长期风险敏感并矢脉冲控制

2022-6-24 04:43:48

长期风险敏感二元脉冲控制Marcin Piteraaand Lukasz Stettnerbt该版本：2019年6月18日摘要：本文将二元脉冲控制应用于连续时间Feller-Markov过程，研究了长期风险敏感优化问题。与现有文献相比，通过采用权重范数方法，重点研究了无界和非一致遍历情况。特别地，它展示了如何将几何漂移与局部最小化特性相结合，以便在过程以及相关的报酬/成本函数无界时扩展局部跨度收缩方法。对于任何预先确定的风险规避参数，适当的Bellman方程的解的存在性被证明并与潜在的随机控制问题相联系。为完整起见，提供了满足几何d裂谷假设的非受控过程示例。关键词：脉冲控制、Bellman方程、非一致遍历马尔可夫过程、权重范数、风险敏感控制、熵风险度量SC2010:93E20、93C40、60J251 IntroductionLet(Ohm, F、 F，P）是满足通常条件的连续时间过滤概率空间。特别地，我们假设F={Ft}t∈T、式中，T=R+，Fis平凡，F=St∈TFt。此外，设X=（Xt）是局部紧空间E中具有值的Feller-Markov过程；为简单起见，weset E=rds，但大多数结果直接转移到一般情况。过程X由形式（τ，ξ）的脉冲控制：在随机时间τ，过程从状态Xτ转移到状态ξ，并遵循其动力学直到下一个脉冲。我们假设移位ξ取紧集U中的值 E、设V为所有容许脉冲控制策略的空间V={（τi，ξi）}∞i=1，即严格递增（可能无限）马尔可夫时间τi和移位随机变量ξi的序列。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:43:51

假设X=X（其中X∈ E）和V∈ V我们使用（^Ohm,^F，P（x，V））表示与相应受控过程x相关的概率空间。为简洁起见，我们省略了该空间的构造；详见Robin（1978）。我们参考了Palczewski&Stettner（2017），其中详细考虑和讨论了类似的脉冲控制框架；见alsoStettner（1982、1989）。波兰克拉科夫贾吉略大学数学学院，电子邮件：marcin。pitera@im.uj.edu.pl，研究由NCN资助，2016/23/B/ST1/00479。波兰华沙波兰科学院数学研究所，电子邮件：l。stettner@impan.pl，研究由NCN资助，2016/23/B/ST1/00479。长期风险敏感二元脉冲控制2本文的主要目的是研究目标函数中嵌入报酬和转移成本函数的风险敏感脉冲控制问题。我们考虑jt（x，V）：=γlne（x，V）“expγZTf（Xs）ds+γ给出的风险规避参数γ<0的风险敏感准则的长期版本∞Xi=1{τi≤T}c（Xτ-i、 ξi）！#，（1.1）针对所有T∈ T、 x个∈ E和容许控制V∈ 五、请注意，进程X具有初始状态X，其动力学取决于控件V。在（1.1）中，函数c:E×U→ R-与轮班执行成本函数相关，函数f:E→ R对应于反向函数，xτ-iis第i个脉冲之前的过程状态（如果同时有多个脉冲，则具有自然含义）。风险敏感控制可被视为风险中性预期单位时间成本控制的非线性扩展，例如Robin（1981、1983）研究的情况；参见Palczewski&Stettner（2017），了解脉冲控制方面的最新贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:43:54

虽然脉冲控制是最流行的控制形式之一，但在风险敏感的情况下应用标准方法通常会导致与拟变分不等式相关的困难问题；seeNagai（2007），以及其中的参考文献。因此，需要开发替代工具；参见例如Hdhiri&Karouf（2011）。在本文中，我们通过允许无界价值/成本函数和基础过程的非一致性，重新定义并扩展了最初在Adowy&Stettner（2002）中开发的脉冲风险敏感控制的概率方法。有关有界框架中长期风险敏感控制的更一般背景，请参见Fleming&McEneaney（1995）或Di Masi&Stettner（1999）。我们重点研究了可在离散δ-并矢时间网格上应用位移的并矢脉冲控制策略。通过考虑加权规范，我们扩展了Haier&Mattingly（2011）和Pitera&Stettner（2016）提出的框架；我们还参考了Shen等人（2013）、B–auerle&Rieder（2017）以及其中的参考文献。我们的方法基于跨度收缩框架，以几何漂移和局部最小化为中心的一组通用假设；（替代）消失折扣法见Cavazos-Cadena&Hern'andez Hern'andez（2017）及其参考文献。除了将跨度收缩方法推广到无界情况之外，我们还展示了一种简单新颖的长期噪声控制方法，该方法基于H¨older不等式对潜在熵效用的应用。通过将过程分解为不同的组成部分，并应用熵的超加和次加边界（见Lemma6.1），我们能够在极限内消除噪声。这种简单的观察使我们能够在噪音无限的情况下，快速将Bellmansolution与潜在的优化问题联系起来；见命题4.3。该方法非常通用，可用于。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:43:57

长期风险敏感投资组合优化。例如，on可以通过显示Bellman方程始终对应于最优策略（其中定义），而无需任何其他假设，轻松地确定inPitera&Stettner（2016）中的命题5。本文的组织结构如下。第2节建立了一般设置。特别是，温特介绍和讨论了核心假设，并陈述了其中的主要问题。在第三节中，Weintroducing二元Bellman方程并证明其解的存在。定理3.2说明Bellman算子是收缩ω-跨度范数中的局部收缩，这是对长期风险敏感的并矢脉冲控制的一个核心部分3跨度收缩方法，可以看作是本文的主要结果之一。章节将Bellman方程与相应的二元最优控制问题联系起来（2.5）；本节的主要结果是命题4.3。在第5节中，我们展示了满足假设（A.3）中引入的熵不等式的非控制过程的参考示例；从实用主义的角度来看，这一点很重要，因为这一假设乍一看可能有局限性。最后，在附录6中，我们介绍并证明了一些补充结果，包括熵H¨older不等式的简单证明。2初步假设us fixδ>0，假设Tδ：={nδ}n∈n注意相关的δ-并矢时间网格。我们使用Vδ V todenote所有相关二元脉冲控制策略的空间；详情见Sadowy&Stettner（2002）。对于透明度，对于固定γ<0任意n∈ N、我们定义Tn：=Nδ，并考虑（1.1）定义asJ（x，V）的二元平均成本长期版本：=lim infn→∞JTn（x，V）Tn。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:00

