粘性过程、局部鞅与真鞅

2022-5-9 05:57:47

粘性过程、局部鞅与真鞅*Mikl\'os R\'asonyi+Hasanjan Sayit2021年11月15日摘要我们证明了对于所谓的stick y过程S，存在一个等价概率Q和一个任意接近Lp（Q）范数S的Q-鞅。对于连续S，可以在上确界范数中任意选择接近S的∧S。在S是局部鞅的情况下，我们可以在总变分范数中选择任意接近原始概率的Q。我们提供了一些例子来证明我们的结果的有效性，并给出了在数学金融中的应用。1简介根据他们的定义，局部鞅是“几乎”鞅。此外，在不确定的时间内，每个局部鞅都是在等价的度量变化下的一个鞅，新的度量可以被选择为在总变化范数中任意接近原始值，即使在有限的视界上，参见例如卡巴诺夫和萨法里安[17]中的定理2.2.2。在连续的时间里，这样一个强大的结果并不成立。例如，三维贝塞尔过程的逆是一个局部鞅，在概率测度的任何等价变化下，它都不是一个鞅。然而，我们可能会问，在给定的局部鞅附近是否有一个过程，它在e等价概率下成为鞅。事实证明，如果给定的局部鞅满足粘性的自然条件，这样的结果成立：对于粘性局部鞅，一个鞅（mo-dulo）是度量到某个Q的变化~ P）在Lp（Q）范数下，可以找到它的任何小邻域，甚至可以选择Q与总变化范数中的P尽可能接近，关于这个结果，请参见下面的滚动5.2。一个过程是粘性的，如果从任何一个停止时间开始，它永远不能确定在给定的时间范围内退出小球，无论小球有多小。

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2022-5-9 05:57:50

这一条件首次在Guasoni[10]的财务报告中使用，根据Guasoni[10]的第3.1条建议，所有正则强马尔可夫过程都是粘性的。例如，这包括大多数L’evy流程，更多详细信息请参见第3节。除此之外，具有条件完全支持（CFS）性质的随机过程也是粘性的。CFS地产（定义见下文备注2.3）为：*第一作者得到了匈牙利科学院“Lend–ulet”基金LP2015-6的资助。与马丁·凯勒·雷塞尔的讨论形成了本文的主要结果，我们真诚地感谢他。我们非常感谢埃伯哈德·梅尔霍夫（Eberhard Mayerhofer f）发现了一个错误，并感谢两位匿名读者提供了有用的报告，这些报告特别揭示了本文前一版本中的另一个问题。+匈牙利布达佩斯1053号阿尔塔诺达utca 13-15 MTA Al fr'ed R'enyi数学学院。电子邮件：rasonyi@renyi.mta.hu.——英国达勒姆市南路达勒姆大学数学科学系DH1 3LE。电子邮件：hasanjan。sayit@durham.ac.uk.intrGuasoni等人[13]的论文中提到，一大类随机过程，包括分数布朗运动（fBm），都具有这一性质，例如参见[4、9、15、21]。在Guasoni等人[13]中，证明了具有CFS的过程可以通过允许等价鞅测度的半鞅在上确界范数下任意逼近。在随后的paper Bender等人[2]中，对于粘性较小的连续路径过程也得到了相同的结果。在这些论文中，这种近似是可能的，因为假设随机过程是连续的。然而，对于跳跃过程，在上确界范数下的逼近即使不是不可能的，也是困难的。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:57:53

在本文中，我们证明了c`adl`ag粘性过程可以用鞅（mo-dulo）来近似，以及我们的局部鞅结果~ P）在Lp（Q）范数下任意接近。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了粘性条件。在第3节中，我们提供了粘性过程的示例。在第4节中，我们证明了粘性过程可以由上面所解释的意义上的鞅“任意紧密”逼近，即定理4.1和推论4.3。在第5节中，我们证明了，在局部鞅的情况下，我们可以选择新的概率测度任意圈来代替总方差范数中的原始概率测度，参见定理5.1和推论y5。2.在第6节中，我们解释了我们的结果与mathematica Finance的相关性。最后，一些技术细节被归入第7.2节Stick y Processlet(Ohm, F、 P）b e a概率空间。设S=（St）t∈[0，T]是一个适应过滤F=（Ft）T的c`adl`ag Rd估值过程∈[0，T]满足通常的假设（即F是右连续的，F包含F的所有P个空集）。在本文中，出于一般性的考虑，我们不假设Fis是一个平凡的σ-代数它可以包含除空度量集和全度量集之外的集。我们说，对于F的任何停止时间τ和ny Fτ，过程S相对于过滤F if是粘性的-可测量的严格正随机变量κ，以下条件满足P（supu∈[τ，T]| Su- Sτ|<κFτ）>0 a.S.（1）这里|·|是Rd的欧几里德范数。这个定义显然等同于定义2。Guasoni[10]中的2，其中κ被假定为任何确定性数。在Bender等人的引理3.1中。

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2022-5-9 05:57:56

[2] 结果表明，对于具有连续路径的过程，粘性等效toP（supu∈[t，t]|苏- St |<κFt）>0 a.s.（2）对于任何确定的时间点0≤ T≤ T和任何严格正且Ft可测量的随机变量κ。Bender et a l[2]的Le mma 3.1对于c`adl`a g过程也是如此，这是下面引理2.1的内容。引理2.1。c`adl`ag过程是粘性的，可以满足（2）任何确定性的要求∈ [0，T]。证据一个方向是微不足道的。要显示另一个，请使用0≤ τ ≤ T为F的任何停止时间。设κ为任何严格正Fτ-可测量的随机变量。以安雅为例∈ P（A）>0时的Fτ。我们想证明这一点∩ {supt∈[τ，T]|St- Sτ|<κ}>0。在不丧失普遍性的情况下，假设τ<T在A上。存在一个（确定性）有理数r>0，使得ar:=A∩（支持）∈[τ，r]|St- Sτ|<κ）∩{τ ≤ r} 有正概率。这可以从以下明显的关系中看出：A=[r]∈[0，T]∩Q{τ≤ r}∩（支持）∈|，τ]- Sτ|<κ）∩ A.因为S是连续的。注意，Ar∈ Frso（2）意味着∩（支持）∈[r，T]| St- Sr |<κ）！>0.现在，索赔如下所示：∩（支持）∈[r，T]| St- Sr |<κ） A.∩（支持）∈[τ，T]|St- Sτ|<κ）。备注2.2。对于马尔可夫过程，粘性降低为checkingP（supu∈[t，t]|苏- 几乎所有ω和所有κ的St |<κSt）>0，0≤ t<t。对于具有独立增量的过程，它归结为P（supu∈[t，t]|苏-St |<κ）对所有κ>0,0呈阳性≤ t<t。因此，西蒙[25]认为，大多数L’evy过程都具有粘性，见下面的例子3.3。参见Aurzada和Dereich[1]，了解有关“小偏差”相关理论的更多结果。备注2.3。在任何开放域中具有CFS属性的进程都是粘性的。我们在这里调用CFS属性。

