平滑填充间隙 - 外文文献专区

2022-5-25 14:28:25

平滑填充间隙a。伊奇纳，*, A、 Liptonb，纽约大学卡坦顿工程学院，6 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，美国连接科学与工程，麻省理工学院，77 Massachusetts Avenue，Cambridge MA 02139，美国数学科学研究所，纽约大学，251 Mercer Steet，New York NY 10012，将局部波动率模型校准到给定的期权价格集是一个经典的数学金融问题。在提出各种解决方案的多平台平台中考虑了这一点。在本文中，Lipton和Sepp（2011）提出的方法的扩展是通过i）用分段线性结构替换分段常数局部方差结构，以及ii）允许非零利率和股息收益率。我们的方法在分析上仍然可行；它结合了拉普拉斯变换和库默斯退化超几何函数条件下产生的空间方程的解析解。关键词：局部波动率曲面、分段线性方差、Laplacetransform、无套利插值Jel:C6、C61、G17 Dupire（1994）和Derman andKani（1994）提出的局部波动率模型是一个经典的数学金融模型。本地波动率（LV）表面与市场数据的校准，代表了欧洲期权的价格或一组提前期和到期日的相应隐含波动率，在过去二十年中引起了很多关注。提出了解决这一重要问题的各种方法，见Andreasen和Gig（2011）；Lipton和Sepp（2011）；Itkin（2015）及其参考文献。以下是利普顿和Sepp*相应的authorEmail地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin），alexlipt@mit.edu（A。

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2022-5-25 14:28:29

利普顿）为简洁起见，于2018年1月9日（2011年）作为LS2011提交给爱思唯尔。解决校准问题有两种主要方法。第一种方法试图通过使用一些参数或非参数回归构建一个与市场报价相匹配的连续隐含波动率（IV）曲面，然后通过著名的Dupire公式生成相应的LV曲面，如Itkin（2015）和其中的参考文献。为了实际有用，这种构造应该保证对所有行权和到期日都没有套利，这对于任何基于插值的模型来说都是一个严峻的挑战。如果满足无套利条件，则可使用以下等式（2）计算LVsurface，该等式相当于但比原始Dupire公式更方便。第二种方法依赖于使用解析或数值方法直接求解Dupire方程。这种方法的优点是它可以保证没有套利。然而，Coleman等人（2001年）指出，直接解的问题可能是不适定的，并且计算成本相当高。这两种方法的另一个困难是，校准算法必须很快才能实用。一方面，Dupire方程的解析解或数值解在数值上很昂贵。另一方面，构建无套利IV曲面也可能在数值上具有惊人的挑战性，因为它需要解决一个相当复杂的约束优化问题，参见Itkin（2015）。Lee（2004）指出，机翼中的隐含变化面在归一化走向中应为线性，这一事实导致了额外的复杂性。在本文中，我们扩展了LS2011中提出的方法，该方法基于变换后的Dupire方程的直接解。

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2022-5-25 14:28:32

在LS2011a中，选择了分段常数LV曲面，并提出了一种有效的半分析方法，用于将该曲面校准为稀疏市场数据。然而，有人可以说，理想情况下，LV函数应该在对数走向空间中是连续的。下面，我们通过假设局部方差在对数走向空间中是分段线性的，从而使相应的LV曲面在走向方向上是连续的（但在时间方向上不是连续的），来演示如何扩展LS2011方法。虽然LV函数相对于罢工的导数具有不连续性，但期权价格、Delta和Gammas是连续的。这是为了与LS2011进行比较，在LS2011中，期权价格和Delta是连续的，而期权Gamma是不连续的。我们还允许非零利率和比例股息。我们强调Andreasen和Gigage（2011）中提出的解决方案本质上是静态的，而LS2011中开发的解决方案是完全动态的。论文的其余部分组织如下。第1节介绍了Dupire方程，并讨论了构造LVsurface的一般方法。第2节考虑了求解Dupire方程的所有必要步骤。第3节介绍了源项的无套利插值，该插值在使用拉普拉斯变换时自然出现，并表明使用该插值可以以闭合形式获得包含该源项的所有积分。第4节考虑了一种特殊情况，即局部方差在某个区间上的斜率很小，因此该区间上的线性局部方差函数变为FL。第5节讨论了各种有助于构造Dupire方程一般解的渐近结果。

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2022-5-25 14:28:35

第6节致力于模型的校准，并描述了如何为优化器获得有根据的初始猜测。由于计算拉普拉斯逆变换对于小时间间隔可能会很昂贵，第7节描述了Gathereal等人（2012）在该极限下获得的渐近解，并说明了如何将其用于我们的目的。第8节描述了一组特定市场数据的数值结果。最后一节结束。两个附录中给出了一些额外的证明和推导。1、局部波动率表面是构建局部波动率表面的一般构造块。我们考虑Dupire的看跌期权价格P（远期）方程，该方程是履约价格K和到期时间T的函数，Dupire（1994）。假设基础股票过程阻碍了风险中性度量，则由以下随机微分方程dST=（r- q） Stdt+σ（St，t）dWt，S=S，其中r≥ 0是一个恒定的无风险利率，q≥ 0是一个恒定的连续股息收益率，σ是一个给定的局部波动函数，WT是标准布朗运动。继Ekstrom和Tysk（2012）之后，我们还假设如果St可以在有限时间内达到0，那么0是一个吸收屏障。put P（K，T）读取的Dupireequation，Ekstrom和Tysk（2012）PT=σ（K，T）KK- （r）- q） K级K- QP、 P（K，0）=（K-S） +，（K，T）∈ （0，∞) ×[0，∞), （1） P（0，T）=0，P（K，T）K↑∞= KD，D=e-rT，其中S=St | t=0。如果所有K，T都知道P（K，T）的市场报价，那么可以通过倒推公式（invertingEq）在任何地方唯一地确定LV函数σ（K，T）。（1）。然而，在实践中，已知的市场报价集是成对的离散集（Ki，Tj），i=1，nj，j=1，M，其中nj是到期日Tj的已知报价总数，显然不包括所有k，t。

