多尺度路径依赖导数的一阶渐近性

2022-6-2 19:00:21

金融衍生品支付的一般路径依赖结构。Bruno Dupire在开创性论文Dupire【2009】中介绍的函数It^o演算是一种专门设计的理论，用于处理It^o\'sstocastic过程设置中的路径依赖，因此它将是我们论文中选择的工具。本文的主要结论是，路径相关情况下的一阶近似是经典路径无关情况下近似的直接推广。事实上，我们得出的结论是，市场组参数对于路径独立和路径依赖支付的近似值是相同的。这一事实在之前的各种路径依赖期权中得到了验证，但在本文中，我们能够证明，在温和的平滑性假设下，这一结果直接适用于任何路径依赖结构。此外，我们还表明，当路径依赖性不是很强时，在经典情况下建立的一阶近似的闭式解也是成立的。此外，我们考虑了亚式期权和二次变量期权来举例说明结果。在第2节中，我们将在Fouque等人的经典背景下提供一阶扰动分析的主要结果。然后，在第3节中，在函数It^o框架下，我们将一阶修正扩展到金融衍生品的支付效应具有路径依赖结构的情况。2多尺度随机波动率模型平均值回归是指当存在该平均值时，随机过程返回其长期平均值。我们主要感兴趣的是过程均值回复的速度。典型的均值回复过程是Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：dyt=κ（m-yt）dt+ν√2κdwt，（2.1）其中κ>0是平均逆转率，m是长期平均值，ν>0是波动率，而（wt）t≥0是布朗运动。

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2022-6-2 19:00:24

theOU过程的平均反转方面在于其漂移。每当yt>m时，漂移为负值，它将yt向下推至长期平均值m。yt<m时的情况类似。我们还可以看到，κ越大，均值回复越强。典型示例路径如图1所示。在金融领域，均值回归产生于商品、利率、波动性、货币汇率等的建模。更正式地说，均值回归的概念由数学上定义良好的遍历性概念表示，见【Fouque等人，2011年，第3.2节】。在我们的例子中，我们将考虑两个过程，yε和zδ，它们分别呈现快速和慢速平均反转。它们的动力学可以写成下面的dyεt=εα（yεt）-√εβ（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√εβ（yεt）dw（1）t，（2.2）dzδt=δc（yεt）-√δg（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√δg（zδt）dw（2）t，（2.3）dw（1）tdw（2）t=ρdt。（2.4）其中α、β、c和g满足某些要求，以保证这些过程的均值回归。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.-0.500.511.522.53Timextκ=1κ=10κ=100图1：不同平均逆转率参数的OU过程实现：x=0，m=1，ν=0.5。如果T是该市场中期权合同的典型到期日，则ε和δ都应被视为小参数，即ε T 1/δ.这两个均值回复过程将模拟我们正在建模的股票价格波动的时间尺度。

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大多数88

2022-6-2 19:00:28

更准确地说，我们在此假设，在风险中性度量Q下，股价st如下dst=rstdt+f（yεt，zδt）stdw（0）t，dyεt=εα（yεt）-√εβ（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√εβ（yεt）dw（1）t，dzδt=δc（yεt）-√δg（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√δg（zδt）dw（2）t，（2.5），其中（w（0）t，w（1）t，w（2）t）是相关的Q-布朗运动，dw（0）tdw（i）t=ρidt，i=1，2，dw（1）tdw（2）t=ρdt。函数Γ和Γ一起完全确定了波动性风险的市场价格，并唯一确定了风险中性度量Q。相关性和函数Γ和Γ需要通常的假设，请参见定理2.2.2.1一阶近似。本节将提供√ε和√当波动率由不等式（2.5）描述的动力学控制时，期权价格的δ。考虑一种到期日为T的欧洲金融衍生品，其收益仅取决于股票的终值sT，因此被称为路径独立型。Q下该导数的无套利价格由pε，δ（t，x，y，z）=等式[e]给出-r（T-t） ^1（sT）| sT=x，yεt=y，zδt=z]。我们使用的事实是（s，yε，zδ）是一个马尔可夫过程。在第3节中，我们将在路径相关框架中进行形式化的正则和奇异摄动分析。这里，为了便于比较，我们将列出路径无关的近似公式。事实上，我们将在上述章节中找到的公式与这种情况下的一阶近似具有相同的本质。对于路径独立案例的完整分析，读者参考Fouque等人【2011年】。在那里，读者还将能够检查这种方法在数学金融中对不同主题的展开。在继续之前，我们将精确表示近似结果：定义2.1。

