隐含偏斜的稳健交易

2022-5-27 14:46:54

隐含SkewSergey Nadtochiy的强劲交易*和Jan Obl''oj+当前版本：2016年11月16日摘要本文提出了一种构建（静态）共同到期欧洲期权组合的方法，其价格符号由相关隐含波动率的偏度水平决定。该属性不考虑特定模型的有效性，即该方法是稳健的。该策略是明确给出的，只取决于一个人对隐含偏度未来价值的信念，这是一个可观察的市场指标。因此，我们的方法允许使用现有的统计工具来制定信念，为更抽象的数学环境提供了一种实用的解释，在这种数学环境中，信念被理解为一系列概率测度。本文建立的结果的一个应用是，在很大程度上独立于其他市场因素，对隐含偏斜的未来变化发表看法的方法。我们的结果的另一个应用提供了对[10]中提出的障碍选项的模型无关的超复制和子复制策略的具体改进，该策略利用了隐含基夫的给定信念。我们的理论结果通过标准普尔500指数期权的历史价格进行了实证检验。1引言在本文中，我们提出了一种构造（静态）共同到期欧式期权组合的方法，其价格符号由相关隐含波动率的偏度水平决定。我们将隐含基度（或隐含偏斜）定义为场外（OTM）看涨期权的隐含波动率与饱和OTM看跌期权的隐含波动率之比。构建目标投资组合时，无论隐含波动率的确切值如何（例如。

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2022-5-27 14:46:58

无论整体波动水平如何）。根据对这个术语实际含义的解释，现有的关于隐含偏斜的文献可分为三大类。隐含偏差的第一种解释是衡量未来固定时间（即到期日）基础价值风险中性分布的不对称性。这一指标是通过相关分布的前三个时刻确定的，而每一个时刻又可以计算为相应的（静态）欧洲期权组合（具有相同的到期日和多次行使）的价格。CBOE在构建其倾斜指数时采用了这种定义，其实证表现在[3]中进行了分析。然而，值得一提的是，CBOE倾斜指数并不对应于可交易投资组合的价格：其价值是由几个欧洲期权静态投资组合价格的非线性函数给出的。第二种方法是通过基础收益率与其（现货）波动率收益率之间的相关性来衡量隐含偏差。事实上，在经典随机波动率模型中，短期货币隐含波动率的导数*密歇根大学数学系+牛津大学数学研究所。该研究获得了欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议提供的资金。作者还感谢牛津大学奥克斯福德曼定量金融研究所和圣约翰学院的支持。log moneyness变量由上述相关性确定。这种关系可能无法在实践中保持，导致潜在的交易机会：例如，[19]提出了一种从这些变化中受益的交易策略。

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2022-5-27 14:47:01

最后，本文采用了隐含偏斜的另一种解释：即隐含偏斜定义为OTM隐含波动率（看跌期权）的比率。bothamong从业者和学者（参见[4]、[11]）普遍采用的方法是，通过在“风险逆转”投资组合中打开多头或空头头寸，以从此类隐含的变化中获利：即静态投资组合，包括OTM看跌期权中的平仓和共同到期的OTM看涨期权中的空头头寸。这种组合可以与基础中的静态位置相结合。然后，适当选择这三种工具的权重，可以确保投资组合的价格对潜在波动率变化和隐含波动率表面（或其对数）的平行变化不敏感（即在有限时间内渐近）。同时，此类投资组合的价格在隐含偏斜中是局部（在很短的时间段内）单调的。请注意，这样一个投资组合可以为两种选择中的任意一种构建：一种用于OTM看涨期权，另一种用于OTM看跌期权。在本文中，我们展示了如何构造一个静态风险反向投资组合，只要隐含偏差保持在选定的下限（上限）之上（之下），其价格符号对隐含波动率曲面的任意变化不敏感。投资组合的这些属性在很小的时间段内有效，但不是很小。事实证明，为了实现风险逆转投资组合的预期属性，除了确定两个OTM期权的权重外，还必须限制两次选择。

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2022-5-27 14:47:04

特别是，给定任意的OTM put（调用）罢工，我们的方法将显示如何选择适当的OTM调用（put）罢工。本文给出的结果不需要对基础或隐含波动率表面的分布进行任何假设。因此，他们在金融数学中给出了稳健或独立于模型的方法的明确示例。许多研究人员（参见[30]的开创性工作，以及例如[28]的广泛讨论）一直对期权价格的特性感兴趣，这些特性独立于任何模型规范。特别是，许多这样的工作旨在结合现有的市场约束或信息，以便在没有具体假设的情况下获得有趣的房地产。这些约束的主要例子是标的证券上流动交易期权的市场价格。由此产生的属性可能包括对非流动性期权（如障碍期权）价格的限制，以及相关的次级和超级复制策略：参见例如【9】、【27】、【10】、【20】、【21】、【6】、【25】、【1】、【12】。上述关于模型独立定价和合规性的工作虽然具有根本利益，但由于其产生的无套利价格的间隔通常很宽，因此受到了缺乏实际相关性的批评。因此，即使独立于模型的hedgingstrategies被证明与经典的delta-vega对冲具有竞争性，参见[33]，开发能够在独立于模型和特定于模型的设置之间插值的健壮框架也是至关重要的。解决这一问题的经典概率方法是考虑模型族（即概率测度），从单个模型到所有可能模型的类别可能有所不同：参见例如[24]、[7]。