（2.1）虽然大多数结果可以很容易地扩展到全时域，但仅考虑（2.1）中的离散并矢可以增加透明度，并且在考虑离散Bellman方程时更为自然；如果需要，我们将提供关于如何将我们的框架扩展到fulltime域的其他评论。给定初始状态x∈ E与脉冲控制V∈ 五、我们定义了相应的熵度量uγ（x，V）：L（^）Ohm,^F，P（x，V））→风险规避参数γ的R∈ R通过设置uγ（x，V）（Z）：=（1/γln E（x，V）[exp（γZ）]γ6=0，E（x，V）[Z]γ=0，其中E（x，V）是对应于P（x，V）的期望运算符。为简洁起见，我们使用uγxto表示熵效用，对应于从x开始的非受控过程∈ E（例如，对于V∈ V使得τi=∞ 对于i∈ N）。如果没有歧义，我们写|γ，而不是|γxor|γ（x，V）。这同样适用于概率测度P（x，V）以及期望算子E（x，V）。特别注意，（1.1）可以重写为jt（x，V）=uγ（x，V）ZTf（Xs）ds+∞Xi=1{τi≤T}c（Xτ-i、 ξi）！。（2.2）设ω：E→ R+是一个固定的连续权重函数，让Cω（E）表示所有有界的实值连续函数的空间。ω-范数，即函数g:e→ R suchthatkgkω：=supx∈E | g（x）| 1+ω（x）<∞.接下来，我们将提出贯穿本文的假设。在假设（A.3）–（A.4）中，过程X=（Xt）对应于初始状态为X的非受控过程∈ E、长期风险敏感二元脉冲控制4（A.1）（奖励函数约束）函数f是连续的，kf kω<∞.（A.2）（转移成本函数约束。）函数c是连续的，存在c<0，因此对于所有x∈ E和ξ∈ U我们得到c（x，ξ）≤ c

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-24 04:44:03

此外，k^ckω<∞, 式中^c:E→ R-Is由^c（x）给出：=infξ∈Uc（x，ξ）。（A.3）（具有可控噪声的几何漂移。）存在常数b∈ （0，1）和（有限）函数M，M:R→ R、对于任何γ∈ R和x∈ 我们得到μγxZΔω（Xs）ds≤ ω（x）+M（γ）和uγx（ω（xδ））≤ bω（x）+M（γ）。（2.3）（A.4）（局部二值化）对于任何R>0，都存在d>0和概率测度ν，这样infx∈CRPx[Xδ∈ A]≥ dν（A），A∈ B（E），（2.4），其中CR={x∈ E：ω（x）≤ R} 和νsatis fiesν（U）>0。现在让我们简要地讨论一下这些假设。假设（A.1）和（A.2）是标准假设，允许我们对ω有界函数的空间cω（E）进行操作。出于技术原因，我们假设转移成本始终是严格负的，并且以零为界（c）；这是一个经典的脉冲控制假设。假设（A.3）与非受控过程的几何漂移特性有关。为了简单起见，让我们关注第二个不等式。对于固定x∈ E随机变量ω（Xδ）-bω（x）可以理解为ω-噪声，其熵效用有上界。由于ω（Xδ）的分布- bω（x）可能依赖于x∈ E我们不能从doneinPitera&Stettner（2016）的出发点分割噪音；（2.3）中的全局上界M（γ）与分布水平约束有关。事实上，假设标准概率空间并注意到熵风险度量是定律不变的，我们可以使用一阶随机优势的概念重新表述（A.3）：我们可以假设随机变量Z的存在，使得Z具有有限的矩和随机主导（正部分）ω（Xδ）- 任意x的bω（x）∈ E详情请参见（B–auerle&M–uller 2006，Theorem4.2）。为了获得所有力矩，有限Z必须属于熵风险度量所诱导的Orlicz心脏；seeCheridito&Li（2009）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:06

例如，当E=R且ω（·）=·······假设（A.3）适用于动力学由dxt=[aXt+g（Xt）]dt+σ（Xt）dWt给出的非受控过程，其中A<0，函数g：R→ R和σ：R→ R+是有界的，wt是标准的布朗运动。更一般而言，（A.3）满足高斯型噪声的要求，例如通过高斯随机向量的上界；我们参考第5节了解更多详情，并参考Pitera&Stettner（2016）进行进一步讨论。假设（A.4）是（局部）二值化特性。与（A.3）相结合，它构成了基础非受控过程的因果性；详情请参见Haier&Mattingly（2011）。对于有界ω，它等价于全局Doeblin条件（一致遍历），而对于长期风险敏感的二元脉冲控制5无界ω，它可能与局部混合条件有关。注意，我们还要求对不变度量ν的支持必须与控制（shift）setU有一个非空的交集。本文的主要目标是找到问题的最优控制（和解决方案）∈VδJ（x，V），（2.5），其中xis是（给定的）初始状态。备注2.1（并矢动力学）。虽然在本文中，我们确定时间步长δ>0，但扩展一般并矢控制情况下的假设可能是有趣的。首先，注意假设（A.1）和（A.2）与δ的基本选择无关。其次，假设（A.3）依赖于δ的选择，例如通过收缩常数带噪声约束Mi（γ）（i=1，2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:09

将bandMi（γ）视为δ和letδ的函数→ 0我们应该得到b（δ）→ 1和Mi（γ，δ）→ 0，对于任何γ∈ R、此外，假设噪声是可除的，则假设lim supδ是合理的→∞Mi（γ，δ）/δ<∞.最后，请注意，假设（A.4）取决于时间网格参数的选择，但它（通常）足以引入d和ν对δ的依赖性，而无需任何额外的统一约束。Bellman方程继Sadowy&Stettner（2002）和Pitera&Stettner（2016）之后，我们定义了并矢脉冲控制的Bellman方程aswγδ（x）+λγδ=max（μγxZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）, supξ∈UuγξZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）+ c（x，ξ）),（3.1）对于x∈ E、式中λγδ∈ R和wγδ∈ Cω（E）。方程（3.1）可以等价地表示为一般风险敏感离散时间控制问题wγδ（x）+λγδ=supa∈\'\'Uuγ，axZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）+ \'\'c（x，a）, （3.2）其中=（a，a），a∈ {0，1}，a∈ U，\'U={0，1}×U，\'c（x，a）=（0，如果a=0，c（x，ξ）如果a=1，a=ξ，uγ，ax=（uγξ，如果a=（1，ξ），uγxif a=（0，ξ）。在空间Cω（E）上，我们定义了相应的离散时间Bellman算子rγg（x）：=supa∈\'\'Uuγ，axZδf（Xs）ds+g（Xδ）+ \'\'c（x，a）, g级∈ Cω（E），（3.3）长期风险敏感并矢脉冲控制6和相关算子Rγg（x）：=γRγ（g（x）/γ。对于任何g∈ Cω（E）和x∈ 我们用a（x，g）表示Tγg（x）的最大值。回顾Protcher变换在熵效用测度的稳健（双重、双共轭）表示中定义了最大化测度（参见Dai Pra et al。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:12