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2022-6-2 19:00:31

我们说，函数gε，δ是√ε和√δ到函数fε，δif | gε，δ- fε，δ|≤ C（ε+δ），逐点，对于某些常数C>0，对于非常小的ε，δ>0。我们使用符号ε，δ- fε，δ=O（ε+δ）。（2.6）我们通过形式化扩展Pε开始一阶近似的描述，δ是√ε和√δ： Pε，δ=P+√εP1,0+√δP0,1+。（2.7）根据Fouque et al.（2011）中提出的论点，可以证明P，Pε1,0：=√εP1,0和Pδ0,1：=√δP0,1应满足以下PDELBS（(R)σ（z））P（t，x，z）=0，P（t，x，z）=Д（x），（2.8）LBS（(R)σ（z））Pε1,0（t，x，z）=-AεP（t，x，z），Pε1,0（t，x，z）=0，（2.9）LBS（(R)σ（z））Pδ0,1（t，x，z）=-2AδP（t，x，z），Pδ0,1（t，x，z）=0，（2.10），其中lbs（σ）=t+σD+r（D- ·),（2.11）(R)σ（z）=hf（·，z）i，（2.12）Aε=Vε（z）DD+Vε（z）D，（2.13）Vε（z）=-ρ√εβf（·，z）φy（·，z）,（2.14）Vε（z）=√εβΓ（·，z）φy（·，z）,（2.15）Aδ=-Vδ（z）σ- Vδ（z）Dσ、（2.16）Vδ（z）=-g（z）√δhΓ（·，z）i'σ（z），（2.17）Vδ（z）=ρg（z）√δhf（·，z）i′σ（z），（2.18）Dk=xkkxk。（2.19）上述函数φ定义为泊松方程的解：Lφ（y，z）=f（y，z）- |σ（z），（2.20），其中z只是一个参数，其中Lis是物理测量P下过程yun的微型生成器，见等式（3.9）。值得注意的是，一阶近似值的选择与过程yε的初始值y无关。这是该近似的一个重要特征，因为过程yε是不可观测的，因此很难对y进行估计。

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何人来此

2022-6-2 19:00:34

此外，对于z（zδ的初始值）的依赖性仅通过参数（(R)σ（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vε（z）、Vε（z））。因此，也没有必要估计z的特定值。可以进一步显示以下显式公式：validP（t，x，z）=PBS（t，x；(R)σ（z）），（2.21）Pε1,0（t，x，z）=（t- t） AεPBS（t，x；(R)σ（z）），（2.22）Pδ0,1（t，x，z）=（t- t） AδPBS（t，x；(R)σ（z）），（2.23），其中PBS（t，x；σ）是在具有恒定波动率σ的Black-Scholes模型下，具有到期和支付函数的欧式期权在（t，x）的价格。因此，近似值的主要术语是期权的Black-Scholes价格，有效波动率为σ（z），一阶修正仅涉及该价格。这些表示的证明在很大程度上依赖于未贴现Black-Scholes PDE算子、LBS（σ）+r·、算子Aε和Aδ的交换。在考虑路径依赖性支付时，这一观察结果将非常重要。可以在以下假设下证明此近似的准确性。为了证明，我们将读者转发给Fouque等人【2016年】。定理2.2。我们假设1。任意固定（ε，δ）的SDE（2.5）的存在性和唯一性；函数f（y，z）是可测的，有界的，远离零有界的，在z上是光滑的，因此泊松方程（2.20）的解φ是大气多项式增长的；3、过程yhas为唯一不变分布，如【Fouque等人，2011年，第3.2节】所定义，为均值回复，且在t>0中具有任意阶均匀矩；4、过程zhas在t中均匀地为任意阶矩≤ T，对于任何固定的T>0；5、波动风险Γ和Γ的市场价格有界；6.

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2022-6-2 19:00:37

Payoff函数是可测量的，局部有界的，最多在0和∞.那么，Pε，δ（t，x，y，z）=P（t，x，z）+Pε1,0（t，x，z）+Pδ0,1（t，x，z）+O（ε+δ）。微扰法的一个重要特征是，为了计算一阶近似值，我们只需要组市场参数的值（(R)σ（z），Vδ（z），Vδ（z），Vε（z），Vε（z））。这一特征也可以被视为该近似的模型独立性和鲁棒性：在定理2.2所述的正则条件下，该近似独立于描述过程yε和zδ的系数的特定形式，即模型中涉及的函数α、β、c和g（2.5）。集团市场参数可解释如下o“σ（z）是有效波动率；”Vδ（z）衡量波动性风险部分市场价格的一阶影响；oVδ（z）与慢因子与股价的相关性具有相同的符号；oVε（z）衡量波动性风险部分市场价格的一阶影响；oVε（z）与快速因子与股价的相关性具有相同的符号。备注2.3（参数缩减）。Vε（z）可并入有效波动率。

