精确光滑项结构估计

2022-5-25 09:32:30

电子邮件：sander。willems@ep佛罗里达州。ch参数化方法为折扣曲线的（部分）施加特定的函数形式，并通过最小化定价误差来校准参数。在整个成熟度领域定义的单件函数的例子包括Nelson和Siegel（1987）以及Svensson（1994）的开创性工作。这些是典型的低维参数形式，在曲线的一般形状比精确值更重要的定性研究中（例如，中央银行的货币政策）是首选。然而，单件函数形式对参与交易的机构来说过于严格，因为它们更喜欢有一条完美复制市场报价的贴现曲线，以便在一个单一的无套利估值框架内标记其账簿，而不是为整个到期范围指定一个单一函数，多项式样条方法采用分段多项式规格。术语结构估计中的第一个应用可追溯到McCulloch（1971、1975），其中使用普通最小二乘回归将二次和三次样条曲线直接拟合到贴现函数。Steeley（1991）提出使用B样条来克服McCulloch（1971、1975）遇到的病态矩阵。我们参考Hagan和West（2006）对其他几种基于样条线的算法hms的调查。通过增加样条曲线中的节点数量，可以实现与市场数据的接近。然而，节点数量和位置的选择仍然是完全不合理的。第二类估计方法是非参数方法。这些方法不是在贴现曲线（变换）上强加一个局部函数形式，而是最小化与曲线的平滑度和优度相关的范数。

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2022-5-25 09:32:33

文献中考虑了平滑度的几个定义。Delbaen和Lorimier（1992年）以及Frishling和Yamamura（1996年）最小化了远期曲线的综合平方一阶导数，认为不同区域的远期利率不应变化太大。Adams和Van Deventer（1994年）、Lim和Xiao（2002年）等使用前向曲线的积分平方二阶导数作为平滑度的度量。这两种方法都会产生多项式样条曲线，以获得最佳正向曲线。Manzano和Blomvall（200 4）、Andersen（2007）和Kwon（2002）考虑了这两种度量的组合，并表明这会产生所谓的双曲或张力样条曲线。上述所有论文都涉及贴现曲线（通常是远期曲线）的转换和数值例程，以求解最优曲线。Delbaen和Lorimier（1992年）以及Adams和Van Deventer（1994年）的著作除外，因为在特殊情况下，基准工具集仅由零息票债券组成。然而，在现实中，零息票债券几乎从未进行过流动交易，贴现曲线必须根据有息票债券或掉期利率进行估计。本文介绍了一种基于Moor e–Penrose伪逆的易用非参数方法。我们在有限维希尔伯特函数空间中搜索折扣曲线，该曲线具有最小范数，并精确地为一组线性固定收益工具（如FRA、掉期或息票债券）定价。范数与贴现曲线的积分平方二阶导数有关。最佳贴现曲线由一条三次样条曲线给出，该曲线的节点恰好位于基准工具的现金流日期。

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能者818

2022-5-25 09:32:36

因为我们直接平滑贴现曲线函数，所以最优曲线是以闭合形式给出的，只需要简单的线性代数计算。本文件中的方法与L orimier（1995）、Adams和Van Deventer（199 4）、Tanggaa rd（1997）、Andersen（2007）和其他人的方法非常相似，但他们都专注于估算贴现曲线（如前向曲线）的转换。据我们所知，本文是第一篇对贴现曲线本身的非参数估计进行全面处理的论文。我们认为，我们的方法是一种有价值且易于使用的方法，可以替代更复杂的数值算法，以找到平滑的贴现曲线。我们的方法旨在准确再现基准工具的价格。当基准k工具是Libor相关的流动工具（如掉期）时，这是一种常见做法。价格通常被视为中等价格。当使用息票债券构建贴现曲线时，买卖范围更大，原则上允许贴现曲线产生任何在此范围内的价格。我们展示了如何在买卖范围内合理选择价格，从而最大限度地提高折扣曲线的平滑度。在基准工具是息票债券的情况下，我们将其归结为求解具有线性等式约束的凸二次规划问题。正如Vasicek和Fong（1982年）和Shea（1984年）最初强调的那样，将多项式样条直接拟合到贴现曲线不必产生正的或单调的非递增贴现曲线。Barzanti和Corradi（1998）使用张力样条线，手动增加样条线中的张力，直到避免出现问题。Chiu等人。

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2022-5-25 09:32:40

（2008）、L aurini和Moura（2010）、Fengler和Hin（2015）等对用于表示贴现函数的B样条曲线施加形状约束。我们的方法产生的贴现曲线不能保证是正的或单调的非递增的，但是我们在所研究的数值例子中没有发现这是一个问题。我们开发了我们方法的有限维对应物，通过数值求解具有线性不等式约束的凸二次规划问题，可以很容易地将正性和单调性约束结合起来。本文的结构如下。第2节讨论了期限结构估计问题，并简要回顾了传统引导法中所采取的步骤。第3节介绍了我们提出的方法背后的理论。在第4节中，我们讨论了最优折扣曲线对投入价格的敏感性。本节特别说明了如何从买卖范围中选择最佳价格。第5节用市场数据说明了我们的方法。第6节包含我们方法的有限维等效物。第7节结束。附录包含所有证据。2估计问题假设今天是时间0，用p=（p，…，pn）表示净收益工具的观察价格。用0表示≤ x<···<xn这些工具所有现金流日期的联合，并调用C=（cij）相应的n×n现金流矩阵。如果现金流日期是指与工具定价相关的每个日期。工具i在时间xj没有现金流，那么我们只需将cij设置为0。这n种工具中包含的关于贴现曲线的信息可以用线性系统总结如下：Cd=p，（1）d=（g（x），g（xN））其中g（x）表示在x年内到期的零息票债券的价格。