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2022-5-27 14:47:08

另一种方法是不关注任何概率模型，而是关注观测数量的可能路径集（例如金融资产的价格）。后者可能在很大（所有路径）和很小（某些固定模型的支持）路径集之间变化。这里的关键观点是，应使用市场可观察和有意义的数量确定可行的路径。这应该允许人们将现有的统计方法与专家观点一起应用于时间序列数据，以限制路径的范围：例如参见[29]、[2]、[31、32]、[35]。在此，我们考虑一个框架，其中一套可交易工具包括基础工具和一套欧洲期权。这之前在所谓的市场模型的研究中已经做过，参见[34]、[14]、[16]、[15]、[13]。虽然这些工作侧重于固定的概率设置，但在此，我们追求稳健的方法。我们没有假设任何特定的概率特征，而是规定了资产价格路径的约束条件。更具体地说，我们考虑对隐含偏斜的信念，因为后者是一个市场可观察到的利益量，可以合理预期许多从业者对其未来行为有看法。由此产生的理论框架非常简洁：它允许在完全无模型和（经典）模型特定设置之间进行连续插值。如上所述，本文建立的结果的一个应用是，在很大程度上独立于其他市场因素，对隐含偏斜的未来变化进行交易的方法。我们的结果的另一个应用提供了对[10]中提出的障碍选项的与模型无关的超复制和子复制策略的具体改进，该策略利用了一组关于隐含偏斜的给定信念。

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2022-5-27 14:47:12

我们的理论结果得到了实证检验：在此，我们使用标准普尔500指数期权的历史价格来实施拟议的风险逆转投资组合，并验证其价格具有所需的属性。最后，为了实现我们的目标，我们引入并分析了一系列新的模型，称为分段常数局部方差Gamma模型（相关结果请参见[18]）。事实证明，这是相当了不起的。首先，它们允许明确计算欧洲期权的价格和短期隐含波动率。其次，这些模型考虑了它们产生的隐含波动率的偏差，这足够灵活，可以提供良好的数据，以及经验观察到的隐含偏差的上限和下限。第三，该家族的任何模型都有一个明确的静态对冲策略，通过弱反射原则构建（参见[17]、[5]）。我们认为，这些结果具有独立的意义。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们讨论了一个示例，该示例为拟议的交易策略提供了依据，并介绍了它们的一个应用程序。第3节形式化了关于隐含偏度的信念通知。第4节介绍了为给定信念构建所需投资组合所需的辅助模型类。这些投资组合在第5节中构建，其中还展示了如何使用它们来交易隐含偏差。第6节介绍了拟议投资组合的另一个应用，涉及障碍期权的超复制和子复制。第7节包含实证分析。最后，我们在第8.2节案例研究中总结了我们的结果：向上和向外的超级对冲我们从一个激励示例开始，该示例说明了如何在实践中使用对隐含偏度的信念。

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2022-5-27 14:47:15

我们考虑一个交易员，他想用支付（K）对冲向上卖出（UOP）期权的空头头寸- ST）+{HU>T}，（1）其中T>0，0<K∨ S<U且HU=inf{t∈ [0，T]：St≥ U}。我们假设交易者不想对风险资产的动态做出任何特定的概率假设，但相信资产价格是连续的，并且隐含偏差的符号将随着时间的推移保持不变。我们在这里展示了如何利用这些信念来改进[10]的模式独立方法。为简单起见，假设只有两个行距K<U和K=U/K>U的欧式期权在任何时候都是流动交易的，并将其在时间t的Black-Scholes隐含波动率表示为∑mktt（Ki，t-t），i=1，2。[10]中提出的model–independentsuper复制策略基于以下不等式：（K- ST）+{HU>T}≤U- KU公司- K（K- ST）+-K- KU公司- K（ST∧胡- U），（2）只要SHU=U，这是可以满足的。第6节将更详细地讨论这一策略。（2）右侧的第一项是（U）中的静态位置- K） /（U- K）行使期和到期日为T的看跌期权股份。（2）中RHS上的第二项是（K）中的静态位置-K） /（U-K） a ForwardStreak的股票在U到期，到期日为T，在HU时清算。这是免费的，因为SHU=U。制定这一战略所需的初始资本是isU- KU公司- KPmkt（K，T）-K- KU公司- K（S）- U）。从（2）很容易看出，如果基础路径是连续的，上述策略超级复制了UOP期权的收益。因此，它允许人们对冲在Uoption中的空头头寸风险。现在让我们通过指定一些关于未来隐含偏斜的较弱信念来构建此策略的改进。

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2022-5-27 14:47:20

也就是说，我们假设交易者相信，只要St=U，t≤ 市场隐含效用将呈现非负偏差：∑mktt（K，T- t）≥ ∑mktt（K，T- t）。（3）回想一下Black-Scholes模型中众所周知的静态套期保值公式（参考文献[8]）意味着：Pbs（U，K，T- t、 σ）=KUCbs（U，U/K=K，t- t、 σ），σ≥ 0，（4）其中Pbs、CBS表示Black-Scholes模型中的看跌期权和看涨期权价格。将此与beliefsabove相结合，立即yieldsPmktt（K，T- t）-KUCmktt（K，T- t）≥ Pbst（K，T- t、 σt）-KUCbst（K，T- t、 σt）≥ 0，它必须适用于St=U的任何t，我们取其中，例如σt=（∑mktt（K，t-t） +∑mktt（K，t-t））/2。然后，对【10】中提出的超级复制策略的改进包括卖空，最初是额外的（U-K） K（U-K）共同到期的看涨期权在K点买入，并在HU点平仓（如果HU<T）。如果在时间T之前基础未触及U（即HU≥ T），则额外通话的回报为零。如果基础在T之前达到U（即HU<T），那么在HU时，超级复制产品组合已接近a利润：U- KU公司- KPmktHU（K，T- HU）-（U）- K） K（U- K） UCmktt（K，T- HU）≥ 很明显，由于我们做空看涨期权，新策略的初始价值小于原始策略的初始资本。该策略利用信念（3）改进了[10]的模型独立方法。在我看来，由于两个因素，显式结构是可能的。首先，我们可以确定（3）中信念的边界情况，它在某种意义上“支配”了所有其他一致的市场情景。其次，该边界情况对应于一个隐含波动率曲面，即Black-Scholes模型，该模型允许显式静态对冲公式（4）。这两个观察结果是至关重要的。