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kedemingshi

2022-6-2 19:00:40

更准确地说，我们可以考虑修正后的波动率水平σ？（z）定义为σ？（z） =q'σ（z）+2Vε（z）。（2.24）使用这个新的波动率水平，可以表明Pε，δ（t，x，z）=P？BS（t，x，z）（2.25）+（t- t）Vδ（z）P学士学位σ+Vδ（z）DP学士学位σ+Vε（z）DDP？学士学位,将Pε、δ近似为一阶，其中P？BS（t，x，z）=PBS（t，x；σ？（z））。2.2隐含波动率的校准就隐含波动率而言，这种扰动分析转化为对数货币到期率（LMMR）的近似值，其在下面的方程式（2.27）中正式定义。我们可以证明，隐含波动率的一阶近似值为Isb？+（T- t） bδ+（aε+（t- t） aδ）LMMR，（2.26），其中LMMR=对数（K/x）t- t、（2.27）b？=σ?（z） +Vε（z）2σ？（z）1.-2rσ？（z）, aε=Vε（z）σ？（z），（2.28）bδ=Vδ（z）+Vδ（z）1.-2rσ？（z）, aδ=Vδ（z）σ？（z）。（2.29）将公式（2.28）和（2.29）转换为一阶精度，我们得出校准公式σ？（z） =b？+aεr-b, Vε（z）=aεb？，（2.30）Vδ（z）=bδ+aδr-b, Vδ（z）=aδb？。（2.31）因此，可以很容易地将参数（b？、bδ、aε、aδ）校准为真实数据，并使用上述公式计算（σ？（z）、Vε（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vδ（z）的校准值。下面，我们给出了隐含波动率曲面的一阶近似示例。608010011400.511.500.51Kτ隐含波动率表面图2：隐含波动率表面的一阶近似值-参数：σ？=0.4，Vδ=0.006，Vδ=-0.009，Vε=-0.005，r=0.05.3路径相关金融衍生工具首先，我们将介绍函数It^o微积分理论的主要符号、定义和结果，正如杜皮尔（2009）所介绍的那样，这将有助于下文的内容。3.1函数It^o计算简介时间t之前的c\'adl\'ag路径空间将用∧t表示。我们还假设时间范围t>0。

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2022-6-2 19:00:43

然后将路径空间定义为∧=[t∈[0，T]∧T。我们将用大写字母表示∧的元素，其域的最后时间将被下标，例如X∈ ∧t ∧将由Xt表示。Xt的值∈ ∧在特定时间，将用小写字母表示：xs：=Xt（s），表示任何s≤ t、此外，如果路径Xt∈ ∧是固定的，路径Xs，对于s≤ t、将表示路径XT对集合[0，s]的限制。函数是任意函数f：∧-→ R、当函数时间和空间导数存在时，将其定义为以下限制：，tf（Xt）=limδt→0+f（Xt，δt）- f（Xt）δt，（3.1）xf（Xt）=limh→0f（Xht）- f（Xt）h，（3.2），其中，对于δt>0和h，Xt，δtand Xht∈ R、由xt给出，δt（u）=xu，如果0≤ u≤ t、 xt，如果t≤ u≤ t+δt，Xht（u）=xu，如果0≤ u<t，xt+h，如果u=t，见图3和图4。b图3：路径的平坦延伸。BBB图4：凹凸路径。对于任何Xt，Yu∈ ∧，在不丧失一般性的情况下，假设u≥ t、我们在∧中考虑以下度量：d∧（Xt，Yu）=kXt，u-t型- 大笑∞+ u- t、此外，如果函数f相对于度量d∧是连续的，则称其为∧-连续的。最后，函数f：∧-→ 如果R是∧连续的，并且有∧连续导数，则R称为C1,2tf，xf和xxf。在继续之前，我们确定一个概率空间(Ohm, F、 P）并在路径和泛函的上下文中提供一些关于条件期望的注释。对于任何u≤ [0，t]中的t，用∧u，t表示[u，t]中c\'adl\'ag路径的空间。现在确定操作员（· ·) : ∧u，t×∧t，t-→ ∧u，T，路径的串联，通过（X Y）（u）=xr，如果u≤ r≤ 轮胎- yt+xt，如果t≤ r≤ T、这是X和Y的连续粘贴。让我们考虑以下（马尔可夫）随机微分方程（SDE）dsu=a（u，su）du+b（u，su）dwu，（3.3）和≥ t和st=x。此SDE的唯一强解将用t表示，并用st，xT表示从t到t的路径解。

