集合A是2-网当且仅当对于所有ψ∈ A off（A）如（6.1）所示，我们有h（x）=h（x），（x，x）∈ （AX）。证据直接含义显而易见。让我们证明另一个方向。Letψ∈ A fff（A）并让β表示x的h（x）的公共值∈ AX。则ψ（y）=Д（x）+β（y- x） 对于某些函数Д（x），或仍然Д（x）-βx=ψ（y）-βy.对于x和x以及YA（x）∩YA（x）6= 这将产生ν（x）- βx=Д（x）- βx.由于A中的每两个点都是连接的，所以φ（x）- 对于某些常数α，βx=A上的α，证明已完成。引理6.9。设A，B是两个2-网，这样| AY∩ 由|≥ 2、然后A∪ B是2网。证据设ψ为a∪ B-a函数。设α+βy为匹配ψon的a ffne函数，γ+δy为匹配ψon的a ffne函数。自|日起∩ 由|≥ 2我们有α=γ和β=δ，因此ψ是AY上的一个函数∪ BY=（A∪ B） Y.以下两个示例阐明了2-网络和2-链接属性之间的关系。示例6.10。任何满足等式（2LP）的子集都是2-网。实际上，假设存在编号AX=（xn）n≥1如此| Y（xn）∩N-1[i=1Y（xi）|=2，n≥ 1.（6.3）为了证明A是一个2-网，我们通过归纳法进行。首先，{x}×Y（x）是一个平凡的2-网。现在假设-1： ={（xi，y）：y∈ Y（xi），i=1，n} 是一个2-net。由于（6.3）适用于所有n，我们可以应用引理6.9得到-1.∪ （{xn}×Y（xn））是一个2-网。因此，A是2网。具体而言，实施例5.10中描述的2-网提供了一个有限2-网的示例。示例6.11。示例5.9中描述的支持也是一个2-net。事实上，两个集合{x，x}和{x，x}都是2-网，它们通过两个链接相互连接。因此，它们的并集是引理6.9.6.2 S-极大2-网的2-网。在本节中，我们介绍了S-极大2-网的概念，并给出了一些性质，这些性质将在本节后面介绍。定义6.12（最大2净）。

A 2网A S是S-极大如果对于任何2-网A S确认A A、 我们有A=A。命题6.13。存在S-极大2-网。证据Zorn引理的应用（如[2]中的1.7）保证了最大2-网的存在。设A表示S中所有2-网的类，并设A的任何子类，相对于集合包含完全有序，即对于任意两个元素A，A∈ Awe Havea或 Aor A A、 我们需要证明A是A.ConsiderA的上界：=∪A.∈AA，其定义包含A中的任何2-网。总之，Ais仍然是2-网。为此，取一个S-a ffine函数f。通过定义，f在每2个净Aw上取一个a ffine函数，可能有不同的截距和坡度Дa，hA。考虑A中的两个2-网，比如A，A。因为它们是完全有序的，所以我们有 反之亦然。这两种情况都意味着ДA=ДA和hA=hA。因此，由于Ai，i=1，2，任意，我们得到f的斜率和截距在每个2净A上是相同的∈ A、 由于这对于所有S-A ffine函数f都是正确的，因此我们得出结论，Ais是2-netand Zorn引理适用。提案6.14。让A、B S是两个S-极大不同的2-网。以下属性适用：（i）对于所有z∈ SX\\AX，我们有| Y（z）∩ Y（A）|≤ 1.（ii）AX∩ BX= 和| AY∩ 由|≤ 1.证明。性质（i）是引理6.9和定义6.12的直接结果。关于（ii）中的性质：假设存在z∈ AX∩ BX。因此∪ Bis是相互联系的，因为两者都有共同点。取一个S-a ffne函数ψ。由于A和B都是2-网，这样的函数分别在A和B上，分别具有斜率和截距，分别为ДA、Ha和ДB、hB。此外，由于ax和bx有一个共同点{z}，因此ДA=ДBand hA=hb：实际上，由于每个2-网都是1-擦除的，因此我们有| Y（z）∩ AY |≥ 2和| Y（z）∩ 由|≥ 2.

因此，ψ是∪ 由于ψ是任意的，我们得到A∪ B是一个2-网，因此与a和B是最大的假设相矛盾。因此，AX∩ BX=. 现在，假设|是∩ 由|≥ 按照引理6.9的顶部进行，我们可以证明∪ B是严格大于a和B的2-网，因为它们是不相交的，所以与它们是S-极大的事实相矛盾。引理6.15。让T X×Y是分解（Ai）ki=1in k的1-擦除连通集，最大2-网为k≥ 1、让x∈ （A） X并考虑集合T=T∪ {（x，y）}其中（x，y）/∈ T和y∈ 泰。然后TDE分解成最多k个最大2-网。证据首先，我们观察到∪ {（x，y）}是T中的一个2-网。根据6.6的定义，T中的任何2-网也是T中的一个2-网，因此所有集Ai，对于i=2，k、 T中是否有2-网。由于T中的任何2-网都包含在T中的最大2-网中，因此最多有k个这样的集。备注6.16。在上述引理的情况下，新的基数可以是1和k之间的任何数字，这取决于2-网络Ai之间的连接：o如果y∈ （A） Y，则A=A∪ {（x，y）}a ffene函数正是k个最大2-网a，a，…，中的a ffene和t分解，Ak.o如果y∈ （A） y如果交点B=（A）y中有点z 6=y∩ （A） 是，然后是∪ Ais为2网。其他2个网络Ai、i的Y截面≥ 3与这个新2-网的Y-截面有一个交集，并且它的分解基数为k- 1，或包含B的t最大2-网包含其他集Ai，t的分解基数严格小于k- 1，可能的后果1.6.3饱和2-网、死锁和WEP本节我们研究WEP与下文介绍的死锁新概念之间的关系。根据定义，给定函数f的WEP仅定义为S-a ffine函数。

