此外，如果我们定义νt：=P（^ηt∈ ·, t<τ）=P（Xt∈ ·, t<τB，P），（3.5）那么我们有最小约束Lt=inf{x≥ 0：νt-（[0，αx]）<x}，（3.6）对于所有t≥ 0，确定L的跳跃大小。如第2节所述，可以理解为ν0-= ν和L0-= 我们施加在（3.1）和（rMV）上的结构条件的完整列表收集在下面的假设3.4中。然而，该定理的证明被推迟，因为它需要形成第3.4节和第3.5节主题的几个辅助结果。现在，我们停下来进一步探讨一下这个定理的内容。请特别注意，定义3.1中的右连续性和L=0的要求对应于在时间t=0时没有跳跃，因此最小约束（3.6）表示初始条件ν应满足inf{x≥ 0：ν（[0，αx]）<x}=0。备注3.3（Schauder固定点法）。虽然本文关注的是粒子系统的收敛性，但我们当然也可以将（MV）框定为一个定点问题。Suchan方法现已在[24]的备注2.5中实施，其基础是一个Schauder固定点论点，该论点推广到Skorokhod博士的M1拓扑。这为（MV）而非（rMV）的解的存在性提供了直接证明。然而，文献[24]中的结果并没有解决跳跃大小的条件，例如最小约束（3.6），它是定理3.2的一个组成部分（另见下面的命题3.5）。最后，我们顺便注意到，M1拓扑也是我们在下面的子节中的参数的关键（如[11]中ρ=0）。我们在本文中不讨论唯一性，但我们在这里重申，正如在引言中一样，在这方面已经有了一些重要的新发展（至少在恒定系数的情况下）。

如果xH定律是密度V∈ L∞(0, ∞), 那么ρ的全局唯一性已经显示出来了∈ [0，1）在小条件下kVk<α-1[20]和ρ=0，在一般条件下，Vdoes不经常改变紧集上的单调性[12]。在这些情况下，粒子系统定律完全收敛，ρ>0的松弛极限解（rMV）简化为形式（MV），如[20，Thm.2.3]所述。对于一般的初始条件，当ρ>0时，唯一性仍然是一个开放的问题，我们注意到定理3.2在缺乏这种唯一性的情况下不会产生混沌的完全传播。假设3.4（结构条件）。假设漂移b（t，x）为线性增长界为b（t，x）|的Lipschitzin空间≤ C（1+| x |）。对于某些κ>1/2，满足非简并条件0，将波动率σ（t）和相关性ρ（t）视为Cκ（0，t）中的确定性函数≤ ρ（t）≤ 1.- 和 ≤ σ（t）≤ -1，对于某些人 ∈ (0, 1). 此外，我们假设'xdν<∞, 那ν（[0，x]）≤1.-α-1x对于所有x>0的情况，对于一些 ∈ （0，1），其中ν是初始条件x的分布，其取（0，∞).注意，在标准的Gr"onwall参数之后，初始定律ν上的矩假设保证了E[supt≤T | X1，Nt |]在N中一致有界≥ 1，对于任何给定的T<∞. 在后面的小节中使用此观察结果时，我们将只参考假设3.4，而不写出详细信息。我们的下一个结果涉及定理3.2的一个基本方面，这实际上已经在第2节中得到了预期，当时我们激发了最小约束（2.2）。事实上，我们可以观察到（2.2）正是定理3.2中得到的极限解所具有的性质（3.6）。

正如我们在第2节中所指出的，这一属性意味着要挑选出可能最小的跳跃大小，同时也坚持系统是cádlág。根据对[17，Prop.1.2]中的论点的调整，下一个结果验证了这一说法，该论点为异向模型建立了相应的结果。像往常一样，我们使用约定ν0-= ν和L0-= 命题3.5（最小跳跃）。考虑定义3.1给出的（rMV）的任何解，其中系数函数b（t，x）、σ（t）和ρ（t）如假设3.4所示。按照定义3.1的要求，为了使解决方案为cádlág，损失过程L必须满足书信电报≥ inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}（3.7），概率为1，对于所有t≥ 0.证明。我们将从矛盾的角度出发，所以假设L是一个cádlág解，对于它，不等式（3.7）在某个时间t被违反≥ 通过遵循[17，第1.2项]和[17，备注2.6]证明中的策略，我们始终可以考虑重新启动的系统，因此在L=0和L=0。因此，假设违反（3.7）的矛盾att=0，我们可以发现x>0，从而ν（[0，x]）≥ α-1x对于所有x<αx.（3.8），我们将表明，这会导致在t=0时违反L的右连续性，通过在LH上实现从下到h的界限↓ 0.与[17，第1.2项]相比，我们必须考虑X动力学中的常见噪声和漂移项。为此，我们引入符号Yt：=^tσ（s）ρ（s）dBs，Yt：=^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。利用假设3.4中漂移b（t，x）上的线性增长界，我们得到≤ X+Ct+C^TXSD+Yt+Yt- αLt，对于所有t≤ τ.

反过来，应用Gr"onwall引理给出≤ eCtX+CeCtt+\'年初至今+\'年初至今- α′Lt≤ eCtX+CeCtt+\'年初至今+\'年初至今- αlt其中我们使用了简写符号“ft：=^teC（t-s） dfs，我们进一步使用了它，根据这一定义，我们有≥ 五十、 因为eCh=1+O（h）等于h↓ 0，我们可以取h的B-

根据这一观点，我们得到以下结果，其证明推迟到第4节。提案3.6（过滤）。定义ν：=（νt）t∈[0，T]作为随机过程，其符号是随机测度νT：Ohm → 定理3.2中的（3.5）给出了M（R），其中M（R）是R上的测度空间，在全变分范数下，其具有Borelσ-代数。然后是过滤（Ft）t∈[0，T]，形成过滤空间(Ohm, F、 Ft，P），其中（X，B，B，ν）适用，（B，B）是二维布朗运动。在定义3.1和定理3.2的公式中，没有必要提及过滤，但前面的命题强调，人们确实可以在不影响布朗动力学的情况下使用ν和L适应的过滤。这一观察结果自然地将我们引向下一小节，在那里我们推导出了适应随机过程ν流量的随机演化方程。3.3随机演化方程根据上述，我们可以将McKean–Vlasov系统（rMV）视为自适应随机过程ν。然而，我们现在希望考虑仅由公共噪声带产生的次过滤FB，νt，即随机过程ν本身，而不是使用命题3.6中的全过滤ft。第4节给出了这方面的明确说明（以及命题3.6的证明），验证了Bis确实是FB中的标准布朗运动，ν，并且该子滤波独立于B。下一个结果表明，ν满足由公共噪声B驱动的广义随机演化方程。当我们使用松弛公式（rMV）时，我们强调，相同的论点表明（MV）导致了非常相同的进化方程。

