然后（21）和引理1暗示存在T>0，s.T.Pσ*（U，Ki，τ）≥KiUCσ*（U，Kσ*,U（Ki），τ）≥ αCσ*（U，Kj，τ），τ∈ （0，T），这与（31）相矛盾。假设Kj=Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）。然后，（18）和引理1屈服：Pσ*（U，K，τ）=Cσ*（U，Kj，τ）（1+o（1）），τ→ 0，从（31）来看，这意味着α≥ 1、假设Kj<Kjσ*（i） =Kσ*,U（Ki）并考虑任何σ*正如在命题陈述中一样。注意∑σ*∈ B*（T）（对于任何T>0）。还要注意，我们可以选择σ*接近σ*, 所以thatKj<Kσ*,U（Ki）<Kσ*,U（Ki）。那么，（21）和引理1意味着存在T>0，s.T.Pσ*（U，Ki，τ）≤ Cσ*（U，Kσ*,U（Ki），τ）≤ αCσ*（U，Kj，τ），τ∈ （0，T），这与（32）相矛盾。命题3和命题4暗示j=jσ*（i） 和任意α=-β>0满足位置5中所述的三个属性，因此，产生了一个可接受的RTIS投资组合，由（29）给出。对于给定数量的认沽股份（即β），该投资组合包含最少数量的认购股份（即α）。由于|β|可以被视为一个简单化常数，因此我们可以将其值设置为1，并获得建议的RTIS投资组合，如（29）所示。这一观察结果证明了拟议投资组合的最低限度，因此，我们的选择是合理的。备注8。（29）给出的投资组合的构造方式是，优先选择看跌期权的行使，并通过支配模型计算看涨期权的适当行使。显然，我们也可以从规定看涨期权的行使开始，并通过命题3之前的导数，使用（22）而不是（21）获得看跌期权的相应行使。这可能会导致不同的投资组合，尽管随着可用罢工的网格变得足够丰富，这种差异应该可以忽略不计。为新的投资组合制定命题3、4、5的类似物是一种很好的方法。备注9。

命题3和命题4所描述的策略基于这样一种预期，即隐含偏斜将始终返回到所选的较低阈值以上（在基础下降到屏障以下之前）。这种策略旨在从隐含偏差低于其典型值的异常偏差中获益。粗略地说，当倾斜下降到临界水平以下时，仓位打开，当倾斜回到临界水平以上时，仓位关闭。类似地，我们可以设计一种策略，使其受益于隐含偏差高于其典型值的偏差。也就是说，表述命题3和命题4的类似物很简单，这表明portfolioPmkt（Ki，τ）-KiUCmkt（Kjσ*（i） ，τ）（33）在隐含波动率满足B时具有正价格*, 生成人∑∑*（且基础保持在屏障以下），当隐含偏差足够大时，其价格变为负值（且基础处于屏障处）。6具有隐含偏斜信念的UOP期权稳健对冲第二个RTIS投资组合，由（33）给出，也可用于构建aUOP期权的稳健超级复制策略，给定隐含偏斜信念。第2小节给出了此类策略的一个简单示例，作为我们的激励案例研究。我们现在扩展了这种推理，以允许更普遍的信念。假设我们需要对冲罢工K>0的UOP期权（这可能不属于欧洲期权可用罢工的网格），屏障U≥ K∨ S、 成熟度T＞0。该期权在时间T的收益在（1）中给出。下面，我们回顾一下[10]中提出的算法，该算法为UOP期权提供了一种稳健的半静态超级复制策略，同时考虑到基础期权具有连续路径，该策略具有可用的共同到期欧洲期权（和远期期权）。我们将此策略称为BHR，以其作者的名字命名。1.