回想一下，如果我们有f（x，y）=Дa（x）+hA（x）（y），那么WEP（f）保持在集合a上- x）- ψA（y），（x，y）∈ A、 （6.4）对于某些函数ДA，hA，ψA。由于在2-网上所有S-A ffne函数都是A ffne，我们立即得到以下命题，其证明很简单，因此被提交。提案6.17。设f:X×Y→ R是一个给定的函数。假设WEP（f）保持在2-net A上。然后相应的分解（6.4）定义为A函数。现在让我们介绍以下死锁定义，将在本节的主要结果中使用。示例6.27将说明这种概念的重要性。我们记得，在我们的设置中，网格M是S的任何子集，其| MX |=1。如果MX={x}，我们也使用旋转M（x）=M，即M（x）={x}×Y（x）。定义6.18。让我们 X×Y。我们说任何三元组（T，x，y），其中T S和（x，y）∈ S是S中的死锁，如果|（M（x）∩ T）Y |>1，以下两个性质成立：（i）x∈ 德克萨斯州，y∈ TY，while（x，y）/∈ T，（ii）在（M（x）上为null的每个T-a ffne函数∩ T）Y，在Y处也为空。备注6.19。请注意，任何满足上述性质（i）的2-net T都可以免费满足（ii）。事实上，T是一个2-net的任意T-a ffne函数，比如ψ，实际上就是a ffne。此外，ψ在（M（x）上为null∩ T）Y，其中至少包含两个不同点，因为通过定义2-net，T也是1-erased。因此ψ在TY中处处为空，尤其是在y点。鉴于上述备注，如果定义6.18中的性质（i）在T中不成立，即对于所有对（x，y），我们将说2-net T是饱和的∈ S带x∈ TXand y型∈ TYone有（x，y）∈ T示例6.20（死锁示例）。考虑以下集合S，它取自R。帕洛蒂尼的论文【30，第4.5节】。设T=S \\{（x，y）}。X1X2X3X4Y1Y2Y3Y4Y5Y6当存在临界值y时，表示为y*, 其中T是一个死锁。

考虑（M（x）上为空的T-a ffne函数∩ T）Y={Y，Y}。这类函数在{y，y，y}、{y，y，y}和{y，y，y}上都有面积函数，因此它们可以通过它们的右值（比如u，在y）进行参数化。我们在下面的图中绘制了u=2（红色实线）和u=6（蓝色实线）的两个T-a fine函数示例。y1y2y3y4y5y*60123456（米（x4）∩ T）Y={y1，y5}和（T，x4，y6）是一个死锁。我们可以看到，无论u的值是多少，虚线都在同一水平穿过x轴，u是临界值Y*. 在这种情况下，在（M（x）上为null的任何T-a ffne函数∩ T）Y={Y，Y}在点Y（=Y）处也为空*).为了证明交叉点不依赖于u，设z为其值。根据泰雷兹定理，我们得到了thatzz=y-zy公司-z其中，zand zare T-a ffene函数在点yan和y处的值，因此z=uy-yy年-yand z=uy-yy年-y、 从而得出thatzz=y-yy年-y·y-yy年-y不依赖于u，最终我们得到y的值*通过解方程- yy年- y·y- yy年- y=y- Y*Y- Y*.注意，根据相同的推理，当y6=y时*, 任何在m（x）Y={Y，Y，Y}上为空的S-a ffne函数在（Y，Y）上必然为空，因此无处不在。这证明了Sis在非临界情况下是一个2-网。仅在这种情况下如此，因为在临界情况下存在非空的S-a ffinefunctions。我们最终可以陈述本节的主要结果。定理6.21。设S为X×Y的任意子集。如果WEP保留S，则S不包含任何死锁。相反，如果S不包含任何死锁，则存在子集（Sn）n的递增序列≥1. 使以下属性保持不变：（i）|（Sn）X |=n表示所有n≥ 1，每个SNI分解为若干个最大2-网；（ii）WEP保存在每个序列号上，对于n≥ 1.（三）∪N≥1Sn=S证明。

我们首先证明，S的WEP意味着它不包含任何死锁。让我们从矛盾的角度出发，考虑一个死锁（T，x，y），如定义6.18所示，并且让f=1{（x，y）}（x，y）。当WEP（f）成立时，设（ψ，h，ψ）为它的任何分解。特别是自f以来≡ T上的0，ψ是一个T-a ffne函数，使得ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x） 。现在考虑函数y 7→ Д（x）+h（x）（y- x） 。它可以写为Д（x）+h（x）（x- x） +h（x）（y）- x） 因此，三重态（Д，h，ψ）由Д=Д给出- （Д（x）+h（x）（x）- x） ），h=h- h（x），ψ=ψ- （Д（x）+h（x）（y）- x） ，也是f的分解。此外，我们有φ（x）=h（x）=0，因此T-a ffinefunctionψ在集M（x）yinty上为空，这由死锁属性（ii）索引6.18规定ψ（y）=0。因此Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）=0，其中s1=f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），由此产生矛盾。这完成了该定理第一部分的证明。为了证明第二部分，我们需要证明，在无死锁假设下，存在一个集合序列Sn↑ 填写报表中的属性（i）-（ii）-（iii）。根据命题6.2，我们可以在不丧失一般性的情况下假设S是连接的（参见定义6.1）。设f:X×Y→ R可以是任意函数。我们证明了f在合适的子集序列Sn上局部满足WEP 对于已宣布的属性，其执行结构如下所示。设S=M（x）。WEP在M（x）y上保持f在Sby设置（Д（x），h（x））=（0，0）和ψ（y）=f（x，y）。此外，|（S）x |=1，Sis是最大2网络。现在让我们假设f满足Sn上的WEP。因此，要么Sn=S，我们完成了，要么还有其他点xn+1，比如C：=M（xn+1）Y∩ （序号）Y6=. 事实上，如果C是空的，那么S就不会被连接，这与我们最初的假设相矛盾。Let（Ai）1≤我≤kbe—Snin极大2-网的分解。