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2022-6-2 19:00:46

最后，我们定义了条件预测asE[g（ST）| Xt]=E[g（Xt St，xtT）]，（3.4）对于任何Xt∈ Λ. 可以进一步表明，E[g（ST）| ST]=E[g（ST）| Fst]，P-a.s，其中Fst是由s.假设3.1（平滑度）生成的过滤。此后，我们将假设本文所考虑的每一个泛函都是∧连续的，并且具有所有阶的∧连续泛函导数。这一条件可能会被削弱，但它超出了本文的范围。目标是关注功能框架带来的基本论点。备注3.2。我们将经常使用以下结果：如果函数f∈C1,2所有连续路径的满意度f=0，然后对于所有连续路径，xf=0。也就是说，aC1,2函数在连续路径上的函数空间导数完全由其在连续路径上的值定义。例如，见Fourni'e【2010】【定理2.2】。本文将使用的主要结果是It^o和Feynman-Kac公式的以下函数扩展：定理3.3（函数It^o公式）。设s为连续半鞅，f∈ C1,2。那么，对于任何t∈ [0，T]，f（St）=f（S）+Zttf（Su）du+Ztxf（Su）dsu+Ztxxf（Su）dhsiu。定理3.4（函数Feynman-Kac公式）。让我们看看SDE（3.3）给出的过程。考虑泛函g：∧T-→ R和k：∧-→ R和def（Xt）=E“E-r（T-t） g（ST）+ZTte-r（u-t） k（Su）duXt#，对于任何路径Xt∈ ∧，t∈ [0，T]。因此，如果f∈ C1、2和k是∧-连续的，则满足以下路径相关的偏微分方程（PPDE）：tf（Xt）+a（t，Xt）xf（Xt）+b（t，Xt）xxf（Xt）- rf（Xt）+k（Xt）=0，f（Xt）=g（Xt），对于过程s的拓扑支持中的任何XTin。正如我们将观察到的，时间和空间泛函导数的交换在泛函It^o微积分理论中起着重要作用，另请参见Jazaerli和Saporito【2017】。

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2022-6-2 19:00:49

这也将在路径相关期权价格的一阶近似计算中看到。我们将在下一节讨论减刑问题。3.2弱路径依赖函数定义3.5（Lie括号）。操作符的Lie括号坦德X定义为[x，t] f（Xt）=xtf（Xt）- txf（Xt），其中tx=t型x和f是这样的，上面所有的导数都存在。它是对函数F的路径依赖性的瞬时测量，即，如果在极限范围内，不改变颠簸的顺序和路径的弯曲延伸，则它将为零，见图5。BBBBB图5:[x，t] 。定义3.6（局部弱路径依赖）。A泛函f∧-→ Ris称为（局部）弱路径依赖，如果[x，t] f=0。函数的一些例子应该有助于理解这些概念。1、f（Xt）=h（t，Xt），h平滑。它显然是弱路径依赖的（实际上是路径独立的）。2、f（Xt）=Ztxudu，当前路径的时间积分。一个简单的计算显示[x，t] f（Xt）=1，然后给出一个不是弱路径依赖的泛函的例子。非路径独立的（局部）弱路径依赖泛函的一个例子是f（Xt）=ztzsxududds，因为xf（Xt）=0和tf（Xt）=Ztxsds。3.3 Black-Scholes模型中的路径依赖型衍生工具定价Black-Scholes模型假设DST=rstdt+σstdwt。在这种情况下，s的拓扑支持是在正实线上取值的连续路径集。

