1<n（1- α） α<1，我们得出结论α′∈ （α，1）。因此，通过（3）和（5），X∈ A.-αif和onlyX∈ A+α′；i、 e.，A-α=A+α′。最后，对于α=1的情况和α的情况，结合上述讨论f∈[0，1），我们得出结论：A是盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集当且仅当A是空集或某个α的A+α∈ [0, 1]. 当圆锥度被num'eraire不变性代替时，上述论点仍然成立。D两个示例示例D.1。假设(Ohm, F、 P）无原子且X=L∞(Ohm, F、 P）。考虑带支撑的均匀分布随机变量Y(-1 + α, α). 从（3）和（4）中可以看出∈ Aα和Y/∈ A.-α. 定义Z：=-1/Y）1{Y<0}+1{Y≥ 0}.然后，Z>0且ZY=-1{Y<0}+Y 1{Y≥ 0}∈ 十、此外，对于任何∈ （0，1），P（ZY≤ -）=P（Y<0）=1- α、与（4）结合表示thatZY/∈ Aα。因此，α不是num'eraire不变量。示例D.2。假设(Ohm, F、 P）无原子且X=L∞(Ohm, F、 P）。固定α∈（0，1）并考虑Y∈ X使得Y在(-1 + α, α).然后，F-1Y（z）=z- （1）- α），z∈ (0, 1). 定义X：=十、∈ X |δ>0，使得δminF-1X（z），0≥ 最小值F-1Y（z），0, z∈ (0, 1)和X：=X\\X。

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2022-6-1 03:59:36

可以看出，XI的是定律不变性和二次曲线；因此，A也是：=十、∩ Aα∪十、∩ A.-α.首先，对于任意随机变量X，min（F-1X（z），0）=F-1.-十、-（z），z∈ （0，1）因为-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, z∈ （0，1）对于任何连续和递增函数（见注释4）。其次，很明显-α A. Aα。第三，我们将证明Ais盈余-i是可变的。考虑任意X∈ A和X∈ X使得X-≤ 十、-a、有两种情况：（1）如果X∈ 十、然后是X∈ Aα。因为X-≤ 十、-a、 s.andAα是剩余不变的，我们得出X∈ Aα。此外，最小值（F-1X（z），0）=F-1.-十、-（z）≤ F-1.-十、-（z） =最小值（F-1X（z），0），z∈ （0，1）因为X-≤ 十、-a、因此，X∈ X因此X∈ A、（2）如果X∈ 十、然后是X∈ A.-α. 因为-≤ 十、-a、美国和a-α是剩余不变的，我们假设X∈ A.-α A.第四，X=L∞(Ohm, F、 P），访问集A是截断闭合的。最后，你可以看到Y/∈ A.-α和Y∈ 十、∩ Aα A、此外，具有全平铺功能的▄Y-1▄Y（z）=z-（1）-α），z≥ 1.-α和F-1▄Y（z）=-√1.- α - z、 z<1-α既不在X中也不在A中-α、 so▄Y/∈ A.但▄Y∈ Aα。总之，A是一个盈余不变量、定律不变量、二次曲线和凸出闭合接受集，A是一个-α（Aα。参考文献：Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999）。风险的一致度量，数学。财务9（3）：203–228。Artzner，P.、Delbaen，F.和Koch Medina，P.（2009）。风险度量和资本效率，Astin公告39（1）：101–116。巴塞尔银行监管委员会（2006年）。资本计量和资本标准的国际趋同：修订框架，文件，国际清算银行，瑞士巴塞尔。巴塞尔银行监管委员会（2009年）。《巴塞尔II市场风险框架修订》，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2016年）。

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2022-6-1 03:59:39

市场风险、标准、国际结算银行的最低资本要求。Cont，R.，Deguest，R。他是X.D。(2013). 基于损失的风险度量，Statist。风险建模30（2）：133–167。Dudley，R.M.（2002）。《真实分析与概率》，剑桥大学出版社，剑桥。Dunford，N.a和Schwartz，J.T.（1988）。线性算子：第一部分，John Wiley&Sons。F¨ollmer，H.和Schied，A.（2002年）。《风险和交易约束的凸度量》，金融斯托查科学6（4）：429–447。F¨ollmer，H.和Schied，A.（2016）。《随机金融：离散时间导论》，4 edn，Walter de Gruyter，柏林。弗雷姆林，D。H、（2010年）。测量理论：广泛的基础，第2卷，第2版，托雷斯弗雷姆林。Fritt elli，M.和Rosazza Gianin，E.（2002年）。《在风险度量中排序》，J.BankingFinance 26（7）：147 3–1486。Fritt elli，M.和Rosazza Gianin，E.（2005年）。法律不变凸风险度量，Adv.Math。经济。7: 33–46.Jouini，E.、Meddeb，M.和Touzi，N.（2004年）。向量值一致性风险度量，金融Stocha s tics 8（4）：531–552。Jouini，E.、Schachermayer，W.和Touzi，N.（200 6）。法律不变风险度量具有fatou属性，Ad v。数学经济。9: 49–71.Koch Medina，P.、Moreno Bromberg，S.和Munari，C.（2015）。《金融机构资本充足率测试和有限责任》，J.Banki ng Finance 51：93–102。Koch Medina，P.和Munari，C.（2016年）。预期短缺的意外短缺所有：极端违约和监管套利，J.银行金融62：141–151。Koch Medina，P.、Munari，C.和ˇSiki\'C，M.（2016）。多元化、负债持有人保护和监管套利，数学。芬南。经济。第1-2页。Kou，S.G.和Peng，X.（2016）。关于经济尾部风险的度量，Oper。第64（5）号决议：1056–1072。Kou，S.G.、Peng，X.和Heyde，C.C.（2013）。外部风险度量和基准记录，数学。操作。第38（3）号决议：393–417。Kusuoka，S.（20 01）。

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