选择任意Ki≤ K从可用罢工的网格中，考虑由o（Ki）组成的投资组合- K） /（U- Ki）在U签订并在T到期的远期合约股份，o和（U）- K） /（U- Ki）共同到期的欧洲看跌期权的股票在Ki签订。2、根据当前市场价格，在步骤1中对所有可接受指数i进行迭代构建，以找到最便宜的投资组合。3、如果不存在Ki≤ K在可用击数网格中，跳过步骤1和2，用最小的可用击数购买一份AEEUROPEAN put。4、在HU时清算该投资组合∧ T，其中hu=inf{T∈ [0，T]：St≥ U} ，（34）带inf = ∞.BHR策略的回报函数如图2所示。很容易看出，如果胡≥ 那么，上述投资组合在T的流动价格就是初始投资组合的回报，它支配着UOP期权的支付，由（K）给出-ST）+。如果HU<T，则UOP期权的收益为零，而BHR投资组合在HU时的市场价格等于1- （K）- Ki）/（U- Ki）对于任何可接受的隐含波动率面，非负的看跌期权份额。因此，该投资组合的回报永远不会小于UOP期权的回报。[10]还表明，标的证券存在阿马丁格尔模型，该模型与当前观察到的欧式期权市场价格一致，其中BHR投资组合的收益等于UOP期权的收益。后者表明，如果不在市场上增加更多的假设，就无法以更低的价格超级复制这种障碍选项。同时，文献[10]中使用的“极值”鞅模型是非常不规则的，可能与标的期权的典型行为和欧式期权的价格不一致。

这使人们相信，在市场上引入进一步的假设（即信念）是很自然的，这将使人们能够构建更有效的超级复制策略，并降低超级复制价格。在此，我们构建了BHR策略的改进，该策略超级复制了UOP期权的收益，前提是满足对隐含偏度的信念。该策略的价格永远不会超过BHR的价格，并且，如果屏障上方的可用罢工网格足够丰富，则我们策略的价格严格低于BHR的价格。考虑任何信念B*关于∑σ生成的隐含偏度*, 有一些σ*= （σ*, σ*> 0）。下面，我们给出了UOP期权与可用的共同到期欧洲期权（和远期期权）的鲁棒静态超级复制算法，前提是基础期权具有连续路径，且信念B*当St=U.1时进行统计。选择任意Ki≤ K从可用罢工的网格中，考虑由o（Ki）组成的投资组合- K） /（U- Ki）在U签订并在T到期的远期合约股份，o（U- K） /（U- Ki）共同到期的欧洲认沽期权的股份在Ki签订，o和(-（U）- K） /（U- Ki））共同到期的欧洲看涨期权的KiUshares在Kjσ敲定*（i） ，提供Jσ*（i） 通过（26）明确定义（否则，跳过此部分）。2、如果不存在Ki≤ K在可用期权的网格中，跳过第1步，并o在期权Ki<U；o的情况下购买一份欧洲看跌期权做空罢工Kjσ的共同到期欧洲看涨期权的Ki/U股*（i） ，如果jσ*（i） 通过（26）明确定义（否则，跳过此部分）。3、根据当前市场价格，在所有可接受指数i上重复步骤1和步骤2的构建，以找到最便宜的投资组合。4、在HU时清算该投资组合∧ T所提出的超级复制策略的回报函数如图3所示。

上述策略与银行控股公司不同，在投资组合中增加看涨期权的额外空头头寸。很容易看出，上述策略超级复制了UOP期权的回报。事实上，如果障碍从未触及，上述策略的支付将主导相关看跌期权的支付。如果遇到障碍，则在HU时，远期价格为零，剩余投资组合的价格由（33）给出，按正恒量缩放。由于（21），后一个投资组合的价格为正，因为信念B*满足提议6。假设成熟度T>0，障碍U≥ S> 0，a罢工K∈ （0，U），以及信念B*,生成人∑∑*, 有一些σ*= （σ*, σ*> 0）。假设存在索引i，s.t.Ki≤ K和jσ*（i） 通过（26）明确定义。对于（S，∑mkt）的任何容许路径，进一步满足：ot 7→ STI连续，o且在任何时间t∈ [0，T），其中St=U，我们有∑mktt∈ B*（T- t） ，建议的超级复制策略的回报至少与UOP选项的回报一样大，即Ki- KU公司- Ki（SHU∧T-U）+1.-K- 桥- Ki公司PmktHU公司∧T（Ki，T- 胡∧ T）-克姆克图∧T（Kjσ*（i） ，T- 胡∧ T）≥ （K）- 舒∧T） +{HU>T}，（35）其中hui定义于（34）。备注10。如果不存在索引i，s.t.Ki≤ K、 但存在i，s.t.Ki<U和jσ*（i） 然后，超级复制策略的第2步变得相关，不平等（35）改变为Mkthu∧T（Ki，T- 胡∧ T）-克姆克图∧T（Kjσ*（i） ，T- 胡∧ T）≥ （K）- 舒∧T） +{HU>T}。上述不等式也在命题6中定义的路径集上得到满足，这很容易形成命题的前提。证据如果HU≥ T，然后（35）变成ki- KU公司- Ki（ST- U）+1.-K- 桥- Ki公司（千- ST）+≥ （K）- ST）+，这显然适用于任何ST∈ [0，U]。假设HU<T。