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2022-6-2 19:00:53

因此，如果我们用PBS表示该模型下带付息的衍生产品的价格，我们会找到Black-Scholes PPDE的路径依赖版本tPBS（Xt）+σXtxxPBS（Xt）+r（XtxPBS（Xt）- PBS（Xt））=0，（3.5），对于上述路径集中的任何路径Xt，且PBS（Xt）=g（Xt）。从今以后，我们定义了Black–Scholes PPDEoperator asLBS（σ）=t+σD+rD- r·，（3.6），dkf（Xt）=xkt(x） kf（Xt）。（3.7）引理3.7。考虑以下路径相关操作符：A=nXk=1akDk，其中ai∈ R、那么[t、 A]f=0<=> [LBS（σ），A]f=-rAfProof。请注意，由于运营商Dk之间通勤[t、 A]f=0等于[磅（σ），A]f=-英国皇家空军。提案3.8。定义上述引理中的运算符A：A=nXk=1AKD，并让fbe成为解LBS（σ）f=0的函数。然后考虑PPDE对于任何连续路径，LBS（σ）f（Xt）=ψ（t）Af（Xt），f（Xt）=0。如果[t、对于连续路径，A]f=0，则f（Xt）=-ZTtψ（u）du！Af（Xt）是上述PPDE的解决方案。证据定义f（Xt）=φ（t）Af（Xt），其中φ（t）=0，请注意，f（Xt）=0。此外，通过引理3.7，LBS（σ）~f（Xt）=（φ（t）- rφ（t））Af（Xt）+φ（t）（LBS（σ）+r·）Af（Xt）=（φ（t）- rφ（t））Af（Xt）+φ（t）A:rf（磅（σ）+r·）f（Xt）+φ（t）:[LBS（σ）+r·，A]f（Xt）=φ（t）Af（Xt）。因此，用φ（t）=0来求解φ（t）=ψ（t），我们得出结论。备注3.9（路径依赖织女星）。价格为PBS（Xt，σ）的Black-Scholes模型下路径相关期权的织女星将用ν（Xt，σ）表示=PBS公司/σ（Xt，σ）。此外，通过PPDE（3.5），ν求解PPDE：LBS（σ）ν（Xt，σ）=-σDPBS（Xt，σ），ν（Xt，σ）=0，其中我们区分了Black-Scholes PPDE（3.5）与参数σ的关系。通过泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，ν可以表示为ν（Xt，σ）=E“ZTte-r（u-t） σDPBS（Su，σ）duSt=Xt#，其中s遵循Black-Scholes SDE，波动率σ。

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2022-6-2 19:00:56

此外，如果[t、 D]PBS（Xt，σ）=0，我们有一个众所周知的关系：ν（Xt，σ）=（t- t） σDPBS（Xt，σ），见命题3.8。上述交换条件已得到验证，例如路径独立期权价格，这为我们提供了众所周知的伽马和织女星之间的关系。3.4函数一阶近似的形式推导Fix a到期日T和Payoff函数g：∧T-→ R、由于（s，yε，zδ）是马尔可夫过程，这种路径依赖型欧式导数的无套利价格取决于s的实现路径，但仅取决于yε和zδ的现货值。路径依赖的唯一来源是支付，因此s是唯一的变量，需要了解其当前路径。因此，模型（2.5）下该路径依赖型欧洲衍生品的无套利价格由pε，δ（Xt，y，z）=E[E]给出-r（T-t） g（ST）| ST=Xt，yεt=y，zδt=z]。备注3.10。在系数和Payoff函数g的一些温和条件下，函数Pε，δ属于C1,2。

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2022-6-2 19:01:00

此外，如备注3.1所述，我们将假设Pε，δ与以下计算中所需的一样平滑。我们用Lε，δ（s，y，z）表示（s，yε，zδ）的函数微型生成器，并将Lε，δ写成：Lε，δ=t+Lε，δ（s，y，z）- r·（3.8）=εL+√εL+L+√δM+δM+rδεM，其中l=α（y）y+β（y）y、（3.9）L=β（y）ρf（y，z）yD码- Γ（y，z）y,（3.10）L=t+f（y，z）D+rD- r·，（3.11）M=g（z）ρf（y，z）zD公司- Γ（y，z）z,（3.12）M=c（z）z+g（z）z、（3.13）M=ρβ（y）g（z）yz、（3.14）因此，函数Feynman-Kac公式，定理3.4，意味着Pε，δ满足以下PPDELε，δPε，δ（Xt，y，z）=0，Pε，δ（Xt，y，z）=g（Xt）。（3.15）功能差异运算符（3.9）–（3.14）也可以用文字描述，这将有助于读者理解PPDE（3.8）中模型元素是如何单独工作的：oLis yunder P的微型生成器；oLis由股票价格和快速因素的相关性和波动风险部分市场价格的相关性组成；o具有波动率f（y，z）的路径相关Black-Scholes算子Mis由一个术语组成，该术语是由于股票价格和缓慢因素之间的相关性；oMis zunder P的微型发电机；o由于快速和慢速因素的相关性，Lis由一个唯一的术语组成。这些算符实际上与经典情况下的算符相同。唯一的区别是功能衍生物的存在坦德xin代替部分导数/t和/x、请注意，L，Mand-Mare是标准差分运算符，L，Land-Mare是功能差分运算符。备注3.11（换向）。重要的是要注意，尽管坦德xdo不通勤（见第3.2节），/y和/z与两者通勤坦德x、现在，我们将正式推导一阶近似值Pε，δ。