唯一的区别在于解决方案是否自动适应行驶噪音B，这为（rMV）和（MV）之间的区别提供了另一种观点。除此之外，我们在这里的主要目的是更清楚本论文的McKean–Vlasov形式主义与相关PDE和数学神经科学文献中对Fokker–Planck方程的关注之间的联系，如下文备注3.8所述。命题3.7（随机演化方程）。对于假设3.4下的给定解决方案（rMV），由（3.5）定义ν。然后，在正半线（0，∞), 对于所有t≥ 0和流量t 7→ νtsatis fies非线性随机演化方程dhνt，φi=νt，σ（t）φ+b（t，x）φdt公司+νt，ρ（t）σ（t）φdBt公司- hνt，αφidLct+^Rhνt-, φ(·- αx）- φiJL（dt，dx），Lct=Lt-X0<s≤t型Lsand JL=X0<s<∞δ（s，Ls），Lt=1- νt（[0，∞)) 和Lt=inf{x≥ 0：νt-（[0，αx]）<x}，（3.10）对于测试函数φ∈ D、 其中D：={f∈ Cb（R）：f|(-∞,0]= 0}.在开始证明之前，我们花点时间来解释方程式（3.10）。最重要的是，我们知道L的变化是有限的，所以很明显，所有的术语SIN（3.10）都是有意义的。现在假设在t>0的某个时间发生爆炸。然后（3.10）中的动力学屈服hνt，φi=hνt-, φ(·- αLt）我- hνt-, φi，适用于所有φ∈ D、 根据引理2.2，我们知道νthas是密度Vt，对于所有t≥ 0，因此我们推断，A燃起来可以描述为系统从移位密度Vt（x）=Vt重新启动-（x+αLt），带Lt=inf{x≥ 0：'αxVt-（y） dy<x}。此外，通过按部分进行形式积分，我们可以看到（3.10）给出了注释1.1中给出的发展方程的广义解概念，该方程是针对密度t 7的流动而表述的→ 及物动词。

最后，我们还记得，图1.1显示了两个热图，说明了这些密度是如何随时间演变的，右侧的图显示了如上所述的密度变化所产生的爆炸。备注3.8（整合和完善模型）。在数学神经科学文献中，类似于（3.10）的随机福克-普朗克方程出现在【2，方程（32）】、【3，方程（3.24）】、【21，方程（2.29）】和【27，方程（4）】中，作为电耦合兴奋性神经元网络的“整合和完善”模型。然而，在这些著作中没有讨论跳跃分量，而定理2.1表明，爆破是从狄拉克质量开始的随机演化的不可回避的一部分。此外，它还假设t 7→ l作为一种衍生工具，被称为“环化率”，并与边界上的流量相一致。自t 7起→ LTI在增加，几乎在任何地方都是可以区分的，方程式（3.10）正式给出了FLUX条件lt=σ（0）xV（0），对于所有t>0，符合[21，等式（2.6）]。然而，对于ρ>0，人们不能再期望L在两次爆炸之间是绝对连续的，也不会xV（0）定义良好（由于t 7的粗糙度→ 英国电信）。在这方面，很明显，McKean-Vlasov公式更适合处理爆破，它完全避免了上述规律性问题。命题3.7的证明。设ν由（3.5）定义，对于定理3.2给出的（rMV）的解，考虑命题3.6中过滤空间上的（X，B，B，ν）。Byconstruction，Lt=1- νt（[0，∞)). 由于L是有限变化，跳跃的总和是收敛的，因此连续部分LCI由定义良好的表达式LCT=Lt给出-X0<s≤t型Ls，所有t≥ 此外，这意味着L和L的积分在Lebesgue–Stieltjes意义上得到了很好的定义。

关于跳跃大小的最终条件五十、 这就是最小约束（3.6），定理3.2满足了这一点。为了推导（3.10），我们让FB，νt为带ν生成的相应过滤，详见第4节。ν对该过滤的适应性意味着ν和L可以写成νt=P（Xt∈ ·, t<τ| FB，νt），且Lt=P（τ≤ t | FB，νt），对于t≥ 0，ν=P（X∈ ·). 如第4节FB所述，ν是过滤F的一个子过滤，来自命题3.6，Bremains是一个关于该过滤的布朗运动，至关重要的是，过滤独立于其他布朗运动B。鉴于νt的上述表达式，我们看到它对测试函数φ的作用∈ Dis由hνt给出，φi：=φ（x）νt（dx）=E[φ（Xt）1t<τ| FB，νt]表示t≥ 将It^o的一般半鞅公式应用于X·∧τ、 Wegetφ（Xt∧τ） =φ（X）+^ts<τφ（Xs）σ（s）ds+^ts<τφ（Xs）b（s，Xs）ds+^ts<τφ（Xs）σ（s）p1- ρ（s）dBs+^ts<τφ（Xs）σ（s）ρ（s）dBs- α^ts<τφ（Xs）dLcs+X0<s≤ts≤τφ（Xs-- αLt）- φ（Xs-), （3.11）对于t≥ 0，所有φ∈ D、 我们使用的L是有限变化的。从这里，我们注意到φ（Xt）1t<τ=φ（Xt∧τ） ，对于所有t≥ 0，通过定义D，因此hνt，φi等于（3.11）右侧给定的条件期望FB，νtof。由于过滤FB，ν独立于B，因此在这种取条件期望的操作下，针对B的积分被消除，而lc和B的offb，νt-适应性意味着这种操作与这些过程中的积分进行交换（参见[16，引理8.9]）。

因此，根据前面的两个观察结果和Fubini定理，我们可以从（3.11）中推导出（3.10）。除了公式（3.10）在广义函数意义上较弱外，我们还强调，由Flow t 7给出的解→ νtfor（rMV）也可能很弱，因为过滤FB，νt允许严格大于行驶噪声巴龙产生的过滤FB，νt。有关类似情况，请参见classicalpaper[9]。换言之，（rMV）中的损失过程L是以（B，P）为条件的，而不仅仅是B，这一事实仅相当于随机演化方程（3.10）的相应解ν，不一定适应驱动噪声B。3.4初步估计在本小节中，我们建立了关于LN，νN和标记粒子Xi，Nas N行为的几个重要估计→ ∞. 然后在下一小节中使用这些估计值来确定适当的紧密性和连续性结果。通过这两个小节，实际上对于本文的其余部分，我们将始终在满足假设3.4的前提下工作。由于我们的特殊设置和下面第3.2节中的拓扑选择，紧密性的关键前提是在初始时间t=0附近对损耗过程进行有效控制。为了实现这一点，我们需要对原点附近的初始条件进行一些控制。假设ν（[0，x]）≤1.-α-1x绝不是最优的，但它已经相当普遍（例如，对于ρ=0，[11，23]假设ν远离边界），它允许一个直观的参数来控制质量损失。常数c的点=1-< 1是我们可以利用c<1-c