那么，我们需要证明1.-K- 桥- Ki公司PmktHU（Ki，T- HU）-KiUCmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）≥ 0、乘以σ*通过一个正常数，我们得到▄σ=（▄σ，▄σ），这样▄σ/▄σ=σ*/σ*和∑σ（U，Ki，T- HU）≤ ∑mktHU（Ki，T- HU），∑Оσ（U，Kj，T- HU）≥ ∑mktHU（Kj，T- HU），Kj>U。那么，我们有：P∑（U，Ki，T- HU）≤ PmktHU（Ki，T- HU），C￠σ（U，Kjσ*（i） ，T- HU）≥ CmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）。此外，C￠σ（U，K￠σ，U（Ki），T- HU）=C￠σ（U，Kσ*,U（Ki），T- HU）≥ C￠σ（U，Kjσ*（i） ，T- HU）。上述不等式，以及（21），yieldPmktHU（Ki，T- HU）-KiUCmktHU（Kjσ*（i） ，T- HU）>0并完成证明。显然，拟议的超级复制战略的初始资本从未超过BHR的初始资本，如果jσ*（i） 定义良好，Cmkt（Kjσ*（i） ，T）>0。备注11。【10】中的提案3.4还为UOP选项提供了一个强大的静态子复制策略。在后一种策略为零的情况下（这可能发生，取决于初始市场隐含的可用性），可以使用本节中介绍的想法，使用信念B构建该策略的类似改进*. 也就是说，改进后的策略将包括卖空（29）中给出的第一个RTI投资组合，以及Ki≤ K<U，并在HU处关闭该位置（如果HU<T）。7 RTIS投资组合的实证研究在本节中，我们计算了RTIS投资组合（29）和（33）的实证观察价格，并证明它们具有预测迹象。为了构建这些投资组合，我们需要选择相关的σ*= （σ*1，σ*2） 和σ*= （σ*, σ*). 事实上，要构建投资组合，我们只需要知道偏态参数κ*= σ*2/σ*1，κ*= σ*/σ*.假设OTM看跌期权的行权Ki是固定的。

然后，根据支配曲面生成的信念定义，偏态参数（κ*, κ*) 应选择，以便在任何时间t存在σ*1（t）和σ*（t） ，因此σ*（t） =（σ*1（t），κ*σ*1（t））和σ*（t） =（σ*（t） ，κ*σ*（t） ）满足：∑σ*（t） （St，Ki，τ）≥ ∑mktt（Ki，τ），∑∑*（t） （St，Kj，τ）≤ ∑mktt（Kj，τ），（36）∑σ*（t） （St，Ki，τ）≤ ∑mktt（Ki，τ），∑∑*（t） （St，Kj，τ）≥ ∑mktt（Kj，τ），Kj>U.（37）在上面，我们使用∑cσ（St，K，τ）=c∑（St，K，cτ）。理论上，上述不等式必须适用于所有τ>0的情况。然而，在我们的实证分析中，我们只要求他们持有市场上最小的三个到期日（在我们的样本中，他们从未超过2个月）。请注意，（36）–（37）写在可直接观察到的市场数量上，即隐含波动率面上，这是拟议信念家族的主要优势之一。然而，由于我们已经将支配面家族限制在PCLVG模型产生的支配面家族中，我们本质上需要校准κ*和κ*对于给定的市场隐含波动率曲面样本（即时间序列），{∑mktt}。最直接的方法是解决两个约束优化问题–变量（κ*, {σ*1（t）}）和（κ*, {σ*（t） }）-其中约束由（36）–（37）给出，σ*2（t）=σ*1（t）κ*和σ*（t） =σ*（t） κ*, 目标可以选择为“maxκ*” 和“minκ*”, 分别地然而，在这里，我们选择了一种稍有不同的方法。即，在任何时间t和任何到期时间τ，我们发现σ（t，τ）=（σ（t，τ），σ（t，τ）），s.t。

