在普通噪音的支配下：有条件的爆炸

2022-6-10 06:52:51

受共同噪音的摆布：传统麦基恩-弗拉索夫问题中的爆炸肖恩·莱格兰德·安德烈亚斯·瑟马克数学学院，布里斯托尔大学和海尔布朗学院信息科学研究所，BS8 1TW，英国数学系，伦敦帝国理工学院，伦敦，SW72BU，UK1021年2月15日摘要我们在大型平均场系统中扩展了一个正反馈和传染模型，通过引入由布朗运动驱动的公共噪声源。尽管驾驶动力是连续的，但正反馈效应会导致“爆炸”现象，从而导致解决方案产生跳跃不连续性。我们的主要结果是双重的，涉及模型的条件McKean-Vlasov公式。首先，我们证明了这个McKean–Vlasov问题有全局解，它可以作为具有公共噪声的激励粒子系统的极限点来实现。此外，我们得出了爆炸发生的结果，从而说明了如何通过路径实现公共噪声来触发或预防这些事件。1简介本文研究了大型平均场系统中的正反馈和传染模型，重点研究了正反馈回路与行驶动力中常见噪声源之间的相互作用。具体而言，我们考虑了随着粒子数量趋于一致，基础有限维粒子系统的收敛性，并说明了极限McKean-Vlasov问题中出现的“爆破”现象Xt=X+p1- ρBt+ρBt- αLtLt=P（τ≤ t | B）τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}.（MV）这里的随机驱动因子B和独立的布朗运动，以及起始点Xis是一个独立的随机变量，取值于正半直线（0，∞), 而α>0和ρ∈ [0，1）是常量参数。

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mingdashike22

2022-6-10 06:52:54

通过对（MV）的解，我们理解了一个递增过程L，它是cádlág，其值在[0，1]中，且在零处为零，即L=0。正如我们将看到的，公共噪声B起着关键作用：在某些情况下，它具有引发或防止爆炸的能力，其中爆炸被定义为t 7的跳跃不连续性→ （MV）的一个关键特性是，这些爆炸是内生的：所有随机驱动因素都是连续的，但跳跃不连续性可以通过正反馈效应单独发展。本文的主要技术成果有两个方面。首先，我们分析了（MV）的爆破现象，并推导出了发生此类爆破的一些简单条件，目的是突出常见噪声所起的重要作用（见定理2.1）。其次，我们证明了（MV）的解是作为“传染性”粒子系统的大种群极限出现的，这为下文讨论的各种应用提供了理论依据。我们建立了比情况（MV）更一般的漂移和扩散系数的收敛结果，并考虑了一大类自然初始条件（见定理3.2）。为了更好地理解（MV）的工作原理，考虑X的条件定律，在原点吸收，给定公共噪声B。这定义了

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mingdashike22

2022-6-10 06:52:57

先验地，L的关联跳跃并非仅由方程（MV）唯一规定，然而，我们可以根据左极限νt确定一个非常规选择-对于νt，根据第2节中介绍的最小约束（2.2），在任何给定时间t>0。在下面的引理2.2中，我们表明，对于所有的正时间t>0，都有密度Vtofνt，如上所述。图1.1显示了这些密度的流量，对于两种给定的常见噪声B，其中一种会导致爆炸，其时间和大小由上述最小约束规定。备注1.1（随机演化方程）。正如我们在命题3.7中所示，从广义上讲，密度vt的流动由随机演化方程控制dVt公司=xxVtdt- ρxVtdBt+αxVtdLct+^R[Vt-（·+αy）- 及物动词-]JL（dt，dy），Lct=Lt-X0<s≤t型Ls，Lt=1-^∞Vt（x）dx，且JL=X0<s<∞δ（s，Ls），在原点有吸收边界的正半线上（我们记得跳跃的大小如上文（2.2）所述）。注意到非线性“dLt”给出了穿过原点的质量流，该演化方程提供了（MV）与下文讨论的数学神经科学文献之间的联系。我们参考第3.3节了解更多详细信息，但在此我们注意到，该方程与文献中处理的典型随机偏微分方程截然不同，因为它是非局部空间，并且，在时间上，人们不能期望像L的绝对连续性，或者说，对于外生驱动力Y，dLt=`TDYT。图1.1：曲线图显示了ρ=0.5和相同初始条件下（MV）的两种不同实现。每个像素代表该时空点的密度值，空间在垂直方向，时间在水平方向。在右侧，公共噪声B迅速降低，导致爆炸。

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2022-6-10 06:53:00

数值算法见第4.2节。1.1应用和相关文献我们对（MV）的主要兴趣源于其作为大型金融系统中常见风险和传染之间相互作用的平均场模型的潜力，如【18】所述。在此设置中，Xt∈ [0, ∞) 给出“典型”银行或信贷风险资产的违约距离，ρ表示常见风险敞口的程度，α>0表示违约的传染反馈效应。因此，t 7的跳跃不连续性→ LTC对应的是一个“违约级联”，其中违约传染的反馈会爆炸，金融系统的宏观比例会同时损失。上述无共同噪声（ρ=0）的模型激发了[17]中的分析，该模型的数值格式已在[26]中探讨。类似的财务框架也为[23，24]提供了动力，这是一篇最新的论文，将特殊（ρ=0）模型扩展到更一般的随机驱动因素，并用有限数量组的互动图取代恒定反馈参数。在更具启发性的层面上，基于备注1.1中随机演化方程的PDE（ρ=0）版本，在[15]中提出了宏观经济危机出现的类似模型，尽管没有解决爆发的可能性和hencenot对跳跃分量的解释。关于常见噪音的存在，更普遍地说，我们注意到，这最近已成为平均场游戏seee中非常感兴趣的主题。g、 [4，5]首先。特别是，这也导致了对所谓的条件性麦肯-弗拉索夫型问题的研究，然而，重点却大相径庭。研究（MV）的另一个重要动机来自数学神经科学，其中（MV）对大型平均场网络中典型神经元的电压水平进行建模。