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2022-5-27 14:47:24

我们将在下文中看到，它们可以扩展到允许更普遍的信念，特别是导致第6节中描述的更普遍的超级复制算法。为了开发一种扩展上述案例研究的通用方法，我们需要为基础描述一个方便、灵活的鞅模型族，一方面，它可以生成一般信念的支配面，另一方面，根据（4）的精神，允许显式静态Hedging公式。我们在第4节中开发了这样一系列模型。最后，我们强调，（3）以及超边缘策略对于隐含波动率的缩放是不变的，并且只依赖于隐含偏斜。我们在本文后面的部分中说明，通常会出现相同的现象：超级复制策略取决于支配曲面的偏度，但它对于该曲面的缩放是鲁棒的。因此，Uoption的超级复制策略就是交易隐含偏差的一个示例。3市场设置和隐含偏斜的信念3.1市场设置我们考虑由基础可交易资产组成的市场，其价格过程用（St）t表示≥0和一系列欧洲看涨期权和看跌期权≥ 2个可用罢工，K={K，…，KN}，具有任意到期日，其价格过程表示为{（Cmktt（Kj，T- t），Pmktt（Kj，t- t））t≥0}。即，在任何时间t≥ 0，标的证券可以以St的价格购买或出售任何数量，任何行使权和到期日T>T的欧洲看涨期权可以以Cmktt（Kj，T）的价格购买或出售任何数量-t）或Pmktt（Kj，t-t），分别为。这些过程背后没有特定的概率模型。相反，我们直接处理它们的容许路径集。

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2022-5-27 14:47:30

事实上，为了方便起见，我们通过隐含波动率面来表达时间t的欧式期权价格：∑mktt={∑mktt（Kj，·）：（0，∞) → （0，∞)}Nj=1。（5）为简单起见，我们假设账面成本为零（或者，等价地，所有价格均以阿努美雷尔为单位）。然后，通过隐含波动率确定t时的买入和卖出价格，如下所示：Cmktt（Kj，τ）=Cbs（St，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ）），Pmktt（Kj，τ）=Pbs（St，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ）），对于所有j=1，N和τ≥ 0，其中Cbs（S，K，τ，σ）和Cbs（S，K，τ，σ）分别是欧洲看涨期权和看跌期权的Black-Scholes价格，标的S、行使K、到期时间τ、波动率σ以及零利率和股息率的当前水平。请注意，上述定义尤其意味着满足输出调用奇偶性：Cmktt（Kj，τ）- Pmktt（Kj，τ）=St- 千焦。显然，上述代表远期合约的时间t价格，它只取决于持仓量，而不取决于∑mkt。我们说，如果K<St，行使K的看涨期权在t时在货币内（ITM），如果K=St，则在货币内（ATM），如果K>St，则在货币外（OTM）。看跌期权的术语类似，只是不等式相反。我们现在对每个市场价值（St，∑mktt）施加条件，以确保其不允许任何静态套利。定义1。如果以下条件成立，市场价值（St，∑mktt）是允许的，其中STI是一个非负数，∑MKTI如（5）所示对于任何j=1，N，存在严格的正极限∑mktt（Kj，0+）=limτ↓0∑mktt（Kj，τ）。o对于任何j=1，N- 1，我们有：Cmktt（Kj，τ）≥ Cmktt（Kj+1，τ），对于所有τ>0对于任何0<τ≤ τ和任何j=1，N，我们有：Cmktt（Kj，τ）≤ Cmktt（Kj，τ）。o对于任何j=1。

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2022-5-27 14:47:34

N- 1，我们有：Cmktt（Kj+1，τ）- Cmktt（Kj，τ）Kj+1- 千焦≥Cmktt（Kj，τ）- Cmktt（千焦-1，τ）Kj- 千焦-1.τ>0，其中K=0。（S，∑mkt）的容许路径是t的函数∈ [0，∞) 进入所有允许的市场价值集合，{（St，∑mktt）}。备注1（关于静态套利）。定义1的条件排除了使用期权的静态套利机会，但并不意味着期权价格与某些经典概率模型兼容，因为期权价格可能仍然包括一些较弱的套利机会，请参见【22，20】。备注2（关于动态套利）。请注意，通过上述（S，∑mkt）的容许路径的定义，我们允许允许动态套利机会的路径。我们可以进一步将允许路径集限制为基本上由某些鞅测度（对于S和选项）支持的路径集，并满足本文进一步介绍的其他约束，例如路径信念。第5节和第6节中的所有陈述都将符合这种修改后的可采性定义。在一些抽象的设置中，这种方法对于具有定价-对冲双重性是必要的，参见例如[12]。然而，在我们的设置中，类似于[28]，这是没有必要的，因为我们没有从经典概率意义上分析拟议交易策略的最优性。我们研究了（S，∑mkt）的容许路径集，并且在许多情况下，在t 7上引入了额外的连续性消耗→ （S，∑mkt）的每条路径都是对市场未来状态的认识：它决定了所有交易工具的未来价格。关键的是，稍后我们进一步限制可能的市场价值集，以便它们是可接受的，并满足通过对隐含可用性的信念所陈述的一些附加约束。