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2022-6-2 19:01:03

写入Pε，δ的幂√δ： Pε，δ=Pε+√δPε+···，然后我们选择Pε和Pε来满足εL+√εL+LPε（Xt，y，z）=0，Pε（Xt，y，z）=g（Xt），（3.16）εL+√εL+LPε=-M级+√εMPε，Pε（XT，y，z）=0。（3.17）3.4.1计算PExpand Pε的幂√ε： Pε=Xm≥0(√ε） mPm，0，其中我们用P表示P0,0。现在将此展开式代入方程（3.16）中，得到以下PPDE(-1，0）：LP=0(-1/2，0）：LP1,0+LP=0，（0，0）：LP2,0+LP1,0+LP=0，（1/2，0）：LP3,0+LP2,0+LP1,0=0，其中我们使用符号（i，j）表示ε中的第i阶项和δ中的第j阶项。在接下来的计算中，最重要的是注意到Lisa是一个常见的微分算子。因此，上述第一个方程实际上是aPDE，参数（Xt，z）应理解为该方程中的参数。本节中使用的推理遵循Fouque等人【2011年】中描述的分类案例的步骤。为了满足第一个偏微分方程，我们取独立于y的P=P（Xt，z）。因为Lt对y的所有项都求导，LP=0，然后第二个方程变成PDE LP1，0=0。因此，我们取P1,0=P1,0（Xt，z），也与y无关。0阶项给出usLP2,0+:LP1,0+LP=0，（3.18），这是P2,0的泊松偏微分方程，可解性条件为：hLPi=0，其中h·i是不变测度L下的平均值。再次注意，（Xt，z）在这里被视为参数。由于Pdoes不依赖于y，可解性条件变为comeshlip=0。我们想再次指出，Lis是经典意义上的微分算子，因为不存在函数导数。因此，关于泊松偏微分方程的所有结果都成立。利用等式（3.6）中给出的路径相关Black-Scholes微分算子的定义，我们将选择满足PPDE的PtoLBS（σ（z））P（Xt，z）=0，P（Xt，z）=g（Xt），（3.19），其中σ（z）=hf（·，z）i。

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2022-6-2 19:01:06

请注意，我们可以写出P（Xt，z）=PBS（Xt；σ（z）），即在Black-Scholes模型下，Pis是带支付和到期时间T的路径依赖期权的价格：dst=rstdt+σ（z）stdw（0）T.（3.20）3.4.2通过泊松偏微分方程（3.18）计算Pε1,0，我们发现P2,0（Xt，y，z）=-L-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z）））P（Xt，z）+c（Xt，z），（3.21），对于一些不依赖于y.NoticeLBS（f（y，z））的函数c- LBS（σ（z））=（f（y，z）- σ（z））D。现在用φ（y，z）表示泊松方程的解lφ（y，z）=f（y，z）- σ（z），（3.22），这意味着-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z））=φ（y，z）D。利用1/2阶PPDE，我们得到了可解性条件HLP2,0+LP1,0i=0。因此，根据P2,0的方程式（3.21），LP2,0=-LL-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z）））PS= -Lφ（y，z）DP=β（y）ρf（y，z）yD码- Γ（y，z）yφ（y，z）DP=ρβ（y）f（y，z）φy（y，z）DD公司-β（y）Γ（y，z）φy（y，z）DP。因此，Pε1,0=√εP1,0满足以下PPDE：LBS（σ（z））Pε1,0（Xt，z）=-AεP（Xt，z），Pε1,0（Xt，z）=0，其中ε=Vε（z）DD+Vε（z）D，（3.23）Vε（z）=-ρ√εβf（·，z）φy（·，z）,（3.24）Vε（z）=√εβΓ（·，z）φy（·，z）.（3.25）该PPDE与经典情况下方程（2.9）的PDE之间的唯一区别在于，Dknow涉及函数空间导数Xandlbs是Black-Scholes微分算子的函数版本。备注3.12。注意，DD=2D+并且我们可以重写aε=Vε（z）D+（Vε（z）+2Vε（z））D。通过泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，我们可以写出ε1,0（Xt，z）=E“ZTte-r（u-t） AεP（Su，z）duSt=Xt#，（3.26），其中s遵循Black-Scholes动力学，波动率σ（z）如（3.20）所示。必须注意的是，在第2.1节所述的路径无关情况下，Vε（z）和Vε（z）是相同的常数。这意味着，一旦这些参数被校准为欧洲普通期权，我们就可以使用这些相同的数值来为路径相关期权定价。