∑（St，·，τ）与观察到的市场隐含波动率∑MKT（·，τ）尽可能接近。然后，偏度参数κ*和κ*分别定义为α和（1- α） -样本的分位数{σ（t，τ）/σ（t，τ）}t，τ，带有一些小α∈ [0，1]。这种方法可以显著降低优化变量的维数并加快计算速度。此外，它还让我们看到，对于单一成熟度而言，PCLVG模型能够在多大程度上满足市场隐含的微笑。这种方法的缺点是无法保证*, κ*) 允许（σ*（t） ，σ*（t） ）对于样本中的所有（t，τ），满足（36）–（37）。如果PCLVG隐含波动率的翼∑∑（St，K，τ）不是单调的w.r.t，则可能出现后者。两个变量σ和σ中的每一个都是单调的。也就是说，通常情况下，增加σ会增加K<St时的∑σ（St，K，τ）值，同时保持其他值不变，增加σ会增加K>St时的∑σ（St，K，τ）值，同时保持其他值不变，这似乎不是真的。然而，这种单调性确实适用于τ≈ 0，如命题1所示。这一观察激发了我们的方法，从经验上看，这种方法效果很好。因此，为了测试RTIS投资组合的实证表现，我们需要将PCLVG模型校准为欧洲期权价格的历史样本。我们使用OptionMetrics提供的每日SPX（标准普尔500）欧洲期权价格，OptionMetrics是一个期权数据库，包含2011年1月3日至2012年12月27日期间期权及其基础工具的历史价格。在该期间的每一天，我们只保留其最佳收盘出价和最佳收盘出价均可用的期权，并将这两个价格的平均值作为期权价格。为确保所有价格的有效性，未平仓权益为零的合同除外。

我们的校准还需要分别在OptionMetrics和美国财政部主页上提供股息和利率数据。使用这些股息和利率，我们对市场价格和行使价值进行标准转换（即贴现），以便结果期权的价格与零利率和股息率的假设一致。最后，我们在样本中只保留三个最小到期日的期权，并仅使用OTM期权计算市场隐含波动率（即小罢工的卖出价格和大罢工的买入价格）。对于给定样本中的任何一天t和任何到期时间τ（可用的最小三个时间），我们通过最小化期权市场价格和PCLVG模型产生的价格之间的平方差之和，将PCLVG模型校准为市场化微笑。该校准产生参数σ（t，τ）=（σ（t，τ），σ（t，τ））。校准结果如图4-9所示。特别是，图4提供了市场隐含微笑和校准PCLVG微笑的示例。我们可以看到，该函数相当好（特别是考虑到该模型只有两个参数），但并不完美。然而，重要的是，aPCLVG模型充分捕捉到了市场隐含的偏度，如下所示。校准参数{σ（t，τ），σ（t，τ）}，以及相关的偏态样本{σ（t，τ）/σ（t，τ）}，是一个目标，我们选择最小化欧洲期权市场价格与PCLVG模型产生的市场价格之间的平方差之和。在此，我们选择α=0.01。如图6所示。从图的左侧可以看出，校准参数的大部分变化可以用简单的线性依赖关系来解释。