此外，我们重申了ρ（t）的界远离1的事实，因为我们需要找出公共噪声的贡献，并利用大数定律中独立布朗运动的平均值。提案3.9（损失的初始控制）。考虑损失过程的顺序ln，对于N≥ 1，由Nunder假设3.4下的粒子系统（3.1）的唯一解给出。那么我们就有了thatlim supN→∞PLNδ≥ α-1log（δ-1)δ= 0.对于所有δ∈ （0，δ），对于一些足够小的δ>0。证据为清楚起见，我们将证明分为三个简明步骤。第1步。鉴于 > 0根据假设3.4，我们确定两个常数λ>0和λ>0，使得1-  < λ< λ < 1. 设置ε=ε（δ）：=δlog（δ-1） ，我们得到p（LNδ≥ α-1ε) ≤ PLNδ≥ α-1ε，νN（[0，ε]）≤λα-1ε+ PνN（[0，ε]）≥λα-1ε,对于每个N≥ 1，其中我们定义了初始经验度量νN：=NNXi=1δXi，N。注意，对于所有ε>0足够小的情况，我们必须有limn→∞PνN（[0，ε]）≥λα-1ε= 1{ν([0,ε])≥λα-1ε}=0，根据大数定律和假设3.4。还要注意，νN（[0，ε]）≤λα-1εi且仅当#{i：Xi，N∈ [0, ε]} ≤ Nλα-1ε. 因此，让我表示随机索引seti={I∈ {1，…，N}：Xi，N≥ ε} ，对于ε=ε（δ）>0，我们得到估计值pLNδ≥ α-1ε，νN（[0，ε]）≤λα-1ε≤X | I|≥N（1-λε2α）P（LNδ≥ α-1ε| I=I）P（I=I）。第2步。接下来，我们定义τ：=inf{t≥ 0：LNt≥λα-1ε}和J：=i：infs<τ∧δ（Xi，Ns- Xi，N）≤ -ε.然后我们声称，对于每一个有“我”的人≥ N（1-λα-1ε），我们有p（LNδ≥ α-1ε| I=I）≤ P|我∩ J |≥ Nλ-λα-1ε| I=I. （3.12）假设对于矛盾，LNδ≥ α-1ε，但| I∩ J |<Nλ-λα-1ε. 那么|我∩ J |+| I{|<Nλ-λα-1ε+Nλα-1ε=Nλα-1ε，所以即使所有这些粒子都在间隔[0，τ]内被杀死∧ δ] ，它们对LNτ的总贡献∧δ小于λα-1ε. 特别是，这意味着，在时间τ∧ δ、 剩余粒子的最大可能向下跳跃（由I索引∩J{）是-λε.

但是，请注意，这些剩余粒子都满足Xj，N≥ εandifs<τ∧δ（Xj，Ns- Xj，N）>-ε、 所以我们必须有infs<τ∧δXj，Ns>ε。因此-λε不能导致它们中的任何一个下降到原点以下，因此LNτ∧δ<λα-1ε，soδ<τ，这必然意味着LNδ<α-1ε. 这就产生了想要的矛盾。第3步。注意，对于s<τ，αLNs<λε∧ δ. 因此，利用漂移的线性增长假设，我们推断infs<τ∧δ（Xi，Ns- Xi，N）≤ -ε意味着- δC（1+sups<δ| Xi，Ns |）+infs<δ{Yis+Ys}-λε ≤ -ε、 （3.13）式中：=^sσ（r）ρ（r）dBrand Yis：=^sσ（r）p1- ρ（r）dBir。在此基础上，我们将事件交叉点分析拆分为<δ| Ys |≤ δlog log（δ-1） oandnsups<δ| Xi，Ns |≤ δ-对数对数（δ-1） o及其补充。很容易验证，两个补码都以概率o（1）作为δ出现↓ 0，N均匀≥ 1、在两个事件的交汇处，根据之前的观察结果（3.13），INFS<δYis≤ -ε+λε+δC+2δlog log（δ-1） 就我而言∈ J、 因此，我们可以从步骤1中的最终估计和步骤2中的权利要求（3.12）得出以下结论：p（LNδ≥ α-1ε) ≤ PNNXi=1infs<δYis≤-1.-λε+δC+2δlog log（δ-1)≥λ-λα-1ε+ o（1）为N↑ ∞ 和δ↓ 0，其中δ中的o（1）项在N中是一致的≥ 1、回想一下ε=δlog（δ-1). 由于ρ的界远离1（根据假设3.4），我们可以在每个Yi中执行时间变化，然后再执行大数定律yieldslim supN→∞P（LNδ≥ α-1ε) ≤ 1.Φ-c[1-λlog（δ-1)-δC-2对数对数（δ-1)]≥λ-λα-1log（δ-1)δ+ o（1）asδ↓ 0，对于某些c>0，其中Φ是标准正常cdf。注意，给定点处计算的Φ的阶数为O（exp{-常数。×（对数δ-1） }），指示器最终会变为零，为δ↓ 0，因此证明是完整的。最小约束（2.2）将从以下引理以及命题3.5中恢复。

该证明遵循与[11]的命题5.3基本相同的推理，但我们提供了完整性的全部细节。主要的一点是，与之前的引理不同，没有必要隔离常见噪声和特殊噪声的影响。引理3.10。固定任何t<t。存在一个常数C>0，因此，对于每一个δ>0非常小的值，我们有νNt-（[0，αx+Cδ]）≥ x个x个≤ LNt+δ- LNt公司-- Cδ≥ 1.- Cδ，当N≥ δ-.证据固定δ>0和N≥ δ-, 我们注意到N（LNt+δ- LNt公司-) 等于区间内吸收的粒子数【t，t+δ】。LetYit，s：=^stσ（r）ρ（r）dBr+^stσ（r）p1- ρ（r）dBir，对于i=1，N、 并确定事件Sei，k：=nXi，Nt-- αkN- Cδ（1+sups≤t+δ| Xis |）- sups公司∈[t，t+δ]| Yit，s |≤ 0，t≤ τio，对于给定的k，那么必须是nnxi=1Ei，k的情况≥k=0，1，N（LNt+δ- LNt公司-). （3.14）现在fix任意λ≤ LNt+δ- LNt公司-- 2δ和setk：=N（λ+2δ）≤ N（LNt+δ- LNt公司-).这样，（3.14）适用于kand，我们有λ≥千牛-2δ以及kN≥ λ+ 2δ-N、 介绍其他活动SEI：=Cδ（1+sups≤t+δ| Xi，Ns |）+sups∈[t，t+δ]| Yit，s |≥ δ,对于i=1，N、 因此，在每个事件上，Ei，k∩ （Ei）{，我们有Xit-- αkN≤ δ、 和henceXit-- αλ≤ 退出-- α千牛- 2δ≤ (1 + 2α)δ.因此，νNt-（[0，αλ+（1+2α）δ]）=NNXi=1{Xit-≤αλ+（1+2α）δ，t≤τi}≥NNXi=1Ei，k（Ei）{。定义事件E：{NPNi=1Ei≤ δ} ，我们推断，在E，νNt上-([0, αλ+ (1 + 2α)δ]) ≥NNXi=1Ei，k-NNXi=1Ei≥千牛- δ≥λ+ 2δ-N- δ= λ+ δ-N、 因为我们正在与N合作≥ δ-, 我们有δ-N-1.≥ 0，因此我们最终可以得出以下结论-([0, αλ+ (1 + 2α)δ]) ≥ λ在E上，（3.15），用于任意选择λ≤ LNt+δ- LNt公司-- 2δ. 因此，只需观察到存在一个常数C>0，与δ无关，因此P（E{）≤ Cδ。