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何人来此

2022-6-2 19:01:09

对于pδ0,1也是如此，将在下一节中显示。3.4.3计算Pδ0，1Let us现在将Pε展开为√ε、 Pε=Xm≥0(√ε） mPm，1，然后将其和Pε的展开式代入方程（3.17）。这样，我们发现(-1.-1/2）：LP0，1=0(-1/2, -1/2）：LP1,1+LP0,1+MP=0，（0，-1/2）：LP2,1+LP1,1+LP0,1+MP+MP1,0=0。请注意，L中的所有项都是相对于y的导数。因此，如果我们选择P0,1=P0,1（Xt，z），则第一个PDE是满足的，正如之前所做的那样。现在，第二个PPDE变成PDE LP1,1=0，然后我们选择P1,1=P1,1（Xt，z），与y无关。最后，最后一个PPDEbecomesLP2,1+LP0,1+MP=0，这是P2,1的泊松偏微分方程，其可解性条件是LP0,1+MPi=0。因此，如果我们写Pδ0,1（Xt，z）=√δP0,1（Xt，z），该条件可写成Lbs（σ（z））Pδ0,1=-√δhMiP，其中可以计算HMI=-g（z）hΓ（·，z）iz+ρg（z）hf（·，z）iDz、因此，如果我们定义δ=-Vδ（z）σ- Vδ（z）Dσ（3.27）Vδ=ρg（z）√δhf（·，z）iσ（z）（3.28）Vδ=-g（z）√δhΓ（·，z）iσ（z）（3.29）我们有以下PPDE：LBS（σ（z））Pδ0,1（Xt，z）=-2AδP（Xt，z），Pδ0,1（Xt，z）=0。一般来说，根据泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，Pδ0,1（Xt，z）=2 E“ZTte-r（u-t） AδP（Su，z）duSt=Xt#。（3.30）备注3.13（参数缩减）。与路径无关的情况一样，仍然可以执行参数缩减，因此我们可以将自己限制在组市场参数：{σ？（z），Vδ（z），Vδ（z），Vε（z）}。3.5亚洲选项为了举例说明上述结果，让我们考虑合同函数g的形式为g（XT）=Д（XT，I（XT）），其中I（XT）=Ztxudu的情况。例如，见Fouque等人【2003年】。

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大多数88

2022-6-2 19:01:13

在这种情况下，P（Xt，z）=Д（t，Xt，I（Xt），σ（z））。根据方程式（3.19）和自tI（Xt）=Xt，很明显，在Black-Scholes下，满足亚洲期权的常规定价PDE：φt+xφI+rxφx+σxφx个- rД=0，Д（T，x，I，σ（z））=Д（x，I）。此外，通过方程式（3.26），（3.30）和函数Feynman-KacFormula，定理3.4，我们发现Дε1,0（t，x，I，σ（z））=E“ZTte-r（u-t） AεИ（u，su，I（su），σ（z））dust=x，I（st）=I#，Дδ0,1（t，x，I，σ（z））=2 E“ZTte-r（u-t） AΔИ（u，su，I（su），σ（z））dust=x，I（st）=I#。此外，由于xI（Xt）=0，我们有dkД（t，Xt，I（Xt），σ（z））=xktk^1xk（t，xt，I（xt），σ（z）），和ν的织女星可以使用注释3.9中描述的表达式进行数值计算。因此，可以使用上述方程式计算一阶近似值。3.6路径依赖性较弱的情况下的闭式解现在可以证明，我们在第2.1节中给出的Pε1,0和Pδ0,1的公式在这里也是有效的，只要我们假设价格Pis的路径依赖性结构不是很强。我们现在将使这些说法准确无误。假设3.14。对于每个连续路径Xt[t，xx]P（Xt，z）=[t，xxx]P（Xt，z）=0。提案3.15。如果零订单价格假设为3.14，那么我们会发现众所周知的公式pε1,0（Xt，z）=（T- t） AεP（Xt，z），（3.31）Pδ0,1（Xt，z）=（t- t）对于任何连续路径，AδP（Xt，z），（3.32）。更直接地，根据备注3.12，第一次修正由（T）给出- t）Vε（z）- σ（z）Vδ（z）DP（3.33）+（T- t）Vε（z）+2Vε（z）- σ（z）（Vδ（z）+2Vδ（z））DPProof。请注意，假设3.14意味着[t、 Aε]P=0，然后方程（3.31）直接遵循命题3.8。减刑要求[t、 Aδ]P=0与坦德XX和xxx，因为它是在快速均值回复的情况下。

