一次交易一笔——解开股票溢价之谜

2022-5-8 20:35:49

一次交易一笔——解开股票溢价P UZZLE*Andrei N.Soklakov+金融市场为理解一些最先进的人类行为提供了一个自然的定量实验室。其中包括使用被称为金融工具的数学工具。除了货币，最基本的两种金融工具是债券和股票。30多年前，Mehra and Prescott发现，基于消费的（主流）经济理论无法解释与ZF债券相关的均衡的数值表现。这种被称为“股权溢价之谜”的经验性观察自此就一直在挑战主流经济学。最近的金融危机表明，人们更加需要了解金融产品。我们展示了如何理解产品设计的理性本质来解决股权溢价之谜。在这一过程中，我们获得了经过实验验证的产品设计理论。关键词：股权溢价；合理的产品设计；信息衍生品；风险规避。JEL代码：C11、G10、G11、G12。*原始版本2015年7月25日。期刊参考：关于“分歧经济学——R’enyi分歧的财务直觉”的补充材料，熵22（8），860（2020）。+德意志银行亚太股票战略发展负责人。此处表达的观点不应被视为投资或推广。它们代表了作者的个人研究，不一定反映了他的雇主或其协会或同事的观点。安德烈。Soklakov@（db.com，gmail.com）。1简介和背景最新危机发生后，经济学界以及整个金融行业掀起了新一轮批评浪潮。这一次，很大一部分责任落在了金融产品上。

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2022-5-8 20:35:51

金融产品的质量甚至用途都受到了质疑。通过对家用仪器的批判性审查，我们得出了理性产品设计的理论[1]。在这个理论中，金融产品的数学结构不再由直觉决定。它符合客户的预期行为。在科学领域，理论通过经受住与现实的严峻生存考验而获得可信度。臭名昭著的股权溢价之谜[2]为我们提供了一个完美的挑战。它有着丰富的独立历史（30多年来无视主流经济学），同时，它与金融产品密切相关。事实上，如果不了解股票和债券等基本工具的实际表现，又怎么能有人声称自己了解金融产品呢？我们发现我们的方法（我们称之为“定量结构”）能够正确预测观测到的数据。值得注意的是，即使股票溢价的数值未知，我们的方法也能预测正确的大致范围。定量结构并没有遵循经典的消费基础经济学，这种经济学由代表性代理人的相同副本来推广。相反，它倡导一种详细的自然主义经济学观点，包括一些不受消费影响的行为。我们方法的进化方面在进化经济学和进化金融中都有对应关系（参见[3,4]和其中的参考文献）。然而，从本质上讲，o Urach方法并没有那么雄心勃勃：它实际上只是一个理性的框架，用于为个人客户的利益制造金融产品。

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2022-5-8 20:35:55

我们的方法的进化元素不是假设的，它们自然地作为理性产品设计的结果出现：没有理性意义的产品无法生存。关于消费的概念，我们不怀疑它在经济学中的重要性。然而，我们确实在个体策略的层面上质疑它的解释力。在这方面，我们就像一位博物学家，他毫不怀疑太阳能的消耗是推动地球生命的主要因素。然而，博物学家永远不会支持这样一种理论，即试图通过“代表性生命形式”将每一次观测减少到太阳能的最佳消耗。经济格局由一系列不同的战略构成[5]。每种策略都有其自身的合理性，并留下自己的印记。关于总消费的数据，更不用说代表性因素的概念了，都太高了，无法在这个多样化的现实中理解每一个合理的结果。谈到金融战略的多样性，我们至少必须区分投资和对冲。传统的经济模型往往侧重于对冲（即使在讨论投资时也是如此）。事实上，假设市场效率的模型几乎没有其他作用。定量结构通过描述一类纯粹的投资策略来补充这一点，投资者通过对市场的看法（学习新信息并将这些信息带到市场上）来谋生。观察到的股权溢价似乎来自投资策略，而不是消费平滑或多元化等对冲行为。1.1 1985年，Mehra和Prescott invest对股票超过ZF债券的长期超额收益的历史数据进行了检验[2]。

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2022-5-8 20:35:58

这些被称为股权溢价的超额回报似乎出人意料地高（证实了希勒[6]的一项独立观察）。Mehra和Prescott估计，股票溢价的数量级高于标准消费理论中合理化的数量级。考虑到这一挑战的重要性，解决这一难题的建议迅速铺天盖地。20年后，梅赫拉和普雷斯科特重新审视了这一问题的进展，结果却强化了他们最初的结论[7]。他们估计股本溢价在算术上高达8%，在几何（复合）回报上高达6%，并重申股本溢价之谜是解释这些价值的一个尚未解决的挑战。最近的一项独立研究表明，这个谜题可能比最初估计的还要深[8]。在撰写本文时，可以公平地说，对这个谜题的单一解释尚未得到普遍接受，对一个明确的解释的探索仍在继续。那么问题到底是什么呢？这个谜题有两个主要方面。首先，我们需要找到解释观察到的数字的潜在机制（年化复合回报率高达6%的生态有序峰值）。这是我们的首要目标。第二个（更有争议的）方面是经济学中的科学实践。我们的目标是在考虑到高股本溢价的可能性之前，不要让一个理论复杂化。我们需要的是一个独立的动机（即，没有专门针对均分的t）帕西莫-尼欧理论，它可以预测正确的溢价幅度。在他们的原始论文[2]中，Mehra和Prescott基于两个基本假设考虑了经典模型。