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2022-6-10 06:53:04

该应用程序（ρ=0）是[6、7、8、10、11]的重点，其中反馈项描述了相邻神经元尖峰（即达到阈值，从而发出动作电位，然后重置）时所经历的电压水平跳跃。添加公共噪声（ρ>0）是一种新颖的方法，可以捕获一些系统性随机刺激同时影响所有神经元的效果，例如由于环境中的一些外部影响。虽然神经科学文献中讨论了这种常见的噪声平均场模型，例如[2、22、27]，但它们尚未得到严格的处理。我们注意到，在数学神经科学文献中，重点不是McKean–Vlasov公式（MV），而是相应的确定性（ρ=0）或随机性（ρ>0）福克-普朗克方程，其中“dLt”给出了“dt”时间单位上尖峰神经元比例的微小变化。由于神经元在尖峰后被重置，我们可以使用注释1.1中的进化方程的保质量版本，通过添加源项来重新引入穿过原点的质量流。忘记了备注1.1中的爆破成分，这种随机福克-普朗克方程的各种公式出现在数学神经科学文献中（参见[2，3，21，27]），但到目前为止，还没有人试图对随机演化方程本身以及它如何从具有共同噪声的有限粒子系统中出现赋予不同的含义。有关更多详细信息，我们参考上述参考文献以及第3.3节中的提案3.7和备注3.8。关于适定性的结果（MV）的存在性和唯一性问题很微妙，尤其是因为爆破的可能性。

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mingdashike22

2022-6-10 06:53:08

虽然这一系列论文[6、7、8]研究了确定性福克-普朗克方程，使用了可能在有限时间内不再存在的解的经典概念，但论文[10、11]是第一个考虑ρ=0的概率公式（MV）。特别是，对于ρ=0，[11]表明，全局解可以作为合适粒子系统的极限点获得，使用的思想启发了我们在第3节中的方法，并将在此基础上进行扩展。本文通过引入ρ>0的（MV）解的“松弛”概念来描述具有常见噪声的“传染”粒子系统的极限点，从而有助于完善性的文献。这为上述应用程序提供了正当性。我们在这里提到，（MV）的“弛豫”涉及L（或ν）相对于普通布朗运动B的可测性，但更多细节留待第3节。在本文第一版之前，（MV）的适定性结果仅适用于问题的特殊（ρ=0）版本【10，11，17，23】，唯一性仅在第一次爆炸之前已知【17，23】。然而，通过排除爆破，如果α>0足够小，则后者成为全局唯一性[10，17]。关于ρ>0，在第二版预印本【24】中已经表明，（MV）的全局解也可以从广义Schauder固定点参数构建，从而补充了本论文第3节中的结果。此外，在唯一性问题上也有一些有趣的新发展。

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2022-6-10 06:53:11

对于ρ=0的情况，文献[20]表明，在爆破后重新开始求解时，存在局部唯一性，甚至最近，在预印本[12]中发展了ρ=0的（MV）的完整井位理论，给出了初始条件下温和假设下的全局唯一性。最后，[20]还给出了ρ>0在一个小条件下的全局唯一性，反馈参数排除了爆破。1.2本文件概述本文件其余部分分为三节。在下面的第2节中，我们通过得出一些关于（MV）的解决方案的不间断电源的可能性和时间的结果，开始了我们的分析。这方面的主要结果收集在Theorem2.1中，它用于说明特殊（ρ=0）问题和常见噪声（ρ>0）问题之间的关键区别。在第3节中，我们继续公式化“传染性”粒子系统，该系统激励我们分析（MV）并分析其收敛性。主要结果是定理3.2，它表明该粒子系统的经验测度的极限点可以描述为满足最小约束（2.2）的（MV）的“松弛”解。

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2022-6-10 06:53:14

最后，第4节提供了关于第3节中使用的过滤的一些结果，我们还简要介绍了用于生成图1.1.2中关于发生井喷的模拟的数值方案。正如导言中所强调的，（MV）的解决方案在正半线（即t 7）上带有

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nandehutu2022

2022-6-10 06:53:17

因此，我们强制执行以下最小约束，规定跳转大小应满足Lt=inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}，对于所有t≥ 0，（2.2）其中等式几乎肯定成立（回想一下约定ν0-= ν和L0-= 0).正如我们在命题3.5中所证明的那样，这种约束相当于只考虑cádlágsolutions，并且总是选择满足要求的最小跳跃大小（2.1）。在特殊情况ρ=0时，约束（2.1）和（2.2）当然是确定性的，其中νt为无条件形式νt=P（Xt∈ ·, t<τ）对于所有t≥ 0，我们强调，它们正好对应于【10】中提出的“物理解决方案”的概念（参见【17】了解更接近当前的治疗方法，也参见【23】了解略有不同的设置）。[17，图2.1]中给出了这些约束的简单图示，重点是特殊情况ρ=0。重要的是，我们在此提到，在第3节中，作为激发粒子系统极限点产生的解将被证明满足最小约束（2.2）。2.1与常见噪声的特殊性第2节的目的是将（MV）有无常见噪声的爆破现象清晰简单地并列。特别是，我们将说明添加公共噪声如何确定模型是否发生爆炸。我们强调，所采用的方法并不尖锐，因为它们只是为了保证非平凡爆炸概率的存在，而不是确定它们发生的精确条件。