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大多数88

2022-6-2 19:01:16

然而，正如我们在关于功能性Vega和γ关系的备注3.9中所看到的，自[t，xx]P=0，则aδP=-（T- t） σ（z）Vδ（z）DDP- （T- t） σ（z）Vδ（z）DP。因此，既然我们[t，xxx]P=0，我们得出结论[t、 Aδ]P=0。因此，根据命题3.8，我们得到了期望的结果。备注3.16。如果Pis弱路径依赖（即[t，x] P=0），可以直接表明假设3.14相当于xPandxxp也是弱路径依赖的。3.7关于二次变量的选项我们将考虑Payoff g（XT）=Д（XT，QV（XT））的选项，其中QV是二次变量函数。我们将读者转发给Jazaerli和Saporito【2017】了解此类期权及其属性的详细信息，包括二次变异函数的路径定义。我们写P（Xt，z）=Д（t，Xt，QV（Xt，z），并使用以下事实tQV（Xt）=0，xQV（Xt）=2（Xt- xt公司-) 和xxQV（Xt）=2，我们可以很容易地证明[t，x] 对于连续路径，P=0，因此它是弱路径依赖的。此外xP（Xt，z）=φx，xxP（Xt，z）=φx+2φQV，xxxP（Xt，z）=φx+6φx个QV，对于每个连续路径Xt。因此，在备注3.16中，Psatis假设3.14。这些公式可用于计算确定命题3.15.3.8精度理论定理3.17中概述的一阶修正。我们假设定理2.2中的第1项至第5项，并且（6*）Payoff泛函g是这样的：Pε，δ是光滑的，如备注3.1所示。然后，Pε，δ（Xt，y，z）=P（Xt，z）+Pε1,0（Xt，z）+Pδ0,1（Xt，z）+O（ε+δ），P，Pε1,0和Pδ0,1分别由方程（3.19）、（3.26）和（3.30）得出。对于细心的读者来说，现在应该清楚Firstorder摄动法在经典和功能框架中的相似性。

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2022-6-2 19:01:19

因此，也应该清楚的是，同样的函数一阶近似精度证明也可以在不费吹灰之力的情况下进行。事实上，Pε、δ的高阶近似的定义和这种近似的剩余分析与经典情况相同。由于Ffeynman-Kac公式在函数框架中也可用，参见定理3.4，因此残差有界性的研究也类似。读者们还应该注意到，正如之前所评论的那样，过程yε和zδ的性质没有被完全改变，因为函数方面只考虑股票价格变量。此外，我们应该能够考虑payoff泛函g上的weakerassumptions，这应该类似于定理2.2中所述的路径无关情况，因此上述定理也是正确的。我们将此留作将来的工作。本文的主要结论之一是上述定理的以下推论：推论3.18。市场组参数（σ（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vε（z）、Vε（z））或其简化形式{σ？（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vε（z）}不会根据支付函数的路径依赖性而改变。4结论和未来工作本文的主要结论是，路径相关期权的一阶近似依赖于与普通期权的一阶近似相同的市场组参数。因此，一旦根据普通期权市场数据对市场组参数进行校准，就可以使用它们计算路径相关的奇异衍生品价格的一致一阶近似值，使用一般表示法（3.26）和（3.30）。

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2022-6-2 19:01:22

在没有函数It^o演算框架的情况下，上述结果必须针对每种特定类型的路径依赖进行陈述和证明。此外，当路径依赖性不太强时，我们为路径独立衍生品合约找到的一阶近似值，即方程（2.21）–（2.23）成立。即，如果零订单价格满足以下交换关系[t，xx]P=[t，xxx]P=0，基本上，我们有与路径无关中相同的公式，见命题3.15。然而，构成一阶修正的希腊人是路径依赖型希腊人，如（3.23）和（3.27）所示。（3.26）和（3.30）高效计算的数值方法的开发将留给未来的工作。此外，即将进行的研究将削弱定理3.17中的光滑性假设，以考虑其他类型的合同泛函，例如障碍期权，因为运行的最大和最小泛函不是光滑的。致谢我要感谢J.-P.Fouque和B.Dupire进行的所有富有洞察力的讨论。参考B。杜皮尔。函数It^o演算。2009年。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=1435551.J.-P、 Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。多尺度随机波动性渐近。SIAM多尺度模型。模拟。，2(1):22–42, 2003.J、 -P.Fouke、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动。剑桥大学出版社，2011年。J、 -P.Fouque、M.Lorig和R.Sircar。二阶多尺度随机波动率渐近：随机终端层分析与校准。财务Stoch。，20(3):543–588, 2016.D、 -A.Fourni\'e.函数It^o演算和应用。哥伦比亚大学博士论文，2010年。S、 L.赫斯顿。

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