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2022-5-25 09:32:44

如果C是一个可逆的平方矩阵，那么这个系统将存在唯一的解：d=C-1便士。然而，在现实中，我们通常拥有比工具更多的现金流日期（n<< N）我们可以用来估算。换句话说，线性系统Cd=p是欠定的，存在许多满足（1）中关系的贴现向量d。出现的第一个问题是，应选择哪种可接受的贴现向量。其次，一旦我们选择了一个特定的可容许向量d，我们仍然面临着一个插值问题来寻找g（x）forx∈ （0，x）和x∈ （十一）-1，xi），i=2，N、自举法是交易台的一种常见做法，即从数量有限的精心挑选的流动市场工具中构建贴现曲线，从而得出的曲线完美地再现了估算中使用的工具的价格。没有唯一的自举方法，而且很可能至少有世界上交易台那样多的方法。在本节中，我们对一些方法进行了非常简要的描述，有关实践中使用的最流行（singlecurve）引导方法的更详细概述，请参阅Hagan和West（2006，2008）。一般来说，对于维数小于或等于观测工具数量n的某些参数z，可以先验地为贴现曲线施加一个显式参数形式：g（x）=g（x；z）。然后定价系统（1）成为z:C（g（x；z），…，中的可能非线性方程组，g（xN；z））= p、假设梯度zg（xj，z），j=1，N、如果是线性独立的，逆映射定理断言这个系统不再（局部）关于参数z欠定。如果它允许解z*然后是（局部在z附近*)唯一的

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2022-5-25 09:32:47

然而，为m g（x；z）选择合适的参数并不简单。一种可能性是选择n次多项式-1，也称为拉格朗日多项式。虽然该函数非常平滑且灵活，足以满足n个约束，但它表现出强烈的振荡行为。这种所谓的“ro-llercoaster”效应的标准解决方案是通过样条曲线来描述贴现曲线，即分段低维多项式。有许多不同的方法可以指定样条曲线m的函数和节点的位置，例如McCulloch（1971、1975）、Steeley（1991）和Adams（20 01）。重要的是，在所有这些情况下，样条线解都是先验的，节点的数量和位置都是手动选择的。我们在下一节中介绍的方法也会生成样条曲线。然而，它仍然是完全非参数的，因为样条曲线是一个属性优化问题的结果，该问题决定了节点的最佳数量和位置。假设系统不是不一致的，即可以通过其他工具的线性组合复制的工具必须具有相同的价格（无ar比特率）。3 Hilbert空间上的伪逆，而不是首先找到贴现向量d=（g（x），g（xN））满足（1）并且在第二步将这些贴现因子s插值到连续贴现曲线中，我们现在直接在方便的希尔伯特函数空间中搜索在具有最小范数的意义下是最优的贴现曲线。通过连续线性映射的伪逆显式计算最优折扣曲线。我们确定了一个有限的到期期限，其规模足以控制所有现金流日期。

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2022-5-25 09:32:50

定义贴现曲线H的希尔伯特空间，该空间由实函数g：[0，\'τ]→ rw具有绝对连续的一阶导数，范数为kgkh=hg，giH=g（0）+g′（0）+Z′τg′（x）dx。（2）该标准可作为贴现曲线平滑度的衡量标准，其近似适用于相应远期曲线的“平滑度”。远期利率是指一个人在未来一段时间内可以锁定的无风险贷款利率。除非有特殊理由相信，否则远期利率不应在一个时期到下一个时期之间波动过大。如果我们用F（x，y）表示未来时间段[x，y]内的简单forwar d率，0<x<y，那么对于小h>0:g′（x）≈g（x- h）- 2g（x）+g（x+h）h=g（x）hF（x- h、 x）+h1+hF（x，x+h）- 1.≈g（x）hF（x- h、 x）- F（x，x+h）.因此，通过最小化贴现曲线的曲率，我们可以近似地最小化后续简单远期利率之间的差异。对于任意τ∈ [0，(R)τ]我们现在定义了线性泛函Φτ：H→ 计算τ：Φτ（g）=g（τ）处的贴现曲线的R。（3）根据Riesz表示定理，存在唯一元素φτ∈ H这样对于任何g∈ H我们有Φτ（g）=Hφτ，giH。下面的引理给出了该元素的显式表达式。引理3.1。H上的线性函数alΦτ可用元素tΦτ唯一表示∈ H由φτ（x）=1给出-（十）∧ τ）+xτ（2+x∧ τ），我们写x的地方∧ τ：=最小值（x，τ）。让我们定义线性映射M:H→ RnbyMg=C（Φx（g），ΦxN（g））, （4）式中，C与n×n现金流量矩阵之前一样。从今以后，我们假设C具有全秩。这不失一般性。事实上，如果C没有满秩，我们将在估计中包括冗余工具，因为它们可以通过其他工具的线性组合进行复制。

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2022-5-25 09:32:53

例如，两种本金不同但特征相同的息票债券对贴现曲线施加了相同的约束（假设其价格符合一价定律）。现在，我们找到了与所有基准报价匹配的最小H-范数折扣曲线。也就是说，我们解决了以下有限维优化问题：ming∈HkgkHs。t、 Mg=p.（5）（5）的解是一个显式分段三次函数，如以下定理所示：定理3.2。存在唯一的解决方案g*∈ H到优化问题（5），并给出asg*（x） =（M+p）（x）=zφ（x），（6），其中M+：Rn→ H表示M的Moore–Penrose伪逆，z=CCAC公司-1p，φ（x）=（φx（x），φxN（x））, A是正定义的N×N矩阵，其分量Aij=φxi（xj）=φxj（xi）。因此，我们明确构建了贴现曲线x 7→ G*（x）这正好复制了现金流为C和mo的工具的价格p，但在所有具有绝对连续一阶导数的实函数中，这是最平滑的曲线，因为它最小化了（2）中的范数。相应的瞬时正向曲线f*: [0，’τ]→ R由：f显式给出*（x） =-ddxln（g*（x））=-Zφ′（x）zφ（x），其中φ′（x）=（φ′x（x），φ′xN（x））φ′xj（x）=xj-（十）∧ xj）+xj（x∧ xj）。备注3.3。Gourieroux和Monfort（2013）描述了动态期限结构模型，其中零息票债券价格为Form P（t，t）=zta（T- t），where ztisa一组N≥ 1线性独立随机因素和a:R+→ RN是一个确定性函数。他们认为，零息票债券的自融资组合缺乏套利机会，这意味着必须有一个矩阵，使得a′（τ）=ma（τ）。函数φ=（φx。