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nandehutu2022

2022-5-8 20:36:02

第一个假设是，整个经济体由非常相似的参与者组成；如此之多，以至于它可以用代表性代理的概念来描述。第二个假设是，代理人的动机可以概括为消费优化。这种模式是节俭的完美例子。它对股票溢价做出了非常具体且可测试的预测。不幸的是，正如梅赫拉和普雷斯科特所说，这些预测与现实不符[2]。梅赫拉和普雷斯科特对经典假设提出了质疑。在发现谜题后，代表性的agentmodel几乎立即受到质疑[9]。尽管在某种程度上被认为是一种意识形态，但随着行为矫正的引入，最优消费的假设也开始出现。不幸的是，随着新的事态发展以节俭的姿态出现，辩论将继续下去。大多数新理论都对最初的基于消费的理论保持着极大的忠诚，用额外的因素对其进行升级，而不是提出一种新的替代方案。例如，[11]中的近视损失厌恶效应可以根据对账单评估的频率随意引入、移除或调整。类似地，习惯形成模型（见例[12]）将传统的动物消费模型作为特例包括在内。这种基于最优消费理念的数学锚定意味着，与实际观察相比，新理论从未真正拒绝过小的股权溢价。他们只是引入了额外的参数，以适应更广泛的可能性。难道不是所有具有经济意义的人类行为都能优化消费吗？特别是，消费优化是否不会导致观测公平溢价？我们认为这两个问题的答案都是肯定的。

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大多数88

2022-5-8 20:36:05

股权溢价之谜由来已久，正是考虑到了这种可能性。在本文中，我们避免使用代表剂的概念和最佳消费的假设。当然，我们不能希望通过简单地删除一些旧的假设来建立一个更准确的理论。我们需要另一种理论。节俭原则是一个非常深刻的认识论原则，它设定了非常高的标准。在撰写本文时，我们还不知道有关股权溢价之谜的文献中有任何独立动机的完全异质非消费型模型，这些模型能够准确预测溢价，而不会招致对平价不足的批评。这就引出了下一节的主题。1.2金融产品金融产品靠理性生存。理解股票溢价是一个更大目标的一部分——将股票理解为一种金融产品。在本节中，我们将介绍一种有助于实现这一目标的理性产品设计理论。1.2.1量化结构（一般动机）金融产品由其支付函数F（x）定义，F（x）表示收益（通常是现金流）如何取决于基础变量x。此类产品，也称为金融衍生产品，旨在作为单一交易进行买卖。我们自古以来就一直在交易金融产品。然而，直到最近，在布莱克、斯科尔斯和默顿[13,14]的著作基础上，我们才找到了一个为此类产品定价的国家框架。

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2022-5-8 20:36:08

为了对产品进行定价（由其支付函数F定义），我们计算一个formPrice（F）=XxF（x）Q（x），（1）的数量，其中求和取基础变量的所有可能值，加权函数Q由所谓的定价模型隐含。从历史上看，在金融衍生品行业中，大多数定量研究都支持wentinto建模，即对Q的研究。这足以创建一个专门的数学学科和一个全新的“金融工程师”职业，即“量子”。Quant通常不参与产品设计。“好质量”被期望成为任何产品的定价标准。对他们来说，产品是挑战，是建模需求的来源。仔细研究等式（1）可以发现，产品的价值由其支付结构F和定价模型Q以一种非常对称的方式决定。如果建模需要专门的数学框架，那么产品设计也是如此。量化结构是金融产品设计的技术框架[1]。它可以被描述为学习理论的基本逻辑要素和理性优化之间的融合。以下小节提供了简要的技术介绍。1.2.2信息衍生考虑对某些经济相关变量x（未来股价、汇率、温度读数等）感兴趣的投资者。投资者对变量的全部了解可以总结为该变量所有可能值的列表，以及投资者对其概率{x，p（x）}的意见。我们认为这是一种概率分布，并得出结论，投资者的知识应该服从概率论的逻辑。

