时间齐次SPX随机的一致模型间规范

2022-6-11 06:33:17

SPX和VIXDerivatives的一致时间齐次建模*+A、 Papanicolaou2022年3月16日摘要本文展示了如何从波动率指数期货期限结构的市场模型中恢复随机波动率模型（SVM）。市场模型比支持向量机更灵活地拟合曲线，因此更适合为波动率指数期货和波动率指数衍生品定价。但波动率指数本身是标准普尔500指数（SPX）的衍生品，通常使用支持向量机对SPX衍生品进行定价。因此，SPX和VIX的一致性建模应包括一个SVM，该SVM可通过反转市场模型获得。本文的主要结果是通过求解一个反问题来恢复随机波动率函数，其中输入是市场模型给出的VIX函数。分析将显示该反问题唯一解决方案所需的条件。如果覆盖的波动率函数是非负的，则模型是一致的。举例说明了该理论，强调了解决方案中的负性问题，并显示了非马尔可夫过程中可能存在的不一致性。关键词：随机波动率、市场模型、波动率指数期货、一致定价。AMS主题代码：91B24、91B70、45Q05内容1动机和公式21.1问题公式。31.2背景文献。41.3本文件的结果和组织。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:20

5.*数据共享和数据可访问性：数据共享不适用于本文，因为本研究未创建或分析新数据。+这项工作得到了NSF拨款DMS-1907518的部分支持北卡罗来纳州立大学数学系，地址：2311 Stinson Drive，Raleigh，NC 27695。apapani@ncsu.edu2定义和主要结果52.1一致性。62.2主要结果：v（x）的马尔可夫反问题。92.2.1一般可解性。92.2.2通过特征级数展开求解。123可跟踪模型的应用133.1标量Bergomi模型。133.2多因素Bergomi模型。183.3三/二模型。213.4双Nelson模型。283.5布朗运动因子的非负解。304非马尔可夫市场模型324.1常数νθ（t）的标量一致性。324.2不一致的示例。335总结和结论331动机和公式波动率交易在21世纪随着波动率指数衍生工具的引入而增加。这两种衍生品是2004年开始在CBOE上交易的VIX期货和2006年开始在CBOE上交易的VIX（欧洲）期权。还有写在这些期货上的交易所交易票据（ETN），以及写在这些ETN上的期权。波动率指数衍生品的定价使用所谓的市场模型，即期货期限结构的随机模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:23

使用m市场模型时需要记住的一点是，已发布的指数波动率指数是根据欧洲标准普尔500指数（SPX）期权计算的，这意味着波动率指数实际上是SPX衍生品。因此，如果存在SPX期权的既定价格，VIX价格可能部分可确定。此外，SPX衍生品定价使用随机波动率模型（SVM），而不是市场模型。因此，如果同时使用市场模型和支持向量机分别为波动率指数（VIX）和波动率指数（SPX）衍生品定价，则存在潜在的价格冲突。要理解为什么这样的冲突会成为一个问题，请考虑一个单一金融机构有两个独立的交易平台的情况：一个用于SP X衍生品，另一个用于VIX衍生品。每个楼层都有自己的交易员，他们根据自己的特定模型报价。如果这些模型对30天方差的结果有实质性不同的评估，则可能存在交易台间套利，即允许第三方（机构外部）采取SPX交易台提供的SPX衍生品价格，并针对VIX交易台提供的VIX衍生品价格进行套利的错误定价。这个问题的解决方案应该为模型的一致性提供一个标准，而在实际环境中，应该提供一种方法，根据另一个模型来指定一个模型。本文提出了这样一种解决方案。1.1问题公式集St表示标量价格过程f或SPX，让Xt表示d为正整数的d维因子过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:26

考虑一个模型，其中SPX回报由风险中性SVM给出，dStSt=rdt+v（Xt）dBt，（1）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，（2）其中r≥ 0是无风险利率，v（x）是标量值波动率函数，u（x）是多维漂移，σ（x）是d×d d扩散矩阵，WT是d维风险中性向量值标准布朗运动，d Bt是风险中性标量布朗运动，WT和Bt之间的相关性用ρ表示，dBtdWit=ρidt表示1≤ 我≤ d用（Ft）t表示≥0 WT和Bt产生的过滤。VIX是风险中性预期实现的30天方差的平方根，在（1）和（2）的连续差异模型中，VIXT=sEτZt+τtv（徐）du英尺,式中，τ=30天，且HT给出VIX未来-t（Xt）=t的E[VIXT | Ft]≤ T（3）对于该支持向量机，很明显，资产价格St、波动率指数和所有波动率指数期货都是Ft-adaptedMarkov过程。与支持向量机不同的是市场模型，旨在直接描述VIX和VIX期货。让Ft，Tbe作为到期的VIX期货的市场模型价格≤ T这些价格来自以下SDEs系统，dFt，TFt，T=ν（T，T）dWt，（4）其中，WT是等式（2）中的相同布朗运动，其中，波动率ν（T，T）是一个Ft适应的d维行向量函数，特定于给定T。该模型同时应用于T的多个或连续统，从而形成VIX期货的完整曲线。重要的是要记住，方程式（4）通常是时间非齐次非马尔可夫模型，但本文的结果适用于时间齐次马尔可夫市场模型，该模型也由因子过程Xtofequation（2）驱动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:30