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mingdashike22

2022-5-27 14:47:38

这些信念预计来自对隐含波动率的统计观察，例如，可以采取置信区间的形式。以下小节将详细讨论这些问题。交易工具可用于构建投资组合，投资组合是欧洲期权和基础期权的线性组合，具有时变（调整）权重。静态投资组合具有恒定的权重，我们将自己限制为多次交易的投资组合。这既现实又允许通过随机积分的路径定义来规避问题，如[29，23]所示。我们假设定价算子是线性的：任何投资组合在时间t的价格都是其要素市场价格的相关线性组合。定义1和备注1意味着，任何终端收益函数（即其要素收益的相关线性组合）为非负的共同终端看涨期权、看跌期权和标的静态投资组合的价格在到期前的任何时候都具有非负价格。我们将在第5节和第6.3.2节关于隐含偏斜的信念的证明中隐式地使用这一观察结果。我们现在转向本文要研究的特定类型的信念。为了确定信念，我们考虑一系列函数：aj，bj：（0，∞) → （0，∞), s、 t。 aj（0+）=limτ↓0aj（τ），bj（0+）=limτ↓0bj（τ）∈ （0，∞), j=1，N、（6）确定市场隐含波动率偏度的界限。通常，我们有aj≤ bj，但没有必要强制执行这种不平等。定义2。给定一组函数{aj，bj}，如（6）所示，以及一个障碍U>0，我们定义了信念B*（T），对于任何T>0，作为所有隐含波动率曲面∑的集合，其允许常数c>0（取决于∑），满足∑（Ki，τ）≤ cbi（cτ），∑（Kj，τ）≥ caj（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。

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2022-5-27 14:47:42

（7）请注意，与罢工变量K相比，对货币性变量K/St中隐含波动率的值抱有信念是很自然的。这就是为什么信念是由w.r.t.一个给定的障碍U表示的。通常可以方便地假设，当St=U时，这些信念是可以满足的。尽管简单地假设Sti接近U，因此上述不等式具有正确的解释，但在某些情况下，我们需要考虑St6=U的上述信念。论文的主要结果中明确说明了后者。还要注意，对于∑∈ B*（T），我们可以从下面估计隐含偏度：∑（Kj，τ）∑（Ki，τ）≥aj（cτ）bi（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。（8）此外，对于任何c>0的情况，{caj（c·），cbj（c·）}生成的信念与{aj，bj}生成的信念相同。换句话说，信念B*（T）通过输入函数的偏度限制成员隐含波动率w.r.T.thebarrier U（定义为（8）的左侧）的偏度。然而，这些信念是输入函数不变的w.r.t.缩放。信念B*提供隐含偏度的下界。同样，我们引入了信念B*,它提供了隐含倾斜的上界。定义3。

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2022-5-27 14:47:47

给定一组函数{aj，bj}，如（6）所示，以及一个障碍U>0，我们定义了信念B*（T），对于任何T>0，作为所有隐含波动率曲面∑的集合，其允许常数c>0（取决于∑），满足∑（Ki，τ）≥ cai（cτ），∑（Kj，τ）≤ cbj（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）.很明显，任何∑∈ B*（T），满足其偏度上界：∑（Kj，τ）∑（Ki，τ）≤bj（cτ）ai（cτ）Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。请注意，信念B*（T）和B*（T）可以用一组函数定义{aj}或{bj}。我们引入这两个集合的原因是，如果aj≤ bj，区间[caj（cτ），~cbj（~cτ）]可解释为∑（Kj，τ）值的置信区间。然后，当{aj}接近零且{bj}增长到完整时，信念B*（T）和B*（T）包含越来越多的曲面，以任意偏度收敛到所有可容许隐含有用性的集合。另一方面，当aj=bj时，对于所有j，集合B*（T）∩B*（T）为空或包含具有相同短期偏度的隐含波动率（即τ和0）。从这个意义上说，我们在此开发的方法是在特定的市场环境（其中短期隐含倾斜度是唯一确定的）和模型独立的环境（其中隐含倾斜度可以取任意值）之间插值。每当B*（T）或B*（T）被调用，我们假设它是用一些屏障U>0和一些输入函数{aj，bj}创建的，如（6）所示。如果后一种功能没有引起歧义，则可以不指定。我们认为市场隐含波动率满足了B的信念*（T）或B*（T）在时间T，如果∑mktt∈ B*（T）或∑mktt∈ B*（T），分别为。备注3。对于比市场上实际可用的打击集更小的打击集，通常可以方便地指定隐含偏度的信念。

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2022-5-27 14:47:50

例如，第5节和第6节中的结果是针对固定罢工Ki<U制定的，它们描述了从未包含任何其他罢工低于壁垒的期权的交易策略。在这种情况下，输入函数{aj，bj}（因此，信念）可以为包含所有Kj>U和仅一个Ki<U的罢工集构造。通常可以方便地扩展集B*或B*, 为了让它更容易处理。这是通过支配隐含波动率曲面（简称支配曲面）实现的。如果只有两个可用的打击，屏障每侧一个，如果{aj，bj}为FL，B*（T）通过指定b/a来唯一定义，而不是单独指定a和b。然而，如果违反了这些假设中的任何一个，（8）不能暗示（7），即使这两个假设旨在估计隐含波动率的相同特征。定义4。隐含波动率∑是信念B的下支配面*（T），如果（U，∑）是一个可接受的市场价值，∑（Ki，τ）≥ bi（τ），∑（Kj，τ）≤ aj（τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。类似地，隐含波动率∑是信念B的上支配面*（T），如果（U，∑）是可容许市场值且∑（Ki，τ）≤ ai（τ），∑（Kj，τ）≥ bj（τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T）。特别是，较低的支配面比任何隐含波动率都具有较低的短期隐含偏斜*（T）。类似地，上支配曲面的短期隐含倾斜度高于B中的任何隐含倾斜度*（T）。下面的推论1表明，如果U/∈ {Kj}和T>0足够小。通常，A主控面不属于B*（T）或B*（T）。然而，如果它对任意大的T>0这样做，我们说它生成了信念B*= {B*（T）}T>0orB*（T）={B*（T）}T>0。定义5。