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2022-5-8 20:36:12

特别是，在发现一些数据后，任何逻辑投资者都必须使用贝叶斯定理（x | d）=Ld（x）p（x），（2）将其知识从p（x）更新为p（x | d），其中Ld（x）被称为似然函数。让概率分布p（x）总结关于x的所有已知信息。我们看到，等式（2）中的似然函数Ld（x）是唯一描述在已知p（x）之上学习新信息的对象。如果我们相信基于研究的投资能够向市场提供新的信息，我们必须寻求一个公式，其中任何x-或有投资的支付函数F（x）与描述相关研究的概率函数Ld（x）明确相关。我们使用“信息衍生工具”一词来描述金融产品，其结构明确源自所有相关信息。最终，所有金融产品都必须进化以满足这一定义。在下一小节中，我们将深入探讨信息导数的数学结构。1.2.3结构方程有助于在已建立的（更一般的）合理优化框架内找到信息衍生工具的框架。他们还将阐明金融产品所实现的目标。据我们所知，伯努利对圣彼得堡悖论的处理[15]是在单一金融产品背景下理解投资者基本原理的第一个例子。该产品完全是假设性的（某个游戏的回报），但它具有所有现代金融衍生品的决定性成分——一种或有现金流，其价值来自随机变量的n个结果。冯·诺依曼和莫格·恩斯特恩将伯努利对理性的直观理解建立在坚实的公理基础上[16]。

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2022-5-8 20:36:15

从这项工作中得出的预期效用框架结果非常复杂，包含许多模型，包括那些与等式（2）所描述的学习过程没有任何意义的联系的模型。例如，它包含美国资本资产定价模型（CAPM）。基本资本资产定价模型（参见例[17]）假设所有信息都是完全客观的，并得到所有投资者的同意，因此实际上没有什么需要学习的。让我们回到最初的伯努利设置，让投资者完全自由地发展他们的知识（关于市场和个人情况）。这种投资者的最优支付函数将解决标准F ormmaxFZb（x）U（F（x））dx在预算约束下的优化问题zf（x）m（x）dx=1，（3）其中U是效用函数，b（x）是投资者相信的概率分布，而{m（x）}的值对广义Arrow-Debrew证券有效（几乎任何变量都可以通过致电投资银行获得）。经过平凡的标准化，{m（x）}定义了一个概率分布，我们称之为市场隐含。事实证明，优化（3）的解F可以用描述投资研究的似然函数来理解——正如我们上面所要求的那样。特别是，我们可以想象贝叶斯公式（2）的两个学习步骤。其中一个步骤指的是发现投资者相信的潜在变量的概率，另一个步骤描述的是对投资者自身偏好（风险厌恶）的更私密的了解。这两个步骤对应一对方程式（参见参考文献。

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2022-5-8 20:36:18

[18] 详细信息）b=f m（4）d ln Fd ln f=R，（5）其中风险平均系数R通过标准箭头-普拉特公式与效用U（f）相连：R=-F U′F F/U′F和F（x）可以作为增长最优产品的支付函数（R=1时的F=F——凯利投资者的情况[19]）。等式（4）的逻辑结构（2）很容易看出：市场隐含的m和投资者相信的b自然分别取代先验分布和后验分布，而增长的h-最优支付f与似然函数一致。从相关似然函数的角度理解更一般的支付，以及它如何导致等式（5）更复杂一些。更多关于EQ的详细解释。（4）（5）包括动机、推导、直观说明以及具体的数字示例（包括产品性能），我们建议读者参考[1,18,20-22]和[23]。1.2.4与消费优化的比较预期效用框架非常擅长统一不同的经济动机，从等式（3）来看，量化结构与基于消费的方法的区别可能并不明显，后者在有关股权溢价之谜的文献中使用。要清楚地看到这一点，请考虑一位与市场意见一致的投资者。将b（x）=m（x）代入式（4）中，我们发现投资者不会交易x（收益不取决于x）。在现实生活中，这样的投资者会说他们在市场上“没有优势”或“看不到可投资的机会”。等式（4）和（5）将学习转化为产品设计。对市场没有独到的见解就意味着没有交易。这与Mehra和Prescott[2]的设置形成对比，在这两个地方，没有一家公司对市场有任何看法。对他们来说，金融产品的价值来自其与消费的协方差。

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nandehutu2022

2022-5-8 20:36:23

这些代理的策略最好描述为对冲（平滑消费），而不是投资。图1:Damodaran的隐含权益溢价（年化复合收益）[24]。这些记录从2008年9月开始按月更新。图中最后一个数据点的日期为2015年4月。这些数值在每个月初被引用。在我们的计算中，我们将其解释为每个月的第一个工作日。结果2。1预期溢价股票溢价之谜是关于股票在债券之上已经实现的表现。然而，实现的性能仅是一半。投资者确实有预期。这些期望必须是合理的。如果没有这一点，这些投资几乎没有机会启动，更不用说长期生存了。我们必须了解投资预期保费。图1显示了Damodar an[24]使用SPX数据报告的预期股权溢价的独立经验报价。我们发现这些数值与Mehra和Prescott的历史记录一样大——至少在[2]中引用的每年0.35%以上一个数量级。本节的目的是解释这些价值观。利用（3）的公式，我们可以写出投资者期望的持续收益率asER=Zb（x）ln F（x）dx。（6）让我们选择x作为投资于某些股票的一单位财富的总回报。选择x后，股权投资的回报很简单：F（x）=x。（7）图2：隐含风险平均值低于3。实线和虚线显示了通过将等式（8）和等式（10）R分别与图1的数据进行协调而获得的R值。Mehra和Prescott认为投资者具有恒定的相对风险厌恶，R。在这种情况下，等式（6）变成（见附录I中的等式（A4））ERR=价格（xR）价格xRR