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2022-5-25 09:32:56

，φxN）不满足该要求，因此（6）与动态项结构模型不一致。同样，Nelson和Siegel（1987）和Svensson（1994）的规范也不是动态意义上的无套利规范，参见例如Filipovi\'c（200 0）。术语g（0）和g′（0）包含在（2）中，以保证规范的不确定性。由于贴现曲线必须从面值开始，因此我们通过设置x=0、p=1、c=1和c1j=ci1=0来施加g（0）=1，对于所有i，j 6=1。因此，最小化g（0）不会影响最佳曲线，因为它在约束条件中是固定的。g′（0）项导致瞬时短路率最小化。如果这是不可取的，我们可以很容易地将短期利率固定到外部指定的值r∈ R、实际上，请注意ψ（x）=x是线性泛函ψ（g）=g′（0）在H中的Riesz表示。我们现在加上ψ（g）=-r作为（5）中的附加约束，并找到（类似于定理3.2的顶部）以下唯一解：g*（x） =▄zφ（x），（7），带▄z=▄CC▄A▄C-1▄p，▄C=blkdiag（C，1），▄p=P-R,φ（x）=φ（x）ψ（x）, 其中▄A是正定义（N+1）×（N+1）矩阵，其分量为▄Aij=艾吉≤ J≤ Nxii<j=N+11 i=j=N+1.4贴现曲线敏感性vi测试最佳贴现曲线（6）取决于通过向量z=C的基准报价（CAC)-1便士。根据所使用的基准工具的类型，其报价可以通过价格向量p或现金流矩阵C输入。例如，耦合债券的价格通过p输入，而掉期利率和远期利率通过HC输入。

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2022-5-25 09:33:00

本节中的结果是针对（6）中的曲线得出的，然而，对于具有约束短期利率的最优曲线（7），其结果直接遵循将p、C、z、A、φ分别替换为▄p、▄C、▄z、▄A、▄φ。4.1组合Hedging最优贴现曲线g的敏感性*（x；p，C）关于pand C的条目，最容易用方向导数表示：引理4.1.1。方向导数Dpg*·五、∈ 最优折扣曲线g的H*in（6）alonga向量v∈ Rnis由（Dpg）给出*· v）（x）=nXi=1viG*pi（x）=c（v）φ（x），c（v）=cCAC公司-1伏∈ 注册护士。2、方向导数DCg*· M∈ 最优贴现曲线g的H*in（6）沿矩阵m∈ Rn×Nis由（DCg）给出*· m）（x）=nXi=1NXj=1mijG*Cij（x）=f（m）φ（x），带f（m）=M- C（CAC)-1（凸轮+ mAC电脑)（CAC)-1便士∈ 注册护士。这些敏感性在实践中可用于对冲证券组合的贴现曲线变化。例如，考虑产生固定现金流的债券组合∈ [0，(R)τ]，k=1，K、并用Vport表示其当前值。假设所有基准工具都是息票债券。变化p第i个基准工具的价格导致以下变化V债券投资组合的价值比例：Vport=nXi=1V端口圆周率pi=nXi=1KXk=1ck（Dpg*· ei）（τk）{z}=：qipi，其中ei∈ Rn表示第i个正则基向量。因此，我们可以通过购买债券来对冲基准息票债券价格的变化-QI第i个基准息票的单位。Andersen（2007）指出，只有在贴现曲线构造产生“局部扰动”的情况下，这种边缘策略才能在实践中很好地发挥作用。例如，如果债券i到期时间较短，则（Dpg*· ei）（x）对于大x应为零，以避免使用短期工具对冲长期现金流。

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2022-5-25 09:33:03

一般来说，三次样条曲线在这方面表现不佳，因此，上述对冲策略可能会给出不合理的结果，本文件中给出的贴现曲线构造。然而，对冲基准价格的个别小幅波动并不一定与利率随时间变化的方式一致。事实上，有大量证据表明，利率变动可归因于少数通常被称为水平、斜率和曲率的随机因素（见Litterman和Scheinkman（1991））。因此，针对每个基准价格的变动进行对冲的另一种选择是直接对冲被认为最有可能发生的利率变动。具体而言，我们首先构建贴现曲线g*（x）然后考虑函数位移sj（x），j=1，J、例如，对应的正向曲线f*（x）。Vport的灵敏度=Vport（f*) 对于这些功能变化，可以通过以下功能导数来表示：dVport（f*+ sj）d=0=-KXk=1千克*（τk）Zτksj（x）dx，j=1。J、如果基准工具有使用引理4.1中关于C的方向导数通过HC输入的报价，则可以建立类似的hedg策略。接下来，我们构建一个对冲投资组合，使对冲投资组合的功能性衍生工具等于（或尽可能接近）零。这种方法的主要优点是用于构造*在确定对冲策略方面不起主要作用（例如，见Hagan和West（2006））。如果J=1和s（x）≡ 1，然后我们有一个标准的期限对冲。

