然而，我们的方法结合了CarsonLaplace变换的应用和由此产生的非齐次有序微分方程的Kummer超几何函数的解，仍然具有分析上的可处理性。当使用CarsonLaplace变换方法求解修改后的Dupire方程时，必须认识到以下问题。为了在某个时间步j计算源项h（X）=pI（X），我们需要函数Bj-1（X，τj-1） 在上一时间步获得。然而，市场对到期日Tjand Tj的报价-1即使罢工K相同，也应在不同的X设置下给出，因为根据定义，X=对数（K/F），F=F（T）。因此，我们需要Bj的值-1（X，τj-1） 在某些尚未计算的X点。LS2011使用插值获得所需的值。然而，必须小心地构建此插值以保持无套利。在本文中，我们提出了一种插值方法，它允许以闭合形式计算源项，并证明了我们的插值方法不会产生套利。此外，我们注意到，对于较小的成熟度或陡峭的局部方差斜率，使用通用算法通常会导致各种效率和不稳定性。因此，对于这些特殊情况，我们提出了使用渐近（正则或奇异）展开构造的交替方法，这些方法不受这些问题的影响。我们认为，这是前两段所述一般方法的一个有趣且实际重要的扩展。数值实验证明了该方法的鲁棒性。

显然，源项和辛解的闭式解（以计算量小于Kummer函数的函数表示）显著加快了校准速度。通过使用Gaver Stehfest算法的内部并行性，以及Kummer函数对应于不同点（Xi，i∈ Z∩[1，nj]对于给定的到期日Tj应并行计算。就其性质而言，我们的模型（以及任何其他LV模型）仅为当前市场快照提供了一个fit，并且没有考虑本地波动表面本身的任何动态。虽然后一个问题应该单独研究，但我们对LV的选择足够节省，从而大大促进了这一努力。致谢SAI感谢Christoph Burgard提出的有用意见。参考Abramowitz，M.，Stegun，I.，1964年。数学函数手册。多佛出版公司，阿霍尼米，K.，2009年。建模和预测隐含波动率。赫尔辛基经济学院博士论文。Andreasen，J.，Gigg，B.，2011年3月。波动率插值。风险杂志，76–79。Coleman，T.、Kim，Y.、Li，Y.、Verma，A.，2001年。具有非确定性局部波动函数模型的动态套期保值。《风险杂志》4（1），63–89。Cox，J.，Rubinstein，M.，1985年。期权市场。普伦蒂斯大厅。Derman，E.，Kani，I.，1994年2月。微笑着骑马。风险，32–39。杜皮尔，B.，1994年。微笑定价。风险7、18–20。Ekstr–om，E.，Tysk，J.，2012年。bubles的Duppire方程。《国际理论与应用金融杂志》15（6），1250041–1250053。Gathereal，J.，2006年。波动性表面。威利金融。Gathereal，J.、Hsu，E.、Laurence，P.、Ouyang，C.、Wang，T.，2012年。局部波动率模型中隐含波动率的渐近性。《数学财务》22（4），591–620。Gerhold，S.，Friz，P.，2015年。

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多佛出版社。附录A X的I（X）收敛性→ ±∞.在本附录中，我们证明了以下命题：命题A.1。对于X→ ±∞ 等式（9）中定义的函数I（X）消失。证明首先，我们打算证明j=1的这个命题。在这种情况下，theEq。（9） 形式为^B=（Cy+Cy+ph（X），X≤ 0，Cy+Cy+ph（X），X>0，（A.1）hi（X）=yI（gi（X））- yI（gi（X）），i=1，2，g（X）=eX/2，g（X）=e-X/2，Is（gl（X））=ZXξysgl（X）（b+aX）WdX，s，l∈ Z∩ [1，2]。因此，在这种情况下，如果X≤ 0，如果X>0，则I（X）=h（X）。完成后，由于X处的边界条件→ -∞, 式（9）中的函数^B（X，τj）趋向于式（A.1）中的g（X），并且在X处→ ∞ 我们有^B（X，τj）→ g（X）。因此，在X→ -∞ 我们有I（X）→ h（X），andat X→ ∞, 类似I（X）→ h（X）。因此，证明的第一步是充分证明命题的完整性。在X处→ -∞ （根据第2.1节，该区域属于vj，i<0的区域）我们有z→ ∞,根据表1和等式（A.1）I（g（X））=Zy（X）g（X）（b+aX）WdX=Γ（A+1）ae-u/2Ze-z/2M（1+a，2，z）dz，（a.2）I（g（X））=Zy（X）g（X）（b+aX）WdX=Γ（a+1）ae-u/2Ze-z/2U（a+1，2，z）dz。因此，h（z）=Γ（a+1）aG（z），（a.3）G（z）≡ E-z/2M（1+a，2，z）z-z/2U（a+1，2，z）dz- E-z/2U（1+a，2，z）Ze-z/2M（1+a，2，z）dz。来自Olver（1997），z→ ∞ 我们有以下渐近级数表示u（a，2，z）=Φ∞（z） ，Φn（z）≡ Z-anXs=0（a（a- 1） ）ss！(-z）-s、 （A.4）M（A，2，z）=ψ∞（z） ，ψn（z）≡埃扎-2Γ（a）nXs=0（1- a） s（2- a） ss！Z-s、 其中（·）是Pochhammer符号。让我们以与等式（A.3）中G（z）相同的方式定义函数Gn（z），但替换U（A，2，z）=Φ∞（z） 带Φn（z）。很明显，limn→∞Gn（z）=G（z）。