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2022-5-9 05:58:01

设O是RDC的非空开子集，letC[a，b]（O）表示区间[a，b]上O值连续函数的度量空间，其度量来自上确界范数。为了x∈ O、 setCx[a，b]（O）：={f∈ C[a，b]（O）：f（a）=x}。我们说S在O中有条件完全支持（CFS-O），如果S在O中有连续的轨迹，并且对于所有0≤ t<t，supp（S |[t，t]∈ ·|Ft）=CSt[t，t]（O）。这里是P（S |[t，t]∈ ·|Ft）表示C[t，t]（O）-valuedrandom变量S |[t，t]的Ft条件分布。当O=Rd时，我们只需写CFS而不是CFS-O。备注2.4。粘性在具有连续函数的组合下是不变的，在具有连续轨迹的S的情况下，在有界时间变化下是不变的，如Sayit和Viens[24]所示。这有助于生成一大类粘性过程。例如，过程| Bt |，其中Bt是一维布朗运动，根据Protter[22]第221页的定理72，它不是一个se Mimaringle，尽管它很棘手。更多示例见第3节。在最近的论文Bender等人[2]中，研究表明，如果连续路径过程是粘性的，那么对于任何ε>0的情况，都存在一个s e mi鞅，该鞅允许一个不等价的鞅测度，例如∈[0，T]| St-~St |<ε（3）几乎可以肯定。为了证明他们的主要结果，他们构造了一个离散的时间序列，该序列非常接近于通过在每个ε增量处叠加过程而获得的随机序列，同时满足K abanov和Stricker[19]中定理2.1的条件。他们能够证明这些场景是Cin，n∈ N、 i=1，2，·，2d+1在其pap中定义为正条件概率，见该论文的引理3.3。仔细观察就会发现，随机过程的连续路径性质在证明这一定理中起着关键作用。3.

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2022-5-9 05:58:04

在存在跳跃的情况下，我们无法获得与引理3.3中的集合Cinas相同的性质。然而，我们能够证明在一个附加假设下s ticky Jumpy过程的类似结果，该假设将在下文中说明。此外，在跳跃的情况下，我们只能控制（3）中的上确界时刻。以下是我们在证明主要结果时需要的假设。假设2.5。概率空间支持d维布朗运动∈ [0，T]及其增强的自然过滤G=（Gt）T∈[0，T]使得GT独立于FT备注2.6。这种假设通常适用于随机分析，例如，重新称连续鞅为时变布朗运动。在当前设置中，我们使用这个额外的布朗运动来构造一个新的粘性过程，它与原始过程尽可能接近，并且有一个丰富的路径集合。然后我们使用这个新的粘性过程来构造Q~ 我们想要的P和S，见下面的定理4.1。3例在本节中，我们给出一些粘性过程的例子。由于粘性在具有连续函数的各种变换下是不变的，因此识别随机过程的粘性性质是有用的，即使它们允许鞅测度。已知Mos t L’evy过程允许等价鞅测度，例如，参见[3]第315页的第9.9节。然而，它们在连续函数下的变换甚至可能失去在Remark 2.4中讨论的半鞅性质。例3.1。设W表示d维布朗运动。b:Rd→ Rdbe局部有界且v:Rd→ Rd×dbe连续且v（x）对allx非奇异∈ 路。

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2022-5-9 05:58:07

如果随机微分方程dxt=b（Xt）dt+v（Xt）dWt，X=X，对于所有X，有一个弱解，在定律上唯一∈ Rd，则任何解决方案都满足CFS，即粘性，如Guasoni和R\'asonyi[11]所示。CFS也适用于许多非半鞅：分数布朗运动和其他高斯过程，参见[13,4,9]。例3.2。让我们来看一个斜布朗运动的例子，它被定义为以下等式的解nXt=Wt+βLt，其中Wt是一个一维布朗运动，lti是未知过程的局部时间Xtat time 0，β是一个常数w，β| |<1，更多细节见Harrison和Shepp[14]。由于本地时间lts生成了一个与lebesque测度奇异的测度，因此xts不接受任何本地鞅测度。设α=（β+1）/2，并将严格单调连续函数sα定义为sα=（1）- α） x换x≥ 0，αx表示x<0。设Yt=sα（Xt）。Harrison和Shepp[14]表明，Ytsaties dYt=f（Yt）dWt，其中f（x）=1-α表示x>0，x=0，α表示x<0。由于f是非s奇异且无边界的，从Stroock和Varadhan[26]的结果中，我们可以得出结论，对于任何初始值，它在连续函数空间上都是完全支持的。因此，作为Ytis Markovian，它具有CFS，因此具有粘性。很明显，这是一个市场，因为f是固定的。这个过程继承了Ytas的粘性特性，可以写成Ytas与严格单调连续函数（sα的反函数）的组合。例3.3。现在让我们来看看跳跃过程。为了简单起见，我们假设=1。让我成为一个列维过程。然后它有以下分解lt=ct+σBt+Z |θ|<1θ| N（t，dθ）+Z |θ|≥1θN（t，dθ），（4）对于某些常数c，σ∈ R.这里，ν是L的L′evy测度，N是L的泊松随机测度，而N（dt，dθ）=N（dt，dθ）- ν（dθ）dt是它的补偿版本。

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2022-5-9 05:58:10

B是来自N的独立布朗运动。Simon[25]表明，如果σ6=0或-1 | x |ν（dx）=∞. 如果σ=0，则-1|x|ν（dx）<∞ 如果h:=c，则L表示粘性-R-1 | x |ν（dx）=0或h>0（分别为h<0），对于所有的>0，则为ν((-，0））>0（分别为ν（（0，））>0）。例3.4。设X满足CFS，L为粘性L’evy过程，使其独立。那么对于任意函数，Lt=1是连续的→ R、根据Sayit和Viens[24]的第1条建议。例如，我们可以用一个独立于Nt的分数布朗运动代替布朗运动Btin（4），得到一个非半鞅的粘性过程。备注3.5。我们期望，在温和的条件下，L’evy过程驱动的随机微分方程的解是同样粘性的。进行相关调查超出了本文的范围。4.在上一节中解释的主要结果，一大类随机过程具有粘性。本节的主要目的是证明鞅（在等价的度量变化下）与它们“接近”，例如在Lpnorm中。在下面的理论中，我们陈述了这个结果，并在做了一些准备之后给出了它的证明。定理4.1。让g:R+→ R+是g（0）=0的凸函数，且χ>0为任意固定数。让我们来看一个c`adl`ag过程，它对F.2.5的假设是粘性的。设Ht=Ft∨ 每台GTT∈ [0，T]。那么这个过程就H=（Ht）t而言是粘性的∈[0，T]存在Q~ P和一个d维q-鞅S（关于H），使得S=sandqg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。（5）如果S有连续的轨迹，那么∈[0，T]| St-■St |<χ（6）持有a.s.例4.2。在一般情况下，不可能通过上述物理测量销（5）替换Q。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:58:13