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2022-6-10 06:53:20

即使在特殊（ρ=0）设置中，也不应期望在选择初始定律和反馈参数时以确定是否发生爆炸以及何时发生爆炸的方式找到一个整洁的封闭形式条件，因此我们在此不进行讨论。然而，我们注意到，证明依赖于建设性论点（第2.2节和第2.3节），从而概述了某些初始条件下是否发生爆炸的特定事件。在构造排除爆炸的事件时，关键因素将是上面介绍的最小约束（2.2）。相反，在关于实施爆破的争论中，我们的主要工具之一将是[17，Thm.1.1]中的矩量法的先锋。下一个定理是本节的主要结果，它用来说明常见噪声在爆破中所起的决定性作用。正如在ρ=0的特殊问题（MV）的原始贡献[10]中一样，我们关注的是一个执行起点X=X。也就是说，系统是从Dirac质量ν=δxatsome X>0开始的。在此设置中，从[10，Thm.2.3&2.4]可以看出，如果α>0作为x的函数足够小，那么ρ=0的（MV）允许唯一（连续可微）解L，在任何给定的时间间隔上都没有爆破。然而，对于commonnoise，情况明显不同。定理2.1（爆破）。考虑McKean–Vlasov问题（MV），执行起点X=X。

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2022-6-10 06:53:23

根据公共噪声的存在（ρ>0）或不存在（ρ=0），我们对爆破现象有以下二分法。（i）特殊模型：给定任意α>0，L对起点x有一个爆破∈(0, ∞) 距离原点足够近，但起点X没有爆炸∈ (0, ∞) 离原点足够远了。（ii）公共噪声模型：给定任何α>0，对于任何起点x，爆破是0<P（L有爆破）<1的随机事件∈ (0, ∞).这个定理的证明是接下来两小节的主题，我们将进一步阐明（MV）的特殊（ρ=0）和公共噪声（ρ>0）版本的爆破行为。定理2.1的第一部分源自第2.2节的命题2.4，而结果的第二部分也是主要部分是第2.3节的命题2.10的结果。第2.3节中的图2.1和2.2说明了定理2.1指出的二分法。这些图给出了一个简单的图形说明，与特殊系统的演变相比，常见噪音如何引发和/或防止爆炸。在继续分析爆破之前，我们进行了以下一般性观察，这在引言中已经提到：对于所有严格正时间t>0，流量t 7→ νt由有界密度t 7的流量给出→ Vt，关于初始条件ν的性质。这类似于ρ=0的情况【17，第2.1条】，当然除了ρ>0设置中的水流随机性。引理2.2（密度的存在）。假设（MV）有一个解。对于everyt>0，相关的

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2022-6-10 06:53:26

忽略原点处的吸收，利用托内利定理改变积分阶，我们得到了νt（A）≤ PX+p1- ρBt+ρB- αLt∈ A | B=^A^∞p（1-ρ） t（x- x个- ρB+αLt）ν（dx）dx，对于任何Borel集A∈ B（0，∞), 其中，我们使用了X、B和B的独立性，以及L的B-可测性。因此，νt（A）≤ (2π(1 - ρ） t）-1/2Leb（A），适用于所有Borel组A∈ B（0，∞), 所以结果来自Radon-Nikodym定理。如上所述，我们将始终使用ν表示初始随机变量xFor（MV）的规律，其中可以理解，ν是B（0，∞).此外，在本文的其余部分，我们将说ν在agiven Borel集A上受支持∈ B（0，∞) 如果ν将零质量分配给ρ=0且无共同噪声的特殊模型A.2.2的补码，则流量t 7→ νtand损失t 7→ LTA是确定性的。因此，ρ=0时（MV）的爆破是完全确定的事件。由于我们从上面知道，每个νtha都是一个密度，关于爆破的简单观察如下。如果，对于给定的t>0，我们有Vt-（x） <α-1在正确的原产地附近Lt=0由（2.2）固定，因此此时不会发生爆炸。相反的方向，我们可以同样地观察到，如果相反，我们有vt-（十）≥ α-在原点的一个正确邻域中，则在t时必须发生爆炸。此外，从上面引理2.2的证明中，我们可以看到thatkVtk∞≤ 最小值{kVk∞, （2πt）-1/2}，每t≥ 0，（2.3）带kVk∞解释为+∞ 如果ν没有密度。因此，再次参考（2.2），作为引理2.2先前证明的直接结果，我们得到以下结果。推论2.3（爆破的初始限制）。对于任何初始条件，ν，在时间α/2π之后，在（MV）中不会出现爆破。