将公式（A.4）代入该定义并逐项执行积分，我们得出-z/2Φn（z）=-2.-anXs=0f（a，s）2n-s(-1） sΓ(-s- a、 z/2），（a.5）z-z/2ψn（z）=-(-2） anXs=0f（a，s）2n-s(-1） sΓ(-s+a，-z/2），f（a，s）=（a（a- 1） ）ss！。式中，Γ（a，z）是不完全伽马函数。Olver（1997）在z→ ∞我们有Γ（a，z）=za-1e级-Z∞Xs=0(-1） s（1- a） szs。将此表达式代入公式（A.5）并收集项，我们可以检查此系列中的前导项是否为Gn（z）~ Z-2、因此，Gn→ z处为0→ ∞因为这个收敛速度不依赖于n，所以我们可以取极限n→ ∞ 看看G（z）→ z处为0→ ∞. 因为在k=1/2时，z=u- 十、 这意味着h（X）→ X为0→ -∞.对于h（x），I（g（x））、I（g（x））的表示类似于等式（A.2）中的表示，并且readsI（g（x））=Zy（x）g（x）（b+aX）WdX=-Γ（a+1）ae-u/2Ze-z/2U（1+a，2，z）dz，I（g（X））=Zy（X）g（X）（b+aX）WdX=-Γ（a+1）ae-u/2Ze-z/2M（1+a，2，z）dz。因为我们需要极限z→ ∞, 这些积分收敛到零的证明类似于之前的z情形→ -∞. 因此，h（X）→ 0代表X→ ∞. 附录B I（X）的闭式解在这里，我们推导出式（9）中I（X）的解析表达式，其中考虑了我们对B（X，τj）的近似值-1） 如第3节所示，andreadsI（X）=yI（X）- yI（X），I（X）=ZXξyBj-1（X，τj-1） （b+aX）WdX=ZXξy[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]（b+aX）WdX，I（X）=ZXξyBj-1（X，τj-1） （b+aX）WdX=ZXξy[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]（b+aX）WdX。假设我们在区间[Xi，Xi+1]上计算这些积分，即X∈[十一，十一+一]。作为积分ξ的下限，可以方便地选择ξ=Xi。然后是系数a，这个区间上的裸常数，以及面积α，β。应根据第2节的分析选择均相溶液y，y。vj，i<0。

根据表1，对于负vj，iwe havey=zeX/2U（a+1，2，z），y=zeX/2M（1+a，2，z），W=-euΓ（ai+1），z=u- 十、 因此，I=-Γ（a+1）e-uZeX/2zM（1+a，2，z）b+aX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=Γ（a+1）aα-J+β+euJ+euβ+J,J=ZM（1+a，2，z）dz，J=Ze-zM（1+a，2，z）dz，J=z（u- z） e类-zM（1+a，2，z）dz=uJ- J、 J=Zze-zM（1+a，2，z）dz。从Ng和Geller（1970）中，经过一些变换，我们得到了j=Ze-zM（1+a，2，z）dz=ae-zM（1+a，1，z），J=zM（1+a，2，z）dz=aM（a，1，z），J=Zze-zM（1+a，2，z）dz=ze-zM（a+2，3，z）。类似地，I=-Γ（a+1）e-uZeX/2zU（1+a，2，z）b+aX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=Γ（a+1）ae-uα-J+β+euJ+β+euJ,J=ZU（1+a，2，z）dz，J=Ze-zU（1+a，2，z）dz，J=ZXe-zU（1+a，2，z）dz=uJ- J、 J=Zze-zU（1+a，2，z）dz。同样，从Ng和Geller（1970）中，我们可以得到j=ZU（a+1，2，z）dz=-aU（a，1，z），J=Ze-zU（a+1，2，z）dz=-E-zU（a，1，z），J=Zze-zU（a，2，z）dz=-ze公司-zU（a+2，3，z）。vj，i>0。根据表1，对于正vj，iwe havey=ze-X/2U（a+1，2，z），y=z-X/2M（1+a，2，z），宽=-euΓ（a+1），z=u+X.HenceI=-Γ（a+1）e-uZze-X/2M（1+a，2，z）[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]b+aXdX=-Γ（a+1）ae-uα-euI+β+I+β+I,I=Ze-zM（1+a，2，z）dz=J，I=zM（1+a，2，z）dz=J，I=z（z- u）M（1+a，2，z）dz=I- uJ，I=ZzM（1+a，2，z）dz=z- 凌晨1点（a、1、z）+凌晨1点（a- 1，1，z）。类似地，I=-Γ（a+1）e-uZze-X/2U（1+a，2，z）[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]b+aXdX=-Γ（a+1）ae-ueμα-P+β+P+β+（P- uP）,P=ZU（1+a，2，z）dz=J，P=Ze-zU（1+a，2，z）dz=J，P=ZzU（1+a，2，z）dz=-za公司U（a，1，z）+a- 1U（a、2、z）.