第2.1节将阐述时间同质性和马尔可夫性的假设以及一些解释，但第4节将进一步讨论，其中将说明在试图用非马尔可夫市场模型指定一致的马尔可夫VM时，本质上是如何存在矛盾的。本文考虑的市场模型包括：Bergomi型市场模型，其中ν（t，t）=γ*e-k（T-t） σ，其中k和σ为d×d正定义矩阵，γa为d×1波动向量；一个三分之二的市场模型，其中所有期货均为Ft给出的VIX预期，t=1/XT，XT为Cox-IngersolRoss（CI R）过程；与模型相似的双Nelson（或双均值回复模型）[6]；XT是布朗运动的非平稳模型。在实践中，使用市场模型是一个好主意，因为波动率指数期货非常具有流动性，有丰富的信息可用于了解波动状态。因此，有必要首先定义市场模型，然后根据市场模型的结构构建支持向量机。如果市场模型是与SVM具有相同因子的马尔可夫模型，则瞬时方差v（x）是反问题的解。该逆问题的公式如下：如果所有x的因子过程u（x）和σ（x）的系数都已知，且市场模型提供了函数h（x），则v（x）的逆问题表示为ash（x）=EτZt+τtv（徐）duXt=x. （5）第2节表明，如果过程Xt是遍历的，并且具有与其微元生成器对称的不变定律，使得Xt可逆，并且还有一个谱gap[4]，那么在某些可积条件下，存在唯一的v（x），它是方程（5）的解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 06:33:33

此外，如果解是非负的，则市场模型为方程（1）提供了有效的波动率函数，留下了相关系数ρ，ρdas为SVM确定的唯一剩余参数。然而，很难证明解的非负性；第3节的例子进一步探讨了这个问题。类似的非负性问题出现在文献的其他地方，例如量子逆散射理论[13，12]和Fourier分析[39]。在大多数情况下，证明积极性的文献中的结果不如解决方案存在的理论那么普遍。1.2背景文献S VM的背景，包括Heston模型，可以在各种书籍和论文中找到，包括[18，23]，以及涉及跳跃的更一般模型[16]。BergomiThis的论文自始至终都会提到“Bergomi模型”，也许它应该说“VIX期货的Bergomi类型模型”，但这将很难理解，因此该名称被用于一般意义上。最初的Bergomi模型是针对未来瞬时方差的曲线，而不是直接针对VIX。[7、8、9]介绍了期货方差模型，并在[10]中给出了方差期货曲线中的偏差一致性条件。[11、22、36、37]中讨论了术语结构和associatedHeath Jarrow Morton（HJM）框架。在[25]中，使用具有随机波动性的市场模型来推导波动率指数期货的公式。在过去十年中，对SPX和VIXoptions的联合模型进行了大量研究，其中包括对广泛使用的支持向量机进行一些重新评估，以及寻找适合这两个市场的新模型。一个这样的例子是所谓的3/2模型，该模型在[5，15]中进行了分析，是一种流行的选择，因为它能够反映波动率期权中日益增加的右手隐含波动率偏差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:36

在【6，19】中，使用双因素差异模型，搜索同时将SVM校准到SPX和VIX选项的模型；在【14】中，提出了一种使用跳变函数进行联合校准的数值有效模型；在[28]中，对赫斯顿模型进行了探索，其跳跃揭示了波动率期权的证据，表明波动率过程中存在跳跃；在[26]中，进一步探讨了带有跳跃的Heston模型以及Feller条件所起的作用；在【30】中，提出了位移或波动性push-u p，以改善模型的联合效应；在【33】中，使用赫斯顿模型的状态切换扩展提出了联合校准模型【23】；在【17】中，建议我们使用Heston vol of vol模型。[21]中采用了一种不同的方法，其中来自非参数族的联合分布同时满足VIX和SPX选项的边际分布，并且证明其无套利。SPX和VIX联合市场的非特定模型分析包括[32]和[31]中的未来方差掉期利率数据分析。Alex Badran的博士论文[2]也研究了支持向量机和市场模型之间的一致性问题。1.3本文的结果和组织第2.1节介绍了定义2.1，正式说明了支持向量机和市场模型之间一致性的含义。第2.2节给出了本文的主要结果，即方程（5）的可解性定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-11 06:33:39

第3节给出了可处理模型的示例：第3.1节和第3.2节分别探讨了标量和多元Bergomi模型，对于这些模型，反问题具有显式的特征函数展开；第3.3节着眼于市场模型，其中VIXT是一个三分之二的过程，而ich也有一个明确的特征函数展开；第3.4节介绍了double Nelson市场模型，该模型易于处理，具有良好的统计特征来拟合数据，但其反问题没有所有x的正解；第3.5节研究了具有布朗运动因子过程的非平稳模型，对于该模型，应用Bochner定理可确保非负性。第4节进一步讨论了非马尔可夫市场模型的问题。2定义和主要结果具有固定期限的期货合同的价值被称为恒定到期未来（CMF），即恒定θ≥ 0由SVM给出的带水平θ的CMF价格为，hθ（Xt）=E【VIXt+θ| Ft】，（6），市场模型给出的C MF为，Ft，t+θ=E【Ft+θ，t+θ| Ft】。（7）与常规期货不同，CMF不是风险中性鞅。相反，它们的差异是非零漂移，dFt，t+θFt，t+θ=Yθtdt+ν（t，t+θ）dWt，（8）其中Yθt=Tlog（英尺，吨）T=T+θ。在静止的情况下，Yθt，Yθt有以下表示=-Zt公司-∞ν（u，T）Tν*（u，T）du+Zt-∞Tν（u，T）dWuT=T+θ，（9），从中可以看出，平稳性要求ν（T，T+θ）和Tν（T，T）T=T+θ。例如，ν（t，t）=γe-k（T-t）导致静止CMF。数量Yθ具有重要意义，因为它是跟踪CMF回报的交易策略的滚动收益率（见[1]）。2.1一致性首先需要确定本文件的一致性含义：定义2.1（一致性）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:42