这可以通过一个简单的例子来说明：设T:=1，St:=0，T<1，并且在[0,1]上是一致的。我们取F为S的自然过滤比n。集g（x）：=|x，并选择χ：=1/4。这个过程非常棘手。用矛盾来论证，假设有这样的情况∈[0,1]| E[|S | Ht]-圣|。然后也是E | E[|S | H]-0 |=| E | S |<χ，因为S=0和他的琐碎。另一方面，χ>E支持∈[0,1]| E[|S | Ft]- 圣|≥E|S- S |。注意到ES=1/2，这意味着E~S>1/4，而我们刚刚看到E~S<1/4，这是一个矛盾。推论4.3。设χ>0为任意固定数。让我们做一个c\'adl\'ag过程，它与F有关。让假设2.5生效。设Ht=Ft∨ 每个人∈ [0，T]。每p≥ 1t这里存在Q~ P和一个d维Q-鞅S（关于H），这样eqsupt∈[0，T]| St-~St|p<χ。（7）证据。的确，让g（x）：=xp，x≥ 0，并应用定理4.1。备注4.4。在S是连续过程的情况下，Bender等人[2]以略微不同的形式证明了定理4.1。在这篇文章中，S被假定为b正，而＠S被证明是令人满意的∈[0，T]|St/|St- 1 |<χa.s.（8）对该论点的微小修改将适用于不一定是正的、连续的s，它们将导致（6）而不是（8），而不使用假设2.5。因此，定理4.1的新颖之处在于处理非连续过程的情况，代价是需要假设2.5。我们不知道这个假设是否可以撤销。下面的引理将是定理4.1证明的关键要素。我们现在考虑离散时间过滤（Kn）∈N.我们介绍一些将在续集中使用的注释。对于Rd值的随机变量X，设d（X）是包含定律（X）支撑的最小子空间。设S（X）为（X）定律支撑的凸包的相对内点。

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kedemingshi

2022-5-9 05:58:17

D（u），S（u）的含义与Rd上概率u的含义相同。我们用B（x，r）表示半径r的闭合边界≥ x附近0∈ 引理4.5。修正任何ε>0，并假设w:Rd→ R+是一个连续函数，w（0）=0，w（x）≥ |x |。让（Mn）n∈Nbe适用于（Kn）n的离散时间过程∈N.假设0∈ S（Qn（·ω））a.S.对于所有的>0，Qn（B（0，），ω）>0a。s、其中Qn（·，·）是Mn的条件定律-锰-1关于Kn-1，n≥ 1.假设存在一个随机变量M∞还有∈ 确认当n→ ∞ 和{Mk=M∞, K≥ n} 一 {Mn- 锰-1 |<ε}（9）对于所有n，则有一个Q~ P使得Mn，n∈ N∪{∞}, 是一致可积的Q鞅andEQ“∞Xn=1w（锰）- 锰-1)#< ε. （10）证据。B通过选择x:=Mn应用ing引理7.2- 锰-1，K:=Kn-1，η：=ε/2n，我们得到每个n的jn（y，ω）≥ 1.定义zn（ω）：=jn（Mn（ω）- 锰-1(ω), ω).设置dQ/dP:=Q∞n=1Zn。注意，通过引理7.2和（9）的最后一句话，我们得到了所有k的Zk=1≥ n+1 on An。因此，对于几乎所有ω，只有绝大多数Zn（ω）与1不同。因此，最终产品几乎肯定会融合。我们声称Q(Ohm) = 1.的确，通过单调收敛，我们得到了qdp=limn→∞E和QDP= 画→∞E[1AnZn··Z]≥ 1.- 林尚→∞EACnZn··Z.到（9），ACn {Mn- 锰-1| ≥ ε} 通过引理7.2我们得到锌{124;锰-锰-1|≥ε} |千牛-1.< ε/2n。就这样ACnZn··Z= EE[1ACnZn | Kn-1] 锌-1···Z≤ （ε/2n）E[Zn-1··Z]=ε/2n→ 0，作为n→ ∞, 表明Q(Ohm) ≥ 1.法头引理(Ohm) ≤ 1.现在还需要证明Mn是Q下的一致可积鞅。Mn，n的鞅性质∈ 从Q的构造可以清楚地看出Q下的N。自w（x）≥ |x |，（10）表示mn收敛到M∞在L（Q）中，因此Mn，n∈ N∪ {∞} 是Q下的一致可积鞅。注4.6。假设w（x）≥ |x |κ，x∈ 用一些κ≥ 1.

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2022-5-9 05:58:20

然后，对引理4.5的证明进行微小的修改，不仅得到（10），而且得到∞Xn=1E1/κQ | Mn- 锰-1 |κ<ε，这意味着1/κQ[supn | Mn |κ]<∞,每当E|M|κ<∞, 特别是当Mis常量时。提案4.7。假设S相对于F是粘性的，设g:R+→ R+可以是g（0）=0的任何凸函数。假设序列（Sτn）n≥我们有∈ S（P（Sτn+1- Sτn∈ ·|Fτn）几乎可以肯定，其中停止时间τn由τ=0，τn+1:=inf{t>τn:|St定义- Sτn|≥ ε} ∧ T、对于某些ε>0的情况。然后存在Q~ P和一个关于F的d维Q-鞅S，使得S=S，ST=ST，和g（支持∈[0，T]| St-~St |）<g（2ε）+2√ε、其中，当ε→ 0.如果S有连续的轨迹，那么evensupt∈[0，T]| St-|St |<2ε（11）几乎肯定成立。如果S是（严格地）正的，那么S也是正的。备注4.8。将命题4.7与定理4.1相比较，前者不需要假设2.5，它提供了满足的ST=~ST，但这是涉及τn的假设的代价。尽管如此，命题4.7改进了之前的结果，即使在连续S.inde d的情况下，如果S具有CFS性质，那么命题4.7的条件很容易成立，通过一个类似于Guasoni等人[13]引理A.2的论点。因此，命题4.7强调了定理2的结论。Guasoni等人[13]的第11条（另见同一篇文章的orem 2.1）：我们得到了如（11）所示的S，但满足S=~Sand ST=~STa。s、还有。命题4.7的证明。这里的想法是将引理4.5应用于在停止时间τn处采样的S。构造的Q使得所有增量Sτn- Sτn-1会“小”但Sτn=Mn，n∈ N是Q-鞅。