要了解这一点，我们可以两次应用马尔可夫不等式、Cauchy–Schwarz不等式和Burkholder–Davis–Gundy不等式（To Yi），以发现P（E{）=PNNXi=1Ei>δ≤ δ-NNXi=1P（Ei）≤ cδEh1个以上sups≤T | X1，Ns|i+cδ-3Ehsups∈[t，t+δ]| Yt，s | i≤ cδ+cδ。回顾（3.15）并取C：=max{2c，1+2α}完成证明。最后，出于连续性的原因，我们需要下面的引理，它可以方便地在标记粒子的层次上进行表述。它抓住了一个简单但重要的事实，即布朗驱动力使每个粒子在撞击后立即下降到任何水平以下。引理3.11。设X1，Nbe由（3.1）给出。对于任何t≤ T和δ>0，我们有limε→0lim支持→∞Pinfs公司≤δ∧（T-t）X1，Nt+s- X1，Nt> -ε= 0.证明。由于ln只能导致粒子跳下，我们可以在动力学中忽略它。同时使用假设3.4漂移的线性增长界，我们可以推断出所讨论的概率由p控制infs公司≤δ∧（T-t）sCλ+Ys+t- 年初至今> -ε+ Psups公司≤T | X1，Ns |>λ, （3.16）对于任何给定的λ>0，其中我们有setYs：=^sσ（r）p1- ρ（r）dBr+^sσ（r）ρ（r）dBr。由于y是时变布朗运动定律，所以（3.16）中的第一项的顺序为o（1），即ε→ 0，N均匀≥ 1，对于任何固定λ>0。此外，发送λ→ ∞, （3.16）中的第二项在N中均匀消失≥ 1，因此结果如下。3.5紧性、连续性和收敛性为了建立有限粒子系统的收敛性，我们遵循了[11]的思想。特别是，我们通过在（T，’T）上添加纯布朗噪声，将粒子从（3.1）扩展到[0，’T]，对于固定的‘T＞T。

这相当于将经验测量值PN替换为▄PN：=NNXi=1δ▄Xi，N·其中▄Xi，Nt：=（Xi，Nt，t∈ [0，T]Xi，NT+位- 钻头，t∈ （T，\'T]。（3.17）为了便于记法，我们将删除\'~’ 简单地写下Xi，nt和PN，理解Xi，nti是由Xi，nt给出的，当我们在全区间[0，T]上工作时。请注意，这种构造自动扩展了命题3.9，使其保持在端点“T”，并且选择布朗噪声（T，\'T）确保了以“T”代替“T”的形式出现的表3.11的有效性（当然，我们实际上只对时间T之前的系统动力学感兴趣）。正如在[11，Sec.4.1]中所述，我们将Skorokhod的M1拓扑赋予DR=DR[0，\'T]，因为它允许我们通过其单调性绕过损失LN中的不规则性。对于这种拓扑的性质，我们将参考[19，28]（在[28]中，它被称为强M1拓扑，并表示为SM）。重要的是，这些属性依赖于dr的成员在最终时间保持连续，这就是粒子系统持续延伸到'T的原因。此外，我们强调（DR，M1）是一个波兰空间[28，Thm.12.8.1]，其Borel-sigma代数由边缘投影生成[28，Thm.11.5.2]。与[11，引理5.4和5.5]中的分析类似，一旦我们在两个端点t=0和t=(R)t得到命题3.9的结果，经验度量的紧密性就很容易成为M1拓扑特性的结果（见第3.12节）。根据普罗霍罗夫定理[1，Thm.5.1]，我们由此获得该对的弱收敛子序列（PN，B），目标是将结果极限点与（rMV）的解联系起来。在试图描述极限点之前（P*, B） ，我们的首要任务是确保LN=PN（t≥ ^τ）收敛于P*（t≥ ^τ）当pn收敛于P时*.

这是通过一个连续性结果（即引理3.13）实现的，该结果类似于[11，引理5.6，Prop.5.8，引理5.9]，并且在观察到它需要依赖引理3.11之后，它的证明遵循类似的论点。最后，我们需要描述P*作为过程X的条件定律，满足所需的条件McKean–Vlasov方程，使得（P*, B） 独立于特殊布朗运动B（作为解的一部分构造）。就这一部分而言，我们依赖于一个鞅论证（引理3.11和命题3.12），它虽然在精神上很接近，但与[11]中的方法不同，并且对于处理常见噪声很有用。与[11]相比，该论点的另一个优点是，它对波动率σ的特定形式不敏感，而[11]中的方法倾向于恒定波动率。除了我们对独立结果的态度外*在引理3.13中，我们所有的引理都推广到有界的非退化Lipschitz连续x 7→ σ（t，x），因此在没有公共噪声的情况下，我们很容易得到[11]中结果的推广，但我们忽略了这方面的细节。相反，我们推进并实施上述计划，首先从M1拓扑中的经验措施的严密性开始。命题3.12（经验度量的严密性）。让twkm1指定由DR上的M1拓扑诱导的P（DR）上弱收敛的拓扑。然后，经验测度（PN）N≥1在假设3.4下，拧紧（P（DR），TwkM1）。证据因为（DR，M1）是波兰空间，所以（P（DR，TwkM1）也是波兰空间。因此，根据classicalresult【25，Ch.I，Prop.2.2】，有必要验证（X1，N）N≥1紧固（DR，M1）。LetHR（x，x，x）：=infλ∈[0,1]| x- (1 - λ） x+λx |。以下[第19节。

4] ，我们可以推导出（X1，N）N的紧度≥1通过展示PHR（X1，Nt，X1，Nt，X1，Nt）≥ δ≤ Cδ-4吨- t |（3.18）适用于所有N≥ 1，δ>0和0≤ t<t<t≤\'T，以及Limδ↓0limN→∞P支持∈(0,δ)X1，Nt- X1，N+ 支持∈（(R)T-δ、 (R)T）X1，不适用- X1，Nt≥ ε= 每ε>0，则为0（3.19）。对于第一种情况，观察HR（X1，Nt，X1，Nt，X1，Nt）≤ |Zt公司- Zt |+| Zt- Zt |+infλ∈[0,1]| LNt- (1 - λ） LNt公司- λLNt |，其中Z由dzt=b（t，X1，Nt）dt+σ（t）p1给出- ρ（t）dBt+σ（t）ρ（t）dBt。由于Ln在增加，右侧的最终项为零，因此（3.18）通过控制Z的增量，很容易遵循马尔可夫不等式。最后，（3.19）根据命题3.9成立，并且如上所述，它也适用于艺术终点。回想一下，每个PN都是（DR，B（DR））上的随机概率度量，并且lnt=PN（t≥ ^τ），其中^τ是标准过程onDR的第一次命中时间为零。也就是说，作为DR上的随机变量，我们有^τ（ζ）=inf{t>0：ζt≤ 0}，对于每ζ∈ DR.下一个引理提供了Ln关于PN极限点的连续性结果。它将在我们进一步的弱收敛分析中发挥核心作用。引理3.13（损失的连续性结果）。假设pn弱收敛于P*on（P（DR），TwkM1）和let Q*:= 法律（P*). 在Q*-a、 e.P（DR）中的u，映射u7→ u（t≥对于所有t，^τ）相对于TwkM1是连续的∈ Tu∩ [0，\'T），其中Tu是T 7的连续点集→ u（t≥ ^τ).证据首先，我们声称，对于任何δ>0，我们有eh^P（DR）^′Tinfs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0dtP公司*（dη）i=Eh^′TP*infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0dti=0。（3.20）要看到这一点，请考虑一组时间t：={t∈ [0，\'T]：EP*（ηt=ηt-)] = 1} ，它在[0，\'T]中是可共数的，因为P的每次实现*是一个概率度量onDR。