假设SVM方程（2）中的SDE存在唯一的强解，并且（8）中给出的CMF的SDE也存在唯一的强解。如果CMF同意，SVM和市场模型具有一致的价格，即ifFt，t+θ=hθ（Xt）a.s。t型≥ 0和 θ ≥ 0，（10），其中hθ（x）是（6）中定义的SVM的CMF。备注1。确认SVM和市场模型之间一致性的关键步骤是证明方程式（10）所表达的陈述。然而，SVM是这样的-t（Xt）=所有t的E【h（Xt）| Ft】≥ 0，市场模型是这样的，对于所有T≥ t、所以可以表示ft，t=h（Xt）a.s。t型≥ 0 .也就是说，SVM和市场模型共享相同的过滤（Ft）t≥0和两个hT-t（Xt）和Ft是构造的鞅，所以需要检查的是模型在各自的VIX过程之间是否一致。如果定义2.1不成立，则存在套利的可能性。例如，在[32]中，它显示了价格应该如何遵守某些结构界限，否则就存在产生套利的期权组合。从定义2.1中，首先要注意的是，方程（8）的解是XT的函数，并不单独依赖于t。因此，马尔可夫支持向量机未来价格需要与市场模型的价格相等，因此市场模型也应该是马尔可夫过程。因此，最简单的方法是假设SVM和市场模型都是马尔可夫模型，都是由因子过程Xt驱动的；第4节将介绍与此问题相关的讨论和反例。定义2.1中需要注意的第二件事是，SVM中的时间同质性意味着市场模型中的时间同质性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:45

原因是，从It^o引理得到的hθ（Xt）的微分和（2）中的SDE具有与时间无关的系数，因此Ft，t+θ的微分也必须具有与时间无关的系数。假设2.1（Xt驱动的时间齐次马尔可夫市场模型）。方程（8）给出的CMF市场模型是由与SVM相同的因子过程驱动的时间齐次马尔可夫模型。特别是，CMF Ft，t+θ具有滚动收益率函数fθ（x）和每个水平θ的波动行向量函数νθ（x≥ 0，使得CMF动力学为，dFt，t+θFt，t+θ=fθ（Xt）dt+νθ（Xt）dWt，（11），其中Xt是方程（2）给出的因子过程。此外，存在初始曲线F0，θ，使得F0，θ=E[Fθ，θ| F]对于所有θ≥ 0，并且有一个初始值Xsuch thatX∈ h类-1（F0,0）a.s.此时，正式说明SDE系数的有效条件是合适的。假设2.2。系数u（x）和σ（x）是全局Lipschitz连续的，因此方程（2）具有强解。系数fθ（x）和νθ（x）是有界的，因此（11）和（12）有唯一的强解，（12）的未来是真鞅。根据假设2.1和2.2，可以确定定义2.1是有意义的。假设2.1对于本文中的理论是必要的，但并不总是需要假设2.2。事实上，有几个重要的非Lipschitz示例，如Heston SVM或各种其他模型，其中XT是CIR过程（见第3.3节的3/2模型）。假设2.2断言fθ（x）和dνθ（x）的有界性，但对于fθ（x）而言，限制性较小的标准是允许定义良好的黎曼积分fθ（Xu）du，对于νθ（x）而言，则满足诺维科夫条件E expZTkνT-t（Xt）kdt< ∞ 对于所有0≤ T<∞ .假设2.1表示方程（8）中的滚转屈服现在是Xt的函数，即Yθt=fθ（Xt），对于所有θ≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:48

假设2.1，市场模型的未来动力学可以重写为dFt，TFt，T=dFt，T+θFt，T+θθ=T-t型- 英尺-t（Xt）dt=νt-t（Xt）dWt，（12）在假设2.1和2.2下，可以应用It^o引理来检查amodel是否满足定义2.1和方程（10）的一致性。实际上，表示运算符L，L=迹线[σσ*（十）*] + u*（十） , （13）它是因子过程Xt的最小生成器。如果hθ（x）具有充分的可微性，则将dhθ（Xt）设置为等于（11）的右侧，以获得以下一对一致性方程，Lhθ（Xt）=fθ（Xt）hθ（Xt）（14）σ*（Xt）hθ（Xt）=ν*θ（Xt）hθ（Xt），（15），初始条件满足且X∈ h类-1（F0,0）。备注2（Buehler的情况）。方程（14）是B uehler条件，在【10】中确定了预期方差。备注3（使用市场数据初始化Cu rve模型）。市场模型软化的实际应用包括插入波动率曲线数据作为初始条件。这种方法的优点是，该模型能够直接吸收市场上观察到的期货价格。如果给出了初始曲线F0，θ，则方程（11）的解为ft，t+θ=F0，θexpZt公司fθ（Xu）-kνθ（Xu）kdu+Ztνθ（Xu）dWu,这可能不是由XT驱动的时间同质市场模型，如果假设2.1中描述的初始条件不满足，那么如果初始曲线不能写成X的函数，时间不均匀性可能会出现。在假设2.1的框架内，时间同质市场模型可以用曲线数据F0、θ如果F0、θ=E[Fθ、θ| F]初始化，如果存在X∈ h类-1（F0,0）。实际上，XT的尺寸应足够高，以便h-1（F0,0）包含X，即X的域中存在X和X∈ h类-1（F0,0）。2.2主要结果：v（x）的马尔可夫反问题，让h（x）=h（x）忽略VIX。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:52

假设h（x）和市场模型满足定义2.1和假设2.1。对于支持向量机的一致性规范，应使用函数v（x）。如果已知h（x），则发现v（x）相当于解决一个逆问题，h（x）=EτZt+τtv（徐）duXt=x, （16）其中，解决方案是函数v:Rd→ R满足方程（16）。如果该解决方案是非负的，那么它将提供一个有效的SVM。2.2.1一般可解性对于一类一般的因子p过程，可以解决inver-se问题。假设factorprocess XT是一个平稳的遍历过程，最小生成元L由（13）给出。让ω表示Xt的不变测度。在本文和后半部分中，关于任何（可积）测试函数g的不变测度的期望用hgi表示：=Zg（x）dω（x），并且所有计算将遵循[4]中定义的半群微分分析框架。有必要假设存在唯一不变测度，并且算子L有一个谱间隙：假设2.3（唯一不变测度）。对于任何测试函数g（x），存在唯一不变度量ω，使得hLgi=0。假设2.4（光谱间隙）。算子L是对称的，即对于任何测试函数g（x）和g（x），hgLgi=Hglgif，其频谱在间隙为零时为非正。换句话说，存在一个常数λ>0，这样，（eLtg）≤ e-λtg级, （17）对于所有t≥ 对于任何g（x），hgi=0和g级< ∞. 这里，eLtg表示由L生成的合同半群，由eLtg（x）=Ehg（Xt）给出对于有界g（X）和平方i可积g（X），X=xi。[34]给出了唯一不变测度存在的条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:55