（1996））对于任何g∈ Cω（E），x∈ E，a∈U和可测量集B，我们定义了相关的测量u*（x，g，a）（B）：=EaxheγRδf（Xs）ds+g（xδ）{xδ∈B} iEaxheγRδf（Xs）ds+g（Xδ）i，（3.4），其中eax：=u0，ax=（Eξ，如果a=（1，ξ），Exif a=（0，ξ）。（3.5）有关更多详细信息，请参阅Itera&Stettner（2016），其中（3.4）的等价物定义为不等式（29），并讨论了类似情况下熵效用的双重表示；有关Esscher变换的更多详细信息，请参见alsoGerber（1979）。提案3.1。在假设（A.1）–（A.3）下，算子Rγ和Tγ将集合Cω（E）转换为自身。此外，对于任何g∈ Cω（E）映射（x，γ）7→ Tγg（x）和（x，γ）7→ Rγg（x）在E×上是连续的(-∞, 0).证据我们只给出Rγ的证明，因为Tγ的证明是类似的。设γ<0和g∈ Cω（E）。首先，让我们证明kRγgkω<∞. 对于x∈ E我们设置F（x）：=μγxRδf（Xs）ds+g（Xδ）.使用（A.1）、（A.3）和熵效用测度的单调性，对于任何x∈ E we getF（x）≤ uγxkfkωZδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）≤ uγxkfkωZδω（Xs）ds+kgkωω（Xδ）+ （δkf kω+kgkω）。（3.6）现在，使用（A.3）和熵效用测度的H¨older不等式，p=2（见引理6.1），我们知道对于任何x∈ 我们得到μγxkfkωZδω（Xs）ds+kgkωω（Xδ）≤ uγ/2xkfkωZΔω（Xs）ds+ u-γx（kgkωω（xδ））≤ （kfkω+kgkω）[ω（x）+M（γkfkω/2）+M(-γkgkω）]。因此，supx∈EF（x）1+ω（x）<∞. 同样，我们可以证明infx∈EF（x）1+ω（x）>- ∞ . 因此，我们得到kf kω<∞. （3.7）现在，注意到ω是连续的，U是紧的，对于任何x∈ E we getsupξ∈U（F（ξ）+c（x，ξ））≤ kF kωsupξ∈Uω（ξ）+1！+c<∞. （3.8）长期风险敏感二元脉冲控制7结合（3.7）和（3.8），我们得到supx∈ERγg（x）1+ω（x）<∞. 然后，注意Rγg（x）≥ F（x），我们得到infx∈ERγg（x）1+ω（x）≥ infx公司∈EF（x）1+ω（x）>-∞,从而得出kRγgkω<∞.其次，让我们证明映射（x，γ）7→ Rγg（x）在E×上是连续的(- ∞ , 0).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:15

固定γ<0，x∈ E、设{（xn，γn）}n∈Nbe a序列满足（xn，γn）→ （x，γ），n→ ∞, 任何n的位置∈ N我们有（xn，γN）∈ E×(-∞, 0). 对于n，m∈ N∪ {∞} we setZ（n，m）：=eγnhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i，其中fm:e→ R和gm:E→ R由fm（·）=（f（·）给出∨-m）∧m和gm（·）=（g（·）∨-m）∧m、和符号γ∞:= γ、 f级∞（·）：=f（·），和g∞（·）：=使用g（·）。很明显，fm（z）→ f（z）和GM（z）→ g（z）表示z∈ E、作为m→ ∞. 对于任何m∈ N、结合Feller财产和以下事实（γn- γ)Zδfm（Xs）ds+gm（Xδ）≤ （δ+1）m |γn- γ|和γn- γ| → 0，作为n→ ∞, 我们得到了eγnhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i→ 前任eγhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i, n→ ∞,可以重写为axn[Z（n，m）]→ Ex[Z(∞, m） ]，n→ ∞. （3.9）接下来，我们证明了一类随机变量{Z（n，m）}n，m∈N∪{∞}是一致可积的onPy，对于任何y∈^V，其中^V E是一个紧集，使得（{xn}n∈N∪ {x}∪ U）^V。使用（A.3），对于任何y∈^V和m，n∈ N∪ {∞}, 我们得到了（Z（n，m））≤ Ey公司e-2γnhkfmkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgmkω（ω（Xδ）+1）i≤ Ey公司e-2′γhkfkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）i= e-2γu-2英寸γykfkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）, （3.10）式中，γ：=infn∈NγN.通过与证明的第一部分类似的论证（即使用（A.3）和熵效用测度的H¨older不等式），回顾ω是连续的，而^V是紧的∈^Vu-2英寸γykfkωZδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）< ∞. （3.11）将（3.10）与（3.11）相结合，并注意到（3.10）中的上界与n和m无关，我们得到类{Z（n，m）}n，m∈N∪{∞}是Py上的L有界序列，对于任何y∈^V。特别地，这意味着{Z（n，m）}n，m的一致可积性∈N∪{∞}关于PyandEy[Z（n，m）]→ Ey[Z（n，∞)] , m级→ ∞, （3.12）y的长期风险敏感并矢脉冲控制8∈^V和n∈ N∪ {∞}. 此外，由于（3.10）中的L上界可以独立于y来选择，因此我们得到limk→∞苏比∈^Vsupn，m∈N∪{∞}Ey公司{| Z（n，m）|≥K} | Z（n，m）|!= 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:18

（3.13）接下来，表示exn[Z（n，∞)] → Ex[Z(∞, ∞)] , n→ ∞ （3.14）值得注意的是∈ N我们得到支持→∞|Exn【Z（n，∞)] - Ex[Z(∞, ∞)]| ≤ lim支持→∞|Exn【Z（n，∞)] - Exn[Z（n，m））]|+lim supn→∞|Exn【Z（n，m）】- Ex[Z(∞, m））]|+lim supn→∞|Ex[Z(∞, m） ]- Ex[Z(∞, ∞))] |. （3.15）事实上，将（3.9）、（3.12）、（3.13）与（3.15）相结合，并让m→ ∞, 我们得到（3.14），即propertyExneγnhRδf（Xs）ds+g（Xδ）i→ 前任eγhRδf（Xs）ds+g（Xδ）i, n→ ∞,这又意味着Z（xn，γn）→~Z（x，γ），其中~Z（w，Z）：=uzwRδf（Xs）ds+g（Xδ）. 接下来，注意对于任何ξ∈ U我们得到Z（ξ，γn）→~Z（ξ，γ），U是紧的，我们得到max（~Z（xn，γn），supξ∈UZ（ξ，γn）+c（xn，ξ））→ 最大值（~Z（x，γ），supξ∈UZ（ξ，γ）+c（x，ξ）），其中（x，γ）7的连续性→ Rγg（x）如下。我们现在证明了在Cω（E）上，算子Tγ在适当的跨度范数下是局部收缩。为了确保每个步骤的属性，我们需要收缩原始ω-范数。对于任何β>0，收缩范数k·kβ，ω由kgkβ给出，ω：=supx∈E | g（x）| 1+βω（x）<∞, g级∈ Cω（E），而相应的跨度半范数定义为kgkβ，ω-跨度：=supx，y∈Rkg（x）- g（y）2+βω（x）+βω（y），g∈ Cω（E）。值得注意的是，对于任何g∈ Cω（E）和β>0，我们得到∈Rkg+dkβ，ω=kgkβ，ω-span，因此可以将spanω-范数视为中心（wrt.0）ω-范数；详见（Pitera&Stettner，第3节）和（Haier&Mattingly，2011，第2节）。长期风险敏感并矢脉冲控制9定理3.2。设γ<0。在假设（A.1）–（A.4）下，对于非常小的β>0，算子Tγ是k·kβω-span下的局部收缩，即。存在函数β：R+→ （0，1）andL:R+→ （0，1）使得ktγf- Tγfkβ（M），ω-跨度≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-跨度，对于f，f∈ Cω（E），suc h，kfkω-span≤ M和kfkω-跨度≤ M、证明。为简洁起见，我们只提供证明的大纲；更多详情请参见（Pitera&Stettner 2016，定理1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 04:44:21