图的右侧证实了这一观察结果，表明偏度σ（t，τ）/σ（t，τ）的值范围小得多，并表现出一种回复行为。上下偏度参数κ*和κ*, 分别选为α和（1- α） {σ（t，τ）/σ（t，τ）}经验分布的分位数，α=0.01。结果值为：κ*=0.3777和κ*= 0.8949。结果表明，这样的选择（κ*, κ*) 考虑σ*（t） 和σ*（t） 满足（36）–（36），大多数时间为t。图5说明了这一观察结果：它显示了具有规定偏度参数κ的上下主导曲面*和κ*, 分别适用于put strike Ki（t）=0.95St。请注意，原则上，我们可以从直接从市场隐含微笑的时间序列中选择上下主导面（即图5中的红黄线的类似物）开始，选择一组固定的成熟时间，然后对两个面中的每一个面建立PCLVG模型，获得κ*和κ*. 在构建支配面之前，需要对市场隐含微笑进行规范化（即，需要对其价值和到期时间进行适当的重新调整），以便例如，短期ATM隐含可用性始终等于1，以消除整体波动水平的振荡，并突出偏态值。这种方法可能更符合robustmethods的哲学，因为它允许直接从隐含波动率的观察值中制定信念，避免使用模型。然而，由于在实施过程中存在其他困难，我们决定不采用这种方法。

也就是说，为了执行上述标准化，需要对各到期日的市场隐含波动率进行插值，不同的插值选择可能会导致不同的结果。我们选择κ的方法*和κ*更容易实现，结果表明，产生的支配曲面在经验上运行良好（尽管这不是先验的保证），如图5所示。图7-8显示了使用偏态参数κ构建的两个RTI投资组合的价格*, κ*,以及'κ，即{κ（t，τ）=σ（t，τ）/σ（t，τ）}的平均值。在构建RTIS投资组合时，始终将卖出期权选择为Ki=0.95St（更准确地说，使用最接近的可用履约价值），屏障为U=St。此外，我们对投资组合进行了标准化，以便投资于卖出期权的美元金额等于1。图7的左侧显示了第一个RTI投资组合的实际市场价值，givenby（29），其中赎回权行使计算为Kjσ*（i） ，带σ*2/σ*1=κ*（回想一下，jσ仅取决于κ=σ/σ）。样本中的每个可用（t，τ）都构建了投资组合，我们可以看到，正如命题3所预测的那样，它们的价格基本上都是正的。另一方面，这些价格通常接近零，这表明拟议的RTI投资组合是交易隐含偏斜的“有效”方式。图7的右侧还显示了第一个RTI投资组合的价值，但赎回权行使计算为Kj'σ（i），其中'σ/'σ='κ是{κ（t，τ）=σ（t，τ）/σ（t，τ）}的平均值，σ（t，τ）是在成熟时间τ与市场隐含微笑相适应的PCLVG参数对。由于与任何此类∑相对应的PCLVG隐含波动性通常不是较低的支配面（即，它不满足（36）），因此后一个投资组合的价值不会保持正值。

图8显示了secondRTIS投资组合的类似分析结果，如（33）所示。值得一提的是，图8中的两个图都比图7中的图更远离零。事实上，这种现象是（21）中的第一个不等式对于小τ不是渐近紧的，这与第二个不等式不同。备注4对这一事实进行了讨论，特别是，这意味着第二个RTI投资组合的效率不如第一个RTI投资组合的效率。还请注意，第二个RTIS投资组合的分析样本量略小于第一个投资组合的分析样本量。这是因为，对于某些（t，τ），Kjσ*（i） 大于最大可用罢工，在这种情况下，我们不构建RTIS投资组合。严格地说，为了证明比率具有均值回复行为，必须考虑每天一次到期的校正偏态参数的子样本，该样本可以从总样本中提取，如图6所示。尽管我们没有在此绘制，但我们已经证实，这样的子样本也表现出均值回复行为。在这种情况下，RTIS投资组合正式成为看跌期权中一股的多头头寸，这显然是非负的。RTIS投资组合中使用的罢工如图9所示。很容易看出，在大多数情况下，呼叫罢工发生在离现场几%以内。8总结在本文中，我们提出了一种构建金融资产组合（即交易策略）的方法，无论特定模型的有效性如何，都能实现给定的目标，即稳健的方法。