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2022-5-25 09:33:06

为了对冲forwa r d曲线中的平行位移，在实践中，sjare分段三角形函数的一种流行选择是围绕一组预先定义的所谓关键利率水平0≤ ξ<···<ξJ≤ τ：s（x）=（ξ-xξ-ξx∈ [ξ，ξ]0其他，sJ（x）=（x-ξJ-1ξJ-ξJ-1台∈ [ξJ-1，ξJ]0 elsesj（x）=十、-ξj-1ξj-ξj-1台∈ [ξj-1，ξj]ξj+1-xξj+1-ξjx∈ [ξj，ξj+1]0其他，j=2，J- 1.4.2最佳市场报价目前为止，我们假设市场报价没有任何错误。然而，在实践中，我们并不遵循单一价格，而是遵循买卖范围。此范围内的任何价格都可用于估计贴现曲线，此灵活性可用于增加贴现曲线的平滑度。下面的引理为我们之前导出的最优折扣曲线的范数提供了一个明确的表达式（即，对于等式约束的情况）：引理4.2。最优贴现曲线g的平方范数*在（6）中，单位为kg*kH=p（CAC)-1便士。我们首先假设基准工具是息票债券，我们观察其EBID价格pb∈ Rnand询问价格pa∈ 注册护士。我们现在对解决以下优化问题感兴趣：minp∈Rnp公司（CAC)-1ps。t、 pb级≤ P≤ pa.（8）备注（CAC)-1.∈ Rn×nis为正定义矩阵。事实上，由于内部产品的不确定性，C被假定为全秩，A是正定义。因此，（8）是一个凸二次规划问题，其中唯一解p*可以使用标准技术轻松找到。最优折扣曲线由g*= M+p*.现在假设基准工具有通过C输入的报价。例如，掉期和远期利率协议就是这样。用α带αa表示买卖报价，我们参考Andersen和Piterberg（2010）第6.4.2-6.4.3节，以了解这种混合方法的更多细节。分别地

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2022-5-25 09:33:09

优化问题现在变成：minα∈Rnp公司（CAC)-1ps。t、 αb≤ α≤ αa.（9）这个问题比（8）更难解决，因为它不一定是一个对流编程问题。然而，我们能够显式地计算gr-adient：引理4.3。（6）中关于最优折扣曲线平方范数αiof的偏导数如下：公斤*kH公司αi=-2p级（CAC)-1.CαiAC（CAC)-1p，其中Cαide注意到C相对于αi的分量导数。因此，我们可以使用多种基于梯度的约束优化算法。Kwon（2002）使用了类似的想法，但他的方法需要在每个迭代步骤中对梯度进行数值计算。相比之下，我们有梯度封闭形式，这有利于计算时间和数值程序的精度。5数值示例在本节中，我们讨论了使用不同类型基准工具的伪逆方法的三个实际示例。5.1息票债券在本例中，我们根据息票债券的价格估计贴现曲线。具体而言，我们考虑了1996年9月4日至9月9日的九份英国政府债券的数据，这些债券的半年期息票和到期时间约为2个月至12年，详情见表1。矩阵C的向量p和前十列（104+1）o如下所示：p=103.82106.04118.44106.28101.15111.06106.2498.49110.87, C类=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 105 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 4.875 0 0 0 0 0。0 6.125 0 0 0 0 0 0 0 0 6.125。0 0 0 0 0 0 0 0 4.5 0 0。0 0 0 3.5 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 0 4.875 0 0 0 0。0 0 0 0 0 4.25 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.875 0。0 0 4.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0。.C和p的第一行和第列对应于限制g（0）=1。

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2022-5-25 09:33:13

图1a显示了连续复合屈服曲线和第3节所述伪逆方法得到的瞬时正演曲线。收益率曲线看起来非常平滑，但正向曲线表现出可能不受欢迎的振荡行为。接下来，我们假设观察到的息票债券价格是中间价，我们假设每个债券价格的相对买卖价差为0.50%。我们使用第4.2节中概述的方法来确定贴现曲线，该曲线可产生bidask范围内的息票债券价格。图1b显示了最终的收益率曲线和瞬时正向曲线。我们观察到前向曲线的平滑度显著提高。还应注意，由于标准定义（2）中的g′（0）项，短期利率从约5.5%下降至4%。如第3节末尾所述，这可以通过将短期利率调整为外生常数来避免，例如r=5.5%。原始价格和最优价格的估算结果分别如图1c和图1d所示。5.2伦敦银行同业拆借利率单一曲线在本例中，我们对贴现现金流和预测远期利率使用相同的曲线。我们考虑了截至2012年10月1日美国货币和掉期市场的数据，如表2所示。更具体地说，我们考察了三个美元伦敦银行同业拆借利率（隔夜、100万美元和300万美元），到期日为S={S、S、S}，五个300万伦敦银行同业拆借利率的期货合约和九个票面互换利率，年支付固定期限。期货合约报价为：100（1- F未来（Ti-1，Ti）），i=1，7，带F未来（Ti-1，Ti）表示期货利率和T={T，T，…，T}相应的重置/结算日期。我们忽略任何凸性调整，并将futuresrate作为简单的远期利率，以保持估计过程模型的独立性。最后我们用U={U。