证明将基于三个步骤。步骤1）我们证明，对于任何g，g∈ Cω（E）和x，y∈ E我们得到γg（x）- Tγg（x）- （Tγg（y）- Tγg（y））≤ 公斤- gkβ，ω-spankHg，gx，ykβ，ω-var，（3.16），其中hg，gx，y：=(R)u*（x，g，a（x，g））- u*（y，g，a（y，g）），°u*（·）是度量值u的投影*（·）（在（3.4）中给出）在过程X，k·kβ，ω-变量的值集上，由khkβ，ω-var给出的加权总变量范数：=ZE1+βω（z）|H |（dz），（3.17）和| H |是测量值H的总变化量；详见（Pitera&Stettner 2016，第3节）。首先，根据（Pitera&Stettner 2016，引理1）（另请参见（Di Masi&Stettner，命题2.2）的证明，其中对Bellman算子进行了类似的计算，而对任何g，g∈ Cω（E）和x，y∈ E我们得到（Tγg（x）- Tγg（x））- （Tγg（y）- Tγg（y））≤ZE公司g（z）- g（z）Hg、gx、y（dz）。（3.18）其次，使用（Pitera&Stettner 2016，提案2），我们知道存在d∈ R使得a+（d）=a-（d） =千克- gkβ，ω-span，（3.19），其中+（d）：=supz∈Rkg（z）- g（z）+d1+βω（z）和a-（d）：=- infz公司∈Rkg（z）- g（z）+d1+βω（z）。注意thatZEg（z）- g（z）Hg，gx，y（dz）=ZRg（z）- g（z）+d1+βω（z）（1+βω（z））Hg，gx，y（dz）。利用Hahn-Jordan分解得到符号测度Hg，gx，yg（z）- g（z）Hg、gx、y（dz）≤ a+（d）ZA（1+βω（z））Hg，gx，y（dz）- 一-（d） ZAc（1+βω（z））Hg，gx，y（dz），（3.20）长期风险敏感二元脉冲控制10，其中A对应于测量值Hg，gx，y的正集合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:24

因此，回顾（3.17）并将（3.19）与（3.20）相结合，我们得到（3.16）。步骤2）我们证明，对于任意固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，因此KhG，gx，ykβ，ω-var≤ kHg，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ），（3.21）表示x，y∈ E和g，g∈ 满足kf kω-span的Cω（E）≤ M和kgkω-跨度≤ Mk·Kvarde注意到标准变化规范。首先，注意khg，gx，ykβ，ω-var≤ kHg、gx、ykvar+βZEω（z）(R)u*（x，g，a（x，g））（dz）+ZEω（z）(R)u*（y，g，a（y，g））（dz）.因此，足以证明存在αφ>0，这样对于任何x∈ E，a∈\'U，andg∈ 满足kgkω-跨度的Cω（E）≤ M、我们得到ω（z）’u*（x、g、a）（dz）≤ φω（x）+αφ；（3.22）注意∈ {1} ×U术语φω（x）的添加主要是为了一致性，并且在应用移位后与状态无关，即，由于ω在紧集U上有界，对于任何ξ∈ 通过将常数增加φsupξ，可以将项φω（ξ）包含在αφ中∈Uω（ξ）。因此，设置Z：=γRδf（Xs）ds+g（Xδ），回顾（3.4），并注意到考虑∈ {0}×使用U E、我们可以重写不等式（3.22）asEx（ω（Xδ）- φω（x））eZ≤ αφExeZ公司. （3.23）设K：=M- Δγkfkω。（3.23）两侧乘以2kφ-b、注意y<y代表y∈ R、取两边的对数，就足以显示Exhe2Kφ-b（ω（Xδ）-φω（x））eZi≤ lnKαφφ- b+ln ExeZ公司,相当于ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+Z+d- ux（Z+d）≤ lnKαφφ- b+2Kω（x），（3.24），其中d∈ R是（集中常数），因此kg+dkω≤ M、注意到Z+d=γZδf（Xs）ds+g（Xδ）+d≥ γkfkωZδ[ω（Xs）+1]ds- M[ω（Xδ）+1]≥ -K+γkfkωZΔω（Xs）ds- Mω（Xδ），长期风险敏感的二元脉冲控制11使用熵效用测度的H¨older不等式，p=2（见Lemma6.1），并回顾（A.3），我们得到- ux（Z+d）≤ K（ω（x）+1）- γkfkωMγkfkω+ M·M（M）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 04:44:27

（3.25）类似地，ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+Z+d≤ ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+ ux（Z+d），（3.26），其中ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））≤2Kφ- b·M4Kφ- b;ux（Z+d）≤ K（ω（x）+1）- γkfkω·M(-4γkfkω）+M·M（4M）。（3.27）将（3.35）、（3.26）和（3.27）与（3.24）结合起来，我们知道选择（大的）满足αφ的αφ就足够了≥ exp2+φ- bM公司4Kφ- b-γkfkωKMγkfkω+ M级(-4γkfkω）+MK（M（M）+M（4M）+ln（φ- b） K！。这就是（3.21）的证明。步骤3）最后，我们想表明，对于任何固定的M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0，存在β∈ （0、1）和L∈ （0，1）使得KhG，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（3.28）对于任何x，y∈ E和g，g∈ 满足kf kω-span的Cω（E）≤ M和kgkω-跨度≤ M、让我们Fix M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0，并考虑R∈ R，使得R>2αφ1-φ. 如果x，y∈ 所以ω（x）+ω（y）>R，那么可以证明对于任何β<1和l∈最大值φ、 2+β（2αφ+φR）2+βR, 1.（3.29）不平等（3.28）将成立；详情请参见证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）。另一方面，如果x，y∈ E是ω（x）+ω（y）≤ R然后，我们可以利用经典的跨度收缩方法来处理有界情况；参见例如Stettner（1999）。事实上，在证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）之后，足以证明SUP（x，y）∈\'CRkHg，gx，ykvar<2，（3.30）长期风险敏感二元脉冲控制12其中\'CR：={（x，y）∈ E×E：ω（x）+ω（y）≤ R} ，并考虑所有∈sup（x，y）∈CRkHg、gx、ykvar+β（φR+2αφ），1！，（3.31）对于某些固定β∈ （0，1）满足β<2- sup（x，y）∈CRkHg、gx、ykvarφR+2αφ。（3.32）（3.30）的证明基于矛盾。假设存在序列（xn，yn，fn，gn，An）n∈N、其中（xn，yn）∈\'CR、fn、gn∈ Cω（E）和An∈ B（E）为kfnkω-span≤ M、 kgnkω-跨度≤M、和Hfn、gnxn、yn（An）→ 1（作为n→ ∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 04:44:30

在证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）之后∈ E、 a∈\'U，g∈ Cω（E）和A∈ B（E），ω（x）≤ R和kfkω-跨度≤ M、我们得到了\'u*（x、g、a）（a）≥Eax公司{Xδ∈A}Eax[eγRδf（Xs）ds+g（Xδ）]Eax[（eγRδf（Xs）ds+g（Xδ））-1]≥Eax公司{Xδ∈A}e2（米-γδkfkω）Eax[eZ]≥Eax公司{Xδ∈A}e2（米-γδkfkω）Eax[eZ]，（3.33），其中Z：=-γkfkωRδω（Xs）ds+Mω（Xδ）。使用（3.35）和（A.3）中类似的推理，我们得到了eax[eZ]≤ exp2K max{ω（x），supξ∈Uω（ξ）}+D！，x个∈ E、（3.34），其中K=M- Δγkfkω和D∈ R是一个固定常数。因此，我们得到了supx∈？CREax[eZ]≤ exp2K max{ω（R），supξ∈Uω（ξ）}+D！。因此，结合（3.33）和Hfn，gnxn，yn（An）→ 1我们获得EA（xn，gn）xn{Xδ∈Acn}→ 0和Ea（yn，fn）yn{Xδ∈An}→ 0.另一方面，从（A.4）中，对于任何n∈ N和（xn，yn）∈\'CR，我们得到EA（xn，gn）xn{Xδ∈Acn}+ Ea（yn，fn）yn{Xδ∈An}≥ cν（Acn）+cν（An）=c>0，导致矛盾。结合步骤1）、2）和3），我们总结了证明。长期风险敏感并矢脉冲控制13接下来，我们证明了迭代序列（Tnγ0）∞n=1在ω-span半范数内有界。提案3.3。对于任何γ<0，存在M∈ R+使得ktnγ0kω-跨度≤ M、对于n∈ N、证明。设γ<0。为简洁起见，我们使用符号gn：=Rnγ0和约定g≡ 0.此外，我们定义了x*n： =参数maxx∈Ugn（x）和Z：=Rδf（Xs）ds。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 04:44:33