该策略是明确给出的，仅取决于一个人对可观察市场指标未来价值的信念。因此，它允许人们使用现有的统计工具来制定信念，为更抽象的数学环境提供一种实用的解释，在这种数学环境中，信念被理解为一系列概率度量。更具体地说，我们选择隐含偏度作为相关的市场指标，并展示如何构建欧洲期权的静态组合，只要隐含偏度保持在给定范围内（即信念满足），其价格就是正的。为了构建所需的投资组合，我们使用了两个重要的构建块。首先，我们确定了一类金融市场模型（即PCLVG模型），该模型足够丰富，可以生成所谓的主导隐含波动率面，并且可以轻松计算期权价格和隐含波动率。其次，我们证明了该模型中看跌期权（或看跌期权）收益的弱反射可以明确计算，并且可以通过双方的对流函数有效估计。从这个意义上讲，模型特定的结果被用作开发Arobast方法的构建块。我们提出了结果投资组合的两个潜在应用。首先，它们可以用来将人们对隐含偏斜未来价值的信念货币化：即交易隐含偏斜。这类似于众所周知的通过欧洲期权组合交易短期ATM（或整体水平）隐含波动率的方法，例如用于构建VIX指数。请注意，到目前为止，还没有一种类似的交易隐含偏斜的方法——目前的工作就是朝着这个方向迈出的一步。

此外，所提出的半静态欧式期权组合可用于获得障碍期权的稳健超复制策略。这些策略改进了文献[10]中提出的策略，只要对隐含偏斜的信念得到满足，它们就会成功。最后，我们对提出的方法进行了实证测试，展示了如何从隐含波动率的历史时间序列构建信念，并计算目标投资组合的价格。特别是，我们表明，构建现实的信念并不困难，并且当信念得到满足时（正如理论结果所预测的那样），所产生的投资组合确实有积极的迹象。我们的实证分析证实，所提出的方法是交易隐含偏差的有效方法。此外，我们还证明了所提出的两个参数辅助PCLVG模型族能够以令人惊讶的高精度匹配经验观察到的隐含波动率。引理1的技术证明。文献[18]表明，χ=Cσ（U，·，τ）是连续可微的，具有绝对连续导数，满足σ（K）χ（K）-τχ（K）=-τ（U- K） +，以及边界条件：χ（0+）=U和χ(∞) = 这是一个独特的函数。由于σ的分段常数结构，我们以以下形式搜索χ：χ（K）=（U- K） ++c（exp（K/（στ））- 经验值(-K/（στ）））1[0，U）（K）+cexp(-K/（στ））1[U，∞)（K） ，其中必须选择常数cim，以便χ（K）在K=U时连续可微。

让我们分析U:c（exp（U/∑τ））下的正则性- 经验值(-U/（στ））=cexp(-U/（στ）），cσ（exp（U/（στ））+exp(-U/（στ））=-cσexp(-U/（στ））求解上述方程，我们得到：c=στ1+σexp（U/（στ））-1.-σσ经验值(-U/（στ）），c=στexp（U/（στ））1个+1.-σσexp（U/（στ））-1+σ经验值(-U/（στ））1+σexp（U/（στ））-1.-σσ经验值(-U/（στ））,这就得到了引理的陈述。在我们给出下一个证明之前，我们需要一个关于标准正态分布的累积分布函数的渐近行为的技术结果。原则上，这种行为是众所周知的，然而，我们为残差项提供的具体估计似乎在现有文献中不可用，它对后续结果很重要。引理2。设N表示标准正态的累积分布函数。那么，对于任何ε∈ （0，1），如x→ ∞, 我们有：N（x）=√2πxe-x个1+Ox个-2.-ε引理2的证明。对于任意x>0和任意ε∈ （0，1），我们有：√2πxe-x个- N（x）=√2πZ∞x个yx公司- 1.e-y/2dy=x√2πZ∞（z）- 1） e类-xz/2dz，Z1+x-3月2日-ε/2（z- 1） e类-xz/2dz≤x个-3.-εe-x/2，Z∞1+x-3月2日-ε/2（z- 1） e类-xz/2dz≤Z∞1+x-3月2日-ε/2ze-xz/2dz=-xZ公司∞1+x-3月2日-ε/2e-xz/2dz=xe-x（1+x-3月2日-ε/2）/2=xe-x/2-x1/2-ε/2-x个-1.-ε/2=e-x/2米x个-3.-ε.命题1的证明。我们将只考虑K>U的情况——另一个情况也会得到类似的处理。整个证明过程中的所有共形表达式都理解为τ↓ 0、表示比亚迪（U，K，τ）=对数U/K+τ（σ（U，K，τ））∑（U，K，τ）√τ。我们通常用∑代替∑∑（U，K，τ），用din代替d（U，K，τ）。使用（12），很容易看出Cσ（U，K，τ）→ 0，作为τ↓ 0。因此，∑√τ→ 0和d→ -∞, asτ↓ 0