它们包括矩阵σσ的有界性和一致椭圆性*（x）还有lim supkxk→∞x个*u（x）≤ -ckxk1+α对于某些c>0和α≥ -1、明确| eLtg（x）|≤ supy | g（y）|以及（eLtg）≤g级对于所有合适的g（x），t≥ [3，4]中给出了对称扩散发生器L具有光谱间隙的条件，其中Orns tein-Uhlenbeck发生器是激发更一般理论的典型案例。第3节的例子进一步探讨了该理论的范围。定理2.1（反问题的一般可解性）。一个ssu me h（x）是这样的h类<∞ 和（左侧）< ∞, 其中，L是等式（13）中的运算符。假设2.3和2.4，存在方程（16）的平方可积解。定理2.1的证明。将溶液写入v（x）=h类+ ξ（x），方程（16）的反问题可以改写为ash（x）-h类= Φξ（x），其中运算符Φ由Φ=τZτeLudu定义。（18）使用不变测度，很明显解ξ现在居中，hξi=0，因为0=h类-h类= hΦξi=R（Φξ）dω=Rξdω=hξi，反问题为Φξ（x）=h（x）-h类. （19）算子Φ是一个平均算子，因此h（x）比ξ（x）更规则。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:33:58

算符L应用于方程（19）的两侧，由于假设量Lh（x）定义得很好，因此LΦξ（x）=Lh（x）。利用半群算子的代数性质（见[4，38]），LΦ=τZτLeLudu=τeLτ- 我,可以重新排列以获得，-τLh（x）=-τLΦξ（x）=（I- （I+τLΦ））ξ=（I- eLτ）ξ（x），（20），并且由于假设2.4的谱隙，可以用（收敛的）几何级数写出解，ξ（x）=-τ∞Xn=0enLτLh（x）。Pardoux和Veretennikov的理论[34]也可用于定理2.1。注意可解性假设：给定光谱间隙，当且仅当左侧= 0，在应用一致性方程（14）和（15）后，与方程（22）相同。此外，需要使用以下事实：Lh（x）=2h（x）Lh（x）+kσ*（十）h（x）k.hξi=0的平方可积解的唯一性也遵循方程（20）：对于任何两个具有ξ+ξ′2< ∞ 必须是LΦξ（x）=LΦξ′（x），或（I- eLτ）ξ（x）=（I- eLτ）ξ′（x）。通过反转运算符I- eLτ很明显，对于a.e.x，ξ（x）=ξ′（x）。将方程（20）的两侧乘以ξ（x），并取括号得出：，ξ= -τξLh+ξeLτξ.根据L的对称性和方程式（17）中的光谱间隙，有以下估计，ξeLτξ=D（eLτ/2ξ）E≤ e-λτ/2ξ,将其插入到前面的方程式中，以获得，ξ≤ -τξLh+ e-λτ/2ξ.重新排列并应用Cauchy-Schwartz得出估计值，（1- e-λτ/2)ξ≤ -τξLh≤ τphξih（Lh）i，对于λ>0，重新排列以获得对溶液范数的估计，ξ≤τ1 - e-λτ/2（左侧）. （21）边界（21）表明，考虑到我们对h（x）和谱隙的假设，解对于不变密度是平方可积的。备注4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 06:34:01

定理2.1的含义是，如果h（x）由市场模型给出，且方程（16）的唯一解对于a.e.x是非负的，并且如果方程（2）有强解，则存在定义2.1意义上一致的支持向量机。备注5。可能的情况是，方程（16）是可解的，但对于a.e.x没有非负的解，即使它用v（x）表示，因为这就是问题的构成方式。在这种情况下，对于提议的市场模型，不存在定义2.1意义上一致的SVM。备注6。如果存在等式（16）的squ可积解v（x），并且如果SVMand市场模型是一致的（定义2.1），则从等式（14）和（15）的一致性中，存在以下Inverseproblem的可解性条件，（2f+kνk）h= 0，（22），其中f（x）是滚动收益率，ν（x）是θ=0的（11）中的波动率。备注7。方程（22）中的可解性条件类似于有限欧几里德空间中的Fredholm备选方案（见[4，38]）。这是一个积分条件，涉及市场模型ν（x）的滚动收益率f（x）和波动率，波动率h（x），以及因子过程ω的不变量测度。备注8（对称运算符）。对于方程（2）给出的Xt，如果存在不变量密度ω（x），那么方程（13）的算子L是对称的，如果存在矩阵A（x），那么L可以写成自伴形式，Lg（x）=2ω（x） · （A（x）g（x）），对于任何测试函数g（x）。换句话说，σ（x）和u（x）需要满足a（x）=σ*（x） ω（x） · A（x）=2u*（x） ω（x）。这表明假设2.4的对称性有一定的限制性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:04

然而，解决反问题并不总是需要对称性，如第3.2.2.2节通过特征级数展开求解的示例所示。如果算子L具有正交特征函数的完整基，则s o不需要Φgivenin（18），然后可以通过计算v（x）级数展开中的特征系数来找到反问题（16）的解。对于许多这样的情况，给定X的因子过程xts存在传递性，因此可以使用g akernel，h（X）=ZΦ（y，X）v（y）dy来编写方程（16），其中核为Φ（y，X）=τZτyP（Xu≤ y | X=X）du。假设存在本征函数ψn:Rd→ R使得对于索引值n∈ {0, 1, 2, . . . },ZΦ（y，x）ψn（y）dy=λnψn（x），其中λn6=0，并且假设存在不变密度ω（x）>0，使得任何一对等正交，Zψn（x）ψm（x）ω（x）dx=ψnδ（n- m）。此外，假设这些本征函数构成L（Rd；ω）中的完整基，即，。如果v< ∞ 然后是系数a、a、a。这样，v（x）=∞Xn=0anψn（x），∞Xn=0 | an |<∞ .如果是反问题的解，则存在特征级数展开，h（x）=∞Xn=0anλnψn（x），∞Xn=0 | anλn |<∞ ,并通过正交性求解an=λnhψniZh（x）ψn（x）ω（x）dx。这为方程（16）提供了一个（唯一的）解。备注9。本节中提出的本征函数展开式可以在不假设跃迁密度的情况下重新推导；一般半群算子的谱理论见[29]。3可跟踪模型的应用本节介绍了一些在实践中适用的模型示例，即可以在合理的时间内完成模拟、数值计算、数据校准等。根据假设2.1和2.2，考虑的所有模型均为马尔可夫模型，具有强大的SDE解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:07