那么，对于任何n∈ N和β>0，我们得到kgn+1kβ，ω-span=supx，y∈埃苏帕∈\'U[uγ，ax（Z+gn（Xδ））+\'c（X，a）]- 苏帕∈\'U[μγ，ay（Z+gn（Xδ））+\'c（y，a）]2+βω（X）+βω（y）≤ 最大值（Kβ，supx，y∈Euγx（Z+gn（xδ））- uγx*n（Z+gn（Xδ））- c（y，x*n） 2+βω（x）+βω（y）），（3.35），其中kβ：=supx，y∈Esupξ∈Uc（x，ξ）- c（y，ξ）2+βω（y）；注意，在（3.35）中，我们使用了以下移位策略：如果在x开始的过程中应用了移位，那么在y开始的过程中应用了相同的移位，Kβ对应于上限值；如果未对从x开始的流程应用移位，则移位到x*nis适用于从y开始的过程。使用（A.2），对于任何ξ∈ U和y∈ E我们得到c（x，ξ）<candc（y，ξ）≥ -k^ckβ，ω（1+βω（y））。因此，对于任何大于0的β，我们有Kβ<∞ 我们可以重写（3.35）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值（Kβ，supx∈Euγx（Z+gn（xδ））- uγx*n（Z+gn（Xδ））2+βω（X）+k^ckβ，ω）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:36

（3.36）注意到对于任何x∈ E我们有gn（x）≥ uγx*n（Z+gn-1（Xδ））+c（X，X*n）≥ gn（x*n）- k^ckβ，ω（1+βω（x）），（3.37）我们得到μγx*n（Z+gn（Xδ））≥ gn（x*n） +μγx*n（Z- k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））。将H¨older不等式应用于p=2的熵效用测度（见Lemma6.1），我们知道|γx*n（Z- k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））≥ u2γx*n（Z）+u2γx*n个(-k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）），其中，由于（A.3），u2γX*n（Z）≥ u2γx*n-kfkβ，ωZδ（1+βω（Xs））ds≥ -βkfkβ，ω[ω（x*n） +百万(-2γβkf kβ，ω）]- δkfkβ，ω≥ -kf kβ，ω[supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβkf kβ，ω）+δ]，u2γx*n个(-k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））≥ -βk^ckβ，ω[ω（x*n） +百万(-2γβk^ckβ，ω）]- k^ckβ，ω≥ -k^ckβ，ω[supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβk^ckβ，ω）+1]。长期风险敏感二元脉冲控制14因此，设置kβ：=-（kfkβ，ω+k^ckβ，ω）“supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβkf kβ，ω）+M(-2γβk^ckβ，ω）+1+δ#，引入cn：=infc∈Rkgn+ckβ，ω我们可以重写（3.36）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值Kβ，supx∈EWn（x）+Kβ, （3.38）式中，wn（x）：=uγx（Z+gn（xδ）+cn）2+βω（x）-gn（x*n） +cn2+βω（x）。接下来，利用熵风险测度相对于风险规避参数γ增加的事实，注意到kgn+cnkβ，ω=kgnkβ，ω-span，并使用假设（A.1）–（A.3），我们得到了μγx（Z+gn（xδ）+cn）2+βω（x）≤ux（Z+kgnkβ，ω-跨度（1+βω（xδ）））2+βω（x）≤Ex[Z+kgnkβ，ω-span（1+β（bω（x）+M（0））]2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ω-span+Ex[Z]1+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kfkβ，ωEx“Rδ（1+βω（xδ））ds1+βω（x）#≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kfkβ，ω（δ+βM（0））。现在，让我们计算β：=（2 supξ∈Uω（ξ））-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:44:39

然后，我们得到wn（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））-gn（x*n） +cn2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））+kgnkβ，ωspan（1+βω（x*n））2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））+4+2βω（x）kgnkβ，ωspan≤5+2βbω（x）+2βM（0）4+2βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））。因此，存在R>0，使得对于任何n∈ N和x∈ E满足ω（x）>R我们得到wn（x）≤b+1- bkgnkβ，ω-span+kf kβ，ω（δ+βM（0））。（3.39）接下来，我们证明存在一个常数Kβ>0，使得对于任何n∈ N和x∈ CR，其中CR={x∈ E：ω（x）≤ R} ，we getWn（x）≤ Kβ。（3.40）长期风险敏感二元脉冲控制15使用假设（A.4），我们知道存在>0，因此对于任何n∈ N和x∈ CRweget Px[Xδ∈ U]>。此外，需要注意的是∈ U我们有gn（y）≤ gn（x*n）对于γ<0，熵效用测度是凹的（这意味着μγx（·））≤ a的γx（a·）∈ （0，1）），对于anyn∈ N和x∈ CRwe getWn（x）≤uγx（Z+gn（xδ）- gn（x*n））1+βω（x）≤ uγx{Xδ∈U} Z1+βω（x）+{xδ6∈U}(+∞)≤ uγx{Xδ∈U}kfkβ，ω（δ+βZδ（ω（Xs））- ω（x））ds）+{Xδ6∈U}(+∞). （3.41）设Zx：=Rδ（ω（Xs）- ω（x））ds。根据假设（A.3），我们知道SUPX∈EEx【Zx】≤ M（0）<∞.因此，我们知道存在N∈ R使INFX∈CRPx[{Xδ∈ U}∩ {Zx≤ N}]≥ /2. （3.42）组合（3.41）和（3.42），对于任何x∈ CRwe getWn（x）≤ uγx{Xδ∈U}∩{Zx≤N} （kfkβ，ω（δ+βN））+{Xδ6∈U}∪{Zx>N}(+∞)≤γln+kf kβ，ω（δ+βN）。因此，设置Kβ：=γln+kf Kβ，ω（δ+βN），我们得出（3.40）的证明。接下来，结合（3.39）和（3.40），我们知道对于任何n∈ N和x∈ E we getWn（x）≤ 对于常数参数a<1和Kβ，akgnkβ，ω-span+Kβ，（3.43）∈ R+。因此，我们可以重写（3.38）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值Kβ，akgnkβ，ω-span+Kβ+Kβ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:44:42