每t∈ T、 我们可以推断出P*infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}=0≤ limε→0lim信息→∞EPN编号infs公司≤δ∧（(R)T-t） {ηt+s- ηt}>-ε= limε→0lim信息→∞Pinfs公司≤δ∧（(R)T-t）X1，Nt+s- X1，Nt> -ε. （3.21）注意，如有必要，我们始终可以用较小的值替换δ>0，以便δ+t∈ T、 因此，对于P*（参见[28，第12.4.1条]和[28，第13.4.1条]，如下所示）。根据引理3.11，（3.21）的右边在极限处消失，因此根据（3.21）和托内利定理，这个定理（3.20）确实成立。因此，几乎所有P*在路径ζ的子集上受支持∈ dr，ζ>0满足该条件，几乎每t∈ [0，\'T]，我们有INF≤任何δ的δζt+s<ζt∈ （0，(R)T- t] 。现在考虑概率测度（uN）的收敛序列，其中uN→ u*in（P（DR），TwkM1）为N→ ∞, 其中极限u*在上述路径集上受支持，注意这些概率度量的集合u*∈ P（DR）在Q下有fullmeasure*= 法律（P*).应用斯科罗霍德表示定理（见例[1，Thm.6.7]），存在Cádlág过程zn和Z（定义在相同的背景空间中），因此zn几乎肯定会收敛到Z in（DR，M1）和uN（t≥ ^τ）=E(-∞,0]（infs≤tZNs）和u*（t≥ ^τ）=E(-∞,0]（infs≤坦桑尼亚先令）.根据[28，Thm.12.4.1]，我们得到了ZN→ Z> 0几乎可以肯定，因为N→ ∞, 因此，我们立即从支配收敛推导出uN（0≥ ^τ) → u*(0 ≥ ^τ) = 0.对于t>0，需要进行更多的工作。允许Ohm是ZN→ Zin M1拓扑。然后，根据[28，Thm.13.4.1]，它适用于每个ω∈ Ohm在[0，\'T]中有一组全勒贝格测度的时间Tω，使得≤tZNs（ω）→ infs公司≤tZs（ω）为N→ ∞ 对于每Tω。

此外，根据我们对u的支持假设*, 我们可以假设Ohm每一组相关的时间Tω都是这样的，对于所有ω∈ Ohm, 我们有INF≤δZt+s（ω）<Zt（ω），对于任何δ∈ （0，(R)T- t] ，对于所有t∈ Tω。自infs起≤tZNs（ω）→ infs公司≤t的tZs（ω）∈ Tω和ω∈ Ohm, 它是立即的，foreachω∈ Ohm, 我们有(-∞,0]（infs≤tZNs（ω））→ 1(-∞,0]（infs≤tZs（ω））为N→ ∞,对于所有t∈ Tω，可能除了时间T的集合∈ Tω，其中infs≤tZs（ω）=0。然而，从上面回顾Tω的性质（由于u的支持*), 后一组最多只能是一个单件。实际上，如果Zt（ω）=0在某个时间t∈ Tω，然后是路径s 7→ Zs（ω）将在时间t后立即下降到原点以下。根据最后的观察，我们可以得出结论，对于每个ω∈ Ohm, 我们一定有(-∞,0]（infs≤tZNs（ω））→ 1(-∞,0]（infs≤tZs（ω））为N→ ∞.几乎每t∈ [0，\'T]。因此，支配收敛产生几乎确定的收敛^I(-∞,0]（infs≤tZNs）dt→^I(-∞,0]（infs≤tZs）dt我∈ B（0，T）。反过来，在接受期望并使用Tonelli后，另一个支配收敛的应用给出了^IuN（t≥ ^τ）dt→^Iu*（t≥ ^τ）dt我∈ B（0，(R)T），如N→ ∞. 现在让\'Nt:=uN（t≥ ^τ），并考虑t 7的截断→ `Nt由\'N，εt：=\'N（t∨ε)∧（(R)T-ε)t型∈ [0，\'T]，对于N≥ 1和ε>0。则\'N，εt=uN（t≥ t的^τ）∈ [ε，\'T- ε] 和（`N，ε）N≥1在M1拓扑中自动相对紧凑[28，Thm.12.12.2]，因此我们可以传递到收敛的子序列\'Nk，ε→ `ε. 根据[28，Thm.12.4.1]，`Nk，ε以点方式收敛到`ε，作为Nk→ ∞, 关于t 7连续点的共可数集→ `εt。特别是，主导收敛产生^IuNk（t≥ ^τ）dt=^I ` Nk，εtdt→^I`εtdt我∈ B（ε，’T- ε） ，作为Nk→ ∞ 使用正确的连续性，我们由此推断`εt=u*（t≥ ^τ）到处（ε，’T-ε） ，因此，我们必须有uNk（t≥ ^τ) → u*（t≥ ^τ）作为Nk→ ∞ forevery t公司∈ Tu*∩ （ε，’T- ε).

发送ε→ 0，注意到我们将对任何子序列得出相同的结论，我们最终可以得出以下结论：uN（t≥ ^τ) → u*（t≥ ^τ）asN→ ∞ 对于所有t∈ Tu*∩ [0，\'T）。这就完成了证明。利用命题3.12中Pn的紧密性，我们可以确定一个极限点P*ofPN：=P（DR）×CR上的定律（PN，B）。从现在起，我们将处理这个特定的极限点（记住，这些参数适用于任何极限点），并且，尽管传递到了子序列，我们将只写PN=> P*. 对于具体性，我们定义Ohm*:= P（DR）×CRand引入随机变量P*背景空间上的（u，w）：=u和B（u，w）：=w(Ohm*, P*, B类(Ohm*)). 注意，（P）的联合定律*, B） 是P*带B(Ohm*) = σ（P*, B） 。鉴于此，我们定义*:= P*( · ≥ ^τ）与共可数时间集T：=t型∈ [0，\'T]：P*（L）*t=L*t型-) = 1，E*[P*（ηt=ηt-)] = 1.. （3.22）通过命题3.9和命题3.12的证明，我们从一开始就知道，Ln在DRon[0，\'T]中是紧的。通过引理3.13和连续映射定理[1，Thm.2.7]，我们可以推断其极限的有限维分布（沿固定子序列）与L*, 因此我们确定L*作为限制。当然，我们实际上对[0，T]上的动力学感兴趣，所以我们注意到，对于任何T∈ [0，T]∩T、 既然限制是连续的，只要是P*-几乎可以肯定是L的连续点*.现在我们继续推导极限定律P的一些进一步性质*, 这将最终使我们能够构建一个概率空间，支持（rMV）的解决方案。首先，我们定义了地图M:P（DR）×DR→ DRbyM（u，η）：=η- η-^·b（s，ηs）ds- αu( · ≥ ^τ). （3.23）确定任意选择的时间s，t∈ T∩[0，T）s<tand s。

