（11） 因此，在将（11）代入（9）、（10）并完成平方后，分布函数重写为  xyzxdzzexxyQ/2/112～2,22；2=（subxpz21) = 21212xyxpdpxpxpe，2012年1月22日 21212xyxpxOdpe；(12)  yxzydzzeyyxQ/2/1122,2；2=（subypz21)==   Yodpedpyyxypyx2121211/221/22/1222。（13） 从式（13）中，我们得到  yOdpexyQyxyp21211～2,22；21/222.使用公式（11），我们可以发现密度分布函数在0时的所有渐近性，这些渐近性在（4a）–（8b）之间: 442222~1~2;2.2xyecxyceeyxpemskyxyx,      （14a）  41414122222~~1~2,24;2xyecexycxyceexypemskyxyx,  （14b）   xypxyp 2,26；2~2,24;2.,        （14c）   yxpyxp 2；22;2~2;2.2.,        （14d）其中C和Care常数，与τ无关。取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用公式（2）和渐近（12）–（14d），我们得到 kskskskskkscsct，，0,1,0,1,0lim0； Kskskskskskpt，0，，0,1,0,1lim0； 4100222lim22,1,0limxyexksksksemskc KSKSxyeCxSKEmSk，1,0LIM24022；KSKSCP，0,11limlim00；     CSKxCSxCxSxPС222122120002222223223223limlim 0122422222xyeCSKxyEmSk；  KSKSRKXYEMCKESCRXKSRKEMSKRС，1,01）（22lim，1,0lim4100222；KSKSrKP，0,1lim0；0Lim4Lim410000222xyeCKeSCxVegaVegaEmSkrPC。因为极限的有限性 KSKSyxQ，0,12；2.2lim0，我们得到 0121lim20lim4100222xyeCKeSCmrxEmSkrC；0lim0案例b。.从式（2）可以明显看出，0limlimyxk。

根据CEV模型的定义，其如下222 S、 0<2, i、 e。像.就像这个案子一样0我们发现，当. 我们使用等式。（9） ，（10）和修正的贝塞尔函数渐近性z、 asit由【1，等式（9.6.7）】给出 )1(~2zzI。（15） 那么 xyzxdzzeexxyq/1212）1（2~2；22；2=（subxtz/) =YTXDTTE）1（；（16） yxyzydzzeeyyxQ/122）（2~2,2；2=（subytz）/)=xtydtte1）（（17）使用（15）我们发现，当: 1)2(21~2,24;2 yexypyx，（18a） 1)(21~2,2;2 xeyxpyx，（18b） 2)3(21~2,26;2 yexypyx，（18c）  xeyxpyx）1（21～2,22；2。

（18d）取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用渐近（16）–（18d），我们得到1） （1）1（lim，RytxxTyrtkedtteesdtteeekep）1（1）（限值1； 1） 2（2lim）1（LIM YEXDTEEYXYTXC 1） （2英寸xeKeSyxr；01limlim内容提供商； 12） 2（232limlim yexSxyxPС     0)1(2)(2)3(2221222222xeSKexyxeSKexyeSxyxryxryx； 0）2（lim12）（lim11xekeyexsmrdteekreyxryxxtyrС； ryxryxxtyrPKrexeKeyexSmrdtteeKre）（）2（lim12）（lim11；0）（）2（lim1lim10xeKeyexSVegaVegayxryxPC； 11） 2（lim121）（1limlim yexSmrdtteeeKyxxtyrC0）(xeKeyxr； 11） 2（lim121）（limlim yexSmrdtteeeKyxxtyrPryxreKxeKe）（.案例c。K、 从式（2）可以明显看出YXKKKKLIM、constlim、constlim。因此我们使用等式。（12） ，（13）作为分布函数渐近，等式（11）作为修正的贝塞尔函数渐近。我们有  2/)1(4241~2,24;2xyxyexypyx，（19a）  2/)2(4241~2,26;2xyxyexypyx，（19b）  2/)1(4241~2,2;2yxxyyxpyx，（19c）  2/4241~2,22;2.yxxyyxpyx。

（19d）取（1）、（3）–（8b）中的极限，并使用渐近（12）、（13）、（19a）–（19d）得到yxpKrxypKtKdpeKedpeSC222/222/22211lim21lim21lim=  0222lim2111lim222222/22yxeKedpeKeyxKryxpKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;xypKyxpKrtKdpeSdpeKeP222/222/22211lim21lim21lim；  2/）1（4222/22Lim2221LimxyxyExdpeyxkxypkСK  0lim222/）1（42yxxyeKSexyxKr；11limlimCKPK；    xypSxxypxSxKKPKСK2,26；2lim222,24；2LIM2322LIM222    0lim22lim222/4222/）1（422222yxxyyksxeyxxykexsexyxkryxkr；yxpKrСKDPEKRE222121LIMLIM公司  2/）1（2/）1（42lim）1（22yxKexySxyemrxryxK=  0222lim2222yxeKreyxKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;YXPKrpkdpekre22221limlim； 2/）1（2/）1（402Limlimyxkexysxyexvegavegaryxkpkck=0；YXPKrckdpeke22221limlim  2/）1（2/）1（42lim1212yxKexySxyemrxryxK  022lim22222yxeKeyxKr，as2～2122/22EDPEPIWHEN;YXPKrpkdpeke22221limlim；案例d。r、 从式（2）可以明显看出，0lim，lim，0limyxkrrr，0limxyr。此外林女士。因此，我们具有与等式中相同的渐近性。（12） ，（17），（18a）–（18d）。