（3.44）使用标准几何收敛参数，我们知道（3.44）意味着常数Mβ的存在∈ R+使得对于任何n∈ N我们得到kgn+1kβ，ω-跨度≤ Mβ。最后，证明了半范数k·kβ、ω-span和k·kω-span与性质krnγ0kω-span=|γ|·kTnγ0kω-span的等价性。长期风险敏感的并矢脉冲控制16将定理3.2与命题3.3相结合，利用巴拿赫不动点定理，我们得到了Bellman方程（3.1）的解；见提案3.4。为简洁起见，我们省略了证明；有关详细信息，请参见《证明》的第二部分（Pitera&Stettner 2016，提案4）。请注意，由于第3.3节的规定，我们得到了任何预定γ<0的Bellman方程的解。特别是，与（Pitera&Stettner 2016，提案4）相反，我们不要求γ接近0。提案3.4。设γ<0。在假设（A.1）–（A.4）下，存在唯一的（直到一个加性常数）wγδ∈ Cω（E）和λγδ∈ R、 Bellman方程（3.1）的解。4二元最优控制问题的解在我们将Bellman方程与相应的二元最优控制问题（2.5）联系起来之前，让我们展示一些补充结果命题4.1。映射γ→ λγδ连续开启(-∞, 0).证据让我们确定一个∈ E、对于任何γ<0集，wγδ（x）：=wγδ（x）- wγδ（a），x∈ E、注意，wγδ也是Bellman方程（3.1）的解，从命题3.3我们得到kγwγδkω-span≤ M、其中M∈ R+是一个固定常数。此外，由于命题3.3中的常数M可以在负γs的任何紧致子集上一致选择，例如G，对于任何x∈ E、 m级∈ N、和γ∈ G、利用定理3.2，我们得到| Tmγ0（x）- Tmγ0（a）- γ'wγδ（x）|≤ M（L（M））M（2+ω（x）+ω（a））。（4.1）让我们确定∈ E、根据命题3.1，映射γ→ Tmγ0（x）和γ→ Tmγ0（a）对于任何m都是连续的∈ N

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:45

因此，使用（4.1），对于任何γ<0，m∈ N、和一个序列（γN）N∈N、这样γN→ γ、作为n→ ∞, 我们得到|γn'wγnδ（x）- γ'wγδ（x）|≤ |Tmγn0（x）- Tmγ0（x）+Tmγn0（a）- Tmγ0（a）|+2M（L（M））M（2+ω（x）+ω（a））=an，M+bn，M+cm。对于任何>0，我们可以选择m∈ N、使cm≤ . 因此，让n→ ∞ 使用fixedm，我们可以获得lim supn→∞|γn'wγnδ（x）- γ'wγδ（x）|≤ . 由于的选择是任意的，我们得到了映射γ的连续性→ γ'wγδ（x）。接下来，在命题3.1的证明之后，我们看到映射γ→ Tγγ'wγδ（x）也是连续的。因此，注意到γλγδ=Tγγ'wγδ（x）- γ'wγδ（x），并使用与中类似的参数（Pitera&Stettner 2016，命题4.8），我们得到了γ的连续性→ γλγδ开启(-∞, 0). 这意味着γ的连续性→ λγδ开启(-∞, 0），并完成证明。长期风险敏感二元脉冲控制17命题4.2。对于任何γ∈ R和x∈ E、我们获得SUPV∈Vδ支持∈TΔuγ（x，V）（ω（Xt））<∞. （4.2）证明。让我们xγ∈ R、设b:E×E→ R+由b（z，y）给出：=[ω（z+y）- bω（z）]+。（4.3）特别注意，对于任何x∈ E我们得到ω（Xδ）≤ bω（x）+b（x，xδ- x）和▄M（▄γ▄）：=supx∈Eu|γ| x（b（x，xδ- x））<∞. （4.4）为了完整性，让我们概述（4.4）的证明。首先，请注意，对于任何序列（xn）n∈N、其中xn∈ E、取极限n→ ∞, 我们得到u|γ| xn（ω（Xδ））- bω（xn））→ ∞ 当且仅当ifExne |γ|（ω（Xδ））-bω（xn））→ ∞. 因此，由于函数z 7→ ezis从下面有界，我们得到u|γ| xn（ω（Xδ）- bω（xn））→ ∞ 当且仅当u|γ| xn（b（xn，Xδ- xn））→ ∞. 另一方面，使用（A.3），我们得到u|γ| xn（ω（Xδ）- bω（xn））≤ M（|γ|）。这两个事实意味着（4.4）。现在，我们∈ 并引入一些附加的辅助符号。设a：=supx∈Uω（x）和对于任意n∈ N勒坦：={Xnδ6∈ U}，Fn：=σ（Xs，s∈ [0，iδ]），Bni：=b（X（n-我-1） δ，X-（n）-i） δ- X（n-我-1） δ），i=0，1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:48

n- 1，其中X-是（可选）换档前的（Xt）状态；注意anxnδ=AnX-nδ表示n∈ N、为简洁起见，我们还使用|γ（x，V）（·| Fi）表示|γ（x，V）的Fi条件等价物。让我们来确定V∈ Vδ和t∈ Tδ。注意，对于某些n，t=nδ∈ N、利用|γ（x，v）和（A.3）的单调性，我们得到|γ（x，v）（ω（Xnδ））≤ uγ（x，V）（A′na+Anω（Xnδ））≤ uγ（x，V）阿纳+安bω（X（n-1） δ）+b（X（n-1） δ，X-nδ- X（n-1)δ)≤ . . .≤ uγ（x，V）ω（x）+a+n-1Xi=0Tij=0An-jbiBni！≤ ω（x）+a+uγ（x，V）n-1Xi=0biBni！。（4.5）利用熵效用的强时间相合性和可加性，我们得到了|γ（x，V）n-1Xi=0biBni！≤ uγ（x，V）uγ（x，V）n-1Xi=0biBniFn公司-1.≤ uγ（x，V）n-1Xi=1biBni+uγ（x，V）（Bn | Fn-1)!,（4.6）长期风险敏感二元脉冲控制18，而从强马尔可夫性质和（4.4）我们得到μγ（x，V）（Bn | Fn-1） =uγ（x，V）b（X（n-1） δ，X-nδ- X（n-1)δ)Fn公司-1.= uγX（n-1） δ（b（X，Xδ- 十）（）≤ supx公司∈Euγx（b（x，xδ- x）（）≤ supx公司∈Eu|γ| x（b（x，xδ- x））=米（|γ|）。（4.7）因此，结合（4.7）、（4.6）和（4.5），我们得到|γ（x，V）（ω（Xnδ））≤ ω（x）+a+~M（|γ|）+uγ（x，V）n-1Xi=1An-ibiBni！。使用类似的递归推理，并注意到对于i=1，n- 1我们有μγx，Vbi（δ）BniFn公司-我-1.≤ supx公司∈Euγxbi（δ）b（x，xδ- x）= bi（δ）supx∈Euγbi（δ）x（b（x，xδ- x）（）≤ bi（δ）supx∈Eu|γ| x（b（x，xδ- x））=bi（δ）~M（|γ|），（4.8）我们最终得到μγ（x，V）（ω（Xnδ））≤ ω（x）+a+~M（|γ|）n-1Xi=0bi≤ ω（x）+a+1-bM（|γ|）。（4.9）作为V的选择∈ Vδ和t∈ Tδ是任意的，并且（4.9）中的上界与两者无关，我们知道（4.2）满足于Tδ，从而得出证明。最后，我们准备将Bellman方程与相应的并矢最优控制问题（2.5）联系起来。提案4.3。在假设（A.1）–（A.4）下，我们得到λγδ/δ=supV∈VδJγ（x，V），即问题（2.5）中的最优值对应于B ellman方程（3.1）的解。证据命题4.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 04:44:51