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2022-5-25 14:28:38

因此σ（K，T）的形式仍然未知。为了解决这个问题，通常为相应的时间片选择σ（K，T）的函数形式。例如，在LS2011中，σ（K，T）被假定为K，T的分段常数函数。作者通过在时间上使用Carson-Laplace变换和在空间上使用Green\'s函数方法，为他们所选择的σ（K，T）的显式形式提出了求解方程（1）的一般方法。这为校准例行程序使用最小平方法打开了大门。当然，通过构造，它会使整个局部波动表面在瓷砖边界处不连续，并在机翼处发生波动。虽然前一个特征本身不一定是一个问题，但如果可能的话，应该避免，但后一个特征更令人不安，因为Marco等人（2013）对此进行了说明；Gerholdand Friz（2015），局部方差的渐近行为在K→ ∞ 和K→ 0。而K的结果→ 0被证明是正确的，至少对于Heston和Stein-Stein模型是如此，结果是K→ ∞ 直接遵循Lee的隐含方差vI矩公式，Lee（2004），以及通过总隐含方差w=vIT，Lipton（2001）表示σ；Gatheral（2006）wL≡ σ（T，K）T=TTw公司1.-十、Xw2w-(Xw）w++Xw，（2），其中X=对数K/F，F=Se（r-q）这是股票的远期价格。因此，如果可能的话，应避免出现局部波动。这就是为什么在本文中，我们考虑空间变量X中的连续、分段线性局部方差v=σ（X，T），对于固定的T=常数。这使我们能够匹配机翼中v的渐近行为，并构建比分段常数情况下更平滑的整个曲面。

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2022-5-25 14:28:42

此外，在LS2011中，利率和股息被假定为零，而这里我们将其考虑在内。如果给出了一些行权和到期日的看涨期权市场价格，我们可以使用看跌平价将其转换为看跌价格，因为对于校准，我们通常使用普通欧洲期权价格。2、Dupire方程的解引入一个新的自变量X和一个新的因变量b（X，T）=e-X/2（KD-P（X，T））/Q，Q=Se-qT是一个按比例覆盖的输入，等式（1）中的问题可以重写为以下bt-vBXX+vB=0，（3）B（X，0）=K- （K）- S） +Se-X/2=e-X/2X>0+eX/2X≤0，B（X，T）X↑-∞= 0，B（X，T）X↑∞= 0，（X，T）∈ (-∞, ∞) ×[0，∞).Lipton（2002）使用了类似的变换来求解后向Black-Scholes方程。假设M个不同到期日T，…，存在期权报价（至少一次履约），商标。还假设对于每个tj，在Xi处提供市场报价，i=1，新泽西州。然后，区间[Xi，Xi+1]上相应的连续分段线性局部方差函数vj（X）读取svj，i（X）=vj，i+vj，iX.（4）子指数i=0，0，vj，0对应于区间(-∞, 十] 。因为vj（X）是连续的，所以我们有vj，i+vj，iXi+1=vj，i+1+vj，i+1Xi+1，i=0，新泽西州- 1.（5）vj（X）的一阶导数在点Xi，i处发生跳跃∈Z∩ [1，新泽西州]。此外，假设v（X，T）是时间的分段常数函数，即vj，i，vj，i不依赖于T的区间[Tj，Tj+1]，j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。在原始因变量K，T中，该条件意味着v（Ki，T）≡ vj，i=vj，i+vj，i[对数（千/秒）- （r）- q） T]，T∈ [Tj，Tj+1]，即局部方差是时间T的（不连续）分段线性函数。

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mingdashike22

2022-5-25 14:28:45

换句话说，在原始对数变量（log K，T）中，函数v（log K，T）在两个变量中都是分段线性的，而在转换变量（X，T）中，函数v（X，T）在X中是分段线性的，在T中是分段常数。因此，可以将X视为自动建模变量。该术语借用自气体和流体的空气动力学和物理学。考虑到上述假设，可通过归纳法求解等式（3）。一个从T=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩[1，m]解决了Bj（X，τ）Bj，τ的修正问题-vj（X）Bj，XX+vj（X）Bj=0，（6）B（X，0）=B（X，0），Bj（X，0）=Bj-1（X，τj-1），j>1B（X，τ）X↑±∞= 0，（X，τ）∈ (-∞, ∞) ×[0，τj]，其中τ=T- Tj公司-1，τj≡ Tj公司- Tj公司-1，bj是对应于时间间隔Tj的等式（3）的解-1.≤ T≤ Tj，j∈ Z∩ [1米]。为了求解公式（6），与LS2011类似，我们使用公式（6）的Carson-Laplace变换^B=L（p）{B}（关于拉普拉斯变换在衍生定价中的应用，请参见Lipton（2001））来获得-vj（X）^Bj，XX+vj（X）+p^Bj=pBj-1（X，τj-1），（7）^B（X，p）X↑±∞= 由于v（X）是一个分段线性函数，也可以为每个区间分别构造等式（7）的解[Xi-1，Xi]。通过考虑式（4）中v（X）的显式表示，从式（7）中获得第i个空间间隔的（b+aX）^Bj，XX+（b+aX）^Bj=pBj-1（X，τj-1），（8）b=-vj，i/2，a=-vj，i/2，b=p+vj，i/8，a=vj，i/8。式（8）是一个非齐次拉普拉斯方程，Polyanin和Zaitsev（2003）。众所周知，如果y=y（X），y=y（X）是相应齐次方程的两个基本解，则式（8）的通解可以表示为^B=Cy+Cy+pI（9）I=yZyBj-1（X，τj-1）（b+aX）WdX- yZyBj公司-1（X，τj-1）（b+aX）WdX，其中W=y（y）X- y（y）Xis是所谓的Wronskian，对应于所选的解y，y。