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2022-5-8 20:36:28

（8）为了计算这个数量，我们只需要能够对电力支付进行定价，xR。关于这一点，我们使用了行业标准的静态复制方法和普通选项（参见参考文献[25]和附录II）。就市场信息而言，这种复制需要隐含的波动率曲线，其到期日与支付时间相同。根据Damodaran[24]，他对保费的报价准确地反映了未来五年内的详细市场信息（如市场隐含股息）。同样，我们的SPX波动面使用的是到期日长达五年的交易所交易期权。图2上的实线描绘了从调节eq获得的R值。（8）图1中的数据使用了5年波动曲线的完整历史记录。为了验证我们计算的稳健性，减少对市场数据源的依赖，并开发一个更透明的计算示例，我们还考虑了波动率市场m（x）=DFxσ√2πexpn-（ln x）- u）2σo，u=r- σ/2，（9）图3:SPXT 5年期货币远期隐含波动率值（年化）。其中DF是贴现因子，r是无风险回报，σ是波动率。在这种情况下，ERR被简化为一个简单的解析表达式（见附录I中的等式（A7））：ERR→ ERLNR=r+（r- 1/2)σ. （10）这为我们提供了（R）预期股权溢价的大致估计- 1/2)σ.图2上的虚线显示了R的值，该值等于保费的年化值（ERLNR）-r）使用图1中的相关引用值。在本次计算中，我们使用了货币forwar d的5年隐含波动率（为方便起见，在图3中显示）。图2上的两个图表都显示了良好的一致性，表明了我们的计算的稳健性。Mehra和Prescott在其开创性的pa per[2]中提出，RMA的可接受值必须低于10。

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2022-5-8 20:36:32

在fact中，他们引用的所有支持其论点的R的实际估计值都低于3。这与国际体操联合会的观点非常一致。2.即使对波动性知之甚少，标准假设为20%的典型股票波动率，高达3的风险规避值允许我们解释连续复合年回报率高达10%的溢价。我们的结论是，就投资者的预期而言，定量结构与观察到的股权溢价是一致的。风险规避数据通常来自于实验，在实验中，人们被呈现出单一交易，就像伯努利最初对圣彼得堡悖论的研究一样。有人可能会说，对这些数据的所有细分解释都应该使用类似的单一贸易视角。2.2已实现溢价在上一节中，我们对投资者预期的权益做出了合理解释。我们还注意到，投资者预期的溢价与实际实现的溢价在相同的范围内下降。在本节中，我们想了解这种情况是如何发生的：投资者的预期是如何实现的，投资者所做的只是将资金留在股票中。设St为某个股票指数在时间t时的总回报值。股票的回报可以任意划分为N个想象的再投资步骤：SN=S·SS·SS·SN-1.（11）定义xi=Si/Si-我们计算n=SNYi=1xi=SePNi=1ln xi=SeN·Rate，（12）其中Rate=NNXi=1ln xi。（13）现在让我们用标准的统计方法来研究这个数量。在这种方法中，单个元素{xi}被视为具有某些（可能未知）分布P（X）的随机变量X的实现。

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2022-5-8 20:36:35

为了使基本统计概念具有实用意义，假设大数定律成立。在这个框架中，随着N的增加，平均值e（13）几乎肯定会收敛到期望值：Ratea。s-→ZP（x）ln x dx。（14）将其与公式（6）进行比较（记住，对于股权投资，F（x）=x）。我们发现，当投资者的市场信念与实际相符时，即当b=P时，就可以获得预期的回报。正确的信念确实是一个非常自然的条件，让现实的回归者与期望达成一致。事实证明，同样的条件，b=P，决定了股权投资者必须具备的风险规避水平。事实上，将bo t h F和m代入等式。（4-5）将b和R之间的联系留给我们。设置b=P决定R的值。我们应使用“历史”或“已实现”这两个词来引用R的值（因为它们是从已实现收益的分布P中暗示出来的）。遵循Mehra a和Prescott[2]，我们希望计算这些风险规避的历史值，并检查它们是否现实。在我们这样做之前，让我们简单地讨论一下等式（11）中的分区选择。尽管我们可以自由地研究任何这样的划分，但有些选择比其他选择更具吸引力。N非常小的分区是没有用的，因为它们不能提供足够的数据来实现统计意义上的收敛（14）。如果单个元素{xi}彼此完全独立，则非常大的相反极端是正确的。将我们带到高频交易领域，通常情况下，人们的心态与长期投资截然不同。理想情况下，我们希望将重点放在最小可能的N上，该N足够大，以确保收敛（14）。总和（13）与其平均值（14）的标准偏差为N-1/2.