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2022-6-10 06:53:29

此外，如果ν的密度为V，则满足kVk∞< α-1，则不会发生爆炸。通过更努力的工作，我们可以扩展这种方法，以表明如果初始密度离边界足够远，那么在（2.3）中的时间衰减阻止爆炸之前，质量到达边界的时间不足。通过利用这一点，下一个结果给出了α的线性范围，这显然不是很明显，但它仍然是说明性的，对下面的内容很有用。命题2.4（爆破的线性空间界限）。如果初始条件ν在（0，α）上被支持，则必须在（MV）中发生爆破。如果ν在（α+∞)那么爆炸永远不会发生。证据如果ν在（0，α）上得到支持，那么我们的EX<α，因此第一部分是从[17，Thm.1.1]开始的。对于第二部分，请注意，通过忽略原点处的吸收，我们得到了上限νt（[0，αx]）≤ P（X+Bt- αLt∈ [0，αx]）=^∞^αx√2πtexpn-（z）- x+αLt）2todzν（dx）。假设ν支撑在（αb+∞) 对于某些b>1。自Lt以来≤ 1，上一个边界给出了νt（[0，αx]）≤^∞^αx√2πtexpn-（z）- α（b- 1））2todzν（dx）≤αx√2πtexpn-α（b- 1.-x） 2to，每x<b- 1、还注意到t 7→ （2πt）-1/2e-c/2为最大值（2πec）-1/2，我们可以推断出νt（[0，αx]）≤αxp2πeα（b- 1.-x） <x对于所有x<b-1.- （2πe）-1/2，前提是b>1+（2πe）-1/2. 由于2πe>16，取b=是有效的，因此证明是完整的。2.2.1转换损失过程一个自然的问题，例如从[23]中产生的问题是，当我们用损失过程的一般函数替换（MV，ρ=0）中的线性损失项时，会发生什么。这导致了类似的问题Xt=X+Bt- αf（Lt）Lt=P（τ≤ t） τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}，（2.4）对于给定函数f：[0，1）→ R、具体示例f（x）=-日志（1- x）是【23】的重点。为了避免质量逃逸到单位，我们可以限制为f boundedbelow，然后我们知道→ 1作为t→ ∞.

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2022-6-10 06:53:32

特别是，我们注意到，这导致了下文命题2.5中右手侧的有效简化。当我们在本文中关注f（x）=x时，正如在激励性论文[10,11,17,18]中一样，我们注意到对于任何Lipschitz连续f，我们的结果立即扩展到（2.4）。此外，只需稍作调整（参见[23，Sec.7]了解所需的更改类型），即可允许函数的Lipschitz常数在x↑ 1如f（x）=-日志（1- x）前面提到的或例如f（x）=（1- x）-对于不连续f，必须更加小心。特别是，第一个简单的观察是，如果f在x<1时有一个正跳跃，那么L将有一个爆破att=L-1（x），但是，如果f有负跳跃，那么L可能仍然是连续的。在任何情况下，假设对给定函数f有（2.4）的解，以下结果给出了[17，Thm.1.1]对该问题的自然扩展。提案2.5（转化损失的爆破）。假设L给出了某个函数f的（2.4）的解：[0，1）→ R、如果m<α^Ltf（x）dx+（1- Lt）f（Lt）,在某个时间t>0，其中m：=EX，则必须在t之前或此时发生爆破。证据对于矛盾，假设X在时间t之前（包括时间t）是连续的。然后，通过在X第一次达到零时停止X，我们得到0≤ Xt公司∧τ=X+Bt∧τ- αf（Lt∧τ），因为根据我们的假设，到目前为止，L必须是连续的。接受期望，并遵守第7节→ Ls给出了停止时间τ的定律，因此我们有0≤ m级- α^∞f（Lt∧s） dLs=m- α^tf（Ls）dLs+（1- Lt）f（Lt）.证明现在已经完成，注意到L是有限变化，因为根据假设，它是递增的，并且在时间t之前（包括时间t）是连续的，因此右侧的积分可以重新写入结果声明中。通过取f（x）=x并发送t→ ∞ 在命题2.5中，我们恢复了[17，Thm。

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2022-6-10 06:53:36

1.1].注意，只要f在（0，1）上的积分为正，那么对于任何初始条件，我们都可以取α>0大到足以引起爆破。此外，如果f为chosenso，则其（0，1）上的积分为正整数（例如，f（x）=（1-x）-1），则对于任何初始条件和任何反馈参数α>0，都保证爆破。然而，请注意，情况f（x）=-日志（1- x）从[23]中得到了有限积分，因此，在这种情况下，命题2.5并不能确定反馈参数（严格正）的任何值是否必须发生爆破。2.3ρ>0的常见噪声模型对于特殊（ρ=0）模型，控制爆破的唯一参数是背向强度α和初始条件ν。在这方面，公共噪声模型（ρ>0）的一个重要创新之处在于，可以选择初始条件，公共噪声的实现可以确定是否发生爆破。此外，由于解L不再是确定性的，爆破的发生现在是一个随机事件。在Dirac初始条件ν=δx的情况下，定理2.1指出，如果支持x>0距离原点足够远，那么我们在特殊模型中没有爆破，而在公共噪声下爆破的概率总是非零（ρ>0）。这方面的证明使用了一个明确的构造来表明，如果采样路径为Bis，则会强制爆破，以便在不损失太多质量的情况下，将初始质量快速传输到边界。在同样工作量的情况下，这些论点可以用稍微更一般的方式表达，这也适用于从原点到X点附近的均匀分布。后一种情况非常适合用于说明目的，因此我们将其用于下面的示例2.6和2.7。

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2022-6-10 06:53:39

这两个例子分别在图2.1和2.2中附有一个简单的图解说明。除了说明常见噪声和爆破之间的相互作用外，这些图还直观地给出了命题2.9和命题2.10证明背后的机制。然而，我们强调，这些图形只是简单的“卡通”（特别是，这些图形的比例不同，密度的形状和大小也不精确）。示例2.6（强制爆破）。设初始条件ν为均匀分布，密度V：=δ-1（c，c+δ）表示常数c≥α和0<δ<α，如图2.1中最左边的图片所示。对于这种初始条件，命题2.4保证了特质模型中不存在爆破。另一方面，命题2.10表明在公共噪声模型中存在非零的爆破概率。当普通布朗运动将质量快速输送到原点时，就会发生这种情况，从而在零附近产生足够强的质量浓度，从而迫使发生爆破，这基本上是通过与[17，Thm 1.1]的特质模型进行比较得出的。图2.1：该图显示了爆炸的出现。在中间的图片中，常见噪声的总体影响是质量迅速向原点传输，将系统从Vto移动到Vs。由于Vs集中在原点附近，对[17，Thm.1.1]的调整表明，如果太多质量不会开始向另一个方向逃逸，则一定会发生爆炸。