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2022-5-25 14:28:49

因此，问题归结为寻找齐次拉普拉斯方程的合适基本解。根据Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0和a6=0，一般溶液读数为^Bj=ekXJ（a，0，2k（u- 十）），（10）k=p-a/a=±，u=-ba=-vj、ivj、i、a=bk+b2ak。这里J（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a，b，z）和U（a，b，z），这是第一类和第二类Kummer函数。2.1。数值满意解在每个感兴趣的区间上，我们需要使用数值满意的基本对，Olver（1997）。由于我们的边界条件设置为正和负，因此我们需要整个实线的数值满意解。然而，众所周知，一对Kummer函数在整个实数线内的数值结果并不令人满意。为了克服这个问题，可以构建一个组合解决方案；下面我们将详细介绍我们的结构。作为初步通知，请注意，根据式（10）、式（8）中的定义，变量z可以重新写入为z=-2kvj，i/vj，i.根据局部方差曲线的通常形状及其正性，参见，例如，Itkin（2015）和其中的参考文献，了解X→ -∞, 我们预计vj，i<0。类似地，对于X→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个细节之间，假设给定成熟度Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的。阿尔索夫，i≥ 0十、∈ R、和a=-p/（kvj，i）。考虑到这些观察结果，我们现在提出我们的方法。2.1.1。vj，i<0对于vj，i<0的每个间隔，即。

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2022-5-25 14:28:52

我∈ Z∩ [1，nj]这样X∈【十一】-1，Xi]，X=-∞, xi≤ Xmj，作为Kummer方程的第一个独立解，我们取Y（z）=zU（a+1，2，z），k=1/2，这意味着由于退化超几何方程的线性，Kummer函数的任何线性组合也可以解该方程。局部波动率在某个区间波动的情况，即a=0，和a→ ∞, 参见第4节。a>0。根据z的定义，X=u- z/（2k）=u- z、因此，当X→ -∞ 我们有z→ ∞ 和ekXY（z）→ 该解在整个区间X<xmj内数值稳定，但点z=0除外，该点对应于X=u，或等效地，vj，i=0；如果u<Xmj，该点属于我们的区间。在z=0时，解决方案具有亚伯拉罕点，Olver（1997）。U（a，b，z）的主分支对应于z的主值-a沿间隔在z平面上有一个切口(-∞, 0）。然而，我们可以观察到，在z=0时，等式（8）变成了ADE生成的ODE，其解立即读取^Bj=pBj-1（X，τj-1） b+aX=Bj-1（X，τj-1）。（11）因此，我们可以从以下考虑中排除这种特殊情况，而如果这种情况在实际校准期间发生，我们只使用公式（11）给出的特殊解，而不是一般解。作为vj的Kummers方程的第二个独立解，i<0（或X<Xmj），我们有两个选择：Y（z）=zezU（1- a、 2、，-z）或Y（z）=zM（a+1，2，z）。可以证明，如果我们取前者的k=-1/2（因此a<0且X=u+z），然后两种溶液e-X/2Y（X）和eX/2Y（X）仅相差常数eu，因此它们不是独立的。因此，我们必须保持k=1/2，a>0，X=u-Z

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2022-5-25 14:28:55

但是，然后函数zez+kXU（1- a、 2、，-z）在两个X处发散→ -∞ 在z方向→ 类似地，函数zM（a+1，2，z）也在X处发散→ -∞, 但在z的数值上是稳定的→ 因此，我们必须在方程（9）中的第一个间隔处将C=0(-∞, 十] 在X处保留边界条件→ -∞. 然而，解Y（z）仍然对I有贡献。在下面的内容中，我们将使用Y（z）=zM（1+a，2，z），并显示I在极限X内收敛→ -∞.请注意，解y（z）=ekXzM（a+1，2，z）和y=ekXzU（a+1，2，z）也可以根据Whittakers函数Mp，s（z），Wp，s（z），Abramowitz和Stegun（1964）y（z）=ekuM重新编写-a、 1/2（z），y（z）=ekuW-a、 1/2（z）。因为在我们的案例中，b=0，通过Kummer变换，Olver（1997）；Abramowitz和Stegun（1964），U（a，0，z）=zU（a+1，2，z）。由于局部方差是线性且非负的，因此该点要么位于区间的边缘，要么局部方差在该区间上波动并消失。2.1.2。vj，i>0对于vj，i>0的每个间隔，即。我∈ Z∩ [2，nj+1]这样X∈ 【十一】-1，Xi]，Xnj+1=∞, Xi>Xmj，作为Kummer方程的第一个独立解，我们再次取Y（z）=zU（a+1，2，z），k=-1/2，表示a>0，X=u+z。因此，当X→ ∞ 我们有z→ ∞和ekXY（z）→ 同样，该解在整个区间X>xmje上数值稳定，除了z=0时的奇点（如果u>Xmj）。然而，上一小节中已经给出了等式（8）的解atz=0。就第二个数值稳定解而言，前面小节的分析也适用于这里。因此，我们也可以用k=-1/2，因此a>0，X=u+z。因此，在等式（9）中，我们将C=0放在最后一个间隔[Xnj，∞) Top保留X处的边界条件→ ∞.2.2。

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2022-5-25 14:28:58

整个实数线的组合解上一节中描述的解如表1所示。因此，对于j>1，区间vj，ik z yyC上等式（9）中的解(-∞, 十] <0 1/2u- X eX/2zU（a+1,2,z）eX/2zM（a+1,2,z）0[Xi，Xi+1]<0 1/2u- X eX/2zU（a+1，2，z）eX/2zM（a+1，2，z）fc[Xi，Xi+1]>0-1/2 X- ue-X/2zU（a+1，2，z）e-X/2zM（a+1，2，z）fc[Xmj，∞) > 0-1/2 X- ue-X/2zU（a+1，2，z）e-X/2zM（a+1，2，z）0表1：我们构造了数值上令人满意的Kummer对。这里“fc”指的是连续性。区间i读取^Bi=C（1）1，iy1，i（z）+C（1）2，iy2，i（z）+pI（1）12，i（X），（12）W≡ W1，i=eXzW[U（1+ai，2，z），M（1+ai，2，z）]=-euiΓ（ai+1），其中Γ（x）是伽马函数，I12，iis定义在等式（9）中，并在区间i上计算，i（s）12中的上标表示Iin等式（9）定义中的y1，i（x），y2，i（x）（齐次方程的解）取在相应区域上。我们使用符号C（l）1，i，C（l）2表示积分常数，其中超指数l∈Z∩ [1，2]标记了图1中的相应区域，子索引i标记了j=1的区间，即术语Bj-1（X，τj-1）应替换为eX/2if X∈【十一】-1，Xi]，X≤ 0，带e-X/2如果X∈ 【十一】-1，Xi]，在I12，i的定义中，X>0。此外，为了满足边界条件，参见公式（7），当X→ ±∞. 我们在附录A中证明了这一说法。利用这些结果，我们现在可以继续构建EQ的解。（7）在整个实线X上∈ [-∞, ∞] 通过在所有区间匹配解决方案。假设T=Tjare的卖出价以NJ有序罢工而闻名。Xv（X）XoAXoAXmjXoA。XnjoAnji图1：Dupire方程整体解的构造。