根据推论6.24，C在每个Ai的Y截面上有两个atmost点。现在我们要将WEP（f）扩展到Sn+1=Sn∪ M（xn+1）。第一步是将其扩展到Sn∪ {（xn+1，y）：y∈ C} 。区分两种情况很有用：（a）假设| C |=1。那么对于唯一的点y∈ C有必要将φ（xn+1）=f（xn+1，y）+ψ（y）和h（xn+1）=0。（b） 现在考虑一下情况| C |≥ 2、有两种可能的子情况：（b.1）首先，假设有两个不同的点y，yin C，它们属于同一个最大2-网的y部分，我们可以假设它们在重新标注后是可能的。我们可以通过（6.2）中的公式将WEP（f）扩展到集合{（xn+1，yj）：j=1，2}，得到值ν（xn+1）和h（xn+1）。现在，M（xn+1）中不再有右手点，我们完成了，或者还有另一个点y。由于Ais饱和，y不能属于（A）y。重新标记后，我们可以假设y∈ （A） Y.由于S没有死锁，我们可以选择一个Sn-A ffne函数χ，使得χ（z）=0，对于所有z∈ （A） Y，和χ（Y）+ψn（Y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（Y-xn+1）-f（xn+1，y）。然后，我们通过将χ分解为Sn-a ffne函数添加到Д和h中来修改Sn上的WEP（f）。请注意，由于命题6，WEP被保留。然后我们在最大2-网中分解新的集合T：=Sn∪ {（xn+1，yj）：j=1，2，3}，其中WEP（f）已被扩展。注意，由于引理6.15，这样的分解的基数小于或等于k.（b.2）秒，假设在分解（Ai）ki=1of Sn的任何最大2-网的C和它们的相交处最多有一个点。在这种情况下，我们选取两个不同的点y，y∈ C、 并通过公式（6.2）获得WEP（Д（xn+1），h（xn+1））的分解。现在的关键点是观察二项式网格Mbin={（xn+1，y），（xn+1，y）}形成了一个2-网，它将在集合T的分解中达到最大：=Sn∪ Mbin。

这是以下事实的结果： A fff（Sn），因为M（xn+1）上的A ffne函数是一个很好的函数。现在，要么在M（xn+1）中没有更多的右手点，我们完成了，要么有另一个右手点，比如y，因为S没有死锁，我们可以选择一个函数χ，使得χ（（Mbin）y）=0，χ（y）+ψn（y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（y- xn+1）- f（xn+1，y）。然后，我们修改了T-mbin上的WEP（f），将χ分解为T-a ffne函数。最后，我们观察到，在这种情况下，新集合T的最大2-网中的分解的基数小于或等于k+1。这是由于与上面的参数相同，除了现在我们有k+1（而不是像以前一样的k），因为额外的2-net Mbin。现在，要么在M（xn+1）中没有更多的右端点（如果分解中有一个最大的2-网，那么必然是这种情况，根据推论6.24），在这种情况下，我们就完成了。否则还有另一个点y∈ M（xn+1）Y，并迭代上述步骤，以这种方式将WEP（f）扩展到Sn∪ {（xn+1，y），y∈ C} 。第二步，也是最后一步，通过设置ψn+1（y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（y），将WEP（f）扩展到M（xn+1）的其余部分- xn+1）- f（xn+1，y）表示该集合的右侧点y。最后，我们观察到新的集合Sn+1满足|（Sn+1）X |=n+1，并且它分解了无数个最大2-网。因此，证明是完整的。备注6.22。注意，如果S X×Y不一定是1-擦除的，我们总是可以把上面的主要定理应用到集E1，X（S），它是1-擦除的。备注6.23。当sx不确定时，上述主要定理可以重新表述如下：当且仅当S不包含任何死锁时，WEP保持S。因此，在我们的公式中，死锁的作用似乎与循环在刻画具有给定边缘的测度的极值（没有[12]中的鞅性质）中的作用相同，即：。

在各自极端措施的支持下，两者都是禁止模式。关键的区别在于，在鞅情形下，y的数值似乎很重要，而不仅仅是点的连接方式（比较例6.27）。下面是在上述证明的第二部分中使用的“扩展交集引理”的陈述和证明。推论6.24（扩展交叉引理）。假设WEP适用于S，并假设A是S中的2-网。然后对于任何z∈ SX\\AX，| Y（z）∩ AY |≤ 2.证明。假设相反，则集合A∪ {（z，yi）：i=1，2}其中yi属于交点Y（z）∩ 是一个2-网，因此是饱和的。因此，十字路口不可能有第三个点，我们有一个矛盾。我们用一些简单的例子来结束本节，说明主要定理6.21的内容和“无死锁”假设所起的作用。示例6.25。考虑一个非常简单的情况，X={X，X}，Y={Y，Y，Y}，其中S中的路径在下图中给出：x1x2yy2y3这显然满足（2LP），因此WEP成立。让我们验证它不包含任何死锁。考虑具有|（M（x）的任何三元组（T，x，y）∩ T）Y |>1，（x，Y）∈ （TX×TY）\\T。我们需要证明我们可以找到一个T-a ffine函数，它在（M（x）上为空∩ T）x，而不是在点y。在本例中，具有上述属性的唯一三元组是T的（T，xi，yj）∈ {S，M（xi）}和j=3（分别为1），如果i=1（分别为2）。对于其中的每一个，我们可以检查定义6.18中的属性（ii）是否不满足。例如，考虑（S，x，y）并取任意S-a ffine函数ψ（y）=α（x）+β（x）y表示y∈ SY和x∈ X（y），在M（X）={y，y}上为空。这意味着α（x）+β（x）y=α（x）+β（x）y=0，因此α（x）=β（x）=0。现在，我们还有ψ（y）=α（x）+β（x）y=0，因此α（x）=-β（x）y。