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2022-5-25 09:33:17

，U}掉期的现金流日期。传统bootst Rap我们首先执行传统的bootstrap，在此过程中，我们对所有缺失的简单现货和掉期利率进行线性插值。备注：首先，不同工具的重叠现金流日期：S<S<T<S<T<T<T<T<U<T<U<···<U。（10）贴现债券g（S）、g（S）和g（S）的价格很容易从给定的伦敦银行同业拆借利率中获得。在第一份期货合约的重置日期，我们通过对最后两个伦敦银行同业拆借利率的线性插值获得了简单即期利率L（T）：L（T）=wL（S）+（1- w） L（S），w=δ（T，S）δ（S，S），凸度调整仅为bas is点b的一小部分，因为期限较短，所以它们不会产生太大的质量差异。其中δ（x，y）表示日期x a和y之间的天数分数。贴现系数g（T）现在从插值的简单即期汇率L（T）中恢复。将未来利率视为简单的远期利率，我们拥有计算g（Ti），i=1，…，所需的所有信息，5，从：P（Ti）=g（Ti）迭代-1） 1+δ（Ti-1，Ti）F（Ti-1，Ti）。对于掉期，我们再次利用重叠的现金流日期，通过L（T）和L（T）之间的线性插值获得g（U）。在UCA只有一笔现金流的掉期的掉期利率Rswap（U）可以根据贴现债券价格g（U）计算。剩余折扣系数现在通过迭代使用公式：g（Ui）=1获得- Rswap（Ui）Pi-1j=1δ（Uj-1，Uj）g（Uj）1+Rswap（Ui）δ（Ui-1，Ui），i=2，30，其中所有缺失掉期利率均通过线性插值获得。最后，我们通过在现金流日期之间对零息票债券收益率进行线性插值，得到了期限连续统的贴现曲线。图2a和图2b显示了零息票债券收益率和瞬时远期利率。尽管零息票收益率曲线看起来相当平缓，但瞬时远期曲线却并非如此。

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2022-5-25 09:33:21

这种众所周知的前向曲线的“锯齿”行为是一系列线性插值。其他插值技术可能会提高正向曲线的平滑度，但选择正确的技术仍有一定的随意性，可能会导致复杂性显著增加。伪逆我们在第3节中介绍的伪逆方法不需要任何调整。我们只需构造现金流矩阵，平滑度最大化准则以最佳方式使用剩余自由度。本例中的现金流量矩阵C的维数为18×40，每个观察到的工具一行，另一行施加g（0）=1。这些列表示工具估值的所有相关日期。伦敦银行同业拆借利率L（Si），i=1，2，3，可以表示为当日价格为1，现金流量为1+δ（0，Si）L（Si）的工具。简单远期利率F（Ti-1，Ti），i=1，5，是否可以视为今天价格为0、现金流为0的工具-时间Ti为1-1其他现金流为1+δ（Ti-1，Ti）F（Ti-1，Ti）时间Ti。对于到期日Ui为2、3、4、5、7、10、1、5、20、30的掉期，我们回顾了面值掉期利率Rswap（Ui）的定义：1- g（Ui）=Rswap（Ui）iXj=1δ（Uj-1，Uj）g（0，Uj）我们使用一阶有限差来近似瞬时远期利率。其中，我们设置U：=0。我们发现，这相当于一种价格为1天、现金流量δ（Uj）的工具-1，Uj）在时间Uj，j=1，我- 1和最终现金流1+δ（Ui-1，Ui）Rswap（Ui）时间Ui。

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2022-5-25 09:33:24

因此，向量p和矩阵X的前13列采用以下形式：p=, C=0 SSTSTTTUTU···1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··g（0）=10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··Libor0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··Libor0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0··F未来0 0 0 0 0 0 0 0-1 C00 0 0 0 0 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 C00 0 0 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 C00 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 C8100··F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0 c0 0 C9110··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 c10,80 0 c10,11c10,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 c11,80 0 c11,11c11,12··Swap0 0 0 0 0 c12,80 0 c12,11c12,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c13,80 0 c13,11c13,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c14,80 0 c14,11c14,12··Swap0 0 0 0 0 c15,80 0 c15,11c15,12··Swap0 0 0 0 0 0 c16,80 0c16,11c16,12··Swap0 0 0 0 0 0 c17,80 0 c17,11c17,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 c17,80 0 c17,11c17,12··Swap0。在图2c和图2d中，我们绘制了零息票收益率和瞬时转寄率。我们观察到，伪逆方法产生的正向曲线比图2 a中的曲线大得多。请注意，将短期利率转换为外生恒量不会有太大变化，因为我们将隔夜伦敦银行同业拆借利率作为基准工具。作为对冲策略的一个例子，我们考虑13年后到期的付款人掉期。我们希望通过第4.1节中概述的对冲方法，利用我们估算中使用的九种接收方掉期对冲该掉期，并将三角函数转换为正向曲线。继Andersen和Piterbarg（2010）之后，我们选择使用关键利率水平ξj，j=1，J、间隔三个月【0，’τ】。

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2022-5-25 09:33:27

请注意，J>9，这意味着我们不能建立一个完美的对冲，而只能建立一个近似的对冲（在最小二乘法中）。套期保值数量如图3所示。套期保值策略充分考虑了10年和15年内到期的掉期组合。这很有道理，因为这两种对冲工具的现金流与13年期掉期中的一种最为相似。5.3伦敦银行同业拆借利率（Libor）多曲线2008年信贷危机后，很明显，使用同一条曲线来计算和预测现金流已不再现实。今天的市场标准是使用隔夜指数掉期（OIS）来提取无风险曲线，用于贴现现金流，并使用单独的曲线预测不同的远期利率。在本例中，我们展示了如何轻松地使用伪逆方法从市场数据中提取所有这些不同的曲线。表3显示了截至2013年11月4日欧元区市场四种不同掉期工具的报价。第一种是OIS，支付固定费用并收取与EONIA相关的费用。到期时间超过一年的EONIA掉期在两个方面都有年度支付频率，而到期时间少于一年的EONIA掉期在到期时只有现金流。第二笔掉期工具固定支付并收取与600万欧元银行同业拆借利率挂钩的贷款。6欧元银行同业拆借利率掉期协议固定部分每年支付一次，浮动部分每半年支付一次。其余两种掉期工具是基础掉期，用于交换与流动资金挂钩的现金流。第一家银行将300万欧元同业拆借利率与600万欧元同业拆借利率互换，第二家银行将100万欧元同业拆借利率与600万欧元同业拆借利率互换。这些掉期以价差的形式报价，价差必须加到较短的一段中，以使两段具有相同的现值。用于贴现的曲线是从OIS报价中提取的。