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2022-5-25 14:29:02

1（红色实线-实际（未知）局部方差曲线，2（蓝色虚线）-各线性解。此外，首先假设这些引号可用于K>F和K<F。这些撞击在X线上的位置如图1所示。根据第2节的分析，在开放区间上，公式（7）的解由表1的第一行给出。它包含一个未知常数C（1）1，1因为我们放置C（1）2，由于边界条件，i=0。表1第2行的溶液应用于所有其他间隔Ak-1，k如k所示≥ 1，vj，k≤ 这些解有两个未知常数C（1）1，k，C（2）1，k，因为X在相应区间上是有限的，因此，两个解y（X），y（X）都表现良好。对于Xk，其中vj，k>0和k≤ MJ我们使用表1第三行中给出的解，该解也在X空间中。每个区间有两个未知常数C（2）1、k、C（2）2、Kf。最后，对于间隔X∈ [Xnj，∞)), 我们使用表1最后一行中的解决方案。同样，为了遵守边界条件，我们必须设置C（2）2，nj+1=0。因此，我们有2njunknown常数需要确定。由于局部波动率函数Vi在Xi点连续，i=1，nj，所以应该是解^B（X，τj）。因此，我们要求在点zi，i=1。。。，nj解及其在X中的一阶导数应为X的连续函数。因此，上述常数可解出2njalgebraicequations系统。该系统有一个特殊的结构，可以将其LHS矩阵简化为上三角形式（实际上甚至是上带状形式）。因此，它可以用线性复杂度O（2nj）有效地求解。

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2022-5-25 14:29:06

有关更多详细信息，请参阅LS2011。计算一阶导数时，我们考虑了hi，X=y1，XI（gi（X））- y2，XI（gi（X）），i=1，2，根据Abramowitz和Stegun（1964）M（a、b、z）z=abM（a+1，b+1，z），U（a、b、z）z=-aU（a+1，b+1，z）。此外，在以下章节讨论的一些特殊情况下，可以用修改后的贝塞尔函数来表示解决方案。但众所周知，Abramowitz和Stegun（1964）指出，修改后的贝塞尔函数的导数通过相同的函数集以闭合形式表示。因此，计算解的导数不会产生任何新的技术问题。请注意，在定义公式（9）中的积分时，为了方便起见，我们将积分下限ξ（X）定义如下。对于间隔Awe，取ξ=-∞. 对于每个积分I（Xi），I=2，njwe使用ξi=Xi-1（或zi-1如果积分以z变量表示，请参见附录）。这一选择的灵感来自以下事实：等式（9）中的所有参数Sai、a2、i、b2、i、uiin在区间上都是常数[Xi-1，Xi]。还要注意的是，为了简单起见，在上述构造示例中，市场报价可用于K<F的一组罢工，以及K>F的一组罢工。然而，市场可能只提供一组罢工，使得所有Xi>0或Xi<0。在这种情况下，我们可以如下构造整个解决方案。假设Xi<Xmj，我∈ Z∩ [1，新泽西州]。引入额外的辅助点X*> Xmj。当然，由于这是一个辅助点，因此无法获得相应的市场报价。因此，我们此时不需要校准局部方差。然而，引入这样一个点有助于在整个实线上构造解决方案，类似于上面所做的。

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2022-5-25 14:29:10

未知常数C（2）1，*假设解在点X处连续，也可以找到*, 而C（2）2，*应设置为0以保留边界条件。因此，这个技巧有助于在整个区域构造数值稳定的解(-∞, 十] 当X>Xmj时（当没有点Xi<Xmj时），或在整个区域【Xnj，∞) xnj<Xmj（当没有点Xi>Xmj时）。根据我们的构造，期权值以及期权deltas和gammas在X中是连续的（因此在S中也是连续的）。事实上，在上述情况下，我们要求^B（X，τj）、^BX（X，τj）和vjt是X的连续函数。然后，根据等式（7），710bxxis也是X的连续函数。应用拉普拉斯逆变换，我们得到BXXis也是inX的连续函数，因此，通过定义X，在S中。因此，通过定义B，P，PsPSare也是连续的。这一结果表明，与LS2011相比，我们的模型具有额外的优势，其中期权Gamma是不连续的，因为只有vj的分段连续性。3、积分I（X）的解析表示，以计算某个时间步j的RHS项h（X）=pI（X），需要函数Bj-1（X，τj-1）在上一时间步获得。然而，Tjand Tj的市场报价-1即使行程相同，也应在不同的X集合中给出，因为根据定义，X=log（K/F（T））。因此，当使用数值求积计算等式（9）中的pI（X）时，我们需要知道Bj的值-1（X，τj-1）在尚未计算的X点。解决这个问题至少有两种可能的方法。第一种方法依赖于解决方案^Bj-1每个空间间隔都已知[Xi-1，Xi]。因此，要计算Bj-1（X），Xi-1<X<xi我们可以使用如下所述的拉普拉斯逆变换方法。