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2022-6-10 06:53:42

在这方面，最右边的图片说明了非线性反馈变得如此强大，以至于在采取限制措施后↑ t、产生的左极限密度Vt-位于α以上-1接近零，因此Lt6=0符合（2.2）。上一个示例讨论了常见噪音如何引发爆炸。在下一个示例中，我们将考虑相反的情况，说明commonnoise如何防止爆炸，同时从异向模型爆炸的初始条件开始。示例2.7（避免爆炸）。这一次，我们将初始条件ν设为密度V=δ的均匀分布-1（c-δ、 c）对于正常数c<α和δ<c，例如c<（α+δ），如图2.2最左边的图片所示。自'xdν（x）=c-δ<α，根据[17，Thm.1.1]，对于此类初始条件，特殊模型必须具有爆破。相比之下，从下面的命题2.9可以看出，公共噪声模型具有绝对正的永不爆炸概率。简言之，常见的噪音可以使系统的质量充分远离原点，因此，由于质量已经变得过于分散，分散的影响可以发挥作用，并最终排除爆发的可能性。如图2.2所示。在下面的论证中，我们感兴趣的是质量损失的界限，它在给定的公共噪声实现族上是一致的。这从一个简单的比较参数开始。引理2.8（无交叉引理）。设ν是[x？]上支持的概率测度？，∞),对于某些x？>0，设▄f，▄f:[0，∞) → R是两个连续的确定性函数图2.2：该图显示了一个避免爆炸的事件，因为公共噪声使质量在足够长的时间内远离原点。

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2022-6-10 06:53:45

具体而言，右侧的图片说明了常见噪声如何为扩散效应提供足够的空间，从而使密度V最终严格低于α-1、从这里开始，在以后的任何时候都不会发生爆炸，因为我们无法再进入如图2.1最右边图片所示的情况。满足▄f（0），▄f（0）>-x？。让L和L成为解决方案Xt=Z+p1- ρBt+~f（t）- αОLtτ=inf{t≥ 0：▄Xt≤ 0}Lt=P（▄τ≤ t），则，(R)Xt=Z+p1- ρBt+(R)f（t）- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t），其中Zis根据ν分布。如果所有t的▄f（t）>▄f（t）∈ [0，t）和▄L在[0，t]上连续，然后▄Lt≤\'\'Ltfor all t∈ [0，t）。如果▄L在t处也是连续的，则▄Lt≤\'\'Ltfor all t∈ [0，t]。证据正如在声明中所述，我们对所有t都有▄f（t）>▄f（t）∈ [0，t），其中时间t>0是给定的，我们假设▄L在[0，t]上是连续的。观察如果▄L在[0，t]上是连续的，对于一些t>0和▄Xs≥对于所有<t的s，则为▄Lt=▄Lt-= P（infs<tXs<0）≤ P（infs<t'Xs<0）=Lt-≤\'Lt.（2.5）特别是，如果我们能证明Xt，引理的主张如下≥\'\'XT用于所有∈ [0，t）。为此，我们让t？成为第一个t，以便Xt≤\'\'Xt。通过对解的定义，我们得到了▄L=▄L=0，因此假设▄f（0）>▄f（0）给出了▄X>▄X。将此与解的正确连续性相结合，可以得出t？>现在假设，对于一个矛盾，我们有t？<t、那么，L在[0，t？]上是连续的，假设它在[0，t]上是连续的，那么我们在[0，t？]上也有X的连续性。注意到“X”只有向下跳转（“L”只有向上跳转），因此我们必须有“Xt”=“”“Xt”“？，这个力是α（\'Lt？-Lt？）=\'f（t？）-f（t？）<但这是一个矛盾，因为左边是非负的（2.5），sinceL在[0，t？]上是连续的对于t<t？，则为▄Xt>▄Xt？，通过构造。

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2022-6-10 06:53:48

这就完成了预防。2.3.1避免爆发牢记Dirac质量的情况和图2.2中的示例，我们现在转向一个事件的精确构造，当从原点以一般初始条件νsupportedway启动系统时，所有反馈参数α>0均排除爆发。提案2.9（不确定爆破）。假设初始条件ν在（x？）上得到支持？，∞), 对于某些x？>然后，对于所有反馈参数α>0，具有公共噪声（ρ>0）的条件McKean–Vlasov问题（MV）满足esP（L有爆破）<1。证据让x？>0与命题陈述相同，且fix aδ>0使得δ≤ x/4、然后确定为特殊问题的解决方案(R)Xt=（X- δ） +p1- ρBt- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t），注意到X- δ ≥ x？- δ > 0. 根据L的右连续性以及L=0，根据解的概念，我们得到了→ 0作为t↓ 0。特别是，我们可以将t>0取得足够小，以便≤x？α-1、因为L在增加，所以我们有x？- α′Lt≥x？要塞∈ [0，t]，因此，对命题2.4中论点的改编表明，我们可以将大于0的值取得足够小，以使L在[0，t]上是连续的。实际上，对于ρ=0，这精确到下面的界限（2.7）。对于一般ρ∈ （0，1），我们可以利用B独立于带L，lbe是B-可测的，这样我们就得到了界νt-（[0，αx]）≤ P（Xt-∈ [0，αx]| B）=P（x+p1- ρBt+ρBt- αLt-∈ [0，αx]| B）=^∞αxp2π（1- ρ） texpn公司-（z）- x个- ρBt+αLt-)2(1 - ρ） todzdν（x），（2.6）对于任何t>0，我们只是忽略了原点处的吸收。对于其余的证明，我们将注意力限制在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，δ，m，其中后者是由At，δ，m定义的路径族：=f：[0，t]→ R s.t.| f（t）- mt |≤ 所有t的δ∈ [0，t],对于稍后确定的正常数m>0。在此事件中，对于任何给定nm>0，我们有-ρBt≤ δ ≤x？对于所有t∈ [0，t]。