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mingdashike22

2022-5-27 14:47:53

下支配面∑生成信念B*如果∑（Ki，τ）=bi（τ），∑（Kj，τ）=aj（τ），Ki<U<Kj，τ>0。类似地，上支配曲面∑生成信念B*如果∑（Ki，τ）=ai（τ），∑（Kj，τ）=bj（τ），Ki<U<Kj，τ>0。事实证明，分析支配曲面生成的信念非常方便。这是因为支配面可以通过特定的鞅模型构建，这使得我们可以在当前稳健（路径）分析中使用金融数学的经典概率工具。我们在下面的第4.1节中实现了这一点，在此节中，我们构建了一个方便的支配曲面参数族，由一类特定的鞅模型生成。然后，主要结果是针对这些支配面产生的信念，制定了第5和第6类。4分段常数局部方差Gamma（PCLVG）模型在本节中，我们介绍并分析了相关的时变局部波动率模型家族，这些模型具有三个重要特征。首先，它们允许明确计算欧洲期权的价格和短期隐含波动率。其次，这些模型考虑了它们产生的隐含波动率的偏差，这足以限制市场隐含偏差。第三，这个家族的任何模型都有一个明确的静态对冲公式，符合（4）的精神。我们认为，这是一组引人注目的属性，模型家族具有独立的利益。本节中的结果证明是技术性的，并且都被归入附录A，以便于更简洁的呈现。本文提出的模型与[18]中介绍的局部方差伽马（LVG）模型密切相关。

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何人来此

2022-5-27 14:47:57

让进程D取[0]中的值，∞), 定义为t≥ 0作为唯一的弱解todDt=√2σ（Dt）dWt，t≤ ζ=inf{t≥ 0：Dt=0}，D=x，（9）在零处吸收。在上面，W是布朗运动，函数σ：[0，∞) → （0，∞) 是分段常数，形式为σ（x）=σ[0，U）（x）+σ[U，∞)（x），一些常数σ，σ>0。[18]讨论了（9）解的存在性和唯一性。最后，我们将随机过程X定义为D的时间变化。考虑随机变量ξ，使得ξ与X无关，并且具有平均值为1的指数分布。然后，我们设置xt=Dtξ，t≥ 很明显，X是一个连续的非负鞅。方程（10）由σ=（σ，σ>0）参数化，描述了基础资产的合理风险中性演变（回想一下，假设账面成本（包括利息和股息率）为零）。我们将（10）给出的模型参数族称为PCLVG（分段常数局部方差Gamma）模型。该名称是基于上述结构与[18]中介绍的LVG模型的相似性。事实上，两者之间的主要区别在于时间变化的不同选择：在[18]中，后者被假定为伽马过程。然而，文献[18]也指出，只要时间变化的边际分布是指数分布，任何其他独立的时间变化都会产生具有类似特征的模型。在此，我们选择（tξ）作为所需的时变过程，使其在任何时间t>0时都具有指数分布。

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能者818

2022-5-27 14:48:02

这种特殊选择的动机是希望模型产生非平凡的短期隐含波动率，下一小节的结果对此进行了解释。4.1支配PCLVG表面在本小节中，我们计算了PCLVG模型中的隐含波动率，并表明它可用于生成一般信念的支配表面，前提是屏障与任何走向不一致，且饱和度足够小。重要的是，我们的证明是有建设性的——它提供了一种数值计算支配曲面的方法。表示由参数σ=（σ，σ）乘以cσ（x，K，τ）=E（xτ）的PCLVG模型产生的欧洲看涨期权的时间零价格- K） +，X=X，其中X是基础的初始水平，K表示走向，τ是到期时间。同样，我们确定了欧洲看跌期权的价格，表示为Pσ（x，K，τ）。引理1。对于任何K∈ （0，U）和任何τ≥ 0，我们有：Cσ（U，K，τ）- （U）- K） =τexp(-（U）- K） /（στ）1- 经验值(-2K/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））。（11）对于任何K≥ U和任意τ≥ 0，我们有：Cσ（U，K，τ）=τexp(-（K）- U） /（στ）1- 经验值(-2U/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））。（12）对于任何K>0和τ>0，用∑σ（U，K，τ）表示Cσ（U，K，τ）的Black-Scholes隐含波动率。使用方程式（11）–（12）可以很容易地检查相关的买入价格始终位于区间（0，U）内，因此，隐含波动率总是很好地定义。此外，检查（11）–（12）给出的买入价格是否满足定义1中的所有静态无套利条件并不困难，但存在隐含波动率短期限制的第一个条件除外。以下命题验证了定义1的第一个条件，因此表明（U，∑∑（U，·，·））是一个可接受的市场价值，并为短期隐含波动率提供了明确的表达。提案1。