假设所有θ的hθ（x）=Ft，t+θ≥ 0，然后重点将放在计算上，以找到方程（16）反问题的解。3.1标量Bergomi模型对于d=1，Bergomi市场模型具有波动函数，ν（t，t）=γσe-κ（T-t），其中γ是标量常数，σ>0，κ>0。定义由DXT=-κXtdt+σdWt，具有不变密度ω（x）=rκσπe-κxσ；对于该模型，漂移和扩散为u（x）=-κx，σ（x）=σ。给定Xt，marketmodel的期货价格为ft，T=F∞经验值-γσ4κe-2κ（T-t） +γe-κ（T-t） Xt公司,其中F∞= 限制→∞Ft，Tand也是一个模型参数；需要进一步检查Ft，T的表达式是否符合市场模型方程dFt，T=Ft，Tν（T，T）dWt。对于该模型，方程（11）的轧辊屈服强度为fθ（Xt）=Tlog（英尺，吨）T=T+θ=γσe-2κθ- γκXte-κθ，挥发率的形式为νθ（Xt）=γσe-κθ. 可解一致性方程（15）以获得hθ（x）=hθ（0）expγe-κθx, 很容易验证可解性条件（22）成立。（16）中的逆问题通过特征函数展开来解决。O U过程具有由Hermite多项式给出的特征函数的完全正交基。因此，反问题采用第2.2.2节所述的特征级数展开式进行求解。考虑流程DZT=-κZtdt+√2κdWt，其中dWtdWt=dt。此过程的生成器isL=κz- κzz、 L的本征函数满足方程，Lψn（x）=-k nψn（x），对于n=0，1，2，3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:10

，其中每个ψnis是一个Hermite多项式，ψn（z）=(-1） nexp公司zdndznexp-z,i、 e.，ψ（z）=1ψ（z）=zψ（z）=z- 1.这些多项式与Zt的不变测度Z正交∞-∞ψn（z）ψm（z）ω（z）dz=n！δ（n- m），式中ω（z）=√2πexp-z.这些本征函数在L（R；ω）中形成一个完整的正交基，并且很方便，因为Ehψn（Zt）Z=zi=e-κntψn（z）。Zt的跃迁密度为以下核，Φz（y，z）=τzτyP（Zt≤ y | Z=Z）dt，当应用于Hermite多项式时，Z∞-∞Φz（y，z）ψ（y）dy=ψ（z）=1Z∞-∞Φz（y，z）ψn（y）dy=τzτe-κntψn（z）dt=1- e-κnτκnτψn（z）n≥ 1，产生特征值λ=1λn=1-e-κτnκτnn≥ 1.对于由OU过程Xt驱动的标量Bergomi模型，平均回复率κ和扩散参数σ，与Zt存在以下弱等效性，Xt=dσ√2κZt。定义缩放域方差函数，~v（z）=vσ√2κzz∈ R，然后注意τZτEhv（Xt）X=xidt=τZτE“~v（Zt）Z=√2κσx#dt。如果SVM和市场模型一致，则市场模型明确给出了th en VIXt=h（Xt），h（x）=h（0）exp（2γx）=h（0）exp√2γσ√κz！。然后，根据z和标度本征函数v（z），反问题的解具有展开式v（z）=∞Xn=0anψn（z），反问题（16）可以用标度变量和方差函数h（0）exp表示√2γσ√κz=τZτEh￠v（Zt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（z），对于所有z∈ R、然后使用正交性，系数为，an=(-1） nh（0）λnn！√2πZ∞-∞经验值√2γσ√κz！dndznexp-zdx=h（0）λnn！√2γσ√κ!nexp公司γσκ.这显然是一个在L（R；ω）上收敛且在紧集上一致的展开式。最后，对于x，解为，v（x）=v√2κσx=∞Xn=0anψn√2κσx！。这种扩展在紧集上的陆上一致收敛。数值计算表明，解v（x）为正，因此存在可接受的波动率函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:13

值得注意的是，波动率指数的市场模型是一个指数函数，导致指数型波动率未来过程。然而，在这种情况下，一致支持向量机不具有指数OU波动率函数。数值计算表明，瞬时方差v（x）具有指数性质，但不是精确指数。图1显示了这个标量O U示例中模拟的波动率和恢复的波动率函数的数值示例。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 T0.10.20.30.4模拟模型，VIXt=h（0）exp（x）-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8x0.10.20.30.4恢复的波动率函数v（x）M=3M=6h（x）=h（0）exp（x）图1：对于标量Bergomi模型，VIX为h（x）=h（0）eγx，其中h（0）=。2，γ=1，κ=3，σ=。5、平均波动率为20.1%，模型为20%。3.2多维Bergomi模型的多因素Bergomi模型VIX期货由DFT、TFt、T=γ给出*e-k（T-t） σdWt，其中k是具有正特征值的d×d矩阵，σ是d×d常数矩阵，wt是d维不相关布朗运动，γ是d×1向量。设XT为DXT给定的多维OU过程=-kXtdt+σdWt。为了保证Xt的平稳性，假设k的特征值具有正实部，并且(-k、 σ）为可控对，即中兴通讯-kuσ*e-k*udu是可逆的f或所有t>0。在这些假设下，OU进程XT的分布将收敛到平稳状态。XT的不变密度是均值为零的d维高斯密度，d×d协方差矩阵∑is∑=Z∞e-kuσ*e-k*udu，（23），如果对是可控的，则为有限的，n为单数。从（23）的积分公式可以看出，∑满足静态李雅普诺夫方程，k∑+σk*= σσ*. （24）因此，对于Ft，TisFt，T=F，市场模型SDE的解决方案∞经验值-γ*e-k（T-t） ∑e-k*（T-t） γ+γ*e-k（T-t） Xt！，其中F∞= 限制→∞英尺，吨。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:16