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2022-5-25 09:33:32

这可以用伪逆方法完成，方法与单曲线示例中完全相同。相应的产量和瞬时正向曲线如图4a所示。600万欧元银行同业拆借利率掉期和两种基础掉期的支付频率为一个月的倍数。因此，在下文中，我们考虑时间网格T={T，…，tN}，其中tian和ti-1，i=1，N、相隔一个月，N=30×12。我们从600万欧元银行同业拆借利率与固定利率互换的工具开始。这些以等于固定资产和流动资产价值的掉期利率K引用：KnXi=1δ（t12（i-1），t12i）gOIS（t12i）=2nXi=1δ（t6（i-1），t6i）gOIS（t6i）F（t6i），其中t=0，t12是掉期到期日，Fk（ti）表示基准期的k个月简单远期利率[ti-k、 ti]。根据我们对OIS贴现曲线的估计，我们能够对该掉期的固定部分进行估值。请注意，右侧是未知6M远期利率与已知系数的线性函数。换言之，使用之前的方法，我们能够提取出最平滑的600万欧元远期利率曲线，该曲线正好符合所报掉期利率。因此，定价系统为scf=p，其中f=（f（t），F（tN））, 价格向量p的形式为p=F（t），Kδ（t，t）gOIS（t），KXi=1δ（t12（i-1），t12i）gOIS（t12i）！以及“现金流”矩阵C的前三行，即变为：C=1 0 0 0 0 0···········（t，t）gOIS（t）δ（t，t）gOIS（t）0 0······················。。。。。。。。。。。。。。。。。。.在掉期报价旁边，我们还通过将行（1，0，…，0）添加到矩阵C中，并将利率添加到向量p中，将给定的6M欧元银行同业拆借利率即期汇率F（t）包括在内。在下一步中，我们使用6M forwar d曲线从3M-6M期内基础掉期中提取3M远期曲线。

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2022-5-25 09:33:35

基差掉期是根据价差S报价的，该价差S必须以最高频率加入支腿，以使两个支腿的价值相等：2nXi=1δ（t6（i-1），t6i）gOIS（t6i）F（t6i）=4nXi=1δ（t3（i-1），t3i）gOIS（t3i）（F（t3i）+S）。我们得到的重新排列项：2nXi=1δ（t6（i-1），t6i）gOIS（t6i）F（t6i）- S4nXi=1δ（t3（i-1），t3i）gOIS（t3i）=4nXi=1δ（t3（i-1），t3i）gOIS（t3i）F（t3i）。左侧可以使用我们之前提取的贴现和6M前进曲线进行评估，右侧是未知3M前进速度的线性函数。因此，我们可以使用伪逆方法提取3M正演曲线。同样，我们也可以很容易地将即期3M欧元银行同业拆借利率F（t）包括在内。同样，我们也从1M-3M基础掉期报价中获得1M远期曲线，其中我们还包括spo t 1M欧元银行同业拆借利率f（t）。图4B中绘制了所有三条曲线。备注5.1。虽然EONIA掉期的报价期限最长为60年，但有时有人认为，到期期限超过1年的EONIA掉期在OIS贴现曲线的构建中并不具有足够的流动性。曲线的剩余部分，而不是根据OIS-3M基础掉期计算的10部分，后者的交易更加活跃。然而，这确实在OIS贴现曲线、3M远期和6M远期曲线之间产生了循环依赖关系。伪逆方法很容易扩展到多曲线世界，这主要是因为我们可以一条一条地估计所有曲线。如果我们必须从OIS-3M掉期中估计OIS贴现曲线的一部分，那么我们需要在ce上求解所有三条曲线。这增加了p问题的复杂性，因为在掉期估值中，远期利率与贴现率相乘，即我们在优化问题中面临非线性约束。

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能者818

2022-5-25 09:33:38

一种可能的解决方法是联合估计OIS贴现曲线g（x）：=gOIS（x）和“贴现”前向曲线g（x）：=gOIS（x）F（x），g（x）：=gOIS（x）F（x）。通过平滑贴现曲线和贴现远期曲线，我们可以解决线性约束的优化问题：ming，g，g∈HkgkH+kgkH+kgkHs。t、 Mg+Mg+Mg=p，对于一些适当定义的线性映射M、M和M。我们将此扩展的实现留作进一步研究。6欧盟clidean空间上的伪逆对于不熟悉有限维希尔伯特空间的读者，我们在本节中介绍了第3节中介绍的方法的有限维模拟。我们现在不是在希尔伯特函数空间中寻找折扣曲线，而是在欧几里德空间中搜索一个在某种意义上具有最大平滑度的折扣因子向量。假设我们对日期0=u<····<英国：d=（g（u），…）的折扣f参与者感兴趣，g（英国））,对于一些K≥ 1和（为简单起见）ui+1- 用户界面≡ δ>0。此外，假设D包含对我们观察到的n种工具进行估值所需的所有贴现因子，即{x，…，xN} {u，…，英国}。重新定义C∈ Rn×Kas是nbenchmark工具在{u，…，uK}日期的现金流矩阵。我们将光滑性准则（2）转换为离散形式，使用左黎曼和表示导数的积分和前向有限差分（当然也可以有其他选择）：g（0）+g′（0）+ZuK-1g′（x）dx≈ g（u）+δ（g（u）- g（u））+K-2Xi=0g（ui+2）- 2g（ui+1）+g（ui）δδ=kAdkK，其中k·kk表示RKandA=diag（1，δ）上的欧几里德范数-1/2，δ-3/2，δ-3/2）10。0-1 1 0。。。1.-2 1。。。。。。0 1-2.1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0。0 1-2.1∈ RK×K。有限维优化问题现在变成：思维∈RKkAdkKs。t、 Cd=p。