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2022-5-9 05:58:25

那么，S就是终值为ST=M的连续时间Q-鞅∞根据Q的选择，支持∈[0，T]| St-|圣|也将是“小的”。请注意，g必然是连续的（即使在0处）。设置Mn:=Sτ和Kn:=Fτn总体n∈ N.使用引理4.5的符号，当前命题的条件仅为0∈ S（Qn（·ω））几乎可以肯定。粘性特性保证，对于任何较小的实数，erζ>0且所有n≥ Qn（B（0，ζ），ω）>0几乎可以肯定。定义An:={τn=T}∈ 千牛。由于S有c`adl`ag路径，对于几乎所有ω，递增序列τn（ω）不能有严格小于t的极限。这表明τn（ω）=t对于所有n≥ 对于某些m（ω）∈ 几乎可以肯定。因此，1几乎肯定会增加到1。设M∞:= 从τ的定义来看，我们有{Mn- 锰-1 |<ε} 因此，阿南德坚持住了。使用引理4.5，选择w（x）：=g（2 | x |）+| x |我们得到Q。现在定义St:=EQ[St | Ft]，t∈ [0，T]（我们使用这个q鞅的c`adl`ag版本）。这种定义是有意义的，因为STis Q可由| x |积分≤ w（x）和（10）。很明显，我们有S=SandST=ST。它还有待估计∈[0，T]| St-|圣|。修正t，n为一个模，让我们研究事件Bn:={τn≤ t<τn+1}另行通知。我们有| St-~St |=| St∧τn+1-~St∧τn+1 |=|St∧τn+1- 等式[)Sτn+1 | Ft∧τn+1]|，通过S的Q-鞅性质，我们进一步得到EQhSt∧τn+1-~Sτn+1英尺∧τn+1i≤ EQh | St∧τn+1-~Sτn |+Sτn-~Sτn+1|英尺∧τn+1i≤ EQhε+| Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i，（12）由k=n和k=n+1的Bn、τn和Sτk=EQ[ST | Fτk]=Mk=Sτk的定义得出。因此我们得到了-~St |）≤ Gε+EQh | Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i≤g（2ε）+gEQh2 | Mn+1- 锰|英尺∧τn+1i≤ g（2ε）+EQ[g（2 | Mn+1- Mn |）|英尺∧τn+1]，通过g的凸性。

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2022-5-9 05:58:28

注意到g必须是非递减的，我们得到g（| St-~St |）≤ g（2ε）+EQ[g（2 supn | Mn+1- Mn |）|英尺∧τn+1]≤ g（2ε）+EQ[LT | Ft∧τn+1]≤ g（2ε）+sups∈[0，T]Ls，对于正Q-鞅Ls:=EQ[g（2 supn | Mn+1- Mn | | Fs]s∈ [0，T]。然而，这里的右手边既不依赖于t，也不依赖于n，所以这个估计，实际上，保持了a.sOhm = ∪nBn。HenceEQg（主管∈[0，T]| St-~St |）≤ g（2ε）+EQ“sups∈[0，T]Ls#≤ g（2ε）+E1/2Q“sups∈[0，T]Ls#≤ g（2ε）+2E1/2QLT≤ g（2ε）+2E1/2Q“∞Xn=0w（Mn+1- Mn）#≤ g（2ε）+2√ε、使用Doob不等式和Le mma 4.5。由于St=EQ[St | Ft]和STI为正，因此S的正性是清晰的。如果S是连续的，那么| Sτn- Sτn-1| ≤ ε表示所有n，所以我们可以直接从（12）中得出（11）。引理4.9。设X和Y是两个独立的c`adl`ag过程。设F=（Ft）t∈[0，T]和G=（Gt）T∈[0，T]独立、完整、正确、连续的过滤，X和Y分别适用。设Ht=Ft∨ GTT∈ [0，T]。然后（Ht）t∈[0，T]是一个完整的、正确的连续过滤。如果X相对于F是粘性的，Y相对于G是粘性的，那么X，Y，X±Y和（X，Y）对于过滤H=（Ht）t都是粘性的∈[0，T]。证据首先观察H是完全过滤，因为F和G都是完全过滤。因此，证明H是右连续的就足够了，为此，对于任何Ht可测量的非负随机变量Z和所有0，证明E[Z | Ht]=E[Z | Ht+]就足够了≤ t<t。根据单调c类定理，证明Z=U V的等式就足够了，其中U≥ 0是可测量的，V是可测量的≥ 0是可测量的。然而，L emma 7.4意味着→0E[UV | Ht+h]=limh→0E[U|Ft+h]E[V|Gt+h]=E[U|Ft]E[V|Gt]=E[UV|Ht]，通过Ft，Gt，t的右连续性∈ [0，T]。这显示了Ht，t的正确连续性∈[0，T]。为了证明引理中的第二种说法，我们有必要证明，对于H，Xt，Ytaresticky。

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mingdashike22

2022-5-9 05:58:31

然后，Xt±Yt相对于H的粘性来自Sayit和Viens[24]的位置1（粘性过程的连续函数是粘性的）。我们只表明X对于H是粘性的，Y的参数是相同的。由于XT是一个正确的连续过程，我们需要检查∈[s，T]| Xt- Xs |<κHs）>0 a.s.，对于任何κ>0和任何确定性s∈ [0，T]（见上文引理2.1）。接下来是引理7.4 fr omP（支持∈[s，T]| Xt- Xs |<ε| Fs∨ Gs）=P（监督）∈[s，T]| Xt- Xs |<ε| Fs）>0 a.s.，作为Fs∨ σ（X）独立于g，X对F是粘性的。要查看最后一个语句，请应用引理7.4来获得p（supt∈[s，T]| Xt- Xs |<κ，支持∈[s，T]| Yt- Ys |<κHs）=P（支持）∈[s，T]| Xt- Xs |<κFs）P（支持∈[s，T]| Yt- Y |<κGs）>0，通过X，Y的粘性及其各自的过滤。现在，利用前面的论点，也可以建立定理4.1。在提出证据之前，我们先做一些重要的观察。备注4.10。设Bt是关于过滤和let0的布朗运动≤ θ<T是任意确定的时间。然后，根据Karatzas和Shreve[20]第2章中的定理6.1，Bs+θ-Bθ，s≥ 0是一个独立于lθ的布朗运动。设C[θ，T]表示[θ，T]上的Rd值连续函数的空间，其中在θ处为0。让我们注意到→ 小吃∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-fs |，f∈ C[θ，T]对于a.e.ω是连续的∈ Ohm 因此它可以在（ω，f）中联合测量。接下来{sups∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-Gs |<a和{sups∈[θ，T]| Bs（ω）-Bθ（ω）-Gs|≤ }是每个>0的事件，其中G是C[θ，T]的随机元素。现在定义q（，f）：=P（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- f |<f），并且没有理由认为所有f的q（f，f）>0∈ C[θ，T]a s Bt-Bθ，t∈ [θ，T]完全支持C[θ，T]。Fatou的lemmafor事件表明→ q（，f）是下半连续的。