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2022-5-27 14:48:06

对于任何K>U>0和任何σ，σ>0，我们有limτ↓0∑∑（U，K，τ）=√σlog K/Up2（K- U）。对于任何U>K>0和任何σ，σ>0，我们有limτ↓0∑∑（U，K，τ）=√σlog U/Kp2（U- K）。图4给出了∑σ（U，·，τ）的几个图，其中τ很小但严格为正。上述命题有一个重要的推论，它表明，如果成熟度足够小，通过选择σ，我们可以为任何信念构造一个支配曲面∑（U，·，·）。推论1。考虑任何U>0，s.t.U/∈ {Kj}，以及（6）中的任何{aj，bj}。然后，存在T>0和σ*= （σ*, σ*> 0），从而∑σ*（U，Ki，τ）≤ ai（τ），∑σ*（U，Kj，τ）≥ bj（τ）τ∈ （0，T）]，Ki<U<Kj。（13）尤其是∑σ*（U，·，·）是信念B的上支配模型*由U和{aj，bj}生成。同样，存在T>0和σ*= （σ*1，σ*2> 0），从而∑σ*（U，Ki，τ）≥ bi（τ），∑σ*（U，Kj，τ）≤ aj（τ）τ∈ （0，T）]，Ki<U<Kj。（14）尤其是∑σ*（U，·，·）是信念B的较低支配模型*由U和{aj，bj}生成。证据命题1意味着，通过选择足够小的σ*以及足够大的σ*, 我们可以确保（13）对于τ=0+。同样，我们验证（14）的τ=0+。最后，通过连续性，我们得到了推论的陈述。为简洁起见，当势垒U的水平固定时，我们只将∑σ称为支配面，而不是写∑σ（U，·，·）。4.2 PCLVG模型中的精确静态对冲源自【17】的结果（在【5】中进一步分析和扩展），在系数σ为零且结转成本为零的时间齐次扩散模型中，罢工>0且屏障U>K的UOP的静态对冲由带回报（K）的欧式期权给出- x）+- g（x），其中g（x）=πiZε+∞iε-∞iψ（x，z）ψ（K，z）ψx（U，z）- ψx（U，z）dzz，x>U，（15），g（x）=0，对于x≤ U

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2022-5-27 14:48:09

在上面，ε>0是一个任意的、足够大的常数，ψi是以下ODE的两个基本解，在x=U时归一化为值1：σ（x）ψxx（x，z）- zψ（x，z）=0。很容易验证，在本例中，我们有：ψ（x，z）=+σ2σ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σe（x-U） z/σ+-σ2σ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σe-（十）-U） z/σ，x>U，ψx（U，z）=zσ1.- e-2Uz/σ- 1., ψx（U，z）=-zσ，ψx（U，z）- ψx（U，z）=zσ1+e-2Uz/σ1- e-2Uz/σ+σ=2zσc。静态套期保值性质意味着，X表示上述时间齐次扩散，我们有：E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}| Ft∧胡= E（K）- XT）+- 克（XT）+英尺∧胡, t型∈ （0，T），其中HU=inf{T≥ 0:Xt≥ U}和（Ft）是过滤w.r.t.，其中X是定义的。上面的左边是UOP的价格，右边是共同到期的欧洲期权的价格，在基础触及障碍时或之前进行评估（如果未触及障碍，则两个期权的收益一致）。上述结果也适用于作为时间均匀扩散的独立连续时间变化获得的过程X，例如PCLVG过程。然而，严格来说，PCLVG过程并不满足[17]中的假设。事实上，系数σ是不连续的：它是分段常数，取x的σ值∈ （0，U）和σ，对于x≥ U、尽管如此，我们仍然可以使用（15）来计算candidateg，这预计会在PCLVG模型中产生静态对冲。假设K≤ U和x>U，我们得到ψ（x，z）ψ（K，z）ψx（U，z）- ψx（U，z）=σ2ze（x-U） z/σ+（1/c- 1） e类-（十）-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σ,反过来，g（x）=σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzz+σ2πiZε+∞iε-∞i（1/c- 1） e类-（十）-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzzb通过闭合右边的积分轮廓，我们得出结论，上述表现主义中的第二个积分为零。

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2022-5-27 14:48:12

因此，g（x）=σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σeKz/σ- e-Kz/σeUz/σ- e-Uz/σdzz=∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-Uz/σeKz/σ- e-Kz/σe-2Unz/σdzz=∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-（U（2n+1）-K） z/σdzz-∞Xn=0σ2πiZε+∞iε-∞ie（x-U） z/σ-（U（2n+1）+K）z/σdzz。通过闭合右侧的积分轮廓，我们得出结论，当x≤ U+（（2n+1）U- K） σ/σ。对于x的其他值，我们闭合左侧的积分轮廓，并通过留数演算计算积分。同样，我们继续进行第二次求和。因此，我们得到（x）=∞Xn=0（x- U- （U（2n+1）-K） σ/σ）+- （十）- U- （U（2n+1）+K）σ/σ）+。（16）图1给出了g图。有了一个明确的候选函数，我们可以使用（11）–（12）中的马尔可夫性质和显式价格来证明这确实是正确的函数。后者在以下命题中得到了精确的阐述，其证明见附录A命题2。假设X遵循PCLVG模型，0<X≤ U、 σ（x）=σ[0，U）（x）+σ[U，∞)（x），σ，σ>0。然后，对于任何0<K≤ U，任意T>0，以及所有T∈ [0，T]，我们有：E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}| Ft∧胡= E（K）- XT）+- 克（XT）+英尺∧胡, （17）其中g由（16）给出，且HU=inf{t≥ 0:Xt≥ U} 。假设X=U，取（17）中的期望值并使用（16），我们得到以下公式，该公式适用于所有τ≥ 0，任意K<U，任意σ=（σ，σ>0）：Pσ（U，K，τ）=∞Xn=0CσU、 U+（U（2n+1）- K） σσ，τ- CσU、 U+（U（2n+1）+K）σσ，τ. （18）上述公式与（4）类似，但在一个基础不是对称的w.r.t.障碍（因此，隐含波动率可能有偏差）的模型中，它适用。请注意，g（x）≤ g（x）≤ g（x），x个∈ R、（19）式中，g（x）=KUx个- Kσ，U（K）+, g（x）=x个- Kσ，U（K）+, Kσ，U（K）=U+（U- K） σ/σ。（20）函数g是从下方控制g的最大凸函数。