根据∑的定义，我们有cσ（U，K，τ）=U N（d（U，K，τ））- 千牛d（U，K，τ）- ∑∑（U，K，τ）√τ.使用（12），我们表示上述asCσ=1/σ+1/στexp的左侧-K- Uστ1+o（1）.接下来，使用引理2，我们发现以下渐近表示：UN（d）- 千牛d- ∑√τ=√2πU | d | e-日期/21+o|d|-2.-K | d- ∑√τ| e-（d）-∑√τ） /2个1+o|d- ∑√τ|-2.=√KU公司√2π| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ1+o|d|-2.-|d | | d- ∑√τ|1+o|d|-2..注意，DD- ∑√τ=1+τ对数∑U/K-∑τ=1+d-2（对数U/K+∑τ）对数U/K-∑τ=1+d-2日志U/K+o|d|-2..收集上述信息，我们得到：UN（d）- 千牛d- ∑√τ=√KU公司√2π| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ1+o（1）.将上面的右侧与Cσ相等，我们得到√KU（1/σ+1/σ）√2πτ| d | exp-（对数U/K）∑τ-∑τ+K- Uστ= 1+o（1），-（对数U/K）∑+K- Uσ- 3τlog | d |- τlogτ-∑τ+τ对数√KU（1/σ+1/σ）√2π！=o（τ），-（对数U/K）∑+K- Uσ+3τlog（σ√τ） =o（1），∑=σ（对数U/K）2（K- U）1+o（1）.命题2的证明。用Xs表示具有相同σ和初始条件s的PCLVG过程。如[18]所述，{Xs}是一个马尔可夫族。利用马尔可夫性质，我们得到（K）- XT）+- g（XT）英尺∧胡= EE（K）- XT）+- g（XT）{HU<T}英尺∧胡英尺∧胡+ EE（K）- XT）+- g（XT）{胡≥T}英尺∧胡英尺∧胡（38）=EE（K- Xsτ）+- Eg（Xsτ）τ=T-T∧HU，s=XT∧HU{HU<T}英尺∧胡+E（K）- XT）+{支持∈[0，T]Xt<U}英尺∧胡.注意，在{HU<T}上，XT∧HU=U。因此，为了建立所需的身份，必须验证K- XUτ= Eg公司XUτ, τ>0，相当于toCσ（U，K，τ）-U+K=∞Xn=0CσU、 U+（U（2n+1）- K） σσ，τ-CσU、 U+（U（2n+1）+K）σσ，τ,鉴于（11）–（12），上述等效于τexp(-（U）- K） /（στ）1- 经验值(-2K/（στ））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））=τ（1）- 经验值(-2U/（στ））（exp（K/（στ））- 经验值(-K/（στ）））σ+σ-σ-σ经验值(-2U/（στ））∞Xn=0exp(-U（2n+1）/（στ）），这显然成立。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。