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2022-5-25 14:29:13

这也需要计算I（X，τj-1）因为这是^Bj解决方案的一部分-因此，尽管该方法是精确的，但计算成本非常高，因为它需要嵌入到另一个反拉普拉斯变换和数值积分中的反拉普拉斯变换和数值积分。第二种方法（本文提倡）使用插值计算Bj-1（X）给定Bj的值-1（'X），其中'X=X（Tj-1），X=X（Tj）。一般来说，线性插值是有效的，但它会导致违反无套利条件。事实上，根据Cox和Rubinstein（1985），给定三次行权K<K<K的三次看跌期权价格P（K），P（K），P（K），无套利系统readP（K）>0，P（K）<P（K），（13）（K）的必要和有效条件- K） P（K）- （K）- K） P（K）+（K- K） P（K）>0。假设我们想要在区间[K，K]的行权空间中使用线性插值，以确定未知的看跌期权价格P（K），给出P（K），P（K），P（K）的值≡ Pl（K）=P（K）K- P（K）KK- K+P（K）- P（K）K- KK。将此表达式插入式（13）的第二行时，后者的LHS消失，因此违反了第三个无套利条件。然而，如果我们使用线性插值和修改的自变量P（K），这个问题就可以解决≡ PF（K）（14）=P（K）f（K）- P（K）f（K）f（K）- f（K）+P（K）- P（K）f（K）- f（K）f（K），其中f（K）是[K，K]中的凸增函数。实际上，iff（K）是凸的，那么P（K）=PF（K）=Pl（K）- ε、 ε>0（见图2）。将该表达式代入式（13）的第二行得到（K-K） ε>0，这是真的。等式（13）中的第二个条件现在为（P（K）- P（K））（f（K）- f（K））（f（K）- f（K））>0，这也是正确的，因为f（K）是K的递增函数。或者，可以使用非线性插值。

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2022-5-25 14:29:16

在本文中，为了便于跟踪，我们将这两种方法结合起来，并提出以下插值方案EP（K）≡ PF（K）=γ+γKlog K，（15）γ=PKlog K- PKlog KKlog K- Klog K，γ=P- PKlog K- Klog K.在Cox和Rubinstein（1985）中，给出了看涨期权价格的这些条件。在这种情况下，如果我们将P（K）替换为C（K），则第一个和第三个条件与等式（13）中的相同，而第二个条件变为C（K）>C（K）。提案3.1。公式（15）中的插值方案是不可仲裁的。证明观察到，等式（13）中的无套利条件是条件sp>0，PK>0，PK，K>0的离散版本。通过区分式（15）的第一行，可以检查提议的干扰是否符合这些条件，前提是P是K的增函数，所有其他参数的值都是常数。图2：（a）：绝对差值D（P）=P- PL对于无套利非线性插值PN和准确的Black-Scholes看跌期权价格PE，以及线性插值PL。线D（PL）=0对应于PL.（b）：对于无套利非线性BN和线性RBLinterpolations与准确的Black-Scholes看跌期权价格BE的相对差异相同。为了便于说明，在图2a中，我们将无套利插值PN与其线性对应物PLand进行了比较，并计算了Black-Scholes模型的精确价格（为了强调，差值（PN）=PN-PL，D（PE）=PE-PLare显示）。使用以下值计算曲线图：S=100，K=95，K=100，r=0.05，q=0.01，σ=0.5，T=1。

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2022-5-25 14:29:20

很明显，无套利条件是满足的。使用X和B（X，T）的定义和一些代数，可以将等式（14）中B（X）的插值公式改写为B[X，τ]=α-e-X/2+（β+X+β+）eX/2，（16）α-=eX+XRheX+X（k- k） +eXkB（X，T）- eXkB（X，T）i，β+=RheX- eX公司- eXB（X，T）+eXB（X，T）i，β+=相对湿度eXB（X，T）- eXB（X，T）日志F+eXX- eXXi，R=keX- keX。其中ki=Xi+log F。在图2b中，线性BLandnon-linear BN插值与准确的Black-Scholes值的相对差值显示为X的函数。可以看出，在该测试中，差值约为3 bps。现在，式（16）给出的表达式可以替换为式（9）中I（X）的定义。结果表明，相应的积分可以以封闭形式计算，见附录B。有时，对于新到期日，资金外（OTM）或资金内（ITM）罢工可能位于前一到期日罢工覆盖的区域之外。这意味着，在这种情况下不能使用无套利插值，而使用ingeq。（16）因为外推会导致套利。这个问题可以通过以下方式解决。假设在TJ，已知市场报价的最后一次罢工是新泽西州的Kj。假设在Tj+1>Tjwe处，给出了一组新的走向Kj+1,1。。。，Kj+1，nj+1，使得Xj+1，l>Xj，nj，l:nj+1≤ L≤ i、我是一个整数∈ Z∩ [1，新泽西州+1]。现在引入一个辅助点Xj，*, 这样Xj，*>Xj+1、nj+1和Xj，*< ∞. 根据边界条件，我们可以假设B（X*, Tj）=0。然后，有了这个额外的辅助点，外插问题就简化为上面讨论过的内插问题。当Xj+1，l<Xj，1， L∈ Z∩[1，i]对于某些i>0。然后是辅助点Xj，*应在间隔上插入-∞ < Xj，*< Xj+1,1。第一项T的解决方案。

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2022-5-25 14:29:25

对于第一项，我们不需要插值，因为我们知道沿整条实线X的解B（X，0）∈ (-∞, ∞). 它由式（3）中的终端条件给出，如果我们设置α，则它将进入式（16）中的插值公式-= p1X>0且β+=0，β+=p1X≤因此，在这种情况下，I（X）的分析溶液仍然可用，见附录B.4。小| vj，i |根据市场数据校准模型时，可能会出现一些vj，i的值很小，因此| vj，iXi | 在这种情况下，第2节中考虑的解决方案不再有效。因此，我们需要考虑等式（8），它可以用（1+)^Bj，XX+κ-^Bj=pbBj-1（X，τj-1），（17）式中，κ=pb/b，对于每个间隔[Xi-1，Xi]，i∈ Z∩ [2，nj]参数定义为 = vj，iXi/vj，i.If|i | 1，式（17）^bj的通解可以表示为, i、 e.，^Bj=∞Xs=0^B（s）j（X）s、零阶近似。在零阶近似下，等式（17）可以写成^B（0）j，XX+κB（0）j=pbBj-1（X，τj-1），因此相应的方差是分段常数。该方程的一般解的形式为^B（0）j=Cy（X）+Cy（X）+pbI（X），（18）y=eiκX，y=e-κX，I=yZyBj-1（X，τj-1） WdX公司- yZyBj公司-1（X，τj-1） WdX。显然，对于这些y，y（在数值上总是令人满意的），我们有W[y，y]=-2iκ。