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2022-5-27 14:48:16

函数g是从上方控制g的最小凸函数之一：即不存在其他从上方控制g且由上方控制g的凸函数。图1给出了g、g和g的图形。我们可以看到，gp为参数的值提供了一个很好的g近似值，该参数的值离障碍U不太远（如果成熟度很小且基础接近U，则它是最重要的值）。此外，图1的右侧显示，如果K接近U（该图使用K=0.95U，这是我们在实证分析中使用的值），则g非常接近于在Kσ，U（K）处进行的调用的收益，特别是，在这种情况下，g和g都提供了g的非常好的近似值。因此，在PCLVG模型中，以基础水平为条件，我们可以通过各自静态投资组合的价格，从上到下统一约束OTM的价格，包括单个OTMcall：KUCσ（U，Kσ，U（K），τ）<Pσ（U，K，τ）<Cσ（U，Kσ，U（K），τ），τ>0，0<K≤ U、（21）注意，上述不等式适用于所有τ（不仅是渐近的，对于τ→ 0），因此，在到期之前的任何时候，只要标的是U。考虑到静态套期保值的对称问题，我们可以推导出以下等价系统：Pσ（U，（Kσ，U）-1（K），τ）<Cσ（U，K，τ）<U（Kσ，U）-1（K）Pσ（U，（Kσ，U）-1（K），τ），τ>0，0<K≤ U、（22）备注4。从引理1很容易推断出pσ（U，K，τ）~ Cσ（U，Kσ，U（K），τ），τ→ 特别是，对于小τ，（21）中的第二个不等式比第一个不等式“严格得多”。原则上，上述等效性在一般扩散模型中是众所周知的（参见[26]），并且可以在不建立精确静态对冲的情况下获得：只需注意K和Kσ，U（K）是对称的w.r.t。dx/σ（x）给出的测地距离。

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2022-5-27 14:48:19

然而，这种等价性本身并不能产生（21）中的第二个不等式，即使它被限制为较小的τ，这就解释了命题2的必要性。此外，命题2得出（21）中的第一个不等式，并表明它们都适用于所有τ≥ 0.5交易隐含偏斜的偏差让我们展示（21）如何用于构建隐含偏斜稳健交易的投资组合–进一步称为RTI。每当隐含偏度偏离其典型价值范围时，购买这样一个投资组合，当隐含偏度回到正常范围时出售，应该会产生积极的回报。更准确地说，对于一个给定的障碍和一组给定的信念，B*或B*, 在隐含偏度上，theRTIS投资组合是一个静态的香草期权组合，它满足以下两个属性：1。如果隐含偏度满足了信念，并且基础在障碍的适当一侧，则投资组合具有正价格；2、如果隐含偏度与信念的偏差足够大，且基础离障碍不太远，则投资组合的价格为负值。请注意，只要标的资产处于障碍的适当一边，RTIS投资组合的价格就保证有一个正的符号，这取决于隐含偏差的水平，但不考虑隐含波动的总体水平，也不依赖于标的资产的确切价值。当然，RTISportfolio的确切价格可能取决于隐含波动率的整体形状和潜在价值。RTIS投资组合的两个属性的精确含义如下，见命题3和命题4。然而，上述公式足以看出RTI的实际益处。例如，假设在时间t，相对于当前基础水平（即。

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2022-5-27 14:48:22

使用Stas ABARIER）与信念（构建w.r.t.St）相差甚远。然后，可以选择一个新的障碍U并构建相应的信念w.r.t.U。新的障碍需要接近St，因此相对于U测量的隐含倾斜度也充分远离信念，反过来，关联RTIS投资组合的价格在时间t为负值。另一方面，障碍U不应太接近St，因此，底层可能会在一段时间内保持在U的同一侧（选择最佳U是成功实施此类策略的“艺术”）。然后，可以在t时在RTIS投资组合中打开多头头寸。如果在未来某个时间，偏度恢复到与信念一致的水平（必须假设这最终会发生，因为这是构建信念的原则），并且基础仍在障碍的适当一侧，RTIS投资组合的价格将变为正，产生正回报的。只要这一战略能够实施，就会产生积极的回报。它的可实现性inturn取决于隐含偏斜和底层的行为，而不取决于隐含波动性的任何其他变化。通过在St签订的远期合约中开立额外的静态头寸（初始价格为零，且对隐含波动率的变化不敏感），可以缓解策略对基础变化的敏感性，从而使投资组合的初始Black-Scholes delta为零。让我们展示如何构建满足上述两个定义属性的RTIS投资组合。投资组合的选择取决于我们是否有信念B*或B*. 在此，我们考虑B的情况*,另一个案例在备注9中讨论。