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2022-5-9 05:58:34

注意，如果GnareLθ-可测C[θ，T]值随机变量只取可数个值，那么p（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns |<Lθ）=q（，Gn）。现在，设G是C[θ，T]中的任意Lθ-可测随机元。选择一个序列Gn，n∈ N、 C[θ，T]中离散的Lθ-可测随机元的G几乎可以确定。q（，·）的下半连续性和Fatou引理forevents意味着0<q（，G）≤ lim infnq（，Gn）=lim infnP（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns |<Lθ）≤ lim infnP（辅助）∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns|≤ | Lθ）≤ lim supnP（sups∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gns|≤ | Lθ）≤ P（sups）∈[θ，T]| Bs- Bθ- Gs|≤ | Lθ）。（13）定理4.1的证明。我们希望应用提案4.7，但不一定要满足0∈ S（P（Sτn+1- Sτn∈ ·|Fτn）。为了验证这一点，我们用一个独立的“小噪声”W扰动S，使得对于Yt:=St+Wt，0∈ S（P（Yτn+1- Yτn∈ ·|Fτn）成立。由于Y接近S，由4.7建议为Y构造的S也将接近S。固定任何ε>0。L et Bt=（Bt，Bt，··，Bdt）是假设的布朗运动。5.我们注意到，B显然具有CFS特性。设π：(-∞, +∞) → (-ε、 +ε）是一个双射Lipschitz连续（确定性）函数。让F:Rd→(-ε、 +ε）由F（x，…，xd）定义的dbe:=（π（x），π（xd））。用L表示映射F的Lipschitz常数。现在setWt:=（Wt，Wt，··，Wdt）：=F（Bt，Bt，··，Bdt）。定义Yt=St+Wt。根据上面引理4.9，Y对于过滤H是粘性的。对于each正整数n≥ 1，定义τn=inf{t≥ τn-1:| Yt- Yτn-1| ≥ ε}, τ= 0.这些是过滤H的停止时间。我们想展示一下△n： =Yτn- Yτn-1满意度0∈ S（P(△N∈ ·|Hτn-1）（14）几乎可以肯定的是，对于每一个n.固定n，从现在起我们正在研究集合{τn-1<T}（因为（14）在{τn上是平凡的）-1=T}）。我们将写出τ：=τn-1从今以后。设0<η<ε/2为Hτ-可测随机变量，使得B（Wτ，η）(-ε、 ε）d。

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2022-5-9 05:58:37

单独处理{η形式的事件≥ 1/j}，j∈ N我们可以也将假定η是常数。修正x∈ B（0，η/2）∩ Qd。它必须显示tx∈ 补充(△N∈ ·|Hτ）a.s.（15）在{τ<T}上，因为这意味着，在ω的空集之外，supp(△N∈ ·|Hτ）（ω）包含B（0，η/2）∩ 因此，作为一个闭集，也是B（0，η/2）的整体。如果，对于每一个l∈ N、 P(△N∈ B（x，（1+η）/l）| Hτ）≥P（τn=T，△N∈ B（x，（1+η）/l）|Hτ）>0（16）几乎肯定在{τ<T}上。修好我∈ N.我们现在将证明（16）。为此，definejt=Bτ（ω）- F-1.T- τT- τx+F（Bτ（ω））, 对于t∈ [τ（ω），T]，且Jt=0，T<τ（ω）。这种定义是有道理的，因为|t-τT-τx|≤ η/2，根据η的选择，t-τT-τx+F（Bτ）∈ (-ε、 ε）d.此外，定义事件d（l）：={supt∈[τ，T]|St- Sτ|<η/l}，K（l）：={supt∈[τ，T]|Wt- Wτ|<η，| WT- Wτ- x|∈ B（0，1/l）}，H（l）：=（支持）∈[τ，T]|Bt- Bτ+Jt |<Lmin{1/l，η/2}）。我们首先证明P（D（l）∩ H（l）|Hτ）>0a.s.（17）在{τ<T}上。对于这一点，有足够的证据表明∈ HτA {τ<T}和P（A）>0，关系式P（A）∩ D（l）∩ H（l））>0保持。固定这样一个A和一个终止数0<<min{η/l，Lmin{1/l，η/2}。由于jt是一个Jτ=0的Hτ可测连续过程，因此存在一个确定数θ≤ T使事件A=A∩ {supt∈[τ，θ]| Jt |≤} ∩{τ<θ}具有正概率。请注意∈ Hθ∩Hτ。过程s（St，Bt）的关节粘性，见引理4.9，表明事件A=A∩ {supt∈[τ，θ]|St- Sτ|≤} ∩ {supt∈[τ，θ]|Bt- Bτ|≤}有正概率。

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kedemingshi

2022-5-9 05:58:42

现在请注意∩ d（l）当红色（l）=：{supt∈[θ，T]|St- Sθ|≤}.我们还要求∩ h（l） H（l），其中H（l）=：{supt∈[θ，T]|Bt- Bθ+Jt- Jθ|≤}.真的，谢谢∈[τ，T]|Bt- Bτ+Jt|≤ 监督∈[τ，θ]|Bt- Bτ+Jt |+supt∈[θ，T]|Bt- Bτ+Jt|≤ 监督∈[τ，θ]|Bt- Bτ|+s upt∈[τ，θ]|Jt |+supt∈[θ，T]|Bt- Bθ+Jt- Jθ|+|Bθ+Jθ- Bτ|</6+/6+/3+|Bθ- Bτ|+| J（θ）|≤ ∩ h（l）那么A∩ h（l） H（l）。我们的结论是∩ d（l）∩h（l） A.∩D（l）∩ H（l）。（18）因此，有必要证明（18）的左侧具有正概率。自从∈ Hθ，可以表示p（d（l）∩ h（l）| hθ）>0 a.s.（19）定义Lt:=Gt∨ 我们可以这样写（19）：P（d（l）∩ h（l）| hθ=E[E[1d（l）∩h（l）|lθ]|hθ]=E[1d（l）E[1h（l）|lθ]|hθ]。请注意，Gs：=Js- Jθ，s∈ [θ，T]是一个Hθ Lθ-可测随机元inC[θ，T]soe[1h（L）|Lθ]≥ q（/3，G）>0 a.s.乘以（13）在上文第4.10节中。接下来是P（d（l）∩ h（l）| hθ）≥ q（/3，G）P（d（l）| Hθ）>0，由S的粘性和引理4.9决定。我们得出结论（17）成立。现在我们将展示H（l）∩ D（l） K（l）∩ D（l） {τn=T，△N∈ B（x，（1+η）/l）}，这将导致（16），在（17）的视图中。第二个遏制措施是微不足道的，因为∈[τ，T]|Wt-Wτ|<η和supt∈[τ，T]|St-Sτ|<η/l∈[τ，T]| Yt- Yτ|<ε乘以η<ε/2，这意味着τn=T。显然，|WT- Wτ- x|∈ B（0，1/l）和supt∈[τ，T]|St- Sτ|<η/l△N∈B（x，（1+η）/l）。对于第一个安全壳，F和W=F（B）的Lipschitz性质清楚地表明Wt-T- τT- τx- Wτ≤ L英国电信- F-1.T- τT- τx+F（Bτ）< 闵l、 η,关于H（l）。对于t=t，这给出了| WT- Wτ- x |<1/l∈[τ，T]|Wt- Wτ|≤ 监督∈[τ，T]Wt- Wτ-T- τT- τx+ 监督∈[τ，T]T- τT- τx< η/2+η/2=η，表示H（l） K（l）。现在用凸函数x对过程Y应用Propo position 4.7→ g（2x）以获得S。