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2022-5-8 20:36:38

为了使总和（13）的第一个重要数字以合理的概率出现，收敛必须将标准偏差降低一个数量级（N-1/2~ 0.1). 这意味着我们必须选择不低于100的N。我们设法找到SPXT（SPX的总回报版本）2000年5月17日的完整市场数据，包括波动率表面。在撰写本文时，这是大约15年的数据（每日记录）。一些研究人员可能会认为需要更长的历史记录。然而，15年的投资已经达到了许多人认为可行的极限，所以我们选择接受它。将15年的全部再投资历史（11）视为一系列两个月的再投资，我们得到N=90个再投资周期。相应的返回值{xi}Ni=1可以用作P（x）的蒙特卡罗化。正如上面所讨论的，这一数量的数据仅足以从预期（14）的角度讨论（13）这样的平均值。使用Eqs。（4）（5）对于简单股权投资，F（x）=x，wecomputeR=d ln fd ln F=d ln（b/m）d ln x=mbbm′xx。（15）从理论上讲，这为我们提供了有关投资者的全部风险平衡。然而，现在我们只有最低限度的统计数据。因此，正如我们之前的许多研究人员所做的那样，我们选择关注风险规避的整体水平，并将风险规避曲线形状这一非常有趣的话题推迟到进一步的研究中。作为整体风险规避的衡量标准，我们考虑平均ibdef=ZR（x）b（x）dx。（16）将上述两个等式加在一起，得出（见附录III中的等式（A18））hR ib=-1.- hx（lnm）′xib。（17）这个公式不太直观，所以在使用它之前，让我们花几行时间来理解它。为此，让我们看看它对对数正常市场隐含的分配意味着什么。代入等式。

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2022-5-8 20:36:43

（9）在上述公式中，我们推导出（见附录I II中的公式（A21）hln x ibLN=r）+hR ib- 1/2σ. （18）将其与我们上面研究的等式（10）进行比较。我们认为公式（17）是公式（10）的推广。概括的程度是相当大的：市场可以有一个隐含的分布，投资者可以有一个任意的风险规避。然而，请注意，P的蒙特卡罗定义{xi}Ni=1确保预期（14）的数值计算与实际回报率（13）完全一致。图4：历史风险规避。10年移动平均线按正文中所述的双月网格计算。在15年的历史中，这会产生30（或29）个值的序列（取决于上一时期数据的可用性）。现在，我们回忆起采用逻辑路线，其中b（x）=P（x），并使用公式（17），我们得到了风险规避总体水平的最终公式hr iP=-1.-NNXi=1xiln m（xi）′xi（19）如果我们有足够的市场数据来计算m，我们现在可以计算任何一天的人力资源投资回报率（见附录四）。然而，我们应该记住，我们的投资者从15年的角度来看，完全忽略了市场的所有中间更新。此类投资者的风险规避水平应以代表大部分实际投资期的方式进行衡量，且对中间市场波动不敏感。下面我们报告两组实现这一目标的实验。在我们描述实验之前，让我们回顾一下我们选择将历史投资视为两个月再投资的序列。这有一个有用的副作用。一个单一的实验跳过了大部分可用的市场数据，只使用了两个月间隔所需的数据。

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2022-5-8 20:36:46

跳过的市场数据可用于重复实验（总计42次）——我们只需要在有数据的前两个月内的不同工作日开始两个月的序列。在第一组实验中，我们考察了整个15年投资期内的人力资源平均价值。这些平均值在图4中以水平线l（绿色）表示。不同的线条对应于42次不同的实验。我们认为所有42个级别的风险规避都是完全现实的。这是本节乃至本文的主要数值结果。我们看到，风险厌恶程度完全正常的投资者获得了观察到的股权溢价。第二组实验纯粹是为了诊断。我们通过用10年移动平均值代替15年平均值来定义这些实验。目的是检查我们的结论相对于设置的显著变化的稳定性。移动平均实验也让我们对风险规避的期限结构有了一个大致的了解，尽管严格来说，这些问题不在本文的讨论范围之内。图4中坚实的上升趋势（红色）线是2000年5月17日开始的投资的10年平均人力资源流动指数的双月报告，这是我们有市场数据的第一天。这项实验的42次运行是由横跨同一个g图的微弱虚线绘制的。虽然这个实验只使用了数据的2/3（15年中有10年），我们可以预期会有显著的额外噪音，但我们看到风险规避水平仍然是现实的。这一增长趋势与图2所示的预期相符，也与全球市场上越来越厌恶风险的趋势相符（从危机前的边缘疏忽到危机后的强烈厌恶风险）。