为简洁起见，对于任何n∈ N我们设置Tn：=Nδ，zn：=ZTnf（Xs）ds+∞Xi=1{τi≤Tn}c（Xτ-i、 ξi）；长期风险敏感二元脉冲控制19注：锌的确切动力学由基本策略V={（τi，ξi）}确定∞i=1。首先，让我们证明λγδ/δ≤ supV公司∈VδJγ（x，V）。（4.10）固定n∈ N、 p>1，并设置‘γ：=pγ。设q为p的共轭指数，设φ：=-kw？γδkωqγ。对于策略^V={（^τi，^ξi）}∞i=1∈ Vδ由Bellman方程（3.1）为γ确定，使用p和q的reverseH¨older不等式（见Lemma6.1），我们得到λγδ/δ=Tnuγ（x，^V）Zn+w′γδ（XTn）- w′γδ（x）≤Tnhu′γ（x，^V）Zn+kw？γδkωω（XTn）+ kw？γδkω- w′γδ（x）i≤Tnhu′γ/p（x，^V）（Zn）+u-q’γ/p（x，^V）kw？γδkωω（XTn）+ kw？γδkω- w′γδ（x）i≤Tnhuγ（x，^V）（Zn）+kw？γδkωuφ（x，^V）（ω（XTn））+kw？γδkω- w'γδ（x）i.（4.11）使用命题4.2，我们知道supn∈Nuφ（x，V）（ω（XTn））<∞. 因此，让n→ ∞ 我们获得λ′γδ/δ≤ lim信息→∞田纳西州uγ（x，^V）（Zn）+kw？γδkωsupn∈Nuφ（x，V）（ω（XTn））+kw？γδkω- w′γδ（x）= lim信息→∞Tnuγ（x，^V）（Zn）≤ supV公司∈VδJγ（x，V）。（4.12）现在，回想一下‘γ=pγ，并注意（4.12）适用于p>1的任何选择。因此，使用命题4.1并让p→ 1，我们得到λpγδ→ λγδ. 这就是（4.10）的证明。其次，我们证明了不等式λγδ/δ≥ supV公司∈VδJδγ（x，V）。（4.13）同样，我们∈ N和p＞1。设γ：=γ/p，φ：=-kw‘γδkωq‘γ，其中q是p的共轭指数。对于任何策略V∈ Vδ，使用p和q的H¨older不等式（见Lemma6.1），我们得到λ′γδ/δ≥Tnu′γ（x，V）Zn+w′γδ（XTn）- w′γδ（x）≥Tnhu′γ（x，V）锌- kw？γδkωω（XTn）- kw？γδkω- w′γδ（x）i≥Tnhup′γ（x，V）（Zn）+uq′γ（x，V）-kw？γδkωω（XTn）- kw？γδkω- w′γδ（x）i≥Tnhuγ（x，V）（Zn）- kw？γδkωuφ（x，V）（ω（XTn））- kw？γδkω- w′γδ（x）i。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:54

（4.14）如前所述，使用命题4.2并让n→ ∞, 对于任何V∈ Vδ我们得到λ′γδ/δ≥ lim信息→∞Tnuγ（x，V）（Zn）。长期风险敏感并矢脉冲控制20作为V的选择∈ V是任意的，我们得到λ′γδ/δ≥ supV公司∈VδJδγ（x，V）。最后，如（4.10）中的证明，使用命题4.1并让p→ 1，我们得到λγ/pδ→ λγδ，其中包括（4.13）的证明和命题4.3。备注4.4（熵H¨older不等式的应用）。证明命题4.3的关键步骤是应用熵的Holder不等式和反向Holder不等式；参见Lemma6.1。利用诱导超加性和次加性性质（对于不同的Trisk厌恶参数），可以从wγδ（·）中分离出主要动力学。有趣的是，可以在（Pitera&Stettner 2016，命题5）中应用相同的方法，即使用我们的框架很容易证明Bellman方程的解是最优解，而不会像（Pitera&Stettner 2016，命题5）那样施加任何额外的约束。备注4.5（全职网格）。虽然在命题4.2和命题4.3中，我们将自己限制在二元时间网格上，但结果（在额外的温和假设下）在全时网格上保持不变，即目标函数（2.1）替换为▄J（x，V）：=lim infT→∞JT（x，V）T。根据Remark2.1的评论，并将带Miin（A.3）视为δ的函数，让我们假设Mi（γ，δ）→ 0为δ→ 0，对于任何γ∈ R、为简洁起见，让我们仅概述如何扩展命题证明4.2。设t>0为t 6∈ Tδ和let V∈ Vδ。我们知道存在δ<δ，使得M:=supδ∈（0，δ]Mi（|γ|，δ）<∞. 而且，我们知道存在n∈ N和M∈ N使得t=Nδ+mδ+，其中mδ<δ和∈ [0, δ).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:44:57

为简洁起见，我们设置t：=nδ+。使用（A.3）m次表示时间步长δ，一次表示时间步长（如果需要），并使用（4.3）中介绍的符号，我们得到ω（Xt）≤ ω（Xnδ）+b（Xnδ，X-t型- Xnδ）+m-1Xi=0bi（δ）b（Xt+（m-我-1） δ，Xt+（m-i） δ- Xt+（m-我-1)δ).现在，使用类似于（4.9）证明中的参数，我们得到|γ（x，V）（ω（Xt））≤ uγ（x，V）（ω（Xnδ））+~M+1-b（δ）~M≤ ω（x）+a+1-b（δ）~M（|γ|，δ）+~M+1-b（δ）~M，（4.15），其中▄M和▄M（▄γ▄，δ）的构造如（4.4）所示。由于δ的选择与t和V的选择无关，因此（4.15）中的上限也是如此。这就得出了（4.2）对于t的证明∈ T、长期风险敏感二元脉冲控制215参考示例在本节中，我们想展示满足假设（A.1）–（A.4）的过程示例。为简洁起见，由于假设（A.1）、（A.2）和（A.4）相当标准，我们决定将重点放在假设（A.3）上，只描述非受控过程的动态；我们可以很容易地增强这个过程，以获得一个满足（a.1）–（a.4）的适当示例。示例5.1关注类似Ito的微分过程，示例5.2与Blumenthal&Getoor（2007）研究的常规步骤过程相关，示例5.3考虑了Davis（1984）引入的分段确定性过程，并在Bouerle&Rieder（2011）的控制理论背景下研究了后者。为简单起见，在前两个示例中，我们假设E=Rd和δ<1，在第三个示例中，我们设置E=R。示例5.1（类伊藤扩散）。设（Xt）为方程dxt=（AXt+g（Xt））dt+σ（Xt）dWt，（5.1）的解，其中矩阵a∈ Rd×不稳定（其特征值的实部为负）和可对角化（其几何和代数重数重合），函数g:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×darebounded，和（Wt）是Rd值布朗运动。此外，我们假设σ是Lipschitz连续的，以保证（5.1）的强解为g≡ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 04:45:00