，sk∈ [0，s]∩T、 对于（3.22）中定义的T，设F:DR→ R由f（ζ）给出：=（ζt- ζs）kYi=1fi（ζsi）（3.24），对于任意f，fk公司∈ Cb（R）。基于此，我们定义了泛函Ψ(u) :=u，F（M（u，·））,Υ(u) :=u，FM（u，·）-'·σ（s）ds, 和Θ（u，w）：=u，FM（u，·）×w-'·σ（s）ρ（s）ds.作为引理3.13的应用，我们得到以下连续性结果。引理3.14（功能连续性）。对于P*-几乎每个u，我们都有ψ（un）、Υ（un）和Θ（un，wn）在任何时候（un，wn）收敛到ψ（u）、Υ（u）和Θ（u，w）→ （u，w）in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) 沿着hun，| Mt（un，·）| pi在n中均匀结合的序列≥ 1，对于某些p>2，在任何t≥ 0.证明。根据T的定义，它适用于P*-几乎每u，即u（t≥ ^τ）=u（t- ≥ ^τ）和u（ηt=ηt-) = 所有t均为1∈ T、 借助引理3.13，我们可以在P下以概率1限制到u的aset*使un（t≥ ^τ）收敛到u（t≥ ^τ）fort=tand t=s，sk公司。固定这些u中的任何一个，并假设（un，wn）→ （u，w）in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) un满足上述可积性假设。Westart表示ψ（un）→ Ψ(u). 调用斯科罗霍德的表示定理[1，Thm.6.7]，我们可以写出ψ（un）=E[F（M（un，Zn））]和ψ（u）=E[F（M（u，Z）），其中Zn→ Z几乎肯定在（DR，M1）中，定律（Zn）=un，定律（Z）=u，和p（Zt=Zt-) 对于t=t，s，sk公司。根据M1收敛的标准性质[28，Thm.12.4.1]，我们在Z的连续点，特别是Zns的连续点上有逐点收敛→ zs几乎每s∈ [0，T]。由于zn是一个收敛且hencebounded的序列，我们从b（s，·）的连续性及其线性增长边界推断，几乎可以肯定，Znt- 锌-^tb（s，Zns）ds→ Zt公司- Z-^tb（s，Zs）ds，对于t=t，s，sk，（3.25）以优势收敛为主。反过来，我们得出结论，在R中，F（M（un，Zn））几乎肯定收敛于F（M（u，Z））。

还有待观察的是，F（M（un，Zn））是可统一积分的，因为| F（M（un，Zn）|≤ |Mt（un，Zn）+Ms（un，Zn）|，E[| Mt（un，Zn）| p]等于hun，| Mt（un，·）| pi，根据假设，对于某些p>1，其一致有界。因此，ψ（un）到ψ（un）的收敛遵循Vitali的收敛定理。该证明类似于Υ和Θ，使用p>2的有界性假设。定义新的背景空间“Ohm := Ohm*×DR=P（DR）×CR×DR与其Borel-sigma代数B（“”Ohm) 概率测度P由P（A）给出：=^P（DR）×CRu（{η：（u，w，η）∈ A} ）dP*（u，w），A.∈ B（“”Ohm). （3.26）为了表述的简单性，我们不应显著区分上定义的随机变量Ohm*及其对‘’的规范扩展Ohm.提案3.15。设M由（3.23）给出。那么M·，M·-'·∑（s）ds和M·×B·-\'·σ（s）ρ（s）ds都是（\'）上的连续鞅Ohm,“”P，B（“”Ohm)) 根据假设3.4。证据回想一下，PN=> P*, 其中PN是（PN，B）定律。利用Skorokhod的表示定理，我们可以找到一个几乎肯定收敛的序列（QN，BN）→（Q）*, B*) in（P（DR），TwkM1）×（CR，k·k∞) Pn=定律（QN，BN）和P*= 法律（Q*, B*).注意，我们只得到了hpn，| Mt（PN，·）| pi=NNXi=1^tσ（s）ρ（s）dBs+^tσ（s）p1- ρ（s）dBisp、 对于任何给定的功率p>0。这以概率1收敛到给定B的函数G，其中G（·）根据其参数有界，例如通过Birkhoff–Khinchinergodic定理。由于（PN，B）和（QN，BN）的定律一致，对于每个N≥ 1，我们得出hQN，| Mt（QN，·）| pi- G（BN）在概率上收敛到零，并且使用该BN→ B*几乎可以肯定的是，当G（BN）以BN为界时，我们可以找到hQN，| Mt（QN，·）| pi以N为界的子序列≥ 概率为1（界为随机）。

在传递到此子序列之后，（QN，BN）以概率1满足引理3.14的假设，因此引理3.14中的函数连续性给出了ψ（PN）在法律上收敛于ψ（P*) 沿子序列（仍按N索引）。类似的参数适用于Υ（PN）和Θ（PN，B）。接下来，我们可以观察到≥ 1，Eψ（PN）= 流行性出血热^·σ（s）ρ（s）dBs+^·σ（s）p1- ρ（s）dBsi=0。此外，E[|ψ（PN）| p]在N中明显一致有界≥ 对于任何给定的p＞1，我们都有一致可积性。由于ψ（PN）弱收敛于ψ（P*), 正如我们所论证的那样，一致可积性给出了均值[1，Thm.3.5]的收敛性，因此它通过构造“P”来表示“E[F（M）]=E*[ψ（P*)] = 画→∞Eψ（PN）= 通过F的定义，我们可以推断M确实是P下的鞅。对于t 7的路径连续性→ Mt，请注意“E[| Mt- Ms |]≤ lim支持→∞E【hPN，| Mt- Ms | i]=Eh^tsσ（r）dWri=O（| t- s |），其中W是标准布朗运动，最后一个等式来自伯克霍尔德-戴维斯-甘迪。根据Kolmogorov的连续性准则[13，Chp.3，Thm.8.8]，我们得出M具有连续版本的结论。对于其他两个过程，证明类似，使用Υ（PN）到Υ（P）的收敛定律（沿子序列）*) Θ（PN，B）至Θ（P*, B） ，分别为。基于前面的命题，我们现在可以完成定理3.2的证明。定理3.2的证明。修复概率空间（“”Ohm,“”P，B（“”Ohm)) 如（3.26）所述，这包括确定一个极限点（P*, B） of（PN，B）。现在确定“上的acádlág流程X”Ohm X（u，w，η）：=η。然后通过构造“P”来保持十、∈ A、 （P*, （B）∈ S=^Su（A）dP*（u，w），其中我们回顾了P*是（P）的联合定律*, B） 。因此，我们有'P（X∈ A | P*, B） =P*（A） ，则，A.∈ B（DR），根据需要。