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2022-5-8 20:36:49

这些定性观点支持我们对主要结果的信心。我们对历史已实现保费的分析到此结束。更多技术说明和观察见附录VI.3讨论经济学是一个由战略构成的生态系统。一个人可以主持许多策略，一个策略可以在许多人中流行。每种策略都是合理的。然而，人们可能会犯错误，并且可能有复杂的性格（被冲突策略占据）。高级策略的生存依赖于学习机制。这就给策略带来了压力，使其变得有意义，即实现由现实生活中的表现证实的可理解的预期。在本文中，我们使用基于理性学习的定量结构框架来理解股权投资。我们详细展示了风险厌恶程度一般的投资者是如何预期看似很高的股权溢价的，以及这种预期如何在长时间内实现（从而自我确认）。换句话说，我们的方法既能预测股权溢价的正确价值，又能为其在现实世界中的持续性提供一种机制。基于消费的模型无法解释观察到的股权溢价（股权溢价之谜），这意味着此类模型无法捕捉相关行为。在fact中，我们看到不需要用消费的概念来解释保费。在几乎看不到或根本看不到市场的情况下进行消费平滑，最好用对冲来描述。观察到的股权溢价不是由对冲引起的。这是投资的标志。股权溢价的定量解释总结了本文的主要部分。除了股权投资，我们本可以轻松地研究任何其他投资策略。事实上，我们几乎可以研究任何支付函数。

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2022-5-8 20:36:52

看来，我们可能有一个通用的工具，可以从个体战略的层面来审视经济生态系统。现在，让我们通过了解这种工具的操作和当前的局限性来总结本文。正如我们已经提到的，试图从微观层面理解经济学并不是什么新鲜事。大多数经济学家已经同意，理想理论应该反映战略的真正多样性。问题是，每一次接近理想的尝试都不可避免地面临着实用性的挑战。更详细的模型需要更详细的信息。传统上，节俭是通过特别简化来实现的：发明代表性代理，用美国方差图上的一个点代替投资的详细描述。由此造成的信息损失很难量化，甚至更难补偿，即使是最合理的假设。信息丢失不利于理解投资，因为投资对信息极其敏感。幸运的是，投资本身提供了很多信息。我们看到它反映在它们的结构中——支付功能。支付功能可能看起来非常简单，也可能非常复杂——这样的外观并不重要。重要的是，我们知道在所有可能的情况下的确切报酬，这给了我们很多工作的信息。当我们使用Payoff函数得出投资者的观点时，它的深层信息内容变得既明显又有用（参见公式（4），以获得增长型投资者orEq。（A3）参见附录I中更一般的情况）。这些观点非常详细——它们是完全概率分布。这就是我们维护公共关系的方式。一方面，我们将投资者视为个体，他们可以自由学习，可以表达他们认为合乎逻辑的任何观点。

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2022-5-8 20:36:56

在另一方面，我们不允许猜测这些观点到底是什么。重要的是，这些视图不是假设的，它们是使用Payoff函数的知识推导出来的。关于在经济学中使用我们的方法的讨论不可避免地会导致市场均衡的问题。事实上，如果一个模型中的所有投资者都被允许有他们想要的任何观点，那么该模型如何解释市场价格的存在呢？事实证明，可以很容易地导出唯一均衡市场（见附录V）。重要的是要记住，定量结构有其自身的动机，这与经济学是完全不同的。定量结构的内在动机是设计高质量的金融产品。独立动机增加了我们对股权溢价分析的可信度，但也有局限性。最终，量化结构应包括对冲和投资。然而，目前这种方法仅限于投资。对套期保值策略的深入理解（足以将其打包为金融产品）是未来工作的一个重要里程碑。附录I差事公式（5）的解析表达式可以改写为d ln f=R d ln f。（A1）对于常数R或任意R的情况，上述方程立即积分得到F（x）∝ erlnf（x）=FR（x）。（A2）这个结果与等式（4）一起给出了投资者相信的分布b（x）=f（x）m（x）=eR ln f（x）m（x）ReR ln f（y）m（y）dy，（A3），其中我们使用了b（x）被归一化的事实。对于预期的对数回报，wecomputeERR=Zb（x）ln F（x）dx=ZZR、其中Z=ZFR（x）m（x）dx。（A5）在本文中，我们关注的是一项直接的股权投资。在这种情况下，F（x）=x，Z基本上成为m的Rth矩。