对于这个多维模型，对数未来相对于T isfθ（Xt）的导数=Tlog（英尺，吨）T=T+θ=γ*ke公司-kθ∑e-k*θγ +γ*e-kθ∑e-k*θk*γ - γ*ke公司-kθXt。方程（11）的波动函数为νθ（Xt）=γ*e-kθσ。VIX的公式是显式的，由fr om（15）（达到初始值）得到，hθ（x）=hθ（0）exp（γ*e-kθx）。与第3.1节中的标量情况一样，很容易在可解性条件（22）下进行验证。当k可与线性独立的特征向量对角化时，则生成器具有一组离散的特征值和由多元Hermite多项式给出的完整的双正交（通常）基函数（见[24，27，40]），因此，即使生成器在假设2.4的意义下通常不是对称的，第2.2.2节的方法也适用。例如，考虑[1，7]中的二维模型，其中因子为dxit=-对于i=1和2，κixidt+σidwit，对于i=1和2，κi>0，dWtdWt=ρdt，VIX为h（x）=h（0）expx+x,其中，为简单起见，假设γ=1，1=（1，1）*. XtisL=跟踪的生成器σρσσρσσσ*- x个*κ0 κ ,不变密度为ω（x）=2πp∑exp-x个*Σ-1台,式中，∑=σ2κρσσκ+κρσσκ+κσ2κ！，所以（24）成立。在[40]之后，伴随算子L的本征函数φ*为φn（x）=-x个n-x个nω（x），其中nand是非负整数；请注意，L*ω = 0. 这些φn是方程l的解*φn=-αnφn，其中αn=nκ+nκ。然后，算子L的本征函数ψ是多变量厄米多项式，其ψn（x）=ω（x）φn（x），并满足方程Lψn=-αnψn；这些ψn中的每一个都是一个次数等于n+n的多项式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:19

在这种情况下，传递度核是Φ（y，x）=τZτyyP（Xt≤ y | X=X）dt，其中Xt≤ y表示元素不等式，d当应用于多元Hermite多项式时，与第3.1节的标量OU示例类似，存在特征值λ=1λn=1- e-αnταnτn≥ 1.ψn的集合在L（R；ω）中形成了一个完整的基，它相对于第二个基满足双正交关系。将第二组基函数定义为beeψn（x）=ω（x）-zn-znω（∑z）z=∑-1x。在Zreψn（x）ψm（x）ω（x）dx=n的意义上是双正交的！nδ（n- m）。表示1=（1，1）*, 逆p问题ish（0）exp（x*1） =τZτEhv（Xt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（x），对于所有x∈ R、通过双正交关系，其解为n=h（0）λnn！nZRexp（x*1） eψn（x）ω（x）dx=h（0）λnn！n锆exp（z*Σ1)-zn-znω（∑z）z=∑-1xdx=h（0）（∑+∑）n（∑+∑）nλnn！nZexp（x*1） ω（x）dx=h（0）（∑+∑）n（∑+∑）nλnn！n经验值*Σ1.与标量Bergomi一样，不需要检查解的可解性、存在性或唯一性，因为解的特征系数是显式的。图2和图3显示了该2因素Bergomi模型以及恢复的v（x）的模拟，这看起来是正的，图4显示了差异Q（x）=v（x）- h（x）到gaina sens e的v（x）和VIX函数h（x）中的差异因子敏感性。近似v（x）使用所有高达并包含6，v（x）幂的多元Hermite多项式≈qPNanψn（x），其中n={n:n+n≤ 6}. 仅使用6次多项式是非常精确的，因为近似的平均误差为10阶-6，即r | x | Pi，jqPNanψn（xij）- h（xij）= O（10-6）其中，xijdenotes以Rand | x |表示离散评估点的总数。注意atrv（x）ω（x）dx=Rh（x）ω（x）dx（看看为什么（16）的两边都乘以ω（x）并进行积分）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-11 06:34:22

从该曲面图可以看出，当快速均值回复因子较低（即，当nx<0）时，持续因子x的上升对VIX的影响大于对v（x）的影响；这可以在曲面图的一角看到，其中Q（x，x）几乎为负。这是对反问题解决方案的一个有趣的警告，因为它说VIX可以比瞬时波动率更持久，但这不应该太令人惊讶，因为VIX是平方瞬时波动率移动平均值的平方根。3.3 3 3/2模型考虑一个m市场模型，该模型基于平方VIX是一个3/2过程，VIXt=Vt=Xt，其中Xt是一个C IR过程，dXt=κ（(R)x- Xt）dt+σpXtdWt，其中2κ′xσ>2。应用It^o引理yieldsdVt=Xtκ - （κ'x- σ） Xtdt公司- σXt公司3/2dWt=Vtκ - （κ'x- σ） Vt公司dt公司- σV3/2tdWt，从中可以看到差异中的3/2幂，因此给过程命名。请注意，此3/2模型基于假设2.2，因为Xt的SDE具有非利普希茨系数。然而，XT确实有str on g解决方案，未来是Ft，T=E[√所有t的VT | Ft]≤ T，这是构造鞅。因此，不需要假设2.2，一致性定义2.1适用于该模型。本节中提出的模型类似于[20]中使用的模型，其中VIXt=1/Xt，此处也可以这样做，但需要2'xκσ>4才能具有串联扩展的过分整体性。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10t-1-0.50.51.52维OU过程0 1 2 4 5 6 8 9 10t0.10.20.30.40.5模拟模型，VIXt=h（0）exp（.5（x+x））图2：对于2因子Bergomi模型，模拟的2维OU过程Xt=（Xt，Xt）和VIXt=h（0）exp（Xt+Xt）, 参数h（0）=。2, κ= 1, κ= 10,σ= .6, σ= .8，ρ=。4、本次实现的平均VIX为22.2%，模式为20.0%。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:25