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mingdashike22

2022-5-9 05:58:45

我们得到了胜利∈[0，T]| St-|圣|！≤EQg2支持∈[0，T]| Yt-|圣|+EQg2支持∈[0，T]| Yt- 圣|！≤g（4ε）+2√ε+g（2ε），当ε→ 0.这就完成了证明。备注4.11。根据备注4.8，命题4.7适用于示例3.1。如果样本3.1中的b=0，则下面的定理5.1适用，并且可以用真鞅近似多个局部鞅。现在让我们回顾所有示例3.2。由于Ytis是一个鞅，且sα的逆函数是严格单调的，因此该过程满足0∈ S（P（Xτ）- Xθ∈ ·|Fθ）对于所有停止时间τ几乎肯定是偶数≥ θ. 所以命题4.7适用于斜布朗运动。定理4.1适用于示例3.4中给出的一大类过程。备注4.12。乍一看，命题4.7的论点似乎与Gua soni等人[13]中定理1.2的论点有所不同，另见卡巴诺夫和斯特里克[19]以及K abanov和Sa farian[17]中的第3.6.8小节。然而，细微的细节确实会产生不同的效果。命题4.7不仅涵盖了跳跃过程的情况，而且在连续过程的情况下也更为尖锐，正如我们在备注4.8.5局部鞅中所指出的，用k·KTV表示的有限符号测度的总变化范数(Ohm, F）。定理5.1。让g:R+→ R+是凸的，g（0）=0，且χ>0。让假设2.5生效。假设S是粘性局部鞅。然后就是Q~ P与kQ-P ktv<χ和一个d维Q-鞅，关于放大的过滤H，使得EQg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。如果S有连续的轨迹，那么即使是SUP∈[0，T]| St-~St|<χ持有a.s.最后，s仍然是关于H的局部鞅。证据Le tσn，n∈ N停车时间增加到∞ 这样的话∧σn，t∈ [0，T]是每个n的鞅。暂时固定k。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:58:48

我们将应用定理4的证明。1（依据命题4.7），从σk开始∧T，即使用序列τ（k）：=σk∧ T、 τn+1（k）：=inf{T>τn（k）：|Yt- Yτn|≥ ε} ∧ T、式中，Yt:=St+wt，wt与定理4.1的证明相同。从σk开始应用命题4.7的论点∧ T代替0，对Mn使用单mma 4.5:=Yτn（k）。选择足够小的ε，我们得到Q（k）~ Psuch thatEQ（k）gsupσk≤T≤T|St-~St|< χ和dQ（k）/dP=∞Yj=1Z（k）j，其中我们定义了所有t∈ [0，T]。这里Z（k）jis Hτj（k）-每个j都是可测量的∈ N、对应于引理4.5证明中出现的ZJ。我们现在检查一下St=~Sta。s、关于{t≤ σk∧T}。事实上，在这方面-~St=EQ（k）[St∧σk-~St∧σk | Ht∧σk]=EQ（k）[St∧σk- 装货单∧σk | Ht∧σk]=E[（dQ（k）/dP）[St∧σk- 装货单∧σk]| Ht∧σk]E[dQ（k）/dP | Ht∧σk]=E[E[（dQ（k）/dP）[St∧σk- 装货单∧σk]| HT∧σk]| Ht∧σk]E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]| Ht∧σk]=E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]（St）∧σk- 装货单∧σk）|Ht∧σk]E[E[dQ（k）/dP | HT∧σk]| Ht∧σk]=0，从ST开始∧σk=ST∧σk，E[dQ（k）/dP | HT∧σk]=1，且S的鞅性质可达σkunder P。现在注意P（dQ（k）/dP=1）≥ P（σk）∧ T=T）→ 1，k→ ∞, 这意味着dQ（k）/dP在概率上趋向于1，Hencealm几乎沿着子序列e。使用舍夫定理，我们可以用kq（k）找到k- ktv<χ。最后一句话很清楚，因为GT独立于FT推论5.2。让假设2.5生效。让p≥ 1是任意的，让我们成为粘性局部鞅。那么对于所有的χ>0，都存在sq~ P与| | Q- P | | tv<χ和一个Q-鞅关于放大的滤波H，使得eqsupt∈[0，T]| St-~St|p<χ是满意的。备注5.3。严格局部鞅是不是鞅的局部鞅。利用命题3构造粘性严格局部鞅并不困难。Elworthy等人[8]的8（也是推论3.9）。

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mingdashike22

2022-5-9 05:58:51

我们可以选择任何连续和非递增的m:R+→ （0,1]m（0）=1，设Mt=1/Rr-1（m（t）），这是一个从1开始的三维贝塞尔过程，r（t）=E（1/Rt）。从Elworthy等人[8]的命题3.8来看，Mt是一个严格的局部鞅，其m（t）=EMt。（只要m（t）不是常数，mt就是严格的局部鞅）。MTI是粘性的，因为它是通过在连续函数x，x>0和有界时间变化下的变换从粘性过程R中获得的。备注5.4。严格的局部鞅（不是鞅）被建议作为经典泡泡的模型，见Protter[23]。在这种情况下，P是定价指标，S是资产的价格过程。定理5.1和推论y 5.2重申Guasoni和R\'asonyi[11]中已经提到的谨慎一词：对期权和资产价格的过分小的错误描述（即，将Q forp和S误认为S）可能会破坏S在P下评级的“泡沫现象”，因为S是Q下的鞅，不允许出现泡沫。6数学金融的应用数学金融的核心概念是套利，即无风险利润。在一个高效的市场中不应该存在这样的机会。套利理论在忽略摩擦（交易费用、流动性影响）的金融市场理想化模型中得到了很好的理解，见例[6]。在比例交易成本的情况下，也有一个相当清晰的画面，粗略地说，交易成本是交易速度的线性函数，参见[17]。然而，由于交易成本对交易速度的超线性依赖，非流动性市场出现了新现象。