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2022-6-10 06:53:51

为了控制质量损失，我们在L超过Sx之前停止L？α-1，相当于查看stoppingtimeτ：=inf{t≥ 0：Lt>x？α-1/4}.通过L=0时L的右连续性，我们得到了τ>0，我们还强调τ当然继承了L的B-可测性。因为ν在（x？）上受支持？，∞), 我们可以推断，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈在，m，δ时，束缚（2.6）产生νt∧τ-（[0，αx]）≤^∞αxp2π（1- ρ）（t∧ τ） expn公司-（十）- 3倍/4)2(1 - ρ）（t）∧ τ） odzdν（x）≤αp2π（1- ρ）（t∧ τ） expn公司-x？32(1 - ρ）（t∧ τ） o·x，对于每x<x？α-1、如有必要，通过降低t>0，可以得出恒定值？<1使得νt∧τ-（[0，αx]）≤ Cx、对于所有t≤ t、（2.7）基于以上，我们现在认为，当限制到事件（ρBt）t时，L不能在整个间隔[0，t]上有爆破∈[0，t]∈ At，m，δ。首先，限制到此事件，界（2.7）和最小约束（2.2）已经确保了L在[0，τ]上是连续的∧t] 带τ∧t> 0。现在，如果L在[0，t]上有一个爆破，那么必须实现（ρBt）t∈[0，t]∈ At，m，δ和一些时间s∈ （0，t）使得L在[0，s]上连续，而在任何右邻域[s，s）上不连续，且s>s。注意ρBt≥ mt公司- δ > -δ、对于所有t∈ （0，t），在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，m，δ，因此满足无交叉引理的条件。因此，L在[0，s]上的连续性 [0，t）给定-≤\'\'Lt≤x？α-1（2.8）精确地通过无交叉引理（引理2.8），因此界（2.7）现在读数为νs-（[0，αx]）≤ Cx表示所有x，非常接近于零。这反过来意味着Ls=0，通过最小约束（2.2），特别是，我们得到Ls=Ls-≤x？α-1从（2.8）开始。根据右连续性，由此得出，对于任何ε>0，我们有Ls≤x？α-1+ε表示s>s足够接近s。

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2022-6-10 06:53:54

因此，我们可以得出结论，存在形式νs的界-（[0，αx]）≤ C<1的Cx，在足够小的右邻域上继续保持（x非常接近零），只有我们可能需要取C>C？（当然，严格来说还不到一个）。这意味着，当s>s足够接近s时，L必须在[s，s]上保持连续，因此，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ 在，m，δ时，损失L在[0，t]上没有爆炸。鉴于上述情况，我们通过设置t来确定稍后的时间t>t：=α/2π（1- ρ） +t.由于t>0，从引理2.2证明中的界可以看出，νt（[0，αx]）≤ α(2π(1 - ρ） t）-1/2x<x，适用于所有t≥ t、对于每x>0。因此，最小约束（2.2）告诉我们，在时间t？之后，L不能出现？。仍然需要确保中间时间间隔（t，t？）上没有爆炸。为此，我们可以考虑常见布朗运动的实现属于形式bt，t？的路径族的事件？，:= {f:[t，t？]→ R s.t.| f（t）- f（t）|≤ 对于所有t∈ [t，t？]}。到目前为止，功与m>0无关，因此我们可以肯定地认为它是由m=t给出的-1K，我们可以自由选择常数K>0。m的选择给出ρBt≥ K- x？- δ - α、对于所有t∈ [t，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，α。还坚持K+x？>2（α+δ），因此我们可以从（2.6）推断出-（[0，αx]）≤αp2π（1- ρ） texpn公司-（K+x？- 2α - 2δ)2(1 - ρ）到·x，每x∈ （0，δ），对于所有t∈ [t，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，α。如果K>0足够大，我们可以反过来确保νt-（[0，αx]）<x，对于原点附近的任何x>0，对于所有t∈ [t，t]。通过最小跳跃约束（2.2），这意味着L在[t，t]上不能有爆破，因此我们得出结论0<P（ρBs）s∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt、t、α≤ P（L没有爆炸），根据需要。

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2022-6-10 06:53:57

这就完成了证明。2.3.2引发爆炸下一个结果确定了定理2.1第（ii）部分最有趣的方向。也就是说，如果（MV）从固定的起点X=X>0开始，则所有α>0的爆炸概率都是严格正的。虽然前者涉及直接初始条件，但以下陈述的措辞更为笼统，以便还包括上文示例2.6和2.7中考虑的初始条件。命题2.10（非平凡爆破）。假设初始条件ν在（x？）上得到支持？，∞), 对于某些x？>0，假设我们有'∞x？（十）- x？）ν（dx）<α。在这种情况下，对于给定的反馈参数α>0，具有公共噪声（ρ>0）的条件McKean–Vlasov问题（MV）满足0<P（L具有爆破）<1。证据第一种说法，即爆炸概率严格小于1，是命题2.9的一个序列，因此我们只需要考虑第二种说法。为了构建一个L有爆炸的事件，我们fix x？>0，然后我们将一个小的εx>0，这样'∞x？（十）- x？）ν（dx）≤α - ε. 在证明命题2.9中，我们写下，δ，m=f：[0，t]→ R s.t.| f（t）- mt |≤ 所有t的δ∈ [0，t],但这次我们要-x？- ε/2t和δ<ε，其中t>0和δ>0有待确定。此外，我们让“L”成为特殊问题的解决方案(R)Xt=（X+3ε/8- x？）+p1级- ρBt- α′Lt′τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t）其中，Xis根据ν分布，我们回忆起来，这在（x？）中得到了支持？，∞) 根据假设。