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2022-5-8 20:37:00

在对数正态市场隐含分布的特殊情况下，这可以通过分析计算得出（注释见等式（9））（Z=ZxRm（x）dx=DF·expnRu+Rσo，（A6），在这种特殊情况下，ERRbecomesERR→ ERLNR=u+Rσ。（A7）II误差的数值计算根据式（8），我们需要计算价格（xR）的能力。从一个更一般的情况开始是有帮助的：让我们考虑一个二次微分函数G（x），而不是xR。使用流行的符号（·）+=max（·，0），我们可以将g（x）写成a代表m，这在实际应用中是众所周知的（见参考文献[25]中的等式（1）），g（x）=g（k）+g′（k）·（x）-k） +Zkg′（y）（y）- x） +dy+Z∞kg′（y）（x）- y） +dy。（A8）因为x是投资于股票的一个单位财富的总回报，所以价格（x）=1，并遵循价格（g）=g（k）·DF+g′（k）·1-k·DF）+Z∞g′（y）O（y，k）dy，（A9），其中O（y，k）是由普通期权价格（看跌期权和看涨期权）O（y，k）组成的函数=行使y，y的看跌期权的价格P（y）≤ 行使y，y>k的看涨期权的kprice C（y）。让我们来看看。公式（A9）简单化toPrice（g）=g（1/DF）·DF+Z∞g′′（y）O（y，1/DF）dy。（A11）替换为g（x）=xRwe computePrice（xR）=DF1-R+（R- R） Z∞你-2O（y，1/DF）dy，（A12）和价格（xR）R=-DF1-Rln DF+（2R- 1） Z∞你-2O（y，1/DF）dy+（R- R） Z∞你-2O（y，1/DF）ln y dy。（A13）最后，等式（8）变得更简单=-DF1-Rln DF+（2R- 1） I（R）+（R）- R） I（R）DF1-R+（R- R） I（R），（A14），其中I=Z∞你-2O（y，1/DF）dy，I=Z∞你-2O（y，1/DF）ln y dy。（A15）这正是Err作为R的函数使用o pt离子价格计算的方法。然后将保费的年化值（ERR+ln DF）与独立报告值相匹配（见图1和参考文献[24]）。这是通过使用简单的二分法求解R来实现的。以这种方式表示的R值在F ig中绘制为实线。2.III推导公式（15）代入公式。

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2022-5-8 20:37:03

（16） giveshR ib=Zmbm′xx dx=Zxm dbm. （A16）通过部件进行集成，而不是覆盖xb∞= 0，我们得到hr ib=-Zbmd（xm）=-Zbm（mDX+xDM）=-1.-Zb xdmm。（A17）最后，使用公式（16）定义的符号，我们得出hr ib=-1.- hx（lnm）′xib。（A18）在本文的正文中，我们用一个特殊的例子来说明这个表达式，即alog正态市场隐含分布。为了了解在这种特殊情况下会发生什么，我们使用等式（9）并推导（lnm）′xLN=- ln x-（ln x）- u）2σ+常数′x=-十、-ln x- μσx（A19）代入式（A18）给定的ibLN=hln x ib- μσ=+hln x ib- rσ。（A20）重新排列我们导出的术语+hR ib- 1/2σ. （A21）IV hR-Ip的数值计算看等式（19），hR-Ip的计算很简单，只要我们能计算数量ln m（xi）′xi=m′（xi）m（xi）。（A22）设C（K）为行使K的看涨期权的价格。它通过定价公式C（K）=Z（x）与m有关- K） +m（x）dx（A23），这意味着m（xi）=C（十一）xi（xian\'m）=C（十一）xi（A24）使用市场数据计算期权价格作为行使的函数，这些数量很容易通过数值差异找到。在本文中，我们使用了直接的差异近似：ln m（xi）′xi=林→0-0.5摄氏度（xi）- 2h）+C（xi）- h）- C（xi+h）+0.5·C（xi+2h）h·C（xi）- h）- 2C（xi）+C（xi+h）. （A25）V均衡市场让我们考虑一个金融产品市场，这些产品的价值来自于一些变量。每一位投资者我都会通过购买一款具有一定支付功能的产品来投资widollars。

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2022-5-8 20:37:07

对所有市场参与者（包括市场参与者）进行总结，为了简单起见，假设不存在违约，我们计算Iwifi（x）=W/DF，（A26），其中W=Piwi是投资于市场的总金额，DF是货币市场贴现系数。这一论点的核心是投资者等价原则的直接应用（或者更准确地说，是一个例证）[18]。这一原则是一种思维工具，它表明，对于每个投资者来说，都可以想象一个选择相同产品的增长优化投资者。当所有注意力都集中在投资者的实际行动上时，这是有用的。假设βi（x）是一个增长优化投资者必须持有的信念，才能购买Fi（x）。从数学上讲，βi（x）=Fi（x）m（x），（A27），其中，假设价差可以忽略不计，m（x）是我们正在寻找的市场。将其代入式（A26）中，我们看到m（x）由表达式m（x）=DFWXiwiβi（x）给出。（A28）注意，m（x）是由投资者的行为唯一决定的。事实上，我们可以想象用同等的（即购买相同的产品）增长优化投资者取代每个投资者，并达到相同的市场m（x）。为了完整性，我们注意到这个推导并没有说明平衡的稳定性。事实上，我们看到每个市场参与者都会对市场产生一些影响。这种系统中的市场动态将取决于每个投资者的规模，以及新发现的信息如何在不同规模的市场参与者之间传播。Lux和Westerhoff论证了共生因子之间这种相互作用的重要性[26]。VI杂项注释和观察VI。1数据就数据要求而言，我们的方法在两个重要方面与基于消费的理论不同[2]。一方面，我们不需要任何消费数据。