接下来，命题3.15给出了mt=Xt- 十、-^tb（s，Xs）ds- αP*(^τ ≤ t） 是一个连续鞅，具有hM，Mit=^tσ（s）ds和hM，Bit=^tσ（s）ρ（s）ds。根据Lévy的特征化定理，我们推导出存在一个布朗运动B，它与带无关，带的t=^tσ（s）ρ（s）dBs+^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。根据大数定律和投影η7的连续性→ η、 我们很容易验证Xis是根据P下的ν分布的。然而，我们需要下面的引理3.16来确保（B，B，P）⊥ B和X⊥ （B，B，P）。通过这个引理，我们得出（X，P*, B、 B）是（rMV）的解决方案。最后，通过传递到一个极限N→ ∞ 在引理3.10中，然后发送δ↓ 0，我们获得（(R)P-a.s.）^Lt≤ inf{x>0：ν*t型-（[0，αx]）<x}。（3.27）由于通过构造，^L是c^dlág，命题3.5确保我们在（3.27）中具有等式，因此存在性证明是完整的。仍需验证极限点P*在大种群极限下，pn的真值与特殊布朗运动无关。引理3.16。在定理3.2的证明中，X，B和（B，P）相互独立*) 在“P.Proof”下。根据假设3.4，t 7→ σ（t）ρ（t）在Cκ（0，t）中，对于某些κ>1/2。因此，MAPW 7→^·σ（s）ρ（s）dwsmakes是任意布朗路径w的一个年轻积分[14，Thm.6.8]，它与对应的针对Bunder P的it^o积分非常一致*. 此外，如果序列（wn）在∩κ<1/2Cκ（0，T）一致收敛于w∈ ∩κ<1/2Cκ（0，T），则路径积分也会收敛[14，Prop。

6.11-6.12].给定任意有界连续函数g∈ Cb（R），let▄F（ζ，η）：=F（ζ）g（η），对于所有（ζ，η）∈ CR×DR，其中F的定义如（3.24）所示。利用上述对杨积分的观察，类比引理3.14，我们得到∧（un，wn）→ ∧（u，w），其中∧（u，w）：=Du，~FM（u，·）-^·σ（s）ρ（s）dws）·E、 无论何时（un，wn）→ （u，w），对于P*-几乎每一个（u，w），提供unsatis fis fis fis fis fis the integrability succession of Lemma 3.14，并提供wnis a sequence of Brownian path。通过与命题3.15证明中相同的推理，Skorokhod表示论证给出了沿着此类序列只有∧的连续性，以便我们得出∧（PN，B）在法律上收敛于∧（P*, B） 。接下来，我们定义流程t：=Mt-^tσ（s）ρ（s）dBs=^tσ（s）p1- ρ（s）dBs。根据定义，我们有Ohm*P*（ω） ，▄FY（ω，·）·数据处理*（ω） =E*[λ（P*, B） 】。立即∧（PN，B）是一致可积的，因此∧（PN，B）定律收敛到∧（P*, B） 如上所述，产生平均值的收敛。Hencewe get^Ohm*P*（ω） ，FY（ω，·）·数据处理*（ω） =limN→∞E∧（PN，B）= 0，（3.28），其中我们使用了thatE[λ（PN，B）]≤CNNXi=1E^tsσ（s）p1- ρ（s）dBis→ 0，作为N→ 0，根据Bi的性质和∧的定义。事实上，由于theBi是独立的布朗运动，并且它们独立于初始条件，因此▄F的定义和塔式定律F^·σ（s）p1- ρ（s）dBis，XiF^·σ（s）p1- ρ（s）dBjs，Xj= 0，对于所有i 6=j，当写出E[λ（PN，B）]的表达式时，它会消除交叉项。从（3.28）和F的定义中，我们可以得出结论，对于P*-a、 e.ω∈ Ohm*, 工艺η7→ Y（ω，η）是P下的鞅*（ω） 以随机变量η7为条件→ η.类似的参数，这一次为Γ（u，w）：=Du，~FM（u，·）-^·σ（s）ρ（s）dws-^·σ（s）（1- ρ（s））ds·E、 表明η7的二次变化→ Y（ω，η）是'·σ（s）（1-ρ（s））ds conditionallyonη7→ η.

因此，在定理3.2的证明中，Levy的特征化理论允许我们推断，对于P*-a、 e.ω∈ Ohm*, 工艺η7→ Y（ω，η）是P下的时变布朗运动*（ω） 以η7为条件→ η. 此外，根据强大数定律，我们很容易看到η7→ η根据P下的ν分布*（ω） ，Xunder'P也是。特别是，我们可以由此推断出'P十、∈ 一、 Y型∈ A、 （P*, （B）∈ S=^S（P*（ω） ）（{η：Y（ω，η）∈ A、 η∈ 一} ）dP*（ω） =^S？P（Y∈ A） (R)P（X∈ 一） dP*（ω） =(R)P（X∈ 一） “”P（Y∈ A） \'\'P（P*, （B）∈ S.最后，我们可以观察到B=（Bt）t∈[0，T]表示'·（σ（s）p1的黎曼和的概率一致极限（在'P下- ρ（s））-1天。根据上述结果，我们得到X，（P*, B） ，并且这些有限和中的任何一个在“P”下都是相互独立的，因此在极限中B也是如此。这就完成了证明。4过滤和数字备注本节主要涉及第3节开头讨论的过滤构造。首先，我们证明关于整体过滤的命题3.6，然后推导并验证上文第3.3节所述的子过滤FB，νtus的性质。接下来，我们将在第4.2节中简要介绍用于生成引言中图1.1所示模拟的数值格式。4.1过滤及其性质的构造在上述定理3.2的证明中，我们继续使用背景空间（“”Ohm, F、 P）从（3.26）开始，以及从（3.22）开始的共可数时间T集合，对于固定极限点（P*, B） 。与此极限点相关，我们有吸收边缘流7→ ν*t： =P*（^ηt∈·, t<^τ），其中，与前面的小节一样，^η表示DRand上的正则过程，且^τ是其第一次命中时间为零。回想一下‘Ohm = P（DR）×CR×DR及其乘积Borelσ-代数F。

回忆一下Xt（u，w，ζ）=ζ和Bt（u，w，ζ）=wt，并注意ν*t（u，w，ζ）=u（^ηt∈·, t<τ）。最后，我们可以观察到，由于这些过程令人满意（rMV），Bt将适应任何使Xt、Bt和hν*t、 1我已调整。让我们首先为带ν构建所需的过滤*= (ν*t） t型≥如命题3.6所述，我们希望每个边际ν*t可测量为anM（R）值随机变量，其中M（R）的Borel-sigma代数来自于均匀拓扑中有界连续函数Cb（R）的对偶（闭子空间）。因此，我们将使用在时间t由预测B7生成的过滤→ Bsandν*7.→ hν*s、 φi适用于所有s≤ t和所有φ∈ Cb（R）。也就是说，我们定义fb，ν*t： =σ（u，w）7→hu，φ（ηs）1s<τi，ws: φ ∈ Cb（R），s≤ t型现在的关键是要确保酿造过程中的布朗运动。下一个引理将允许我们推导。命题4.1（吸收边际流的收敛）。假设3.4下，（3.3）给出νNbe。对于任何有界连续函数族φ，φk∈Cb（R）我们有hνNt，φi，hνNtk，φki=>hν*t、 φi，hν*tk，φki,作为N→ ∞, 对于任意一组时间t，tk公司∈ T、 证明。修复任意t∈ T和任意φ∈ C（R）。然后我们可以观察到hνNt，φi=hνNt，φi，其中φ（x）：=（φ（x）x≥ 0φ（0）x<0，同样适用于ν*t、 注意φ（^ηt∧^τ）=φ（^ηt）1t<^τ+φ（^ητ）1t≥φ（ηητ）=φ（0），因此我们有分解hνNt，φi=hPN，φ（ηt∧^τ）i- φ（0）PN（t≥ ^τ），同样，对于极限ν也是如此*t、 因此，如果我们可以证明，在给定任何∈ T、 对于P*-几乎每u，hun，φ（^ηt∧^τ）i→ hu，φ（^ηt∧^τ）i和un（t≥ ^τ) → u（t≥ ^τ）（4.1）每当un→ uin（P（DR），TwkM1）。