因此ψ（y）=α（x）+β（x）y=β（x）（y- y） ，因此我们可以清楚地得到β（x）6=0。这意味着（S，x，y）不是死锁。我们同样可以对其他三元组得出相同的结论。示例6.26。示例5.9中的集合是一个最大的2-net，它完全符合OREM 6.21中的条件。因此，WEP成立。为了看到这一点，让我们考虑一个任意函数f，并寻找一个三元组（ψ，h，ψ），使得（4.1）成立。此外，对于所有i=1，…，我们将使用符号Дi=Д（xi），hi=h（xi）和ψj=ψ（yj），4和j=1，首先，请注意，我们始终可以假设（ψ，h）=（0，0），因此网格M（x）上的关系（4.1）给出了值（ψ，ψ，ψ）。M（x）分支上以M（x）Ygives结尾的相同关系依次为（Д，h），M（x）的最后一个分支给出ψ。转到M（x）（x，y）处的方程式（4.1）给出了作为h函数的ν，它在（4.1）的表达式中替代了M（x）中的两条剩余路径，因此得到了高（y- y） =ψ+已知项，和h（y- y） =ψ+已知项。对M（x）的相同分析得到h（y- y） =ψ+已知项，和h（y- y） =ψ+已知项。最后替换ψ和ψ，我们得到（h，h）中的一个线性系统，其行列式由（y）给出- y） （y）- y）- （y）- y） （y）- y） 。这样的行列式不是空的，因为将yas视为变量，最多有一个值使其为零，即y=y，点（yi）1≤我≤6被认为是不同的。因此，由于f是任意的，WEP（f）是满足的。我们记得，前面第5节中讨论的任何有效条件都不适用于该示例。示例6.27。让我们重温一下示例6.20。在临界情况下，即y=y*, 存在adeadlock，因此根据定理6.21，WEP不应保持不变。让我们直接调查一下WEP。为了简化符号，我们将所有i，j表示为fi，j：=f（xi，yj）。

我们可以在不丧失一般性的情况下假设网格M（x）上的φ=h=0，给出f1,6+ψ=f1,4+ψ=f1,1+ψ=0。在第二个网格M（x）上，我们有ν+h（y- x） =f1,3+ψ，Д+h（y- x） =f2,2+ψ=f2,2- f1,1，Д+h（y- x） =f2,1+ψ。因此，通过选择ψ作为参数，上面的最后两个方程给出了ψ=（y- x） （f2,2- f1,1）- （y）- x） （f2,1+ψ）y- y、 h=（f2,2- f1,1）- （f2,1+ψ）y- y、 利用剩余的第一个，我们得到ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）。（6.5）在这一阶段，我们得到了（ψ，h，ψ）作为ψ的函数。与网格M（x）的方式完全相同，当取ψ时有一个参数，我们得到了ν=（y- x） （f3,4- f1,4）- （y）- x） （f3,3+ψ）y- y、 h=（f3,4- f1,4）- （f3,3+ψ）y- y、 所以ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。（6.6）我们现在有（ψ，h，ψ）作为ψ的函数，因此也有ψ的函数。计算网格M（x），利用这个时间ψ有一个参数，我们得到φ=（y- x） （f4,6- f1,6）- （y）- x） （f4,1+ψ）y- y、 h=（f4,6- f1,6）- （f4,1+ψ）y- y、 屈服ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f4,6- f1,6）+y- yy年- y（f4,1- f4,5），（6.7），因此得到ψ的（ψ，h，ψ）。现在，我们有两个不同的ψ表达式（因为它们涉及沿不同路径计算的f），所以协调它们的唯一方法是调整ψ的值。

替换方程式（6.6）中ψ的表达式（6.5），我们得到ψ=y- yy年- y·y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。因此，我们需要在上面ψ的表达式和（6.7）中的表达式之间保持相等，这是yieldsy- yy年- yψ+y- yy年- y（f4,6- f1,6）+y- yy年- y（f4,1- f4,5）=y- yy年- y·y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。上述方程有一个解，当且仅当- yy年- y6=y- yy年- y·y- yy年- y、 否则WEP（f）无法满足。计算临界条件-yy年-y=y-yy年-y·y-yy年-通过把它看作一个方程，经过一些处理，我们得到了临界情况y=y*实施例6.20。我们的计算还表明，在非关键情况下，不存在死锁，这并不完全明显，因为使用死锁定义需要仔细检查S的每个子集T。备注6.28。如上例所示，定理6.21并没有真正简化实际中WEP的调查，因为应该为S的每个子集T验证无死锁属性。相反，它在另一个方向上起作用：如果通过直接考虑发现一些死锁，WEP无法保持。其理论价值在于将WEP转化为S子集的局部函数的性质，这说明了此类函数在这方面的重要性。6.4关于2-网的一些补充结果，在本节中，我们收集了定理6.21和扩展交集引理（推论6.24）的一些结果和补充。事实上，使用后者，我们现在能够证明，当SY足够小时，完全可擦除性和WEP是等效的：命题6.29。假设SY≤ 那么，当且仅当S可满时，WEP适用于S。证据我们已经知道（参见。