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2022-5-8 20:37:10

另一方面，我们需要股票期权市场隐含的波动率的历史记录。期权隐含波动率表面在金融业中无处不在，SPX期权市场尤其发达。从2000年5月17日到2015年4月27日，本pa中使用的历史数据为每跨度almo st 15年。这一时期包括2007-2008年的全球金融危机，这场危机降低了历史股权溢价的幅度。然而，这种降低的强度或持续性不足以消除本文所用数据集中的大量股权溢价。在由水平线（绿色）表示的42项投资中，onFig。4.表现最差和表现最好的公司的年化股本溢价分别为2%和2.6%。所有这些值都远高于0.35%，Mehra和Presott报告称，这是主流方法可以解释的上限[2]。六、 2.让我们邀请读者回到关于等式的讨论中来。（17-18）将预期保费和已实现保费的两项独立调查结合在一起。尽管在意义和技术挑战上存在根本差异，但这两种类型的介词在数学上非常相似。本质上，它们都衡量了某些分布（投资者相信b或已实现P）与市场隐含m之间的差异。当投资者的信念正确时，即当b接近P时，这两个溢价在数值上是一致的。在我们的方法中，预期溢价和实际溢价之间的数字一致性是非常重要的因素，因为它证明了股权投资形成了可实现预期的可行策略。

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2022-5-8 20:37:14

为了生存，个体战略不必解释整个经济体总消费的波动性，但它必须实现自己的预期。我们赞同经典观点，即科学理论必须是可行的[27]。要改变你的方法，你需要找到一个纯粹的投资策略，该策略系统性地不能实现自己的预期业绩。在竞争激烈的经济中，这样一种战略的长期生存确实会构成一个有趣的谜题。这可能是图4中一些实验的风险厌恶度略低于z ero的部分原因，尽管平均值（由水平绿线表示）的显著正值表明，这也可能只是噪声。参考文献[1]A.Soklakov，“为什么是定量结构？”，2015年7月。arXiv:1507.07 219。SSRN-id2639383。[2] R.Mehra和E.Prescott，“股权溢价：一个谜”，《货币经济学杂志》第15期，第145-161页（1985年）。[3] R.Nelson和S.G.Winter，“经济学中的进化理论”，经济展望杂志，16（2），23-46（2002）。[4] I.V.Evstigneev，T.Hens和K.R.Schenk Hopp\'e，《金融市场手册：动力学和Evo lut ion》第9章，金融系列手册（ed.W.Ziemba），第507-566页（2009年）。也可在线获得athttp:ssrn。com/abstract=11550 14。[5] A.Damodara n，“投资哲学：成功的战略和使其发挥作用的投资者”（威利，2003年；第二版，2012年）。[6] R.J.Shiller，“消费、资产市场和宏观经济波动”，卡内基-罗彻斯特公共政策系列会议17，2 03-238（1982）。[7] R.Mehra和E.Prescott，《金融经济学手册》（爱思唯尔：荷兰阿姆斯特丹，2003年），第一卷B部分，第14章，887-936页，“回顾中的股权溢价”。[8] F。

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2022-5-8 20:37:17

Azeredo，“股权溢价：一个更深层次的谜团”，《金融年鉴》第10卷第3页，第347373页（2014年）。[9] A.B.Abel，“异质信念下的资产价格：平等的含义”，工作文件9-89，彭西尔瓦尼亚大学罗德尼·L·怀特金融研究中心，1988年9月。[10] A.B.Abel，“习惯形成下的资产价格与攀比”，《美国经济评论》80，38-42（1990）。[11] S.Benartzi和R.H.Thaler，“短视的损失规避和股权溢价之谜”，《经济学季刊》110（1），7392（1995）。[12] J.Y.Campbell和J.H.Cochr ane，“习惯的力量：基于消费的股市行为解释”，《政治经济杂志》107205-251（1999）。[13] F.Black和M.Scholes，“期权和公司负债的定价”，政治经济学杂志81（3），637-654（1973）。[14] R.Merton，“理性期权定价理论”，贝尔经济与管理科学杂志（兰德公司）4（1），141-183（1973）。[15] D.伯努利，“新门苏拉分类样本理论”（1738），再版《经济学人》第22卷，第23-36页（1954年）。[16] J.von Neumann和O.Morgenstern，“博弈论与经济行为”（普林斯顿大学出版社：普林斯顿，新泽西州，1944年；第二版，1947年；第三版，1953年）。[17] W.F.Sharpe，“资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论”，《金融杂志》1964年9月19日，第425-442页。[18] A.Soklakov，“结构弹性理论”，风险，2016年12月，81-8 6。arXiv:1304.7535。SSR N-id2262963。[19] J.L.Kelly Jr.“信息时代的新诠释”，《贝尔系统技术期刊》，917-26（1956）。[20] A.So klakov，“支付结构的贝叶斯经验”，R isk，2011年9月，115119。

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