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2022-5-9 05:58:54

在CH市场模型中，本文[12]提供了关于双变量无套利的分形，见下面的定理6.2。我们将应用预发文件的结果来表明，在具有超线性流动性影响的市场中，一大类候选价格过程（即粘性价格过程）不存在套利性。我们现在在Gua soni and R\'asonyi[12]和se e[12]中简略地绘制了模型（略为简化的版本），以了解更多细节。停留在随机的基础上(Ohm, F、 P，F），让我们来描述当交易（实际上）缓慢时，金融市场中d风险集合的价格。流动性影响将由成本函数G描述：Ohm ×[0，T]×Rd→ R+假设为O B（Rd）可测量，其中O是可选的西格玛场。我们进一步假设G（ω，t，·）与G（ω，t，x）是共凸的≥ G（ω，t，0）：=0表示所有ω，t，x。此后，设置Gt（x）：=G（ω，t，x），即省略对ω的依赖，并将t用作下标。还有一个无风险资产，价格常数为1，t∈ [0，T]。可行的策略是A类中的一个过程φ：=（φ：φ是一个有价值的可选过程，ZT|φu|du<∞ a、也就是说，交易速度φtat t被假定为有限的，并且股票的交易量也超过[0，t]。根据这一定义，对于给定的策略∈ A和初始资产位置z=（z，…，zd）∈ Rd+1，时间t的结果位置∈ [0，T]在风险资产和资产负债表中定义为：Xit（z，φ）：=zi+Ztφiudu，1≤ 我≤ d、（21）Xt（z，φ）：=z-ZtφuSudu-ZtGu（φu）du。（22）以下假设中的主要项目是超线性条件（23）：它表明，作为交易速度的函数，快速交易具有比线性更强的影响。假设6.1。α>1，H>0，因此gt（x）≥ H | x |α，对于所有ω，t，x，（23）ZTsup | x|≤NGt（x）！dt<∞ a、所有N>0。

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2022-5-9 05:58:57

（24）定义alsoG*t（y）：=supx∈Rd（xy）- Gt（x））≥ 0，y∈ Rd，t∈ [0，T]。我们将应用第4节的结果进行投资，在这种情况下，市场模型是无套利的。第二种套利是一种策略∈ A、使得XiT（z，φ）≥ 0，i=0，1，d，z=（c，0，…，0）表示some c<0。如果不存在第二类套利（NA2），则不存在这种机会。我们复制了Guasoni a和R\'a sonyi[12]的定理4.2，其特征是（NA2）。p的符号Lp（Q）≥ 1指概率Q下具有有限pth（绝对）矩的D维随机变量s的通常Ba nach空间~ P定理6.2。假设Fbe t r ivial，假设6.1成立，fix 1<β<α，let1/β+1/γ=1。（NA2）成立的充要条件是，对于所有χ>0，存在Q~ P与eqzt（1+| St |）βα/（α）-β） dt<∞和一个带ZT的Rd+1+值Q-鞅Z∈ Lγ（Q）使得{Zit=0，i=1，…，T} 所有t，Z=1和EQRTZtG的{Zt=0}a.s*t（\'Zt- St）dt<χ式中‘Zit=（Zit/Zt）1{Zt6=0}，i=1，D定理4.1确保过多的模型满足（NA2）。提议6.3。让Fbe变得微不足道，让假设6.1保持不变。如果S是粘性的，则其含量（NA2）。证据我们扩大了概率空间，使假设2.5成立。Guasoni和R’asonyi[12]的引理3.2表明存在常数C，对于所有t，G*t（y）≤ C | y |α/（α）-1). 设置δ：=max{γ，βα/（α）- β） }，g（x）：=xδ，x≥ 0，注意α/（α）- 1) ≤ 因此，对于任意随机变量X，方程g*t（X）≤ CEQ | X |α/（α）-1)≤ CEα/[（α）-1） δ]Q[|X |δ]。（25）不幸的是，条件“{Zit=0，i=1，…，T} {Zt=0}a.s.对于所有t，在Guasoni和R\'asonyi[12]中该定理的陈述中，Z=1“缺失了（但鉴于前面的结果，显然需要它们）。在定理6.2中，我们陈述了修正后的版本。修正χ>0。

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kedemingshi

2022-5-9 05:59:00

定理4.1提供了Q~ 关于Hsuch thatEQg（supt∈[0，T]| St-~St|）<χ。（26）仔细观察这些参数的细节，可以发现引理4.5与选项w（x）=42δ| x | 2δ+2 | x |一起使用。Remar k 4.6然后yieldsEQsupk∈N|Mk|2δ<∞因此也是如此高级大床房∈N | Mk|< ∞.我们因此获得了胜利∈[0，T]| Yt |！≤ EQg高级大床房∈N | Yτk |+ε= EQg高级大床房∈N | Mk |+ε< ∞, （27）注意g.Since | Yt的凸性- 这意味着∈[0，T]| St |！<∞, （28）因此也是如此∈[0，T]| | St |！<∞, （29）通过（26）。注意βα/（α）- β) ≤ δ和（28），EQZT（1+| St |）βα/（α）-β） dt<∞.定义Q鞅Zt=1，Zit=Sit，i=1，d、很明显，ZT∈ Lγ（Q）乘以（29）和δ≥ γ. 我们从（25）和（26）推导出：*t（\'Zt- St）dt=ZTEQG*t（~St）- St）dt≤ tceα/[（α-1） δ]Q“supt∈[0，T]g（|St）- |）#≤ tcχα/[（α-1） δ]，作为χ，它变为0→ 0.这意味着（NA2）适用于定义为H-可选工艺的A类。由于F是H的一个子过滤，因此对于定义了F-可选过程的a，结果如下。这就完成了证明。备注6.4。Guasoni和R\'a sonyi[12]为证明CFS-O财产的连续过程类别建立了财产（NA2），见备注2.3。利用Bender等人[2]的论点，可以建立（NA2）连续粘性过程。因此，建议6.3的基本新颖之处在于允许跳跃。7辅助结果为了证明定理4.1，我们需要下面给出的两个引理。我们首先要做一些记号。Rd中的标量积用h·、·i表示。Rd表示Rd的一点紧集，C（Rd）表示Rd上的R值连续函数集。我们让C+（Rd）：={g∈ C（Rd）：g（x）>0，x∈ Rd}。我们用C（Rd）表示Rd上紧支撑的连续函数族。作为Rdiscompact，C（Rd）（配备上确界范数）是一个可分离的B anach空间，先前是一个波兰空间。