命题5.19）对于给定的集S，完全可擦除性意味着WEP。因此，必须证明相反的含义。我们可以假设，在不损失一般性的情况下，S是2擦除的，因此| Y（x）|≥ 3，对于所有x∈ SX。让x∈ SX。我们区分了三种不同的情况。（i） 情况| SY |=3：然后| Y（x）|=3，通过交叉引理5.1，在SX中不能有其他点，因此M（x）的路径是隔离的，S是完全可擦除的。（ii）情况| SY |=4：如果| Y（x）|=4，则我们可以得出上述结论。如果| Y（x）|=3，letx∈ SX。通过相交引理，| Y（x）|=3，Y（x）与Y（x）正好在两点相交。因此M（x）∪ M（x）是一个2-网，通过扩展的交集引理6.24，在SX中不可能有另一个点。现在，由于网格M（x）有一个孤立的分支，即x（y）={x}的路径（x，y），它是可擦除的，然后我们可以擦除隔离的M（x）。（iii）案例| SY |=5：如果| Y（x）|=5，我们可以得出与案例（i）相同的结论，如果| Y（x）|=4，证明与前一案例（ii）相同。如果| Y（x）|=3，则设x∈ SX。根据相交引理，| Y（x）|=4且Y（x）与Y（x）在两点相交，或| Y（x）|=3。在前一种情况下，M（x）∪ M（x）是一个2-网，在SX中不可能有另一个点。亨斯，我们的结论如上所述。在后一种情况下，我们区分两个子情况。如果Y（x）与sy（x）相交于两点，则M（x）∪ M（x）是一个2-网。因此，第三点x∈ sx具有Y（x）与Y（x）相交的属性∪ Y（x））Yin正好是两个点，我们最终得到了一个2-net，比如a，Y=Y，所以在SX中不可能有另一个点。首先检查S是否完全可擦除，从Y（x）开始，然后是Y（x）和Y（x）。如果Y（x）与Y（x）在一个点相交，则第三个点x∈ sx在两点上与Y（x）相交，在一点上与Y（x）相交，或者相反。

因此，我们最终得到了一个具有完整Y投影的2网，因此在SX中不可能有另一个点。很容易检查S是完全可擦除的，从网格M（x）或M（x）开始，其Y投影与Y（x）只有一个交点，然后继续M（x）和M（x）。以下命题是对定理6.21的轻微补充。它描述了一种情况，在这种情况下，我们可以得出结论，WEP适用于集合Sn的递增极限：命题6.30。Let（Sn）n≥1b是一个递增序列，使得WEP保持每个Sn，并且让S=∪N≥1Sn。对于每个n≥ 1，任何Sn-a ffne函数都是对Sn+1-a ffne函数的sno限制，那么WEP将保持S证明。设f是S上的实值函数，对于任意n≥ 1设fn为其对Sn的限制。然后有一些三重态（Д，h，ψ），使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）on。通过归纳，假设存在一系列三元组（ψp，hp，ψp）1≤P≤n、 对于n≥ 1，使得所有1的φp+1 |（Sp）X=φp≤ P≤ N- 1如果n≥ 2，其他两个功能也一样。然后，由于WEP对Sn+1成立，我们对一些三元组（Дn+1，hn+1，ψn+1）fn+1（x，y）=Дn+1（x）+hn+1（x）（y- x）- ψn+1（y）在Sn+1上。尤其是（Дn+1- ^1n）（x）+（hn+1- hn）（x）（y- x）- （ψn+1）- ψn）（y）=0on Sn和qn：=ψn+1 |（Sn）y-ψ是一个Sn-a ffne函数。设tn+1为Sn+1-a函数，其对sni的限制为qn。我们有关于Sn+1tn+1（y）=rn+1（x）+Sn+1（x）（y- x） 对于合适的功能rn+1、sn+1。定义φn+1：=φn+1- rn+1，hn+1：=hn+1- sn+1，ψn+1：=ψn+1- tn+1，收益率νn+1 |（Sn）X=Дn+1 |（Sn）X- （^1n+1 |（Sn）X- νn）（x）=Дn，同样，我们得到hn+1 |（Sn）x=hn和ψn+1 |（Sn）Y=ψn。因此，函数Д：=limn→∞^1n，h：=limn→∞hnandψ：=limn→∞ψnarewell定义了整个集合S。实际上，对于任何（x，y）∈ S存在k≥ 1使得（x，y）∈ Sk公司。因此limn→∞Дn（x）=Дk（x），对于其他两个极限，情况类似。

最后，我们得到f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）在S上。最后，我们有以下结果：推论6.31。Let（Sn）n≥1是2个网络的递增序列，使WEP保持每个Sn，并设S=∪N≥1Sn。然后WEP支持S.Proof。上述命题6.30和（Sn）Y，n上的anya ffne函数的事实很容易得出结果≥ 1，是对（Sn+1）y上定义的函数的（Sn）yo的限制，具有相同的斜率和截距。7个圈和极值在本节中，我们研究了M（u，ν）中度量Q的极值与其支持的圈的存在之间的关系。这是因为我们在导言中已经提到了给定边值的极值概率（不含鞅性质）的以下广为人知的度量特征：设u，ν为具有可数支集的边值，则具有边值u，ν的测度Q为极值当且仅当其支集不包含任何循环。为清晰起见，为便于以后使用，我们在以下定义7.1中回顾了（经典）循环的相关概念。让我们 X×Y。S中的（经典）循环C是路径sc=（xi，yi）2ni=1的任何有限序列 S带n≥ 1，即：1。y2i=y2i-1，x2i+1=x2i，x2i6=x2i-1，且y2i+16=y2i，或x和y互换的相同条件；2.x=x2n（在这种情况下y=y）或y=y2n（在这种情况下x=x）和xi6=xjand yi6=yj1≤ 我≤ J- 3<2n- 注释7.2。由于循环是一系列路径，因此在循环中有一个自然顺序。对于循环中的给定路径（xi，yi），要么xi+16=xind，我们会说（xi，yi）是xi的一条输出路径，要么xi+1=xind，我们会说它是一条输入路径。我们使用约定xi+1=xif i=2n。如有必要，通过重新标记，我们可以在不失去一般性的情况下假设（x，y）是来自x的传出路径。然后，我们可以枚举从x开始的循环，如下所示：（x，y），（x，y）。