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2022-5-25 09:33:42

（11）以上是一个具有线性不等式约束的凸二次规划问题，我们得到以下解：定理6.1。存在唯一的解决方案d*∈ RK到优化问题（11），并给出了asd*= A.-1M+p，其中M=CA-1和M+=M（毫米)-1是矩阵M的摩尔-彭罗斯伪逆。请注意，在有限维的情况下，很容易对贴现因子施加正性和单调性约束：心智∈RKkAdkKs。t、 Cd=pd>··>dK>0。因此，我们得到了一个具有线性不等式约束的凸二次规划问题。这样的问题有一个独特的解决方案，可以通过在许多数值软件包中实现的已建立的算法轻松找到。7结论我们引入了一种基于Moore–Penrose伪逆的新方法，以提取准确再现基准k工具价格的贴现曲线，该曲线具有最大的平滑度，即其具有最小的积分平方二阶导数。最优折扣曲线是一个分段三次函数，是一个有限维优化问题的唯一解。

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2022-5-25 09:33:45

可以合并投标报价单，以进一步提高折扣曲线的平滑度。伪逆方法非常容易实现，因此在考虑更复杂的备选方案之前，它是一种有趣的方法。证明此应用程序endix包含所有项目。L emma 3.1通过给定的部分证明g（τ）=g（0）+Zτg′（x）dx=g（0）+τg′（0）-Zτ（x- τ）g′（x）dx。从标量积h······ih的定义中，我们得到了函数φτ的以下条件：φτ（0）=1φ′τ（0）=τφ′τ（x）=（τ- x） 1[0，τ]（x），x∈ [0，’τ]。积分两次，我们得出：φ′τ（x）=τ-（十）∧ τ）+τ（x∧ τ），x∈ [0，(R)τ]，φτ（x）=1-（十）∧ τ）+τ（x∧ τ）-τ（x∧ τ）+x（1+τ）τ，x∈ [0，’τ]。定理3.2的证明变换（伴随算子）M: 注册护士→ 线性映射M的H:H→ 定义单位：hMg，ziRn=hg，M齐赫，G∈ HZ∈ 注册护士。使用M的定义和线性函数Φ的Riesz表示，我们很容易得到：Mz=NXj=1φxjCjz，z∈ Rn，其中cj表示matr ix C的第j列。拉格朗日L:H×Rn→ 问题（5）的R定义为l（g，λ）=kgkH+λ（毫克- p） =kgkH+hλ，MgiRn- hλ，piRn=kgkH+hMλ、 giH公司- hλ，piRn。优化器g*和λ*对于H和Rng中的Ffr’echet导数，满足以下一阶条件*+ Mλ*= 0（12）毫克*- p=0。（13）从（12）我们得到g*= -Mλ*. 将其插入（13）中-毫米λ*= p、 O观察该MM: 注册护士→ RN是一个线性映射，可以用矩阵CAC表示,式中，A是正定义的N×N矩阵，分量saij=hφxi，φxjiH=φxi（xj）=φxj（xi）。我们现在得到了最优拉格朗日乘子和最优折扣曲线的以下唯一解：λ*= -CAC公司-1p，g*= MCAC公司-1便士。注意矩阵CAC是可逆的，因为A是正定义，C是满秩。mapM+：Rn→ H、 z 7→ M毫米-1z，被称为线性映射M的摩尔-彭罗斯伪逆。

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2022-5-25 09:33:48

因此，我们可以预测最优折扣曲线asg*= M+p.L emma证明4.1最优贴现曲线g*可写为asg*（x） =NXj=1zjφxj（x）=pCAC公司-1Cφ（x），（14）带φ（x）：=（φx（x），φxN（x））. 关于p的组分的微分（14）立即给出了定理的第一个陈述：（Dpg*· v）（x）=vCAC公司-1Cφ（x）。关于现金流的区别（14）G*Cij（x）=-PCAC公司-1.CAC公司Cij公司CAC公司-1Cφ（x）+pCAC公司-1ijφ（x）=pCAC公司-1.Iij公司- （财济+IijAC)CAC公司-1C级φ（x），其中Iij∈ Rn×Ndenotes a mat r ix，其中第（i，j）个条目等于一个，其他所有条目等于零。这个定理的第二个陈述现在很容易从matr ix乘法和x1的分配性质得到≤我≤n1型≤J≤NmijIij=m.L emma 4.2的证明使用定理3.2的证明符号，最优贴现曲线g*可写入sg*= M+p=M（毫米)-1便士。利用M是M的对偶算子，我们得到：kg*k=汞柱*, G*iH公司=M（毫米)-1p，M（毫米)-1便士H类=（毫米)-1p，毫米（毫米)-1便士注册护士=（CAC）-1p，pRn=p（CAC)-1便士。定理6.1拉格朗日定义为l（λ，d）=kAdkK+λ（Cd- p）。最优λ的一阶优化条件*和d*地区公元*+ Cλ*= 0，Cd*- p=0。Straightforwa r d计算得出以下唯一的解决方案：d*= （A）（A）-1C级C（A（A）-1C级-1便士。使用A是可逆的事实并定义M：=CA-1、我们最终获得*= A.-1M+p，其中M+=M（毫米)-1是矩阵M的摩尔-彭罗斯伪逆。息票下一到期脏价（%）息票日期（pi）债券1 10 1 1996年11月5日1996年11月15日6 103.82债券2 9.75 1997年1月19日1998年1月19日106.04债券3 12.25 96年9月26日1996年3月26日99 118.44债券49 03/97 03/03/00 106.28债券5 6/11/96 06/11/01 101.15债券69.75 27/02/97 27/08/02 111.06债券7 8 8.5 0 0 7/96年7月12日106.5 24债券8 7.75 1997年3月8日2006年9月8日98.49债券99 13/1996年10月13日2008年10月110.87表1：英国国债市场价格，1996年9月4日。