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2022-5-9 05:59:03

由于C+（Rd）显然是C（Rd）的Borel子空间，可测选择定理（参见[7]中的III.44-45）适用于具有inC+（Rd）值的多函数。修正一个连续函数w:Rd→ R+与w（0）=0。在下一个引理中，引理4的引理是正引理。这里的想法是，由于下面的（30）（这将是我们应用引理7.1时粘性的结果），我们不能保证“平均”EY f（Y）为0，而“范数”Ef（Y）w（Y）与“质量”Ef（Y）1{|≥η} 分配到一个小球外。引理7.1。设Y是一个Rd值的随机变量，其值为0∈ S（Y）。假设P（Y）∈ B（0，））>0（30）表示所有>0。那么对于每一η>0，就存在f∈ C+（Rd）使得Ef（Y）=1，Ef（Y）w（Y）<η，Ef（Y）1{Y|≥η} <η，且Ef（Y）Y=0。证据定义w（x）：=w（x）+| x |并注意，它需要显示w的| winstead的结果。自S（Y） D（Y），D（Y）是Rd的一个非空线性s子空间。如果D（Y）={0}，那么我们为所有Y设置f（Y）：=1∈ 现在我们假设D（Y）的维数至少为1。定义：={r∈ C+（Rd）：Er（Y）~w（Y）<η/2，Er（Y）<η}。现在设置A:={Er（Y）Y:r∈ A} 。很清楚，一个 D（Y）是一个凸非空集。要看到这一点，请注意∈ C（Rd），h≥ 0，r（y）=κh（y）+κe- 对于κ，w（y）（31）位于A中，κ>0足够小。在D（Y）的相对拓扑中，用riD（A）表示A的内部，我们认为0∈ 里德（A）。如果这不是真的，那么就会存在一个非零l∈ D（Y）使得hl，ai≥ 0代表所有a∈ 答：这意味着EHL，Y ir（Y）≥ 0（32）表示形式（31）的所有r（κ，κ足够小）。我们可以让κ→ 0和（32）也适用于所有r（y）=κh（y）和h∈ C（Rd），h≥ 这显然意味着hl，Y i≥ 0 a.s。

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2022-5-9 05:59:08

因此从0开始∈ 根据[16]中的定理3，我们得到了hl，yi=0a.S，所以hl，zi=0∈ D（Y）。但是hl，li>0，我们就得出了一个结论。因此B（0，δ）∩ D（Y） A表示约0<δ<η。我们选择δ>0，使之足够小|≤Δw（y）≤ η/2. 现在让我们以m为例∈ 在B（0，δ）内部为正的C（Rd），在其他地方消失，满足Em（Y）=1。这种函数自P（Y）以来就存在∈ B（0，δ/2））>0。集合c:=Em（Y）Y∈ B（0，δ）∩ D（Y）。复现∈ A与Er（Y）Y=-c、所以设置f（y）：=（r（y）+m（y））/E[r（y）+m（y）]我们得到Ef（y）y=0。显然，Em（Y）~w（Y）<η/2和E[r（Y）+m（Y）]>1，因此Ef（Y）~w（Y）<η，使用A的定义。仍需检查Ef（Y）1{Y|≥η} =Er（Y）1{| Y|≥η} /E[r（Y）+m（Y）]≤ Er（Y）1{|Y|≥η} <η，由δ<η和A的定义得出。现在考虑西格玛代数K F和一个Rd值随机变量X。LetQ:B（Rd）×Ohm → [0，1]是X相对于K的条件定律。我们用δ表示原点处的狄拉克测度。下面的引理是上面Lemma 7.1的“内核版本”。引理7.2。让0∈ S（Q（·ω））表示a.S.ω，并让Q（B（0，），ω）>0表示a.S.foreach>0。那么对于每一η>0，就有一个B（Rd）K-可测j:Rd×Ohm → (0, ∞)这样，对于几乎所有ω，以下条件都成立：ZRdj（z，ω）Q（dz，ω）=1，ZRdj（z，ω）zQ（dz，ω）=0，ZRdj（z，ω）w（z）Q（dz，ω）<η，ZRdj（z，ω）1{z|≥η} Q（dz，ω）<η。此外，我们可以选择j（z，ω）：=1，z∈ Rdon{ω：Q（ω，·）=δ（·）}。证据对于a.e.ω，可以将引理7.1应用于具有lawQ（·ω）的随机变量Y，以得到函数fω∈ C+（Rd）。我们可以应用可测选择定理(Ohm, K、 P）得到一个映射ω→ fω是K/B（C（Rd））可测的。Letj（z，ω）：=fω（z），它是B（Rd） K-可测（因为每个fω是连续的）。这显然满足了目前引理的结论。

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2022-5-9 05:59:10

最后一句话在引理7.1的证明中是清楚的。备注7.3。引理7.1和7.2中使用的技术始于Dalang等人[5]。Y.Kabanov在连续时间背景下对其进行了进一步开发，并发现其在数学金融中有着广泛的应用。这里，我们仅将卡巴诺万德街[18]作为一个代表性的例子。最后，我们给出了一个简单的引理，这个引理对于证明引理4.9是有用的。引理7.4。设A，B为西格玛场，U，V为非负随机变量∨ σ（U）与B无关∨ σ（V）。ThenE[UV | A∨ B] =E[U | A]E[V | B]。证据leta（resp.B，C，D）是σ（U）（resp.σ（V），A，B）可测集。通过单音类定理和条件期望的定义，可以证明E[1ABCD]=E[1A | A]E[1B | B]1CD]。（33）根据C（re sp.D）的独立性和A（resp.B）可测性，（33）isE[E[1AC|A]]E[E[1BD | B]=E[1AC]E[1BD]，其右手侧与（33）的左手侧从1BD独立。参考文献[1]Aurza da，F.和Dereich，S.（2009），一般L’evy过程的小发展。安。问题。，37, 2066-2092.[2] Bender，C.，Pakkanen，M.和Sayit，H.（2015），粘性连续过程具有一致的价格体系。J.阿普尔。问题。，52, 586-594.[3] Cont，R.和Tankov，P.（200 3），《带有J ump过程的财务建模》。Cha pman&Hall，英国。[4] Cherny，A.（2008），布朗移动平均线有条件完全支持。安。阿普尔。问题。，18, 1825-1830.[5] R.C.Dalang，Morton，A.和Willinger，W.（1990），随机证券市场模型中的等价鞅测度和无套利。S Tochastics统计代表，29185-201。[6] F.德尔班和W.沙切迈耶。套利的数学。SpringerVe rlag，B e rlin，2006年。[7] C.德拉切里和P.-A.迈耶。概率和潜力。北荷兰，阿姆斯特丹，1979年。[8] 埃尔沃西，K。

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2022-5-9 05:59:15

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