，（x2n，y2n），其中y=yand x2n=x。我们将通过点的序列直接表示循环来简化表示法，其中最后一个点按照约定与第一个点重合：（x，y，x，y，…，x2n）。注：也可以通过支撑和方向来识别周期：例如，周期（x，y，x，y，x）和（x，y，x，y，x）是相同的周期，（x，y，x，y，x）具有相同的支撑，但方向相反。Q的极值与Q的支持下无环之间等价的证明可以在[25，28]中找到。其主要思想是，如果存在这样一个循环，度量qc可以沿着该循环扰动，同时保留如下边缘：设α>0为一个参数，setQ（xi，yi）=Q（xi，yi）+(-1） iα，Q（xi，yi）=Q（xi，yi）- (-1） iα，1≤ 我≤ 2n，（7.1）和Q（x，y）=Q（x，y）=Q（x，y），否则。因此，由于α可以被选择为su fficientlysmall，因此对于k=1，2，Qk是概率度量，因此我们有Qk∈ P（u，ν），k=1，2，Q=（Q+Q）/2。其中Q在P（u，ν）中不是极值。在本节中，我们将研究在我们的鞅上下文中可以在多大程度上利用这个想法。我们将首先在我们的上下文中介绍一个非常自然的循环概念，即2网格的循环，并且我们将在本节结束时根据经典循环对这个概念进行概括。7.1 2-meshes的循环让我们从重新研究引理5.2（极值下的相交引理）的证明开始，其中我们构造了初始概率Q的扰动∈ 子组A中的M（u，ν）={（xi，yj）}i∈{1,2}，j∈{1,2,3}。事实证明，这种扰动可以从不同的角度看到。事实上，可以将其视为沿2网格循环的扰动。给定的2-网格M：={（x，yi）：i=1，2}可以清楚地视为产品空间x×Y的元素。

稍微滥用一下符号，我们有时会写出M=（x；y，y）。然后，我们以自然的方式定义了2个网格的循环：定义7.3。两个网格的循环是X×Y中的循环。因此，在两个网格的循环中集合A的分解是（X；Y，Y），（X；Y，Y），（X；Y，Y），（X；Y，Y），（7.2），或者使用应用于乘积空间X×Y的符号7.2，（X，（Y，Y），X，（Y，Y），X）。现在关键的观察结果如下：将总质量α的扰动关联到每个2网格（x；y，y）上，作为路径（x，y）上的p和路径（y，z）上的q，因此α=p+q，即q（x，y）+p，q（x，y）+q，p+q=α，对于p，q∈ [0，1]。为了使这种扰动保持鞅性质，weimposepy+qy=0，givingq=αyy- y、 p=-αyy- y、 因此，给定α，p，q有一个唯一的可能选择，它不依赖于2网格的原点。沿2个网格的循环（7.2），以保持每个点y的质量ν（y）∈ Y，我们选择以下扰动序列：α，-α、 α，-α。这也说明X上每个点的微扰总质量为零。选择足够小的α，这样的过程会产生一个新的概率度量，比如Qα∈ M（u，ν）。最后，应用具有相反符号的扰动，即。-α、 α，-α、 α，我们得到另一个概率，比如▄Qα∈ M（u，ν），使得Q=（Qα+～Qα）/2。这与Q inM（u，ν）的极值相矛盾。对于任意长度的2个网格的循环，构造完全相同。因此，我们可以将刚刚得到的结果总结如下，其中我们用x×y的子集{（x，y），（x，y）}确定x×y中的一个点（x，（y，y））。命题7.4（沿2网格循环的扰动）。让Q∈ M（u，ν）为极值。那么Q的支持度不包含任何2网格的循环。WEP替代极值也有类似的含义：命题7.5。

设S是X×Y的子集，并假设WEP对S有效。然后S不包含任何2网格的循环。证据假设WEP适用于S，且S包含2个网格的循环M，MN对于某些n≥ 2、选择任意函数f:S→ R和let（Д，h，ψ）是f asin（4.1）的分解。在任何2网格Mi=（xi；yi，1，yi，2）内，一个hasf（xi，yi，2）- f（xi，yi，1）yi，2- yi，1=h（xi）+ψ（yi，2）- ψ（yi，1）yi，2- yi，1，i=1，n、 沿着这两个网格的循环求和，请注意，只要连续的两个网格的x点（分别为一个或多个Y点）相同，h项（分别为ψ项）就会取消。因此我们得到等式0=Xi(-1） if（xi，yi，2）- f（xi，yi，2）yi，2- 易，1。自函数f:S起→ R是任意的，我们得到一个矛盾。因此，对于极值和WEP，都需要缺少2网格的循环。在这一点上，很自然地会问对方的说法是否也是正确的。不幸的是，尽管这是在鞅环境中考虑的一个自然概念，但事实证明，它既不适用于极值，也不适用于WEP，如以下示例所示。示例7.6。设X={X，X，X}和Y={yi}i=1，。。。，5be按降序排列，即x>x>x>0和y>y>0。此外，我们假设y=x，y<x<x<y。考虑以下模式：x1x2x3y2y3y4y5这不能支持具有给定边缘的极值鞅测度，因为WEP不成立。此外，还可以通过直接检查来检查它是否不包含任何2网格循环。因此，这似乎意味着2网格循环的概念太强了。