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2022-6-10 06:54:00

注意，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ At，m，δ，我们有ρBt≥ mt公司- δ> 3ε/8 - x？，对于所有t∈ [0，t）。因此，从引理2.8的无交叉结果可以看出，要么L在[0，t]上有一条曲线，要么L在这个区间上是连续的，然后L≤\'L开[0，t]。在前一种情况下，索赔是即时的，因此对于其余的证据，我们仅限于后一种情况，在这种情况下，我们将哈维尔≤\'L开[0，t]。请注意，我们可以自由调整以上内容。因为L是右连续的，且L=0，所以我们有→ 0作为t↓ 0，这样我们就可以把它缩小到≤ (1 ∧ α-1)δ.关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m，因此≤ (1 ∧ α-1）所有t的δ∈ [0，t]，（2.9）通过上述与“L”的比较。此外，随着“L”的增加，我们总是可以减少>0，因此坚持t≤ δ表示证明的其余部分。在证明的剩余部分，我们修改了[17，Thm1.1]中的矩参数，以表明爆破必须在时间t之后发生，前提是公共布朗运动保持在其在t的值附近。首先，我们可以观察到，如果L在某个时间t>0之前是连续的，并且包括该时间t>0，那么X在那里也是连续的，因此停止Xat其原点的第一次击中时间，即τ，我们得到0≤ Xt公司∧τ=Xt∧τ+p1- ρt、 tB·∧τ+ ρt、 tB·∧τ- αt、 tL公司·∧τ、（2.10）对于t∈ [0，t]，其中我们使用了符号u、 vf：=f（v）- f（u）表示增量。注意到L是有限变化的，并且它正是命中时间τ在B条件下的分布函数，我们得到了显式表达式[t、 tL公司·∧τ| B]=^∞t（Lt∧s- Lt）dLs=（Lt- Lt）+（Lt- Lt）（1- Lt）=（Lt- Lt）（2- 书信电报- Lt），前提是L在[0，t]上是连续的，这里我们也使用了Ls→ 1作为s→ ∞, 与布朗运动相比。

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2022-6-10 06:54:03

关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，mwe肯定有Lt≤ δ乘以（2.9），当然还有L≤ 1，所以在（2.10）中取条件期望并重新排列得到不等式α（Lt- δ)(1 - δ) ≤ E[文本∧τ| B]+ρE[t、 tB·∧τ| B]，（2.11）对于t>t，在上述事件中，前提是L在那里是连续的。现在确定时间t>t，待确定，并考虑事件（ρBt）t∈[0，t]∈At，δ，m∩ Bt，t，δ，其中我们回顾了定义Bt，t，δ={f:[0，t]→ R s.t.| f（t）- f（t）|≤ 所有t的δ∈ [t，t]}。我们将证明，对于Bon theevent（ρBt）t的任何实现，L在[0，t]上都是不连续的∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ，因为这将导致基于（2.11）的矛盾。要估计（2.11）右侧的第一项，请注意X的连续性意味着xt∧τ≤ |Xt |≤ |X+ρBt |+p1- ρ| Bt |+αLt。此外，我们还有αLt≤ 事件δ（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，mby（2.9）和a简单计算得出E[| Bt | B]=p2t/π，因为B独立于B。因此，E[Xt∧τ| B]≤ E[| X+ρBt | B]+2δ，因为我们固定了≤ δ. 接下来，我们可以观察到，在事件（ρBt）t上∈[0，t]∈ 在，δ，m，我们有X+ρBt>0和ρBt≤ -x？+ε/2+δ，所以我们得到[| X+ρBt | B]≤^∞x？（十）- x？）ν（dx）+ε/2+δ≤α - ε/2 + δ.和henceE[Xt∧τ| B]≤α - ε/2 + 3δ.关于（2.11）右边的第二项，我们当然有ρE[t、 tB·∧τ| B]≤ 事件δ（ρBt）t∈[t，t]∈ Bt，t，δ，因此L在[0，t]上的连续性意味着不等式（2.11）变成α（Lt- δ)(1 - δ) ≤α - ε/2+4δ，（2.12）对于t∈ [0，t]，关于事件（ρBt）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ。我们可以自由调整变量δ，这有待利用∈ (0, ε/8). 根据表2.8，我们可以在给定事件的[0，t]上，通过一个特殊问题，从下到下，将L限定在[0，t]上，该问题的质量损失随着时间的推移变为1，因为布朗运动几乎肯定会达到每一个水平。