XT过程是持久的，因为它具有较慢的均值回复。首先考虑归一化CIR过程，其生成器具有完整的IGenfunctions正交基，由广义拉盖尔多项式给出。因此，利用特征级数展开和第2.2.2节的方法再次解决了反演问题。考虑归一化的CIR过程，dZt=（1+α- Zt）dt+p2ZtdWt，其中α>0。此过程的生成器isL=zz+（1+α）- z）z、 L的本征函数满足方程Lψn=-nψn=0，1，2，其中每个ψ都是广义拉盖尔多项式，ψn（z）=n！埃兹-αdndzne-zzn+α,0.050.40.10.150.20.20.250.30.5恢复的v（x，x）0.35x0.4x0.45-0.2-0.5-0.4-1图3：参数h（0）=的2因子Bergomi模型恢复的v（x）近似值。2, κ= 1, κ= 10, σ= .6, σ= .8，ρ=。近似V（x）使用高达并包括6次幂的多元Hermite多项式-0.060.4-0.04-0.020.20.5Q（x，x）=v（x，x）-h（0）exp（.5（x+x））x0.02x0.04-0.2-0.5-0.4-1图4：对于双因子Bergomi模型，Q（x）表示随机波动率函数和VIX之间的差异，Q（x）=v（x）- h（x），其中h（x）=h（0）exp（x+x）.模型参数为h（0）=。2, κ= 1, κ= 10, σ= .6, σ= .8，ρ=。4.即ψ（z）=1ψ（z）=-z+α+1ψ（z）=z- （α+2）z+（α+2）（α+1）。。。这些多项式与Z的不变测度Z正交∞ψn（z）ψm（z）ω（z）dz=cnδ（n-m），其中cn=Γ（n+α+1）n！Γ（α+1），ω（z）=Γ（α+1）zαexp(-z），γ函数的α>1。这些本征函数在L（R+；ω）中形成一个完全正交基，并且很方便，因为ψn（Zt）Z=zi=e-ntψn（z）。对于上面定义的CIR过程Xt，与ascaled Zt存在以下弱等效性，Xt=dσ2κZκt，α=2'xκσ-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 06:34:28

还应确定标度域方差或波动率函数，v（z）=vσ2κzz>0，然后注意τzτE[v（Xt）| X=X]dt=τzτEv（Zκt）Z=2κσxdt。因此，确定Zt的核是有用的，Φz（y，z）=τRτyP（Zκt≤ y | Z=Z）dt，当应用于拉盖尔多项式时，类似于标量OU示例，Z∞Φz（y，z）ψ（y）dy=1Z∞Φz（y，z）ψn（y）dy=τzτe-κntψn（z）dt=1- e-κnτκnτψn（z）n≥ 1，有特征值，λ=1λn=1-e-κnτκnτn≥ 1.因此，如果SVM和市场模型一致，那么VIXt=h（Xt）由市场模型明确给出，h（x）=x=2κσz，如果α>1，则为L（R+；ω）。然后，根据z和标度函数v（z），反问题的解具有展开式v（z）=∞Xn=0anψn（z），因此2κσz=τzτEhv（zκt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（z），对于所有z>0。利用正交性，系数arean=2κσλncnn！Γ（1+α）Z∞zdndzne-zzn+αdz=2κσλncnΓ（1+α）Z∞e-zzα-1dz=2κσλncnΓ（1+α）Γ（α）=2κΓ（α）n！σλnΓ（n+α+1）。对于n large，存在以下行为≈ n-α+1，需要α>2才能得到▄v（z）展开式的平方可积性。最后，对于x，解决方案是v（x）=∞Xn=0anψn2κσx.图5显示了3/2过程的模拟以及使用25和30拉盖尔多项式对恢复函数v（x）的两种近似。在图中，模拟运行了10年，时间步长为t=1/365，并产生经验统计数据NPNI=1VIXti=19.89%和模型≤N（VIXti）=16.0%（总和N=10×365=3650）。图中显示了恢复的v（x）fr om，很明显，与VIX相比，瞬时波动性更受Xt低值的影响；i、随机波动率对Xt的左尾分布更为敏感。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:30

还请注意，从图中可以看出，数值解是正的。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t（年）0.20.40.60.8模拟3/2过程模型，VIXt=Xt-1/22 6 8 10 12 14 16 18 20 x0.51.5恢复的波动率函数v（x）M=25M=30h（x）=x-1/2图5：对VIXt=Xt的市场模型的3/2过程和恢复的波动率函数的模拟，其中Xt是CIR过程。在底部图的图例中，M=25表示使用二十五个拉盖尔多项式的近似值，M=30表示使用三十个多项式的近似值，d h（x）=1/√x是市场模型的VIX函数。在b othplots中，CIR参数为κ=4、(R)x=30和σ=6.9282；这得出α=4。对于这些参数，CIR过程大约95%的时间在10到50之间。3.4双Nelson模型考虑二维均值回复过程Xt=（Xt，Xt）和动力学，dXt=κ（Xt- Xt）dt+σXtdWt（25）dXt=κ（(R)x- Xt）dt+σXtdWt，其中'x>0，κ>0，κ>0，dWtdWt=ρdt。这是双Nelson模型，它是双GARCH模型的连续时间限制。将波动率定义为beVIXt=h（Xt）=Xt，期货曲线Ft，T=E[h（Xt）| Xt]为Ft，T=Xte-κ（T-t） +(R)x（1- e-κ（T-t））+（Xt- \'\'x）κ（e-κ（T-t）- e-κ（T-t））κ- κ.这是一个市场模型，对于该模型，反向问题将从由相同因子Xt和Xt驱动的SVM中找到v（x）fr。该模型的微型生成器是不对称的，因此第2.1条的一般理论并不直接适用。然而，f因子过程满足随机微分方程的线性系统，其中有异序矩的闭合方程，因此可以应用第2.2.1节（22）给出的可解性条件。零到期滚动收益率为Tlog（英尺，吨）T=T=f（x）=κxx号- 1.,波动率为ν（t，t）=σ，因此方程（22）的可解性条件为2κhx（x- x） i=-σx.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-11 06:34:34