下一节的主题是找到一个更一般的模式，承认一个保持边缘和马尔丁格尔性质的扰动。7.2沿着循环池的扰动首先，我们观察到，如果概率测度在M（u，ν）中不是极值，那么在P（u，ν）中也不是极值，因此在其支持下会有一个经典循环（参见[25，28]）。我们知道，一个单参数微扰自然地附加到一个循环上，如（7.1）所示，以这样的方式，边缘被保留。这一单一扰动也不可能保持鞅性质：实际上，周期x部分任意点x的鞅条件读数为±α（y- y） =0，其中yand是y中的两个不同点，因此路径（x，y）和（x，y）属于循环。我们将要利用的思想是，以适当的方式组合多个循环应该为扰动添加足够多的自由度，以完善鞅性质。7.2.1重新审视2网格周期作为一种预热，我们根据经典周期重新审视了2网格周期的概念。考虑2个网格的循环M，M2n，对于某些n≥ 1，如定义7.3所示。具有相同Y截面的两个网格Mi，Mi+1的每个连续对可被视为经典循环Ci（长度为4），因此长度为2n的两个网格的循环可被视为一组长度为4的n个经典循环。如果我们向（7.1）中的每个周期附加一个非常小的扰动参数αi>0，则边缘将被保留。我们对任何循环Ci的点使用以下符号：其左手点由（Ci）X={xi，xi+1}给出，而右手点是（Ci）Y={yi，1，yi，2}。请注意，循环性质特别意味着，对于所有i，yi，2=yi+1,1。让我们检查鞅性质是否在上述参数αias给出的扰动下也保持不变。

我们从一个左手点x和一个循环C开始。CW的另一个左手点是x，也是循环C的左手点XO。当且仅当-α（y1,1- y2,1）+α（y2,1- y2,2）=0，对于其他点也是如此。最终我们得到了xas点的鞅条件-αn（yn，1- yn，1）+α（y1,1- y2,1）=0。关键的观察结果是，由于循环特性，最后一个方程是由n- 1以前的。事实上：0=nXi=1αi（（yi，1- 易，2）- （易，1- yi，2））=-α（y1,1- y2,1）+α（y2,1- y2,2）+···+(-αn（yn，1- yn，1）+α（y1,1- y2,1））。因此我们得到一个n的系统- 1具有n个未知数的方程，在这种情况下可以通过归纳法轻松解决，例如，将α作为自由参数。因此，我们得到了同时保持边值和鞅性质的扰动。7.2.2推广到任意循环我们现在可以通过以下方式将之前的模式推广到任意长度的循环：考虑n个经典循环，i=1，n、 任意长度的每一个，其性质是圈的X-截面的并集正好包含n个不同的点X，xn，即Sni=1（Ci）X={X，…，xn}。设γi，j=yi，j- yi，j+1是从xjan流出路径的右手点与进入路径的右手点之间的差异，toxjalong循环Ci。我们从一个关于WEP和某些子集的特定循环模式的语句开始 X×Y：提案7.7。假设X×Y中的集合S包含，对于某些n≥ 2，一组n类循环，如下所示：1|Sni=1（Ci）X |=n；循环是自由的，即每个循环C包含一条不属于任何其他循环Ck，k 6=j的路径。那么WEP不适用于S证明。假设WEP（f）适用于任何函数f。设Hj为（y）的系数- x） 在连接到点xj的WEP分解中。

我们有沿着每个循环的Ci，以及上面的旋转：Xjhjγi，j=^fi，其中^fi是沿着循环路径的f值之和，如果路径沿着循环从X到Y，则用正号计数，否则用负号计数。根据循环性质，我们有pjγi，j=0，因此单位向量属于矩阵Γ=（γi，j）的核。根据秩定理，矩阵Γ的映像在mostn处是维数的- 需要注意的是，声明中的假设2（即循环是自由的）意味着向量（^fi）1≤我≤nw当f在X×Y上定义的所有实值函数集中变化时，跨越整个Rn。因此，对于向量^fidoes不属于Γ的图像的函数f，上述关系不成立，因此存在矛盾。现在让我们回到鞅扰动的构造。将参数αi附加到（7.1）中的每个周期Cia摄动。因此，与向量α相关的（经典）摄动，αnca可沿n个循环C，cns通过选择su ficientlysmall参数αi，现在让我们研究左手点xj处的鞅条件。循环cit对点xjj处鞅条件的贡献将是αiγi，j其中，对于每个i，经典循环条件需要spjγi，j=0，以及点xjreadsPiαiγi，j=0处的鞅条件。正如第7.2.1节中所述，因此我们得到了0=XiαiXjγi，j=XjXiαiγi，j（7.3），因此任何点xjis处的鞅条件由其他左手点的鞅条件所包含。我们只剩下n- 1未知n的方程，通过秩定理，解是一个维数至少为1的向量空间，因此通过在这个空间中取一个足够小的元素，我们得到了一个保持鞅性质的扰动。

现在需要证明这个扰动不是零。因此，我们需要一个额外的假设，这是由前面命题中的假设2给出的（即循环的自由度）：它确实保证了7.3的任何非零解向量都与非零扰动相关，因为对于每个hindex i，有一条路径是由α离子扰动的，而不是由α分量的线性组合扰动的。我们刚刚证明了以下命题7.8。让Q∈ M（u，ν）。假设Q的支持满足提案7.7的假设，自由循环C，中国。那么Q不是极值。示例7.9。例7.6中的模式满足命题7.7和7的假设。8： 三个（经典）循环可被视为（x，y，x，y，x），（x，y，x，y，x），（x，y，x，y，x）。与本文所述的所有极值点的有限示例相比，它也可以检查，最多有n个- 1个具有n个左手点的自由循环。我们留下了一个简单的相反的例子，在这个例子中，这将由一组两个相同循环的循环给出：我们的方法将得到两个未知量α，α中的一个方程，一维解空间由α+α=0给出。这种情况下产生的扰动是沿循环的扰动α和α之和，因此为零扰动。陈述，即如果Q不是极值，那么在其支持下必然存在这样的循环配置，作为一个猜想。8结论在本文中，受无模型金融领域最新文献的启发，我们研究了给定边缘条件下极值鞅测度支持的性质。