自t起∈ T、 我们有u（T≥ ^τ）=u（t- ≥ ^τ）forP*-几乎每个u，因此引理3.13对（4.1）的第二部分的说法是正确的。注意到t∈ T还表示u（^ηT=^ηT-) 对于P*-几乎每个u，Skorokhod的表示定理都允许我们将（4.1）的第一部分重写为E[φ（Znt∧τn）]→E[φ（Zt∧τ） ]无论何时Zn→ Z a.s.in（DR，M1）和P（Zt=Zt-) = 1、由于t几乎肯定是Z的连续点，因此存在一个事件Ohmtof概率1，其中Znt→ Ztand infs≤坦桑尼亚先令→ infs公司≤tZs，依据【28，第12.4.1和13.4.1条】。关于这件事Ohmt型∩ {infs≤tZs>0}，我们最终得到φ（Znt∧τn）=φ（Znt），收敛到φ（Zt）=φ（Zt∧τ). 同样，在事件上Ohmt型∩ {infs≤tZs<0}，我们实际上有φ（Znt∧τn）=φ（0），与φ（Zt）一致∧τ) = φ(0). 对于剩余事件Ohmt型∩ {infs≤tZs=0}，在定理3.13的证明中，得出如下结论：直到anull集，Zt=0，因此φ（Zt∧τ） =φ（Zt）=φ（0）。原则上，φ（Znt∧τn）mayoscillate介于φ（0）和φ（Znt）之间，但后者收敛到φ（Zt）=φ（0）。综合以上，我们得到φ（Znt∧τn）→ φ（Zt∧τ） 几乎可以肯定，所以E[φ（Zt∧τ） ]表示E的极限[φ（Znt∧τn）]，由支配收敛。设G为任意有界连续函数G:CR→ R、 修复任何，田纳西州∈ T∩ [0，t]和f，fn公司∈ Cb（R），前面的命题给出了“EhG（Bt+·- Bt）nYi=1fi（hν*ti，φii）i=limN→∞EhG（英国电信+·- Bt）nYi=1fi（hνNti，φii）i=(R)EhG（Bt+·- Bt）i’EhnYi=1fi（hν*ti，φii）i.（4.2）这里的第二个等式来自（νNs）s≤独立于（Bs+t- Bt）s≥0，因为有限粒子系统具有唯一的强解，其中（B，…，BN）独立于B。

我们从（4.2）中推断，未来的增量与FB，ν无关*在这个过滤过程中，布雷梅斯是一个布朗运动。此外，过滤与B无关，因为两个带ν*独立于B，如引理3.16所保证。最后，我们需要一个更大的过滤Ft，其完整的解决方案（X，B，B，ν*) 我适应了。这是通过还包括投影X 7的预图像来实现的→ 因此，我们定义：=σ（u，w，ζ）7→hu，φ（ηs）1s<τi，ws，ζs: φ ∈ C（R），s≤ t型.根据我们对解（X，B，B，ν）的构造*) 打开（“”Ohm,P，F），我们注意到我们可以用ζs，ws来写Bt（u，w，ζ），用φ来写hu，φ（ηs）1s<τi≡ 1，用于s≤ t、 所以B是可测量的。类比（4.2），在任何时间t≥ 0，带隙的未来增量与Ft无关。因此，它们都是关于过滤的布朗运动。这就完成了命题3.6.4.2数值模式概述的证明。图1.1所示的密度近似值是根据以下基于求积的算法生成的。从初始概率密度函数V和fix开始，步长δt和δx用于在时空网格上创建网格【0，t】×【0，u】。这里，值u是一个选择足够大的上限，因此在空间分量中截断级别u以上的解是可以接受的近似于正半直线上的过程。在时间δt网格空间切片上的每个点上，通过根据热方程（由公共噪声增量Bδt给出漂移项）演化解来近似该点的密度- B（也就是说，在空间网格的这个切片上的所有点上，数值计算对应于此变换的积分）。

该过程给出了候选密度Uδt。现在估计候选密度lossL（0）δt=1-^∞然后迭代过程L（n+1）δt=L（0）δt+αL（n）δtUδt（x）dx，直到达到某种停止规则。这里使用的规则是当L（n+1）δt时停止迭代- L（n）δt首次<ε，对于某些阈值ε>0。序列n 7中的最终值→ L（n）δ是我们对第一时间步损失的近似值，^Lδt。然后，我们将解转换为边界方向的α^Lδtin（通过将UδTon重新插值到移位网格），以在第一个时间步后给出真实密度Vδt的近似值。然后按顺序在所有时间步重复此过程。我们推测，当网格大小消失时，该算法在极限范围内给出了正确的近似值。事实上，尝试一个严格的证明是很有意思的，通过假设可以执行求积和插值步骤以达到有限的精度来修改问题（即证明通过热方程和传染近似进行近似的重复离散步骤可以产生正确的限制行为）。值得强调的是，传染损失的顺序近似值与[17，方程式（2.1）]中的构造完全对应。最后，我们注意到，上述过程中的操作数按时间步长×质点×（Nspace步长+Ncontagion步长）进行缩放。所提出的数值格式的精确性质有待于进一步研究。确认。该项目是在A.Sojmark在牛津大学期间发起的，得到了EPSRC奖EP/L015811/1的支持。我们感谢Ben Hambly当时的初步讨论和建议。

此外，我们感谢两位匿名评委和副主编鼓励我们对第2和第3部分的某些结果进行扩展，并感谢他们对改进整体演示的建议。参考文献[1]P.Billingsley。概率测度的收敛性。概率与统计学中的威利级数：概率与统计学。约翰·威利父子公司，纽约，第二版，1999年。威利的跨学科出版物。[2] 布鲁内尔。兴奋性和抑制性棘突神经元稀疏连接网络的动力学。计算神经科学杂志8（3）：183–208，2000年。[3] 布鲁内尔和哈基姆。低放电率神经元网络中的快速全局振荡。神经计算11（7）：1621–16711999【4】R.Carmona和F.Delarue。平均场对策的概率理论及其应用2。具有共同噪声和主方程的平均场对策。概率论与随机建模84，Springer，2018年。[5] R.Carmona、F.Delarue和D.Lacker。具有常见噪声的平均场对策。《概率年鉴》44（6）：3740–380320016。[6] M.J.Cáceres、J.A.Carrillo和B.Perthame。非线性噪声积分神经元模型分析：爆破和稳态。《数学神经科学杂志》1（7），2011年。[7] J.A.Carrillo、M.D.M.González、M.P.Gualdani和M.E.Schonbek。计算神经科学中非线性福克-普朗克方程的经典解。Comm.偏微分方程38:385–4092013。[8] J.A.Carrillo、B.Perthame、D.Salort和D.Smets。计算神经科学中带噪积分和fire模型解的定性性质。非线性28:3365–33882015。[9] D.Dawson和J.Vaillancourt。随机McKean–Vlasov方程。NoDEA 2:199–2291995【10】F.Delarue、J.Inglis、S.Rubenthaler和E.Tanré。