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2022-6-10 06:54:06

因此，我们当然可以取δ>0足够小，t>t足够大，以便得到（2.12）中的矛盾，只要对于事件（ρBt）t中包含的公共噪声的任何给定实现，Lis在[0，t]上连续∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt，t，δ。换句话说，我们有0<P（（ρB）t∈[0，t]∈ At，δ，m∩ Bt、t、δ）≤ P（L有一个爆炸），根据需要，因此证明是完整的。我们在本节结束时总结定理2.1的证明。首先，我们可以回忆起定理的第（i）部分是前一小节命题2.4的直接结果。接下来，我们可以注意到，对于任何给定的α>0，x>0的每个狄拉克初始条件ν=δx都满足上述命题2.10的条件。实际上，我们可以简单地取x？：=x个- ε、对于一个小ε>0，那么我们有'∞x？（十）- x？）ν（dx）=ε<α，因此定理2.1的第（ii）部分遵循命题2.10.3，从粒子到平均场。接下来，我们将展示（MV）的“松弛”版本的解如何作为具有正反馈的有限维粒子系统的极限点出现。正是这种粒子系统激发了导言中所述的应用，因此，（MV）的“松弛”解确实描述了大种群平均场极限，这是一个突出的点。3.1有限粒子系统在第3节的其余部分，我们将有兴趣描述粒子系统的大人口极限dXi，Nt=b（t，Xi，Nt）dt+σ（t）p1级- ρ（t）dBit+ρ（t）dBt- αdLNtLNt=NNXi=1t≥τi，nw，其中τi，N=inf{t>0：Xi，Nt≤ 0}，（3.1）对于i=1，N、其中B，BN是一个独立布朗运动族，andX，给定初始条件X的i.i.d.拷贝（与布朗运动无关）。

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2022-6-10 06:54:09

这里，由确定性函数（t，x）7给出了差异动力学的漂移、波动性和相关性系数→ b（t，x），t 7→ σ（t）和t 7→ ρ（t），基本公式（MV）分别对应于常数系数sb=0、σ=1和ρ∈ [0，1）。有效地，人们应该认为（3.1）中的粒子在第一次到达（或跳到）原点以下时被吸收，在这一点上，它们对损失过程LN的当前值有贡献。然而，为了避免不必要地混淆符号，我们在所有时间都通过（3.1）中的动力学对粒子进行全局定义≥ 0.在指定LNin（3.1）的含义时必须谨慎。很明显，只有当Xj，Nt-= 0表示之前尚未穿过原点的某些粒子j（换句话说，粒子j之前未被吸收）。但是，如果LNt=1/N表示Xi，Nt-- αLNt公司≤ 0对于更多以前未被吸收的粒子i 6=j，则这些粒子也会在时间t跳到原点或原点以下，进而进一步贡献到LN，依此类推。

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2022-6-10 06:54:12

也就是说，启动级联，通过要求LNtequals最小的k/N，使得粒子向下移动αk/N导致不超过k个之前未被吸收的粒子在时间t到达（或穿过）原点，基于时间t的粒子位置-’.以上可以更简洁地表述为，我们要求LNto是唯一的分段常数cádlág过程，满足LNt=inf千牛≥ 0：νNt-[0，αkN]≤千牛, 对于所有t≥ 0，（3.2）其中，我们引入了子概率测度νNt的有限维流：=NNXi=1t<τi，NδXi，Nt，（3.3）对于每个N≥ 1，具有左极限νNt-:=NNXi=1t≤τi，NδXi，Nt-.当然，条件（3.2）只是（2.2）中物理跳跃条件的离散模拟。从这里开始，在假设3.4下，有限粒子系统（3.1）的存在性和唯一性成为中介，因为可以在Ln（3.2）-（3.3）的恒常区间上构造一个唯一的强解，其中（3.2）-（3.3）规定了它的跳跃时间和跳跃程度。我们注意到，我们已经包括了空间漂移（t，x）7→ b（t，x）具有高达线性增长空间，例如，考虑到Ornstein–Uhlenbeck型动力学，因为这对于推动金融[18]和神经科学[2]应用很有意义。我们对这种漂流的论点立即延伸到漂流，这也取决于李普希兹的经验平均值，但为了表述简单，我们省略了这一点。在下文中，我们将dr设为实值cádlág路径的空间，并将^η表示dr上的正则过程，其中^τ表示其第一次命中时间为零，即^τ=inf{t≥ 0：^ηt≤ 0}. 特别是，我们可以写下Nt=PN（^τ≤ t）和νNt=PN（^η∈·, t<τ），其中pn：=NNXi=1δXi，N·，对于N≥ 1，（3.4）注意到经验测量PN应理解为DR的随机概率测量。

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2022-6-10 06:54:15

在符号方面，我们将始终使用粗体字体（例如，Pandν）进行随机测量，而黑板字体（例如，P及其期望运算符e）则保留用于固定的背景空间。3.2粒子系统的极限点启发式地，我们可以希望，沿着子序列，在适当的拓扑中，空气（PN，B）将在法律上收敛到某个极限（P*, B），其中Bis又是布朗运动，P*= 定律（X | B）是给定B的X的条件定律，对于满足（MV）且Lt=P的cádlág过程X*(^τ ≤ t）。然而，P*, 因此，L也应该自动变成B-可测量的，因为它要求太多的弱点（P*, B）。无论如何，这个属性可以相对于（MV）的原始公式放松，而不改变问题的本质特征。接下来，我们定义了这种放松，并指出这是我们努力恢复（MV）作为有限系统（3.1）的一个较大人口限制的重要部分。定义3.1（宽松解决方案）。将系数函数b（t，x）、σ（t）和ρ（t）与初始条件x一起给出~ ν和反馈参数α>0。然后，我们将（MV）定义为概率空间上的一个族（X，B，B，P）的放松解(Ohm, P、 F）选择如下：dXt=b（t，Xt）dt+σ（t）p1级- ρ（t）dBt+ρ（t）dBt- αdLtLt=P（τ≤ t | B，P）和P=定律（X | B，P），τ=inf{t>0:Xt≤ 0}和（B，P）⊥ B、（rMV），L=0，X~ ν和X⊥ （B，B，P），其中（B，B）是二维布朗运动，X是cádlág过程，P是cádlágpaths DR空间上的随机概率测度。

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