（26）可以使用g It^o引理计算不变矩，然后取期望值，hxi=\'xhxi=\'xx个=2κ？x2κ- σhxxi=κ′x+κx个κ+ κ- ρσσx个=2κhxxi2κ- σ.因此，如果2κ-σ> 0和d 2κ-σ> 0以确保X具有有限（不变）秒动量，且hxxi是有限的，κ+κ- ρσσ>(σ, σ)1.-ρ-ρ 1σσ> 0，则在等式（26）成立时紧随其后。逆问题ish（x）=EτZτv（Xu）duX=X,当h（x）=x时，通过寻找形式为v（x）=ax+axx+ax+bx+bx+c的解来进行表达式求解。通过显式求解动量su（t）=E[（Xt）| X=X]，u（t）=E[XtXt | X=X]，…，可获得i的系数aijand Bif，j=1，2，满足由因子过程（25）的随机微分方程通过I to公式获得的线性普通微分方程组，dudt=-(2κ- σ） u+2κu，u（0）=xdudt=-(κ+ κ- σσρ）u+κu+κ'xu，u（0）=xxdudt=-(2κ- σ） u+2κ'xu，u（0）=xdudt=κ（u- u），u（0）=xdudt=κ（(R)x- u），u（0）=x。注意，上面得到的不变矩只是这些矩的极限值ast→ ∞, 这要求上面介绍的κ，κ，σ，σ，ρ之间的关系也保持不变。因此，x=τZτE[v（Xt）| x=x]dt=τZτau（t）+au（t）+au（t）+bu（t）+bu（t）+c通过调整系数a，a。对于x，解为v（x）=v（x，x）≥ 0和x≥ 0，这是（x，x）中的二次多项式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:36

然而，这种解决方案不会是n开-负的，因此对于支持向量机来说是不可接受的。要了解解v（x，x）如何变为负值，请考虑简化的逆问题x=τZτE[v（Xt）| x=x]dt，其解v（x）=bx+bx+c只需要一个线性表达式。Thusx=τZτE[v（Xt）| X=X]dt=τZτbu（t）+bu（t）+cdt，U（t）=e-κtx+κ（e-κt- e-κt）κ- κx+（1- e-κt）(R)x-κ（e-κt-e-κt）κ- κ′x，u（t）=e-κtx+（1- e-κt）(R)x。插入这些表达式并进行时间平均，可以看出，为了解决反问题，b=κτ1- e-κτ，所以右边xon的系数是1。然后取Bt使Xequal的系数为零，这将导致b=-bκτ1- e-κττZτκ（e-κt- e-κt）κ- κdt。求解b带后，常数c等于其余项。最后是双负f或任何κ，κ，这使得解v（x）=bx+bx+c，x≥0，x≥ 0，在0和xlarge附近取负值。这表明，在定义2.1.3.5布朗运动因子的非负解的意义上，考虑到另一个不具有假设2.3和2.4的平稳性，而是由布朗运动Zt驱动的市场模型的例子，它们不可能是一致的。这是一个关于hto的一般条件的例子，以确保恢复的波动率函数的非负性。逆问题ish（z）=τzτEv（z+Zt）dt，其中Zt是标准布朗运动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 06:34:39

傅里叶变换被用来解决这个问题。要考虑的空间是L（R，dz），傅立叶元素是ψ（k，z）=√2πeikz，与δ函数δ（k）具有广义正交性-k′）=2πReik′ze-ikzdz。市场模型的VIX函数和SVM函数具有傅立叶变换sch（k）=√2πZe-ikzh（z）dzbv（k）=√2πZe-ikzv（z）dz。傅里叶变换用于变换逆问题，ch（k）=τ√2πZτEeikZtZe-ik（z+Zt）v（z+Zt）dzdt=bv（k）kτ1.- e-τk.因此，问题的解是bv（k）=kτ2（1- e-τk）ch（k）。如果kch（k）在L（R，dk）中，那么Parseval的恒等式表示解v（z）在L（R，dz）中，kvk=zkτ√2π2(1 - e-τk）ch（k）dk<∞ .Ifbv（k）是连续的正定义，也就是说，如果对于任何kl∈ R和cl∈ C代表l = 1, 2, 3, . . . , M f或M任意正整数，MXl,l′=1c级l\'\'cl′bv（kl- kl′) ≥ 0，则Bochner的th-eorem应用[35]和v（z）=√2πReikzbv（k）dk为非负。这是求逆问题非负解的一般准则，但Bochner定理的这种应用特别适用于Fourier特征函数的情况。为了进一步说明，考虑具体例子H（z）=c+γz，并使用Zta标准布朗运动。对于反问题h（z）=τzτE[v（z+Zt）| z=0]，很容易检查，c+γz=τEZτc+γ（z+Zt）-τγdt。因此，如果c≥τγ.4非马尔可夫市场模型let hθ（x）表示从马尔可夫支持向量机导出的CMF。假设假设2.1不成立，因此可能存在非马尔可夫动力学。然后，为了检查定义2.1的一致性，有以下一对方程，它们是（14）和（15）的推广，trace[σσ*（Xt）*]hθ（Xt）+u*（Xt）hθ（Xt）hθ（Xt）=Yθt（27）σ*（Xt）hθ（Xt）hθ（Xt）=ν*θ（t），（28），其中Yθ是方程（8）中的轧辊屈服强度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