然后，（5.1）存在一个弱解，由xt=eAtX+ZteA（t-s） g（Xs）ds+ZteA（t-s） σ（Xs）dWs。（5.2）设ω（x）：=最大值∈{1，…，d}| xi |代表x∈ 那么，对于任何t≤ 1和γ∈ R我们得到μγx（ω（Xt））≤ e-αtω（x）+kgk∞+ uγxωZteA（t-s） σ（Xs）dWs, （5.3）其中α∈ R+是a和k·k特征值的（负）最大实部∞表示SUPREUM范数。现在我们证明（5.3）中的最后一项对于任何γ都是一致有界的∈ R、为简单起见，在不损失一般性的情况下，我们假设γ>0；回想一下，熵crisk测度对于γ是单调的。LetZ（t）：=ZteA（t-s） σ（Xs）dWs，t∈ R+，（5.4）并让Zi（t）表示Z（t）的第i个分量，对于i=1，d、注意，对于任何γ>0和x∈ 我们有xγω（Z（t））i≤ ExheγPdi=1 | Zi（t）| i≤X（s，…，sd）∈{0,1}dExheγPdi=1(-1） siZi（t）i.（5.5）的局部鞅性质eγPdi=1(-1） siZi（t）-γhPdi=1(-1） siZiit（我们参考问题3.38inKaratzas&Shreve（1998）），对于任何x∈ 我们得到γω（Z（t））i≤ 2deγdkσk∞. （5.6）这就完成了（A.3）中第二次估计的证明。（A.3）中的第一个估计，即不等式uγx（Rtω（Xs）ds）≤ ω（x）+M（γ），可以通过利用性质（5.2）以类似的方式获得。长期风险敏感并矢脉冲控制22示例5.2（常规步骤过程）。设（Xt）是一个规则的分步过程，它是使用以下逻辑构造的：一个粒子从X点开始=zan，并在那里停留指数分布时间，参数为r（z）。然后，它跳转到另一个（随机选择的）状态zandremains，时间呈指数分布，参数为r（z），依此类推。强度函数r:Rd→ R+由R（·）：=最大值给出k·k1+，r, 其中，r>0和>0为执行常数，其中k·k为标准Rd范数。zn的跳跃∈ Rdto锌+1∈ Rd（forn∈ N）根据过渡定律Q（zn，·），使得zn+1=A（zn）+wn，（5.7），其中（wn）是i.i.d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:45:03

有界Rd值随机向量序列和函数A:Rd→ RDSECTION limkxk→∞kxkkA（x）k<1。然后，存在一个常数K∈ R+和β∈ （0，1）这样的kA（x）k+kwik≤ βkxk+x的K∈ E和i∈ N、因此，对于任何N∈ N、我们获得KZN+1k≤ βkznk+K，通过迭代，kzn+1k≤ βn+1kzk+K1- β. （5.8）设ω（·）：=k·k，设τ（x）表示任何固定起点x的第一个过程跳跃的时间∈ E、那么，对于任何x∈ E和γ>0，使用（5.8），我们得到了Xγω（Xδ）i≤ Exh{δ<τ（x）}eγω（x）i+Ex{δ≥τ（x）}supn∈Neγω（zn）≤ Px[δ<τ（x）]·eγω（x）+Ex{δ≥τ（x）}eγβω（x）+γK1-β≤ e-δr（x）+γω（x）+eγβω（x）+γK1-β. （5.9）现在，设置R（γ）：=max{pγ/δ，R}，并回忆一下CR（γ）={x∈ Rd：ω（x）<R（γ）}。对于anyx∈ CR（γ），我们得到e-δr（x）+γω（x）≤ eγR（γ），而对于x 6∈ CRwe哈维-δr（x）+γω（x）≤ e-Δω1+（x）eγω（x）=e-ω（x）（δR（γ）-γ)≤ 1.（5.10）因此，从（5.9）中，我们得到γω（Xδ）i≤ max{eγR（γ），1}+eγβω（x）+γK1-β≤ eγβω（x）+γ▄K（γ），（5.11），其中▄K（γ）是与x无关的固定常数∈ E、这就完成了（A.3）中第二个不等式的证明，因为（5.11）可以重写为uγx（ω（xδ））≤ βω（x）+K（γ），对于x∈ E、（A.3）中第一个不等式的极限直接来自（5.8）。示例5.3（分段确定性过程）。假设（Xt）是一个分段确定性过程。确定性部分是一个稳定微分方程dxt=F（Xt）dt，（5.12）的解，初始状态X=X。该过程遵循此动力学直到（随机）跳跃时刻，然后立即发生转移，之后其演化遵循相同的确定性逻辑，直到发生下一次运行风险敏感二元脉冲控制23跳跃，依此类推。我们假设跳跃序列，比如（τn），是这样的（τn+1- τn）为i.i.d.且呈指数分布，固定强度r>0。根据过渡测量进行位移，使得Xτn=A（Xτ-n） +wn，其中wn是i.i.d.序列。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 04:45:06

标准正态随机变量与函数A:R→ R满足| A（x）|≤ |x |+K，对于K>0。假设F具有适当的正则性，对于任何t<τ和初始状态x，我们得到Xt=φ（x，t），其中φ是一个连续函数。此外，我们假设φ对于任何x∈ E我们得到φ（x，t）|≤ e-αt | x |+M，其中α，M>0是一些与x无关的预定义常数。然后，我们得到{τ>δ}| xδ|≤{τ>δ}e-αδ| x |+M, （5.13）和，对于任何n∈ N、通过归纳，{τN+1>δ≥τn}| Xδ|≤{τn+1>δ≥τn}e-αδ| x |+M+n（K+M）+nXi=1 | wi |！。因此，对于任何γ>0，设置ω（·）：=k·k，β：=e-αδ，τ：=0，w：=0，D（γ）：=γln E[Eγ| w |]，注意到（wi）独立于（τi），我们得到了Xγω（Xδ）i=Ex“∞Xn=0{τn+1>δ≥τn}eγω（Xδ）#≤ eγ[β| x |+M]·Ex“∞Xn=0{τn+1>δ≥τn}eγ[n（K+M）+Pni=0 | wi |]#≤ eγ[β| x |+M]·∞Xn=0Ex{τn+1>δ≥τn}enγ[K+M+D（γ）]≤ eγ[β| x |+M]·∞Xn=0（rδ）ne-rδn！·enγ[K+M+D（γ）]。（5.14）接下来，注意∞Xn=0（rδ）ne-rδn！·enγ[K+M+D（γ）]<∞,我们可以将（5.14）重写为|γx（ω（xδ））≤ βω（x）+D（γ），其中D（γ）是与x无关的常数；这就得出了（A.3）中左不等式的证明。（A.3）中的第二个不等式以类似的方式出现。长期风险敏感并矢脉冲控制246附录为简单起见，在本节中，我们假设概率空间是固定的，并且对于任何γ∈ R \\{0}和X∈ Lwe setuγ（X）：=1/γln E[经验（γX）]。引理6.1（熵效用测度的H¨older不等式）。设γ<0（分别为γ>0）。然后，对于任何p>1和相应的共轭指数q，我们ge tuγ（X+Y）≥ upγ（X）+uqγ（Y），（分别为。≤) （6.1）uγ（X+Y）≤ uγ/p（X）+u-qγ/p（Y），（分别为。≥) （6.2）其中X，Y∈ 五十、证明。我们只给出γ<0的证明，因为γ>0的证明是类似的。让我们假设p>1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