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右侧对应的情景是基础货币触及障碍，远期头寸在触及时间清算（零成本）。使用的参数：U=1000，K=0.75U=750，Ki=0.9K=675。基础价值500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300支付价值-150-100-50050100150200250基础价值500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300支付价值-150-100-50050100150200250图3：拟议超级复制战略（蓝色）和UOP选项（红色）的支付功能。左侧对应于底层保持在屏障下方的场景。右侧对应的情景是基础货币触及障碍，远期头寸在触及时间清算（零成本）。使用的参数：U=1000，K=0.75U=750，Ki=0.9K=675，σ/σ=0.6（即Kσ，U（Ki）=1195）。0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06K/St0.050.10.150.20.250.30.350.4隐含vol0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.1 1.2 1.3K/St0.050.10.150.20.250.350.4隐含vol0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1 1.150.20.250.30.350.40.450.5隐含vol0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2K/St0.10.150.20.250.30.350.40.45隐含波动率图4：不同到期日和时间的隐含波动率：2011年1月3日，4天到期日（左上角），2011年1月3日，47天到期日（右上角），2012年2月10日，8天到期日（左下角），2012年2月10日，49天到期日（右下角）。

蓝线表示插值后的市场隐含波动率，红线表示校准后的PCLVG隐含波动率。0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04K/St0.050.10.150.20.250.30.350.4隐含vol0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2K/St0.050.10.150.20.250.30.350.4隐含vol0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1K/St0.050.150.20.250.30.350.40.450.5隐含vol0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1K/St0.10.150.20.250.30.350.40.45隐含波动率图5：不同日期和到期时间：2011年1月3日，4天到期（左上），2011年1月3日，47天到期（右上），2012年2月10日，8天到期（左下），2012年2月10日，49天到期（右下）。蓝线表示内插的市场化波动率。红线是较低的主导隐含波动率∑∑*（t） ，带σ*2（t）/σ*1（t）=κ*.黄线为上主导隐含波动率∑∑*（t） ，带σ*（t） /σ*（t） =κ*. 推杆打击通常选择为Ki（t）=0.95St。0 1 2 3 4 5 6 7σ10123456σ20 500 1000 15000.20.40.60.811.21.4σ2/σ1图6：左侧：校准值（σ（t，τ），σ（t，τ）），每个点对应一个固定值（t，τ）。右侧：σ（t，τ）/σ（t，τ）的值，每个点对应一个固定的（t，τ），其中（t，τ）的值按字典顺序出现。0 500 1000 1500RTIS1价格-20246810120 500 1000 1500RTIS1价格-1-0.500.511.522.533.5图7：（29）给出的各种RTI投资组合的价值（t，τ）。put strike始终选择Ki=0.95St，barrier为U=St。左侧图表上的调用strike选择为Kjσ*（i） ，带σ*2/σ*1=κ*.

右图上的调用次数被选为Kj'σ（i），'σ/'σ是样本上σ（t，τ）/σ（t，τ）的平均值（即总体（t，τ））。0 200 400 600 800 1000 1200RTIS2价格-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.90 200 400 600 800 1000 1200RTIS2价格-2-1.5-1-0.500.51图8：第二个RTIS投资组合的价值，由（33）给出，用于各种（t，τ）。put strike始终选择Ki=0.95St，barrier为U=St。左侧图表上的调用strike选择为Kjσ*（i） ，带σ*/σ*= κ*. 右图上的调用次数被选为Kj'σ（i），'σ/'σ是样本上σ（t，τ）/σ（t，τ）的平均值（即总体（t，τ））。0 500 1000 15000.970.980.9911.011.021.031.041.05K/St0 200 400 600 800 1000 120011.021.041.061.081.11.121.14K/ST图9：RTIS投资组合中不同（t，τ）之间使用的赎回权行使的货币性。左图包含Kjσ*（i） （蓝色），带σ*2/σ*1=κ*, 和Kjσ（t，τ）（i）（橙色），其中σ（t，τ）为PCLVG参数，在时间t，针对成熟时间τ，校准为市场隐含微笑。右图包含skjσ*（i） （蓝色），带σ*/σ*= κ*, 和Kjσ（t，τ）（i）（橙色）。