利用Douglas Lindenstrauss-Naimark定理，我们提供了具有给定边缘的某些鞅测度Q的极值与适当线性子空间L（Q）中的稠密性之间的等价性，该线性子空间具有作为全半静态策略集的自然财务解释。此外，我们还研究了可数情形下这类极值测度支持的组合性质。更准确地说，我们将重点放在弱PRP的逐点版本上，称为WEP，这意味着当两个边缘都没有有限的支持时，会出现极值。然后，我们引入了三个组合属性，即“完全可擦除性”、2LP和“无死锁”，并证明了以下含义（除其他外）：WEPno死锁sif | SX |<∞完全可擦除性2lpif | SX |<∞此外，我们还开始研究与极值相关的周期的作用，并确定了一些禁止模式，推广了（经典）周期的概念，以支持极值测度。为了说明所有这些概念以及它们之间的区别，我们提供了许多例子。许多问题仍然悬而未决，例如表明WEP和极值在完全普遍性中的等价性（如果它成立的话），与图论的关系，以及更重要的是，这些含义在多大程度上可以扩展到不可数的情况，例如，当边缘具有绝对连续的密度时。它们都留给了未来的研究。参考文献【1】B.Acciaio、M.Larsson和W.Schachermayer。“半静态交易策略的结果空间不需要封闭。”《金融与随机》，21.3（2017），741-751。[2] C.D.Aliprantis，K.C.边界。有限维分析。斯普林格（1994）。[3] M.Beiglb¨ock，P.Henry Labord\'ere，F.Penkner。“期权价格的模型独立界限：大众运输方法”。

《金融与随机》，17.3（2013），477-501。[4] M.Beiglb¨ock，N.Juillet。“关于边际鞅约束下的最优运输问题”。《概率年鉴》，44（1）（2016），42–106。[5] V.Beneˇs，J.Stˇepˇan。“具有给定边缘的极值概率测度的支持”。数理统计和概率论。荷兰斯普林格出版社（1987），第33–41页。[6] S.Bianchini，L.Caravenna。“关于迁移计划的极端性、唯一性和最优性。”公牛仪器数学。阿卡德。罪（N.S.），4（4），（2009），353–455。[7] G.Birkho ff。“关于线性代数的三个观察结果。”Nac大学。图库姆。Revista A 5（1946），147-151。[8] D.T.Breeden，R.H.Litzenberger。“期权价格中隐含的国家未定权益价格。”《商业杂志》（1978），621-651。[9] L.坎皮。“关于拥有大量风险资产的金融市场的极端性和完整性的说明。”帕多瓦大学（Rendiconti del Seminario Matematico della Universit\'a di Padova112）（2004），181–198。[10] L.坎皮。“给定N维分布的金融市场中的套利和完整性。”《经济与金融决策》27.1（2004），57–80。[11] C.Dellacherie。“不受时间限制的附加鞅表”。公共。仪器统计员。巴黎大学17.2（1968），1-17。[12] J·L·丹尼。“具有给定边缘的离散极值测度的支持”。《芝加哥数学杂志》27.1（1980），59–64。[13] R.Diestel。图论。毕业生。《数学文本》，斯普林格（2005）。[14] R·G·道格拉斯。“关于极值测度和子空间密度”。密歇根数学杂志11.3（1964），243–246。[15] A.Galichon，P.Henry Laborder，N.Touzi。“一种随机控制方法，用于给定边缘的无轨道边界，并应用于回溯选项。”《应用概率年鉴》24.1（2014），312–336。[16] P.Henry Laborder，N.Touzi。

“Brenier定理的显式鞅版本”。《金融与随机》，20.3（2016），635-668。[17] K.Hestir，S.C.Williams。“双重随机测度的支持”。伯努利（1995），217-243。[18] D.霍布森。“回望期权的稳健对冲。”《金融与随机》，2.4（1998），329-347。[19] D.Hobson，M.Klimmek。“远期起跑跨盘的强劲价格边界”。《金融与随机》，19.1（2015），189–214。[20] D.Hobson，A.Neuberger。“正向启动选项的鲁棒边界。”MathematicalFinance 22.1（2012），31–56。[21]H.G.Kellerer。“Verteilungsfunktionen mit gegebenen Marginalverteilungen”。概率论及相关领域，3.3（1964），247–270。【22】A.Klopotowski，M.G.Nadkarni，K.P.S.Bhaskara Rao。“当f（x，x，…，xn）=u（x）+u（x）+····+un（xn）？”《印度科学院院刊》数学科学，第113卷，第1期。印度科学院（2003年）。【23】A.Klopotowski，M.G.Nadkarni，K.P.S.Bhaskara Rao。“nfold笛卡尔积中好集的几何。”《印度科学院院刊》，数学科学，第114卷，第2期。印度科学院（2004年）。【24】J.Jacod，A.N.Shiryaev。“离散时间情况下的局部鞅和基本资产定价定理。”《金融与随机》，2.3（1998），259-273。【25】G.莱塔克。“在西班牙国家银行（de marges donn\'ees）的股票交易中，对可能发生的情况进行陈述。”伊利诺伊数学杂志，10.3（1966），497-507。[26]D.R.利克，A.T.怀特。“k-退化图。”加拿大数学杂志，22（1970），1082-1096。[27]J.Lindenstrauss。“关于极端双重随机测度的一个注记。”《美国数学月刊》（1965），379-382。【28】H.G.Mukerjee。“具有给定边距的极值测度的支持。”伊利诺伊州数学杂志，29.2（1985），248-260。【29】M.A.奈马克。

“关于对称算子的极值谱函数。”Dokl。阿卡德。Nauk SSSR。第54卷。第7号（1946年）。【30】R.Pallottini，Misure estremali per il trasporto di massa con vincoli di martingala。Tesidi Laurea，Dipartmento di Matematica，阿奎拉大学（2018年）。[31]D.Revuz，M.Yor。连续鞅与布朗运动。第293卷。SpringerScience&Business Media，2013年。【32】诉斯特拉森。“具有给定边缘的概率测度的存在性”。《数理统计年鉴》（1965），423–439。【33】C.维拉尼。最佳交通：新旧交通。第338卷。Springer Science&BusinessMedia，2008年。