所以，我们得到了SDTTeekdpescxtyrxyprtr1222）（1LIM21LIM2；0211lim）（LIM222212xyprxtyrrtrdpesdteeekp；  1） （lim2）2（LIM221LIM12222xeeSKyxedpeyxrryxrxyprСr；01limlimCrPr；   22212）3（2lim）2（232LIMLIM YESXYESXXYXRRYXRPСr   0）1（2lim）（2lim122122Xekesyxexyryxr； 0）2（12lim）（1lim111xekeyesmrxdteerkyxryxrxtyrrСr； 0）（）2（12lim）（limlim111xekeyesmrxdteerkyxryxrxtyrrpr；0）（）2（lim2limlim110XeKeyesxVegaveGayxRprCr；0）（）2（1）2（1lim）（1limlim111Xekeyesmrxdteekyxryxrxtyrrcr；0）（）2（1）2（1lim）（limlim111xeKeyeSmrxdtteeeKyxryxrxtyrrPr。案例e。T、 从式（2）可以明显看出，0lim，lim，0limyCxkTTTand0limxyT，其中C是一个常数，与T无关。此外，mTlim。取等式中的极限。（9） ，（10）我们得到   011222,22;22dzCzIzeCxyQzC=（子Z) 2月2日DTTCITECETC；(20)   YXYZYYXZYDZYZEYDZYZZYZYYXQ/12/1122）（2~222,2；2=（子 2/12 ypz）=常数）（21）（22122/12122/122CPxPydppedPee。（21）注意，式（20）中的积分是函数的拉普拉斯变换  tCIttf 22/.  Itecas等于[3，等式（18），第197页]。总的来说 12,22;2. xyQ。对于密度分布函数，我们具有与等式中相同的渐近性。（18a）–（18d），因此，取限值Tin（1），（3）–（8b）并使用等式。

（20） ，（21）此外，我们有    SyxQeKxyQSCrTTtT2,2;21lim2,22；2limlim；    02,22;21lim2,2；2利姆林xyQSyxQeKPTrTtT；   )2（lim22,22；2LIM1YXEXYQYXTTСT 1） （lim2xeeSKyxrT；01limlimCTPT；   )3（2lim）2（232LIMLIM22212YESXYESXXYXTYXTPTСT   0）1（2lim）（2lim122122xekesyxexexyrtyxrt；    0）（1）（1）（2（lim22,2；21lim1meKexmyxSeryxQeKrryxyxTrTСT；   0）（1）（1）（2（lim22,2；2LIM1meKexmyxSeryxQeKrryxyxTrTPT；0）（）2（LIM2LIM110XeKeyesXvegavegayxtryxtptct；       yxpKexySpmrxyxQeKrTrTCT2,2；22,24;2121lim22,2；21limlim 0）（）2（121lim11xeKeyeSmrxyxryxT； 02,2;2利姆林yxQeKrTPT。3、CEV模型下的风险中性密度函数关于风险中性密度动态的知识对于金融资产上任何期权的定价都是必要的【4，等式（3）】，即使是奇异和复杂的【18】。定理1：在CEV模型下，存在风险中性密度函数 TKSt，，最终价格为ST=K的欧洲风格选项  TSKttrTtKTKSCeTSS22，，，，，其中        XYPyksXYPyksktksctt2,2；2222,22;2122,,2222      yxpyKeyxpyyKerr2,24；2222,22;2122222.证明：计算 TSSTt，，我们需要使用以下辅助关系，因为它由[14，等式（A2a），（A2b），（A11a），（A11b）]给出：  ,;,;pQ，  ,2.pQ，（22）     ,2.21,;购买力平价，     ,2.21,;ppp，（23）使用公式。

（22），我们能够计算以下偏导数：      xypKyxypKyKxyQ2,22；2222,22;222,22;2.,      yxpkyyxpkyxq2,22；2222,22;222,2;2.,因为 02Kx，   凯基 微分方程（1）我们得到          yxpyyyxqexypkskcrrt2,22；2222,2;212,22;222.自从 21KyKyK,  我们使用公式（23）计算二次偏导数，如下所示：           xypxypyKSxypyKSKCt2,2；22,22;2222,22;2212222222    yxpkyeyyxpkyer2,22；2222,22;2222     yxpyxpKyer2,24；22,22;22222.最后，减少相似项并简化      xypyksxypykskct2,2；2222,22;21222222      yxpyKeyxpyyKerr2,24；2222,22;2122222.这就完成了证明。致谢这项工作是在托木斯克理工大学竞争力增强计划赠款的框架内，在托木斯克理工大学开展的。参考文献[1]Abramowitz，M.和Stegun，I.A.，数学函数手册，第10版，1972年（多佛：纽约）。[2] Ballestra，L.V.和Cecere，L.，恒定方差弹性模型下的美式期权定价：Barone Adesi和Whaley方法的扩展。财务部。第Lttrs 14（2015）45–55号决议。[3] 贝特曼H.积分变换表，第一卷，1954年（麦格劳-希尔图书公司：纽约）[4]Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.，期权价格中隐含的国家未定权益价格。J、 公共汽车。51 (1978) 621–651.[5] Bu，R.、Giet，L.、Hadri，K.和Lubrano，M.，使用时变连接函数和可约非线性随机微分方程建模多元利率。J、 财务部。经济网。9 1 (2011) 198–236.[6] Chung，S.-L。

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