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2022-5-25 14:29:28

同样，我们使用无套利插值。LS2011中考虑了情况vj，i=0，其中积分i（X）是数值计算的。在上一时间步获得的显式计算I（X）的解：I（X，κ）=ZeiκXBj-1（X，τj-1） dXW=-2iκZeiκX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=-2iκ“α-δ-eδ-X+β+（δ+X- 1） +δ+β+δ+eδ+X#，δ±=κ±1/2，I（X）=-2iκZe-κX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=2iκ“α-δ+e-δ+X+β+（δ-X+1）+δ-β+δ-E-δ-X#，I（X）=e-iκXI（X，κ）- eiκXI（X，κ）=-iκhA-E-X/2+A+eX/2i，A-= α-δ++δ-,A+=β+（δ-X+1）+δ-β+δ-+β+（δ+X- 1） +δ+β+δ+。这些解决方案可以被视为LS2011的进一步改进，因为它们嵌入了无套利插值，以及ii）该插值允许以闭合形式计算源项。显然，使用这种方法可以显著加快计算速度。一阶近似。一阶近似值 1，式（17）的形式为X^B（1）j，XX+（2+κX）^B（1）j=XB（0）（X），B（0）（X）=κ+^B（0）j-pbBj公司-1（X，τj-1）。如果| X | 1，则^B（1）j=XB（0）（X）。否则，该方程的解为，见Polyanin和Zaitsev（2003），^B（1）j=C+Cy（X）+I（X），（19）y=-κEi(-κX）-E-κXX，W=e-κXX，I=ZyXB（X）WdX- yZXB（X）WdX，其中Ei（X）是指数积分，Abramowitz和Stegun（1964）。如果κ>0，则当X→ -∞, i、 e.，位于FirstInterval。如果κ<0，当X→ ∞, i、 e.，在verylast间隔。5、参数| a |值较大。在许多实际情况下，公式（10）中的参数| a |可能会变大。事实上，从第2.2节的分析可以得出| ai |=2p/| vj，i |。我们感兴趣的p值可以通过考虑以下事实来估计：对于拉普拉斯逆变换的计算，我们使用第6节中描述的Gaver-Stehfest算法。然后，根据公式（26），p=s（log 2）/τj，其中s从1运行到N=12。

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mingdashike22

2022-5-25 14:29:33

因此，对于τj=0.1的典型值，p在7到83之间变化。同时，通常| vj，i |=O（0.1），因此| a | 1、摘自Abramowitz和Stegun（1964）；Olver（1997）我们知道，对于a的大值，U（a+1，2，z）的值非常小，而U（1）的值-a、 2、，-z）非常大。因此，未知常数C（2）1，i，C（2）2，iis的计算很困难，因为i）它需要高精度的算法，ii）它非常不稳定。另一方面，在这种情况下，我们有一个小参数1/| a | 公式（8）中的1，所以我们可以找到Q的渐近解。（8）。我们从严格定义小参数ε开始≡ -这里，当选择k的符号时，我们不应该依赖于第2.2节的分析，因为我们只需要在ε→ 0.下面我们假设|ε| 1、牢记这一定义，并使用公式（10）中的定义，我们将公式（8）改写为\'X^Bj，XX+2公里-ε？X^Bj=2kBj-1（X，τj-1），X=X- u，（20），其中| 2k |=1。该方程属于Wasow（1987）提出的奇摄动微分方程类。它可以通过在下面的公式中使用来解决，为简单起见，我们省略了模，也就是说ε很小，我们的意思是|ε| 1.匹配渐近展开法，Nayfeh（2000），或边界函数法，Vasil\'eva等人（1995），我们将在下面使用。需要一种特殊方法是因为，对于未知函数^B（X，τ）在小参数ε幂级数中的正则渐近展开，零阶近似产生^B（0）（X，τj）=Bj-1（X，τj-1）。这里上标（0）表示近似的阶数。

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2022-5-25 14:29:36

显然，这个不依赖于任何自由参数的解在区间终点附近是不正确的[Xi-1，Xi]，其中解及其一阶导数必须是X的连续函数。因此，我们没有任何自由度来满足此连续性。这就是为什么等式（20）属于奇摄动微分方程类，无法使用ε幂的正则展开式求解。继Vasil\'eva等人（1995年）之后，我们表示了区间上等式（20）的解【Xi】-1，Xi]形式为^B（X，τj）=∞Xs=0εs^B*,s（X，τj）+∞Xs=0εs∏（s）（xi-1，τj）+∞Xs=0εsΞ（s）（xi，τj）。（21）此处为^B*（X，τj）是所谓“约化”方程的解，而∏（xi-1，τj）和Ξ（xi，τj）是所谓的边界函数。边界函数在远离边界Xi的地方消失-1，Xiwhenε→ 另一方面，需要它们来确保解满足边界条件。对于任何较小的固定ε 1，ε6=0渐近解是精确解的近似值，可在N为任意正整数的情况下得到O（εN），见Vasil\'eva等人（1995）。同样在等式（21）xi中-1=（X- xi-（1）/√ε是到左边界的拉伸距离，xi=（X- 十一）/√ε是到右边界的拉伸距离。基于Vasil\'eva等人（1995）的方法，在零级近似下，简化方程如下所示：→ 0，有心房溶液^B，0*（X，τj）=Bj-1（X，τj-1）。然后，从式（20）中，边界函数∏（0）（x，τj）求解方程（x- ui）∏（0）xx（x，τj）+2k∏（0）（x，τj）=0。