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2022-5-25 09:33:51

资料来源：詹姆斯和韦伯（2000年）。到期日市场报价（%）Pu=2017年10月3日0.754 SwapU=2019年10月3日1.174 SwapU=2022年10月3日1.683 SwapU=2027年10月4日2.192 SwapU=2032年10月4日2.405 SwapU=2042年10月3日2.579 SwapTable 2：截至2012年10月1日美元市场的Libor利率、期货价格和掉期利率的市场报价。所有合同均为现货（T+2）开始。资料来源：彭博社。期限EONIA Fix（%）6M Fix（%）3M-6M（bps）1M-3M（bps）现金（%）o/n 0.0921m 0.102 0.1293m 0.109 0.2276m 0.108 0.3429m 0.1211y 0.130 0.386 10.85 8.902y 0.205 0.482 12.15 10.903y 0.334 0.656 12.85 12.604y 0.533 0.870 13.705y 0.742 1.097 12.95 14.206y 0.952 1.306 12.70 14.307y 1.145 1.503 12.35 14.208y 1.328 1.677 11.90 14.009y 1.479 1.833 11.40 13.8010y 1.625 1.973 10.90 13.6011y 1.7572.09512y 1.872 2.19915y 2.124 2.418 8.85 11.8020y 2.317 2.570 7.40 10.1025y 2.385 2.618 6.50 8.9030y 2.406 2.625 5 5.90 8.10表3：截至2013年11月4日，EONIA掉期、600万欧元银行同业拆借利率掉期、300-600万欧元基础掉期、100-600万欧元基础掉期和欧元银行同业拆借利率现金利率的中期掉期利率。

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2022-5-25 09:33:54

资料来源：彭博社。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间零息票收益瞬时远期利率（a）原价。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间0息票收益率瞬时远期利率（b）最优价格0 2 4 6 8 10 12到期时间0息票收益率瞬时远期利率（c）原价，固定r=5.50%。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间0息票收益率瞬时远期利率（d）最优价格，固定r=5.50%。图1：使用英国ZF债券价格估算的贴现曲线得出的零息票收益率和瞬时远期利率。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.54.5零息票收益率瞬时远期利率（a）引导。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9到期时间0。10.20.30.40.50.60.7零息票收益率瞬时远期利率（b）引导，缩放。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.54.5零息票收益率瞬时正向速率（c）伪逆。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9到期时间0。10.20.30.40.50.60.7零息票收益率瞬时正向速率（d）伪逆，缩放。图2：零息票收益率和使用伦敦银行同业拆借利率工具估计的贴现曲线的瞬时远期利率。2y 3y 4y 5y 7y 10y 15y 20y 30ySwap对冲工具-0.10.10.20.30.40.50.60.7图3：使用估值中使用的九种掉期作为对冲工具对冲13年期掉期。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.5零息票收益率瞬时远期利率（a）零息票收益率和对应于theOIS贴现曲线GOI的瞬时远期曲线。0 5 10 15 20 25 30到期时间T0。51.52.53.5F（T）F（T）F（T）（b）远期曲线，期限为一个月、三个月和六个月。图4：伪逆方法的多曲线估计。参考Adams，K.（2001）。零曲线的Smoot h插值。Algo研究季刊4（1/2），11-22。Adams，K.J.和D.R.Van Deventer（1994年）。

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2022-5-25 09:33:58

拟合产量曲线和病房率曲线，最大smoot hness。《固定收益杂志》4（1），52–62。Andersen，L.（2007年）。使用张力样条曲线构造折扣曲线。衍生品研究综述10（3），227–267。Andersen，L.和V.Piterbarg（2010年）。利率建模–第一卷：基金和Vani lla模型。大西洋金融出版社。Barzanti，L.和C.Corradi（1998年）。关于用张力样条估计利率期限结构的注记。保险：数学与经济学22（2），139–143。Chiu，N.-C.、S.-C.Fang、J.E.Lavery、J.-Y.Lin和Y.Wang（2008）。使用三次样条逼近感兴趣的术语结构。欧洲运筹学杂志18 4（3），990–1004。Delbaen，F.a和S.Lorimier（1992年）。从一定数量的观测值开始，估计收益率曲线和远期利率曲线。保险：数学与经济学11（4），259–269。Fengler，M.R.和L-Y.Hin（2015年）。一种在无套利约束条件下拟合贴现曲线的简单通用方法。《金融研究快报》15、78–84。Filipovi\'c，D.（2000年）。指数l-多项式族和利率的期限结构。伯努利6（6），1081–1107。Frishling，V.a和J.Yamamura（1996年）。将平滑的正向速率曲线拟合到耦合仪器。《固定收益杂志》6（2），97–103。Gourieroux，C.和A.Monfort（20 13）。线性价格期限结构模型。《经验金融杂志》24，24–41。Hagan，P.S.和G.West（2006年）。曲线构造的插值方法。《应用数学金融》13（2），89–129。Hagan，P.S.和G.West（20 08）。构建收益率曲线的方法。WilmottMagazine，5月，70-81日。James，J.和N.Webber（2000年）。利率建模。威利·布莱克威尔出版有限公司。Kwon，O.K.（2002）。构造和平滑正向速率曲线的一般框架。

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