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2022-5-27 14:48:27

考虑障碍U和信念B*, 生成人∑∑*, 有一些σ*= （σ*1，σ*2> 0）（参见定义4）。考虑任意时间t，s.t.（St，∑mktt）可容许，∑mktt∈ B*（T），一些T>0，且St=U。注意，缩放σ*使用正常数c，缩放∑σ*在自然道路上：∑cσ*（U，K，τ）=c∑σ*（U，K，cτ）。然后乘以σ*通过一个正常数，我们得到▄σ=（▄σ，▄σ），这样▄σ/▄σ=σ*2/σ*1和∑Оσ（U，Ki，τ）≥ ∑mktt（Ki，τ），∑Оσ（U，Kj，τ）≤ ∑mktt（Kj，τ），Ki<U<Kj，τ∈ （0，T），（23）备注5。在下文中，我们确定了任意指数i，s.t.Ki<U，并避免使用其他低于门槛的期权。特别是，如果我们替换集合B，则后续语句成立*（T）通过其扩展，通过要求（7）仅对固定Ki<U（以及所有Kj>U）保持来获得。很容易看出，（23）意味着，对于所有Ki<U<Kjand所有τ∈ （0，T），Cσ（U，Kj，τ）=Cbs（U，Kj，τ，∑σ（U，Kj，τ））≤ Cbs（U，Kj，τ，∑mktt（Kj，τ））=Cmktt（Kj，τ），（24）Pσ（U，Ki，τ）=Pbs（U，Ki，τ，∑σ（U，Ki，τ））≥ Pbs（U，Ki，τ，∑mktt（Ki，τ））=Pmktt（Ki，τ）。（25）让我们介绍指数jσ*（i）和jσ*（i）：jσ*（i） =最小{j∈ {1，…，N}：Kj≥ Kσ*,U（Ki）}，（26）jσ*（i） =最大{j∈ {1，…，N}：U<Kj≤ Kσ*,U（Ki）}。（27）我们假设上述集合是非空的，因此j（i）和j（i）定义良好。那么，我们有：C▄σ（U，K▄，U（Ki），τ）=C▄（U，Kσ*,U（Ki），τ）≤ C￠σ（U，Kjσ*（i），τ）。收集上述不等式并利用（21），我们得到：Pmktt（Ki，τ）<Cmktt（Kjσ*（i），τ），τ∈ （0，T）。（28）只需注意，如果我们fix∑mktt，增加St的值将减少（28）的左侧，并增加其左侧。因此，我们证明了以下命题，该命题展示了如何构建RTI投资组合，并将RTI的首次定义属性形式化。提案3。

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2022-5-27 14:48:34

考虑障碍U>0和信念B*, 生成人∑∑*, 任意（但固定）σ*= （σ*1，σ*2> 0）。假设存在指数i，s.t.Ki<U和jσ*（i）通过（27）明确定义。然后，在（St，∑mktt）可容许的任何时间t，St≥ U、和∑mktt∈ B*（T），当一些T>0时，投资组合由欧洲看涨期权中的一份多头仓位组成，并带有罢工Kjσ*（i）任何时候到期日都少于T，并且在一份同到期的欧洲看跌期权中有空头头寸，加上strikeKi，价格为正：即Cmktt（Kjσ*（i），τ）- Pmktt（Ki，τ）>0，τ∈ （0，T）。（29）提案3通过（29）定义了候选RTI投资组合，并表明其满足RTI的第一定义属性（在提案中所述的意义上）。下面的命题4阐明了RTI的第二个定义属性，并表明（29）给出的投资组合满足了这一属性。也就是说，命题4表明，当隐含偏差足够小（且基础处于屏障）时，拟议投资组合的价格变为负值。提案4。考虑势垒U和任意两对正数σ*= （σ*1，σ*2）和σ*=（σ*, σ*). 假设存在指数（i，j），s.t.Ki<U和U+（U- Ki）σ*σ*= Kσ*,U（Ki）<千焦≤ Kσ*,U（Ki）=U+（U- Ki）σ*2σ*1.（30）用B表示*∑∑产生的信念*. 然后，在任意时间t，此时（St，∑mktt）是可容许的，St=U，∑mktt∈ B*（T），当一些T>0时，命题3中描述的投资组合具有负价格，前提是其到期日足够小：即Cmktt（Kjσ*（i），τ）- Pmktt（Ki，τ）<0，τ∈ （0，T），对于某些T∈ （0，T）.备注6.当jσ*（i）和jσ*（i）定义良好，σ*/σ*< σ*2/σ*1，屏障上方的可用罢工网格非常丰富。证据

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2022-5-27 14:48:37

为了证明命题4，我们注意到它的假设意味着jσ*（i）和jσ*（i）定义良好，存在j，s.t.Kσ*,U（Ki）<千焦≤ Kjσ*（i）。后者，连同（21）和引理1中的第一个不等式，意味着，对于任何|σ=（|σ，|σ>0），其中|σ/|σ=σ*/σ*, 存在T>0，s.T.C∑（U，Kj，τ）≤KiUC￠σ（U，Kσ*,U（Ki），τ）<Pσ（U，Ki，τ），τ∈ （0，T）。此外，Cσ（U，Kjσ*（i），τ）≤ Cσ（U，Kj，τ），τ>0。最后，我们可以选择▄σ，s.t.▄σ/▄σ=σ*/σ*andC￠σ（U，Kjσ*（i），τ）≥ Cmkt（U，Kjσ*（i），τ），Pσ（U，Ki，τ）≤ Pmkt（U，Ki，τ），对于所有τ∈ （0，T）。收集上述不等式，我们得到命题的陈述。让我们澄清拟议RTIS投资组合的行为。请注意，理想情况下，anRTIS投资组合的价格符号应表明隐含偏差是否超出其正常范围。与此论点一致，命题3表明拟议RTIS投资组合的价格为正偏差当信念满足时（且基础处于或高于障碍）。同样，当信念不满足时（且基础处于障碍时），投资组合的价格变为负值也是可取的。然而，这种理想行为似乎很难实现，使用我们目前的方法肯定无法实现（除非市场隐含波动率总是由PCLVG模型精确给出）。因此，我们关注通过所提出的支配曲面族{∑∑}可以检测到的隐含偏斜偏差。特别是，命题4指出，当市场隐含偏度与∑∑产生的信念“分离”时，拟议RTIS投资组合的价格变为负值*, 由上支配曲面∑σ*偏斜度较低的：即。

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