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2022-5-25 14:29:39

（22）后者具有以下溶液，Polyanin和Zaitsev（2003）∏（0）（x，τj）=Cφi-1（x）I（2φI-1（x））+Cφi-1（x）K（2φi-1（x）），（23）φi-1（x）≡ -2k（x- ui）=-2公里√ε十、- xi-1.-√εui.这里，C表示两个积分常数，I（x），K（x）表示第一类和第二类修正贝塞尔函数。我们必须证明∏（0）（x，τj）→ ε时为0→ 根据Abramowitz和Stegun（1964），我们知道这对于K（2φi）是正确的-1（x））如果k<0，则从x>Xi-1，但不适用于I（2φI-1（x））。因此，在公式（23）中，我们必须计算C=0，k=-1/2。注意，对于vj，i<0ε∈ C、但这不是一个问题。类似的论证表明，对于ε中零级近似的Ξ（0）（x，τj），解为Ξ（0）（x，τj）=Cφi（x）K（2φi（x）），φi（x）=-√ε十、- xi-√εui.因此，等式（20）的零阶渐近解的形式为^B（0）（X，τj）=Bj-1（X，τj-1） +Cφi-1（x）K（2φi-1（x））+Cφi（x）K（2φi（x））。未知常数C，cca可以使用下一节中描述的方法找到。Bj的值-1（X，τj-1）在Xi点-1，可以通过使用第3节中描述的无套利插值来获得。ε中的下一个近似值也可以基于Vasil\'eva等人（1995）的一般方法构建。现在，简化后的方程式读数为“X^B(*,0）XX（X，τj）-\'\'X^B(*,0）（X，τj）+2k^B(*,1）（X，τj）=0，具有明显的解^B(*,1）（X，τj）=2k'X十、 X^Bj-1（X，τj-（1）-^Bj-1（X，τj-（1）.As^Bj-1（X，τj-1）求解等式（7），我们可以表示十、 X^Bj-1（X，τj-1）表格中J>1十、 X^Bj-1（X，τj-1） =-2pvj-1，i（X）Bj-2（X，τj-（2）-2pvj-1，i（X）+^Bj-1∏（1）（x，τj）的方程式为（x- ui）∏（1）xx（x，τj）+2k∏（1）（x，τj）=（x- ui）∏（0）xx（x，τj）=-k∏（0）（x，τj）。这个方程类似于公式（22），唯一的区别是现在它是非均匀的。

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2022-5-25 14:29:43

因此，其解为∏（1）（x，τj）=φi-1（x）K（2φi-1（x））+I（1）I-1、（24）I（1）I-1=-k（φi-1（x）I（2φI-1（x））ZK（2φi-1（x））φi-1（x）∏（0）（x，τj）dx- φi-1（x）K（2φi-1（x））ZI（2φi-1（x））φi-1（x）∏（0）（x，τj）dx）=-k（φi-1（x）I（2φI-1（x））ZK（2φi-1（x））dx- φi-1（x）K（2φi-1（x））ZI（2φi-1（x））K（2φi-1（x））dx）Prudnikov et al.（1986）我们有zk（2φi-1（x））dx=φi-1（x）K（2φi-1（x））- K（2φi-1（x））K（2φi-1（x）），ZI（2φi-1（x））K（2φi-1（x））dx=ZI（2√十、- ui）K（2√十、- ui）dx=2ZyI（2y）K（2y）dy=yh1+4年I（2y）K（2y）- I（2y）K（2y）I-, Y≡ φi-1（x），I（2y）=2I（2年）-yI（2岁）, K（2y）=-2.K（2y）+yK（2y）.我们强调，在公式（24）中，我们不需要自由常数，因为它们已经出现在零阶解中。因此，可以通过为这些常数选择适当的值来满足边界条件。因此，可以以类似的方式找到函数Ξ（1）（x，τj）。总的解决方案由表达式（24）给出，其中φi-1（x）必须用φi（x）替换。这就完成了一阶近似的构造。我们不会为^B（s）（X，τj），s>1构建高阶近似值，因为前两项的合并已经提供了精度为O（ε）的良好近似值（因为ε通常为0.1阶或更低）。此外，正如我们在数值实验中所观察到的，使用这些渐近解作为校准过程的一部分，可以使后者相当稳定。6、校准程序校准程序从j=1到j=M的每个时间步按顺序运行。给定前一时间步bj的溶液-1（X，τj），我们继续对参数svj，i，vj，i，i=0，…，进行一些初始猜测，新泽西州。实际上，我们只需要对vj进行猜测，i，i=0，nj和vj，nj，因为根据式（5）vj，i=vj，nm+njXk=i+1Xk（vj，k- vj，k-1），i=0，nj- 1.

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2022-5-25 14:29:48

（25）因此，待确定的未知参数总数为nj+2。由于给出了Tjonly njmarket的成熟度报价，我们需要两个附加条件来提供独特的解决方案。例如，通常交易员对波动率表面的渐近行为有直觉，根据我们的构造，它由vj，njandvj，0决定。使用给定到期日的解析解^Bj（X，p），通过计算逆卡森-拉普拉斯变换，可以类似于LS2011计算标度看跌期权价格B（Xi，τj）。后者可以通过使用Gaver Stehfest算法（X，τj）=（N）Xs=1St（N）sk^B（X，s∧），λ=log 2τj）进行有效的形式化。（26）许多论文（例如，见Kuznetsov（2013）和其中的参考文献）研究了该算法，并且，如果得到的函数是非振荡的，则收敛速度非常快。例如，选择N=12通常很有效。可以明确找到系数St（12），例如，参见LS2011。众所周知，该算法的实现需要高精度的算法。这种影响对于小τj尤其明显，所以除非使用足够数量的重要数字，否则反演可能在数值上变得不稳定。一旦计算出所有期权价格，就可以将其与给定的市场报价进行比较。因此，可以使用某种最小二乘法最小化程序来确定所有未知参数的最终值。如果j=1，则前一时间解就是Payoff函数。该模型将期权价格与市场报价进行比较。就复杂性而言，在每次迭代中，我们需要计算njspatial点和N个temporalpoints的解，前者由Gaver-Stehfestalgorithm给出，后者由Gaver-Stehfestalgorithm规定。此外，如式（12）所示，每个此类解决方案都需要2njconstants C。。。，C2nj，用于求解相应的线性方程组。

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2022-5-25 14:29:51

如前所述，由于其特殊的结构，该系统可以以O（2nj）的复杂性求解。总的来说，执行一次迭代的复杂性是O（2njN）O（Ku），其中O（Ku）是在一个空间点上为解计算所有Kummers函数的复杂性。与LS2011相比，这似乎是一个显著的性能改进，例如，在LS2011中，源项的计算需要数值积分。6.1。校准的初始猜测。显然，校准是一个耗时的过程，因此，拥有智能的初始猜测可以显著提高其收敛速度。假设我们已经获得了到期时间Tj，j的所有参数值∈ [1，j]，j<M，现在需要运行成熟度Tm的校准，M=j+1。还假设我们得到了市场价值SW（m，i），i=1，NM表示隐含方差。为了对校准程序进行“有教育意义的”初始猜测，我们建议使用公式（2）来获得vm，i，i=1，…，的初始值，纳米- 1和vm，nm。尤其是第一衍生产品Tw（m，i），公式（2）右侧的Xw（m，i）可以通过一阶有限差来近似，使用走向和时间空间中的两个给定w值以及二阶导数Xw通过在行程空间中使用三个给定w值的二阶近似。计算时Tw（m，i）≈ [w（m，Ki）-w（m-1，Ki）]/τmitis可能是市场报价w（m-1，Ki）在Tm上不可用-1.在这种情况下，在Tm处给定引号的K内插/外推-1可用于获取此值。该计算生成σm，i，i的值∈ Z∩[1，纳米]。

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mingdashike22

2022-5-25 14:29:55

如果其中一些是负数，则可以用一个小的正数δ来代替。接下来，我们使用公式（25）并获得形式为vm，nm+nmXk=iXk（vm，k）的线性方程组- vm，k-1） +vm，iXi=σi，m，i∈ [1，纳米- 1] ，vnm，m=σnm，m- vnm、mXnm，其中给出了值vm、nm、vm、0。由于该系统是上三角系统，因此可以用线性复杂度O（nm）有效地求解。上一节提到了短期TA的期权价格，使用Gaver Stehfest算法计算逆位置变换需要非常高精度的小τj算法。因此，在这一限制下，以不同的方式解决修改后的Dupire方程是有意义的，即在τj处使用其解的渐近展开→ 0，另请参见LS2011。对于局部波动率的时间齐次模型，即当波动率不明确依赖于时间时，该问题被认为是不变性的论文，参见Gatheral等人（2012）和其中的参考文献。Gatheral等人（2012年）对时间不均匀模型进行了进一步分析。本文利用一维时间非均匀扩散的转移密度函数的展开式，得到了x=对数S的欧式看涨期权价格C（τj，x）的渐近表示。如果x<log K，则该渐近解为-（τj，x）=vj（K）K√2πu（x，log K）d（x，log K）τ3/2jexp-d（x，log K）2τj,d（x，y）=Zyxdxpvj（x），（27）u（x，y）=vj（x）vj（y）！1/4出口-（y）- x） +（r- q） Zyxdsvj（s）,其中上标(-)用于表明该溶液对应于tox<log K。此外，在推导公式（27）时，假设十、∈ RC>0:C-1.≤ σj（x），|σj（x）|≤ C、 |σj（x）|≤ C、当S→ 0和S→ ∞.计算所有罢工的买入价C（τj，xi），i=1。

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2022-5-25 14:29:58

，nj和特定到期日τj mini（1/σj，i），我们也可以使用看跌期权平价计算相应的看跌期权价格。然后，可以通过校准找到局部方差函数的运行参数。注意，由于vj（x）在x中是分段线性的，因此等式（27）中的积分也可以构造为各种贡献的总和。当计算这些贡献时，我们基于这样一个事实：如果x，y属于区间i，那么在我们的符号中，这个区间的方差x=log K- （r）- q） T型- 十、区间由公式（4）给出，因此d（X，y）=Zyxdxpb- ax=apb+aY-pb+aX,Zyxdsvj（s）=alogb+aYb+aX，其中b=b+a（log K+κ）。如果x>log K，来自Gatheral et al.（2012），我们有c+（τj，x）=ex- 柯-rτj- C-（τj，x）。8。结果与讨论在我们的数值测试中，我们使用了与Itkin（2015）中相同的数据集，即我们从http://www.optionseducation.org2014年3月25日，XLF在NYSEARCA交易。该指数的现货价格为S=22.64，r=0.0148，q=0.01。期权隐含波动率（IV）见表2、3。我们接受所有OTM报价和一些ITM报价，这些报价与ATM非常接近。当看涨期权和看跌期权同时出击时，我们取Icalandiput的平均值，权重与1成比例- ||坎德1- ||特别是，其中C减持期权买入和卖出Delta。我们已经提到，在我们的模型中，每个术语在正负单位处的微笑斜率vj、Nj和vj，0都是自由参数。交易员往往对这些价值有直觉。然而，在我们的数值实验中，我们只取了一些合理的值，如表5所示。通过这样做，我们确实考虑到了Ahoniemi（2009）中报告的影响，他指出，根据与相同价格相对应的看涨期权和看跌期权价格计算的IVs并不一致，尽管理论上它们应该相等。

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kedemingshi

2022-5-25 14:30:01

我们的权重是根据纯粹的经验法则选择的，需要对这种影响进行更详细的调查。j Tjvj，0vj，nj1 2014年4月4日-0.1206 0.10002 2014年4月19日-0.1000 0.10003 2014年5月17日-0.1309 0.10004 2014年6月21日-0.1000 0.10005 2014年7月19日-0.1000 0.10006 2014年9月20日-0.1000 0.1000表5：表2、3中选项数据的参数vj、0和vj，NJ。图3：使用选项卡中的全套数据构建的市场价格逐项拟合。2,3。在根据市场数据校准模型时，我们使用标准的Matlab fmincon函数。我们从使用“活动集”算法开始，如果它不收敛，则切换到“sqp”算法。我们强调，这一步骤的优化不是本文的主题，为了更详细地讨论与局部波动率曲面校准相关的各种问题，我们请读者参阅Lindholm（2014）最近的一篇论文及其参考文献。因此，这里提供的校准纯粹是为了说明目的，当然可以使用更复杂和强大的算法来产生更大的效果。图3给出了这种校准的结果。这里，每个子图对应一个成熟度T（在图例中标记），并显示市场数据（离散点）和计算值（实线）。这个简单的localcalibration算法提供了相当不错的结果，除了X=-最后一个子批次中为0.5。对于前两个到期日，我们成功地使用了第7节中描述的渐近方法。然后，对于接下来的两个到期日，第5节中描述的方法提供了良好的结果。最后，对于最后两个成熟度，必须使用通用算法与第5节所述算法的组合。通过该拟合获得的局部方差曲线在图4中按项给出。相应的局部方差曲面如图所示。

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